Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Ensenada

INVESTIGACIOÓN DE OPERACIONES

Un proyecto sustentado en el arte y la

ciencia de las matemáticas aplicadas
SAMUEL HIDALGO

Prólogo: Dr. Federico González Santoyo

 A mi familia:
Lupe, Nadia, Enya, Ian y Kendra

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 Índice

Prólogo 4
Introducción 6
Semblanza del autor 10
Capítulo I
Historia de la investigación de operaciones 12
Capítulo II
Programación lineal 73
Capítulo III 153
Modelos de redes
Capítulo IV 230
Programación no lineal
Capítulo V 323
Modelos de inventarios
Capítulo VI 394
Líneas de espera

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 Prólogo

Hoy día en el mundo empresarial, la toma de decisiones debe ser racional, eficiente y
eficaz en virtud de que las empresas se desarrollan en un mercado global y de
competencia perfecta, en el que la aplicación de la ciencia, la tecnología y la
innovación son parte fundamental para su desarrollo. Por ello se demanda de la
aplicación de metodologías de alto impacto en la solución de sus problemas.
La base fundamental para fortalecer este proceso, es la aplicación del método
científico, un ejemplo práctico de ello es la aplicación de la Investigación de
Operaciones, la aplicación de esta área del conocimiento permite dar claridad y
certeza en la solución de problemas en cualquier sistema en análisis, además de dar
claridad y certidumbre en el diseño, manejo y solución de problemas, así contribuir a
tener control del sistema que se interviene y disminuir la leyenda de que “ si el modelo
usado en la solución de un problema no se ajusta a la realidad, peor para la realidad”.
Por ello en este proceso de optimación, en el que se busca hacer más con
menos haciendo uso de la optimización de recursos escasos usados para la
producción de bienes y/o servicios, buscando obtenerlos con el menor costo, menor
precio de venta, con el más alto nivel de calidad y por ello ofrecerlos al mercado con
el más alto nivel de servicio, esto permitirá obtener altos niveles de productividad y
por tanto generación de riqueza para el sector empresarial en el que se aplique
plenamente la Investigación de Operaciones, así como posicionar a las organizaciones
como de clase mundial.
Para atender el proceso de solución de problemas haciendo uso de modelos
cualitativos en las empresas públicas y privadas productoras de bienes y servicios.
El libro Investigación de Operaciones: un proyecto sustentado en el arte y
la ciencia de las matemáticas aplicadas de la autoría del Profesor. Dr. Samuel de
Jesús Hidalgo Orellana, es un excelente apoyo para dar solución de problemas
empresariales en las diferentes áreas funcionales de la organización, atendiendo
problemas en el que sus soluciones pueden ser fraccionales, enteras o bien en las que
se aceptan estas con una parte entera y otra fraccional. Así mismo se presentan
algoritmos estratégicos para la solución de problemas de logística como la
distribución de productos, determinación de rutas óptimas, de asignación de recursos
escasos, de inventarios, de líneas de espera. Así como problemas en los que su función
objetivo y restricciones tienen un comportamiento no lineal.

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 El libro Investigación de Operaciones: un proyecto sustentado en el arte y
la ciencia de las matemáticas aplicadas. Está estructurado en 6 apartados descritos
como: Capítulo.1. Historia de la Investigación de Operaciones, Capítulo.2.
Programación Lineal, Capítulo. 3. Análisis de Redes, Capítulo.4. Programación no
Lineal, CAp.5. Modelos de Inventarios, Cap.6. Líneas de Espera.
Nunca es posible agotar un área del conocimiento, en este libro el Dr. Hidalgo
hace un pequeño esfuerzo al presentar algunas técnicas de la Investigación de
Operaciones, que permitan facilitar el análisis y obtención de soluciones óptimas en
diversos problemas empresariales, en los que es posible hacer aplicaciones de esta
área del conocimiento buscando que dichas soluciones sean eficientes y eficaces.
El presente libro es un material de gran valía para estudiantes de las área de
Ingeniería Industrial, Ingeniería en Sistemas Computacionales, Ingeniería en Gestión
Empresarial y la Licenciatura en Administración, así como para empresarios
dispuestos a cambiar y buscar él como aplicar mejores metodologías que vayan más
allá de la simple experiencia, estas les permitirán correr en tiempo real 𝒏𝒏 escenarios
que orienten los esfuerzos para que el gerente tome decisiones eficientes y eficaces.
Con la esperanza de siempre de que este trabajo sea de utilidad en el medio
académico y empresarial y lectura formativa, para su construcción y formación de
seres humanos más felices que orienten sus esfuerzos al diseño de un mundo más
igualitario, equitativo y mejor que permita un uso racional y óptimo de sus recursos.

Diciembre del 2017

Dr. Federico González Santoyo
Miembro Representativo para México de la
Real Academia de Ciencias Económicas y Financieras –RACEF (España)

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 Introducción
Aprender el arte y la ciencia de la investigación de operaciones, requiere de un gran
esfuerzo, de liderazgo académico, de conocimientos profundos sobre el campo en
particular, de establecer en el aula métodos del aprendizaje cooperativo entre
estudiantes y entre estudiantes y el profesor, entre otros aspectos relevantes.
Hay un nuevo paradigma nuevo en el sistema de educación superior: los
conocimientos deben ser construidos entre los estudiantes y el profesor, el alumno
debe ser constructor, descubridor y transformador activo de su propio conocimiento;
los profesores deben ser capaces de desarrollar las capacidades y talentos de los
estudiantes, deben fomentar las relaciones personales entre estudiantes y entre
estudiantes y el profesor.
La enseñanza es compleja y requiere de una capacitación considerable.
Somos responsables de preparar a los estudiantes para triunfar en el campo
laboral, académico o de investigación, enseñarles tanto las habilidades humanas
como el contenido de las materias o asignaturas.
Hoy en día, dotar a los estudiantes solamente de conocimientos curriculares
(es decir, habilidades cuantitativas), ya no es suficiente. Los estudiantes deben exigir
que se les enseñen las habilidades que necesitan en el campo laboral.
Transcurrido casi un año, sale a la luz este libro de texto, fruto de muchas horas
de trabajo, de consultar decenas de artículos, libros, páginas de la red internet,
manuales, apuntes, software especializado, que en la mayoría de los casos está escrito
en inglés.
Esta obra es única, no existe otra igual, pero, es fruto de los conocimientos y
experiencias de muchas personas que se han dedicado a lo largo de toda su vida a
cultivar y profundizar en algunos campos de la investigación de operaciones. A todos
ellos se le ha dado el crédito correspondiente mediante las citas de su obra y en las
referencias bibliográficas seleccionadas que se indican al final de cada capítulo de
este libro.
Los programas Maple, Matlab, Mathematica, Lindo, Lingo, Excel y Geogebra,
fueron de gran utilidad para resolver la gran mayoría de los problemas contenidos en
este libro. Se utilizó el programa Geogebra para diseñar la región de factibilidad de
los problemas de dos variables de los modelos de programación lineal, el programa
Maple fue una valiosa herramienta en todos los capítulos, pero principalmente en los

6
modelos más complejos que requerían desarrollos más elaborados como en los
modelos de programación no lineal, en los modelos de inventarios y en modelos
estocásticos de líneas de espera. Los programas Lindo y Lingo fueron útiles para
resolver algunos problemas de programación lineal, y para modelos de redes, en
especial para los casos de modelos de transporte, asignación, ruta crítica y algunos
modelos de la ruta más corta, principalmente. El programa Excel, y su complemento
Solver, fue de gran utilidad para analizar modelos de programación lineal y para
analizar las distintas iteraciones del algoritmo simplex para modelos de pequeña y
mediana instancia.
El libro consta de seis partes, la primera parte es una línea del tiempo sobre el
origen y desarrollo de la investigación de operaciones. Saúl Gass, entrañable pionero
en el campo de la investigación de operaciones, elaboró, en conjunto con Assad parte
de la historia de la investigación de operaciones, desde sus inicios, hasta el año 2010.
Antes de su fallecimiento, Saúl Gass y Assad A, desarrollaron estudios mucho más
profundos sobre la historia de este campo tan maravilloso. El crédito principal es de
ellos en la primera parte de este libro.
La segunda parte, contempla el tema de la programación lineal, se desarrolla
parte de la teoría necesaria para el entendimiento del tema, se muestran las
diferentes soluciones geométricas para problemas de dos variables. Para resolver y
analizar los modelos y problemas se utilizaron distintos programas de cómputo. El
tema de programación lineal presenta modelos y procedimientos específicos de
solución, tales como el método gráfico, el algebraico, y mediante algoritmos
especializados como el algoritmo simplex y sus variantes como el algoritmo simplex
de penalización. Al final del capítulo se presentan problemas resueltos y propuestos
que permitirán al alumno aprender y poder demostrar lo aprendido mediante la
resolución de los casos sugeridos.
En la tercera parte se abordan algunos casos especiales de la teoría de redes,
entre ellos el problema de transporte, el problema de asignación, el caso especial del
problema de transporte llamado el problema de transbordo, el problema de la ruta
más corta, y problemas de las redes Pert-Cpm o método de la ruta crítica. En este
apartado se utilizan Excel, Maple, Lindo y Lingo. En cada caso, se presentan problemas
resueltos y propuestos para que el estudiante logre los objetivos educacionales y los
aprendizajes del tema. De igual forma, al final de cada subtema se proponen un
conjunto de ejercicios para que sean desarrollados y resueltos por parte de los
alumnos.
La cuarta parte se dedica al estudio la programación no lineal. Se inicia con los
conceptos básicos y clave del tema, para posteriormente presentar algunas
aplicaciones prácticas con modelos no lineales. El concepto de funciones convexas y

7
cóncavas se introduce en esta unidad debido a la importancia que reviste el tema para
comprender la optimización no lineal. Varios métodos de solución se tocan en esta
sección: el método de búsqueda restringida, el método de la sección oro, el método
de interpolación cuadrática y el método de Newton Raphson para modelos de una
variable. Con la finalidad de mostrar la importancia que reviste el cálculo diferencial
en el modelado y solución de problemas de optimización no lineal, se introduce el
tema de máximos y mínimos y puntos de inflexión para problemas de una y dos
variables. Finalmente, el capítulo concluye con el tema de modelos de programación
no lineal restringidos. Para este último tema, se utiliza el concepto de multiplicadores
de Lagrange. Se utiliza el programa Maple para resolver la mayoría de los ejemplos
numéricos indicados en el libro.
La sección quinta corresponde a los modelos de inventarios. Esta sección inicia
con los conceptos más importantes del tema, dando paso a la definición y desarrollo
de las variables y expresiones necesarias para el contenido. Se utiliza el programa
Maple para obtener, en todos los casos, los modelos básicos de inventarios, tales
como: la cantidad óptima de pedido o modelo EOQ, el modelo de inventarios cuando
se permiten faltantes, el modelo de inventarios para lotes de producción de un solo
producto, y el modelo de inventarios cuando existe escasez y se permiten faltantes.
Con la finalidad de cubrir los temas del programa, se utilizó bibliografía adecuada
para el tema.
En el capítulo seis tratamos una serie de modelos de colas elementales. Se
presta atención a los métodos de análisis de estos modelos, así como a las aplicaciones
de los modelos de colas mediante un conjunto de problemas numéricos.
En la primera parte del tema se discuten una serie de conceptos básicos sobre
la teoría de colas, una breve historia del tema. Posteriormente se aborda el modelo
de colas relevante y más simple, y su versión multiservidor se trata en las siguientes
secciones de este capítulo. De igual forma se muestran algunas variaciones en los
modelos de líneas de espera con determinadas características como el modelo de
líneas de espera de perdida. En cada sección se resuelve un ejemplo numérico por lo
menos. El texto contiene una gran cantidad limitada de ejercicios y se insta al lector a
probar estos ejercicios utilizando programas como Maple, Matlab, Mathematica,
Excel, entre otros.
Deseo recalcar un asunto importante: la investigación de operaciones es tan
basta y amplia que se requieren varios años para poder dominar algunas de sus
ramas, mencionaré algunas para colocar en su debido contexto a esta disciplina.
Programación lineal, programación lineal entera, programación no lineal,
programación multiobjetivo, programación dinámica, teoría de redes, programación
por metas, líneas de espera, inventarios, series de tiempo, cadenas de markov, teoría

8
de decisiones, entre otras. De igual forma, para lograr el aprendizaje de cada una de
ellas, es necesario dominar los conceptos del álgebra lineal, del cálculo diferencial e
integral, de la teoría de la probabilidad, de la teoría general de sistemas, etc. Además
de poseer habilidad para construir y elaborar modelos formales o matemáticos que
permitan abstraer la esencia del problema.
En la actualidad, no se concibe la enseñanza de la investigación de operaciones
sin el uso de la computadora. En el mercado existe una gama amplia de programas de
propósito general que ayudan a resolver muchos de los problemas que se modelan.
Algunos de los programas son: Matlab, Maple, Mathematica, Lindo, Lingo, Julia, Excel,
Gams, entre muchos.
Finalmente, mi agradecimiento sincero a la institución, al centro de trabajo
donde cada día me complace ayudar a muchos de mis alumnos a aprender las técnicas
de la investigación de operaciones. Mi reconocimiento y gratitud al Instituto
Tecnológico de Ensenada por darme esta gran oportunidad de contribuir a
engrandecer y a desarrollar al Tecnológico Nacional de México.

9
 Semblanza del autor

El Dr. Samuel de Jesús Hidalgo Orellana, es profesor de carrera titular en el

Instituto Tecnológico de Ensenada, realizó estudios de ingeniería mecánica y eléctrica
con énfasis en área industrial en la Universidad Nacional Autónoma de México,
posteriormente se especializó y realizó estudios de posgrado en el campo de la
investigación de operaciones en la misma máxima casa de estudios.
Ha publicado diversos artículos relacionados con el campo de la optimización
lineal, la teoría de las decisiones y la programación matemática, la programación
lineal multiobjetivo, la teoría de las decisiones y el trabajo colaborativo. De igual
forma, ha presentado diversos trabajos de investigación en el seno de la Ilustre
Academia Iberoamericana de Doctores.
Ha impartido diversos cursos en distintas universidades e institutos
tecnológicos federales y estatales sobre optimización y matemáticas aplicadas
usando programas especializados como Matlab, Maple, Mathematica, Geogebra,
Microsoft Excel, Linear Interactive Discrete Optimization, entre otros.
Su experiencia docente se remite a los mejores programas de posgrado en
diversas instituciones del país, algunos tópicos especializado impartidos en
programas de posgrado son: Teoría y técnicas de optimización en la División de
Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería, teoría general de sistema en la
División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química, matemáticas aplicadas
en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Contaduría y Administración,
todas ellas de la Universidad Nacional Autónoma de México. En Instituto Tecnológico
y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México, impartió cursos
sobre diseño y el análisis de experimentos y análisis de regresión, análisis de
decisiones e investigación de operaciones avanzadas en la Universidad Autónoma
Metropolitana.
En el Sistema de Educación Superior Tecnológica se has desempeñado como
profesor visitante en los programas de posgrado en ingeniería industrial en el
Tecnológico de Estudios Superiores de Cajeme, Sonora, de igual forma como profesor
visitante en el Tecnológico de Estudios Superiores de Coacalco, Estado de México.
En el campo administrativo ha desempeñado diversos cargos en el sector
académico: supervisor en la Dirección General de Educación Superior Tecnológica y
como coordinador académico de la Dirección de Institutos Tecnológicos
Descentralizados.

10
 Sus publicaciones especializadas están sustentadas en el campo de la
investigación de operaciones usando herramientas y programas especializados como
proyecto sustentado en el arte y la ciencia de las matemáticas aplicadas.

11
 Capítulo I
Historia de la investigación de
operaciones
I. Una perspectiva histórica de la evolución de la Investigación de Operaciones

II. Los precursores de la Investigación de Operaciones (1564-1873)

III. Los precursores de la Investigación de Operaciones (1881-1935)

IV. Una línea del tiempo de la investigación de operaciones (1936-1946)

V. La expansión de la investigación de operaciones (1947-1950)

VI. El desarrollo profesional de la investigación de operaciones: matemáticas y

algoritmos (1951-1956)

VII. El desarrollo de algoritmos, aplicaciones y algunas actividades internacionales

de la investigación de operaciones (1957-1963)

VIII. Publicaciones, métodos y aplicaciones de la investigación de operaciones

(1964-1978)

IX. Métodos, aplicaciones y tecnología de la investigación de operaciones (1979-

2004)

X. Los primeros programas universitarios en investigación de operaciones.

12
I. Una perspectiva histórica de la evolución de la Investigación de
Operaciones.

El 17 de marzo de 2013 fallece Saúl I. Gass. Gass, pionero en el campo de la

investigación de operaciones (IO), fue, junto a George B. Dantzing, impulsor de la
investigación de operaciones a nivel internacional.

Gass realizó muchas aportaciones a la investigación de operaciones,

incluyendo publicaciones de libros, enciclopedias y artículos relacionados en el
campo.

Toma de decisiones, modelos y algoritmos, una guía ilustrada de la

programación lineal, son, entre otras publicaciones, las realizadas a lo largo de su
prolífica carrera académica.

Junto con Carl Harris publican en 1996 Enciclopedya of Operations Research

and Management Science, editada por Kluwer Academic Publishers, Boston.

Gass, se mantuvo vigente en el estudio de la investigación de operaciones

como profesor emérito en la Universidad de Maryland en la escuela de negocios
Robert H. Smith como profesor y director del departamento de ciencias de la gestión
y las estadísticas en 1975.

Después de la Segunda Guerra Mundial, se utiliza la metodología e ideas de la

investigación de operaciones en el mundo civil.

Gass, considera que en esos tiempos se reconoció el nuevo campo llamado

investigación de operaciones, y en donde había grupos del ámbito privado y público
que pedían su aplicación fuera del campo de batalla en los campos más diversos de la
empresa y la industria.

De acuerdo a Gass (2011):

«[…] para mí, es bastante sorprendente que dentro de los

primeros 20 años después de su nacimiento, se haya
establecido internacionalmente como un importante
campo científico, que se demostró en el nuevo frente de
batalla formado por las necesidades de las empresas y la
industria. ¿Qué sucedió y qué resultó en la práctica?»

13
 «Soy consciente de que la actual visión de esta disciplina no
se considera como una ciencia en la opinión de muchos
académicos y profesionistas. A mi juicio, sin embargo, creo
que la investigación de operaciones ha tenido una
evolución, un crecimiento inicial y un desarrollo que se
debe a la formación y conocimientos de los científicos
durante la Segunda Guerra Mundial. La fuerza propulsora
fue su clásica formación científica y su visión clarividente
de cómo las nuevas ideas de la investigación de
operaciones como una ciencia aplicada que podría hacer
una diferencia en el mundo real de la toma
de decisiones humanas»

Se considera a Patrick Blackett, como el padre de la investigación de

operaciones, quien fue el responsable de desarrollar nuevas tácticas para el uso de
armas antiaéreas y tratar de destruir los submarinos alemanes.

Blackett en el año de 1950, analizó si era o no la investigación de operaciones

una ciencia y señaló que estaba implícita, obteniéndose por primera vez la definición
de esta disciplina. (Assad y Gass, 2011)
En el año de 1947 es cuando se define a la IO durante la II Guerra Mundial por parte
de Goodeve en el año de 1948, modificada posteriormente por Kirby (2003),
definiéndose:

«La Investigación de Operaciones es un método científico que proporciona al

ejecutivo una base cuantitativa para las decisiones con respeto a las operaciones bajo
su control»

Existe una característica distintiva en esta materia, que ha sido oficialmente

llamada Investigación de Operaciones (IO): su base científica y tecnológica para
resolver problemas en donde el factor humano es importante.

Hay muchas definiciones de investigación de operaciones: la ciencia de la toma de

decisiones, investigación operativa, administración científica, o ciencia de la elección.

¿La investigación de operaciones comenzó con Adán y Eva? Pero, ¿qué

acontecimientos se han combinado para formar lo que hoy llamamos la investigación
de operaciones, o la ciencia que ayuda en la resolución de problemas mediante la
toma de decisiones humanas? (Gass, 2011).

