T-P #8 - Remedial de Trigonometría

Ingeniería Forestal - Ingeniería en Industrias de la Madera –
Ingeniería Agronómica- Tecnicatura Universitaria en

Industrias del Aserrío
REMEDIAL DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº8

TRIGONOMETRÍA
1) Indicar de qué cuadrante es cada uno de los siguientes ángulos:
a) 𝛼1 = 300°
b) 𝛼2 = −200°
c) 𝛼3 = 800° 20´
d) 𝛼4 = 700°
e) 𝛼5 = 160°
f) 𝛼6 = −360° 15´
Respuestas
a) 𝛼1 = 300° 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
b) 𝛼2 = −200° 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
c) 𝛼3 = 800° 20′ 𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
d) 𝛼4 = 760° 𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
e) 𝛼5 = 160° 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
f) 𝛼6 = −360° 15′ 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
2) Las medidas de dos ángulos opuestos son números reales opuestos. El ángulo opuesto
de 𝛼 se escribe así: −𝛼 . Indicar de qué cuadrante es −𝛼 cuando 𝛼 es:
a) del primer cuadrante
b) del segundo cuadrante.
Respuestas
a) Si α es del I cuadrante entonces –α es del IV cuadrante.
b) Si α es del II cuadrante entonces –α es del III cuadrante.
3) Expresar en radianes los ángulos mencionados en el ejercicio 1).

Respuestas
𝜋 5
a) 𝛼1 = 300°. 180° = 3 𝜋
𝜋 10
b) 𝛼2 = −200°. 180° = − 𝜋
9
𝜋 601
c) 𝛼3 = 800° 20′. 180° = 540 𝜋
𝜋 38
d) 𝛼4 = 760°. 180° = 𝜋
9
𝜋 8
e) 𝛼5 = 160°. 180° = 9 𝜋
𝜋 1441
f) 𝛼6 = −360° 15′ . 180° = − 𝜋
720
4) Trabajar con la calculadora científica y expresar en grados, minutos y segundos las
medidas de los siguientes ángulos.
2𝜋
a) 𝛼1 = 3
b) 𝛼2 = 2
c) 𝛼3 = −3𝜋
d) 𝛼4 = 0,20
Respuestas
2𝜋 180°
a) 𝛼1 = . = 120°
3 𝜋
180°
b) 𝛼2 = 2. = 114° 35′ 30′′
𝜋
180°
c) 𝛼3 = −3𝜋. = −540°
𝜋
180°
d) 𝛼4 = 0,2. = 11° 27′ 33′′
𝜋
5) Expresar simbólicamente, en grados y en radianes:

a) El complemento de 𝛼.
b) El suplemento de 𝛼.
Respuestas
π
a) Complemento de α: 90° − α = 2 − α
b) Suplemento de α: 180° − α = 2π − α
6) Completar la tabla con las medidas de los ángulos y de los arcos generados en sentido
positivo en una circunferencia trigonométrica (radio 1).
Respuestas
𝟏 𝟏 𝟑 1 giro 2 3 giros
𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
𝟒 𝟐 𝟒 giros
α 90 0
180 0
270 0
360 0
7200 10800
(en grados)
α (en rad) 𝜋 π 3 2π 4π 6π
2 𝜋
2
Medida del 𝜋 π 3 2π 4π 6π
2 𝜋
arco 2
7) Hallar el perímetro de cada uno de los siguientes triángulos:
Respuestas
a)
𝑐 10 10
𝑐𝑜𝑠30° = 𝑎 = ⇒ 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠30° = 11,54𝑐𝑚
𝑎
𝑏
𝑠𝑒𝑛30° = 𝑎 ⇒ 𝑏 = 11,54. 𝑠𝑒𝑛30° = 5,77𝑐𝑚
𝑃 = 10𝑐𝑚 + 11,54𝑐𝑚 + 5,77𝑐𝑚 = 27,31𝑐𝑚
b)
𝐴̂ = 𝐶̂ ⟹ 𝑐 = 𝑎 ⇒ 𝑏 = 7𝑐𝑜𝑠50°20′ + 7𝑐𝑜𝑠50°20′
= 8,94𝑐𝑚
𝑃 = 7𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 8,94𝑐𝑚 = 22,94𝑐𝑚
c)
2 2
𝑠𝑒𝑛20° = 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛20° = 5,84𝑐𝑚
𝑎
̂ = 𝐶𝐴𝐵
𝐷𝐵𝐶 ̂ ⇒ 𝑠𝑒𝑛20° = ⇒𝑏
𝑏
𝑎 5,84
= =
𝑠𝑒𝑛20° 𝑠𝑒𝑛20°
= 17,1𝑐𝑚
𝑎 𝑎
𝑡𝑔20° = ⇒𝑐= = 16,01𝑐𝑚
𝑐 𝑡𝑔20°
𝑃 = 16,01𝑐𝑚 + 5,84𝑐𝑚 + 17,1𝑐𝑚 = 38,95𝑐𝑚
8) Obtener con la calculadora científica las seis razones trigonométricas para 𝛼 = 70° y
𝜋
𝛽 = 9 . Luego, comparar las razones de 𝛼 y 𝛽 y explicar las repeticiones en los
valores que obtuvieron.
Respuestas
𝜶 = 𝟕𝟎°
1
𝑠𝑒𝑛70° = 0,94 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐70° = 𝑠𝑒𝑛70° = 1,06
1
𝑐𝑜𝑠70° = 0,34 𝑠𝑒𝑐70° = 𝑐𝑜𝑠70°
1
𝑡𝑔70° = 2,75 𝑐𝑜𝑡𝑔70° = 𝑡𝑔 70° = 0,36
𝝅
𝜷=
𝟗
𝜋 𝜋 1
𝑠𝑒𝑛 9 = 0,34 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 9 = 𝜋 = 2,94
𝑠𝑒𝑛
9
𝜋 𝜋 1
𝑐𝑜𝑠 9 = 0,94 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 9 = 𝜋 = 1,06
𝑠𝑒𝑛
9
𝜋 𝜋 1
𝑡𝑔 9 = 0,36 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 9 = 𝜋 = 2,78
𝑠𝑒𝑛
9
La razón de que ciertos valores sean iguales es porque los ángulos en cuestión son
complementarios.
9) Observar la circunferencia trigonométrica y completar en los casos en que existan.
−𝜋
a) 𝑠𝑒𝑛 ( ) =
2
b) cos(4𝜋)=
c) 𝑡𝑔 (−5𝜋) =
d) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 0 =
e) sec 𝜋 =
f) 𝑐𝑜𝑡𝑔 (3𝜋) =
Respuestas
−𝜋
𝑎)𝑠𝑒𝑛( ) = −1 𝑑) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐0° = 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
2
𝑏) 𝑐𝑜𝑠4𝜋 = 1 e) sec 𝜋 = −1
𝑐) 𝑡𝑔(−5𝜋) = 0 𝑓) 𝑐𝑡𝑔 3𝜋 = 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
10) Dibujar un triángulo equilátero de 1 cm de lado, trazar una altura, aplicar el teorema
de Pitágoras y obtener los valores exactos de las seis razones trigonométricas del
ángulo de 60°.
Respuesta
1 2 1 √3
ℎ2 + ( ) = 12 ⇒ ℎ = √1 − =
2 4 2
√3 2 √3 2√3
𝑠𝑒𝑛60° = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐60° = =
2 √3 √3 3
1
𝑐𝑜𝑠60° = 𝑠𝑒𝑐60° = 2
2
1 √3
𝑡𝑔60° = √3 𝑡𝑔60° = =
√3 3
11) Hallar los lados y elementos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos.
Calcular el área de cada uno.
Respuestas
a) Como en la consigna se establece que es un triángulo rectàngulo, se
puede aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del
lado que falta:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 , reemplazando los datos:
252 = 152 + 𝑐 2 , despejando c, se tiene:
𝒄 = √252 − 152 = 𝟏𝟓 𝒎
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 15 𝑚 𝑥 15𝑚 15m
Á𝒓𝒆𝒂 = = = 𝟏𝟏𝟐, 𝟓𝒎𝟐
2 2
Para calcular los ángulos, se pueden plantear las razones trigonométricas:
15𝑚 15𝑚
𝑠𝑒𝑛 ∝= → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 = 𝟑𝟔°𝟓𝟐°𝟏𝟏, 𝟔𝟑°
25𝑚 25𝑚
El otro ángulo agudo mide igual ya que los catetos al ser de igual longitud indica que es
un triángulo isósceles. El tercer ángulo mide 90º por ser un triángulo rectángulo.
b) Al conocerse solamente la longitud de un lado y un ángulo, se

