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Movimiento Armónico Simple
Movimiento Armónico Simple
Movimiento Armónico Simple
𝐹⃗𝑒 𝐹⃗𝑎
𝑥0
𝐹⃗𝑒 𝐹⃗𝑎
𝑥0 𝑥
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
↑Figura 1. Fuerza del resorte. a) Una fuerza aplicada 𝐹⃗𝑎 estira el resorte, y éste ejerce una fuerza de igual módulo
y opuesta, 𝐹⃗𝑒 , sobre la mano. b) El módulo de la fuerza depende del cambio de longitud del resorte, ∆𝑥⃗. Este cambio
suele medirse con respecto al extremo del resorte no estirado, 𝑥⃗0 .
Como se ilustra en la figura 1, donde observamos que una fuerza aplicada 𝐹⃗𝑎 estira un resorte, la fuerza del
resorte es una fuerza variable. Conforme el resorte se estira (o comprime), su fuerza de restauración (que se
opone al estiramiento o a la compresión) se vuelve cada vez mayor, y es preciso aplicar una fuerza más
grande. Para la mayoría de los resortes, la fuerza del resorte es directamente proporcional al cambio de
longitud del resorte respecto a su longitud sin estiramiento. En forma de ecuación, esta relación se expresa
así:
o bien, si 𝑥⃗0 = 0,
Suponga que un objeto descansa sobre una superficie horizontal sin fric-
ción y está conectado a un resorte como se muestra en la figura 2. Cuando
el objeto se desplaza hacia un lado de su posición de equilibrio y se suelta,
𝐹𝑒 = 0 se moverá de un lado a otro; es decir, vibrará u oscilará. Aquí, evidente-
mente la oscilación o vibración es un movimiento periódico: un movimiento
que se repite una y otra vez siguiendo el mismo camino. En el caso de os-
cilaciones lineales, como las de un objeto sujeto a un resorte, el camino
podría ser hacia un lado y el otro, o hacia arriba y hacia abajo. En el caso
de un péndulo oscilante, el camino es un arco circular hacia uno y otro lado.
𝐹⃗𝑒
El movimiento bajo la influencia del tipo de fuerza descrita por la ley de
Hooke se denomina movimiento armónico simple (MAS), porque la fuerza
es la fuerza restauradora más simple y porque el movimiento se puede des-
cribir con funciones armónicas (senos y cosenos), como veremos más ade-
↑Figura 2. Movimiento armó- lante.
nico simple (MAS). Cuando un
objeto en un resorte a) se des- Como vimos en el teórico anterior, las magnitudes que nos permiten des-
plaza respecto a su posición de cribir a las oscilaciones son:
equilibrio, 𝑥 = 0 y b) se suelta, La amplitud del movimiento, denotada con 𝐴, es la máxima distancia,
el objeto adquiere un MAS (su- que alcanza el cuerpo, respecto a la posición de equilibrio. La unidad
poniendo que no haya pérdidas de 𝐴 en el SI es el metro.
por fricción). El tiempo que le
El período, 𝑇, es el intervalo de tiempo que tarda el cuerpo en com-
toma completar un ciclo es el
período de oscilación (𝑇). pletar un ciclo, y siempre es positivo. La unidad del periodo en el SI es
(Aquí, 𝐹⃗𝑒 es la fuerza del resorte
el segundo, aunque a veces se expresa como “segundos por ciclo”.
y 𝐹⃗𝑎 es la fuerza aplicada.) c) En
La frecuencia, 𝑓, es el número de ciclos, que completa el cuerpo, por
𝑡 = 𝑇⁄4, el objeto está otra vez unidad de tiempo, y siempre es positiva:
en su posición de equilibrio; 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑓=
d) en 𝑡 = 𝑇⁄2, está en 𝑥 = −𝐴. ∆𝑡
e) Durante el siguiente medio donde 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 es el número de ciclos que completa el cuerpo, y
ciclo, el movimiento es a la de- ∆𝑡 es el tiempo en el que el cuerpo completa ese número de ciclos. La
recha; f) en 𝑡 = 𝑇, el objeto unidad de la frecuencia en el SI es el Hertz (𝐻𝑧).
está otra vez en su posición ini-
La frecuencia angular, 𝜔, es 2𝜋 veces la frecuencia: 𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓
cial (𝑡 = 0) como en b.
