Introducción al Pensamiento Científico – Primer parcial - UBA XXI –

Cátedra: Buacar A
El reconocimiento de argumentos
Hacer ciencia, implica manejarse en el ámbito del lenguaje, haciendo un uso especifico, desde ciertas reglas.
Consiste en tratar de describir los fenómenos, explicarlos, hacer pronósticos e hipótesis acerca de cómo son
las cosas. Todas estas actividades de escribir, explicar, pero sobre todo argumentar, son acciones que se
hacen en la ciencia desde el lenguaje.

La ciencia es una actividad que se lleva a cabo en comunidad, y se nos presentan elementos conflictivos o
disputas a la hora de ponernos de acuerdo en las explicaciones o posturas que se tienen de cara a un mismo

OM
tema. En esta situación, la argumentación va a cobrar un rol fundamental.

La argumentación
Dentro de estas tensiones que implican diferenciarse de otras posturas, la argumentación nos va a permitir
sostener y respaldar las posiciones o posturas. Dando razones a favor de algo a través de los fundamentos
que permitan justificar aquello que estamos tratando de sostener.

.C
¿Qué es un argumento?
Es un fragmento de lenguaje, ya sea escrito u oral, compuesto por un conjunto de enunciados
(oraciones que afirman o niegan que algo sea el caso) donde algunos se ofrecen a favor de otros y
mantienen una estructura (premisas y conclusión)
DD
Su estructura
Los argumentos mantienen una estructura: premisas y conclusión. Las premisas son conjuntos
de enunciados que establecen razones a favor de la conclusión. La conclusión es un enunciado
a favor del cual se argumenta, puede ser compleja, pero es única de cada argumento.
LA

Las proposiciones que componen un argumento pueden cumplir diferentes funciones: premisas
o conclusión.

• Los argumentos pueden estar formados por una única oración: "Amalia ha promocionado IPC,
pues obtuvo un diez de promedio y para promocionar se requiere un promedio superior a siete".
• La estructura de los argumentos es constante pero el orden de su formulación es variable.
FI

• No todos los argumentos presentan indicadores en su formulación.

Un argumento puede ser formulado en un solo enunciado, por ejemplo:



CONCLUSIÓN PREMISA
“Hipatia de Alejandría es considerada una mártir, pues fue brutalmente asesinada por una turba de cristianos
por enseñar ciencia y filosofía paganas.”

Candela Iara Henin – UBA XXI – IPC Resumen - Cátedra A: Buacar.

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 Indicadores de
Premisas Conclusión
Dado que… Luego…
Puesto que… Por lo tanto…
Porque… Por consiguiente…
Pues… En consecuencia…
En primer lugar…, en segundo lugar… Concluyo que…
Además… Podemos inferir…
Se puede inferir del hecho… Se sigue que…
Debido a… Queda demostrado entonces que…
Teniendo en cuenta que… Lo cual prueba que…
Atendiendo a… Lo cual justifica…
En efecto… Consecuentemente…

Estas expresiones no son evidencia incuestionable de la existencia de un argumento. Consideremos el uso de

la palabra luego en la siguiente oración:

OM
“La Ley 26.743 de Identidad de Género establece el derecho a la identidad de género de las personas, fue
sancionada el 9 de mayo de 2012 y, luego, promulgada el 23 de ese mes.”

No hay aquí argumento alguno y la expresión luego no funciona como indicador de conclusión, sino como
conector temporal.

Enunciado: Aquello que está afirmado por las oraciones

.C
Oraciones: La base material que permite sostener determinados contenidos, es decir, el enunciado. No todas
las oraciones expresan enunciados. Las oraciones que afirman enunciados son denominadas
DD
"oraciones declarativas" sólo de ellas se puede sostener que son verdaderas o falsas.

Proposición: Se la puede entender en el sentido de enunciado. Lo que las oraciones afirman y/o quieren
expresar. Por ej:

1. Bárbara McClintock realizó importantes aportes a la genética.

2. Importantes aportes a la genética fueron realizados por Bárbara McClintock
LA

Ambas oraciones están escritas de manera distinta, pero expresan el mismo significado, ósea la misma
proposición.