14
 Como cualquier campo científico, la investigación de operaciones tiene su propia
pre-historia e historia, compuesta de una serie de hechos, personas, ideas y métodos
que han contribuido al estudio de la toma de decisiones, incluso antes del nacimiento
oficial de esta rama de la ciencia.

15
II. Los precursores de la Investigación de Operaciones (1564-1873)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1564 El Libro de Juegos de Azar (Girolamo Cardano)

Médico milanés, matemático y jugador, se cita a menudo como el primer matemático

para estudiar el juego. Su libro, El Libro de Juegos de Azar, está dedicado a los
aspectos prácticos y teóricos de los juegos de azar.

1654 Valor Esperado (Blaise Pascal)

Describe cómo calcular el valor esperado de una apuesta. En su carta del 29 de julio
de 1654 a Pierre de Fermat, Pascal utilizó la idea clave de la igualación del valor del
juego a su esperanza matemática, calculada como la probabilidad de una victoria
multiplicada por la ganancia de la apuesta.

1662 Probabilidades empíricas de las estadísticas vitales (John Graunt)

Él utilizó los datos de las facturas de mortalidad para calcular las probabilidades
empíricas para eventos tales como la peste, la muerte y las tasas de mortalidad por
enfermedades diferentes.

1665 Sir Isaac Newton

Al igual que con la mayoría de los campos de la ciencia, muchas ciencias has sido
influenciadas por la obra de Sir Isaac Newton. En particular, dos de los fundamentales
descubrimientos matemáticos de Newton se destacan: la búsqueda de las raíces de
una ecuación y las condiciones de primer orden.

1713 La ley de los grandes números (Jakob Bernoulli I)

Jakob Bernoulli I demostró lo que ahora se conoce como la ley de Bernoulli de los
grandes números. Mostró cómo medir la proximidad, en términos de una declaración
de probabilidad, entre la media de una muestra aleatoria y la media verdadera
desconocida de la población a medida que aumenta el tamaño de muestra.

1713 La paradoja de San Petesburgo (Nicolaus Bernoulli II)

Bernoulli II plantea cinco problemas de probabilidad para el matemático francés

Pierre Rémond de Montmort.

16
1715 Series de Taylor

A principios del siglo XVIII, los matemáticos se dieron cuenta de que las expansiones
de diversas funciones trascendentes elementales son casos especiales de la serie
general que hoy se conoce como Serie de Taylor.

1718 The Doctrine of Chances (Abraham de Moivre)

Las tres ediciones de este libro clásico de Abraham de Moivre muestran el curso de la
teoría de la probabilidad desde 1718 hasta 1756. El libro consta de una introducción
con los teoremas elementales de la probabilidad, seguido de una colección de
problemas.

1733 Primera aparición de la distribución normal (Abraham de Moivre)

Se define el teorema del límite central al introducir la aproximación normal a la

distribución binomial.

1733 Inicios de la probabilidad geométrica (George-Louis Leclerc)

Conde de Buffon, tenía amplios intereses en la historia natural, las matemáticas y la

estadística.

1736 Problema del puente de Königsberg (Leonard Euler)

Matemático suizo se le atribuye la creación de la teoría de grafos

1755 Desviación absoluta mínima en regresión lineal simple (Rogerius Josefo

Boscovich)

Profesor de matemáticas en el Collegium Romanum en Roma, desarrolló el primer

procedimiento objetivo para ajustar un conjunto de observaciones a una relación
lineal

1763 Regla de Bayes (Thomas Bayes)

El reverendo propuso una regla (fórmula) para estimar una probabilidad p mediante
la combinación de un conocimiento a priori de p con la información contenida en un
número finito de n ensayos independientes.

17
1788 Multiplicadores de Lagrange (Joseph-Louis de Lagrange)

El célebre libro: Mecánica Analítica, incluye un poderoso método para la búsqueda de

valores extremos en funciones sujetas a restricciones de igualdad.

1789 Principio de utilidad (Jeremy Bentham)

Jurista y filósofo inglés, publicó: Introducción a los principios de la moral y la

legislación en la que proclama que la humanidad se rige por el dolor y el placer.
Propuso un principio de utilidad.

1795 Método de los Mínimos Cuadrados (Carl Friedrich Gauss y Adrien Marie
Legendre)

Al matemático alemán y al matemático francés, respectivamente se les acredita al

mismo tiempo el descubrimiento, pero por separado y de forma independiente del
método de los mínimos cuadrados. El trabajo de Gauss data de 1795 y el de Legendre
que publica sus resultados en el año de 1805.

1810 El Teorema General del Límite Central (Pierre-Simón Laplace)

Deriva el teorema general del límite central: La suma de un número suficientemente

grande de variables aleatorias independientes sigue una distribución
aproximadamente normal. Su trabajo dio un impulso sin precedentes con nuevas
técnicas analíticas para influir en la teoría de probabilidades.

1811 Kriegsspiel (juegos de guerra)

Basado en reglas (rígidas), es un proceso basado en operaciones militares reales que

utiliza un mapa, piezas movibles que representan tropas, dos jugadores y un árbitro.
Fue inventado por el Consejero prusiano von Reisswitz y su hijo, un teniente de la
armada de Prusia.

1826 Solución de desigualdades (Jean-Baptiste-Joseph Fourier)

Matemático francés a quien se le atribuye ser el primero en declarar formalmente un

problema que puede ser interpretado como un problema de programación lineal.

1826 Solución de ecuaciones lineales (Carl Friedrich Gauss)

Usa operaciones elementales de fila (eliminación) para transformar una matriz

cuadrada de (𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛), asociada con un conjunto de ecuaciones lineales, en una matriz
triangular superior 𝑈𝑈.

18
1833 Máquina Analítica (Charles Babbage)

Matemático e inventor inglés, se le atribuye ser el primero en concebir un ordenador

de propósito general (máquina analítica). Aunque nunca se construyó en su totalidad,
su diseño empleaba tarjetas perforadas para los datos y para la definición de un
conjunto de instrucciones (programa).

1837 La aproximación de Poisson (Siméon Denis Poisson)

El matemático francés era conocido por su «Ley de los grandes números» que contaba
la proporción de éxitos en dichas secuencias, cuando la probabilidad p puede variar
de un ensayo a otro. Hoy en día, el nombre de Poisson es más fácilmente asociados
con la aproximación a la distribución binomial que cuenta el número de éxitos en n
ensayos independientes de Bernoulli con la misma probabilidad p.

1839 Fundación de The American Stastistical Society (ASA)

ASA, fue fundada en Boston en 1839, convirtiéndose en la segunda más antigua de la

sociedad profesional en los Estados Unidos. La misión de ASA era promover la
práctica estadística, las aplicaciones y la investigación; publicar revistas sobre
estadísticas, mejorar la enseñanza de la estadística, y avanzar en la profesión
estadística. Su primer presidente fue Richard Fletcher.

1845 Ecuaciones de flujo en red (Gustav Kirchhoff R.)

El físico alemán, descubre dos famosas leyes que describen el flujo de la electricidad
a través de una red de cables. Las Leyes de Kirchhoff, la conservación de flujo en un
nodo (en un circuito eléctrico, las corrientes que entran en una unión deben ser
iguales a las corrientes que salen de la unión), y la ley de voltajes (alrededor de
cualquier trayectoria cerrada en un circuito eléctrico la suma algebraica de las
diferencias de voltaje es igual a cero), tienen una aplicación directa a las gráficas y
redes modernas.

1846 Prueba sobre la distribución de las poblaciones sociales (Adolphe

Quetelet)

En su libro, Sur l'homme et le développement de sesfacultés (1835), el belga

estadístico Adolphe Quetelet presentó sus ideas sobre la aplicación de la teoría de la
probabilidad para el estudio de las poblaciones humanas y su concepto de hombre
promedio.

19
1856 Ciclos Hamiltoniano

Dado un grafo de aristas y vértices, una trayectoria cerrada que recorre todos los
vértices de un grafo exactamente una vez, se llama un ciclo Hamiltoniano. ¿Cómo
encontrar ese ciclo es un importante problema en el análisis de redes?

1873 Solución de ecuaciones con no negatividad de las variables

La importancia de las soluciones no negativas en los conjuntos de desigualdades y

ecuaciones no fue evidente hasta el desarrollo de la programación lineal. Un trabajo
anterior, que viene bajo el título de los teoremas de transposición, es ilustrado por el
matemático alemán como el teorema P. Gordan’s.

1873 Galton quincunx (caja de Galton)

El inglés estadístico Francis Galton diseñó el quincunx para ilustrar cómo la

distribución normal podría surgir debido a sucesos aleatorios. El nombre se deriva de
una disposición de cinco objetos, uno en cada esquina de un rectángulo o cuadrado y
uno en el centro.

20
III. Los precursores de la Investigación de Operaciones (1881-1935)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1881 Scientific Management / Estudio de tiempos (Frederick W. Taylor)

Frederick W. Taylor, ingeniero estadounidense y consultor de gestión, es llamado «el

padre de la administración científica». Taylor presentó su método de estudio de
tiempos en 1881, mientras trabajaba como capataz general de la planta para la
Midvale Steel Company.

1885 Scientific Management / Estudio de Movimientos (Frank B. Gilbreth)

Más o menos coincidente con los estudios de tiempo Frederick W. Taylor fue el
desarrollo de estudio de movimientos de Frank B. Gilbreth.

1896 La Geometría de números (Hermann Minkowski)

El matemático ruso, alemán es considerado el padre del análisis convexo. En su

tratado innovador sobre la geometría de números, Minkowski usó las herramientas
de la convexidad para acercarse a la teoría de los números desde un punto de vista
geométrico.

1896 La Representación de poliedros convexos

El Teorema de representación declara que cualquier punto de P puede ser

representado como una combinación convexa de sus puntos extremos más una
combinación no negativa de sus direcciones extremas. Este resultado es central en la
programación lineal y en los aspectos computacionales del método simplex.

1900 Gráficas de Gantt (Henry L. Gantt)

Henry L. Gantt, un asociado de Frederick Taylor, ideó un método de planificación de

proyectos por el cual los administradores podrían representar, mediante una
secuencia de barras en un gráfico, las actividades interrelacionadas de un proyecto,
el programa de relaciones de precedencia entre las actividades, indicar los horarios
de finalización, y el desempeño real del proyecto. Todavía es una herramienta de
gestión actual, especialmente en la industria de la construcción.

1900 Movimiento Browniano aplicado al mercado de valores (Louis Bachelier)

Un estudiante de Henri Poincaré, Louis Bachelier, en su tesis doctoral, Théorie de la

speculation, propuso la aplicación de «el cálculo de probabilidades a las operaciones

21
del mercado de valores». Este trabajo contiene el primer tratamiento del movimiento
Browniano a los mercados de valores, ofreciendo tres diferentes caracterizaciones.

1901 Solución de sistemas de desigualdades

El teorema de la dualidad de la programación lineal que relaciona la solución de los

problemas primal y dual fue probado por primera vez por David Gale, Harold W. Kuhn
y Albert W. Tucker en 1951, utilizando el teorema de 1902 del matemático húngaro
Julius (Gyula) Farkas.

1906 Solución óptima de Pareto (Vilfredo Pareto)

El economista italiano Vilfredo Pareto propone que en situaciones competitivas una

solución no es óptima (eficiente) si no se puede mejorar la satisfacción de otros
actores sin bajar (degradar) el nivel de satisfacción de por lo menos el de otros. Es
decir, no se puede robar a Pedro para pagarle a Pablo. En situaciones de objetivos
múltiples, un grado óptimo de Pareto es una solución factible para la cual un aumento
del valor de un objetivo puede ser alcanzado sólo mediante una disminución en el
valor de al menos un otro objetivo.

1907 Cadenas y procesos de Markov (Andrei Andreevich Markov)

El matemático ruso Andrei Andreevich Markov desarrolló el concepto de proceso de

Markov a partir de sus estudios sobre secuencias de experimentos.

1908 Distribución t Student’s (William Sealy Gosset)

Mejor conocido por su nom de plume «Student,» descubrió la distribución t y su uso.

1909 Erlang y el tráfico telefónico (Agner Krarup Erlang)

A principios del decenio de 1900, A. K. Erlang, un ingeniero de telefonía danés inicio

un estudio de las aglomeraciones y de los tiempos de espera que ocurrían en la
obtención de llamadas telefónicas. Desde entonces, la teoría de las colas se ha vuelto
mucho más elaborada y se le ha aplicado a una amplia gama de situaciones que
implican líneas de espera. Anderson, Sweeney y Williams (2011).

1909 Localizar un servicio (Pierre de Fermat)

El matemático francés del siglo, Pierre de Fermat, en su tratado sobre máximos y

mínimos, propuso en 1643 un problema que puede ser interpretado como un
problema de localización de servicios: «El que no esté de acuerdo con mi método

22
intente la solución del siguiente problema - dados tres puntos en un plano, encontrar un
cuarto punto tal que la suma de sus distancias a los tres puntos dados sea un mínimo»

1910 Teorema del punto fijo de Brouwer (Luistzen E. J. Brouwer)

El Teorema de Brouwer establece que, para ciertas condiciones sobre el dominio, una
función continua de un conjunto en sí mismo tiene al menos un punto fijo, es decir,
tiene al menos una solución a la ecuación 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥.

Podemos hacer la siguiente analogía del teorema con el mundo real. Tome una
taza de agua y revuelva el contenido con una cuchara, muy suavemente. Entonces deje
reposar el agua hasta que se detenga completamente. El movimiento suave de la
cuchara simula la acción de una función continua, mientras que el agua
definitivamente va de la taza en la taza. No importa cuánto se revuelva el agua, el
Teorema de Brouwer nos asegura que de entre todas las partículas de agua en la taza,
al menos una de ellas volverá a su posición original cuando termine el proceso. (Pérez,
2008).

1912 Juegos con información perfecta (Ernst Zermelo)

Un juego con información perfecta se caracteriza de la siguiente manera: los

jugadores conocen de todas las reglas, las opciones posibles y un historial pasado del
juego por parte de los jugadores. Ajedrez, backgammon, tic tac toe son ejemplos de
este tipo de juegos. El alemán, Ernst Zermelo, demostró lógicamente en su artículo,
que tenía el primer Teorema general de la de la teoría de juegos. Que los juegos con
información perfecta están estrictamente determinados, es decir, existe una solución
en la que ambos jugadores tienen solo estrategias óptimas.

1913 Modelo de cantidad económica del pedido (EOQ) (F. W. Harris)

F. W. Harris determinó la fórmula matemática para la cantidad óptima del pedido. Fue
la primera aplicación de métodos cuantitativos en el área de manejo de inventarios.
La fórmula EOQ determina la cantidad de pedido óptima, balanceando el costo de
retención anual y el costo anual de ordenar. (Anderson, Sweeney y Williams, 2011)

1914 Ecuaciones de Lanchester’s (Frederick W. Lanchester)

El ingeniero aeronáutico británico, Frederick W. Lanchester, quien, entre otras cosas,

construyó el primer automóvil en el Reino Unido, se trasladó al estudio de las
operaciones militares mediante el análisis matemático. Lanchester formula un
conjunto de ecuaciones diferenciales que se ocupan de la relación entre la
concentración de fuerzas y la fuerza efectiva de las fuerzas de oposición, cuya solución
determina los resultados esperados en un combate. Su análisis produjo N2 leyes.

23
1915 Solución positiva de las ecuaciones lineales (E. Stiemke)

Las condiciones para la existencia de una solución positiva de un conjunto de

ecuaciones lineales fueron investigadas por el matemático alemán E. Stiemke.

1920 Método de máxima verosimilitud

La noción de la estimación de un parámetro mediante la maximización de una función

apropiada construido a partir de las observaciones se remonta a Daniel Bernoulli,
Euler Leonhard, Johann Heinrich Lambert y Joseph-Louis de Lagrange. Sin embargo,
fue el estadista Inglés Ronald Aylmer Fisher, que en uno de sus trabajos más
influyentes (1922), estableció un eje fundamental de razonamiento estadístico,
proponiendo el método de máxima verosimilitud como un procedimiento general
para la estimación de momentos.

1921 Estrategias minimax para dos personas, juegos simétricos (Émili Borel)

Para dos personas, juego simétrico, de suma cero, Émile Borel definió el marco de la
teoría de juegos y el concepto de un “método de juego" (estrategia) como un código
que determina “para todas las circunstancias posibles... lo que la persona debe hacer."

Luego siguió una estrategia óptima y derivó las soluciones minimax para
juegos con tres o cinco estrategias posibles.

1922 Condición suficiente para el Teorema del Límite Central

Si bien la declaración del Teorema del Límite Central (CLT) se remonta a Pierre-
Simon Laplace en 1810, la primera prueba rigurosa que se le dio fue en 1901 por el
matemático Ruso Alexander M. Liapanov, un estudiante de Pafnuty L. Chebyshev.

1925 Generación de dígitos aleatorios

Dígitos aleatorios fueron generados de forma sistemática por vez primera por
Leonard H.C Tippett para confirmar los resultados de su artículo publicado en 1925.
Tippett muestreo al azar 5,000 observaciones extraídas con reemplazo de una bolsa
que contenía 1,000 tarjetas. Los números de las tarjetas seguían una distribución
normal. También utilizó 40,000 datos registradas en los censos británicos y los
combinó para obtener 10,000 números del 0000 a 9,999 de forma aleatoria.

24
1925 Métodos estadísticos para investigadores, Ronald A. Fisher, Oliver y
Boyd, Londres.

Este libro del célebre estadista inglés y genetista Ronald Aylmer Fisher cubre sus
actividades estadísticas en la Estación Experimental de Rothamsted para la
investigación agrícola.

1926 Probabilidad subjetiva

Los grados o noción de creencia, que está vinculada con el tema que ahora se llama
probabilidad subjetiva, se remonta a las primeras investigaciones de Jakob Bernoulli
I (Ars Conjectandi, 1713), y fue proseguido por Émile Borel, John Venn, y John
Maynard Keynes, entre otros. Frank P. Ramsey cree que la única manera de medir los
grados de creencia es observar la conducta manifiesta que se manifiesta en la
elección. De este modo se ligan la probabilidad subjetiva con el concepto de utilidad
y elección explícita.

1927 Aplicaciones de la teoría de la probabilidad a la ingeniería telefónica

Edward C. Molina, investigador autodidacta, hizo contribuciones fundamentales a la

teoría del tráfico telefónico. La primera central telefónica automática se había
instalado en La Porte, Indiana en 1892 y dio lugar al problema de la expansión de las
centrales telefónicas. Son los primeros intentos de utilizar la teoría de probabilidades
para el análisis de centrales telefónicas.

1927 El análisis estadístico de las series de tiempo

El estudio de las series de tiempo fue propuesto por el estadístico Británico George
Udny Yule y el economista y estadístico Ruso Eugene Slutsky. Se observa que, a partir
de una serie de números aleatorios, se pueden tomar sumas o diferencias de tales
números para producir nueva serie que presentan las propiedades cíclicas que
aparecen con frecuencia en la serie de tiempo.

1928 Prueba de la existencia de una estrategia de equilibrio para dos personas

en una matriz de juegos.

Dos publicaciones de John von Neumann aparecieron en 1928 con la prueba minimax
para la matriz de dos personas con juego de suma cero. La primera fue una
comunicación a É. Borel, en la que von Neumann anunció que había resuelto el
problema de encontrar una estrategia óptima para dos personas en el juego de suma
cero.

25
1929 procedimiento de muestreo secuencial

Para una gran cantidad de unidades, (por ejemplo, las piezas fabricadas), el muestreo
implica la extracción de una muestra aleatoria y se acepte el lote si la muestra
contiene menos de un número determinado de unidades defectuosas. El muestreo
puede ser exhaustivo, por lo que todos los artículos son examinados, pero esto suele
ser muy costoso y consume mucho tiempo.

1929 Caracterización de los grafos planares

El matemático Polaco Kazimierz Kuratowski mostró que si un grafo es no plano debe

contener el gráfico completo en 5 nodos (𝐾𝐾5 ) o en el grafo bipartito 6 nodos
(𝐾𝐾3,3 )como subgrafos.

