3.-Análisis de Circuitos: Nodos, Mallas 3.1. - Introducción

3.
- Análisis de circuitos: nodos, mallas
3.1.- Introducción
En este capítulo se presentan dos maneras diferentes de considerar los circuitos
eléctricos. El análisis de nodos que se basa en la ley de Kirchhoff de corrientes el que
permite establecer ecuaciones para una gran variedad de circuitos. También se presenta la
técnica de análisis de malla, que se basa en ley de tensiones de Kirchhoff que constituye
también un procedimiento válido para el análisis de circuitos. Es importante decir que en
los casos en que cualquiera de las dos técnicas sea válida, una de ellas suele tener una
ventaja comparativa con respecto a la otra, según sea el arreglo y los elementos conectados
en el circuito.
3.2.- Análisis nodal

El análisis nodal es un procedimiento general para analizar circuitos usando
tensiones de nodo como variables de circuito. La elección de tensiones de nodo reduce el
número de ecuaciones que deben resolverse en forma simultánea.
El objetivo del análisis nodal es encontrar las tensiones de nodo y su procedimiento

de resolución de un circuito a través de este método dado un circuito con n nodos sin
fuentes de tensión se puede resumir como:
- Se elige un nodo de referencia y se asignan las tensiones v1, v2,…, vn-1 a los
nodos restantes (referidas al nodo de referencia).
– Se aplica la LCK a cada uno de los n-1 nodos y se utiliza la ley de Ohm para
expresar las corrientes de rama en términos de las tensiones de nodo.
- Se resuelven las n-1 ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las tensiones
de nodo desconocidas.
El nodo de referencia recibe comúnmente el nombre de tierra, ya que se supone que

tiene potencial cero (v = 0), este nodo se indica mediante cualquiera de los tres símbolos
que se muestran en la figura 3.1.
Fig. 3.1.- representación del nodo de referencia (tierra)

De la figura 3.1, se puede decir lo siguiente:
El tipo de tierra (a) se denomina tierra de chasis (armazón) y se usa en dispositivos

donde la caja, el recipiente o el chasis (armazón) actúa como punto de referencia para todos
los circuitos.
El tipo de tierra (b), (c) se denomina tierra física y se usa cuando el potencial de la
tierra se utiliza como referencia.
Ejemplo de aplicación.- Dado el circuito de la figura 3.2, determinar las

tensiones de nudos.
Fig. 3.2.- Ejemplo de aplicación del análisis nodal
1.- Se identifican los nodos del circuito como lo muestra la figura 3.3.
Fig.- 3.3.- Enumeración de nudos para el ejemplo
2.- Se elige nodo de referencia (tierra), como aquel que tiene el mayor número de
elementos conectados a él; en caso de que todos los nodos tengan la misma cantidad de
elementos, elegir el nodo de referencia de manera de simplificar la resolución. De acuerdo a
esto se identifican las incógnitas del circuito (tensiones de nudos, ver figura 3.3).
3.- De acuerdo a la convención pasiva de signos se asume que la corriente fluye de
un potencial superior a un potencial inferior en los elementos pasivos, como lo muestra la
Fig.3.4.- Asignación de las corrientes de nudos para el ejemplo
4.- Se aplica LCK a cada uno de los nodos, de la figura 3.4, por lo tanto, se tiene
que:
Nodo 1: I1 = i1 + i2 + I2 (3.1)
Nodo 2 : I2 + i2 = i3 (3.2)
5.- Se aplicando ley de Ohm a los elementos resistivos, las ecuaciones 3.1 y 3.2
quedan:
I1 = V1/R1 + ( v1 – v2 )/R2 + I2
I2 + ( v1 – v2 )/R2 = v2/R3
Fig. 3.3.- Resolución del análisis nodal
Ordenando estas ecuaciones, finalmente queda:
v1 ( 1/R1 + 1/R2 ) – v2 ( 1/R2) = I1 – I2 (3.3)
-v1 ( 1/R2) + v2 ( 1/R2 + 1/R3 ) = I2 (3.4)
6.- Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones (3.3) y (3.4), encontrando las