Uso y mención de expresiones

FI

1. Marie-Sophie Germain hizo importantes contribuciones a la matemática.

2. “Marie-Sophie” es un nombre compuesto.

Cuando la expresión Marie-Sophie está siendo usada, pues nos referimos a una persona, una identidad


extralingüística; mientras que, en el segundo caso, está siendo mencionada, pues la estamos usando para
referirnos a la expresión misma, a la palabra Marie-Sophie.

Tipos de enunciados
Los conjuntos de enunciados que componen argumentos se clasifican según criterios lógicos. Dentro de estos
podemos distinguir enunciados simples y enunciados complejos. Su diferencia radica en la utilización de
expresiones lógicas en cierto tipo de enunciados y en otros no.

Expresiones lógicas: Términos o conjuntos de términos que permiten combinar oraciones simples
para dar lugar a oraciones complejas. Son vocablos que nombran relaciones constantes entre
oraciones. Por ejemplo: y, o, o bien, si…, entonces, no.

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 Enunciados simples Enunciados complejos

No contienen expresiones lógicas, ni pueden Constituyen una combinación de enunciados

descomponerse en otros enunciados. mediante el uso de expresiones lógicas.

Oraciones simples:
Según su alcance
Singular: Se refiere a un individuo o entidad en particular. Ej: “El obelisco mide más de 60 metros”. Va a ser
verdadera cuando la entidad posea esa característica, en casos de que no posea la característica, es falsa.

Universal: Se refiere a todos los miembros de un conjunto. Ej: “Los perros tiene cuatro patas”. Son verdaderas

OM
cuando todos y c/u de los miembros de la totalidad cumplen la característica. Es falsa, cuando encuentro un
caso que no tenga dicha característica.

Existencial: Afirma que algunos miembros de un determinado conjunto cumplen con una determinada
propiedad. Ej: “Algunos docentes dictan clases de filosofía”. Es verdadera cuando encuentro dentro de la
totalidad, al menos una entidad, que cumpla la propiedad. Es falsa cuando ninguna parte del conjunto posee
la característica.

.C
Probabilística o Estadística: Se refieren a una entidad (o a un conjunto de entidades) a la cual se le asignan
una determinada probabilidad de poseer cierta propiedad. Ej: “Es altamente probable que un/a fumador/a
desarrolle cáncer de pulmón”. Es difícil determinar sus condiciones veritativas, las probabilidades complejizan
DD
Oraciones complejas:
Según su estructura proposicional
Conjunciones: Son dos oraciones simples A y B, la conjunción
LA

Se ordenan a partir del significado

de la expresión lógica “Y” entre ambas tiene la estructura “A y B” y sólo es verdadera en el caso
de que tanto A como B sean verdaderas. Ejemplos:

• “Los perros y los gatos son mamíferos” A: “Los perros son mamíferos” (Verdadera) B: “Los gatos son
mamíferos” (Verdadera). Por lo tanto, es una conjunción verdadera.
FI

• “2+2=4 pero 2+1 también” A: “2 +2=4” (Verdadera) B: “2+1” es 3 por lo tanto, falsa. Entonces, es una
conjunción falsa.

Tabla de verdad


A B AyB
1. Verdadera Verdadera Verdadera Es verdadera cuando ambos conyuntos lo son.
2. Verdadera Falsa Falsa
3. Falsa Verdadera Falsa
4. Falsa Falsa Falsa

Se ordenan a partir del significado Disyunciones: Surgen de combinar dos o más proposiciones e
de la expresión lógica “O” indican que, al menos una de ellas, es el caso.

1) Inclusivas: No excluye el caso que se den los dos disyuntos, pero tampoco se
“O” compromete con ello. Ej: “Estela o Amalia vendrán”. Viene una, o viene la otra,
pero no me impide que vengan las dos.

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Tabla de verdad
A B AoB
1. Verdadera Verdadera Verdadera Son verdaderas cuando, al menos, uno de
2. Verdadera Falsa Verdadera los casos es verdadero.
3. Falsa Verdadera Verdadera
4. Falsa Falsa Falsa

“O bien” 2) Exclusivas: Afirman que uno de los disyuntos es el caso, pero excluye la
posibilidad de que ambos lo sean. Ej: “El menú incluye o bien postre, o bien café”.