1930 Límites de confianza

El uso implícito de los límites de confianza para proporcionar un rango de valores

posibles de los parámetros estimados se remonta a Laplace y Gauss, pero, dado que
los límites derivados eran aproximaciones, la lógica subyacente del procedimiento
permanecido en la oscuridad.

1930 Fundación de The Econometric Society

The Econometric Society, es una sociedad internacional para el avance de la teoría

económica y su relación con las estadísticas y las matemáticas, fue fundada en 1930.
Muchos de sus miembros han hecho contribuciones fundamentales a la investigación
de operaciones, y algunos documentos importantes teóricos y aplicados de IO han
aparecido en su principal revista Econometrica. Su primer presidente fue Irving
Fisher.

1930 Formula de Pollaczek para el modelo de colas 𝑴𝑴 / 𝑮𝑮 / 𝟏𝟏

Félix Pollaczek fue un pionero en el estudio de sistemas de colas. Desarrolló la

fórmula para el tiempo promedio de espera de un cliente en un sistema de colas
𝑀𝑀/𝐺𝐺/1. (Llegadas mediante una distribución de probabilidad Poisson, Distribución
de probabilidad general para el tiempo de servicio, un servidor).

1931 Gráficos de control de calidad

Walter A. Shewhart se unió a Western Electric Company en 1918 y fue transferido a

los Laboratorios Bell Telephone en 1925. Allí permaneció hasta su jubilación en 1956.
En la década de 1920, trabajó en las gráficas de control iniciadas en la Western

26
Electric como parte de una visión de toda la empresa para el aseguramiento de la
calidad basada en principios científicos.

1931 Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

Antes de 1930, los procesos aleatorios estudiados en la teoría de probabilidades

utilizaban generalmente parámetros de tiempo discreto. Esto cambió con la
publicación de un artículo titulado: «Métodos Analíticos» de Andrei N. Kolmogorov
(1931) sobre los procesos de tiempo aleatorio continuos. En resumen, sus resultados
sentaron las bases sobre los procesos de Markov.

1932 Prueba de hipótesis

Durante el período de 1926-1933, Jerzy Neyman y Egon S. Pearson desarrollaron la

teoría de la prueba de hipótesis en respuesta al enfoque ad hoc de Ronald A. Fisher.
Su teoría permitió identificar mediante ensayos óptimos la especificación de la
hipótesis alterna y el reconocimiento de los dos tipos básicos de error.

1933 Nacimiento de la estadística matemática

Stephen M. Stigler, un historiador de las estadísticas, selecciona al año de 1933 como

el nacimiento de la estadística matemática. Se aclara que esta fecha no se refiere al
nacimiento de los diferentes conceptos que integran el tema (muchas de ellas se
remontan a los primeros siglos), sino al “nacimiento de la estadística matemática
como disciplina." Institucionalmente, Stigler observa que Harry C. Carver funda la
revista Annals of Mathematical Statistics en 1930, "en términos generales, bajo los
auspicios de the American Statistical Association (ASA).

1933 Análisis de Componentes Principales

Aunque el método de componentes principales se remonta a Karl Pearson (1901), el

procedimiento general es debido al trabajo pionero de Harold Hotelling O. (1933),
profesor de economía en Columbia University. Los componentes principales son una
secuencia no correlacionadas de combinaciones lineales de las mediciones originales,
cada uno con una varianza menor que la anterior, que colectivamente preserva la
variación total de las mediciones originales. Hotelling demostró cómo estos
componentes se pueden encontrar a partir de los vectores propios de la matriz de
covarianza de la población.

1933 Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad

En este libro el célebre, Andrei Kolmogorov desarrolla de forma axiomática la teoría

de la probabilidad en términos de la teoría de la medida. Este libro se convirtió en el

27
símbolo de la moderna teoría de la probabilidad, que sustituye a todos los enfoques
anteriores. Una novedad importante ha sido el tratamiento de los procesos
estocásticos.

1935 Martingalas

Las investigaciones de Paul Lévy’s sobre los conceptos abstractos unificadores de la

teoría de probabilidades le llevó a una sucesión de variables aleatorias, donde la
esperanza de la siguiente variable en la secuencia es siempre igual al valor de la
última. Lévy utiliza el término martingala para tal secuencia.

1935 Matroides

En un artículo clásico, el matemático Hassler Whitney presenta los axiomas de una

estructura algebraica que llamó matroides. Un matroide 𝑀𝑀 es un conjunto finito 𝑆𝑆 y
una colección 𝑭𝑭 de subconjuntos de 𝑆𝑆, llamados conjuntos independientes, que
desempeñan un rol análogo a las bases de un espacio vectorial.

1935 El Diseño de Experimentos

Durante 1924 - 1926, Fisher desarrolló estos principios básicos del diseño
experimental como diseños factoriales, cuadrados latinos, técnicas de confusión y el
análisis de la covarianza. Fisher es considerado como el padre de la estadística
moderna.

28
IV. Una línea del tiempo de la investigación de operaciones (1936-1946)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1936 Tiempo cero: Aplicaciones de la investigación de operaciones. Ejército

británico

La mayoría de la bibliografía coincide en que el inicio de esta rama de la ciencia surge

a finales de los años 30’s (1936), continuando durante el periodo de la Segunda
Guerra Mundial, extendiéndose posteriormente a los Estados Unidos de América tras
el ataque a Pearl Harbor.

El nombre de Investigación de Operaciones se inicia con los militares

británicos, ayudados por científicos civiles, sobre la investigación de cómo debería
ser desplegado el nuevo invento del radar y operado para la defensa de la patria.

Tales estudios, se amplían a la guerra antisubmarina, utilizando un convoy

como protección, así como la utilización de tácticas de bombardeo con aviones con
gran éxito. (Gass, 2011)

1936 Solución de desigualdades lineales (Theodore S. Motzkin)

Antes de 1936, existían pocos trabajos que se ocupaban de la solución de sistemas de

desigualdades lineales. La tesis doctoral de 1936 del matemático Alemán Theodore S.
Motzkin fue citada en 42 artículos. El Teorema de trasposición de Motzkin para las
desigualdades lineales es una forma más general que los teoremas de Gordan y de
trasposición de Stiekme que se pueden derivar. También se puede utilizar para
probar el teorema de dualidad de la programación lineal.

1936 Economía interindustrial (Wassily W. Leontief)

Wassily W. Leontief (en 1973 el Premio Nobel de Economía), economista ruso, y que
se había incorporado recientemente a la facultad de la Universidad de Harvard, se
crea el campo de la economía interindustrial. Para una economía, los coeficientes
muestran la cantidad necesaria (entrada) que una industria necesita para producir
una unidad (salida) de cada uno de los sectores de la economía. Aunque la matriz de
Leontief asume linealidad (entrada y salida son proporcionales) y no dinámica, las
aplicaciones de interindustrial (input-output) en la economía para analizar el impacto
de la política económica de un gobierno y los cambios en la actividad de los
consumidores han demostrado ser de gran valor. Los coeficientes insumo producto
han sido utilizados por los Estados Unidos, por el Departamento de Estadísticas del
Trabajo, por el Banco Mundial y por las Naciones Unidas.

29
1936 Máquinas de Turing (Alan M. Turing)

David Hilbert hizo la pregunta: ¿Existe un procedimiento fijo capaz de decidir si una
afirmación matemática es verdadera para cada afirmación matemática que puede ser
formalmente establecida? Esta cuestión, llamado el problema de decisión
(Entscheidungs problem), atrajo la atención de Alan M. Turing en 1935, cuando era
un estudiante en King’s, College, Cambridge. En 1936, escribió el célebre documento
que responde a la pregunta en sentido negativo. En este artículo, Turing formaliza la
noción de computabilidad (acción de ser computable) e introduce la máquina de
Turing como un modelo para una máquina de computación universal.

El concepto de una máquina de Turing es la base formal de trabajos

posteriores en la teoría de la complejidad, incluida la definición de las clases P y NP.

1936 La teoría de grafos infinitos y finitos (Dénes König)

Doscientos años después del trabajo pionero de Euler sobre el problema de los
puentes de Königsberg, el trabajo de Dénes König desarrolla un estudio completo
sobre la teoría de grafos estableciéndolo como subcampo de las matemáticas.

1937 El problema del agente viajero (Merrill M. Flood)

Merrill M. Flood se acredita con la popularización de este famoso problema

combinatorio: Un vendedor ambulante quiere visitar a cada una de las n ciudades
exactamente una vez y luego regresar a su ciudad natal, y si la distancia (costo) de
viajar de ciudad i la ciudad j es cij ¿qué recorrido (tour, circuito) deberá tomar el
vendedor para minimizar la distancia total recorrida?

1939 Condiciones de optimalidad para programación no lineal (William

Karush)

Como parte de su tesis de maestría en el departamento de matemáticas de la

Universidad de Chicago, William Karush determino las condiciones de optimalidad
para programación no lineal, un resultado idéntico a la conocida pero posterior
declaración de Kuhn Tucker (1951). El trabajo de Karush no fue publicado y
permaneció desapercibido durante muchos años.

1939 Métodos Matemáticos de Organización y Planificación de la Producción

(Leonid V. Kantorovich)

El matemático ruso y economista, Leonid V. Kantorovich, dio una descripción

matemática de un problema de asignación de la producción que puede ser
interpretada como la primera declaración de estos problemas como un programa

30
lineal. También propuso un procedimiento de cálculo (resolución de multiplicadores)
para resolverlo, y, además, señaló que estas estructuras matemáticas podrían ser
utilizadas para analizar los problemas en las refinerías de petróleo, en la utilización
de los tipos de combustible, en la distribución de la carga sobre una red, y en la
distribución óptima de la tierra arable para cultivos agrícolas diferentes.

1940 Blackett «Circus» (Patrick M.S. Blackett)

Bajo la dirección del físico Patrick M.S. Blackett, un grupo multidisciplinario (tres
psicólogos, un físico general, dos físicos matemáticos, dos matemáticos, un astrofísico,
un oficial del ejército y un topógrafo) fue creado bajo el título formal de The Anti-
Aircraft Command Research Group, de la Royal Air Force, para estudiar el uso del radar
en artillería antiaérea. Conocido como el Circo de Blackett, estableció el concepto de
equipo multidisciplinario de investigación de operaciones, demostrando el valor y la
eficacia de estos equipos cuando se aplica a complejos problemas del mundo real.

1941 El Problema de Transporte (Frank L. Hitchcock)

El primer desarrollo del clásico problema de transporte (el envío de mercancías

desde un origen i a un destino j a un costo mínimo) se debe a Frank L. Hitchcock
publicado en un artículo de 1941 en la que esboza un procedimiento de solución.
Durante la Segunda Guerra Mundial, el economista Tjalling C. Koopmans, mientras
trabajaba para el Consejo de la British American Combined, de forma independiente
investigaba y resolvía el mismo problema, por lo que el problema se le conoce como
el problema de transporte Hitchcock- Koopmans.

1942 U.K. naval operational research (Patrick M.S. Blackett)

En diciembre de 1941, cuando Patrick M.S. Blackett fue consultado acerca de la

formación de una sección de Investigación de Operaciones por parte del Ministerio
de Marina del Reino Unido, escribió un memorando titulado «Los científicos en el
nivel operacional», que resultó ser muy influyente en ambos lados del Atlántico, y que
proporcionó un impulso para la formación de un Grupo de Investigación de
Operaciones en la Marina de los Estados Unidos para la Guerra Antisubmarina
(ASWORG).

1942 U.S. Navy Antisubmarine Warfare Operations Research (ASWORG)

ASWORG fue la primera organización civil con personal comprometido en

operaciones militares en los Estados Unidos. Fue organizada por la Marina y por el
físico Philip M. Morse a principios de la Segunda Guerra Mundial. Comenzó con 15
científicos civiles asignados a la Oficina del Jefe de Operaciones Navales, el almirante
Ernest J. King. Al finalizar la guerra, había casi 100 analistas empleados para la

31
solución de problemas general de la Investigación de Operaciones (ORG), con
ASWORG como uno de sus subgrupos.

1942 U.S. Air Force operations research

En octubre de 1942, en el apogeo de la Segunda Guerra Mundial, el primer

contingente de analistas de Investigación de Operaciones de los Estados Unidos llegó
a Inglaterra para trabajar con Air Force’s Eighth Bomber Command (más tarde
designado la Octava Fuerza Aérea). Ellos fueron: James Alexander, el matemático del
Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Leslie H. Arps y John M. Harlan, los
abogados de la firma de abogados de Nueva York de la matriz, Ballantine, Harlan,
Bushby y Palmer; H.P. Robertson, un físico de Princeton University; W. Norris Tuttle,
director de investigación de General Radio Company, William J. Youden, bioquímico
y estadístico, y Boyce Thompson, del Plant Research Institute. Harlan fue jefe de Staff
de la recién formada Sección de Investigación de Operaciones.

1942 Teoría de búsqueda (Bernard O. Koopman)

«Search and Screening» por Bernard O. Koopman, fue la primera publicación para
describir un enfoque probabilístico basado en la asignación óptima para los esfuerzos
de búsqueda.

1943 Las Redes Neuronales (Warren S. McCulloch y Walter H. Pitts)

Warren S. McCulloch y Walter H. Pitts, introdujeron la noción de una red neuronal

como una abstracción de las propiedades fisiológicas del sistema nervioso. Su artículo
principal sobre el tema inicia con la siguiente afirmación: "Debido al carácter de todo
o nada de la actividad nerviosa, los eventos neurales y las relaciones entre ellos
pueden ser tratados por la lógica proposicional."

1944 Suavización exponencial (Robert G. Brown)

Tal como fue concebido por Robert G. Brown, el suavizamiento exponencial utiliza un
promedio ponderado de valores de series de tiempo pasadas como pronóstico.
La suavización exponencial es simple y tiene pocos requisitos. Por tanto, es un
enfoque económico y útil para empresas que hacen muchos pronósticos en cada
periodo. (Anderson, Sweeney y Williams, 2011).

1944 Teoría moderna de la utilidad

La Teoría de la utilidad es el estudio sistemático y la representación cuantitativa de

las estructuras sobre preferencias. La idea de la utilidad se remonta a Daniel Bernoulli

32
(1738), con el término popularizado por Jeremy Bentham en 1789. La evolución del
concepto se puede encontrar también en Savage en 1954 y en las lecturas recogidas
por Page en 1968. John von Neumann y Oskar Morgenstern proporcionan el primer
tratamiento axiomático de la utilidad en la segunda edición de su obra clásica Theory
of Games and Economic Behavior.

1944 Teoría de Juegos y Comportamiento Económico (John von Neumann,

Oskar Morgenstern)

En el libro Theory of Games and Economic Behavior se establecen los conceptos

básicos de las estrategias del juego y su aplicación a la teoría económica y social. La
edición revisada de 1947 es considerada como modelo de referencia que incluye,
como apéndice, los primeros axiomas de la teoría de la utilidad numérica.

1945 Proyecto RAND

Al término de la Segunda Guerra Mundial, era necesario contar con los servicios de
los científicos que podrían trabajar en la planificación militar y en los problemas
relacionados con el gobierno de los Estados Unidos. Con este fin, el gobierno
estableció el Proyecto RAND (Research and Development) en diciembre de 1945
debido a un contrato con la Douglas Aircraft Company.

1945 U.S Navy Operations Evaluation Group (OEG)

Debido a la menor actividad submarina por parte del enemigo y a la necesidad de

aplicar aún más la Investigación de Operaciones a los problemas de la marina de
guerra, el equipo que conformaba el (ASWORG), fue rebautizado como Operations
Evaluation Group (OEG) y asignado a la Sede de la Flota del Atlántico

1945 El problema de la dieta (George Stigler)

El economista George Stigler, plantea y analiza el problema siguiente: Para un hombre

moderadamente activo (un economista) que pesa 154 libras, ¿qué cantidad de cada
uno de los 77 alimentos debe consumir este hombre a diario para que absorba los
nueve nutrientes (incluyendo calorías) que sea por lo menos igual a la cantidad diaria
recomendada por the National Reseach Counsil en 1943 para que el costo de la dieta
sea mínimo? Stigler elaboró este problema de optimización en términos de un
conjunto de (9 × 77) desigualdades lineales simultáneas. Como esto era antes de la
formalización de la programación lineal de George B. Dantzig, Stigler no contaba con
procedimiento exacto para encontrar la solución de costo mínimo. Él, astutamente se
las arregló para encontrar una solución que no era la óptima de $ 39.93. En 1947
Dantzig formula el problema de Stigler como uno de programación lineal y lo utiliza
para probar el método simplex que funcionará bien para un problema «a gran escala».

33
Una solución, usando una calculadora de bolsillo requirió 120 días-persona de
esfuerzo, y se encontró con el costo óptimo de $ 39,69 dólares. Stigler en 1982 recibió
el premio Noble de Economía por sus estudios de las estructuras industriales, el
funcionamiento de los mercados y las causas y efectos de la regulación pública.

1946 La computadora digital

El año 1946 vio la inauguración de lo que se considera la primera computadora digital

moderna de propósito general, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and
Computer). El campo de la investigación de operaciones no se habría expandido como
lo hizo en la década de 1940 y 1950 sin la influencia sinérgica de la computadora, por
ejemplo, el desarrollo y la utilización de Monte Carlo y la simulación discreta, y la
solución de problemas de programación lineal en el gobierno y la industria mediante
el método simplex.

1946 Simulación de Monte Carlo (Stanislaw Ulam)

El método de Monte Carlo fue idea del matemático y físico teórico Stanislaw Ulam,
que reflexionaba y meditaba en él mientras jugaba solitario durante una enfermedad
en 1946.

1946 Métodos Matemáticos de Estadística (Harald Cramér)

El propósito de este libro fue para unir la moderna teoría matemática de la

probabilidad con la ciencia estadística, desarrollada por Ronald A. Fisher y sus
contemporáneos británicos y americanos. Harald Cramér fue conocido por la
brillantez de sus conferencias y escritos. Las raíces de este libro se remontan a sus
clases en el aula en la década de 1930, pero el texto fue escrito principalmente
durante 1942-1944. Las dos primeras partes del libro desarrollan las bases, mientras
que la tercera parte, que comprende más del 40% del contenido, se dedica a la
inferencia estadística.

1946 Métodos de Investigación de Operaciones (Philip M. Morse, George E.

Kimball)

La versión no clasificada introdujo los conceptos básicos de la investigación de

operaciones en la industria, empresa, ejecutivos del gobierno no militares de los
Estados Unidos, así como para la comunidad académica. Se cita y populariza una
definición temprana de la investigación de operaciones: La "Investigación de
Operaciones es un método científico para poner al alcance de los departamentos
ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones relativas a las operaciones bajo
su control.

34
V. Expansión de la investigación de operaciones (1947-1950)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1947 Proyecto SCOOP (U.S. Air Force Scientific Computation of Optimal

Programs)

Proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs). Pentágono, Fuerza

Aérea de los estados Unidos. Grupo de investigación formado en junio de 1947. Fue
nombrado oficialmente proyecto SCOOP en octubre de 1948 y disuelto en 1955.
Encabezado por el economista Marshall K. Wood, con George B. Dantzig como
matemático en jefe. El objetivo principal del proyecto SCOOP era desarrollar
respuestas más adecuadas al problema de las necesidades de programación de la
Fuerza Aérea.

1947 El problema de programación lineal

Los problemas de programación se refieren al uso eficiente o la asignación de los

limitados recursos para alcanzar los objetivos deseados. Ejemplos típicos son las
operaciones de las refinerías que transforman el petróleo crudo en los distintos
combustibles, el transporte de materiales de muchas fuentes para muchos destinos y
la producción de bienes para satisfacer la demanda.

El nombre de "programación lineal" fue sugerido a Dantzig por el economista

Tjalling C. Koopmans.

Koopmans y Kantorovich fueron galardonados con el Premio Nobel de

Economía en 1975 por sus contribuciones a la teoría de la asignación óptima de los
recursos.