incógnitas v1 y v2.
3.3.- Análisis nodal con fuentes de tensión
Caso 1: si una fuente de tensión se coloca entre el nodo de referencia y uno de no

referencia, la tensión de este último es igual a la tensión de la fuente
Ejemplo.- Si consideramos el ejemplo de aplicación de la figura 3.2 y se modifica al de la

figura 3.5, claramente se ve que V1 = V, con lo que la ecuación para el nodo 1 se elimina.
Fig. 3.6.- Circuito con fuente de tensión, entre nodo de referencia y uno cualquiera
De la figura anterior se tiene que :
Nudo 1 : v1 = V (3.5)
Nudo 2 : I2 + i2 = i3 (3.6)
Aplicando la ley de Ohm en la ec. 3.6, se tiene que:

I2 + ( v1 – v2 )/R2 = v2/R3 (3.7)
Reemplazando la ecuación 3.5 en 3.7
I2 + ( V – v2 )/R2 = v2/R3
Finalmente:
v2 = (I2 R2 + V) R3/R2
Caso 2: si la fuente de tensión (independiente o dependiente) se conecta entre dos nodos
de no referencia, estos forman un nodo generalizado o supernodo; se aplica la LCK y la
LTK para determinar las tensiones de nodo.
Un supernodo se forma encerrando una fuente de tensión (independiente o

dependiente) entre dos nodos cualesquiera que no es el de referencia:
- La fuente de tensión dentro del supernodo proporciona una ecuación de

restricción que se necesita resolver con respecto de las tensiones de nodo. (conocida
comúnmente como la ecuación auxiliar)
– Un supernodo no tiene tensión propia.
– Un supernodo requiere la aplicación de la LCK y de la LTK
Ejemplo.- El circuito de la figura 3.7, muestra el concepto de supernodo
Fig. 3.7.- Circuito ejemplo para superrnodo
De la figura 3.5. se tiene que:
Nodo 1: v1 = 10 V
Supernodo 2-3 : i1 + i4 = i2 + i3
Ecuación auxiliar: v2 - v3 = 5 V
La solución de la ecuación auxiliar se ilustra en la figura 3.8.
Fig.- 3.8- Obtención de ecuación auxiliar.

3.4.- Análisis nodal por inspección
Si un circuito resistivo lineal con fuentes de corriente independientes tiene N nodos

de no referencia, las ecuaciones de tensión de nodo pueden escribirse directamente en
forma matricial como:
G V = I ext (3.5)
Es decir:
Donde:
Gkk : Suma de conductancias conectadas al nodo k

Gkj=Gj : Negativo de la suma de las conductancias conectadas directamente entre
los nodos k y j, k ≠ j.
Vk : Tensión desconocida en el nodo k
Ik: Suma de todas las fuentes de corriente independientes conectadas
directamente al nodo k, con las corrientes que entran al nodo consideradas
como positivas
Ejemplo de aplicación.- Obtener las ecuaciones de nodo por inspección
Fig. 3.9.- Ejemplo de aplicación generalizado

3.5.- Análisis de malla
El análisis de malla es un procedimiento que utiliza corrientes de malla, en lugar de

corrientes de elementos, como variables de circuito.
Es importante recordar que un lazo es una trayectoria cerrada en la que no se pasa

por un nodo más de una vez. Una malla es un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro
de él.
El análisis de malla utiliza la LTK para encontrar corrientes desconocidas. El

análisis de malla no es tan general como el nodal, ya que sólo es aplicable en circuitos con
disposición plana, es decir, uno que puede dibujarse en un plano sin ramas que ese crucen
entre si. La figura 3.10 muestra algunos ejemplos de circuitos con disposición plana.
Fig. 3.10.- Circuito con disposición plana
+
-
Fig. 3.11.- Circuito con disposición no - plana