OM
Tabla de verdad
A B O bien A o bien B
1. Verdadera Verdadera Falsa Son verdaderas cuando sólo uno de los
2. Verdadera Falsa Verdadera disyuntos, es el caso.
3. Falsa Verdadera Verdadera

.C
4. Falsa Falsa Falsa

Condicionales: Establecen una condición. Aquellas oraciones que no afirman ninguna de las proposiciones
combinadas, sino que en caso de darse una se da la otra.
DD
A B= Antecedente Consecuente
Ejemplo: Un tsunami azota Buenos Aires Buenos Aires se inunda
LA

Si… Es suficiente…. Condición suficiente: Algo es suficiente para que suceda un hecho, pero no
es necesario. Si A entonces B.
Para… Basta que…
para….
FI

Condición necesaria: Si sucede una cosa se da la otra. No puede ser de

Solo si… (Consecuente) otra manera. Sólo si A entonces B. El “sólo si” indica el consecuente: el resto
de la oración es considerado como parte del antecedente.


Tabla de verdad
A B A B
1. Verdadera Verdadera Verdadera Si sucede el antecedente y no el
2. Verdadera Falsa Falsa consecuente, es falsa.

3. Falsa Verdadera Verdadera

4. Falsa Falsa Verdadera

Si y solo si… Bicondicionales: Establecen entre las partes de una oración una relación
condicional que va en ambos sentidos; es tanto necesaria como suficiente.
Siempre y cuando… Ej: “Buenos Aires se inunda siempre y cuando sea azotada por un tsunami”

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Tabla de verdad
A B A siempre y cuando B
1. Verdadera Verdadera Verdadera
Son verdaderas cuando el antecedente y el
2. Verdadera Falsa Falsa
consecuente tienen el mismo valor de
3. Falsa Verdadera Falsa verdad.
4. Falsa Falsa Verdadera

Es falso que… Negaciones: Afirman que simplemente NO es el caso de que ocurra algo. Para
No… cualquier oración A su negación “no A” es verdadera si A es falsa. A la inversa, si
A fuera verdadera, su negación será falsa.

OM
No es cierto que…
Nadie…

Tabla de verdad
A No A
1.
2.
Verdadera
Falsa

.C
Falsa
Verdadera
DD
Según su modalidad
Contingencias: Son oraciones que pueden resultar verdaderas o falsas según sea el caso. Sus condiciones
veritativas están determinadas por el contenido de lo afirmado en las oraciones (y no por su estructura o forma
lógica) y su verificación es empírica. Ejemplos:

a) “Francisco es hincha de Racing” Si aquello que se enuncia en la

LA

b) “Si este gato maúlla entonces su dueña lo alimenta” oración, corresponde con los hechos,
será verdadero, sino falso.
c) “El oro es valioso en América o Europa”

Tautologías: Son oraciones necesariamente verdaderas en cualquier circunstancia por su estructura o forma
lógica (Determinada, a su vez, por las expresiones lógicas que la componen). Ejemplos:
FI

a) “Si llueve entonces llueve” (“Si A entonces A”)

b) “Llueve o no llueve” (“A o no A”)
c) “No es cierto que llueve y no llueve” (No [A y no A])

Contradicciones: Son oraciones necesariamente falsas en cualquier circunstancia por estructura o forma


lógica (Determinada, a su vez, por las expresiones lógicas que la determinan). Ejemplos:

a) “No es cierto que llueve si entonces llueve” (No [A entonces A])

b) “No es cierto que Diana va a venir o no va a venir” (No [A o no A])
c) “Llueve y no llueve” (A y no A)

Tipos de argumentos
Los argumentos son parte central de nuestra práctica lingüística. Por medio de ellos obtenemos conclusiones
a partir de la información que disponemos, damos razones, establecemos enunciados a partir de otros
enunciados.

Un argumento es un fragmento del lenguaje en el que se pretende establecer una conclusión a partir de ciertas
premisas, que ofician de razones para la afirmación de la conclusión. Ahora bien, puede resultar que las

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razones referidas sean concluyentes (argumentos deductivos) o que solo ofrezcan alguna razón
(argumentos inductivos).