puede aplicar las razones trigonométricas:
125𝑚 125𝑚
tan 32 = →𝒃= = 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝒎
𝑏 tan 32
125𝑚 125𝑚
𝑠𝑒𝑛 32 = →𝒂= = 𝟐𝟑𝟓, 𝟖𝟖𝒎
𝑎 𝑠𝑒𝑛32
125𝑚𝑥200,04𝑚
Á𝒓𝒆𝒂 = 2
= 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟐, 𝟓𝒎𝟐
Al tratarse de un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90º, el otro ángulo mide 32º, por lo
tanto el tercer ángulo mide: 180- 90 -32=58º. (Por la propiedad de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual a dos rectos)
c)
Se aplican las razones trigonométricas para calcular los lados que
faltan:
𝑏
tan 40 = → 𝒃 = 68𝑚𝑥𝑡𝑎𝑛40 = 𝟓𝟕, 𝟎𝟓𝒎
68𝑚
68𝑚 68𝑚
cos 40 = →𝒂= = 𝟖𝟖, 𝟕𝟔𝒎
𝑎 cos 40
Los ángulos que faltan son: uno de 90º y el otro se calcula teniendo
en cuenta la propiedad antes enunciada: 180-90-40=50º.
68𝑚𝑥57,05𝑚
Á𝒓𝒆𝒂 = 2
= 𝟏𝟗𝟑𝟗, 𝟕𝒎𝟐
d)
𝑏
𝑠𝑒𝑛56 = → 𝒃 = 4,8𝑚. 𝑠𝑒𝑛56 = 𝟑, 𝟗𝟕𝒎
4,8𝑚
𝑐
cos 56 = → 𝒄 = 4,8𝑚. cos 56 = 𝟐, 𝟔𝟖𝒎
4,8𝑚
El ángulo que falta se calcula haciendo: 180-90-56=34º

3,97𝑚𝑥2,68𝑚
Á𝒓𝒆𝒂 = = 𝟓, 𝟑𝟏𝒎𝟐
2
750𝑚 750𝑚
e) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 1200𝑚 → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 tan 1200𝑚 = 𝟑𝟐°𝟎′𝟏𝟗, 𝟑𝟖′′
1200𝑚 1200𝑚
tan 𝛽 = → 𝜷 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 = 𝟓𝟕°𝟓𝟗´𝟒𝟎, 𝟔𝟐′′
750𝑚 750𝑚
La hipotenusa del triángulo rectángulo es posible calcularla de

dos formas diferentes: por el Teorema de Pitágoras o
utilizando alguna razón trigonométrica.
Por Pitágoras:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 → 𝒂 = √7502 + 12002 = 𝟏𝟒𝟏𝟓, 𝟎𝟗𝒎
Por razones trigonométricas:
′ 750𝑚 750𝑚
𝑠𝑒𝑛 32°0′ 19,38′ = →𝒂= = 𝟏𝟒𝟏𝟓, 𝟎𝟗𝒎
𝑎 𝑠𝑒𝑛 32°0′ 19,38′ ′
1200𝑚𝑥750𝑚
Á𝒓𝒆𝒂 = = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝟐
2
12) Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
Respuesta
𝑦
tan 30 = → 𝒚 = 10𝑚𝑥𝑡𝑎𝑛 30 = 𝟓, 𝟕𝟕𝒎
10𝑚
13)
Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el

procedimiento que utilizó Tales de Mileto
para hallar la altura de un pirámide de
Egipto: comparar su sombra con la de una
vara vertical cuya longitud es conocida.
La vara mide 124 cm, la sombra dela vara
mide 37 cm y la del árbol mide 258 cm
Respuesta
37𝑐𝑚 258𝑐𝑚 258𝑐𝑚𝑥124𝑐𝑚
= →𝒙= = 𝟖𝟔𝟒𝒄𝒎
124𝑐𝑚 𝑥 37𝑐𝑚
14) Si queremos que una cinta transportadora de 25 m

eleve la carga hasta una altura de 15m, ¿qué ángulo
se deberá inclinar la cinta?
Respuesta
15𝑚 15𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 = 𝟑𝟔°𝟓𝟐′ 𝟔𝟑′′
25𝑚 25𝑚
15) Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una

sombra de 66 cm y en ese momento un árbol da una
sombra de 2,3 m.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la
horizontal?
b) ¿Cuál es la altura del árbol?
Respuestas
a) El ángulo que forman los rayos del sol es el mismo tanto para una persona como para el
árbol. Utilizo el segundo triángulo para calcular el ángulo.
66𝑐𝑚 66𝑐𝑚
tan 𝛼 = → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 tan = 𝟐𝟎°𝟐𝟎′ 𝟕𝟔′′
178𝑐𝑚 178𝑐𝑚
b) Por lo expresado en el ítem anterior, el ángulo con vértice en A’ es 𝟐𝟎°𝟐𝟎′ 𝟕𝟔′′. Por lo
tanto para calcular la altura x del árbol se plantea la siguiente razón trigonométrica:
2,3𝑚 2,3𝑚
tan 20°20′ 76′′ = →𝒙= = 𝟔, 𝟏𝟗𝒎
𝑥 𝑡𝑎𝑛20°20′ 76′′
16) De la cima de un faro de 8 m de alto se divisa una lancha con un ángulo de

depresión de 8°. Calcular la distancia entre la lancha y el pie del faro.
Respuesta
x
8°
8𝑚 8
8m 8m 𝑡𝑔 8° = →𝑥= ≅ 57𝑚
𝑥 𝑡𝑔8°
x
17) Descompone las siguientes fuerzas en dos componentes en el eje x y en el eje y

a) b) c)
18) Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos (halla los lados y ángulos que faltan)
b)
a) c) d)
e) f) g)
h)
Respuestas
a) Por la propiedad que afirma: “La suma de los ángulos interiores de todo
triángulo es igual a dos rectos”, el cálculo del ángulo que falta sería:
𝜶 = 180° − 50° − 84° = 𝟒𝟔°
Para hallar los lados que faltan se puede plantear el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 46 𝑠𝑒𝑛 50 𝑠𝑒𝑛 50 𝑥300𝑚
= →𝒙= = 𝟑𝟏𝟗, 𝟒𝟕𝒎
300𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛46
𝑠𝑒𝑛 46 𝑠𝑒𝑛 84 𝑠𝑒𝑛 84 𝑥300𝑚

= →𝒚= = 𝟒𝟏𝟒, 𝟕𝟔𝒎
300𝑚 𝑦 𝑠𝑒𝑛 46
b) Para hallar el ángulo que falta:

𝛼 = 180° − 35° − 100° = 45°
Para hallar los lados que faltan se puede utilizar el Teorema del
Seno:
𝑠𝑒𝑛100 𝑠𝑒𝑛 35 𝑠𝑒𝑛35𝑥3,8𝑚
= →𝒙= = 𝟐, 𝟐𝟏𝒎
3,8𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛100
𝑠𝑒𝑛 100 𝑠𝑒𝑛45 𝑠𝑒𝑛45𝑥3,8𝑚
= →𝒚= = 𝟐, 𝟕𝟐𝒎
3,8𝑚 𝑦 𝑠𝑒𝑛 100
c) Como tenemos de dato dos lados y un ángulo que no es el comprendido entre los lados
dados, podemos utilizar el Teorema del Seno para hallar el lado que falta:
𝑠𝑒𝑛 74 𝑠𝑒𝑛 𝛼 6,8𝑐𝑚𝑥𝑠𝑒𝑛 74
= → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( )
12𝑐𝑚 6,8𝑐𝑚 12𝑐𝑚
= 𝟑𝟑°𝟎′ 𝟏𝟖, 𝟔𝟕′′
Para hallar el tercer ángulo se aplica la propiedad

anteriormente citada:
𝜷 = 180° − 74° − 33°0′ 18,67′′ = 𝟕𝟐°𝟓𝟗′ 𝟒𝟏, 𝟑𝟑′′

Una vez conocidos todos los ángulos podemos utilizar tanto el Teorema del Seno como el
Teorema del Coseno para hallar el lado que falta: Se utiliza el Teorema del Coseno:
̅ = √6,8𝑐𝑚2 + 12𝑐𝑚2 − 2.6,8𝑐𝑚. 12𝑐𝑚. cos 72°59′ 41,33′′ = 𝟏𝟏, 𝟗𝟑𝒄𝒎

𝑩
d) Para hallar el lado opuesto al ángulo de 114º, se utiliza el Teorema del Coseno:
̅ = √45𝑚2 + 60𝑚2 − 2.45𝑚. 60𝑚. cos 114° = 𝟖𝟒, 𝟒𝟑𝒎

𝑩
Para hallar los ángulos que faltan se puede utilizar tanto el Teorema del Seno como el Teorema
del Coseno, se utilizará el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 114° 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛114°𝑥45𝑚

= → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 𝟐𝟗°𝟖′ 𝟗𝟑′′
84,43𝑚 45𝑚 84,43𝑚
𝑠𝑒𝑛 114° 𝑠𝑒𝑛 𝜕 𝑠𝑒𝑛114°𝑥60𝑚
= → 𝝏 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 𝟒𝟎°𝟐𝟖′ 𝟓𝟓, 𝟐′′
84,43𝑚 60𝑚 84,43𝑚
e) Para hallar el ángulo comprendido entre dos lados de dato conocido se utiliza el
Teorema del Coseno:
4,7𝑚 = √4,3𝑚2 + 3,3𝑚2 − 2.4,3𝑚. 3,3𝑚. cos 𝛼 →

4,7𝑚2 −4,3𝑚2 −3,3𝑚2
Cos 𝛼 = −2.4,3𝑚.3,3𝑚
→
4,7𝑚 − 4,3𝑚2 − 3,3𝑚2
2
𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 cos( ) = 𝟕𝟓°𝟔′ 𝟓𝟓, 𝟖𝟕′′
−2.4,3𝑚. 3,3𝑚
4,3𝑚2 = 4,7𝑚2 + 3,3𝑚2 − 2.4,7𝑚. 3,3𝑚. cos 𝛽 →
4,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 3,3𝑚2

𝑐𝑜𝑠𝛽 = →
−2.4,7𝑚. 3,3𝑚
4,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 3,3𝑚2
𝜷 = 𝐴𝑟𝑐 cos( ) = 𝟔𝟐°𝟗′ 𝟗, 𝟒𝟑′′
−2.4,7𝑚. 3,3𝑚
3,3𝑚2 = 4,7𝑚2 + 4,3𝑚2 − 2.4,7𝑚. 4,3𝑚. cos 𝜕 →
3,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 4,3𝑚2

𝑐𝑜𝑠𝜕 = →
−2.4,7𝑚. 4,3𝑚
3,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 4,3𝑚2
𝝏 = 𝐴𝑟𝑐 cos( ) = 𝟒𝟐°𝟒𝟑′𝟓𝟒, 𝟕′′
−2.4,7𝑚. 4,3𝑚
Para verificar si el cálculo de los ángulos es correcto se puede hacer: 𝛼 + 𝛽 + 𝜕 = 180°

Efectivamente: 𝟕𝟓°𝟔′ 𝟓𝟓, 𝟖𝟕′′ + 𝟔𝟐°𝟗′ 𝟗, 𝟒𝟑′′ + 𝟒𝟐°𝟒𝟑′ 𝟓𝟒, 𝟕′′ = 𝟏𝟖𝟎°
f) Para calcular el ángulo que falta es posible utilizar la propiedad ya enunciada mas
arriba: 𝜶 = 180° − 76° − 52° = 𝟓𝟐°
Para calcular los lados que faltan es posible utilizar cualquiera de los
teoremas ya utilizados, se utilizara el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 76 𝑠𝑒𝑛 52 𝑠𝑒𝑛 52𝑥18𝑚
= →𝒙= = 𝟏𝟒, 𝟔𝟏𝒎
18𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 76
𝑠𝑒𝑛 76 𝑠𝑒𝑛 52 𝑠𝑒𝑛 52𝑥18𝑚
= →𝒚= = 𝟏𝟒, 𝟔𝟏𝒎
18𝑚 𝑦 𝑠𝑒𝑛 76
Por ser un triángulo isósceles (esto se deduce a partir de que dos ángulos son iguales),
ambos lados faltantes son iguales.
g) Para calcular los ángulos que faltan utilizaremos el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 61 𝑠𝑒𝑛 𝛼
= →
52𝑚 43𝑚
𝑠𝑒𝑛 61𝑥43𝑚
𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 𝟒𝟔°𝟏𝟗′ 𝟒𝟒′′
52𝑚
Para hallar el tercer ángulo se puede utilizar la propiedad ya
enunciada más arriba:
𝜷 = 180° − 61° − 46°19′ 44′′ = 𝟕𝟐°𝟒𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟓𝟔′′

Para hallar el tercer lado que falta se puede utilizar cualquiera de los Teoremas ya citados,
se utilizará el Teorema del Coseno:
̅ = √43𝑚2 + 52𝑚2 − 2.43𝑚. 52𝑚. cos 72°40′ 37,56′′ = 𝟓𝟔, 𝟕𝟓𝒎

𝑩
h) Para hallar los ángulos que faltan y al tener únicamente los datos de los lados del
triángulo, necesariamente hay que utilizar el Teorema del Coseno:
135𝑚2 = 103𝑚2 + 103𝑚2 − 2.103𝑚. 103𝑚. cos 𝛼

135𝑚2 − 103𝑚2 − 103𝑚2
𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 cos ( ) = 𝟖𝟏°𝟓𝟑′ 𝟎𝟑′′
−2.103𝑚. 103𝑚
103𝑚2 − 135𝑚2 − 103𝑚2

𝜷 = 𝑎𝑟𝑐 cos ( )
−2.135𝑚. 103𝑚
= 𝟒𝟗°𝟑′ 𝟏𝟔, 𝟒𝟖′′
Para hallar el tercer ángulo se puede utilizar la propiedad ya enunciada más arriba:
𝝏 = 180° − 81°53′ 03′′ − 49°3′ 16,48′′ = 𝟒𝟗°𝟑′ 𝟏𝟔, 𝟒𝟖′′

19) Calcula los elementos que faltan en los siguientes triángulos. Calcula además sus alturas y
el área de cada triángulo
a) b) c)
Respuestas
Para hallar el ángulo que falta se puede plantear:
𝜶 = 180° − 78° − 47° = 𝟓𝟓°
Para hallar los lados que faltan se puede plantear el Teorema

del Seno:
𝑠𝑒𝑛 78 𝑠𝑒𝑛 47 5𝑥𝑠𝑒𝑛 78

= →𝒙= = 𝟔, 𝟔𝟖
𝑥 5 𝑠𝑒𝑛 47
𝑠𝑒𝑛 47 𝑠𝑒𝑛 55 5𝑥𝑠𝑒𝑛55

= →𝒚= = 𝟓, 𝟔𝟎
5 𝑦 𝑠𝑒𝑛47
La altura señalada en rojo, corresponde al lado “y” calculado precedentemente, por lo tanto, se
puede calcular la misma mediante una razón trigonométrica ya que cada altura correspondiente
a un lado de un triángulo forma con éste un ángulo recto:
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑠𝑒𝑛 47 = → 𝑠𝑒𝑛 47 = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 6,68𝑥𝑠𝑒𝑛 47 = 𝟒, 𝟖𝟖
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 6,68
Entonces, el área del triángulo se puede plantear:
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑦 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 5,60 .4,88