1947 El Método Simplex

El algoritmo simplex (primal) fue inventado por George B. Dantzig como un

procedimiento de solución para resolver problemas de la programación lineal (PL).

Se ha utilizado para resolver una amplia gama de problemas de forma más

eficaz en todo tipo de computadoras digitales.

El algoritmo comienza con una solución básica factible y luego busca en una
secuencia finita otras soluciones básicas factibles hasta que encuentra una que
satisfaga las condiciones de optimalidad. Desde entonces, otros métodos para la
solución de problemas de PL se han desarrollado, en particular el método de puntos

35
interiores, pero el método simplex es el caballo de batalla de la PL. El método simplex
fue elegido como uno de los diez algoritmos más importantes del siglo XX.

1947 Se funda The Association for Computing Machinery (ACM)

The Association for Computing Machinery es una organización científica

internacional y educativa dedicada a la promoción del arte, la ciencia, la ingeniería y
la aplicación de tecnologías de la información. Su primer presidente fue John H. Curtis.

1947 La definición de la Investigación de Operaciones

El trabajo de Charles Kittel (1947) es uno de los primeros documentos que trajeron
las ideas de la IO a la comunidad científica de los Estados Unidos. Como Kittel expreso:
«Se espera que la publicación de este documento sirva para estimular la creación de
grupos de investigación de operaciones en los Estados Unidos para el avance de
objetivos pacíficos». Esta nueva y poderosa herramienta debe encontrar un lugar en
el gobierno y la industria.

1948 Investigación de Operaciones en el sector industrial: British Iron and

Steel Industry Research Association

The National Coal Board of Great Britain, creada en 1948, estableció un grupo de
Investigación en el campo de la IO encabezado por Hugh Patrick Berwyn Rivett. Los
principales estudios realizados por este grupo incluían organización de las minas de
carbón, las comunicaciones y el transporte subterráneo, la distribución de carbón, y
el análisis de la mano de obra. El año 1948 también marcó la formación del British
Iron and Steel Industry Research Association (BISRA) con Sir Charles Goodeve como
director. BISRA empleaba la IO para hacer frente a los problemas de toda la industria
y también ayudó a las empresas más grandes de la industria para establecer su propio
grupo de IO.
En particular, Stafford Beer encabezó más de 70 grupos de profesionales de IO
para United Steel.

1948 The RAND Corporation

En febrero de 1948, el Proyecto RAND se convirtió en una corporación independiente

sin fines de lucro. A través de los años, los investigadores de RAND contribuyeron en
gran medida en muchas áreas de la IO: la teoría de juegos, programación lineal,
programación dinámica, análisis de sistemas, simulación, flujos en redes, y el método
Delphi.

36
1948 Johns Hopkins U.S. Army Operations Research Office (ORO)

Durante la Segunda Guerra Mundial, la investigación de operaciones militares en los

Estados Unidos fue llevada a cabo principalmente por elementos de Army Air Corps
and The Navy (Cuerpo Aéreo del Ejército y la Marina). Fue sólo después de la guerra
que el Ejército de los Estados Unidos, estableció formalmente una actividad de la IO,
la Oficina General de Investigación, bajo la dirección de los administradores de la
Universidad Johns Hopkins, ubicada en el Fuerte McNair, Washington, DC. El nombre
fue cambiado luego a Operations Research Office (Oficina de Investigación de
Operaciones), y, en 1951, después de un tiempo ORO trasladó su sede a Chevy Chase,
MD. El director y fundador único de ORO fue el geofísico Ellis A. Johnson. ORO fue
disuelta en 1961.

1948 Club de Investigación Operaciones de Gran Bretaña

El Club de IO fue inaugurado en abril de 1948 en Londres con Sir Charles Goodeve
como su presidente. La génesis del Club fue la necesidad de formar un grupo de apoyo
mutuo para la introducción de la IO en la industria.

1949 Conferencia de la Comisión Cowles

Del 20 al 24 de junio, de 1949, en la Universidad de Chicago, la Comisión Cowles para

la Investigación en Economía patrocinó una conferencia sobre "Análisis de la
actividad de producción y distribución." Esta conferencia es notable, ya que fue aquí
donde George B. Dantzig, Tjalling C. Koopmans, Harold W. Kuhn, Albert W. Tucker, y
Marshall K. Wood, entre otros, presentaron los trabajos que ayudarían a establecer
los aspectos teóricos y aplicados de la programación lineal y sus extensiones.

1949 Teorema de imposibilidad de (Kenneth Arrow)

Cuando se tienen tres o más alternativas para que un cierto número de personas
elijan entre ellas (o establezcan un orden de prioridad entre ellas), no es posible
diseñar un sistema de elección que permita generalizar las preferencias de los
individuos hacia una “preferencia social” de toda la comunidad.

Arrow fue galardonado con el premio Nobel en 1972, compartido con John R.
Hicks, por sus contribuciones pioneras a la teoría general del equilibrio económico y
la teoría del bienestar.

37
1949 Extrapolación, interpolación y suavizado de series de tiempo
estacionarias (Norbert Wiener)

Escrito con un enfoque en aplicaciones de ingeniería, este libro se convirtió en piedra

angular del trabajo futuro en la predicción y el control óptimo. Su propósito era el de
unir la teoría y la práctica de la ingeniería de comunicaciones y el análisis de las series
de tiempo. La mayor parte del trabajo refleja aportaciones originales de Wiener.

1950 Estadística de la Teoría de las decisiones

Este marco para la toma de decisiones se desarrolló en la década de 1950 y puede ser
visto como un precursor del moderno análisis de decisión.

En el proceso de toma de decisiones individual bajo incertidumbre, una

elección debe realizarse sobre un conjunto de acciones 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , . . , 𝐴𝐴𝑚𝑚 , y cada decisión
depende del estado de la naturaleza 𝑆𝑆1 , 𝑆𝑆2 , . . , 𝑆𝑆𝑛𝑛 . En el proceso de toma de decisiones
se conoce el estado de la naturaleza y la recompensa o pago asociado a cada par
(𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝑆𝑆𝑗𝑗 ).

1950 Primera solución del problema de transporte en una computadora

El algoritmo simplex, adaptado para la resolución de la estructura especial del

problema de transporte de programación lineal, se codificó para el National Bureau
of Standards SEAC digital computer, bajo los auspicios del proyecto US AF’s SCOOP.
Un código general con el algoritmo simplex fue desarrollado para el SEAC en 1950.

1950 Post Segunda Guerra Mundial: el control de calidad

W. Edwards Deming fue un físico matemático en la Oficina de Química y Suelos, del

Departamento de Agricultura de los Estados Unidos, donde jugó un rol decisivo en la
introducción de las ideas modernas del conocimiento estadístico.

1950 El dilema del prisionero

Una historia simple que habla de un juego de suma no cero no cooperativo.

El juego ha generado numerosos libros, y artículos de investigación, y ha influido en
el pensamiento científico social. La historia, contada por primera vez por Albert W.
Tucker a un grupo de estudiantes de psicología en la Universidad de Stanford, se basa
en un juego de estrategia desarrollado por Merrill Flood y Melvin Dresher de la RAND
Corporation. Se trata de dos supuestos socios en un delito.

38
1950 La primera revista (Journal) sobre Investigación de Operaciones

Bajo los auspicios de British OR Club, la primera revista académica de IO, The
Operational Research Quarterly, se publicó en marzo de 1950. En 1978, su nombre fue
cambiado a Journal the Operational Research Society.

1950 Equilibrio de Nash

Todo juego finito (es decir, finitos jugadores y finitas estrategias de cada jugador)
tiene al menos un equilibrio de Nash, aunque involucre ciertas probabilidades
objetivas de juego de las estrategias por parte de los jugadores (Monsalve, 2003).

Nash, junto con John C. Harsanyi y Reinhard Selten, recibió en 1994 el Premio
Nobel de Economía por sus análisis pioneros del equilibrio en la teoría de juegos no
cooperativos (Gass 2005).

1950 Programación dinámica (Richard Bellman)

La programación dinámica, desarrollada por Richard Bellman, es una técnica de

optimización para problemas de decisión multietapa basada en el principio de
optimalidad: para cualquier política óptima, sea cual sea la decisión del estado actual
y vigente, las restantes decisiones deben constituir una política óptima para el estado
que resulta de la decisión actual. Bellman acuñó dos nombres: programación
dinámica y el principio de optimalidad

1950 La Investigación de Operaciones en la agricultura

En 1946, Charles W. Thornwaite, climatólogo de consultoría, se unió a Seabrook

Farms, Nueva Jersey. Seabrook fue la primera empresa en congelar rápidamente sus
verduras. Era una empresa de agricultura integrada: siembra, cosecha,
procesamiento, congelación rápida, almacenamiento y distribución. Al darse cuenta
de que siete mil hectáreas de chícharos estaban madurando al mismo tiempo, lo que
representaba una carga pesada para su personal y sistema de congelación de
Seabrook. Thornwaite estudió todos los aspectos de crecimiento de chícharos y
desarrolló un calendario climático que mostró cuándo se debía sembrar y cuándo
cosechar. El calendario fue utilizado para desarrollar un programa que permitió la
siembra de chícharos maduros para ser cosechados a una velocidad que era de común
acuerdo con la programación de personal y la capacidad de procesamiento de la
fábrica.

39
VI. Desarrollo profesional de la investigación de operaciones: matemáticas y
algoritmos (1951-1956)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1951 Mezcla de gasolinas para la aviación

La mejor manera de combinar las gasolinas para la aviación de manera óptima, son
problemas básicos de las compañías petroleras. No fue sino hasta la década de 1940
y principios de 1950 cuando los economistas y matemáticos se unieron para aplicar
las nuevas ideas de la programación lineal y los procedimientos relacionados con las
matemáticas y la computación. Los métodos de optimización se han desarrollado con
éxito para los problemas de mezclas.

1951 Primera computadora basada en el algoritmo simplex

El algoritmo simplex general fue codificado por el National Bureau of Standards SEAC
digital computer, bajo los auspicios del proyecto SCOOP de la USAF. La primera
aplicación fue resolver un problema de programación que tratará con el despliegue y
mantenimiento de aviones de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos.

1951 Programación no lineal

En un artículo muy influyente, se estableció la "programación no lineal", Harold W.

Kuhn y Albert W. Tucker dan el nombre del campo y las bases matemáticas para el
análisis de estos problemas.

1951 La Investigación de Operaciones en la empresa

Una de las primeras, si no la primera empresa en formar un grupo interno de IO.

Courtaulds Britain’s, era el mayor productor británico de hilos. El grupo, bajo la
dirección de A.W. Swan, se enfocó en los problemas económicos y técnicos, como el
uso óptimo de las bobinas y la duración óptima de las series de producción. En los
Estados Unidos, las organizaciones consultoras como Arthur D. Little formaron una
división de IO cuyos miembros trabajaban en los problemas de Sears, Roebuck,
Repúblic Steel, y Simplex Wire & Cable.

1951 La política óptima de inventario dinámico

El trabajo de Kenneth Arrow, Theodore Harris y Marschak Jacob mostraron cómo

determinar valores óptimos de la política de inventario para un sistema de revisión
periódica con demanda aleatoria.

40
1951 Se introducen las cadenas de Markov en los sistemas de análisis de líneas
de espera (colas)

David G. Kendall hizo un importante avance metodológico mediante el poderoso

método de introducir cadenas de Markov para analizar el sistema de análisis de colas.

1951 Primeros programas universitarios en Investigación de Operaciones

Los primeros programas en Investigación de Operaciones (maestría y doctorado) se

establecieron en el Case Institute of Technology, Cleveland, Ohio. Los primeros
graduados fueron: 1955 (Maestría, M.S) - Lawrence Friedman, Maurice Sasieni, 1957
(Doctorado, PhD.) Eliezer Naddor, Maurice Sasieni.

En la siguiente sección de esta tesis abordaremos el papel relevante de este instituto

para impulsar la investigación de operaciones a nivel nacional e internacional,
incluyendo a México.

1951 Primer Simposio sobre «Desigualdades lineales y programación»

Bajo el patrocinio conjunto del U.S. Department of the Air Force (proyecto SCOOP) y
the National Bureau of Standars, el Simposio sobre las Desigualdades Lineales y
Programación se llevó a cabo en Washington, DC, del 14 al 16 de junio, 1951.

Su propósito era dar a conocer los trabajos técnicos en el campo de la logística,

la teoría de juegos, el análisis cuantitativo de las actividades de la economía (las
relaciones interindustriales), entre otros trabajos. Muchos aspectos importantes de
la programación lineal se presentaron por primera vez en el simposio: «El teorema
de dualidad basado en el método simplex», George B. Dantzig, Alex Orden;
«Aplicaciones del método simplex a una variedad de problemas matriciales», Alex
Orden; «Mezcla de gasolinas para la aviación de fusión, un estudio de programación
interdependiente», Abraham Charnes, William W. Cooper, Bob Mellon, entre otros
trabajos relevantes.

Este simposio es considerado como el Primer Simposio de Programación

Matemática.

1952 Ecuación de Lindley

A partir de una relación elemental entre los tiempos de espera de los 𝑛𝑛 y (𝑛𝑛 + 1)
clientes un modelo de cola general 𝐺𝐺𝐺𝐺/𝐺𝐺/1, Dennis V. Lindley demuestra que los
tiempos de espera tienen una distribución limitante. Él deriva una ecuación integral
del tipo Wiener-Hopf para esta distribución que lleva su nombre.

41
1952 Se establece MIT Committe on Operations Reseach (ORC)

Debido al interés de los profesores y estudiantes en el nuevo campo, el MIT nombra

a Philip M. Morse como presidente del Committe on Operations Reseach para
coordinar la educación y la investigación en IO. A partir de 1953, la Comisión
patrocinó 15 seminarios anuales de verano que ayudaron a traer las últimas
investigaciones y aplicaciones prácticas para la comunidad académica. En 1955, bajo
la dirección de Morse, el Comité se transformó en un Centro de Investigación
Operaciones (ORC) que apoyaba a los estudiantes de posgrado y les permitió trabajar
en tesis aceptables de IO.

1952 Se funda Operations Reseach Society of America (ORSA)

La reunión de fundación de Operations Reseach Society of America (ORSA) se celebró

del 26 hasta 27 mayo del año1952 en Harriman, Nueva York, en Arden House, la
antigua finca de la familia Harriman operada por la Columbia University para
reuniones académicas. A ella asistieron 71 personas que representaban a una amplia
gama de negocios, industrias, académicos, consultores, militares y organizaciones no
gubernamentales. Philip M. Morse fue elegido presidente.

1952 Primer Journal (revista) en Investigación de Operaciones en los Estados

Unidos.

El Volumen 1, número 1 de la Revista The Journal of The Operations Research Society

of America fue publicado en noviembre de 1952. El primer editor fue Thornton Paige.
El nombre de la revista fue cambiado a Operations Reseach en febrero de 1956 en la
edición del volumen 4, número 1. En la actualidad se publica como Operations
Research and The Management Science (INFORMS).

1952 Análisis de la cartera (Harry M. Markowitz)

La primera formulación de un modelo de programación lineal que permite a un

inversionista obtener de forma óptima el equilibrio entre la rentabilidad esperada y
el riesgo en la selección de una cartera de inversiones se debe a Harry M. Markowitz.

Markowitz recibió el premio Nobel de Economía 1990, compartido con Merton

H. Miller y William F. Sharpe, por su trabajo pionero en la teoría de la economía
financiera.

1952 Programación paramétrica

La Programación paramétrica considera problemas de programación lineal en el que

(1) los coeficientes de la función objetivo o (2) los valores del lado derecho son

42
funciones lineales de un parámetro. Estos problemas surgieron de aplicaciones
específicas y se investigaron de forma independiente por investigadores del Proyecto
SCOOP y de la Corporación RAND. Variaciones directas del método simplex aplicado
a este tipo de problemas producen soluciones que son óptimas para la gama de
parámetros asociados.

1952 Se instala UNIVAC I en El Pentágono para resolver problemas de la Fuerza

Aérea de los Estados Unidos mediante la programación lineal.

Como parte del proyecto SCOOP, la Fuerza Aérea de los Estados Unidos instala la
computadora UNIVAC I en abril de 1952. El código simplex fue escrito por el personal
staff de la Rama matemática de la Fuerza Aérea en la UNIVAC bajo la dirección de Emil
D. Schell.

El código simplex en la UNIVAC I resolvía problemas de programación lineal

del orden de (250 x 500). En ese entonces de consideraban problemas de gran escala.

1952 Se funda The Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)

The Society for Industrial and Applied Mathematics tenía por objetivo el apoyar las
interacciones entre las matemáticas y otras comunidades científica y tecnológicas
para avanzar en la aplicación de las matemáticas y la ciencia computacional en la
ingeniería, la industria, la ciencia y la sociedad, promover investigaciones que
conducirán a la eficacia de los nuevos métodos matemáticos y computacionales y
técnicas para la ciencia, la ingeniería, la industria y la sociedad, y proporcionar los
medios para el intercambio de información e ideas entre los matemáticos, ingenieros,
y científicos. William E. Bradley, Jr. fue el primer presidente de SIAM.

1953 Se funda The Institute of Management Science (TIMS)

TIMS fue fundado en 1953 como una organización internacional de profesionales de

la investigación de operaciones y académicos. En 1951-1952, Melvin Savelson inicia
conversaciones y reuniones para explorar el interés en esta idea. TIMS fue fundada el
1 de diciembre de 1953, en una reunión en Columbia University, organizada por
Merrill Flood y David Hertz. Participaron alrededor de 100 personas. El primer
presidente de TIMS fue William W. Cooper, Abraham Charnes, Vicepresidente, y el
Merrill Flood, Presidente Electo, C. West Churchman fue elegido como el editor
fundador de Management Science, publicada por primera vez en octubre de 1954.

1953 The RAND programa de logística

El Departamento de logística The RAND se formó en 1953 como parte de la División

de Economía, que incluía el análisis de la economía y el análisis de los costos. Por

43
recomendación de George B. Dantzig, Murray A. Geisler, que había trabajado con
Dantzig en SCOOP Project, fue seleccionado en 1954 para encabezar el programa de
investigación de The RAND logistics.

Las primeras investigaciones se ocuparon de la aplicación de la teoría

económica y de las nociones de costo-efectividad en la logística. Una aplicación muy
fructífera surgió en el análisis de los equipos para la aviación utilizados por Strategic
Air Command desplegados en el extranjero.

1953 Clasificación de los sistemas de colas (David G. Kendall)

La notación utilizada para clasificar los sistemas de colas se debe a David G. Kendall.
La notación básica usa tres características principales de un sistema de colas: el
proceso de llegada, la distribución de tiempo de servicio y el número de servidores y
se escribe como 𝐴𝐴 / 𝑆𝑆 / 𝑐𝑐. Una cuarta y quinta letra se emplean a veces para indicar el
número máximo de clientes que pueden estar en la cola o en el servicio (𝐾𝐾) 𝑦𝑦 (𝑄𝑄)
como la disciplina de cola.

1953 Se funda Operational Reseach Society (UK)

El 10 de noviembre de 1953, los miembros del Club de Investigación de Operaciones

en Inglaterra votaron para convertirse en la Operational Reseach Society (ORS) con
membresía abierta a cualquier persona involucrada en la investigación de
operaciones. El primer presidente de la sociedad fue O.H Wansbrough-Jones.

1953 Método simplex revisado

El método simplex revisado es un procedimiento sistemático para implementar los

pasos del método simplex en un arreglo más pequeño, ahorrando así espacio de
almacenamiento. Bazaraa (1997)

1953 El método de Metrópolis

Un problema común en la física estadística es encontrar la energía y la configuración

del estado de menor energía para un sistema compuesto de muchas partículas. Un
enfoque para encontrar este estado de equilibrio es alterar aleatoriamente la posición
de cada partícula y volver a calcular la energía resultante. Si la energía muestra una
disminución, la posición nueva se acepta. El procedimiento continúa hasta que la
energía no cambia más.

Nicholas Metrópolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, y

Augusta H. Teller modificaron este procedimiento cuando el sistema tiene una
temperatura conocida.