Argumentos deductivos
Son aquellos donde las premisas ofrecen razones concluyentes a favor de la conclusión. Dan un apoyo
absoluto a la conclusión, por lo tanto, son válidos. En otras palabras, los argumentos deductivos o válidos
preservan la verdad. La validez de un argumento garantiza que, si las premisas son verdaderas, la conclusión
también lo será, pero no garantiza que sus premisas sean efectivamente verdaderas. Un argumento válido,
que a su vez tiene todas sus premisas verdaderas, es un argumento sólido.

Se asocian a:

• La noción de necesidad: La conclusión se sigue necesariamente de las premisas; de modo

OM
que, si las premisas son verdaderas, la conclusión lo será necesariamente.
• La formalidad: La pretendida necesidad con que se sigue la conclusión de las premisas está
asociada con la forma o estructura de dicho argumento que garantiza que, si las premisas
fueran verdaderas, la conclusión también lo sería.
• Todo lo que se dice en la conclusión, está contenido en las premisas (No hay
nada nuevo)
Las oraciones pueden ser verdaderas o falsas. Si asumimos entonces que las oraciones que componen un

.C
argumento son o bien verdaderas, o bien falsas, hay solo cuatro opciones para los argumentos:

Sólido
DD
Premisas V V F F
Conclusión V F V F
Inválido

Su validez puede decidirse por métodos puramente lógicos:

Reglas de inferencia válidas:

LA

Modus Ponens Modus Tollens Simplificación Adjunción

Si A entonces B Si A entonces B AyB A

A No B A B
B No A AyB
FI

Silogismo disyuntivo Silogismo hipotético Instanciación del universal

AoB Si A entonces B Todos los R son P R, P: Propiedades

No A Si B entonces C X es R X: Individuos
B Si A entonces C X es P


Consideramos que el conjunto de las premisas es verdadero cuando todas las premisas lo son. Por el contrario,
basta que un elemento del conjunto de premisas sea falso para que “las premisas” sean falsas. La razón de
ello radica en que el “conjunto de las premisas” puede pensarse como afirmando conjuntamente cada una de
ellas, más precisamente como afirmando su conjunción.

¿Cómo encontramos la validez de los argumentos más complejos con una gran cantidad de premisas? A través
de:
Es una secuencia de oraciones que parten de supuestos o
premisas, y donde cada una de las líneas o pasos
Deducciones (pruebas directas) siguientes se obtiene aplicando alguna de las reglas de
inferencia a algunas de las líneas anteriores, y dónde la
última es la conclusión.

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Por ejemplo:
- Si Maria se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta. 1. Si Maria se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta.
- María se puso ojotas y malla. 2. María se puso ojotas y malla.
- Maria no irá a la pileta. 3. Maria no irá a la pileta.
Por lo tanto, Maria irá a la playa. 4. María se puso ojotas (Simplificación en 2)
5. Maria irá a la playa o a la pileta (Modus Ponens entre
1 y 4)
6. María irá a la playa (Silogismo disyuntivo entre 3 y 5)
Se construye una deducción, mediante una serie finita de pasos partiendo de las premisas utilizando las reglas
de inferencias necesarias mientras que cada premisa se infiera de la anterior. De esta manera se llega a la
conclusión.

OM
- Si A entonces B o C 1. Si A entonces B o C
- A y D. 2. A y D
- No C 3. No C
Por lo tanto, B 4. A (Simplificación en 2)
A: Maria se pone ojotas 5. B o C (Modus Ponens entre 1 y 4)
B: María irá a la playa 6. B (Silogismo disyuntivo entre 3 y 5)
C: Maria irá a la pileta.
D: María se puso malla

Pruebas directas

Premisa .C Las reglas de inferencia son formas válidas, por lo

DD
tanto, garantizan que, si las premisas son verdaderas,
Premisa
la conclusión necesariamente lo será.
…
Premisa
Conclusión

Cuando no llegamos a demostrar la validez de un argumento a través de este tipo de pruebas, no me indica
LA

nada sobre su validez, ya que no encontrar su solución puede ser un problema mío. Por lo tanto, hay otra
forma de hacerlo:
A las premisas que tenemos, se les agrega un
supuesto adicional donde se debe negar aquello que
Pruebas indirectas (Por absurdo) queremos inferir (la conclusión). Por ejemplo:
Conclusión = NO Conclusión. Así, mediante las reglas
FI

de inferencia llegar a una contradicción.