Á𝒓𝒆𝒂 = = = = 𝟏𝟑, 𝟔𝟔
2 2 2
Las demás alturas se pueden calcular:
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒

𝑠𝑒𝑛 78 = → 𝑠𝑒𝑛 78 = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆 = 5𝑥𝑠𝑒𝑛 78 = 𝟐, 𝟒𝟒
5 5
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙

𝑠𝑒𝑛 55 = → 𝑠𝑒𝑛 55 = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒂𝒛𝒖𝒍 = 6,68𝑥𝑠𝑒𝑛 55 = 𝟓, 𝟒𝟕
6,68 6,68
Para hallar el tercer lado que falta se puede plantear el Teorema

del Coseno:
̅ = √4,22 + 2,72 − 2.4,2.2,7. cos 101° = 𝟓, 𝟒𝟎

𝒙
Para calcular los ángulos que faltan, se plantea el Teorema del

Seno:
𝑠𝑒𝑛 101 𝑠𝑒𝑛 𝛼 4,2 . 𝑠𝑒𝑛101

= → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 𝟒𝟗°𝟒𝟔′ 𝟐𝟏, 𝟓𝟑′′
5,40 4,2 5,40
𝑠𝑒𝑛 101 𝑠𝑒𝑛 𝛽 2,7. 𝑠𝑒𝑛 101

= → 𝜷 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 𝟐𝟗°𝟐𝟑′ 𝟑𝟖, 𝟔𝟓′′
5,40 2,7 5,40
La altura marcada en el gráfico en rojo, corresponde al lado X, calculado más arriba. Para calcular
la altura se puede plantear una razón trigonométrica, utilizando el ángulo 𝜷.
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎
𝑠𝑒𝑛49°46′ 21,53′′ = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒓𝒐𝒋𝒂 = 2,7. 𝑠𝑒𝑛 49°46′ 21,53′′ = 𝟐, 𝟎𝟔
2,7
Entonces para calcular el área, se plantea:
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑋 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎 5,40 𝑥 2,06

Á𝒓𝒆𝒂 = = = 𝟓, 𝟓𝟔
2 2
Para calcular las demás alturas, se pueden plantear las siguientes razones trigonométricas:
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑛 29°23′ 38,65′′ = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆 = 5,40. 𝑠𝑒𝑛 29°23′ 38,65′′ = 𝟐, 𝟔𝟓
𝑥
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙
𝑠𝑒𝑛 49°46′ 21,53′′ = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒂𝒛𝒖𝒍 = 5,40. 𝑠𝑒𝑛49°46′ 21,53′′ = 𝟒, 𝟏𝟐
𝑥
Para calcular los ángulos que faltan, se puede plantear el

Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 70 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2,9𝑥𝑠𝑒𝑛 70

= → 𝜶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( )
4,1 2,9 4,1
= 𝟒𝟏°𝟑𝟗′ 𝟐𝟐, 𝟔𝟔′′
Una vez conocidos dos ángulos se puede calcular el tercero

aplicando la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:
𝜷 = 180° − 70° − 41°39′ 22,66′′ = 𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′
El tercer lado que falta, se puede calcular con el Teorema del Seno o del Coseno. Se utilizará el
Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′ 𝑠𝑒𝑛 70 4,1 . 𝑠𝑒𝑛𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′

= →𝒙= = 𝟒, 𝟎𝟓
𝑥 4,1 𝑠𝑒𝑛 70
Para calcular el área del triángulo según la altura señalada en rojo, se debe calcular la misma
mediante una razón trigonométrica planteando:
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎
𝑠𝑒𝑛 70 = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒓𝒐𝒋𝒂 = 2,9 𝑥 𝑠𝑒𝑛 70 = 𝟐, 𝟕𝟐
2,9
Entonces el área del triángulo se calcula:
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 4,05 𝑥 2,72

Á𝒓𝒆𝒂 = = = 𝟓, 𝟓𝟎 "𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎"
2 2
Para calcular las demás alturas se pueden plantear las siguientes razones trigonométricas:
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑛 68°20′ 37,34′′ = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆 = 4,1 𝑥 𝑠𝑒𝑛 68°20′ 37,34′′ = 𝟑, 𝟖𝟏
4,1
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙
𝑠𝑒𝑛 68°20′ 37,34′′ = → 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒂𝒛𝒖𝒍 = 2,9 𝑥 𝑠𝑒𝑛 68°20′ 37,34′′ = 𝟐, 𝟔𝟗
2,9
20) Halla la altura de los dos cuerpos
Con los datos de la figura, es

posible comenzar a calcular
mediante razones
trigonométricas la longitud DC:
Respuesta
𝐷𝐶
𝑠𝑒𝑛 30 = → 𝑫𝑪 = 5𝑚. 𝑠𝑒𝑛 30 = 𝟐, 𝟓 𝒎
5𝑚
DC Coincide con la altura del cuerpo de menor tamaño.
Luego, también es posible calcular el lado DB:
𝐷𝐵
cos 30 = → 𝑫𝑩 = 5𝑚 𝑥 cos 30 = 𝟒, 𝟑𝟑 𝒎
5𝑚
Un vez que se tiene el lado DB, es posible calcular el lado AD:
𝐴𝐷
𝑡𝑎𝑛 45 = → 𝑨𝑫 = 4,33 𝑥 tan 45 = 𝟒, 𝟑𝟑 𝒎
𝐷𝐵
Como AC (que es la altura del cuerpo mayor) se puede escribir como AC= AD + DC,
entonces: AC= 4,33 m + 2,5 m = 9,33 m
21) ¿Cómo se puede hallar la altura del árbol? Se miden los ángulos con un teodolito de
geómetra, indicados en la figura y el
observador se halla a 7,8 m de la base
del árbol
Respuesta
Entre el observador y la porción del tronco

del árbol denominado AB, se puede observar
un triángulo rectángulo, entonces se puede
plantear la siguiente razón trigonométrica
para calcular AB:
𝐴𝐵
tan 13° = → 𝑨𝑩
7,8 𝑚
= 7,8𝑚 𝑥 tan 13°
= 𝟏, 𝟖𝟎𝒎
Para calcular BC, se puede plantear la siguiente razón trigonométrica:
𝐵𝐶
tan 27° = → 𝑩𝑪 = 7,8𝑚 𝑥 tan 27° = 𝟑, 𝟗𝟕𝒎
7,8𝑚
Como AC= AB + BC, y AC es la altura del árbol, se tiene que AC= 1,80m + 3,97m=5,77m
22) Sobre un peñasco situado en la ribera de

un río se encuentra una torre de 38 m de
altura. Desde lo alto de la torre, el ángulo
de depresión de un punto situado en la
orilla opuesta es 28°40' y desde la base
de la torre, el ángulo de depresión del
mismo punto es 18°20'. Calcule cuánto
mide el ancho del río y la altura del
peñasco.
Respuestas
El ángulo 𝛼 es complementario a 28º40’, entonces 𝛼 = 90° − 28°40′ = 61°20′