44
1953 La paradoja de Allais (Maurice Allais)

El economista francés Maurice Allais propuso situaciones de decisión donde se

preguntaba si los axiomas de la teoría de la utilidad se aplican en la práctica. En 1952,
Allais presentó una serie de ejemplos de decisiones a prominentes economistas
teóricos con los resultados que muestran que sus decisiones implican un
ordenamiento de preferencias inconsistente, es decir, los economistas no se
comportan de acuerdo con los axiomas de la teoría de la utilidad. Sus resultados se
muestran en Allais (1953). Las discusiones sobre lo que desde entonces se ha llamado
«La paradoja de Allais» se dan en Savage (1954) y Raiffa (1968).

Allais ganó el Nobel de economía en 1988, cuando la Academia Real Sueca de las
Ciencias lo elogió por «hacer contribuciones pioneras a la teoría de los mercados y al
uso eficiente de recursos» CNN Expansión (2010).

1954 Planos de corte para el problema del agente viajero

En un artículo destacado, «Solución del problema del agente viajero de gran escala
(tamaño o instancia)» George B. Dantzing, D. Ray Fulkelson, y Selmer M. Johnson
demostraron la efectividad de los planos de corte. Alan J. Hoffman y Philip Wolfe
comentan sobre este artículo: «…una de las grandes aportaciones de todos los
tiempos para la optimización combinatoria»”. En este artículo se muestra cómo se
resuelve un problema de 49 ciudades del problema del agente viajero con una buena
solución. Bastaron solo 25 cortes para demostrar la optimalidad.

En este trabajo se mostró la importancia de los planos de corte para

programación entera.

1954 Naval Research Logistics Quarterly patrocinada por la Oficina de

Investigación Naval

Esta revista tuvo un fuerte impacto para la investigación teórica y aplicada de la

logística, así como para una gama amplia de temas de la IO. Seymour Selig fue el
primer editor. Ahora es publicado por Wiley Interscience bajo el nombre de Naval
Reseach Logistics.

1954 Management Science, revista de The Institute of Management Science

El volumen 1, número 1 de la revista fue patrocinada por TIMS. Management Science,

se publicó en octubre de 1954. C. West Churchman fue el primer editor. Ahora es
publicada por The Institute of Operations and the Management Sciences (INFORMS)

45
1954 Método Dual Simplex

Resuelve el problema dual directamente sobre el tablero simplex (primal). En cada

iteración, el método se mueve de una solución básica factible del problema dual a una
solución básica factible del problema dual a una solución básica factible mejorada,
hasta alcanzar la optimalidad del dual (y también del primal). O bien hasta concluir
que el dual es no acotado y que el primal es no factible. Bazaraa (1997)

1954 Ramificación y Acotamiento

En 1954 el trabajo sobre el problema del agente viajero (TSP) estudiado y presentado
por George B. Dantzig, Ford Lester, y Ray Fulkerson es considerado como la primera
obra para utilizar el enfoque de ramificación y acotamiento. El procedimiento de
ramificación y acotamiento es la base para resolver algunos problemas de
programación entera, incluyendo el problema del agente viajero.

1954 Primer premio Frederick W. Lanchester

Este premio, creado por the Operations Research Society (ORSA), se otorga cada año
al mejor artículo en investigación de operaciones al mejor reporte sobre un caso en
investigación de operaciones. Se entregó por primera vez a Leslie C. Edie por su
trabajo «Traffic delays at toll booths», Operations Research, 2, 2, 1954, 107-138. Desde
1954-1960, el premio fue patrocinado conjuntamente por ORSA y Johns Hopkins
University. El premio se otorga cada año por The Institute of Operations and the
Management Sciences (INFORMS) al mejor artículo o libro elaborado en inglés. Edie
fue el primer presidente de ORSA en 1972.

1954 Corporación para la Investigación Económica e Industrial (CEIR)

Fundada en el año de 1954, Washington, DC. CEIR fue una de las primeras empresas
que proporcionaba una amplia gama de servicios informáticos basada en consulta de
investigación de operaciones para clientes del gobierno y empresas comerciales. Era
el centro independiente de informática comercial, utilizaba una IBM 704 y
computadoras IBM 709 para analizar, entre otras aplicaciones, gran cantidad de
problemas de gran escala de problemas de programación lineal. Su presidente fue el
economista Herbert W. Robinson, y su personal de staff, que incluía a Harold
Fassberg, Saúl I. Gass, Hellerman Eli, Moshman Jack y William Orchard Hays.

1954 El estado del arte de la toma de decisiones

Ward Edwards realiza un artículo donde muestra el estado del arte de la teoría de las
decisiones, realiza una revisión del estado de la técnica de la teoría de la decisión de
1930 a 1950.

46
Ha demostrado ser un invaluable trabajo documental en donde se puede valorar el
trabajo en el campo de la toma de decisiones posterior a la Segunda Guerra Mundial.

1955 Teoría de la Racionalidad limitada y la satisfacción

La teoría económica neoclásica asume que el hombre económico toma decisiones

basado en la racionalidad perfecta y la sapiensa. Es decir, los individuos, al hacer
elecciones racionales entre las alternativas posibles, maximizan la utilidad esperada.
Por el contrario, Herbert A. Simon promulga el principio de la racionalidad limitada:
Los seres humanos carecen de los conocimientos y las habilidades de cálculo
necesarios para tomar decisiones de una manera compatible con las ideas
económicas de la racionalidad objetiva.

Herbert A. Simon recibe el premio Nobel de economía 1978 por su

investigación pionera en el proceso de toma de decisiones en las organizaciones
económicas. ORSA le otorgó el premio von Neumann en 1988.

1955 Computadoras basadas en heurísticos para resolver problemas

La colaboración de Herbert A. Simon y Allen Newell dio a luz a un ordenador basado

en la resolución de problemas de forma heurística, es decir, la forma de programar
una computadora para ser una "máquina de pensar". Simon se había reunido con
Newell y J.C. Shaw (Cliff) en el the System Research Laboratory of the RAND
Corporations.

Simon y Newell (1958) predijeron que los siguientes eventos sucederían

dentro de los próximos 10 años posteriores a 1957: 1) una computadora digital sería
campeón del mundo de ajedrez, (2) una computadora digital descubriría y probaría
un nuevo e importante teorema matemático, (3) una computadora digital escribiría
música, entre otros eventos.

1955 Programación estocástica

El problema estándar de programación lineal asume que todos los datos son
deterministas. En contraste, la programación estocástica, o programación bajo
incertidumbre, supone que los datos están sujetos a variaciones aleatorias. Los
primeros trabajos en la formulación y resolución de problemas se deben a G.B.
Dantzig y E.M.L Beale.

1955 La teoría cinemática de flujo de tráfico

M.J. Lighthill y G.B. Whitham propusieron un modelo de flujo de tráfico donde

observaron el tráfico como un líquido especial que obedecía a dos principios

47
fundamentales: (1) la conservación del flujo y (2) una relación funcional entre el flujo
de tráfico y la densidad del tráfico. A partir de estos dos principios, se deriva la
relación entre la propagación de ondas en el flujo de tráfico y la cola causada por la
obstrucción de la circulación del tráfico. Esta teoría fundamental ha dado lugar a
numerosas aplicaciones y adaptaciones.

1955 El problema de presupuesto de capital

El problema de presupuesto de capital implica la selección de un portafolio óptimo

de inversiones de un conjunto de proyectos de inversión disponibles que son
independientes o interdependientes, con una disponibilidad de presupuesto que se
opone a la selección de todas las inversiones. Cuando la función objetivo y las
restricciones son lineales, el problema se reduce a un problema de programación
lineal o entera que puede ser resuelto fácilmente. El problema de racionamiento de
capital es un caso especial que surge cuando el monto total de capital disponible para
las inversiones es limitado, cuando los proyectos son independientes, y no hay
créditos o préstamos disponibles. Este problema fue presentado por James H. Lorie y
Leonard J. Savage.

1955 El método húngaro para el problema de asignación y transporte

Los problemas de asignación y transporte se pueden resolver sin tener que recurrir
al método simplex. El método húngaro se basa en la teoría de grafos y matrices. Fue
desarrollado por los matemáticos húngaros, D. König y E. Egerváry, y se debe a Harold
W. Kuhn.
1955 El primer congreso internacional sobre el tráfico telefónico

El Primer Congreso Internacional sobre la aplicación de la teoría de la probabilidad

en la ingeniería y la administración telefónica se llevó a cabo en Copenhague, a
propuesta de Arne Jensen. La elección de Copenhague estaba destinada a honrar
Agner K. Erlang que realizó la investigación fundamental de la teoría de colas,
mientras trabajaba para the Copenhagen Telephone Company.
Los trabajos de esta conferencia influyeron para establecer la teoría de la
probabilidad como la metodología preeminente en el análisis de problemas de tráfico
telefónico.

1956 Problema Trim (cortes stock)

Esta fue una de las primeras aplicaciones industriales de la programación lineal. Se

refiere al corte de ancho estándar de rollos de papel en rollos de anchura más
pequeños para satisfacer la demanda de los diferentes tamaños de los cortes y
minimizar las pérdidas (rollos sobrantes cuyos anchos son tan pequeños para ser
utilizados).

48
1956 Programación cuadrática

Muchos problemas de optimización (por ejemplo, selección de cartera de inversiones,

mecánica estructural, análisis de regresión, redes eléctricas) se pueden formular
matemáticamente en términos de restricciones lineales y con las variables no
negativas, pero con una función objetivo que es cuadrática en las variables (no lineal).
Por lo general, la función objetivo es convexa y entonces el problema puede ser
transformado en un programa lineal y resolverse mediante una adaptación con el
método simplex.

1956 Árbol de expansión mínima

Se tienen los nodos de una red, pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las
ligaduras potenciales y la longitud positiva de cada una si se insertan en la red
(distancia, costo tiempo). Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para
satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. El objetivo es
satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras
insertadas en la red. Hiller (2010).

1956 Problema de la ruta más corta

Edsger W. Dijkstra publica el primer algoritmo eficiente, 𝑶𝑶𝒏𝒏𝟐𝟐 , para el problema del
camino más corto, en gráficos con 𝑛𝑛 nodos y costos no negativo en los arcos, así como
un algoritmo de solución para el problema. Según Dijkstra, su algoritmo del camino
más corto «sólo estaba diseñado para una demostración». El algoritmo pretendía
demostrar el poder de la computadora ARMAC en su inauguración oficial en
Ámsterdam en 1956. Durante el período de 1957-1962, se propusieron una serie de
algoritmos del camino más corto. Maurice Pollack y Walter Wiebenson dieron el
crédito del primer algoritmo a George J. Minty, que tenía una complejidad de 𝑂𝑂𝑛𝑛3 .
Otros enfoques incluyen los de Richard Bellman, George B. Dantzig, Lester R. Ford, Jr.,
y E.F. Moore.

1956 Se funda Société Franchise de Recherche Opérationelle (SOFRO)

La sociedad, SOFRO, fue fundada en enero de 1956, con Georges Guilbaud Teódulo
como su primer presidente. En 1964, se fusionó con SOFRO la Association du Droit de
l'Informatique et de traitement de 1'Information (AFCALTI) para convertirse en la
Association Française de l'Informatique et de la Recherche Opérationelle (AFIRO).
Ahora se llama the Association Francaise de Recherche et d'Aide Opérationelle la
décisión (ROADEF).

49
1956 Arbeitskreis Operational Research (AKOR)

AKOR, fue fundada en 1956 por un grupo de profesionales, aunque su membresía

estaba abierta a todos. Su primer presidente fue Helmut Kregeloh. En 1961, se formó,
la Deutsche Gesellschaft für Unternehmensforschung (DGU) con Henry Görtler como
su primer presidente. AKOR y DGU se fusionaron el 1 de enero de 1972 para formar
la Deutsche Gesellschaft für Operations Research (DGOR) con Hans Jürgen
Zimmerman como su primer presidente. El 1 de enero de 1998, se fusionó con el
DGOR Gesellschaft für Mathematik, Ökonometrie und Operations Research (GMÖOR,
fundada alrededor de 1979), para formar la Gesellschaft für Operations Research
(GOR), con Peter Kleinschmidt como su primer presidente.

1956 The Theory of Games and Linear Programming (La Teoría de Juegos y
Programación Lineal), Steven Vajda.

Esta monografía es la primera en presentar una exposición sistemática y exhaustiva

de la teoría de juegos matriciales y la programación lineal. Fue traducido al alemán,
francés, japonés y ruso, y ayudó a introducir estos temas en estos países y más allá.

50
VII. El desarrollo de algoritmos, aplicaciones y algunas actividades
internacionales de la investigación de operaciones (1957-1963)

De acuerdo a Gass y Asaad (2005)

1957 Primera Conferencia Internacional sobre investigación de operaciones

La primera conferencia internacional en investigación de operaciones se celebró en

Oxford, Inglaterra, del 2 al 6 de septiembre de 1957. A ella asistieron 250 delegados
de 21 países. Fue organizado por OR societies of the U.K., Estados Unidos y Canadá. El
tema de la conferencia fue para unificar y extender la ciencia de la investigación de
operaciones.

1957 Administración de Proyectos

Muy a menudo, hay investigaciones científicas simultáneas e independientes de

problemas similares. La fecha exacta de cada desarrollo puede ser un poco incierta.
Un ejemplo de ello es el tratamiento de la IO de un problema que llegó a la vanguardia
en las investigaciones de administración científica de Frederick Taylor y Henry Gantt
en la década de 1900: cómo gestionar un proyecto complejo y dinámico. Los enfoques
de la IO para este tipo de problemas son: Técnica de Evaluación y Revisión de
Programa (PERT), Método de la Ruta Crítica (CPM), y el Método de los Potencial Metra
(MPM).

Con sus variaciones, cada enfoque ha contribuido a la administración real de

los proyectos. Estos métodos se utilizan en todo el mundo, especialmente en el sector
de la construcción.

1957 Problema de asignación cuadrática (QAP)

El QAP, definido por primera vez por T.C. Koopmans y M. Beckmann (1957), consiste
en asignar 𝑛𝑛 facilidades a 𝑛𝑛 lugares de tal forma que se minimice el costo total de
transporte de cierto artículo entre las facilidades. Ortega (1989)

1957 El problema de la mochila (The knapsack problema)

El problema de la mochila, el primero en estudiarlo y llamarlo así fue George B.

Dantzig. Se presenta en muchas aplicaciones industriales y comerciales, tales como la
selección de un conjunto de proyectos sujetos a una restricción presupuestaria. De
igual forma, se presenta como un sub-problema de otros problemas.

51
1958 Programación entera y planos de corte

El gran avance teórico y computacional para resolver problemas de programación

entera se debió a Ralph E. Gomory, al demostrar que el problema lineal entero podía
resolverse mediante una secuencia de "planos de corte" (restricciones) y encontrar
la solución por medio del método simplex, haciéndolo converger a una solución
óptima entera.

1958 Descomposición Dantzig-Wolfe

La estructura de las restricciones de muchos problemas grandes de programación

lineal está formada por subconjuntos independientes que están "atados" junto con
una pequeña serie de restricciones adicionales. Por ejemplo, los subconjuntos pueden
representar instalaciones de una empresa de fabricación de producción, cada uno.
Independientemente de la producción, el almacenamiento y el envío de productos de
la compañía, el empate en las restricciones aseguraría entonces que los productos de
la compañía se están produciendo con el fin de satisfacer la demanda total de cada
producto dentro de las restricciones de presupuesto, mano de obra, almacenamiento
y envío

1958 Se funda Canadian Operational Research Society (CORS)

La reunión para fundar Canadian Operational Research Society (CORS) se celebró el

14 de abril de 1958 en Toronto. Osmond M. Solandt fue su primer presidente. Cuenta
con una liga activa en la dirección electrónica: www.cors.ca

1959 Se funda International Federation of Operational Research Societies

(IFORS)

IFORS se dedica al desarrollo de la investigación de operaciones como una ciencia

unificada y hacerla avanzar en todas las naciones del mundo. Los miembros
fundadores fueron the Operations Research Society of America (ORSA), the British
Operational Research Society (ORS) y la francesa Société Française de Recherche
Opérationelle (SOFRO). Sir Charles Goodeve fue elegido primer secretario honorario.

1960 Airline Group of the International Federation of Operations Research

Societies (AGIFORS)

La industria aérea formó el grupo IFORS debido al interés especial en este campo y
en reconocimiento al valor de la investigación de operaciones (OR/MS, por sus siglas
en inglés). El simposio anual de AGIFORS documento las aplicaciones de la (OR/MS)
en la industria aérea.

52
1960 International Abstracts in Operations Research (IAOR)

Patrocinado por International Abstracts in Operations Research, IAOR reúne

artículos relevantes de la IO de unas 150 revistas y los clasifica por procesos,
aplicaciones y metodologías. Para cada artículo, IAOR ofrece un resumen, con título,
autor, información bibliográfica y descriptores. Cuenta con una liga activa en la
dirección electrónica: www.palgrave-journals.com

1961 Árboles de decisión

Los árboles de decisión se utilizaban de forma regular en los cursos impartidos por
Howard Raiffa y Robert O. Schlaifer en Harvard Business School. Raiffa (2002) relata:
"Debido a que muchos de nuestros alumnos eran brillantes, pero poco sofisticados
matemáticamente, formulé la mayoría de los problemas en términos de árboles de
decisión, que se convirtieron en uso normal en los cursos.

1961 Ecuaciones de flujo de Little

Las ventajas de las ecuaciones de flujo de Little es que muestran las relaciones que
existen entre las características de operación𝐿𝐿, 𝐿𝐿𝑞𝑞 , 𝑊𝑊, 𝑊𝑊𝑞𝑞 L, en cualquier sistema de
línea de espera. Las llegadas y los tiempos de servicio no tienen que seguir una
distribución de probabilidad específica para que se puedan aplicar las ecuaciones de
flujo. Anderson, (2011)

1961 Programación por metas

La programación por metas es una herramienta utilizada ampliamente en la

resolución de problemas de programación lineal multiobjetivo. Los primeros en
trabajar con problemas de programación por metas fueron A. Charles y W.W. Cooper
al inicio de los años 50’s pero su campo comenzó a desarrollarse hasta 1961. López
(1996).

1961 Programación geométrica

Muchos problemas de diseño en ingeniería pueden formularse como un problema de

optimización (programación geométrica).

1961 La teoría de las subastas

En cualquier subasta, los licitadores tienen que navegar entre los peligros similares
de una oferta demasiado alta (y pagar más que el valor real que atribuyen al ítem) o
muy baja (de modo que el elemento se desplaza a otro postor).

53
1961 Industrial Dynamics (Dinámica industrial) Jay W. Forrester

En 1956, Jay W. Forrester renunció a sus proyectos activos en ingeniería de sistemas

computacionales para unirse al MIT Sloan School of Management como profesor de
ingeniería industrial y de organización. Su nuevo interés en la dinámica industrial
surgió después de este cambio.

1962 Método de partición de Benders

Este es un procedimiento para resolver problemas de programación lineal entera

mixta de la forma 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 ≤ 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑦𝑦 ≥ 0.

1962 El problema del cartero chino

El matemático chino Kwan Mei-Ko es el primero en plantear el problema de encontrar

a un costo menor un recorrido cerrado de un gráfico no Euleriano (un gráfico que no
contenga un ciclo que atraviese cada arista exactamente una vez). Kwan trato de
minimizar la longitud de un recorrido que incluyera a cada arista al menos una vez,
por lo tanto, deseaba encontrar una ruta de menor costo para un cartero que debería
viajar (para entregar el correo) a lo largo de cada arista.

1962 Fuzzy set theory

La noción de los conjuntos borrosos se debe a Lotfi A. Zadeh.

1963 Método Delphi

A menudo es difícil tener un grupo o comité de expertos que tenga una visión de
consenso y que todos estén de acuerdo. El Método Delphi tiende a superar los
problemas de dinámica de grupos.