3.6.- Análisis de malla sin fuentes de corriente El procedimiento para su
resolución, es el que se indica a continuación:
- Asignar las corrientes i1, i2,…,in a las n mallas (la dirección de la corriente es
arbitraria y no afecta la validez de la solución).
- Aplicar la LTK a cada una de las mallas. Usar la ley de Ohm para expresar las
tensiones en términos de las corrientes de malla.
- Resolver las n ecuaciones resultantes para obtener las corrientes de malla.
Ejemplo.- El circuito de la figura 3.12, muestra un circuito al que se le aplica el método de

análisis de malla para su resolución.
Fig. 3.12.- Circuito sin fuentes de corriente
Malla 1: −V1 + R1i1 + R3( i1 − i2) = 0
Malla 2: −R3( i1 − i2) + R2i2 + V2 = 0
Para encontrar los valores de i1 e i2 se debe resolver el sistema de ecuaciones, con

estos valores de corrientes de malla finalmente se resuelven los valores de las corrientes,
esto es:
I1 = i1
I2 = i2
I3 = i1 – i2
3.7.- Análisis de malla con fuentes de corriente

La presencia de fuentes de corriente con este tipo de análisis reduce el número de
ecuaciones.
Caso 1: Cuando una fuente de corriente existe únicamente en una malla

Fig. 3.13.- Circuito con una fuente de corriente
Resolviendo el circuito de la figura 3.13, se tiene que:
Caso 2: Cuando existe una fuente de corriente (independiente o dependiente) entre dos
mallas se crea una supermalla excluyendo la fuente de corriente y cualquier elemento
conectado en serie a ella. Si un circuito tiene dos o más supermallas que se intersecan,
éstas deben combinarse para formar una supermalla más grande.
Propiedades de una supermalla:
– La fuente de corriente en una supermalla no se ignora por completo; ésta

proporciona la ecuación de restricción que se necesita para resolver las
corrientes de malla.
– Una supermalla no tiene corriente propia.
– Una supermalla requiere la aplicación de la LTK y la LCK
Ejemplo.-
Fig. 3.14.- Circuito que contiene una supermalla.
De la figura 3.14, se observa que la resistencia en serie con la fuente de corriente de

6 A, se deben de eliminar del circuito, debido a que esta fuente es recorrida por dos
corrientes de malla, constituyendo por lo tanto, estas dos corrientes de mallas una
SUPERMALLA, como se muestra en la figura 3.15
Fig. 3.15 Formación de la supermalla
Finalmente de la figura 3.25, se tiene que :

3.8.- Ejercicios propuestos
a.- Para el circuito de la figura, calcular v1 y v2.
Las corrientes en las resistencias de 5 y 10 Ohm son:
Luego teniendo las corrientes y los voltajes se realizará el balance de potencia:

Resumiendo, se tiene:
b.- Calcular las corrientes de rama y las tensiones de nodo en el circuito de la figura
c.- Para el circuito que se muestra en la figura, se pide calcular i1, i2 e i3
d.- Para el circuito que se muestra en la figura, se pide calcular i1, i2 e i3

3.9.- Análisis de malla por inspección
Si un circuito resistivo lineal con fuentes de tensión independientes tiene N mallas,
las ecuaciones de corriente de malla pueden escribirse directamente como:
Donde:
Rkk : Suma de las resistencias en la malla k
Rkj=Rjk: Negativo de la suma de las resistencias en común con las mallas k y j, k ≠ j
Ik : Corriente de malla desconocida para la malla k orientada en la dirección de
las manecillas del reloj.
Vk: Suma de todas las fuentes de tensión independientes en la malla k, con el
aumento de tensión considerado como positivo.
Ejemplo de aplicación.- Obtener las ecuaciones de malla por inspección

Fig. 3.16.- Circuito de ejemplo para resolución de mallas por inspección
De la figura se tiene que:
3.10.- Ejemplos Propuestos
1.- Encontrar las tensiones de nodo y corrientes de rama

2.- Encontrar las tensiones de nodo y corrientes de rama

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- Análisis de circuitos: nodos, mallas

