Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología

INDICE

Capítulo 6: Matrices. Autor: B. Abad -------------------------------------------------------- 1

Matriz -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Igualdad de Matrices ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
Tipos de Matrices ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Algebra de matrices-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Expresión matricial. --------------------------------------------------------- 9
Resolución matricial. Método de Gauss Jordan ------------------------------------------------------------------------------------------ 10
Tipos de solución de un sistema de n x n ------------------------------------------------------------------------------------------------- 10
Actividades de revisión e integración ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14
Capítulo 6: Matrices. Autor: B. Abad

Matriz

Definición: Una matriz A de m n es una organización de elementos dispuestos en m filas por n

columnas, es decir:
columna 1 columna 2  columna n
  
 a11 a12  a1n   fila 1
 
a a22  a2 n   fila 2
A =  21
     
 
a  amn   fila m
 m1 am 2

( )
Notación: A = aij matriz de m n , o bien A = aij ( )m n
con 𝑖 = 1,2, 3, … , 𝑚 y 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛

Dimensión o tamaño de una matriz: Se refiere a la cantidad de filas y columnas de la matriz., es

decir, una matriz m n tiene tamaño o dimensión m n .
Elemento de una matriz: Los elementos de una matriz pueden ser números complejos, polinomios,
funciones, funciones derivadas, etc. Un caso particular son los números reales, así aij representa el
número situado en la fila i-ésima y la columna j-ésima.
Matriz por compresión: Se usan reglas o fórmulas para nombrar sus elementos.
Matriz por extensión: Se nombran todos los elementos de la matriz.
Ejemplo: Matriz A de dimensión 2  3 definida por:
Comprensión: 𝐴 = (𝑖 + 𝑗) donde aij = i + j para i = 1,2 y j = 1,2,3

Extensión:
Para i = 1, j = 1 tenemos que a11 = 1 + 1 = 2 Para i = 2, j = 1 tenemos que a21 = 2 + 1 = 3
Para i = 1, j = 2 tenemos que a12 = 1 + 2 = 3 Para i = 2, j = 2 tenemos que a22 = 2 + 2 = 4
Para i = 1, j = 3 tenemos que a13 = 1 + 3 = 4 Para i = 2, j = 3 tenemos que a23 = 2 + 3 = 5

a a a13   2 3 4 
A =  11 12  = 
 a21 a22 a23   3 4 5 

Igualdad de Matrices

( ) ( )
Dos matrices A = aij y B = bij son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos
correspondientes son iguales, es decir,
aij = b para todo i = 1,2,...,m y todo j = 1,2,...,n
ij

1
  0.5 1   0.5 − 3 
   0.5 1 − 3   
Ejemplo: Dadas las matrices P =  − 3 5 ; Q =  3 ; R =  1 5  . Mostrar que no
 3  2 5 − 2   3 
 2 − 2   2 − 2 
son iguales.
La matriz P no es igual a la matriz Q por poseer distintas dimensiones, es decir, la matriz P tiene
3 filas, 2 columnas y la matriz Q tiene 2 filas, 3 columnas.
La matriz P y la matriz R tienen el mismo tamaño, sin embargo, no son iguales ya que algunos
elementos correspondientes son distintos, es decir, p12  r12  p21  r21
Tipos de Matrices
Matriz Fila o Renglón: La matriz F con una sola fila (dimensión 1 n ) se denomina matriz fila, es
decir,
( )
F = f1 j para j = 1,2,...,n

Ejemplo: F = (0 5 6 − 9)
Matriz Columna: La matriz C con una sola columna (dimensión m  1 ) se denomina matriz
columna, es decir,
C = (ci1 ) para i = 1,2,...,m