1963 Enumeración implícita

Propuesto por vez primera por Egon Balas, es unas técnicas especializada para
resolver problemas de programación línea entera en el que todas las variables se
limitan a ser binarias (0 o 1). Este procedimiento ha demostrado ser muy eficaz
computacionalmente

54
VIII. Publicaciones, métodos y aplicaciones de la investigación de operaciones
(1964-1978)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1964 Problema de complementariedad

El Problemas de complementariedad lineal y no lineal han encontrado aplicación en

la economía, la ingeniería, la teoría de juegos, y las finanzas.

1964 Problema de enrutamiento de vehículos

El problema de enrutamiento de vehículos (VRP) es un problema de optimización

combinatoria de gran importancia en diferentes entornos de la logística. Para atender
los clientes se cuenta con una flota de vehículos que parten desde un centro de
depósito. El problema consiste en asignar a cada vehículo la ruta de clientes, de
manera que se minimice el costo de transporte.

1965 Teoría de la Complejidad

En su papel pionero en el problema de la concordancia, Jack Edmonds planteó la

cuestión más amplia de lo que es un «buen" algoritmo».

1965 Redistritación política

La primera aplicación de la investigación de operaciones para este tipo de problemas

fue por parte de Sidney W. Hess, J.B. Weaver, H.J., Siegfeldt, J.N. Whelan y P.A Zitlau

1965 Los Sistemas expertos

Los Sistemas expertos utilizan un conjunto de conocimientos almacenados y un

motor de inferencia para ofrecer asesoramiento sobre problemas difíciles. Los
primeros sistemas expertos típicamente tenían dominios estrechos de aplicación.

1966 Análisis de decisiones

En 1964, Raiffa impartió un curso de posgrado en análisis de decisiones en el

departamento de economía y comenzó a preparar el material para un libro con ese
título. En Stanford, Ronald Howard había adoptado el nombre de análisis de decisión
debido a un programa de investigación.

55
1966 Criminal Justice: President’s Crime Commission Science and Technology
Task Force

Saúl I. Gass (IBM) y Richard C. Larson (MIT) y un grupo de especialistas elaboraron

un informe donde muestran cómo utilizar mediante el enfoque sistémico la
investigación de operaciones para analizar y resolver algunos problemas en los
tribunales para la aplicación de la ley.

1967 Juegos con información incompleta

¿Cómo pueden los modelos de la teoría de juegos extenderse para manejar

situaciones competitivas cuando algunos jugadores tienen información incompleta
sobre algunos parámetros importantes del juego, tales como funciones de pago, las
estrategias de otros jugadores, y la información disponible sobre el juego a otros
jugadores? John C. Harsanyi respondido a esta pregunta importante en una serie de
tres artículos en Management Science.

1968 Procedimiento ELECTRE para la toma de decisiones multicriterio

En los problemas de decisión multicriterio, una alternativa i se dice que supera a otra
alternativa j si se puede concluir que i es al menos tan buena como la j. Este concepto
está incorporado en los métodos ELECTRE desarrollados por Bernard Roy. Los
resultados de un análisis ELECTRE es una clasificación de las alternativas.

1968 Se funda Decision Sciences Institute (DSI)

Originalmente fundada como The American Institute for Decision, the Decision
Science Institute es una asociación multidisciplinaria internacional dedicada a
fomentar el conocimiento y mejorar la enseñanza en todas las disciplinas de los
negocios y disciplinas afines.

1969 New York City RAND Institute (NYCRI)

La Corporación RAND estableció el NYCRI para ayudar en la resolución de una serie

de problemas de orden público. Ayudó a demostrar cómo la investigación de
operaciones y los métodos relacionados analíticos, basados en computadoras podría
ser de gran valor para los municipios.

1969 Primer sitio ARPANET / INTERNET

En 1966, The Advanced Research Proyects (ARPA) reclutó a Lawrence G. Roberts del
MIT para liderar el desarrollo y la instalación del proyector de red de datos ARPA.

56
1970 Comienza la publicación de Interfaces

El objetivo principal de esta revista, patrocinada por TIMS, fue la publicación de

monografías que tratarán sobre los problemas operativos que usan la ciencia de la
gestión. El primer ejemplar fue publicado bajo el título de The Bulletin. Leonard S.
Simon fue su primer editor.

1971 Los problemas NP y NP-completo

La clase P contiene aquellos problemas de decisión que pueden ser resueltos en

tiempo polinómico por una Máquina de Turín (MT) determinista, esto es, aquellas en
las que para cada par estado y símbolo exista a lo sumo una posibilidad de ejecución.
Los problemas de complejidad polinómica son tratables, es decir, en la práctica se
pueden resolver en un tiempo razonable.

1971 La Sociedad de Programación Matemática (MPS)

Esta sociedad internacional fomenta la investigación teórica, las aplicaciones y

desarrollos computacionales de todos los aspectos de la optimización con
restricciones. Patrocina el Simposio Internacional de Programación Matemática.
George B. Dantzig fue el primer Presidente de la Sociedad

1971 Se publica Network

En 1970, Howard Frank, Ivan T. Frisch, y Richard Van Slyke formaron the Network
Analysis Corporation, una empresa consultora con experiencia en la solución de
problemas de redes. La compañía se convirtió en un centro para los investigadores
interesados en las aplicaciones de redes. La idea de tener una revista dedicada a redes
fue idea de Frank, Frisch, y David Rosenbaum. Frisch se desempeñó como editor en
jefe hasta 1978, junto con Frank T. Boesch y Daniel J. Kleitman como editores.

1972 Metodología de sistemas suaves

Uno de los autores que en la actualidad goza de un mayor reconocimiento es Peter B.

Checkland, gracias a las novedosas formas de estudio que ha planteado, destacan sus
aportaciones metodológicas y conceptuales para la definición del sistema bajo
estudio (modelo conceptual) y el uso que da a éste en la investigación de una situación
problemática. Fuentes (1995).

57
1972 Se establece el premio Franz Edelman Award for Management Sciece
Practice

The College of Practice de TIMS estableció el Premio Edelman para reconocer

ejemplos destacados de la investigación de operaciones en la práctica. Se trata de un
concurso en el que las organizaciones presentan sus logros a un conjunto de jueces
que evalúan dichos trabajos, seleccionando a un reducido grupo de los aspirantes
para participar en el tramo final del concurso.

1974 Primera publicación de Computers and Operations Research

La revista internacional, Computers and Operations Research, fue fundada para

enfatizar "las aplicaciones nuevas e interesantes de la IO a problemas de interés
mundial y e interés general." Samuel J. Raff se desempeñó como editor de la revista
desde sus inicios hasta 2002.

1974 Lenguaje de simulación GASP

GASP es un lenguaje flexible elaborado en FORTRAN para realizar simulación basada

en el uso de eventos de control de programación desarrollado por Alan Pritsker y sus
compañeros de trabajo.

1974 Se establece la investigación de operaciones en Federal Express

Corporation

Poco después de que oficialmente comenzó sus operaciones en 1973, Federal Express
estableció un departamento de IO que dependía directamente de Frederick W. Smith,
presidente.

1974 Primera reunión conjunta entre ORSA y TIMS

La primera reunión conjunta nacional de ORSA y TIMS se celebró del 22 a 24 abril

de1974, en Boston. Esto dio inició a la serie de reuniones nacionales anuales
conjuntas, la reunión de primavera TIMS - ORSA y la reunión de otoño de ORSA- TIMS.

1974 Interfaces realiza la primera publicación conjunta entre TIMS y ORSA

Interfaces busca mejorar la comunicación entre los profesionales y los

administradores en OR/MS para la publicación de artículos que describan la práctica
y la aplicación de OR/MS en el comercio, la industria, el gobierno, o la educación.

58
1975 Algoritmos genéticos

Un algoritmo genético es un procedimiento heurístico en el que la búsqueda aleatoria

imita los mecanismos de la selección natural. John H. Holland desarrolló por primera
vez tales procedimientos en 1962 cuando investigó la evolución de los sistemas
adaptativos complejos caracterizados por los genes que interactúan. La aplicación de
los algoritmos genéticos para la optimización combinatoria ha crecido en forma
sostenida desde mediados de 1980.

1975 Se establece el Premio John von Neumann

El Premio John von Neumann se otorga en reconocimiento a las contribuciones

fundamentales en campo de la investigación de operaciones o en la administración
científica. El primer premio fue para George B. Dantzig por el desarrollo de la
programación lineal y el método simplex (1975). El premio fue establecido
conjuntamente por ORSA y TIMS, pero ahora es otorgado por INFORMS.

1975 La Medalla Goodeve

Este premio, creado por la the Operationan Research Society en honor de Sir Charles
Goodeve, se otorga en reconocimiento a la contribución más destacada en la filosofía,
la teoría o la práctica de la investigación de operaciones publicada en las revistas de
la sociedad.

1976 Calidad robusta

Para Genichi Taguchi y la noción de calidad implica la conformidad con parámetros

óptimos o ideales para medir las tolerancias de esos parámetros. La idea clave es que
cualquier desviación de estos objetivos óptimos causa una pérdida total para la
sociedad que implica no sólo al fabricante, sino a la cadena total de los involucrados
que estén en contacto con el producto.

1977 Regla anti- ciclos para problemas de programación lineal

Robert Bland sugirió una regla que previene el ciclado. Se trata de una regla muy
sencilla, pero que restringe la elección de la variable de entrada y de la variable de
salida. Bazaraa (1997).

59
IX. Métodos, aplicaciones y tecnología de la investigación de operaciones
(1979-2004)

De acuerdo a Gass y Assad (2005)

1979 Teoría de la Perspectiva

Daniel Kahneman y Amos Tversky comenzaron sus investigaciones sobre la

psicología del juicio humano en la década de 1970, con especial atención a las
desviaciones de la racionalidad y de juicio heurístico. Estas heurísticas, identificadas
por Kahneman y Tversky, son «reglas de oro» que la gente utiliza para hacer frente a
un problema difícil de juzgar cuando carecen de los mecanismos cognitivos para
resolver fácilmente el problema con precisión.

La Teoría de la Perspectiva tiene base empírica y aspira a reflejar cómo la

gente se comporta en realidad, no cómo debiera hacerlo si fuera racional. No es, pues,
una teoría normativa, sino empírica y positiva. Sus diferencias esenciales con la
Teoría de la Utilidad Esperada se refieren a tres grandes cuestiones: la definición de
las alternativas sobre las que versan nuestras decisiones humanas; la valoración que
les damos; y la ponderación que, a la vista de su probabilidad, les atribuimos.

1979 Hojas electrónicas de cálculo e investigación de operaciones

La primera computadora con hoja de cálculo en una VisiCalc, se introdujo en octubre

de 1979. Fue concebida por Daniel Bricklin, con la ayuda de Robert Frankston, y
comercializada por Personal Software, Inc., dirigida por Daniel Fylstra. Desde
entonces, las técnicas relacionadas con la IO y han sido incluidas en los principales
programas de hojas de cálculo como Excel, Lotus 1-2-3 y Quattro Pro.

1980 Sistemas de fabricación flexibles

Un sistema de fabricación flexible (FMS) se compone de varias máquinas

herramientas controladas por un ordenador, cada una es capaz de realizar muchas
operaciones, y que están vinculadas con equipos automatizados de manejo de
materiales. Las técnicas de la IO (redes, líneas de espera, programación lineal,
programación entera, la programación no lineal, la simulación, y los algoritmos
heurísticos) se han utilizado para resolver los problemas de planificación FMS
(decisiones de configuración) y problemas de programación FMS (programación en
tiempo real de las piezas fabricadas)

60
1980 Programación con restricciones

La programación con restricciones (programación con restricción lógica) se originó

en las ciencias de la computación e inteligencia artificial. Es una técnica de
programación con restricciones que ha demostrado ser eficaz para la resolución de
problemas de optimización, especialmente aquellos que surgen en la secuenciación y
programación, y, en general, en problemas combinatorios estructurados
(programación entera).

1980 El Proceso Analítico Jerárquico

Procedimientos para la resolución de problemas de decisión multicriterio. Estos

procedimientos se basan a menudo en lo que parecen ser, al menos para los
desarrolladores, heurística "razonable" y / o procedimientos matemáticos.

1980 Software LINDO (Optimización lineal y discreta)

Concebido y desarrollado por Linus E. Schrage para resolver problemas de

programación lineal y entera tuvo una fuerte influencia en la aplicación y el desarrollo
futuro del software de optimización. PC LINDO, desarrollado por Kevin Cunningham,
estuvo disponible en 1982, con mucho éxito, especialmente en el aula escolar.

1980 Administración del rendimiento (ingresos)

Los productos perecederos como los boletos de avión son inútiles si no se utilizan por
el tiempo de vuelo. La idea detrás de la gestión del rendimiento es, en base a los datos
de demandas pasadas y futuras, de forma dinámica cambiar los precios de los
productos perecederos a fin de maximizar los ingresos. Implementado por American
Airlines en la década de 1980, ha demostrado ser un procedimiento eficaz que
combina la IO y los procedimientos de la inteligencia artificial. El proceso ha sido
utilizado por otros proveedores de productos perecederos, tales como hoteles, líneas
de cruceros, y los ferrocarriles de pasajeros.

1981 La computadora personal

Aunque el prototipo y computadoras personales estaban disponibles en el

mercado antes de 1981 (Atari, Apple), el lanzamiento de la computadora personal de
IBM el 12 de agosto 1981 cambió la visión del mundo de cómo las computadoras
pueden estar al servicio de la población en general. Desde una perspectiva de la IO, la
computadora personal fue un maravilloso recurso para los profesionales, académicos
y estudiantes. De igual forma, la proliferación de software relacionado con la IO,
basado en la PC ha tenido un beneficio positivo para el usuario (experto y novato) al
disponer de una herramienta útil para el análisis de los problemas de la IO.

61
1981 Recocido simulado

El recocido simulado es un método de optimización regido por los principios de la

física estadística. Los sistemas físicos pueden ser dirigidos hacia un estado de energía
mínima global por un proceso de recocido, por lo que la temperatura se reduce
lentamente, permitiendo así que el sistema alcance un equilibrio meta estable para
cada temperatura. La aplicación de este principio a los problemas de optimización
combinatoria, donde el Estado mínimo corresponde con el valor mínimo de una
función objetivo. Este procedimiento fue propuesto y utilizado por S. Kirkpatrick, C.D
Gelatt y M.P Vecchi.

1982 lenguajes y modelado

La alta velocidad de las computadoras, los avances en el tamaño de memoria, y las

mejoras en los sistemas de programación matemática (solvers) nos permiten
resolver problemas de programación matemática del mundo real con miles de
restricciones y muchos miles de variables. Surge la pregunta: ¿Cómo generamos este
tipo de problemas para que sean aceptados por el software y estén diseñados de
forma tal que le permite a uno demostrar que el problema (modelo) es el correcto?
Es una tarea imponente para combinar los datos y las restricciones del problema en
una forma explícita y luego introducirlos en la computadora.

Para resolver un problema de gran instancia se requiere un planteamiento del

problema en forma explícita. Los lenguajes para el modelado algebraico permiten
cerrar la brecha entre el modelador y la computadora mediante la adopción de una
enunciación algebraica y concisa del problema y los datos, y, de esta forma, generar
el formato requerido para la programación matemática. El primero de esos lenguajes
fue General Algebraic Modeling System (GAMS) desarrollado por Johannes Bisschop
y Alexander Meeraus. Otros lenguajes algebraicos incluyen AIMMS (J. Bisschop, R.
Entrike); LINGO (K. Cunningham, L. Schrage); AMPL (R. Fourer, D.M. Gay, B.W.
Kernighan); MathPro (D. Hirsch-feld); MPL (B. Kristjansson).

El lenguaje algebraico permite al analista hacer crecer el modelo mediante

etapas, de tamaño pequeño a grande, lo que facilita la comprobación de que la
declaración final del problema es la correcta.

1982 Tiempo promedio de ejecución del método simplex

Aunque se ha demostrado que el método simplex es un algoritmo de tiempo

exponencial, su uso en la práctica indica que es muy eficiente. Como un indicador de
este comportamiento, Karl Heinz Borgwardt mostró que en promedio el método
simplex es un algoritmo de tiempo polinomial.

62
1982 El arte y la ciencia de la negociación (Howard Raiffa)

A finales de la década de los años 70’s Howard Raiffa fruto de un ciclo de conferencias
H. Rowan Gaither en Ciencia de los Sistemas, impartidas en 1980 en la Universidad
de California en Berkeley, elabora este libro dedicado a la memoria de uno de los
fundadores y primer presidente del Consejo de Administración, de la RAND
Corporation. Raiffa (1996).

1983 Programación entera con número fijo de variables

Usando métodos de la geometría de los números, Hendrik W. Lenstra, Jr. diseño un

algoritmo eficiente para la reducción de la base. Luego resultó que para cualquier n
fijo, el problema de programación entera: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 , pueden
ser resueltos en tiempo polinomial.

1984 Método de puntos interiores

El método simplex, habiendo experimentado considerables refinamientos y

sofisticación, no tuvo competencia sino hasta 1984, cuando N. Karmarkar propuso un
nuevo algoritmo cuya complejidad computacional es polinomial y que resultó
altamente competitivo frente al método simplex para resolver problemas de
programación lineal de gran tamaño. Bazaraa (1997).

1984 Redes neuronales para optimización (redes de Hopfield)

John J. Hopfield introdujo una red neuronal conocida desde entonces como red de
Hopfield, y entre sus méritos se encuentra el haber promocionado el resurgimiento
del estudio de las redes neuronales artificiales. La red en cuestión es capaz de resolver
problemas de optimización. Lahoz (2004).

1984 La Medalla Ramsey

El premio más importante del Grupo Especial ORSA en el análisis de decisiones, la

Medalla Ramsey, reconoce contribuciones distinguidas en el campo del análisis de la
decisión. Howard Raiffa fue el primer medallista de Ramsey en 1984. Frank P. Ramsey
fue un filósofo con un amplio interés en los fundamentos. Él genero la primera
demostración rigurosa de la hipótesis de la utilidad esperada propuesta por Daniel
Bernoulli en 1732.

63
1984 What’s Best: Takes Your Spreadsheet Beyond «What If» (¿Qué es mejor?):

El primer sistema basado en la computadora que combina el poder de las hojas de

cálculo con los procedimientos de optimización para resolver problemas de
programación lineal y no lineal.

1985 Procedimiento Branch and cut (Bifurcación y corte) para optimización

combinatoria.

Se presentaron técnicas mejoradas para resolver problemas de programación entera

binaria. Tornos (2003).

1986 Búsqueda Tabú

El nombre tabú se refiere a la utilización de estructuras de memoria para excluir

ciertas soluciones, o regiones del espacio de soluciones, de la zona de búsqueda. El
tema central de la búsqueda tabú es el diseño de estructuras de memoria que
refuercen las acciones que conduzcan a buenas soluciones y desalienten las acciones
que resultan en un rendimiento inferior. El artículo de Fred Glover 1986 fue el
primero en utilizar el término de búsqueda tabú.

1986 El Premio Harold Larnder

Este premio, creado por the Canadian Operational Reseach Society (CORS), se otorga
cada año a una persona que ha alcanzado la distinción internacional en IO. El primer
ganador fue Robert E. (Gene) D. Woolsey. Harold Larnder era un canadiense que
trabajaba en Gran Bretaña en the Bawdsey Manor Research antes y durante la
Segunda Guerra Mundial. Se le considera un co-desarrollador del radar, y ayudó a
convertirlo en un sistema eficaz de la defensa aérea durante la Batalla de Inglaterra.
Fue Presidente de CORS en 1966-1967.

1988 American Airlines Decision Technologies (AADT)

A partir de 1982, bajo la dirección de Thomas M. Cook, el staff de IO en American

Airlines fue pionero en la instrumentación de la mayor aplicación de la investigación
de operaciones en esta compañía. En 1988, el grupo de IO fue establecido como una
división por separado, llamado American Airlines Decision Technologies (AADT). A
Robert Crandall, Director General de la empresa matriz de American Airlines, se le
atribuye una larga lista de métodos basados en la IO y en el desarrollo de sistemas en
AADT como clave para la fuerte posición de AA en la industria. La lista incluye: mejora
en los rendimientos, la reasignación de viajes y un programa de mejora, la asignación
de turnos de llegada y la programación de vuelos. Cook fue presidente de INFORMA
en 2003.