Por las definiciones de periodo 𝑇 y frecuencia 𝑓, es evidente que uno es el inverso del otro:
1 1
𝑓= 𝑇=
𝑇 𝑓
Ecuaciones de movimiento
La ecuación de movimiento de un objeto es la ecuación que da la posición del objeto en función del tiempo.
1
Por ejemplo, la ecuación de movimiento con una aceleración rectilínea constante es 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 ,
donde 𝑣0 es la velocidad inicial. Sin embargo, en el movimiento armónico simple la aceleración no es cons-
tante, así que la ecuación anterior no es válida para este caso.
Podemos obtener la ecuación de movimiento para un objeto en MAS, a partir de una relación entre los mo-
vimientos armónico simple y circular uniforme. Simulamos el MAS con un componente del movimiento cir-
cular uniforme, como se ilustra en la figura 3. Mientras el objeto iluminado se mueve con movimiento circular
uniforme (con velocidad angular constante 𝜔) en un plano vertical, su sombra se mueve hacia arriba y hacia
abajo, siguiendo el mismo camino que el objeto en el resorte, que tiene movimiento armónico simple. Puesto
que la sombra y el objeto tienen la misma posición en cualquier momento, se sigue que la ecuación de mo-
vimiento de la sombra del objeto en movimiento circular es la ecuación de movimiento del objeto que oscila
en el resorte.
a) b)
↑Figura 3. Círculo de referencia para el movimiento vertical. a) La sombra de un objeto en movimiento circular
uniforme tiene el mismo movimiento vertical que un objeto que oscila en movimiento armónico simple en un re-
sorte. b) Por lo tanto, el movimiento puede describirse con 𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen(𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝜙) (suponiendo 𝑦0 = 𝐴 ⋅ sen 𝜙,
en 𝑡 = 0).
Del círculo de referencia de la figura 3b, la coordenada 𝑦0 (posición inicial) del objeto, es decir la posición
que éste ocupa en 𝑡 = 0, está dada por:
𝑦0 = 𝐴 ⋅ sen 𝜙
Recuerda que el seno de un ángulo está definido como el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa, donde el ángulo es 𝜙 (phi), el cateto opuesto es 𝑦0 y la hipotenusa es 𝐴.
Sin embargo, el objeto se mueve con velocidad angular constante, de módulo 𝜔. En términos de la distancia
angular, en un tiempo 𝑡 > 0 posterior, el ángulo barrido es 𝜃. De forma que, la coordenada 𝑦 del objeto, en
este instante de tiempo, queda dada por:
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen(𝜃 + 𝜙)
donde el ángulo barrido por el objeto 𝜃, depende de la velocidad angular 𝜔 y del tiempo 𝑡 en el que se barre
dicho ángulo. De esta manera 𝜃 queda dado por 𝜃 = 𝜔 ⋅ 𝑡, de forma que la posición de un objeto con MAS
nos queda:
donde 𝑦(𝑡) es la posición del objeto en un instante de tiempo 𝑡, 𝐴 es la amplitud del movimiento, 𝜔 es la
frecuencia angular del movimiento y 𝜙 es la fase inicial o desfasaje del movimiento. La fase inicial 𝜙, depende
de las condiciones iniciales del movimiento, es decir de la posición inicial 𝑦0 y de la velocidad inicial 𝑣0 del
objeto.
En la figura 4 se muestra, de forma general, cómo es el gráfico de posición en función del tiempo, 𝑦 = 𝑓(𝑡),
para un objeto con MAS. Como se puede observar el MAS se describe con una función senoidal del tiempo.
←Figura 4. Representa-
ción gráfica de la posición
de un cuerpo con MAS en
función del tiempo. La
forma de la curva del grá-
fico es senoidal.
