S7 - PPT - Puntos Críticos

UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA PARA ARQUITECTURA
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA
DERIVADA
Departamento de Ciencias
PROBLEMATIZACIÓN:
Si se sabe que el costo total C

(expresado en dólares) de construcción
de un edificio de n pisos esta expresado
por:
𝑪 𝒏 = 𝟐𝒏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒏 + 𝟐𝟐 𝟎𝟎𝟎
¿ Cuál será el número de pisos a

construir para que el costo por piso sea
mínimo?
SABERES PREVIOS:
¿Cómo se calcula los puntos críticos?

¿Cómo se determinan los intervalos de
crecimiento y decrecimiento?
¿ En que consiste el criterio de la primera
derivada?
¿Cómo se determinan los intervalos
concavidad?
¿ En que consiste el criterio de la
segunda derivada?
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje

el estudiante resuelve ejercicios y
problemas relacionados a su
carrera, determinando valores
máximos y mínimos de una función
a partir del criterio de la primera y
segunda derivada.
CONTENIDOS
1.- Puntos críticos
2.- Criterio de la primera derivada
3.- Concavidad
4.- Punto de inflexión
5.- Criterio de la segunda derivada
6.- Ejercicios propuestos
7.- Trabajo en equipo
8.- Metacognición
9.- Referencia Bibliográfica
1.- PUNTOS CRÍTICOS
Sea c un valor en el dominio de la función f tal que f’(c)=0,
entonces el punto crítico es (c;f(c)).
EJEMPLO:
Encuentre los puntos críticos en las siguientes funciones:
La primera derivada:
𝑓(𝑥)′ = −2𝑥
𝑓(𝑥)′ = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
𝑓(𝑥)′ = 0 𝑓(𝑥)′ = 0
−2𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 ⟹ 𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 0
𝑥−2=0𝜈 𝑥−4=0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜: 𝑥 = 0
𝑥=2 𝑥=4
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 2; 𝑥 = 4
EJERCICIO
Encuentre los puntos críticos en la siguiente función:
4 3
𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥 − 4𝑥 2
3
𝑓(𝑥)′ = 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8𝑥 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 0 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1
𝑓(𝑥)′ = 0
4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8𝑥 = 0
4x 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0
4𝑥 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0
4𝑥 = 0 ; 𝑥 + 2 = 0 ; 𝑥 − 1 = 0
EJERCICIO
Encuentre los puntos críticos en la siguiente función:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥
𝑓(𝑥)′ = 3𝑥 2 − 3
𝑓(𝑥)′ = 0
3𝑥 2 − 3 = 0
3 𝑥2 − 1 = 0
3 𝑥+1 𝑥−1 =0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = −1; 𝑥 = 1

2. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Se llama criterio de la primera derivada al método o teorema
utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar
los mínimos y máximos relativos que pueden existir en
una función mediante el uso de la primera derivada o derivada
principal.
2.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c un número del dominio de la función f , donde la primera derivada se
anula f’(c)=0 y considere el punto crítico (c, f(c)), entonces:
1.
Crece c Decrece
2.
Decrece c Crece
3.
Crece c Crece Decrece c Decrece

EJEMPLO
Halle los puntos máximos y mínimos de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓
Solución
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
𝟐
1. Hallamos los puntos que anulan a la derivada de f: 𝟑(𝒙 − 𝟒) = 𝟎
Los puntos son: 𝒙 = −𝟐 , 𝒙 = 𝟐
2. Hallamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento
Creciente decreciente Creciente
3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:

✔ Punto máximo
✔ Punto mínimo
EJEMPLO
Halle los puntos máximos y mínimos de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 +2
Solución
1. Hallamos los puntos que anulan a la derivada de f: 4𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎

Los puntos son: 𝒙 = 𝟎 , 𝒙 = −𝟏 , 𝒙=𝟏
2. Hallamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento
decreciente Creciente decreciente Creciente
3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:
✔ Puntos
mínimos
✔ Punto máximo
3. CONCAVIDAD
Sea 𝑓 dos veces derivable en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏 .
1.Si 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 para todo 2.Si 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 para todo