 
 0 
Ejemplo: C =  − 6 
1
 
 3 
( )
Matriz Nula: La matriz O = oij de dimensión m n cuyos elementos son todos iguales a cero se
denomina matriz nula, es decir:
o = 0 para i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n
ij
Ejemplos:
 0 0  0 0 0
O = (0 0 0 0) ; O =   ; O =  
 0 0  0 0 0
( )
Matriz Cuadrada: Si una matriz A = aij tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir
si m = n , se dice que es una matriz cuadrada de orden n, siendo
 a11 a12  a1n 
 
a a22  a2 n 
A =  21
    
 
a  ann 
 n1 an 2

1 − 6 0
 1 6
Ejemplos: Dada A = 
 
( )
 ; B =  3 2 5  se dice que la matriz A = aij es de orden 2 y la
 − 3 0  4 − 7 0
 
( )
matriz B = bij de orden 3.

2
La diagonal de una matriz cuadrada A = aij ( ) n n
está constituida por los elementos a11 , a 22 , a 33 ,…,
a nn .
Ejemplo: La diagonal de la matriz B son los elementos: 1, 2, 0.
Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada A = aij ( ) n n
se llama diagonal si todos los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son cero, es decir:
a = 0 si i  j para i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n
ij
Matrices Triangulares
Triangular Inferior: Una matriz cuadrada A = aij ( ) n n
es triangular inferior si todos los elementos
situados sobre la diagonal son iguales a cero, es decir,
a = 0 si i  j para i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n
ij

 1 0 0
 
Ejemplo A =  5 1 0  es triangular inferior
 − 3 0 1
 
Triangular Superior: Una matriz cuadrada A = aij ( ) n n
es triangular superior si todos los elementos
situados bajo la diagonal son iguales a cero, es decir,
a = 0 si i  j para i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n
ij

1 3 − 7
 
Ejemplo B =  0 0 2  es triangular superior
0 0 − 9
 
Matriz Identidad: Una matriz cuadrada A = aij ( ) n n
es la matriz identidad si los elementos de la
diagonal son 1 y todos los elementos que no pertenecen a la diagonal son 0, es decir,
aij = 0 si i  j

 para i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n
a = 1 si i = j
 ij
1 0 0
1 0  
Ejemplos: I =   ; I = 0 1 0
0 1 0 0 1
 
Algebra de matrices

Adición
( ) ( )
Definición: Sean A = aij y B = bij dos matrices de la misma dimensión m n :

3
  a11 a12  a1 n   b11 b12  b1n 
   
a a 22  a2n  b b22  b2 n 
A =  21 B =  21
         
   
a  a mn  b  bmn 
 m1 am2  m1 bm 2

La suma de A y B , denotada por A + B , se define como la matriz m n en la que cada elemento

es igual a la suma de los correspondientes elementos de A y B , es decir,

A + B =  aij + b 
 ij mn

 a11 + b11 a12 + b12  a1n + b1n 

 
 a + b21 a 22 + b22  a 2 n + b2 n 
A + B =  21 
   
 
a + b a m 2 + bm 2  a mn + bmn 
 m1 m1
 1,5 7 0   3,5 − 2 3 
Ejemplo: A =   B =  
 − 3 1 − 2 − 2 8 4 
 1,5 + 3,5 7 + (−2) 0 + 3   5 5 3 
A + B =  = 
 − 3 + (−2) 1 + 8 − 2 + 4   − 5 9 2 

Importante: La adición de matrices de distintas dimensiones no está definida.

Propiedades
Sean A , B y C matrices de m n , O es la matriz cero de m n y − A es la matriz obtenida al
cambiar de signo cada elemento de A se cumple que:
1) A + B = B + A (Conmutativa)
2) A + (B + C ) = ( A + B ) + C (Asociativa)
3) A + O = A (𝑂 es la matriz neutro aditivo)
4) A + (− A) = O (−𝐴 es la matriz inversa aditiva)
Sustracción
( ) ( )
Definición: Sean A = aij y B = bij dos matrices de la misma dimensión m n :

 a11 a12  a1 n   b11 b12  b1n 

   
a a 22  a2n  b b22  b2 n 
A =  21 B =  21
         
   
a  a mn  b  bmn 
 m1 am2  m1 bm 2

La sustracción de A y B , se define como A − B = A + (− B ) donde cada elemento de la matriz

m n es igual a la resta de los correspondientes elementos de A y B , es decir,

A − B = aij( ) m n
( )
− bij
m n
( )
= aij
mn
( )
+ − bij
mn
=  aij − b 
 ij  m n