Examinaremos cuatro casos especiales. Supondremos cuatro fases iniciales y analizaremos, a partir del grá-
fico, cuáles son las condiciones iniciales que le corresponden a cada fase. Comenzaremos suponiendo que la
fase inicial 𝜙, para un cierto cuerpo con MAS, es 0. De esta manera la ecuación de movimiento nos queda:
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen(𝜔 ⋅ 𝑡 + 0)
2𝜋
Recordando que 𝜔 = 𝑇
, podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:
2𝜋
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 𝑡)
𝑇
2𝜋
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 0) = 𝐴 ⋅ sen 0
𝑇
Como sen 0 = 0 (chequea este resultado con tu calculadora. NO OLVIDES CONFIGURARLA EN RADIANES):
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ 0 = 0
De esta manera, hemos encontrado que si la fase inicial 𝜙 = 0, la posición inicial del cuerpo es 𝑦(0) = 0.
Ahora deberíamos averiguar si el cuerpo se está moviendo hacia arriba o hacia abajo. Para esto, lo que hare-
𝑇
mos será evaluar la ecuación de movimiento en un tiempo 𝑡 = 4 .
𝑇 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 𝜋
𝑦 ( ) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ ) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ ) = 𝐴 ⋅ sen
4 𝑇 4 𝑇 24 2
𝜋 𝑇
Recordemos que sen 2 = 1 (nuevamente chequea este resultado), de forma que la posición en 𝑡 = 4 :
𝑇
𝑦( ) = 𝐴⋅1 = 𝐴
4
Este resultado implica que el cuerpo tiene una velocidad inicial que es hacia arriba ya que, transcurrido un
cuarto de período, el cuerpo se encuentra en la posición 𝑦 = 𝐴. La figura 5a muestra cómo cambia la posición
de un cuerpo con MAS en el que la fase inicial es 0.
a) b)
c) d)
↑Figura 5. Condiciones iniciales y fase inicial. Representación gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑡) para un MAS: a) con 𝜙 = 0; b)
𝜋 3𝜋 𝜋
con 𝜙 = 𝑟𝑎𝑑; c) con 𝜙 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑; y d) con 𝜙 = 𝑟𝑎𝑑 (o 𝜙 = − ).
2 2 2
𝜋
Si la fase inicial del movimiento es 𝜙 = 2
𝑟𝑎𝑑, la ecuación del movimiento nos queda:
2𝜋 𝜋
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅𝑡+ )
𝑇 2
2𝜋 𝜋 𝜋
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 0 + ) = 𝐴 ⋅ sen ( )
𝑇 2 2
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ 1 = 𝐴
𝜋
De esta manera, sabemos que la posición inicial de un MAS, con fase inicial 𝜙 = 2 𝑟𝑎𝑑, es 𝑦(0) = 𝐴. Para
este caso no será necesario obtener la velocidad inicial ya que sabemos que, sin un cuerpo con MAS comienza
a moverse desde una distancia igual a la amplitud respecto a la posición de equilibrio, la velocidad de partida
𝜋
es 0. La figura 5b muestra cómo cambia la posición de un cuerpo con MAS en el que la fase inicial es 2 𝑟𝑎𝑑.
2𝜋
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 𝑡 + 𝜋)
𝑇
2𝜋
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 0 + 𝜋) = 𝐴 ⋅ sen 𝜋
𝑇
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ 0 = 0
Averigüemos ahora hacia dónde se está moviendo inicialmente el cuerpo. Nuevamente, evaluemos la ecua-
𝑇
ción de posición en 𝑡 = :
4
𝑇 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 𝜋 𝜋 2𝜋
𝑦 ( ) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ + 𝜋) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ + 𝜋) = 𝐴 ⋅ sen ( + 𝜋) = 𝐴 ⋅ sen ( + )
4 𝑇 4 𝑇 24 2 2 2
𝑇 3𝜋
𝑦 ( ) = 𝐴 ⋅ sen
4 2
3𝜋 𝑇
Como sen = −1, de forma que la posición en 𝑡 = :
2 4
𝑇
𝑦 ( ) = 𝐴 ⋅ (−1) = −𝐴
4
Este resultado implica que el cuerpo tiene una velocidad inicial que es hacia abajo ya que, transcurrido un
cuarto de período, el cuerpo se encuentra en la posición 𝑦 = −𝐴. La figura 5c muestra cómo cambia la posi-
ción de un cuerpo con MAS en el que la fase inicial es 𝜋 rad.