- Si Pedro sale a correr, dormirá bien. 1. Si A entonces B

- Si Pedro duerme bien, aprobará química. 2. Si B entonces C


- Pedro no aprobó química. 3. No C

Por lo tanto, Pedro no salió a correr. 4. A (Se niega lo que se quiere inferir)
No A 5. Si A entonces C (Silogismo hipotético entre 1 y 2)
6. C (Modus ponens entre 5 y 4)
7. C y no C (Adjunción entre 3 y 6)
8. No A (Por absurdo)
A: Pedro sale a correr.
B: Pedro duerme bien.
C: Pedro aprobó química.

En las pruebas por absurdo, se parte de suponer que aquello que se pretende probar no es el caso y se intenta
arribar a una contradicción (siempre por aplicación de las reglas de inferencia). De obtener la contradicción (de
la forma “A y no A”) es posible afirmar que el supuesto del cual se partió (“no C”) es falso; puesto que si fuera
verdadero no habría ocurrido la contradicción -enunciado necesariamente falso-; recordemos que las reglas de
inferencia garantizan la conservación de la verdad. De este modo se da por demostrada la conclusión C.

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 Pruebas indirectas

Premisa
Premisa
…
No conclusión (supuesto adicional)
…
Contradicción
Conclusión

Argumentos inductivos

Admiten todos los criterios de verdad.

OM
Premisas V V F F
Conclusión V F V F

Cuando sucede esto, son inválidos por que la conclusión no está apoyada por las premisas.

• Son argumentos inválidos debido a que las premisas no ofrecen un apoyo absoluto a la conclusión.
• Si bien este tipo de argumentos no ofrecen razones concluyentes, si ofrecen algunas, por esto mismo

.C
no hablaremos de validez sino del contenido de los argumentos.
La fortaleza de estos argumentos es cuestión de grado: hay argumentos más o menos fuertes, esto va
a depender de la cantidad de razones que se tengan para respaldar la conclusión.
DD
Es posible distinguir diferentes tipos de argumentos inductivos Su evaluación obliga a considerar criterios
específicos:

• El contenido -aquello de lo que hablan las premisas y la conclusión-

• Puesto que las premisas ofrecen un apoyo parcial a la conclusión, el resultado de su evaluación
será un grado de fortaleza. Si es más fuerte o más débil.
LA

Por analogía

La comparación entre dos o más cosas, entidades o eventos, y a partir de la constatación de que ellos
son similares en ciertos aspectos, se concluye que lo son también en otro. Se parte de información
respecto de ciertos casos observados para establecer similitudes entre los diversos casos e inferir algo
FI

sobre alguno de ellos.

X1 tiene las características F, G, …, Z. Xn: Eventos, cosas, propiedades.

X2 tiene las características F, G, …, Z. F, G, …, Z: Aspectos,

características o propiedades.


…………….

Xn tiene las características F, G, …

Xn tiene la característica Z.
Criterios de evaluación

1. Relevancia del aspecto – o los aspectos – sobre los que se asientan la analogía: Si las
similitudes observadas entre los distintos casos son relevantes respecto de aquella similitud
inferida. Cuanto mayor sea el número de aspectos relevantes en los que los casos se parecen,
más fuerte será el argumento.
2. La cantidad de aspectos relevantes similares: Cuanto mayor sea la cantidad de casos o
instancias que son similares en uno (o más) sentido(s) relevante(s) respecto de la característica
que se pretende inferir, más fuerte será el argumento.
3. La cantidad de casos que se ofrecen en las premisas: Mientras más casos análogos se
consignen, más fuerte será el argumento por analogía.