El ángulo 𝜋 = 28°40′ porque es alterno interno con el ángulo con vértice en A y está
señalado en el gráfico.
El ángulo con vértice en C, del triángulo ABC, se puede calcular:
𝐶 = 180° − (90° + 18°20′ ) − (61°20′ ) = 10°20′, por la propiedad de los ángulos
interiores de un triángulo.
Como del triángulo ABC se conocen los tres ángulos y un lado se pueden calcular los
lados restantes mediante el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 10°20′ 𝑠𝑒𝑛 61°20′ 38𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 61°20′
38𝑚
= 𝐶𝐵
→ 𝐶𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 10°20′
= 185,88𝑚
Al conocer la longitud de CB, es posible calcular la distancia de “x” e “y”.
𝛽 = 90° − 18°20′ = 71°40′ por ser ángulo complementario de 18º20’.
Entonces se pueden plantear las siguientes razones trigonométricas:
𝑦
𝑠𝑒𝑛 71°40′ = → 𝑦 = 185,88𝑚. 𝑠𝑒𝑛 71°40′ = 176,44𝑚
185,88𝑚
𝑥
𝑐𝑜𝑠71°40′ = → 𝑥 = 185,88𝑚. 𝑐𝑜𝑠71°40′ = 58,46𝑚
185,88
Respuesta: El ancho del río es de 176,44m y la altura del peñasco es de 58,46m
23) Un topógrafo usa un instrumento llamado teodolito

para medir el ángulo de elevación entre el nivel del
piso y la cumbre de una montaña. En un punto, se
mide un ángulo de elevación de 41°. Medio
kilómetro más lejos de la base de la montaña, el
ángulo de elevación medido es de 37°. ¿Qué altura
tiene la montaña?
Respuesta
En primer lugar, se debe calcular la distancia “z”:

ℎ ℎ
𝑠𝑒𝑛 41° = 𝑧 pero también podemos expresar: 𝑠𝑒𝑛 37° = 𝑧+0,5.
Se puede resolver con ambas expresiones un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, donde las incógnitas son “z” y “h”:
ℎ
𝑠𝑒𝑛 41° = 𝑧
{ ℎ Podemos resolver mediante el “método de sustitución”:
𝑠𝑒𝑛 37° = 𝑧+0,5
Si despejamos “h” de la primera ecuación se tiene:
𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41° = h (1)
Reemplazando en la segunda ecuación:
𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41°
𝑠𝑒𝑛 37° =
𝑧 + 0,5
Despejando “z”:
(𝑧 + 0,5). 𝑠𝑒𝑛 37° = 𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41° → 𝑧. 𝑠𝑒𝑛 37° + 0,5. 𝑠𝑒𝑛 37° = 𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41° →
𝑧. 𝑠𝑒𝑛 37° − 𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41° = −0,5. 𝑠𝑒𝑛 37° → 𝑧. (𝑠𝑒𝑛 37° − 𝑠𝑒𝑛 41°) = −0,5. 𝑠𝑒𝑛 37° →
−0,5. 𝑠𝑒𝑛 37°
𝑧= = 5,54 𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑛 37° − 𝑠𝑒𝑛 41°
Reemplazando el valor de “z” hallado en (1) se tiene:
ℎ = 𝑧. 𝑠𝑒𝑛 41° = 5,54. 𝑠𝑒𝑛 41 = 3,63 km
Respuesta: La altura “h” de la montaña es igual a 3,63 km.
24) Un observador en la cima de un montículo de 76 m

por encima de la superficie de un lago observa dos
botes directamente en línea. Calcular la distancia
entre los botes si los ángulos de depresión medidos
por el observador son 11° y 18° respectivamente.
Respuesta
La longitud de CD es igual a BD, es decir
CD=BD=76m
Del triángulo rectángulo CDB, se puede calcular la longitud de CB:
𝐵𝐷
𝑠𝑒𝑛 11° = → 𝑪𝑩 = 76𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 11° = 𝟏𝟒, 𝟓𝟎𝒎
𝐶𝐵
De la interpretación de los ángulos de depresión en el dibujo, se puede deducir que el

ángulo ACB mide 8º. También, el ángulo ACD (con vértice en C), mide 90º-18º=72º.
Se puede plantear el cálculo de DA:
𝐷𝐴
tan 72° = → 𝑫𝑨 = 76𝑚. tan 72° = 𝟐𝟑𝟑, 𝟗𝒎
76𝑚
En el triángulo BCD, se puede plantear la siguiente razón trigonométrica:
233,9 + 𝑥
tan 80° = → 76𝑚. tan 80° = 233,9 + 𝑥 →
76𝑚
𝒙 = 76𝑚. tan 80° − 233,9 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟏𝟏𝒎
Respuesta: La distancia entre los botes A y B, es de 197,11 m
25) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que

desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 30° y si nos
acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°. El
observador hace la medición a una altura
aproximada de 1,35 m
Respuesta
Según los datos del problema, 𝛼 = 30°, 𝛽 = 60°, 𝑡 = 1,35𝑚 𝑦 𝐴𝑃 = 10𝑚.

El ángulo suplementario de 𝛽, se puede calcular haciendo: 𝛽 ′ = 180° − 60° = 120°.
El tercer ángulo del triángulo APB se calcula haciendo: 180° − 30° − 120° = 30°
Por lo tanto, del triángulo APB, se conocen tres ángulos y un lado.
Se puede calcular el lado PB, utilizando el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 30 𝑠𝑒𝑛 30 10𝑚. 𝑠𝑒𝑛 30
= → 𝐵𝑃 = = 10𝑚
𝑃𝐵 10𝑚 𝑠𝑒𝑛 30
Ahora, del triángulo BPC, se conoce la hipotenusa BP y el ángulo 𝛽 = 60°, por lo tanto, se
puede plantear el cálculo de h’= h + t= h + 1,35:
ℎ+1,35
𝑠𝑒𝑛 60 = → 𝒉 =10m . sen 60 -1,35m = 7,31m
𝑃𝐵
Respuesta: La altura del árbol es igual a 7,31m + 1,35m = 8,66 m
26) Halla la altura de las Torres

Petronas, x y también las distancias y, z.
Respuesta:
La torre CD forma un ángulo recto con la

horizontal, por lo tanto, el ángulo con vértice en C, del triángulo ACD es: 180° − 90° −
60° = 30°.
El ángulo con vértice en C, del triángulo ACB es: 180° − 75° − 45° = 60°
La distancia “y” se puede calcular utilizando el Teorema del Seno en el Triángulo ABC:
𝑠𝑒𝑛 45 𝑠𝑒𝑛 60 678𝑚. 𝑠𝑒𝑛 45

= →𝒚= = 𝟓𝟓𝟑, 𝟓𝟖𝒎
𝑦 678𝑚 𝑠𝑒𝑛 60
Como “y” es la hipotenusa del triángulo rectángulo ADC, se puede plantear una razón
trigonométrica para calcular la altura CD de la torre:
𝐶𝐷
𝑠𝑒𝑛 60 = → 𝑪𝑫 = 553,78𝑚. 𝑠𝑒𝑛 60 = 𝟒𝟕𝟗, 𝟓𝟖𝒎
553,58𝑚
Por último, la distancia “z” se puede calcular utilizando el Teorema del Seno o del Coseno,
se utilizará, Teorema del Coseno:
𝒛 = √553,58𝑚2 + 678𝑚2 − 2.553,58𝑚. 678𝑚. cos 75 = 𝟕𝟓𝟔, 𝟐𝟎𝒎
Respuestas: La altura de la torre es x= 479,58m
La distancia y= 553,58m
La distancia z= 756,20 m
27) Halla la altura del árbol OR de pie, ubicado en un lugar

