DISEÑO DE CUADRADO GEOCOLATINO

Asignatura:
▪ Metodos De Experimentación Ambiental
Estudiantes:
▪ Campos Saldaña, Euler
▪ Salazar Aguirre Cristian
▪ Pando Prado Luis
▪ Alcantara Rojas Eder
Docente:
▪ Ing. Delgado Perez Jamer Moises
Ciclo:

▪ VI

ENERO DEL 2023

INDICE

I. RESUMEN......................................................................................................................... 3

II. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 4

III. OBJETIVOS .................................................................................................................. 4

3.1 OBJETIVO GENERAL ............................................................................................ 4

3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS ................................................................................... 4

IV. MARCO TEORICO ..................................................................................................... 5

4.2. DISEÑO DE EXPERIMENTOS EN CUADRADO GRECOLATINO................ 5

4.3. HISTORIA ................................................................................................................. 7

4.4. CUADRADOS LATINOS......................................................................................... 8

4.5. CONJETURA DE EULER ....................................................................................... 9

4.6. CONTRAEJEMPLOS A LA CONJETURA DE EULER ..................................... 9

V. CONCLUSIONES ....................................................................................................... 11

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 12

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 2

 I. RESUMEN

El diseño de cuadrado grecolatino se caracteriza porque utiliza dos variables de bloque si tiene

dos variables independientes (diseño factorial) y tres variables de bloqueo si sólo tiene una

variable independiente (diseño unifactorial) ya que es imprescindible en este diseño que el

número total de variables entre variables independientes y bloqueadas sea 4.

Se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos y letras griegas para nombrar a los

niveles del tercer factor de bloque. Al igual que en el cuadro latino, cada letra (latinas y

griegas) debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna.

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 3

 II. INTRODUCCIÓN

El modelo en cuadrado greco-latino se puede considerar como una extensión del cuadrado

latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque. En este

modelo, como en el diseño en cuadrado latino, todos los factores deben tener el mismo

número de niveles K y el número de observaciones necesarias sigue siendo K2. Este diseño

es, por tanto, una fracción del diseño completo en bloques aleatorizados con un factor

principal y 3 factores secundarios que requeriría K4 observaciones. Los cuadrados greco-

latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos del mismo orden y ortogonales

entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro con letras griegas. Dos cuadrados

reciben el nombre de ortogonales si, al superponerlos, cada letra latina y griega aparecen

juntas una sola vez en el cuadrado resultante.

III. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Investigar y conocer sobre el diseño de cuadrado grecolatino y sus aplicaciones

3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer sus características del diseño de cuadrado grecolatino

Ver que beneficios nos brinda este diseño.

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 4

IV. MARCO TEORICO

4.1.Descripción del modelo

Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar dos fuentes de

variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor principal tiene que coincidir

con el número de niveles de las dos variables de bloque o factores secundarios y además hay

que suponer que no existe interacción entre ninguna pareja de factores. Supongamos que el

número de niveles de cada uno de los factores es K. El diseño en cuadrado latino utiliza K2

bloques, cada uno de estos bloques corresponde a una de las posibles combinaciones de

niveles de los dos factores de control. En cada bloque se aplica un solo tratamiento de manera

que cada tratamiento debe aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de control.

Si consideramos una tabla de doble entrada donde las filas y las columnas representan cada

uno de los dos factores de bloque y las celdillas los niveles del factor principal o tratamientos,

el requerimiento anterior supone que cada tratamiento debe aparecer una vez y sólo una en

cada fila y en cada columna.

4.2.DISEÑO DE EXPERIMENTOS EN CUADRADO GRECOLATINO

Constituye una extensión del cuadrado latino. En este caso se eliminan tres fuentes extrañas de

variabilidad, es decir, se controlan tres factores de bloques y un factor de tratamiento. Se trata

de un diseño basado en una matriz de “n” letras latinas y “n” letras griegas, de forma que cada

letra latina aparece solo una vez al lado de cada letra griega. Lo interesante de este diseño es

que se permite la investigación de cuatro factores (filas, columnas, letras latinas y letras

griegas), cada una con “n” niveles en solo “n2” corridas.

Se llama cuadrado grecolatino porque los cuatro factores involucrados se prueban en la misma

cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir como un cuadro. En la Figura 1 se presenta

el aspecto de los datos del diseño de orden cuatro. El inconveniente de este modelo es que su

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 5

 utilización es muy restrictiva. El análisis de la varianza permite comprobar las hipótesis de

igualdad de letras latinas (tratamientos), de las filas, de las columnas y de las letras griegas.

Si a un cuadrado latino p x p se le superpone un segundo cuadrado latino n x n en el que los

tratamientos se denotan con letras griegas, entonces los dos cuadrados tienen la propiedad de

que cada letra griega aparece una y sólo una vez con cada letra latina. Este diseño permite

controlar sistemáticamente tres fuentes de variabilidad extraña. Ello permite la investigación

de cuatro factores (filas, columnas, letras latinas y letras griegas), cada una con p niveles en

sólo n2 ensayos.

En un diseño en cuadrado greco-latino la variable respuesta yij(hp) viene descrita por la

siguiente ecuación:

A continuación, os presento un caso para aclarar la aplicabilidad de este diseño de

experimentos. Se trata de averiguar si la resistencia característica del hormigón a

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 flexocompresión (MPa) varía con cuatro dosificaciones diferentes. Para ello se han preparado

amasadas en cuatro amasadoras diferentes, se han utilizado cuatro operarios de amasadora y

los ensayos se han realizado en cuatro laboratorios diferentes. Se quiere analizar el diseño de

experimentos en cuadrado grecolatino realizado.

