Ejercicios Resueltos:

91. De una población, N=10000 personas nos proponemos obtener una

muestra, para estimar el ingreso promedio por persona. Se requiere que la
estimación muestral no se aparte en más de $500 del promedio verdadero
y que esto se cumpla en 95 de cada 100 casos. La desviación típica es de
$3000. ¿Cuál será el tamaño óptimo?

N=10000
σ =3000 Z 2 2 N
n
α=0.05 ( N 1) 2  Z 2 2

e=500
z=1.96

1.962 ∗30002 ∗10000

n = (10000−1)∗5002+1.962∗30002

345744000000
n=
2534324400

n= 136.42

Respuesta =136 personas

92. Supongamos que en un área dada, la proporción de explotaciones

agropecuarias que poseen energía es de 0.36. ¿Cuál será el error de
muestreo de la estimación, utilizando una muestra al azar de 300
explotaciones, con una confianza del 95% y un total de 8 000
explotaciones?

N=8 000
σ =0.36 Z 2 2 N
n
α=0.05 ( N 1) 2  Z 2 2

e=?
z=1.96
n=300
300
= 0.0375 < 0.1
8000
 8000 ∗ 0.362 ∗ 1.962
300 =
(8000 − 1) ∗ e2 + 1.962 ∗ 0.362

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟒. 𝟗𝟗𝟓

93. ¿Qué tamaño deberá tener una muestra para estimar dentro del 3%, la
proporción de mujeres casadas que van periódicamente a consulta
ginecológica, en una población de 5000 mujeres y una seguridad del 95%?

N=5 000
P=0.5
Q=0.5 Z 2 PQN
n
α=0.05 (N  1) 2  Z 2 PQ
e=0.03
z=1.96

5000 ∗ 0.5 ∗ 0.5 ∗ 1.962

𝑛=
(5000 − 1) ∗ 0.032 + 1.962 ∗ 0.5 ∗ 0.5

4802
𝑛= = 879.568
5.4595

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟖𝟕𝟗 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔

94. Se desea estimar el costo promedio de matrícula de los estudiantes

universitarios de la ciudad. Por estudios anteriores y a precios actuales se sabe
que la desviación típica es de $1800 a) Calcular el tamaño muestral fijando
para ello un error de +- 300 y una confianza del 99% b) Si se considera que la
población estudiantil que se desea investigar es de 12000 ¿Cuál sería el valor
de “n”? ; c) Calcular el valor de n si se desea estimar el valor total de la
matricula cancelada por los 12 000 estudiantes.

N=12000
σ =1800 Z 2 2 N
n
α=0.01 ( N 1) 2  Z 2 2

e=-300 y 300
z=2.97
2.972 ∗18002 ∗12000
n = (12000−1)∗3002+2.972∗18002

342956592000
n=
28579716

n= 309.390864930677
Respuesta : 309 estudiantes

95. La gerencia de una empresa manufacturera desea hacer una

investigación entre sus trabajadores, con el fin de establecer si a través de
cursos de entrenamiento y programas de mejoramiento de las condiciones
de trabajo, tanto en la empresa como en su vida familiar, se logra elevar el
rendimiento del personal. Con ayuda de un experto en estudios de tiempos
y movimientos, además de una trabajadora social, se realiza una encuesta
preliminar en 70 de los 3.600 trabajadores. Algunos resultados de la
encuesta fueron:
a) El tiempo promedio necesario para realizar la operación fue 40 minutos,
con una varianza de 2,4 horas.
b) 44 de los trabajadores son casados o de unión libre.
c) El total de gastos mensuales en recreación de los hijos fue de $59.000,
con una desviación típica del promedio igual a $325,00
Nota: Las 3 características anteriores se consideran importantes. Se ha
fijado un coeficiente de confiabilidad de 95%, un error del 5% para el
promedio y 10% para la proporción. ¿Qué tamaño de n recomendaría
usted?

N= Tamaño de la población

Z = Nivel de confianza

P= Probabilidad de éxito.

