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Unidad Vi Tema 1 Comparación de Proporciones
Unidad Vi Tema 1 Comparación de Proporciones
Unidad Vi Tema 1 Comparación de Proporciones
Ejemplo 1.1.
Ejemplo 1.2
Ejemplo 1.3
Número de Número de
Región entrevistados que están entrevistados que están Total
a favor del plan en contra del plan
A 75 40 115
B 66 31 97
Η inv : ρ1 ≠ ρ 2
∧ ∧
Por otra parte, sabemos que tanto ρ 1 como ρ 2 están sujetas a una
variación muestral *. Por ello, aun en el caso de que las proporciones
poblacionales sean iguales, es decir, que Η 0 sea cierta no es de esperarse
∧ ∧
que las proporciones muestrales ρ 1 y ρ 2 , que se obtienen al tomar una
muestra de cada población, también sean iguales. Necesitamos, pues, un
∧ ∧
estadístico de prueba que nos indique si la diferencia entre ρ 1 y ρ 2 puede
ser considerada lo suficiente “grande” como para rechazar Η 0 .
*
Ver el tema 4 de Unidad IV.
Recordemos ahora que en el último tema de la unidad anterior, cuando
queríamos encontrar un estadístico de prueba para la hipótesis nula
Η 0 : ρ = ρ 0 , utilizamos nuestro conocimiento de la distribución muestral de
∧
ρ , el estimador del parámetro bajo prueba. Así, como sabíamos que, si n es
∧
ρ −ρ
grande, la distribución de es la normal estándar, pudimos saber
ρ (1 − ρ ) / n
∧
ρ − ρ0
que la distribución de también es la normal estándar bajo el
ρ 0 (1 − ρ 0 ) / n
supuesto de que Η 0 es cierta, por lo que usamos esta última expresión como
estadístico de prueba.
∧ ∧
n1 ρ 1 > 5 , n1 (1 − ρ 1 ) > 5
∧ ∧
n2 ρ 2 > 5 y n2 (1 − ρ 2 ) > 5
∧
66 ∧
31
n2 ρ 2 = 97 = 66 > 5 y n2 (1 − ρ 2 ) = 97 = 31 > 5
97 97
∧ ∧ ∧
Es claro que ρ , como ρ 1 y ρ 2 , esta sujeta a una variación muestral.
∧ ∧
ρ1− ρ 2
Además se puede saber que, si Η 0 es verdadera, tiene
∧ ∧ ∧ ∧
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ )
+
n1 n2
una distribución normal estándar. Este será nuestro estadístico de prueba, y
denotaremos con z c el valor de toma con las muestras obtenidas. Entonces:
∧ ∧
ρ1 − ρ 2
zc =
∧ ∧ ∧ ∧
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ )
+
n1 n2
*
Hemos usado el símbolo ( z c ) para denotar a los dos, pero no deben confundirse.
1) Planteamiento de la hipótesis
La hipótesis de investigación del promotor es que hay una diferencia entre la
proporción poblacional de habitantes a favor del plan en la región A y la
proporción de habitantes a favor del plan en la región B. Entonces, si
llamamos ρ1 , a la proporción de habitantes a favor en la región A y ρ 2 a la
proporción de habitantes a favor en la región B, tenemos
Η inv : ρ1 ≠ ρ 2
Η 0 : ρ1 − ρ 2 = 0
Η1 : ρ1 − ρ 2 ≠ 0
∧ ∧
ρ1 − ρ 2
zc =
∧ ∧ ∧ ∧
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ )
+
n1 n2
∧
Donde ρ , la estimación mancomunada de la proporción poblacional es:
∧ ∧
n ρ +n ρ
ρ= 1 1 2 2
n1 + n 2
La distribución de este estadístico es la normal estándar, bajo el supuesto de
que Η 0 es verdadera.
La condición para usar este estadístico de prueba es que n1 y n2 sean
grandes. Esto se cumple en este caso, puesto que, como lo vimos
anteriormente, tenemos que
∧ ∧
n1 ρ 1 > 5 , n1 (1 − ρ )1 > 5
∧ ∧
n2 ρ 2 > 5 y n2 (1 − ρ ) 2 > 5
3) Regla de decisión
Utilicemos α = .05 en esta prueba. Como la hipótesis alternativa es
Η 1 : ρ1 − ρ 2 ≠ 0 , tendremos α en dos colas. El valor en la tabla de la
distribución normal estándar con α = .05 en dos colas es z = 1.96 .
A partir de este valor se definen las regiones de rechazo y no rechazo de
Η 0 , como sigue (ver la figura 1.1):
α = .05
Z
-1.96 0 1.96
Fig. 1.1
4) Cálculos
∧ 75 ∧ 66
Como n1 = 115 , ρ 1 = , n2 = 97 y ρ 2 = , tenemos:
115 97
∧ ∧
n ρ +n ρ 75 + 66 141
ρ= 1 1 2 2 = = = .665
n1 + n2 115 + 97 212
∧ 75 ∧ 66
además, ρ 1 = = .6522 y ρ 2 = = .6804 , por lo que tenemos:
115 97
∧ ∧
ρ1 − ρ 2 .6522 − .6804 − .0282
zc = = = = −.4351
∧ ∧ ∧ ∧
.665(1 − .665) .665(1 − .665) .0019 + .0023
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ ) +
+ 115 97
n1 n2
5) Decisión estadística
Η 0 : ρ1 − ρ 2 = 0 Η 0 : ρ1 − ρ 2 ≤ 0 Η 0 : ρ1 − ρ 2 ≥ 0
∧ ∧
ρ1 − ρ 2
zc =
∧ ∧ ∧ ∧
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ )
+
n1 n2
donde
∧ ∧
n ρ +n ρ
ρ= 1 1 2 2
n1 + n 2
Ejemplo 1.4
Η inv : ρ1 > ρ 2 ,
que se puede expresar como
Η inv : ρ1 − ρ 2 > 0
Η 0 : ρ1 − ρ 2 ≤ 0
Η1 : ρ1 − ρ 2 > 0
2) Estadístico de prueba y condiciones para su uso
∧ ∧ ∧ ∧
ρ1 − ρ 2 n ρ +n ρ
zc = donde ρ= 1 1 2 2
∧ ∧ ∧ ∧ n1 + n 2
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ )
+
n1 n2
3) Regla de decisión
α = .05
Z
0 1.645
Fig. 1.2
4) Cálculos
∧ ∧
n ρ +n ρ (80)(.725) + (102) + (.588)
ρ= 1 1 2 2 = = .648
n1 + n2 80 + 102
y entonces
∧ ∧
ρ1 − ρ 2 .725 − .588 .137
zc = = zc = zc = = .1921
∧ ∧ ∧ ∧
(.648)(1 − .648) (.648)(1 − .648) .228 .228
ρ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ ) + +
+ 80 102 80 102
n1 n2
5) Decisión estadística