3𝜋
Analicemos el último caso. Si la fase inicial del movimiento es 𝜙 = 𝑟𝑎𝑑, la ecuación de movimiento queda:
2
2𝜋 3𝜋
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ sen ( ⋅ 𝑡 + )
𝑇 2
2𝜋 3𝜋 3𝜋
𝑦(0) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 ( ⋅ 0 + ) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 = 𝐴 ⋅ (−1) = −𝐴
𝑇 2 2
Solución:
(a)
Para escribir la ecuación de la posición del cuerpo necesitamos tres datos: la amplitud, la frecuencia angular
y las condiciones iniciales (𝑦0 y 𝑣0 ) del movimiento. Estos datos están dados en la letra del ejercicio:
𝐴 = 15 𝑐𝑚 = 0,15 𝑚
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓 = 2𝜋 · 0,20 𝐻𝑧 = 0,40𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜙 = 0 𝑟𝑎𝑑 (Si no te convence, fíjate en el análisis realizado en “Condiciones iniciales y fase inicial”)
(b)
Como ya conocemos la ecuación de la posición del cuerpo, realizar el bosquejo gráfico será muy sencillo.
Sabemos que la amplitud del movimiento es de 0,15 𝑚, esto significa que el cuerpo estará oscilando entre
las posiciones 𝑦 = 0,15 𝑚 e 𝑦 = −0,15 𝑚. Conocemos, además, las condiciones iniciales del movimiento. En
este caso 𝜙 = 0 𝑟𝑎𝑑, de modo que el gráfico tendrá una forma parecida al de la figura 5a. Los tiempos que
colocaremos en el eje del tiempo dependerán del período del movimiento. Como la frecuencia es de 0,20 𝐻𝑧,
el período es:
1 1
𝑇= = = 5,0 𝑠
𝑓 0,20 𝐻𝑧
Ahora, podremos colocar algunos tiempos en el eje, a modo de referencia. El gráfico 𝑦 = 𝑓(𝑡) nos queda de
la siguiente manera:
(c)
Para determinar en qué posición está el cuerpo en 𝑡 = 3,1 𝑠, sólo basta con evaluar la ecuación de la posición
en dicho tiempo:
Observación: Recuerda que, al realizar el cálculo anterior, la calculadora debe estar en Radianes. El cálculo
debe ingresarse en la calculadora tal como está: 0.15 × 𝑠𝑖𝑛(0.40 × 𝜋 × 3.1).
Para determinar el sentido del movimiento en ese momento, es decir para saber si en dicho instante el
cuerpo está subiendo o bajando, podemos fijarnos en el gráfico realizado en la parte (b). Si miramos con
atención dicho gráfico, nos damos cuenta que el instante de tiempo 𝑡 = 3,1 𝑠, está entre los instantes de
tiempo 𝑡 = 2,50 𝑠 y 𝑡 = 3,75 𝑠. En ese intervalo de tiempo, vemos que, a medida que avanza el tiempo, la
curva tiene pendiente negativa o, lo que es lo mismo, el cuerpo va alcanzando posiciones cada vez “más
negativas”. Esto significa, que el cuerpo, en el instante de tiempo 𝑡 = 3,1 𝑠, se está moviendo hacia abajo.
(d)
Para resolver esta parte, podemos recurrir a la definición de frecuencia y determinar cuántos ciclos realiza el
cuerpo en 12 𝑠 si la frecuencia del movimiento es de 0,20 𝐻𝑧.
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑓= ⟹ 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 𝑓 · ∆𝑡
∆𝑡
Fuentes
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. “Física Universitaria”. Volumen 1. Decimosegunda edición.
Pearson Education, México, 2009. ISBN: 978-607-442-288-7.
WILSON, Jerry; BUFFA, Anthony J.; LOU, Bo. “Física 11”. Primera edición. Pearson Education, México,
2011. ISBN: 978-607-32-0399-9.