Q = Probabilidad de fracaso

D = Precisión
70∗(0,952 )∗0,05∗0,35
n=
0,012 ∗(0,952 )∗0,05∗0,35

1,1055
n= = 70,41
0,0157
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟕𝟎 𝒔𝒆𝒓í𝒂 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒎𝒆𝒏𝒅𝒂𝒅𝒂

96. En un barrio residencial se espera que el 60% de las familias tengan

vehículo propio. Se desea hacer una investigación para estimar la
proporción de familias propietarias de vehículo, en un intervalo de confianza
cuya amplitud no sea mayor de 0.03 y un coeficiente de confianza del
95.5%

a) Determinar el tamaño de la muestra.

e=-0.03 Z 2 PQ
n
z=-2.01 2
α=0.05
P=0.6
Q=0.4
−2.012 ∗0.6∗0.4
n= 0.032
0.96934
n=
0.0009
n = 1077.36 =

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎𝟕𝟕 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

b) ¿Qué sucedería si P=0.50?; ¿si es igual a 0.90?

Z 2 PQ
n
e=-0.03 2
z=-2.01
α=0.045
P=0.5
Q=0.5
−2.012 ∗0.5∗0.5
n= 0.032
1.010025
n= 0.0009
n = 1122.25 =
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔
c)
e=-0.03 Z 2 PQ
n
z=-2.01 2
α=0.045
P=0.9
Q=0.1
−2.012 ∗0.9∗0.1
n=
0.032
0.363609
n=
0.0009
n = 404.01 =
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝟒𝟎𝟒 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

d) En el caso del aparte a), si se conoce el número de familias en el barrio

(N=10 000), ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?

N=10 000
P=0.6
2
Q=0.4 Z PQN
n
α=0.045 (N  1) 2  Z 2 PQ
e=0.03
z=-2.01

10 000 ∗ 0.5 ∗ 0.5 ∗ −2.012

𝑛=
(10 000 − 1) ∗ 0.032 + −2.012 ∗ 0.5 ∗ 0.5

10100.25
𝑛= = 1009.104
10.009125

𝑛 = 1009 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑠
1009
𝑛= = 0.1009 > 0.1
10000
 n
𝑛= n = 916.52 = 916 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑠
1+𝑁

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝟗𝟏𝟔 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

97. Un estimativo de la proporción de artículos alterados de un inventario

de depósito, baja condiciones desfavorables, es obtenido de un error
máximo de 0.03 y un coeficiente de confianza del 97.5%. el muestreo total
consta de 20 000 artículos y se estima por anticipado que la proporción de
artículos no alterados es del 85% ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra
para asegurar un estimativo dentro de la precisión deseada?

N=20 000

P=0.85
Z 2PQN
n
Q=0.15 ( N  1) 2  Z 2 PQ
α=0.025

e=0.03

z=-2.24

20 000 ∗ 0.85 ∗ 0.15 ∗ −2.242

𝑛=
(20 000 − 1) ∗ 0.032 + −2.242 ∗ 0.85 ∗ 0.15

10100.25
𝑛= = 1014.13
9.9595

𝑛 = 1014 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑠
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

98. Una oficina de investigación sobre salud considera que el 20% de

las personas adultas de una región, padecen cierta enfermedad parasitaria.
¿Cuántas personas tendrán que seleccionar de la muestra al azar para que
el error de estimador de la proporción sea del 7% y una confianza del 99%?

𝑍² 𝑃 𝑄
𝑛=
𝛿²
(2.57)2 (0.2)(0.8)
𝑛=
(0.07)²
𝑛 = 215.67 ≅ 216 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ∶ ≅ 𝟐𝟏𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

99. Interesa estimar el número promedio de accidentes de tránsito en

una ciudad cualquiera. Durante un año (365 días) se determina una
desviación típica de 12 accidentes diarios. ¿Cuántos días (tamaño de
muestra) se requiera para no errar, en más de 2 accidentes, con un 90% de
confianza?

N=365
σ =12
Z 2 2 N
α=0.1 n
e=12 ( N 1) 2  Z 2 2

z=1.69

1.692 ∗122 ∗365

n =(365−1)∗122+1.692∗122

150116.616
n=
52827.2784
n= 2.84
n=3 días
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟑 𝒅í𝒂𝒔
 3
n= = 0.008 < 0.1
365

100. Se selecciona una muestra aleatoria simple de familias de clase

media en un barrio de la ciudad, con el fin de estimar el ingreso promedio
mensual. El error debe estar en el rango de $500 con un riesgo de 0.045.
¿De qué tamaño debe ser seleccionada la muestra, si la desviación normal
ha sido calculada en $2800?