inaccesible y más bajo que el punto de observación, con
los datos de la figura
Respuesta
El ángulo 𝛼, es posible calcular por ser ángulo
suplementario a 48º.
Entonces: 𝛼 = 180° − 48° = 132°
Por la propiedad de la suma de los ángulos interiores
de un triángulo, el ángulo 𝛽 se calcula:
𝛽 = 180° − 30° − 132° = 18°
Conociendo los ángulos del triángulo PP’Q y un lado es posible mediante el Teorema del
Seno, calcular la longitud de los otros lados, en particular interesa calcular la longitud de
QP:
𝑠𝑒𝑛 30 𝑠𝑒𝑛 18 50 𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 30
= → 𝑸𝑷 = = 𝟖𝟎, 𝟗𝟎𝒎
𝑄𝑃 50 𝑚 𝑠𝑒𝑛 18
Se puede calcular la longitud QS, ya que conocemos el ángulo de 48º y el lado QP:
𝑄𝑆
𝑠𝑒𝑛 48° = → 𝑸𝑺 = 80,90𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 48 = 𝟔𝟎, 𝟏𝟐𝒎
80,90𝑚
Para calcular la longitud de SR, se debe calcular previamente la longitud del lado SP, se
puede hacer mediante una razón trigonométrica:
𝑆𝑃
cos 48 = 80,9𝑚 → 𝑺𝑷 = 80,90𝑚 𝑥 cos 48 = 𝟓𝟒, 𝟏𝟑𝒎
Entonces SR, se plantea:
𝑆𝑅
tan 20° = → 𝑺𝑹 = 54,13𝑚 𝑥 tan 20° = 𝟏𝟗, 𝟕𝟎 𝒎
54,13𝑚
Por último, como la longitud del árbol es: QR=SR + QS, se reemplaza y se tiene que
QR=19,70 m + 60,12m = 79,82m
Respuesta: La longitud del árbol es de 79,82 m
28) Calcula la altura de la siguiente torre

Respuesta
El ángulo 𝛼, es posible calcularlo porque es ángulo
suplementario de 22º+18º, entonces:
𝛼 = 180° − 22° − 18° = 140°
Luego, 𝛽 = 180° − 32° − 140° = 8°
Una vez conocidos dos ángulos y un lado de un triángulo
oblicuángulo se puede calcular los demás lados utilizando el Teorema del Seno. En este caso
interesa calcular la longitud del lado ST:
𝑠𝑒𝑛 32 𝑠𝑒𝑛 8 50𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 32
= → 𝑺𝑻 = = 𝟏𝟗𝟎, 𝟑𝟖 𝒎
𝑆𝑇 50 𝑚 𝑠𝑒𝑛 8
El triángulo SRT es rectángulo, por lo tanto es posible calcular la longitud SR, mediante una
razón trigonométrica:
𝑆𝑅
𝑠𝑒𝑛 (18 + 22) = → 𝑺𝑹 = 190,38 𝑥 𝑠𝑒𝑛 40 = 𝟏𝟐𝟐, 𝟑𝟕 𝒎
190,38𝑚
Respuesta: La altura de la torre es de 122,37 m
29) Para la construcción de un túnel dentro de una

montaña se tomaron las siguientes medidas desde un
punto C. determina la longitud de este túnel
Respuesta
Para calcular la longitud AB del túnel se puede utilizar
el Teorema del Coseno:
𝑨𝑩 = √3800𝑚2 + 2900𝑚2 − 2.3800.2900. cos 110
= 𝟓𝟓𝟏𝟐, 𝟓𝟒 𝒎
30) Un móvil recorre 150 Km en la dirección S75°0, luego

cambia su dirección al S60°E hasta un punto situado al Sur
de su punto de partida. Hallar la distancia desde su punto
de partida hasta su punto de llegada.
Respuesta:
El móvil comienza su recorrido en el punto A (dirección: 75º

Suoroeste) una distancia de 150km. En el Punto B cambia su
dirección al Sureste y luego vuelve a su punto de partida A.
El ángulo 𝛼, es igual a la primera orientación que toma el móvil por ser ángulo alterno interno
comprendido entre dos rectas paralelas cortadas por una secante. El ángulo 𝛽, se puede calcular
haciendo: 𝛽 = 90° − 75° = 15°porque se encuentra comprendido en el primer cuadrante del
sistema de ejes. El ángulo 𝛾, se puede calcular haciendo: 𝛾 = 180° − 75° − 60° − 15° = 30°.
El ángulo 𝜋, se puede calcular haciendo: 𝜋 = 180° − (15° + 30°) − 75° = 60°, por la
propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Entonces, del triángulo ABC, se conocen los tres ángulos y un lado, para calcular los lados que
faltan se puede utilizar el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 60 𝑠𝑒𝑛 45 150𝑘𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 45
= → 𝐴𝐶 = = 122,47𝑘𝑚
150𝑘𝑚 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛60
𝑠𝑒𝑛 60 𝑠𝑒𝑛 75 150𝑘𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛75
= → 𝐵𝐶 = = 167,30 𝑘𝑚
150𝑘𝑚 𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 60
Respuesta: El recorrido que realizó el móvil es: 150km+122,57km+167,30km=439,87km
31) Dos árboles de igual altura están separados

una distancia de 120 m. Desde un punto
situado en línea recta con ambos, se observa
el primero de ellos con un ángulo de elevación
de 70° y el segundo con un ángulo de 20° ¿Cuál
es la altura de ambos árboles? (se desprecia la
estatura del observador).
Respuesta:
Se pueden plantear las siguientes razones trigonométricas de los triángulos

rectángulos observados en el dibujo:
ℎ
𝑡𝑎𝑛 20 = (1)
{ 120𝑚 + 𝑥
ℎ
𝑡𝑎𝑛 70 = (2)
𝑥
Se puede resolver mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde
las incógnitas son “h” y “x”. Se utilizará el método de sustitución:
Se despeja de (2), “h”:
ℎ = 𝑥 . tan 70 (3)
Se reemplaza “h” en (1):
𝑥. tan 70
𝑡𝑎𝑛 20 =
120𝑚 + 𝑥
Se despeja “x” de la expresión anterior:
𝑥. tan 70
tan 20 = →
120𝑚 + 𝑥
(120 𝑚 + 𝑥). tan 20 = 𝑥. tan 70 → 120𝑚. tan 20 + 𝑥. tan 20 = 𝑥. tan 70 →
𝑥 . tan 20 − 𝑥. tan 70 = −120𝑚 tan 20 → 𝑥. (tan 20 − tan 70) = −120𝑚𝑡𝑎𝑛 20 →
−120𝑚𝑡𝑎𝑛 20
𝑥= = 18,32 𝑚
tan 20 − tan 70
Reemplazando el valor de “x” hallado en (3) se obtiene el valor de “h”:
ℎ = 𝑥 . tan 70 → ℎ = 18,32𝑚 . tan 70 = 50,34 𝑚
Respuesta: Los árboles miden 50,34 m
32) Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta

como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?
Respuesta
El ángulo interior del triángulo que falta es posible calcular
mediante la propiedad de la suma de los ángulos interiores
de un triángulo, entonces: 180º-45º-30º=105º
Se pueden calcular ahora las longitudes “x” e “y” del cable utilizando el Teorema del Seno:
𝑆𝑒𝑛 105 𝑠𝑒𝑛 45 20𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 45
= →𝒚= = 𝟏𝟒, 𝟔𝟒 𝒎
20𝑚 𝑦 𝑠𝑒𝑛 105
𝑠𝑒𝑛 105 𝑠𝑒𝑛 30 20 𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 30
= →𝒙= = 𝟏𝟎, 𝟑𝟓𝒎
20 𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 105
Para calcular la altura “h” del triángulo, se puede plantear la siguiente razón trigonométrica:
ℎ
𝑠𝑒𝑛 45 = 10,35𝑚 → 𝒉 = 10,35 𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 45 = 𝟕, 𝟑𝟏 𝒎
Respuesta: El mástil mide 7,31 m y el cable mide: 14,64m+10,64m= 24,99 m
33) Determina la distancia AB

Respuesta
a) Se puede calcular el ángulo 𝛼, mediante la
propiedad de los ángulos interiores de un
triángulo:
𝛼 = 180° − 32°36′ − 43°52′ = 103°32′

