Mathematics">
Clase 4 - Guía Teórica
Clase 4 - Guía Teórica
Clase 4 - Guía Teórica
1. Determinantes
Históricamente, los determinantes anteceden a las matrices, lo que
resulta curioso a la luz de la manera en que el álgebra lineal se enseña
en la actualidad, con las matrices antes que los determinantes.
𝑎11 𝑎12
Sea 𝐴 = ቂ𝑎 𝑎22 ቃ ∈ 𝑀2𝑥2 , el determinante de A es el escalar:
21
det(𝐴) = ȁ𝐴ȁ = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
det(𝐴) = 𝑎11 det(𝐴11 ) − 𝑎12 𝑑𝑒𝑡(𝐴12 ) + 𝑎13 𝑑𝑒𝑡(𝐴13 ) = ∑(−1)1+𝑗 𝑎1𝑗 det(𝐴1𝑗 )
𝑗=1
1
Ingeniería en Informática
¡Observemos!
Veamos un ejemplo
1 0 1
i. Calcular el determinante de la matriz 𝐴 = 2 1 −1൩
0 1 3
Si se calcula eligiendo la primer fila:
𝑎11 = 1 y la submatriz que se obtiene al eliminar la primer fila y
1 −1
la primer columna es 𝐴11 = ቂ ቃ
1 3
𝑎12 = 0 y la submatriz que se obtiene al eliminar la primer fila y
2 −1
la segunda columna es 𝐴12 = ቂ ቃ
0 3
2
Ingeniería en Informática
¡Observemos!
Dado que el determinante se puede calcular por cualquier fila (y, en realidad
también, por cualquier columna), conviene elegir la que tenga más ceros ya
que facilita los cálculos.
3
Ingeniería en Informática
¡Observemos!
𝑎 𝑏
Si 𝐴 = ቂ ቃ ∈ 𝑀2𝑥2 es tal que det(𝐴) ≠ 0, entonces
𝑐 𝑑
1 𝑑 −𝑏
𝐴−1 = ቂ ቃ
det(𝐴) −𝑐 𝑎
4
Ingeniería en Informática
1 2 𝑥1 1𝑥 + 2𝑥2 1𝑥 + 2𝑥2 𝑏
Al hacer 𝐴𝐱 = ቂ ቃ ቂ𝑥 ቃ = [ 1 ] y si [ 1 ] = [ 1 ] resulta que
3 −1 2 3𝑥1 − 1𝑥2 3𝑥1 − 1𝑥2 𝑏2
1𝑥1 + 2𝑥2 = 𝑏1
El sistema de ecuaciones lineales { se puede ver como
3𝑥1 − 1𝑥2 = 𝑏2
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0
ii. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales {
2𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 = 4
a. Escribirlo como una ecuación matricial de la forma 𝐴𝐱 = 𝑏.
𝑥1
1 −2 3 𝑥 0
ቂ ቃ 2൩ = ቂ ቃ
2 1 −5 𝑥 4
3
b. Resolver el sistema
1 −2 3 ȁ 0
( )
2 1 −5 ȁ 4
1 −2 3 ȁ 0
(−2)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 ( )
0 5 −11 ȁ 4
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0 4 11
{ 𝑥2 = 5 + 𝑥3
5𝑥2 − 11𝑥3 = 4 5
4 11 8 22 8 7
𝑥1 = 2𝑥2 − 3𝑥3 = 2 (5 + 𝑥3 ) − 3𝑥3 = 5 + 𝑥3 − 3𝑥3 = 5 + 5 𝑥3
5 5
8 7
+5𝑡
5
𝑆= {[4 + 5 𝑡] , 𝑡 ∈ ℝ}
11 S.C.I.
5
𝑡
5
Ingeniería en Informática
iii. Una fábrica elabora tres productos (x, y, z) y los envía a dos
depósitos para su almacenamiento. El número de unidades de cada
producto enviado a cada depósito está dado por la matriz
200 75
𝐴 = 150 100൩
100 125
(donde a i j es el número de unidades del producto i enviado al
depósito j y los productos se toman en orden alfabético). El costo
del envío de una unidad de cada producto por camión es de $1,50
para el producto x, $1,00 para el producto y, $2,00 para el producto
z. Los correspondientes costos por unidad en el envío por
ferrocarril son $1,75, $1,50 y $1,00, respectivamente. Organice estos
costos en una matriz B y después utilice la multiplicación de
matrices para mostrar como la fábrica puede comparar el costo del
envío de sus productos a cada uno de los dos depósitos por camión
o por ferrocarril.