σ=2800
α=0.045
e=500
z=-2
(2800∗(−2))2
n= 5002

31360000
n=
250000
n = 129.44
n = 129 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎𝑠

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟏𝟐𝟗 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

101. Entre los estudiantes de cierta universidad privada, se toma una

muestra aleatoria para estimar la proporción de alumnos que utilizan la
biblioteca. El error debe conservarse en un 4%, con un riesgo del 0.045.
¿Cuál es el tamaño de la muestra, si la universidad tiene 3200 alumnos
matriculados?

e= 0.04
z= -2 2
Z PQN
α= 0.045 n
(N  1) 2  Z 2 PQ
P= 0.5
Q= 0.5
N=3200
 3200 ∗ 0.5 ∗ 0.5 ∗ −22
𝑛=
(3200 − 1) ∗ 0.042 + −22 ∗ 0.5 ∗ 0.5
3200
n=
6.12
n = 522.88
n = 523 alumnos
523
n= = 0.16> 0.10
3200

n
𝑛= n = 450.86 = 451 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠
1+𝑁

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟒𝟓𝟏 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔

102. Determine el tamaño máximo de una muestra para estimar

proporciones, con una confianza del 99%, sin que el error en la estimación
exceda del 2% para un población de 10000.

𝑍 2 𝑃𝑄𝑁
𝑛=
(𝑁 − 1) 𝛿² + 𝑍 2 𝑃 𝑄

(2.57)2 (0.5)(0.5)(10000)
𝑛=
(10000 − 1) (0.02)² + (2.57)2 (0.5)(0.5)

16512.25
𝑛=
5.650825

𝑛 = 2922.0954 ≅ 2922

Pero:
𝑛 2922
= = 0.2922 > 0.10
𝑁 10000
Entonces:
𝑛 2922
𝑛𝑐 = 𝑛 → 𝑛𝑐 =
1+ 𝑁 2922
1 + 10000

𝑛𝑐 = 2261.2599 ≅ 2261

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ≅ 𝟐𝟐𝟔𝟏

103.
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟑𝟓

104. Un especialista en publicidad desea calcular el tamaño de la muestra

de hogares en un barrio de la ciudad, para determinar en qué proporción
por lo menos uno de sus miembros ve el programa musical X. se desea que
la estimación este a 0.04 de la proporción verdadera, con un 90% de
confianza. En una encuesta preliminar a 30 hogares, el 30% de los
entrevistados indico que alguien veía regularmente dicho programa.
𝑍 2 𝑃𝑄𝑁
𝑛=
(𝑁 − 1) 𝛿² + 𝑍 2 𝑃 𝑄

(1.64)2 (0.3)(0.7)(30)
𝑛=
(30 − 1) (0.04)² + (1.64)2 (0.3)(0.7)

16.94448
𝑛=
0.611216
𝑛= 27.7226 ≅ 28 ℎ𝑜𝑔𝑎𝑟𝑒𝑠
Pero:
𝑛 28
= = 0.933 > 0.10
𝑁 30
Entonces:
 𝑛 28
𝑛𝑐 = 𝑛 → 𝑛𝑐 =
1+ 28
𝑁 1 + 30

𝑛𝑐 = 14.483 ≅ 14 ℎ𝑜𝑔𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 =≅ 𝟏𝟒 𝒉𝒐𝒈𝒂𝒓𝒆𝒔

104. Se desea hacer una investigación sobre un ingreso familiar promedio

de los 12 500 hogares en una ciudad intermedia. Por investigaciones
anteriores se considera que la desviación típica de los ingresos es de
$3000. ¿Qué tamaño debe tener la muestra, si se desea hacer una
estimación de la media que se encuentra a $300 de la media verdadera
con un nivel de confianza del 95.5%?

N=12 500 Z 2 2 N
n
σ=3000 ( N 1) 2  Z 2 2

α=0.045
e=300
z=-2
−22 ∗30002 ∗12500
n= (12500−1)∗3002 +22 ∗30002
450000000000
n= = 387.63
1160910000

n= 387 familias

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = 𝟑𝟖𝟕 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

387
n= = 0.031< 0.10
12500