4
  a11 − b11 a12 − b12  a1n − b1n 
 
 a − b21 a 22 − b22  a 2 n − b2 n 
A − B =  21 
   
 
a − b a m 2 − bm 2  a mn − bmn 
 m1 m1
 1,5 7 0   3,5 − 2 3 
Ejemplo: A =   B =  
 − 3 1 − 2 − 2 8 4 
Antes de realizar la sustracción se debe tener en cuenta que ambas matrices tengan la misma
dimensión, en este caso se nota que la dimensión de ambas matrices es de 2x3. Por lo tanto;
 1,5 − 3,5 7 − (−2) 0 − 3   − 2 9 − 3 
A − B =   = 
 − 3 − (−2) 1 − 8 − 2 − 4   − 1 − 7 − 6 

Importante: La sustracción de matrices de distintas dimensiones no está definida.

Multiplicación
Multiplicación de una matriz por un escalar
Definición: El producto de un número real k por una matriz A = aij ( ) m n
es la matriz, denotada por
kA , cuyos elementos se obtienen multiplicando por k los correspondientes elementos de A , es
decir,
kA = k aij( ) mn
( )
= kaij
mn

 ka11 ka12  ka1n 

 
 ka ka22  ka2 n 
kA =  21
    
 
 ka  kamn 
 m1 kam 2

 1 3 − 1 1
Ejemplo: A =   y k=
− 2 −1 1  2

 1 1 1  1 3 1
1 1 3 − 1  2 1 3  (−1)   − 
kA =  = 2 2 = 2 2 2
2  − 2 − 1 1   1  (−2) 1
 (−1)
1
 1   − 1 −
1 1
 
 2 2 2   2 2
Multiplicación de matrices
Definición: Sean A = aij ( ) m n
( )
y B = bij
pq
se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de
la primera matriz es igual al número de filas de la segunda, es decir, n = p . El producto AB es la
( )
matriz C = cij mr cuyos elementos se obtienen
n
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj =  aik bkj
k =1

5
  − 4
 
Ejemplo 1: Sea A = (1 − 3 2) de 1 3 y B =  1  de 3  1 .
 3 
 
El producto AB = C está definido y es de 1 1 , así,
 − 4
 
A.B = (1 − 3 2) 1  = 1(−4) + (−3)1 + 2  3 = −1
 3 
 
 1 3 3 − 2
Ejemplo 2: Sea A =   y B =  
− 2 4 5 6 
A es una matriz de 2  2 y B es una matriz de 2  2 , entonces el producto C = AB está definido y
es una matriz de 2  2 . Es decir
c c12 
C =  11 
 c21 c22  22
Para determinar el valor de cada elemento de la matriz C se procede de la siguiente manera:
Para c11

1º columna
de B

1º fila de A →  1 3  3 − 2 
  
 − 2 4  5 6 
3
c11 = (1 3 )  = 1  3 + 3  5 = 18
5
De manera similar, para calcular c12

2º columna
de B

1º fila de A →  1 3  3 − 2 
  
 − 2 4  5 6 

− 2
c12 = (1 3 )  = 1  ( −2 ) + 3  6 = 16
 6 
para calcular c21

1º columna
de B

 1 3  3 − 2 
  
2º fila de A →  − 2 4  5 6 

3
c 21 = (− 2 4 )  = −2  3 + 4  5 = 14
5

6
para calcular c 22

2º columna
de B

 1 3  3 − 2
  
2º fila de A →  − 2 4  5 6 

− 2
c 22 = (− 2 4 )  = −2  (− 2 ) + 4  6 = 28
 6 
Entonces
c c  18 16 
C = AB =  11 12  =  
 c21 c22  14 28 
Tarea: Obtener BA . Responder ¿ AB = BA ?