200 75 → 𝑥
𝐴 = 150 100൩ → 𝑦
100 125 → 𝑧
↑ ↑
dep. 1 dep. 2
1,50 1,00 2,00 → camión
𝐵=[ ]
1,75 1,50 1,00 → ferrocarril
↓ ↓ ↓
𝑥 𝑦 𝑧
6
Ingeniería en Informática
200 75
1,50 1,00 2,00 650 462,50
𝐵. 𝐴 = [ ] 150 100൩ = [ ]
1,75 1,50 1,00 675 406,25
100 125
$650: representa el costo de envío por camión al dep. 1
$675: representa el costo de envío por ferrocarril al dep. 1
$462.50: representa el costo de envío por camión a l dep. 2
$406.25: representa el costo de envío por ferrocarril al dep. 2
𝑘𝑥 + 𝑦 = 0
a. {
−𝑥 + 𝑘𝑦 = 3
Analizando el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de
ecuaciones, se observa:
𝑘 1
𝐴=ቂ ቃ det(𝐴) = 𝑘 2 + 1 ≠ 0 ∀𝑘 ∈ ℝ
−1 𝑘
A es invertible ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴𝐱 = 𝑏 tiene una solución única
7
Ingeniería en Informática
𝑘𝑥 + 𝑦 = 0
b. {
−𝑥 + 𝑘𝑦 = 0
Analizando el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de
ecuaciones, se observa:
𝑘 1
𝐴=ቂ ቃ det(𝐴) = 𝑘 2 + 1 ≠ 0 ∀𝑘 ∈ ℝ
−1 𝑘
A es invertible ∀𝑘 ∈ ℝ 𝐴𝐱 = 0 tiene solamente l a solución
0
trivial 𝑆 = {ቂ ቃ} ∀𝑘 ∈ ℝ S.C.D
0
𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 = 𝑘
c. {
4𝑥 + 𝑘𝑦 = 8
Analizando el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de
ecuaciones, se observa:
𝑘 𝑘
𝐴=ቂ ቃ det(𝐴) = 𝑘 2 − 4𝑘 = 𝑘(𝑘 − 4)
4 𝑘
det(𝐴) = 0 ↔ 𝑘(𝑘 − 4) = 0 ↔ 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 4
Si 𝑘 ≠ 0 ∧ 𝑘 ≠ 4 → det(𝐴) ≠ 0 → A es invertible S.C.D
0𝑥 + 0𝑦 = 0
Si 𝑘 = 0 { 4𝑥 = 8 𝑥 = 2, 𝑦 ∈ ℝ
4𝑥 + 0𝑦 = 8
2
𝑆 = {[ ] , 𝑦 ∈ ℝ} S.C.I.
𝑦
4𝑥 + 4𝑦 = 4
Si 𝑘 = 4 { Abs! S.I.
4𝑥 + 4𝑦 = 8
8
Ingeniería en Informática
Veamos un ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio de la Regla de Cramer,
cuando sea factible aplicarla:
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8
a. { 4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 7 }
6𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 15
Primero de debe calcular el determinante de la matriz de los coeficientes (A)
2 −1 1
𝐴 = 4 3 1൩
6 2 2
3𝑥 − 4𝑦 = −5
b. {
2𝑥 + 𝑦 = 4
Primero de debe calcular el determinante de la matriz de los coeficientes (A)
9
Ingeniería en Informática
3 −4
𝐴=ቂ ቃ det(𝐴) = 3.1 − (−4). 2 = 3 + 8 = 11 ≠ 0
2 1
Como el det(𝐴) ≠ 0 se puede aplicar la Regla de Cramer. Para ello se calculan los
−5 −4 3 −5
determinantes de 𝐴1 = ቂ ቃ y de 𝐴2 = ቂ ቃ
4 1 2 4
det(𝐴1 ) = (−5). 1 − (−4). 4 = −5 + 16 = 11
det(𝐴2 ) = 3.4 − (−5). 2 = 12 + 10 = 22
det(𝐴1 ) 11 det(𝐴2 ) 22
𝑥= = 11 = 1 𝑦= = 11 = 2
det(𝐴) det(𝐴)
1
Por lo tanto la única solución de este sistema es 𝑆 = {ቂ ቃ}.
2
10