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 Por enumeración incompleta

Se parte en las premisas de una serie de casos observados y se generaliza en su conclusión para
casos que van más allá de la evidencia disponible. Por ello, dichos argumentos no logran establecer
su conclusión de modo concluyente.

X1 es Z.

X2 es Z.

X3 es Z.

…….

OM
Xn es Z.

Por lo tanto, todos los X son Z.

Criterios de evaluación

1. Representatividad de la muestra: Los casos observados son representativos respecto de la clase

sobre la cual se quiere inferir la conclusión. Cuanto mayor sea la cantidad, más probable será que

.C
la conclusión se dé y más fuerte será el argumento.

Cualquier elemento del conjunto sobre el cual pretendo establecer la conclusión pueda
formar parte de esa muestra
DD
Silogismos inductivos

En estos argumentos, una de las premisas posee la forma de una generalización estadística o
probabilística y la otra subsume un caso en dicha generalización, para concluir que dicho caso cumple
con aquello establecido por la generalización.
LA

El n por ciento (o la mayoría, o muchos) de los F son G. Premisa 1: Generalización estadística,

establece la frecuencia relativa de dos
X es F. propiedades.

Por lo tanto, X es G.

Criterios de evaluación
FI

1. Frecuencia relativa: Cuanto mayor sea esa frecuencia relativa, más fuerte será el argumento.
2. Se ha de considerar el total de la evidencia disponible: Resulta crucial tomar en cuenta el total
de evidencia disponible y, en particular, atender a aquella que resulte más específica.

Los argumentos inválidos admiten:



• Es un ejemplo de argumento inválido formulado para demostrar la invalidez de

ese argumento que queremos probar.
Contraejemplos • Debe cumplir con la forma de argumento, en cuestión.
• Sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa.

Reglas de inferencia inválidas:

Falacia de negación del antecedente Falacia de afirmación del consecuente

Si A entonces B Si A entonces B
No A B
No B A

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Sistemas axiomáticos

Conocimientos geométricos
• Primeros conocimientos matemáticos: pueblos mesopotámicos y egipcios.
• Sólo se aplicaban estos conocimientos a cuestiones/objetos en concreto.
Origen • Estos conocimientos NO configuraban un sistema, es decir, no se hallaban articulados
entre sí, no estaban organizados.

• Los griegos cambian la perspectiva y encuentran la abstracción de la matemática, es

decir, que sea aplicable a cualquier ámbito sobre cualquier objeto o propiedad.
• Enfocan la matemática en un tratamiento general, y a su vez, organizar el conocimiento
Grecia

OM
matemático en un sistema. Esta organización está articulada con demostraciones.
• La matemática es una ciencia donde las verdades se demuestran mediante la aplicación
del razonamiento deductivo. Y para todo esto, aparecen los sistemas axiomáticos.

Primera sistematización de los conocimientos matemáticos

Euclides
.C • Fue quien logró sistematizar los conocimientos geométricos.

presentar los enunciados articulados, organizados, estructurados entre sí.

DD
Adopta esta perspectiva, según la cual la ciencia es un conjunto de
afirmaciones sobre un determinado objeto –en este caso la
Perspectiva aristotélica geometría–, con el requisito de que ellas sean generales y
necesariamente verdaderas.
LA

Distingue distintos tipos de principios y los llama postulados, nociones comunes y definiciones.

Postulados: Hoy en día denominados axiomas, son aquellos que se refieren a una ciencia en particular, y son
los siguientes:
FI

1. Desde un punto a otro siempre se puede trazar una recta.

2. Una recta se puede prolongar indefinidamente en cualquiera de sus dos direcciones.
3. Dado un punto y un segmento, se puede construir un círculo que tenga a ese punto como centro y a
ese segmento como radio.
4. Los ángulos rectos son iguales entre sí.


5. Si una recta corta a otras dos de manera que la suma de los ángulos interiores de un mismo lado sea
menor que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas prolongadas, se cortaran del mismo lado de la
primera línea recta en que se encuentren aquellos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.
Este postulado 5º se conoce como Postulado de las paralelas y dará lugar –como veremos luego– a intensas
discusiones y a cambios de gran importancia en la historia de la geometría.