Importante: Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual
al número de filas de la segunda. Es decir,

Si el número de columnas de la matriz no es igual al número de filas de la matriz

, el producto no está definido.

Aplicación: Una siembra se rocía con insecticidas para eliminar

insectos dañinos, sin embargo, las plantas absorben parte de las

alfalfa

maíz
sustancias. Suponga que se tienen 3 productos, 2 tipos de plantas
y se conoce la cantidad de insecticida en miligramos que absorbe
cada planta tal como se muestra en detalle en la tabla1: Audace 2 3
Chas 3 2
Coragen 4 1
1. tabla1: https://fmcagro.es/

Por otro lado, se sabe que los animales herbívoros de la zona

caballo

cabra
vaca

comen las plantas contaminadas y absorben los insecticidas. La

cantidad de plantas de alfalfa y maíz que consumen mensualmente
3 animales herbívoros están dados por la tabla 2. alfalfa 20 15 15
maíz 28 12 8
2. tabla 2
a) Escriba la información de la tabla 1 como una matriz 𝐴 y la tabla 2 como una matriz 𝐵.
b) ¿Cuántos miligramos del insecticida “Coragen” absorbe una planta de alfalfa? ¿Cuántas plantas
de alfalfa consume por mes un caballo?
c) ¿Qué significa a22 y b2 3 ?
d) Determine qué cantidad de insecticida de cada producto ha absorbido cada animal. ¿Cuál es la
cantidad de insecticida “Chas” que ha absorbido una cabra al cabo de un mes?
e) ¿Es posible matemáticamente resolver 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴? De acuerdo a la situación ¿qué interpretación
se puede dar a cada producto?

7
Desarrollo
 2 3
   20 15 15 
a) A =  3 2 B =  
 4 1  28 12 8 
 
b) Para responder se debe observar los datos en las tablas. De la tabla 1 se conoce que la alfalfa
absorbe 4 miligramos del insecticida “Coragen”. De la tabla 2 que un caballo consume
aproximadamente 15 plantas de alfalfa al mes.
c) Para responder esta pregunta se debe observar la información que representa cada matriz. El
elemento a22 = 2 de la matriz A indica que la planta de maíz absorbe 2 miligramos del
insecticida “Chas” , mientras que el elemento b2 3 de la matriz B indica que una cabra come
aproximadamente 8 plantas de maíz por mes.
d) Para determinar, por ejemplo, la cantidad insecticida “Audace” que absorbió una vaca al mes se
debe calcular: 2 x 20 + 3 x 28 = 124 , es decir, una vaca consume aproximadamente 20 plantas de
alfalfa y 28 plantas de maíz donde cada planta de alfalfa absorbe 2 mg de este insecticida y cada
planta de maíz absorbe 3 mg. De esta manera una vaca absorbe 124 mg del insecticida al mes.
Con el mismo razonamiento se puede obtener la cantidad de insecticida que absorbe cada
animal. Estos cálculos se reducen a obtener el producto C = AB , que está definido y es una
matriz de 3  3 , ya que A es una matriz de 3 2 y B es una matriz de 2  3 . En consecuencia,
c11 = 2 x20 + 3x28 = 124
c12 = 2 x15 + 3x12 = 66
 20 15 15 
B =   c13 = 2 x15 + 3x8 = 54
C = AB  28 12 8  c = 3x20 + 2 x28 = 116
21