64
1988 An Introduction to Queueing Networks, Jean Walrand

Este texto fue uno de los primeros dedicados enteramente al tema de las redes de
líneas de espera. Sus numerosos ejemplos ilustran el uso de redes de líneas de espera
para modelar sistemas informáticos, redes de comunicación, y las operaciones de
fabricación. Walrand recibió el premio Lanchester en 1989 por este libro.

1989 Administración de la cadena de suministro

La administración de la cadena de suministro tiene el propósito de sincronizar las

funciones de una empresa con sus proveedores, a fin de acoplar el flujo de materiales,
servicios e información, con la demanda del cliente. La administración de la cadena
de suministro tiene consecuencias estratégicas porque el sistema de suministro
puede usarse para satisfacer prioridades competitivas importantes. También implica
la coordinación de funciones clave de la empresa como mercadotecnia, finanzas,
ingeniería, sistemas de información, operaciones y logística. Krajewski y Ritzman
(2000).

1989 Primera publicación de ORSA Journal of Computing

En reconocimiento a su fuerte interrelación, esta publicación está dedicada a la

publicación de trabajos sobre la interrelación de la investigación de operaciones y la
informática. Su fundador y primer director fue Harvey J. Greenberg. Ahora es
publicado por INFORMS.

1990 Investigación de Operaciones y la Operación Tormenta del Desierto

The U.S. Military Airlift Command (MAC), mediante el análisis y las técnicas de la
investigación de operaciones planificó y programó las tripulaciones y cargas de
vuelos, moviendo 155,000 toneladas de equipo y 164,000 personas a Arabia Saudita
en 75 días. El puente aéreo continuó durante las operaciones Escudo del Desierto.
Para el final de la Guerra del Golfo Pérsico, se usó una nueva herramienta de
planificación de transporte aéreo, programando más de 11,500 misiones y
transportando a más de 350,000 pasajeros. Durante la primera etapa de 40 días de la
Guerra del Golfo Pérsico, los analistas usaron la metodología de la investigación de
operaciones para ayudar en la planificación y programación de más de 100,000
salidas.

1990 Ingeniería Financiera / mercados financieros

La investigación de operaciones tiene una larga historia en lo que respecta a la

aplicación práctica en una amplia gama de problemas financieros, por ejemplo, los
primeros trabajos en el análisis de la cartera. Con el paso de los años, las nuevas

65
metodologías han sido desarrolladas y la velocidad de la computadora y su capacidad
han crecido, muchos de los problemas financieros más amplios y más complejos han
sido objeto de competencia por parte de los profesionales de la IO. Es difícil situar
este campo (ingeniería financiera, mercados financieros) en la posición correcta en la
línea de tiempo, pero el año elegido marca un momento que seguramente fue
reconocido como importantes para la resolución de los problemas que se derivan del
área conocida como la ingeniería financiera / mercados financieros. Además del
análisis de la cartera, los problemas de interés como: precios derivados, tácticas de
negociación, decisiones de financiación, problemas estratégicos, problemas
regulatorios y legales. Entonces, la programación matemática y las técnicas de
simulación de Monte Carlo son las herramientas principales de la IO, junto con la
teoría de juegos, el análisis de redes, los árboles de decisión, el control de inventario,
y las cadenas de Markov donde se encontrarán las aplicaciones correspondientes.

1991 Primer Premio ORSA otorgado

El Premio ORSA, ahora Premio INFORMS se otorga a las empresas que de forma
efectiva han integrado la investigación de operaciones en sus procesos de toma de
decisiones organizacionales. Los primeros ganadores fueron American Airlines y
Federal Express.

1994 Network-Enabled Optimization System (NEOS)

Este sistema basado en la red Internet fue iniciado por Argonne National Laboratory
y Northwestern University, con el objetivo de conectar a los usuarios por medio la
tecnología de optimización y proporcionarles la información y la formulación de un
problema de software. NEOS está organizado en tres partes: (1) NEOS Herramientas
- Una biblioteca de software de optimización de libre disposición escrito por los
investigadores en el proyecto NEOS, (2) NEOS -Guía -Una colección de material
informativo y educativo sobre la optimización, incluyendo una guía de software de
optimización , descripciones de algoritmos, estudios de casos de aplicación,
preguntas más frecuentes para la programación lineal y no lineal, y una colección de
problemas de prueba, así como los informes técnicos, (3) NEOS servidor - un centro
para la resolución de problemas de optimización de forma remota a través de
Internet. Cuenta con una liga electrónica en: www.neos-server.org

1995 Fusión de ORSA y TIMS para formar INFORMS

Desde 1974, las dos principales asociaciones profesionales en los Estados Unidos
(ORSA y TIMS) que desarrollaron esfuerzos en la investigación de operaciones a
partir de los inicios de la Segunda Guerra Mundial, se fusionan para formar the
Instituto of Operations Research and Management Science, patrocinando

66
conjuntamente actividades y reuniones nacionales, así como para la publicación de
algunas revistas.

1995 INFORMS Online (IOL)

INFORMS en línea fue establecido inicialmente en la web de Jim Bean y Mohan Sodhi
como medio de transmisión y recolección de información sobre INFORMS y la
investigación de operaciones por y para sus miembros. Su primer director fue Michael
Trick.

1999 Se publica Manufacturing & Service Operations

Este INFORMS journal está dedicado a la publicación de artículos relacionados con la

teoría o la práctica sobre la producción de bienes y servicios, en todos sus aspectos.
Leroy B. Schwarz fue su primer editor.

2000 50º. Aniversario de la publicación de la Revista the Journal of Operational

Research

Para celebrar el aniversario de la Revista the Journal of Operational Research, el

editor, John Ranyard, y el consejo editorial, seleccionan artículos influyentes que
surgieron en los últimos 50 años.

2001 EURO grupo de trabajo PROMETHEUS sobre la ética y la Investigación de

Operaciones

El propósito de PROMETHEUS es inspirar a investigadores, profesores, estudiantes,

consultores y tomadores de decisiones en la investigación de operaciones para
integrar aspectos éticos en todas sus actividades. Fue concebido por Jean-Pierre
Brans. Fue fundado en la XVIII Conferencia EURO en Rotterdam. La membresía está
abierta a la comunidad de IO en todo el mundo.

2001 50º. Aniversario del programa en Investigación de Operaciones en The

Naval Post Graduate School (NPGS)

Hoy en día la población estudiantil the Naval Post Graduate School ha crecido hasta
1800 alumnos, con estudiantes procedentes de todas las ramas de U.S. defense
community, así como los de Coast Guard, The National Oceanic and Atmospheric
Administration, y los servicios de más de 25 naciones socias.

A través de los años, esta institución ha sido una fuerza motriz en la educación y
la formación de oficiales militares en el análisis de la investigación de operaciones.

67
X. Los primeros programas universitarios en investigación de operaciones

West era directa e indirectamente responsable por el seguimiento de avances

significativos, durante ese periodo de seis años:

1) El establecimiento del primer programa académico en investigación de

operaciones ofreciendo grados de maestría y doctorado. Este currículum fue
adoptado por muchas otras universidades y esparciendo educación y
entrenamiento, en este campo del conocimiento.

2) El desarrollo de la filosofía de la educación en investigación de operaciones, en

la cual se aprende investigación de operaciones a través de una combinación
de resolución de problemas reales de investigación de operaciones, cursos y la
investigación de tesis de tópicos y métodos avanzados.

3) La impartición de conferencias y cursos cortos de investigación de

operaciones dedicados a la presentación de métodos y técnicas de
investigación de operaciones para la formulación y solución de problemas
organizacionales en área claves de la administración.

4) El desarrollo de la filosofía, métodos y materiales abriendo paso al primer libro

de texto internacional acerca de la investigación de operaciones.

5) El reclutamiento de un fuerte y multidisciplinario equipo facultativo para

formar el grupo de investigación de operaciones en el Instituto de Tecnología
Case, y establecimiento de una excelente atmosfera de trabajo dentro del
mismo.

6) La cercana colaboración entre la facultad y los estudiantes graduados, resulto

en la educación de numerosos graduados que, posteriormente, aceptarían
posiciones dentro de las facultades de otras importantes universidades y que
iniciarían futuros programas de investigación de operaciones

Antecedentes del Instituto CASE

De acuerdo a Burton (1994) a partir de la década de los años 40’s, el Instituto de

Tecnología de Case, puso mayor énfasis en las ciencias aplicadas y la educación
ingenieril, dedicando de alguna manera menos esfuerzo a los temas de negocios,
economía e ingeniería industrial. El instituto Case consistía en aproximadamente 250
académicos y 5,000 estudiantes.

68
 En 1947, Case formó un departamento de administración ingenieril e
introdujo el grado de pasante en administración ingenieril. Subsecuentemente en
1941 se comenzó un programa de maestría en administración ingenieril, y en 1953,
se inició el programa de doctorado en la misma. Durante este periodo, el programa
de educación en administración evolucionó de un grado de pasante en ingeniería con
opción a administración ingenieril a incluir también una licenciatura en
administración ingenieril con una opción en ingeniería.

En 1950, Clay Hollyster un profesor dedicado a la enseñanza y la práctica de la

IO, fue seleccionado jefe del departamento de administración ingenieril (Ackoff y
Arnoff 1960). En ese tiempo el departamento consistía de seis miembros académicos.

Fundando el grupo de investigación de operaciones: 1951-1952

Al inicio de 1951, la compañía ferroviaria de Chesapeake y Ohio quería formar un

profesorado en investigación de operaciones, y el departamento de administración
ingenieril se volvió el hogar de esta actividad. West Churchman fue seleccionado
como profesor visitante en el departamento de IO. En 1951 condujo, para la compañía
un estudio inicial de IO acerca del uso del muestreo estadístico en la estimación de
costos de transportación para cargamentos ferroviarios interlíneas [Churchman
1952, 1955a]. También en los inicios de 1951, Russell L. Ackoff, se unió al proyecto
de investigación Case de la Fuerza Aérea de los EUA.

Durante 1951 y 1952, West Churchman y Russell Ackoff colaboraron en

numerosas actividades, dando origen al establecimiento de un grupo de investigación
de operaciones en Case. En noviembre de 1951, el Instituto Case, sostuvo una
conferencia de tres días acerca de «la investigación de operaciones en los negocios y
la industria», y que fue la primera conferencia en discutir como las organizaciones
industriales estaban aplicando investigación de operaciones. El éxito abrumador y
gran asistencia a esta conferencia animó al Instituto Case a formar el grupo de
investigación de operaciones dentro de su departamento de administración ingenieril
y bajo la dirección de West Churchman. Russell Ackoff se integró al grupo. En junio
de 1952, el Instituto Case y varias organizaciones industriales condujeron durante
una semana el primer curso corto de IO industrial. En 1955, el primer profesional con
grado de maestría en IO se graduó y en 1957 el primero con grado de doctor.

Facultad multidisciplinaria y equipos de proyecto.

Durante la década de los 50´s el grupo de IO de Case, armó un equipo

multidisciplinario de académicos y graduados asistentes en investigación. Para 1957
el grupo se había incrementado a treinta personas las cuales tenían antecedentes en
matemáticas, estadística, física, química, psicología, economía, filosofía de la ciencia,

69
ingeniería -mecánica, industrial, y química-, mercadotecnia, e investigación de
operaciones.

Alrededor de seis a ocho proyectos eran llevados en todo momento, con los
académicos, asistentes graduados, y personal de las compañías conformando los
equipos de proyecto. Los objetivos de cada equipo eran: (1) resolver un problema
organizacional en particular, (2) introducir la filosofía, métodos y técnicas de la
investigación de operaciones dentro de la organización, y (3) acrecentar la
metodología de este campo y por lo tanto expandir las aplicaciones potenciales de la
creciente disciplina de la investigación de operaciones.

Patrocinador.

Mejoramiento del
desempeño.

Académicos Nuevas Operaciones

Proyectos de Investigación de
Operaciones. Publica documentos y Proyectos de Investigación

Académicos/Estudiantes/Equi libros. Académicos/Estudiantes/Equip

pos patrocinados. os patrocinados.

Desarrollo de curriculum

Desarrollo de los
estudiantes

Cursos y Maestrías y
Doctorados, Tesis.

Figura 1: En los años 50’s, el grupo del Instituto Case de Investigación de Operaciones condujo proyectos
de investigación con equipos formados por miembros de la facultad, estudiantes graduados, y personal
de las compañías, cada uno de los cuales lograba diferentes objetivos.

El Instituto Case, utilizó los fondos generados por los proyectos para financiar
a los Académicos y los asistentes graduados de investigación. Los representantes de
los equipos proporcionaban asesoramiento administrativo al Comité de
patrocinadores presentando regularmente reportes orales y escritos acerca de los
resultados y el status de los proyectos.

Los Académicos y los asistentes en investigación que participaban en los

proyectos se beneficiaban enormemente al involucrarse en el modelado y

70
mejoramiento de la solución del problema, para la toma de decisiones
organizacionales. Los proyectos de IO, les proporcionaron los conceptos para
desarrollar y probar métodos y técnicas para una útil administración de la solución
de problemas. La actividad de los equipos originó mejoras en el desempeño de las
compañías patrocinadoras, publicaciones de los académicos, desarrollo del
currículum y un incremento del aprendizaje de los estudiantes, con base a la
experiencia.

Conferencias de investigación de operaciones

De 1951 a 1957 el grupo de investigación de operaciones de CASE condujo seis

conferencias de tres días. Grandes audiencias asistieron. Burton (1994)

West Churchman dejó el instituto Case por la Universidad de California en

Berkeley, en donde él fundó el programa de graduados en investigación de
operaciones, y el centro para la investigación en Ciencias de la Administración, que
posteriormente se convertirían en el centro para la investigación en la
administración. como director del grupo de IO en Case comenzando en 1954. Burton
(1994)

71
XI. Bibliografía

• Assad, A., Gass, S. (2011). Profiles in Operations Research, Pionners and

Innovators, Edit. Springer, Usa.

• Burton V. Dean (1994). West Churchman and Operations Research: Case

Institute of Technology, 1951-1957, Interfaces Jul/Aug 1994

• Churchman, W., Ackoff, R., Arnoff, L. (1957). Introduction to Operations

Research, Edit. Wiley, Usa.

• Gass, S. (2011) Model World: On the Evolution of Operations Research.

Interfaces volumen 41, número 4, bimestre julio agosto del año 2011.

• Gass, S., Assad, A. (2005), An Annotated of Operations Reseach: An Informal

History, Kluwer Academic Publishers, Boston, USA.

• Kittel, C. (1947). The Nature and Development of Operations Research,

science 7 Vol. 105 no. 2719 pp. 150-153, [Recuperado de
http://www.sciencemag.org/content/105/2719/150.extract, el 23 de abril
de 2013]

72
 Capítulo II
Programación lineal

2.1 Definiciones básicas

2.2 Variables de holgura y restricciones limitantes
2.3 Manipulación de un problema de programación lineal
2.4 Forma estándar y canónica de un problema de programación lineal
2.5 Formulación de modelos de programación lineal
2.6 Programación lineal, modelos y ejemplos
2.7 Formulación de modelos de programación lineal
3. Solución gráfica de los modelos de programación lineal
3.1. Tipos de soluciones óptimas y regiones factibles de un problema de
programación lineal
3.2. Problemas resueltos y propuestos de programación lineal.
4. El método simplex
4.1. El método simplex en formato de tableu
4.2. El método simplex de la gran M (Método de penalización)
4.3. Problemas propuestos para el algoritmo simplex
5. Aplicaciones diversas de programación lineal
6. Conclusiones del capítulo
7. Referencias y bibliografía

73
De acuerdo a Sierksma y Zwols (2017), en la literatura actual existen un gran rango
de definiciones sobre la optimización lineal como rama de la investigación de
operaciones. En general todas ellas consisten en una función objetivo con un conjunto
de restricciones.

2.1 Definiciones básicas

Considere el siguiente problema de programación lineal.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑐𝑐1 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛

Sujeto a

𝑐𝑐11 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐12 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 𝑏𝑏1

𝑐𝑐21 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐22 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 𝑏𝑏2
,
𝑐𝑐𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 𝑏𝑏𝑚𝑚

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 0

Donde 𝑐𝑐1 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 es la función objetivo (o función criterio) a
minimizar y se denota por la letra 𝑍𝑍. Los coeficientes 𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 , … , 𝑐𝑐𝑛𝑛 son los coeficientes
de costos (conocidos) y 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 son las variables de decisión (variables, variables
estructurales, o niveles de actividad) a determinar. Las desigualdades ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≥ 𝑏𝑏𝑖𝑖
denotan la 𝑖𝑖 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 restricción (o restricción o funcional, estructural
o restricción tecnológica). Los coeficientes 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 para 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚, 𝑗𝑗 =
,2, … , 𝑛𝑛 son llamados coeficientes tecnológicos. Estos coeficientes tecnológicos la
matriz de restricciones A.
𝑎𝑎11 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑨𝑨 = � . … . �
𝑎𝑎𝑚𝑚1 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚
El vector columna cuya 𝑖𝑖 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 componente es 𝑏𝑏𝑖𝑖 , se refiere al vector del lado
derecho, representan los mínimos requerimientos a satisfacer. Las restricciones
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 0
Son las restricciones de no negatividad. Un conjunto de variables 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 que
satisfacen todas las restricciones es llamado un punto factible o un vector factible. El
conjunto de todos estos puntos constituye la región factible o el espacio factible.
Usando la terminología citada, el problema de programación lineal puede plantearse
se la siguiente forma: entre todos los vectores factibles, encontrar uno que minimice
(o maximice) la función objetivo.

74
Usando el signo de sumatoria “ ∑ ” , el problema puede reescribirse como:
𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � 𝑐𝑐𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑗𝑗

𝑗𝑗=1

Sujeto a
𝑛𝑛

� 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 =, … , 𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 0

En forma matricial, sea:

𝑪𝑪 = [𝑐𝑐1 … 𝑐𝑐𝑛𝑛 ]𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝒃𝒃 = [𝑏𝑏1 … 𝑏𝑏𝑚𝑚 ]𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅𝑚𝑚 , 𝒙𝒙 = [𝑥𝑥1 … 𝑥𝑥𝑛𝑛 ]𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛
𝑎𝑎11 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑨𝑨 = � . … . � ∈ 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑚𝑚1 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚
El modelo anterior puede escribirse como:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = {𝒄𝒄𝑻𝑻 𝑥𝑥|𝑨𝑨𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≥ 𝟎𝟎}
La región factible F del modelo de programación lineal satisface: 𝑭𝑭 =
{𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 |𝑨𝑨𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≥ 𝟎𝟎}
Tomando como ejemplo el modelo de programación lineal siguiente, según Sierksma
y Zwols (2015), para mostrar la forma matricial de los modelos de programación
lineal.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2

Sujeto a

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 9

3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 18

𝑥𝑥1 ≤ 7

𝑥𝑥2 ≤ 6

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

75
Para este caso, tenemos:

c = [3 2] b = [9 18 7 6] x = [ x1 x2 ]
T T T
1 3 1 0T
, ,y 𝐴𝐴 = � �
1 1 0 1
El modelo de programación lineal en su forma matricial puede escribirse como:

 1 1  9 
     
  x  31  x  18  x  0  
Max [3 2]  1     1  ≤   ,  1  ≥   
  x2  1 0   x2   7   x2  0  
     
0 1  6

76
 2.2 Variables de holgura y restricciones limitantes

Si introducimos variables de holgura a nuestro problema de programación lineal,

obtenemos el siguiente modelo:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2

Sujeto a:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 9
3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 = 18
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥5 = 7
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥6 = 6
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 ≥ 0
En este modelo, 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 son la variables de holgura no negativas del conjunto de
restricciones. El número de variables de holgura será igual al número de restricciones
con desigualdad menor o mayor que. En notación matricial el modelo es:

   
 x   x1  0  
    
1 1 1 0 0 0     9   x2  0  
1
  
 2 x    
  x1   31 0 1 0 0    18  x3  0  
=Max [3 2]    x3  ≤ ,   ≥  
  x2  1 0 0 0 1 0   x   7   x4  0  
  4  
 0 1 0 0 0 1   x   6   x5  0  
  5    
 x   x6  0  
  6 

I
Si m representa la matriz identidad con m renglones y m columnas ( m ≥ 1 ), la
forma general del problema de programación lineal con variables de holgura puede
escribirse como:

 x 
Max cT [ A I m ]  =  b , x ≥ 0 
  xs  

77
Con
x ∈ R n , xs ∈ R m , c ∈ R n , A ∈ R mxn , I m ∈ R mxn Hay que notar el valor de xs (el vector

de variables de holgura) satisface s

x = b − Ax

De acuerdo a Bazaraa (1999) se requieren diversas hipótesis que están implícitas en

el planteamiento de la programación lineal.
• Proporcionalidad

xj cjxj
Dada una variable , su contribución al costo total es , y su contribución a la i -
a x
ésima restricción es ij j .
• Aditividad
Esta hipótesis garantiza que el costo total es la suma de los costos individuales,
y que la contribución total a la i -ésima restricción es la suma de las
contribuciones individuales de cada actividad.
• Divisibilidad
Esta hipótesis asegura que las variables de decisión se pueden dividir en
cualesquiera niveles fraccionarios, de modo que se permiten valores no
enteros para las variables de decisión.
• Determinística

c j , aij , y bi
Todos los coeficientes se encuentran de manera determinística.