Nociones comunes: Hacen referencia a cuestiones generales que pueden aplicarse tanto a la geometría,
como a otros ámbitos de la ciencia o de la vida cotidiana, como, por ejemplo:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.

2. El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Definiciones: se despega de los lineamientos aristotélicos, según los cuales es necesario tomar ciertos
términos como puntos de partida y no definirlos. Euclides define todos los términos con los que trabaja, por
ejemplo:

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 1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una línea es una longitud sin anchura.

A partir de los postulados y de las nociones comunes, Euclides obtiene deductivamente una serie de
enunciados llamados por él proposiciones, o en terminología contemporánea, teoremas. Construye
demostraciones de estas las proposiciones o teoremas, en las que a partir de las premisas se deduce la
conclusión por aplicación de reglas de inferencia. Pero, Euclides no explicita las reglas de inferencia, según
las cuales procede en cada paso de la demostración. Solo parte de principios y va obteniendo sucesivas
consecuencias.

“Si una recta c corta a otras dos a y b formando de un mismo lado ángulos internos menores que
dos rectos, esas dos rectas a y b se cortan del lado donde se encuentran los ángulos
mencionados”
Recordemos que, para Euclides, un requisito de los axiomas (o postulados) era que su verdad fuera evidente.
Sin embargo, esta formulación del quinto postulado resulta ser mucho menos evidente que la de los cuatro
primeros. Esta aparente falta de evidencia hizo que plantearan que el postulado era, en realidad, un teorema
– es decir, que podía ser demostrado a partir de aquellos.

OM
Dado que la ciencia permaneció aletargada en Europa durante un largo período, recién en el siglo XVI se
retoman los intentos de demostración del quinto postulado.

Presenta un enfoque metodológico diferente a los intentos anteriores por demostrar el

Saccheri quinto postulado. Se trata de una demostración indirecta, o por el absurdo.

.C
• Saccheri suponía que negando el quinto postulado iba a encontrar una contradicción que lo llevaría a
rechazar ese supuesto provisional y le permitiría, entonces, concluir la afirmación del quinto postulado. Si
lo lograba, ello valdría como una demostración –de carácter indirecto– del postulado 5 a partir de los otros
DD
cuatro y probaría, por ende, que este no era independiente. No llegó a ninguna contradicción, pero obtuvo
una cantidad de teoremas extraños.

Caso 1. Por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela.

Caso 2. Por un punto exterior a una recta, pasan más de una paralela.
LA

• Si bien Saccheri no llego a demostrar lo que él quería, arribo sistemas alternativos a Euclides, a partir de
los cuatro postulados; y dos hipótesis que negaban el quinto. Esta contribución abrió las puertas para el
desarrollo futuro de nuevas geometrías, pero esto ocurriría recién a principios del siglo XIX.

Geometrías no euclideanas
FI

Siglo XIX
Gauss, Lobachevsky y Bolyai.
Geometría hiperbólica


• Infinitas paralelas. ✓ Trabajan con un sistema en el cual están los

• Menos de 180° primeros cuatro postulados de Euclides en
• Recta infinita. conjunto a la hipótesis N° 2 de Saccheri.

Demuestran que el resultado de juntar estos principios y desarrollarlo deductivamente es un sistema coherente
que no genera ninguna contradicción.

Geometría elíptica Riemman.

✓ Trabajan con un sistema en el cual están los primeros
cuatro postulados de Euclides en conjunto a la hipótesis
• Ninguna paralela. N° 1 de Saccheri. Con una modificación en el 2do
• Más de 180° postulado de Euclides por que trabaja con la idea de
• Recta cerrada. línea recta cerrada que vuelve sobre sí misma.

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 Construyen sistemas axiomáticos aparentemente para la geometría. Aparentemente axiomatizan geometrías,
pero sin embargo tienen principios y, luego, teoremas que no son de la geometría conocida en la época.

La primera reacción de la comunidad matemática fue restar importancia a estos trabajos, creían que eran
sistemas coherentes, pero los veían como juegos simbólicos que no esclarecen ninguna realidad. En la medida
que estos juegos de símbolos pudieran ser interpretados como aplicables al espacio real esto mostraría que la
idea de Aristóteles de que se podía axiomatizar la geometría a partir de esos 5 postulados de carácter evidente
era falsa y que los axiomas no podían ser considerados verdades evidentes. La comunidad matemática asumió
que estas geometrías no tenían ninguna relevancia para la ciencia.