 c11 c12 c13  c22 = 3x15 + 2 x12 = 69

 2 3  
  C =  c21 c22 c23  c23 = 3x15 + 2 x8 = 61
A =  3 2
c c33  c31 = 4 x20 + 1x28 = 108
4 1  31 c32
  c32 = 4 x15 + 1x12 = 72
c33 = 4 x15 + 1x8 = 68
Para saber cuál es la cantidad de insecticida “Chas” que ha absorbido una cabra al cabo de un
mes, se observa el valor del elemento c23 , ya que las filas de la matriz C representan el tipo de
insecticida y las columnas el animal que lo absorbe. Así, corresponde como respuesta, una cabra
absorbe aproximadamente 61 mg del insecticida “Chas” en un mes.
e) Matemáticamente
El producto AB , está definido y es una matriz de 3  3 , ya que el número de columnas de A
coincide con el número de filas de B
A B = C33
32 ⎯→ 23
El producto BA , está definido y es una matriz de 2  2 , ya que el número de columnas de B
coincide con el número de filas de A
B A = C22
23 ⎯→ 32
En el contexto del problema
Los elementos del producto AB , representan la cantidad de miligramos de cada tipo de
insecticida que absorbe cada animal, lo cual tiene significado, como se indica en el siguiente
esquema
𝐴tipo de insecticida×tipo de planta ↔ 𝐵tipo de planta×tipo de animal = 𝐶𝑡ipo de insecticida ×tipo de animal

8
 Por otro lado, carece de sentido el producto BA , ya que la información de las matrices sobre el
tipo de animal y el tipo de insecticida no se encuentran vinculadas, tal como se indica en el
siguiente esquema
Btipo de planta tipo de animal
⎯→Atipo de insecticidatipo de planta
Propiedades
Propiedad 1: Sean A y B matrices de m n y k un número real entonces
k ( A + B ) = kA + kB
Propiedad 2: Sea A una matriz de m n , I una matriz de n  n entonces
AI = A
1 0 0
1 3  
Ejemplo: A =  4 −  I = 0 1 0
2 5 0 0 1
 
A es una matriz de 1 3 e I es una matriz de 3  3 , entonces el producto AI = A está definido y es
una matriz de 1 3 . Es decir
1 0 0
1 3   1 3
A I =  4 −  0 1 0  =  4 − = A
2 5   2 5
0 0 1
Sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Expresión matricial.
Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2 2n n 2

 ..........
..........
..........
..........
......
an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn

Se puede representar en forma matricial como el producto entre la matriz de coeficientes An n y el
vector de las incógnitas X n1 igual al vector de términos independiente Bn1 . Es decir,

AX = B
 a11 a12  a1n   x1   b1 
     
 a21 a22  a2 n   x2   b2 
   =
      
     
a  ann  n n  xn  n1  bn  n1
 n1 an 2

x − y − 2 = 0

Ejemplo: En el sistema 2 x + 3 y + 4 z = 5 se utilizan como incógnitas x, y , z en lugar de x1 , x2 , x3 ,
6 z = 7 + x

 1 −1 0  x  2 
     
por lo cual su forma matricial será  2 3 4   y = 5 
 − 1 0 6   z  7 
     

9
Nota: Si se multiplican las matrices y luego se igualan se obtienen nuevamente las ecuaciones dadas.
Resolución matricial. Método de Gauss Jordan

Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas en forma matricial

AX = B
 a11 a12  a1n   x1   b1 
     
 a21 a22  a2 n   x2   b2 
   =
      
     
a  ann  n n  xn  n1  bn  n1
 n1 an 2
La matriz 𝐴 aumentada con la matriz de los términos independientes:
 a11 a12  a1n b1 
 
 a21 a22  a2 n b2 
AB = 
    
 
a a  a b 
 n1 n 2 nn n  n  ( n +1)

Aplicando operaciones elementales entre filas, tales como:

1) Intercambiar la i-ésima fila por la j-ésima fila (En símbolo Fi  F j )
2) Reemplazar la i-ésima fila por la misma fila multiplicada por una constante k distinta de
cero. (En símbolo Fi → kFi )
3) Sustituir la j-ésima fila por la suma de la misma fila más la fila i multiplicada por una
constante k . (En símbolo F j → F j + kFi )

Cuando es solución única se obtiene I B' una matriz equivalente a la matriz aumentada A B .