𝑥 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓 𝑥 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓
es cóncava hacia arriba es cóncava hacia abajo
en 𝑎, 𝑏 . en 𝑎, 𝑏 .
4. PUNTO DE INFLEXIÓN
Sea 𝑓 continua en 𝑐. Llamamos a 𝑐, 𝑓 𝑐 un punto de
inflexión de la gráfica de 𝑓, si 𝑓 es cóncava hacia arriba a
un lado de 𝑐 y cóncava hacia abajo del otro lado de 𝑐.
El punto ( c; f(c)) es punto de inflexión, si f ’’(c) = 0 y f’’’(c) ≠ 0

5. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Supóngase que 𝒇′ y 𝒇′′ existen en todo punto de un intervalo abierto que
contiene a 𝒄 y supóngase que 𝒇′ 𝒄 = 𝟎.
⮚ Si 𝑓 ′′ 𝑐 > 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor mínimo relativo de 𝒇.
⮚ Si 𝑓 ′′ 𝑐 < 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor máximo relativo de 𝒇.
mínimo relativo
máximo relativo
c c
f ´(c) = 0, f ´´(c) > 0
f ´(c) = 0, f ´´(c) < 0
EJERCICIO
Encontrar los máximos y mínimos locales de la siguiente función, usando el
criterio de la segunda derivada, además mencione los intervalos de
concavidad, el punto de inflexión y grafique:
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Intervalos (-inf,-2) (-2,1) (1,+inf)
ValPrueba x=-3 x=0 x=2
Signo f´(x) f´(x)>0 f´(x)<0 f´(x)>0
Conclusión Creciente Decreciente Creciente
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Intervalos (-inf,-2) (-2;-0,5) (-0,5;1) (1,+inf)
ValPrueba x=-3 x=-1 x=0 x=2
Signo f´´(x) f´´(x)<0 f´´(x)<0 f´´(x)>0 f´´(x)>0
Conclusión
GRÁFICA
EJERCICIO
Para el producto que comercia un monopolista la función demanda es
p = 70 − 0, 02q y la función de costo es C (q ) = 800 + 30q ¿A qué nivel de
producción se maximiza la utilidad? ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
6. EJERCICIOS PROPUESTOS
Encontrar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones,
usando el criterio de la segunda derivada, además mencione los intervalos
de concavidad, el punto de inflexión y grafique:
a) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕
b) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏
c) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑

7.- Trabajo en equipo
En equipos de 4 estudiantes, desarrollar los ejercicios

indicados por el docente.
8.- METACOGNICIÓN
• ¿Qué he aprendido en esta sesión ?
• ¿Qué errores he cometido a lo largo del
desarrollo de este contenido?

• ¿Cómo los he superado?
• ¿Puedo aplicar estos conocimientos en mi
carrera?, ¿en qué casos?

9.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GRACIAS

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UPN, PASIÓN POR

Si se sabe que el costo total C

𝑪 𝒏 = 𝟐𝒏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒏 + 𝟐𝟐 𝟎𝟎𝟎

¿ Cuál será el número de pisos a

¿Cómo se calcula los puntos críticos?

Al finalizar la sesión de aprendizaje

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = −1; 𝑥 = 1

Crece c Crece Decrece c Decrece

3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:

1. Hallamos los puntos que anulan a la derivada de f: 4𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎

decreciente Creciente decreciente Creciente

3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:

1.Si 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 para todo 2.Si 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 para todo

El punto ( c; f(c)) es punto de inflexión, si f ’’(c) = 0 y f’’’(c) ≠ 0

⮚ Si 𝑓 ′′ 𝑐 > 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor mínimo relativo de 𝒇.

⮚ Si 𝑓 ′′ 𝑐 < 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor máximo relativo de 𝒇.

a) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕

c) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑

En equipos de 4 estudiantes, desarrollar los ejercicios

• ¿Qué he aprendido en esta sesión ?

• ¿Qué errores he cometido a lo largo del

desarrollo de este contenido?

• ¿Puedo aplicar estos conocimientos en mi

carrera?, ¿en qué casos?

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