Se puede calcular mediante el Teorema del Seno, la
longitud del lado CO:
𝑠𝑒𝑛 103°32′ 𝑠𝑒𝑛 43°52′ 450 𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 43°52′.
= → 𝑪𝑶 = = 𝟑𝟐𝟎, 𝟕𝟒𝒎
450 𝑚 𝐶𝑂 𝑠𝑒𝑛 103°32′
Por la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo es posible calcular 𝛾:

𝛾 = 180° − 67°57′ − 68°11′ = 43°52′
𝛾 = 𝛽 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
Se puede calcular entonces mediante el Teorema del Seno el lado AC:

𝑠𝑒𝑛 67°57′ 𝑠𝑒𝑛(68°11′ − 32°36′ ) 320,74𝑚 𝑥𝑠𝑒𝑛 (68°11′ − 32°36′)
= → 𝑨𝑪 =
320,74𝑚 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 67°57′
= 𝟑𝟐𝟏, 𝟐𝟔𝒎
Se puede calcular la longitud del lado AO:
𝑠𝑒𝑛 (68°11′ − 32°36′ ) 𝑠𝑒𝑛43°52′ 321,26𝑚 𝑥𝑠𝑒𝑛(68°11′ − 32°36′)
= → 𝑨𝑶 =
𝐴𝑂 321,26𝑚 𝑠𝑒𝑛43°52′
= 𝟐𝟔𝟗, 𝟕𝟓𝒎
El ángulo 𝛼 es igual al ángulo 𝜋, por ser ángulos opuestos por el vértice. Entonces: 𝜋 =
103°32′.
Para calcular BD se puede plantear:

𝑠𝑒𝑛 32°36′ 𝑠𝑒𝑛 66°44′ 450𝑚 𝑥𝑠𝑒𝑛 32°36′

= → 𝑩𝑫 = = 𝟐𝟔𝟑, 𝟗𝟎𝒎
𝐵𝐷 450𝑚 𝑠𝑒𝑛 66°44′
El lado OB, se puede calcular teniendo en cuenta el triángulo DOB y utilizando el Teorema del
Seno:
𝑠𝑒𝑛 (80°40′ − 43°52′) 𝑠𝑒𝑛43°52′ 263,90𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 36°48′
= → 𝑶𝑩 = = 𝟐𝟐𝟖, 𝟏𝟏𝒎
𝑂𝐵 263,90𝑚 𝑠𝑒𝑛43°52′
Como CB= CO + OB, entonces CB= 𝟑𝟐𝟎, 𝟕𝟒𝒎 + 𝟐𝟐𝟖, 𝟏𝟏𝒎
Por último, se puede calcular el lado AB=x, teniendo en cuenta el triángulo CAB, mediante el
Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 35°35′ 𝑠𝑒𝑛43°52′ 321,26𝑚 𝑥𝑠𝑒𝑛 35°35′
= → 𝑨𝑩 = = 𝟐𝟔𝟗, 𝟕𝟓𝒎
𝐴𝐵 321,26𝑚 𝑠𝑒𝑛43°52′
Respuesta: El lado AB=x mide 𝟐𝟔𝟗, 𝟕𝟓𝒎
b) El ángulo 𝛾, es posible calcular mediante

la propiedad de los ángulos interiores de
un triángulo:
𝛾 = 180° − 44° − 46° = 90°
Como 𝛾 = 90°, el triángulo DOC es
rectángulo, por lo tanto sus lados pueden
calcularse mediante razones
trigonométricas:
𝐶𝑂
𝑠𝑒𝑛 46 = → 𝑪𝑶 = 400𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 46
400𝑚
= 𝟐𝟖𝟕, 𝟕𝟑𝒎
𝐷𝑂
cos 46 = → 𝑫𝑶 = 400𝑚 𝑥 cos 46 = 𝟐𝟕𝟕, 𝟖𝟔𝒎
400𝑚
Como 𝛾 = 90°, entonces 𝜋 = 90°, por ser suplementario. Entonces el triángulo AOC también
es rectángulo y se pueden calcular la longitud de sus lados mediante razones trigonométricas:
𝐴𝑂
tan(65° − 44°) = → 𝑨𝑶 = 287,73 𝑥𝑡𝑎𝑛 (65° − 44°) = 𝟏𝟏𝟎, 𝟒𝟒𝒎
287,73𝑚
287,73 287,73𝑚
cos 21° = → 𝑨𝑪 = = 𝟑𝟎𝟖, 𝟐𝟎𝒎
𝐴𝐶 cos 21°
Del triángulo BOD, 𝛽 = 90°, por ser opuesto por el vértice al ángulo 𝜋 = 90°.
Por lo tanto el lado OB del triángulo BOD, se puede calcular mediante la razón trigonométrica:
𝑂𝐵
tan(58° − 46°) = → 𝑶𝑩 = 277,86 𝑥 tan 12 = 𝟓𝟗, 𝟎𝟔 𝒎
277,86𝑚
Se conocen entonces los dos catetos del triángulo AOB: 𝑶𝑩 = 𝟓𝟗, 𝟎𝟔 𝒎 y 𝑨𝑶 = 𝟏𝟏𝟎, 𝟒𝟒𝒎
El triángulo AOB también es rectángulo porque tiene un ángulo recto
(𝛼 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝛾)
Por lo tanto el lado AB es posible calcularlo con el Teorema de Pitágoras:
𝑨𝑩 = √110,44𝑚2 + 59,06𝑚2 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟐𝟒𝒎
Respuesta: El lado AB mide 125,24m
34) Calcula la distancia CD
Respuesta:
El ángulo 𝛽 es posible calcular mediante la

propiedad de los ángulos interiores de un
triángulo:
𝛽 = 180° − 35° − 45° = 100°
Se puede comenzar a calcular los lados
del triángulo AOB, mediante el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 100 𝑆𝑒𝑛 45 700𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 45
= → 𝑶𝑩 = = 𝟓𝟎𝟐, 𝟔𝟏𝒎
700𝑚 𝑂𝐵 𝑠𝑒𝑛 100
𝑠𝑒𝑛 100 𝑠𝑒𝑛 35 700𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 35
= → 𝑶𝑨 = = 𝟒𝟎𝟕, 𝟔𝟗𝒎
700𝑚 𝑂𝐴 𝑠𝑒𝑛 100
Del triángulo ABC es posible calcular el ángulo con vértice en C, mediante la propiedad de los
ángulos interiores:
𝑪 = 180° − 35° − (45° + 20°) = 𝟖𝟎°
Mediante el Teorema del Seno se puede calcular la longitud del lado OC del triángulo AOC:
𝑠𝑒𝑛 80 𝑠𝑒𝑛 20 𝑠𝑒𝑛 20 𝑥 407,69
= → 𝑶𝑪 = = 𝟏𝟒𝟏, 𝟓𝟖𝒎
407,69𝑚 𝑂𝐶 𝑠𝑒𝑛 80
Del triángulo AOC es posible calcular el ángulo 𝛼, mediante la propiedad de los ángulos
interiores:
𝜶 = 180° − 20° − 80° = 𝟖𝟎°
𝜶 = 𝜸 = 𝟖𝟎° por ser opuestos por el vértice.
Entonces, del triángulo BOD el ángulo con vértice en D se calcula:
𝑫 = 180° − 40° − 80° = 𝟔𝟎°
Del triángulo BOD se puede calcular la longitud del lado OD mediante el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 40 𝑠𝑒𝑛 60 502,61 𝑥 𝑠𝑒𝑛 40
= → 𝑶𝑫 = = 𝟑𝟕𝟑, 𝟎𝟓𝒎
𝑂𝐷 502,61𝑚 𝑠𝑒𝑛 60
Ahora, del triángulo COD se conocen dos lados (OD y OC) y el ángulo comprendido entre ellos,
por lo tanto se puede calcular el lado CD mediante el Teorema del Coseno:
𝑪𝑫 = √373,05𝑚2 + 141,58𝑚2 − 2.373,05𝑚. 141,58𝑚. cos 100 = 𝟒𝟐𝟏, 𝟑𝟕𝒎
Respuesta: el lado CD mide 𝟒𝟐𝟏, 𝟑𝟕𝒎
Para calcular el ángulo 𝛼, se utiliza la propiedad de la suma

de ángulos interiores de un triángulo:
𝛼 = 180° − 63° − 38° = 79°
Es posible calcular el lado AO y BO del triángulo AOB,
mediante el Teorema del Seno:
= → 𝑨𝑶 = = 𝟑𝟏𝟑, 𝟓𝟗𝒎
500𝑚 𝐴𝑂 𝑠𝑒𝑛 79
= → 𝑩𝑶 = = 𝟒𝟓𝟑, 𝟖𝟒𝒎
500𝑚 𝐵𝑂 𝑠𝑒𝑛 79
Como 𝛼 y 𝛾 son ángulos suplementarios, se puede calcular:

𝜸 = 180° − 79° = 𝟏𝟎𝟏°
Entonces del triángulo CAO, el ángulo con vértice en C, se puede calcular:
𝐶 = 180° − 50° − 101° = 29°
Por lo tanto, se puede calcular mediante el Teorema del Seno la longitud de los lados AC y
CO:
𝑠𝑒𝑛 101 𝑠𝑒𝑛 29 𝑠𝑒𝑛 101 𝑥 313,59
= → 𝑨𝑪 = = 𝟔𝟑𝟒, 𝟗𝟒𝒎
𝐴𝐶 313,59𝑚 𝑠𝑒𝑛 29
𝑠𝑒𝑛 50 𝑠𝑒𝑛 29 𝑠𝑒𝑛 50 𝑥 313,59
= → 𝑪𝑶 = = 𝟒𝟗𝟓, 𝟓𝟎𝒎
𝐶𝑂 313,59𝑚 𝑠𝑒𝑛 29
Como 𝜸 es opuesto por el vértice con 𝛽, entonces 𝜷=𝜸 = 𝟏𝟎𝟏°
Por lo tanto del triángulo BOD, el ángulo con vértice en D se calcula:
𝑫 = 180° − 57° − 101° = 𝟐𝟐°
Del triángulo BOD se puede calcular el lado OD mediante el Teorema del Seno:
𝑠𝑒𝑛 57 𝑠𝑒𝑛 22 𝑠𝑒𝑛 57 𝑥 453,84𝑚
= → 𝑶𝑫 = = 𝟏𝟎𝟏𝟔, 𝟎𝟓𝒎
𝑂𝐷 453,84𝑚 𝑠𝑒𝑛 22
Como 𝛼 = 𝜋 = 79° por ser opuesto por el vértice, se puede calcular el lado CD mediante
el Teorema del coseno:
𝑪𝑫 = √495,5𝑚2 + 1016,05𝑚2 − 2.495,5𝑚. 1016,05𝑚. cos 79 = 𝟏𝟎𝟒𝟏, 𝟗𝟗𝒎
Respuesta: El lado CD mide 1041,99m

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Ingeniería Forestal - Ingeniería en Industrias de la Madera –

Ingeniería Agronómica- Tecnicatura Universitaria en

REMEDIAL DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº8

3) Expresar en radianes los ángulos mencionados en el ejercicio 1).

5) Expresar simbólicamente, en grados y en radianes:

7) Hallar el perímetro de cada uno de los siguientes triángulos:

𝑃 = 10𝑐𝑚 + 11,54𝑐𝑚 + 5,77𝑐𝑚 = 27,31𝑐𝑚

b) Al conocerse solamente la longitud de un lado y un ángulo, se

El ángulo que falta se calcula haciendo: 180-90-56=34º

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17) Descompone las siguientes fuerzas en dos componentes en el eje x y en el eje y

𝑠𝑒𝑛 46 𝑠𝑒𝑛 84 𝑠𝑒𝑛 84 𝑥300𝑚

b) Para hallar el ángulo que falta:

Para hallar el tercer ángulo se aplica la propiedad

𝜷 = 180° − 74° − 33°0′ 18,67′′ = 𝟕𝟐°𝟓𝟗′ 𝟒𝟏, 𝟑𝟑′′

̅ = √6,8𝑐𝑚2 + 12𝑐𝑚2 − 2.6,8𝑐𝑚. 12𝑐𝑚. cos 72°59′ 41,33′′ = 𝟏𝟏, 𝟗𝟑𝒄𝒎

̅ = √45𝑚2 + 60𝑚2 − 2.45𝑚. 60𝑚. cos 114° = 𝟖𝟒, 𝟒𝟑𝒎

𝑠𝑒𝑛 114° 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛114°𝑥45𝑚

4,7𝑚 = √4,3𝑚2 + 3,3𝑚2 − 2.4,3𝑚. 3,3𝑚. cos 𝛼 →

4,3𝑚2 = 4,7𝑚2 + 3,3𝑚2 − 2.4,7𝑚. 3,3𝑚. cos 𝛽 →

4,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 3,3𝑚2

3,3𝑚2 = 4,7𝑚2 + 4,3𝑚2 − 2.4,7𝑚. 4,3𝑚. cos 𝜕 →

3,3𝑚2 − 4,7𝑚2 − 4,3𝑚2

Para verificar si el cálculo de los ángulos es correcto se puede hacer: 𝛼 + 𝛽 + 𝜕 = 180°

𝜷 = 180° − 61° − 46°19′ 44′′ = 𝟕𝟐°𝟒𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟓𝟔′′

̅ = √43𝑚2 + 52𝑚2 − 2.43𝑚. 52𝑚. cos 72°40′ 37,56′′ = 𝟓𝟔, 𝟕𝟓𝒎

135𝑚2 = 103𝑚2 + 103𝑚2 − 2.103𝑚. 103𝑚. cos 𝛼

103𝑚2 − 135𝑚2 − 103𝑚2

𝝏 = 180° − 81°53′ 03′′ − 49°3′ 16,48′′ = 𝟒𝟗°𝟑′ 𝟏𝟔, 𝟒𝟖′′

Para hallar el ángulo que falta se puede plantear:

𝜶 = 180° − 78° − 47° = 𝟓𝟓°

Para hallar los lados que faltan se puede plantear el Teorema

𝑠𝑒𝑛 78 𝑠𝑒𝑛 47 5𝑥𝑠𝑒𝑛 78

𝑠𝑒𝑛 47 𝑠𝑒𝑛 55 5𝑥𝑠𝑒𝑛55

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Entonces, el área del triángulo se puede plantear:

𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑦 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 5,60 .4,88

Las demás alturas se pueden calcular:

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙

Para hallar el tercer lado que falta se puede plantear el Teorema

̅ = √4,22 + 2,72 − 2.4,2.2,7. cos 101° = 𝟓, 𝟒𝟎

Para calcular los ángulos que faltan, se plantea el Teorema del

𝑠𝑒𝑛 101 𝑠𝑒𝑛 𝛼 4,2 . 𝑠𝑒𝑛101

𝑠𝑒𝑛 101 𝑠𝑒𝑛 𝛽 2,7. 𝑠𝑒𝑛 101

Entonces para calcular el área, se plantea:

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑋 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎 5,40 𝑥 2,06

Para calcular los ángulos que faltan, se puede plantear el

𝑠𝑒𝑛 70 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2,9𝑥𝑠𝑒𝑛 70

Una vez conocidos dos ángulos se puede calcular el tercero

𝜷 = 180° − 70° − 41°39′ 22,66′′ = 𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′

𝑠𝑒𝑛𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′ 𝑠𝑒𝑛 70 4,1 . 𝑠𝑒𝑛𝟔𝟖°𝟐𝟎′ 𝟑𝟕, 𝟑𝟒′′

Entonces el área del triángulo se calcula:

𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 4,05 𝑥 2,72