Por lo que la solución del sistema está dada por B' = X , donde 𝐵’ y 𝑋 son matrices columnas.
Es decir, que el procedimiento consiste en partir de la matriz aumentada y mediante
transformaciones se obtienen matrices equivalentes para llegar a la matriz identidad aumentada
con la matriz de los resultados (siempre que la solución sea única): (𝐴|𝐵) ≡ ⋯ ≡ (𝐼|𝐵′)

Tipos de solución de un sistema de n x n

Solución única: En este caso el valor de cada una de las n incógnitas, verifica las n ecuaciones.
Cuando se aplica el método de Gauss Jordan se obtiene
1 0  0 b1* 
 
0 1  0 b2* 
    
 
0  1 bn*  n( n +1)
 0

donde x1 = b1* , x2 = b2* ,, xn = bn*

Infinitas soluciones: En este caso el valor de una de las n incógnitas es indeterminado.
Cuando se aplica el método de Gauss Jordan por fila, se obtiene una j-ésima fila nula, en caso que
de que la última fila sea nula, la matriz ampliada resultante es:

10
 1 0  0 b1* 
 
0 1  0 b2* 
    
 
0  0 0  n( n +1)
 0

donde 0 xn = 0 xn  R
No tiene solución: En este caso el valor de cada una de las n incógnitas, no verifican al menos una
de las n ecuaciones.
Cuando se aplica el método de Gauss-Jordan por fila, se obtiene una j-ésima fila nula, menos el
término independiente, en caso que esto suceda en la última fila la matriz ampliada resultante es:
1 0  0 b1* 
 
0 1  0 b2* 
    
 
0  0 bn*  n( n +1)
 0

donde 0.xn = bn* con bn*  0 no tiene solución

Ejemplo: Aplicando el método de Gauss–Jordan para resolver el sistema planteado anteriormente.
 1 −1 0 2
 
Se inicia con la matriz aumentada o ampliada A B =  2 3 4 5
−1 0 6 7
 
Se aplican operaciones entre filas para obtener I B' , sabiendo que todas las matrices que se
obtienen son equivalentes

 1 −1 0 2 F2 → F2 + ( − 2 )F1 1 −1 0 2 1 − 1 0 2
    1
F2 → F2  
 2 3 4 5 0 5 4 1 5  0 1 54 15 

F3 → F3 + ( 1 ) F1
−1 0 6 7 0 −1 6 9 0 − 1 6 9
      

F1 → F1 + ( 1 )F2 1 0

4 11 

1 0 4

11 

( )
F1 → F1 + −
4
F
5 3
1 0 0

19 

( )
5 5 5 5 5 17
F3 → F3
0 1 4 1  34 0 1 4 1  4 0 1 0 15 

F3 → F3 + ( 1 ) F2 F2 → F2 + − F −
    5 3
 

5 5 5 5 17
0 0

34
5
46
5


0 0 1

23
17

  0 0 1

23
17


 19 
 
 17   x 
15   
Como B ' = X entonces  − = y y por igualdad entre matrices se obtiene como solución del
 17   
 23   z 
 
 17 
19 15 23 19 15 23
sistema x = ; y = − ; z = . El conjunto solución se escribe: 𝑆 = {(17 , − 17 , 17)}
17 17 17
Así, al reemplazar los valores de 𝑥, 𝑦, 𝑧 en el sistema dado se verifican las tres ecuaciones
simultáneamente.

11
  19   15  
 17  −  − 17  − 2 = 0 2 − 2 = 0 
    0 = 0
x − y − 2 = 0 
   19   15   23   85 
2 x + 3 y + 4 z = 5  2  + 3 −  + 4  = 5   = 5  5 = 5
6 z = 7 + x   17   17   17  17 138 138
   23  138 119 + 19  =
 19 
6  = 7 +    17 = 17  17 17
  17   17 