3.2.- Análisis nodal

El objetivo del análisis nodal es encontrar las tensiones de nodo y su procedimiento

El nodo de referencia recibe comúnmente el nombre de tierra, ya que se supone que

Fig. 3.1.- representación del nodo de referencia (tierra)

El tipo de tierra (a) se denomina tierra de chasis (armazón) y se usa en dispositivos

Ejemplo de aplicación.- Dado el circuito de la figura 3.2, determinar las

Fig. 3.2.- Ejemplo de aplicación del análisis nodal

Fig.- 3.3.- Enumeración de nudos para el ejemplo

Fig.3.4.- Asignación de las corrientes de nudos para el ejemplo

Fig. 3.3.- Resolución del análisis nodal

Ordenando estas ecuaciones, finalmente queda:

v1 ( 1/R1 + 1/R2 ) – v2 ( 1/R2) = I1 – I2 (3.3)

-v1 ( 1/R2) + v2 ( 1/R2 + 1/R3 ) = I2 (3.4)

6.- Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones (3.3) y (3.4), encontrando las

Caso 1: si una fuente de tensión se coloca entre el nodo de referencia y uno de no

Ejemplo.- Si consideramos el ejemplo de aplicación de la figura 3.2 y se modifica al de la

De la figura anterior se tiene que :

Aplicando la ley de Ohm en la ec. 3.6, se tiene que:

Un supernodo se forma encerrando una fuente de tensión (independiente o

- La fuente de tensión dentro del supernodo proporciona una ecuación de

– Un supernodo no tiene tensión propia.

– Un supernodo requiere la aplicación de la LCK y de la LTK

Ejemplo.- El circuito de la figura 3.7, muestra el concepto de supernodo

Fig. 3.7.- Circuito ejemplo para superrnodo

De la figura 3.5. se tiene que:

Fig.- 3.8- Obtención de ecuación auxiliar.

Si un circuito resistivo lineal con fuentes de corriente independientes tiene N nodos

Gkk : Suma de conductancias conectadas al nodo k

Fig. 3.9.- Ejemplo de aplicación generalizado

El análisis de malla es un procedimiento que utiliza corrientes de malla, en lugar de

Es importante recordar que un lazo es una trayectoria cerrada en la que no se pasa

El análisis de malla utiliza la LTK para encontrar corrientes desconocidas. El

Fig. 3.10.- Circuito con disposición plana

Fig. 3.11.- Circuito con disposición no - plana

- Resolver las n ecuaciones resultantes para obtener las corrientes de malla.

Ejemplo.- El circuito de la figura 3.12, muestra un circuito al que se le aplica el método de

Fig. 3.12.- Circuito sin fuentes de corriente

Malla 1: −V1 + R1i1 + R3( i1 − i2) = 0

Malla 2: −R3( i1 − i2) + R2i2 + V2 = 0

Para encontrar los valores de i1 e i2 se debe resolver el sistema de ecuaciones, con

3.7.- Análisis de malla con fuentes de corriente

Caso 1: Cuando una fuente de corriente existe únicamente en una malla

Resolviendo el circuito de la figura 3.13, se tiene que:

– La fuente de corriente en una supermalla no se ignora por completo; ésta

Fig. 3.14.- Circuito que contiene una supermalla.

De la figura 3.14, se observa que la resistencia en serie con la fuente de corriente de

Fig. 3.15 Formación de la supermalla

Finalmente de la figura 3.25, se tiene que :

a.- Para el circuito de la figura, calcular v1 y v2.

Las corrientes en las resistencias de 5 y 10 Ohm son:

Luego teniendo las corrientes y los voltajes se realizará el balance de potencia:

c.- Para el circuito que se muestra en la figura, se pide calcular i1, i2 e i3

d.- Para el circuito que se muestra en la figura, se pide calcular i1, i2 e i3

Ejemplo de aplicación.- Obtener las ecuaciones de malla por inspección

De la figura se tiene que:

3.10.- Ejemplos Propuestos