Siglo XX
Toma las geometrías no euclídeas para desarrollar la teoría de la relatividad que explica el
Einstein fenómeno de la gravedad. Cuando esta teoría adquirió aceptabilidad en la comunidad
científica, Einstein logro reivindicar un tipo de geometría no euclídea como una teoría que
describía el espacio físico real. Ya no podía decirse que las geometrías no euclídeas eran
meros símbolos.

OM
Con esto se desmorona la idea de que los axiomas de la
geometría de Euclides podían ser considerados evidentes.

Perspectiva contemporánea de los sistemas axiomáticos

• Axiomas: Ya no son considerados verdades evidentes (cómo pretendían Aristóteles y Euclides). Entonces lo

.C
que antes se consideraban axiomas, ahora pueden ser teoremas, si se obtienen deductivamente.

Esto, en conjunto al desarrollo del estudio de la lógica que se dio a finales del siglo XIX condujeron a una
concepción diferente sobre lo axiomático. Una “concepción formalista” según la cual los sistemas axiomáticos son
DD
meras estructuras formales, que solo tienen relaciones estructurales entre ellos.

Elementos de un sistema axiomático

• Axiomas: Son enunciados que se toman como puntos de partida del sistema.
• Teoremas: Son las conclusiones que se van obteniendo deductivamente a partir de los axiomas.

Los axiomas y los teoremas no nos dicen nada como elementos de una estructura formal, comienzan a ser
LA

enunciados con contenido (pueden ser juzgados como verdaderos o falsos) cuando pueden ser interpretados.

• Reglas de inferencia: Son explicitas.

• Demostraciones: Son secuencias de enunciados que parten de los axiomas y van obteniendo nuevos teoremas
a partir de la aplicación de reglas de inferencia.
• Términos: Expresiones lingüísticas con significado que componen a los axiomas y teoremas, se clasifican en:
FI

• Lógicos: Expresiones como todos, son, pasan por, si… entonces, y, o, etc.
• No lógicos: Hablan acerca de los objetos y propiedades de los que habla la teoría. Por ej, en el
caso de la geometría (recta, punto, triángulo, círculo, ángulo, etc.)
• Primitivos: Se aceptan y emplean sin definición.


• Definidos: Se definen de los primitivos.

• Reglas de formación: Reglas gramaticales del sistema que indican como combinar los términos para configurar
una fórmula con expresiones complejas bien formada.

Selección de los axiomas

• Si tomáramos un punto de partida y A se deduce de B y B de C caeríamos en una regresión al infinito.

• Si A se deduce de C caeríamos en un círculo vicioso.
Para no caer en estas dos opciones hay que aceptar algunos enunciados sin demostración.

Hay que preguntarse la verdad de los axiomas cuando el sistema haya sido INTERPRETADO.

Propiedades de los sistemas axiomáticos contemporáneos:

• Independencia: Un sistema es independiente cuando cada uno de sus axiomas lo es, y lo son cuando no
pueden ser obtenidos deductivamente a partir de otros. Ningún axioma es teorema.

Candela Iara Henin – UBA XXI – IPC Resumen - Cátedra A: Buacar.

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• Consistencia: No se pueden deducir contradicciones, es decir, un enunciado y su negación no pueden ser
probados simultáneamente dentro del sistema (habría una contradicción). Si hay contradicciones es un sistema
inconsistente.

• Completitud: Un sistema axiomático pretende organizar y sistematizar todo lo que es verdad acerca de un
determinado campo de estudio, por lo tanto, todas las verdades deberían estar incluidas como axiomas o como
teoremas. Si hay algún enunciado considerado verdadero que no puede ser obtenido como teorema o no está
incluido en los axiomas, diremos que ese sistema no logra axiomatizar la teoría que estamos buscando.

OM
.C
DD
LA
FI


Candela Iara Henin – UBA XXI – IPC Resumen - Cátedra A: Buacar.

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