Aplicación: Un determinado insecto tiene 3 etapas vitales: huevo, larva y adulto (modelo
simplificado). Este insecto progresa de huevo a larva, de larva a adulto y, finalmente, el adulto pone
huevos y muere. Se sabe que sólo un 4 % de los huevos llegan a larva, sólo un 39 % de las larvas
llegan a adultos y que cada adulto pone una media de 73 huevos (Ver esquema 1).

a) Suponga que en un instante la población de

insectos se compone de 1000 huevos, 100 larvas y
10 adultos ¿Cuántos insectos habrá de cada etapa
en el próximo periodo de tiempo?
Tarea: ¿Cuántos insectos habrá en el siguiente
periodo? ¿y en los próximos cinco periodos?

b) Suponga que, en un instante, la población de

insectos se compone de 3242 huevos, 33 larvas y 1 Esquema 1: Etapas de un insecto
adulto ¿Cuántos insectos había de cada etapa en el
periodo anterior?
Desarrollo
a) Esta es una aplicación muy importante conocida como el modelo de Leslie. La información sobre
un cierto periodo está dada mediante el esquema 2, la tabla 3 y la matriz P . La tabla y la matriz
simbolizan en la primera fila la fecundidad en cada etapa y en las siguientes filas se indica el
porcentaje de supervivencia de cada etapa.

huevo larva adulto  0 0 73 

 
huevo P =  0,39 0 0
ha
0 0 73  0 0,14 0 

larva El elemento ubicado en
0,39 0 0
lh p21 indica que el 39 % de
los insectos que están en
Esquema 2 Etapas del insecto adulto la etapa de huevo
0 0,04 0
al sobreviven y pasan a la
etapa de larva.
tabla 3: Etapas del insecto

Por otro lado, la cantidad inicial de insectos en cada etapa está dada por la matriz
1000 
 
N =  100 
 10 
 

12
De esta manera, la cantidad de insectos de cada etapa en el próximo período resultará del producto
entre las matrices P y N
 0 0 73 1000   730 
    
P.N =  0,39 0 0  100  =  390  = R
 0 0,04 0  10   4 

En el próximo periodo habrá 730 huevos, 390 larvas y 4 adultos
b) Sabiendo que la matriz P , representa la natalidad y el porcentaje de sobrevivir en cada etapa y
que ahora se conoce la cantidad de insectos que hay en cada etapa transcurrido un periodo de
tiempo, información representada en la matriz R .
 3242 
 
R =  33 
 1 
 
Se necesita conocer la cantidad de insectos en el periodo anterior, es decir, los elementos de la
matriz
 n1 
 
N =  n2  .
n 
 3
Para ello, se resuelve el sistema planteado, en este caso, con el método de Gauss-Jordan
 0 0 73  n1   3242   0 0 73 3242 
      
 0,39 0 0  n2  =  33  cuya matriz ampliada es P R =  0.39 0 0 33  . Por lo
 0 0,04 0  n3   1   0 1 
  0.04 0
que, aplicando las operaciones elementales entre filas se obtiene.
 0 0 73 3242  F2  F1  0.39 0 0 33 
   
 0.39 0 0 33  F3  F2  0 0.04 0 1 
 0 1   0 73 3242 
 0.04 0   0
1
F1 → F
0.39 1
 1 0 0 84.62 
F2 →
1
F  
0.04 2
 0 1 0 25 
F3 →
1
F  0 0 1 44.41
73 3
 

Entonces la solución del sistema es n1 = 84.62; n2 = 25; n3 = 44.41
Rta: En el periodo anterior había aproximadamente 84 huevos, 25 larvas y 44 insectos adultos.

13
 Autoevaluación
Actividades de revisión e integración

 Defina una matriz. Dimensión. Ejemplifique.