En el caso que nos ocupa, la variable de respuesta de la resistencia característica del hormigón

a flexocompresión (MPa). El factor que se quiere estudiar es la dosificación a cuatro niveles

(A, B, C y D). El bloque I es el tipo de amasadora, con cuatro niveles (α, β, γ y δ). El bloque

II es el operario de la amasadora, con cuatro niveles (1, 2, 3 y 4). El bloque III es el

laboratorio, con cuatro niveles (las filas). Se supone que no hay interacción entre el factor y

los bloques entre sí.

Lo que se quiere averiguar es si hay diferencias significativas entre las dosificaciones (el factor

a estudiar). De paso, se desea saber si hay diferencias entre los laboratorios, los operarios y

las amasadoras (los bloques). (Gutiérrez, (2004))

4.3.HISTORIA

Los cuadrados latinos ortogonales eran bien conocidos antes de Euler. Según lo descrito

por Donald Knuth en el Volumen 4 de El Arte de Programar Computadoras, la construcción

del conjunto 4x4 fue publicada por Jacques Ozanam en 1725 (en Récréations mathématiques

et physiques) en forma de un solitario de cartas. El problema consistía en colocar los ases,

reyes, reinas y jotas de una baraja de cartas estándar, en una rejilla de 4x4 de modo que en

cada fila y cada columna aparecen los cuatro palos y las cuatro figuras. Este problema tiene

varias soluciones.

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 7

4.4.CUADRADOS LATINOS

En este capítulo presentamos los aspectos teóricos básicos de los cuadrados latinos. Es por ello

que empezamos dando la definición formal de cuadrado latino: Un cuadrado latino es una

matriz L de orden nxn cuyos elementos pertenecen a un conjunto finito A de cardinal n y cada

uno de ellos aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna de L. El conjunto

A recibe el nombre de conjunto base del cuadrado y n su orden. Los elementos de A pueden

ser n símbolos cualesquiera, por ejemplo, cifras, letras del alfabeto latino o incluso colores.

El autor de dicho cuadro es Richard Paul y presenta un cuadrado latino de orden 6 cuyos

símbolos son los colores. Si asignamos a cada color un número la representación de dicho

cuadrado latino queda de la siguiente forma:

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 8

4.5.CONJETURA DE EULER

Los cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en detalle por Leonhard Euler, que tomó

para el primer conjunto S = {A, B, C, …}, las primeras n mayúsculas del alfabeto latino, y

para el segundo conjunto T = {α , β, γ, …},las primeras letras n minúsculas del alfabeto

griego, de ahí el nombre cuadrados grecolatinos.

En la década de 1780, Euler demostró métodos para construir cuadrados greco-latino, donde n

es impar o un múltiplo de 4. Al observar que no es posible construir cuadrados de orden 2 e

incapaz de construir un cuadrado de orden 6 (ver problema de los treinta y seis oficiales),

conjeturó que no existen cuadrados grecolatinos para ningún número n ≡ 2 (mod 4) o dicho

de otra forma que n sea impar de clase par (múltiplo de 2 que no es múltiplo de 4). La

inexistencia de cuadrados de orden 6 fue confirmado definitivamente en 1901 por Gaston

Tarry a través de la enumeración exhaustiva de todas las posibles combinaciones de símbolos.

Sin embargo, la solución a la conjetura de Euler estuvo sin resolverse durante mucho tiempo.

4.6.CONTRAEJEMPLOS A LA CONJETURA DE EULER

En 1959, R.C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron algunos contraejemplos de orden 22

siguiendo puntos de vista matemáticos. Poco más tarde E. T. Parker encontró un

contraejemplo del orden 10 utilizando en la búsqueda un UNIVAC (lo que hace que sea uno

de los primeros problemas de combinatoria resueltos con una computadora digital).

En 1960, Parker, Bose, y Shrikhande (conocidos como los aguafiestas de Euler) demostraron

que la conjetura de Euler es falsa para todo n ≥ 10. Por lo tanto, existen cuadrados greco-

latinos de lado n para todos los n ≥ 3, excepto n = 6. (CORDOVA, 2018)

TABLA ANOVA PARA EL DISEÑO DE CUADRADOS GRECOLATINOS

En la cual se prueban las hipótesis de igualdad de letra latinas (tratamientos), de renglones, de

columnas y de letras griegas. (Martinez, 2016)

METODOS DE EXPERIMENTACIÓN AMBIENTAL 9

Se comparan cuatro métodos de ensamble y se tiene el factor de bloque operador, se podrían

tener dos factores de bloque adicionales: orden en él se hace el ensamble y lugar donde se

hace. De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la siguiente tabla:

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 V. CONCLUSIONES

La importancia de un diseño de cuadrado grecolatino es que da validez a la investigación, y

permite controlar el error aleatorio, es decir la variación no considerada de nuestros objetos

de estudio, además de que facilita el análisis de datos.

Este diseño aprendimos que se permite aislar los diferentes procedimientos, de manera que

podemos utilizar las variables una a una, o varias juntas. Además, podemos comprobar si el

peso, el grado de obesidad u otros factores afectan al resultado.

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VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CORDOVA, A. (2018). Cuadrado grecolatino. BRITANIA: WIKI LOVES.

Gutiérrez, H. ((2004)). Diseño de experimentos en cuadrado grecolatino. Obtenido de Diseño

de experimentos en cuadrado grecolatino:

https://victoryepes.blogs.upv.es/2020/10/30/diseno-de-experimentos-en-cuadrado-

grecolatino-ejemplo-aplicado-al-hormigon/

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