 Defina matrices particulares, (diagonal, identidad, triangular superior, triangular inferior)
 ¿Cuándo dos matrices son iguales?
 ¿Cuáles son las condiciones para sumar o restar matrices? ¿Cómo se suman o restan matrices?
Ejemplifique.
 Considerando dos matrices A y B de orden n × m determine si:
a) A − B = B − A;
b) A − (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) + 𝐶
 ¿Cuándo dos matrices pueden multiplicarse? Ejemplifique.
 Considere una matriz B (bij ) de orden p × q . Establezca las condiciones para los elementos de B de
modo que la matriz sea una matriz:
a) Fila.
b) Diagonal.
c) Identidad
d) Diagonal superior.
 Enuncie las propiedades que poseen las matrices para la suma y el producto.
 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) Una matriz 𝐵 con bij = 0 para i ≠ j es triangular superior.
b) A2 = (aij 2 )para i = 1,2,3 … n y j = 1,2,3 … n si A es una matriz diagonal.
c) Si A es la matriz identidad de orden k entonces es una matriz triangular inferior.
 Escriba un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas en forma matricial.
 ¿Cuándo una matriz se dice aumentada o ampliada?
 Enuncie las operaciones elementales entre filas de una matriz.
 ¿En qué consiste el método de Gauss-Jordan?
 ¿Qué tipo de solución puede tener un sistema de ecuaciones lineales nxn?
 Con la aplicación del método de Gauss-Jordan, ¿cómo reconoce los distintos tipos de solución?
Justifique.

Ejercitación

2 4 1
1
 Sea, 𝑃 = (0 − 4 −3) determine y clasifique la matriz 𝑅 tal que 𝑅 − 𝑃 = 𝐼.
0 0 1
 a b 1 0 0 
 Calcule   
 c d  0 1 0 

14
  2 3 2 3 
 Determine la matriz X , tal que AX = B con A =   ; B =  
 −1 4  2 − 8
 ¿Qué tipo de solución tendría un sistema si después de aplicar el método de Gauss-Jordan se obtienen
las siguientes matrices ampliadas? Justifique cada caso.
a) b) c)
 1 0 0  − 1  1 0 0  − 1  1 0 0  − 1
     
 0 1 0  2 0 1 0  2 0 1 0  2
0 0 1  0 0 0 0  0 0 0 0  1
     
 Proporcione una interpretación grafica de la solución obtenida (única, vacía o infinita) en cada uno de
los siguientes sistemas.
2𝑦 + 𝑥 = 1 𝑥 = −2𝑦 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
a) { b) { c) { 1
2𝑥 = 3 + 4𝑦 2𝑥 + 4𝑦 = 2 𝑥 +𝑦=3
2

 Determine la expresión de la función 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, sabiendo que los puntos (1,1) ; (2, −1) y
(3, −5) pertenecen su gráfica. Ayuda: (Plantee y resuelva el sistema de tres ecuaciones cuyas
incógnitas son 𝑎, 𝑏 y 𝑐)
 Se cultiva dos tipos de algas, verde y marrón. Dispone de 15 kilogramos de nutriente X y 26 kilogramos
de nutriente Y. Un tanque de algas verdes necesita 2 kilogramos de nutriente X y 3 kilogramos de
nutriente Y, mientras que un tanque de alga marrón necesita 1 kilogramo de nutriente X y 2 kilogramos
de nutriente Y.
a) Ordene la información en una tabla.
b) ¿Cuántos tanques de cada tipo de algas debe
cultivar para utilizar todos los nutrientes?

 Un biólogo estudia el efecto que produce el ácido fólico, colina e inositol que contiene el alimento para
sus ratas de laboratorio. La tabla muestra tres tipos de alimentos y cantidades que contienen de ácido
fólico, colina e inositol por cada 28,35 gramos de alimento.
Alimento Tipo A Tipo B Tipo C
Contenido de
Ácido fólico (mg) 3 1 3
Colina (mg) 4 2 4
Inositol (mg) 3 2 4

a) ¿Cuántos gramos de cada alimento debe proporcionar a sus ratas si la dieta diaria debe contener 10
mg de ácido fólico, 14 mg de colina y 13 mg de inositol?
b) ¿Alguna combinación de estos alimentos proporciona 2mg de ácido fólico, 4mg de colina y 11mg de
inositol?

15