2.3 Manipulación de un problema de programación lineal

Mediante simples manipulaciones, el problema se puede transformar de una forma a

otra forma equivalente. Ta les manipulaciones son muy útiles en la programación
lineal.
Desigualdades y ecuaciones
Una desigualdad se puede transformar fácilmente en una ecuación. Por ejemplo,
n

∑a x ij j ≥ bi
considere las siguientes restricciones: . Esta restricción se puede escribir
j =1

x
en forma de ecuación sustrayendo la variable de exceso o de holgura no negativa n +i

78
 n n

∑ aij x j −xn +i =
bi
x ≥ 0 . Similarmente, la restricción ∑a x ij j ≤ bi
, obteniendo j =1
y n +i j =1
es
n

∑a x ij j +xn +i =
b
x ≥0.
equivalente a j =1
y n +i
No negatividad de las variables
En casi todos los problemas prácticos, las variables representan cantidades físicas,
por lo que deben ser no negativas.

x
Si una variable j no está restringida en su signo, entonces es posible reemplazarla
x ' j − x '' j x ' j ≥ 0 y x '' j ≥ 0
por , en dónde . Similarmente,
x j ≥ l j , entonces la nueva variable x ' j = x j − l j es no negativa
de manera automática.
x x ≤ uj u ≤0
También, si una variable j se restringe de modo que j , en donde j ,
x '= u j − x j x'
entonces la sustitución j produce una variable no negativa j .
Problemas de minimización y maximización
Otra manipulación del problema consiste en convertir un problema de maximización
en un problema de minimización y viceversa. Sobre cualquier región, se cumple:
n n
Max ∑ c j x j =
− Min∑ −c j x j
=j 1 =j 1

79
2.4 Forma estándar y canónica de un problema de programación lineal

De acuerdo a Bazaraa (1999) un problema puede expresarse en diferentes formas

equivalentes por medio de manipulaciones adecuadas. Se trata de las formas estándar
(o normal) y canónica.
La forma estándar es útil para aplicar un algoritmo se solución: el método simplex. La
forma canónica también es de utilidad, especialmente cuando se trata de aprovechar
las características de las relaciones de dualidad. A continuación, se resumen en tabla
No. 1, las formas estándar y canónica de un problema de programación lineal.
Problema de minimización Problema de maximización
Forma n n
Min∑ c j x j Max ∑ c j x j
estándar j =1 j =1
n n
Sujeta a: ∑ a=
ij x j b=
i, i 1,..., m Sujeta a: ∑ a=
ij x j b=
i, i 1,..., m
j =1 j =1

x j ≥ 0, j=
1,..., n x j ≥ 0, j=
1,..., n

Forma n n
Min∑ c j x j Max ∑ c j x j
canónica j =1 j =1
n n
Sujeta a: ∑ aij x j ≥ bi , i =
1,..., m Sujeta a: ∑ aij x j ≤ bi , i =
1,..., m
j =1 j =1

x j ≥ 0, j=
1,..., n x j ≥ 0, j=
1,..., n

Tabla No. 1. Forma estándar y canónica de un problema de programación lineal

80
2.5 Formulación de modelos de programación lineal:

Los siguientes pasos proporcionan una guía para el proceso de toma de decisiones en
la construcción e implementación de modelos matemáticos.
Paso 1: Situación problemática
Paso2: Definición del problema
Paso 3: Observación y análisis del problema
Paso 4: Diseñando un modelo conceptual
Paso 5: Formulando un modelo matemático
Paso 6: Resolviendo el modelo matemático
Paso 7: Tomando decisiones
Paso 8: Implementando la decisión
Paso 9: Evaluación

81
2.6 Programación lineal, modelos y ejemplos

La optimización lineal se ha usado en una gran diversidad de aplicaciones, algunas

son:
1. Problemas de transporte aéreo
2. Problemas de asignación
3. Problemas de transporte
4. Problemas de transbordo
5. Problemas de optimización en redes
6. Problemas de la ruta más corta
7. Problemas de la ruta crítica
8. Problemas de Finanzas
9. Problemas de procesos industriales
10. Manufactura: problemas de corte
11. Procesos industriales
12. Industria forestal
13. Problemas de agricultura
14. Exploración de gas y petróleo
15. Recursos naturales y políticas públicas
16. Procesamiento de alimentos
17. Comunicaciones y programas
18. Salud pública
19. Industria textil
20. Gobierno e industrial militar

82
2.7 Formulación de modelos de programación lineal

Ejemplo No. 1

Problema de mezcla de alimentos (Bazaraa, 1999)

El personal técnico de un hospital desea desarrollar un sistema informatizado de
planificación de menús. Para empezar, se busca un menú de almuerzo. El menú se
divide en tres categorías principales: verduras, carne y postre. Se desea por lo menos
una porción equivalente de cada categoría. El costo por porción de algunos artículos
sugeridos, así como su contenido de carbohidratos, vitaminas, proteínas y grasas se
resume a continuación en la Tabla No. 2:
Alimento Carbohidratos Vitaminas Proteínas Grasa Costo en $/ración
Vegetables
Chicharos 1 3 1 0 0.10
Ejotes 1 5 2 0 0.12
Quingombó 1 5 1 0 0.13
Maíz 2 6 1 2 0.09
Macarrones 4 2 1 1 0.10
Arroz 5 1 1 1 0.07
Carnes
Pollo 2 1 3 1 0.70
Res 3 8 5 2 1.20
Pescado 3 6 6 1 0.63
Postres
Naranja 1 3 1 0 0.28
Manzana 1 2 0 0 0.42
Budín 1 0 0 0 0.15
Gelatina 1 0 0 0 0.12

Tabla No. 2. Datos del problema de mezcla de alimentos.

Suponga que los requerimientos mínimos de carbohidratos, vitaminas, proteínas, y

grasas por comida son respectivamente 5, 10, 10 y 2. Formule un modelo de
programación lineal para la planeación del menú.
Solución:

Sea x1 ,..., x13 la cantidad de porción de comida de chicharos, ejotes,…, budín , gelatina
respectivamente. Función de costo mínimo:

83
 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 0.1𝑥𝑥1 + 0.12𝑥𝑥2 + 0.13𝑥𝑥3 + 0.09𝑥𝑥4 + 0.1𝑥𝑥5 + 0.07𝑥𝑥6 + 1.2𝑥𝑥8 + 0.63𝑥𝑥9
+ 0.28𝑥𝑥10 + 0.42𝑥𝑥11 + 0.15𝑥𝑥12 + 0.12𝑥𝑥13

Sujeto a:
Inclusión de cada categoría de cada alimento: legumbres, carnes y postres,
respectivamente
6 9 13

∑ xi ≥ 1,
=i 1 =i 7=i 10
∑ xi ≥ 1, ∑x i ≥1

Requerimientos de carbohidratos:

x1 + x2 + x3 + 2 x4 + 4 x5 + 5 x6 + 2 x7 + 3 x8 + 3x9 + x10 + x11 + x12 + x13 ≥ 5

Requerimientos mínimos de vitaminas:

3 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 6 x4 + 2 x5 + x6 + x7 + 8 x8 + 6 x9 + 3 x10 + 2 x11 ≥ 10

Requerimientos mínimos de proteínas:

x1 + 2 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 3 x7 + 5 x8 + 6 x9 + x10 ≥ 10

Requerimientos mínimos de grasas:

2 x4 + x5 + x6 + x7 + 2 x8 + x9 ≥ 2

Condiciones de no negatividad:

x1 , x2 ,..., x13 ≥ 0

84
 Ejemplo No. 2
Problema de producción (Bazaraa, 2010)

Un fabricante de acero produce cuatro tamaños de vigas: pequeña, mediana, larga y

extra larga. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas:
A, B y C. A continuación, se indican en la Tabla No. 3, las longitudes (en pies) de las
vigas que pueden producir las máquinas por hora.
MAQUINA

VIGA A B C

Pequeña 350 650 850

Mediana 250 400 700

Larga 200 350 600

Extra Larga 125 200 325

Tabla No. 3. Datos del problema de producción

Suponga que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana, y que los costos
de operación por hora de estas máquinas son $30.00, $50.00 y $80.00,
respectivamente. Además, suponga que semanalmente se requieren 12,000, 6,000,
5,000 y 7,000 pies de los distintos tamaños de las vigas. Formule el problema de
programación de máquinas como un programa de programación lineal.

Sea xij = horas de máquina i para la producción del tamaño de viga j . i =1,2,3
correspondiente a la máquina A, B, C. j =1,2,3,4 correspondiente al tamaño de viga
pequeña, mediana, larga y extra larga.
Solución:

Función objetivo o criterio (minimizar los costos de operación):

 4   4   4 
Min 30  ∑ x1 j  + 50  ∑ x2 j  + 80  ∑ x3 j 
=  j 1=   j 1=  j1 
Sujeto a:

Disponibilidad de horas por máquina (por semana)

85
 4 4 4

∑ x1 j ≤ 50 ∑ x2 j ≤ 50 ∑x 3j ≤ 50
Máquina A: j =1
, Máquina B: j =1
, Máquina C: j =1

Demanda mínima semanal de cada tipo de viga (en función la capacidad de

producción por cada tipo de máquina)

Demanda viga pequeña:

350 x11 + 650 x21 + 850 x31 ≥ 12, 000

Demanda viga mediana:

250 x12 + 400 x22 + 700 x32 ≥ 6, 000

Demanda viga larga:

200 x13 + 350 x23 + 600 x33 ≥ 5, 000

Demanda viga extra larga:

125 x14 + 200 x24 + 325 x34 ≥ 7, 000

∀ xij ≥ 0
Condiciones de no negatividad:

86
Ejemplo No. 3

Problema de planeación de la producción (Bazaraa, 2010)

Un gerente de producción está planeando la programación de tres productos en
cuatro máquinas. Cada producto se puede manufacturar en cada una de las máquinas.
A continuación, se resumen en la Tabla No. 4, los costos de producción por unidad (en
$)

MÁQUINA

PRODUCTO 1 2 3 4

1 4 4 5 7

2 6 7 5 6

3 12 10 8 11

Tabla No. 4. Costos de producción del problema

De igual forma, a continuación, se resume en la Tabla No. 5, el tiempo (en horas)

requerido para producir cada unidad de producto en cada una de las máquinas.

MÁQUINA

PRODUCTO 1 2 3 4

1 0.3 0.25 0.2 0.2

2 0.2 0.3 0.2 0.25

3 0.8 0.6 0.6 0.5

Tabla No. 5. Tiempo de producción del problema de producción

Suponga que se requieren 3,000, 6,000 y 4,000 unidades de los productos, y que las
horas máquina disponibles son 1,500, 1,200, 1,500 y 2,000, respectivamente.
Formule el problema de planeación de la producción como un problema lineal.

87
Solución:
Definición de las variables

xij
Sea = # de unidades del producto i manufacturado en la máquina j .
Función objetivo (minimizar los costos de producción):

Min (4 x11 + 4 x12 + 5 x13 + 7 x14 ) + (6 x21 + 7 x22 + 5 x23 + 6 x24 ) + (12 x31 + 10 x32 + 8 x33 + 11x34 )

Sujeto a:
Demanda por producto
3 3 3

∑ x1 j ≥ 3, 000 ∑ x2 j ≥ 6, 000 ∑x 3j ≥ 4, 000

Producto 1: j =1
, Producto 2: j =1
, Producto 3: j =1

Disponibilidad de horas máquina (en función del tiempo requerido para el proceso
de producción):
0.3 x11 + 0.2 x21 + 0.8 x31 ≤ 1,500
0.25 x12 + 0.3 x22 + 0.6 x32 ≤ 1, 200
0.2 x13 + 0.2 x23 + 0.6 x33 ≤ 1,500
0.2 x14 + 0.25 x24 + 0.5 x34 ≤ 2, 000

Condiciones de no negatividad:

∀ xij ≥ 0

88
Ejemplo No. 4
Problema de gestión de una de una cartera de inversión (Powell y Baker, 2009)
Un banco local quiere construir una cartera de bonos a partir de un conjunto de cinco
bonos con 1 millón de dólares disponibles para la inversión. La rentabilidad anual
esperada, la rentabilidad anual más desfavorable de cada bono y la duración de cada
bono se presentan en la siguiente tabla No. 6 (La duración de un bono es una medida
de la sensibilidad del bono a los cambios en las tasas de interés).

Rendimiento esperado Retorno en el peor Duración de cada

Bono 1 12.5% 8.0% 8
Bono 2 11.5% 7.5% 7
Bono 3 10.5% 6.8% 6
Bono 4 9.5% 7% 5
Bono 5 8.5% 7.4% 3

Tabla No. 6. Datos del problema de inversiones

El banco quiere maximizar el rendimiento esperado de sus inversiones en bonos,

sujeto a tres condiciones:
• La rentabilidad media de la cartera en el peor de los casos debe ser de al menos
un 7.2 por ciento.
• La duración media de la cartera debe ser como máximo de 6.
• Debido a los requisitos de diversificación, casi el 40 por ciento del total de la
inversión puede ser invertido en un solo bono

Formule el problema de cartera de inversiones como un problema de programación

lineal.
Solución:

Sea i el bono de inversión tipo i , i = 1, 2,3, 4,5 a seleccionar para maximizar el

x
rendimiento esperado de la cartera de inversiones.
Función criterio (Máximo rendimiento esperado):

Max Z=0.125 x1 + 0.115 x2 + 0.105 x3 + 0.095 x4 + 0.085 x5

Sujeto a:

Rentabilidad media:

89
0.8 x1 + 0.3 x2 − 0.4 x3 − 0.2 x4 + 0.2 x5 ≥ 0

Duración media de la cartera de inversión:

2 x1 + x2 − x4 − 3x5 ≤ 0

Recursos disponibles para la inversión:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 1, 000, 000

Diversificación de las inversiones en un solo bono (restricciones por tipo de bono):

0.6 x1 −0.4 x2 −0.4 x3 −0.4 x4 −0.4 x5 ≤ 0
−0.4 x1 +0.6 x2 −0.4 x3 −0.4 x4 −0.4 x5 ≤ 0
−0.4 x1 −0.4 x2 +0.6 x3 −0.4 x4 −0.4 x5 ≤ 0
−0.4 x1 −0.4 x2 −0.4 x3 +0.6 x4 −0.4 x5 ≤ 0
−0.4 x1 −0.4 x2 −0.4 x3 −0.4 x4 +0.6 x5 ≤ 0

Condiciones de no negatividad:

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

90
Problema No. 5
Problema de programación de la producción de automóviles (Powell y Baker 2009)
La Auto Compañía de América (ACA) produce cuatro tipos de automóviles:
subcompacto, compacto, intermedio y de lujo. ACA también produce camiones y
furgonetas. Las capacidades de los proveedores limitan la capacidad total de
producción a, como máximo, 1. 2 millones de vehículos al año. Los subcompactos y
los compactos se construyen juntos en una instalación con una capacidad total anual
de 620,000 automóviles. Los coches intermedios y de lujo se producen en otra
instalación con capacidad de 400,000; las camiones y camionetas (Van) tienes una
capacidad de 275,000. La estrategia de mercadotecnia de ACA requiere que los
subcompactos y compactos deben constituir al menos la mitad de la mezcla de
productos para los cuatro tipos de automóviles. Los estándares de la Economía de
Combustible Promedio previsto en la Ley de Política y Conservación de la Energía
requieren una economía promedio de combustible de por lo menos 27 millas por
galón. Los márgenes de los beneficios, el potencial del mercado y las eficiencias del
combustible se resumen a continuación en la Tabla No. 7:
Sub
Datos compacto Compacto Intermedio De lujo Camión Camioneta
Utilidad 150 225 250 500 400 200
Mercadotecnia 600 400 300 225 325 100
Eficiencia (millas
por galón) 40 34 15 12 20 25
Objetivo eficiencia 27 millas
combustible por galón

Tabla No. 7. Datos del problema de programación de la producción

Formule el problema de producción de automóviles como un problema de
programación lineal.
Solución:

Sea i el tipo de automóvil tipo i a fabricar, i = 1, 2,3, 4,5, 6 , correspondiente al modelo

x
sub compacto, compacto, intermedio, de lujo, camión y camioneta, respectivamente.
Función objetivo o criterio

Max Z=150 x1 + 225 x2 + 250 x3 + 500 x4 + 400 x5 + 200 x6

Sujeto a:
Capacidad de producción total por año:

91
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 1, 200, 000

Capacidad instalada por planta para determinados tipos de autos

Planta 1 (sub compactos y compactos):

x1 + x2 ≤ 620, 000

Planta 2 (intermedio y de lujo):

x3 + x4 ≤ 400, 000

Planta 3 (camiones y camionetas):

x5 + x6 ≤ 275, 000

Mezcla de productos:
x1 + x2 ≥ x3 + x4

Eficiencia en combustible (en función del objetivo de la empresa y de las

regulaciones de gobierno):

13 x1 + 7 x2 ≥ 12 x3 + 15 x4 + 7 x5 + 2 x6

Ventas subcompacto:
x1 ≤ 600, 000

Ventas compacto:
x2 ≤ 400, 000

Ventas Intermedio:
x3 ≤ 300, 000

Ventas de lujo:
x4 ≤ 225, 000

Ventas camión:
x5 ≤ 325, 000

Ventas camioneta:
x6 ≤ 100, 000

Condiciones de no negatividad:
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

92
Problema No. 6
Caso práctico1: American Sporting Equipment I (Lapin 1996)
La compañía de equipo deportivo americano es fabricante de artículos para practicar
deportes la cual abástese a equipos profesionales. La compañía fue fundada en los
40’s por Millar Russel, poco después de recibir licencia del ejército, en donde había
organizado ligas recreativas de béisbol. La experiencia de Russel, con varias heridas
producidas por bates rotos, lo dirigió a buscar nuevos materiales y diseños. Sus bates
fueron un éxito, y con tan solo un año en el negocio, Millar Russel tuvo contratos para
abastecer de bates, a varios equipos de ligas menores de béisbol. La compañía pronto
empezó a proveer otros equipos y ha crecido hasta convertirse en uno de los mayores
fabricantes de equipo deportivo.
La compañía continúa produciendo bates a la medida para el béisbol profesional. El
mercado primario para los bates es la madera. La empresa vende su producción
completa a precios previamente negociados, y la disponibilidad de los recursos
esenciales – especialmente de madera- indica las cantidades finales en el proceso
productivo mensual. Los bates están hechos de pedazos de 4 x 4 pulgadas de madera
dura de la más alta calidad. Existen 6 modelos, de acuerdo a las medidas. El Sr. Millar
Russel, se encuentra bastante ocupado al dirigir su conglomerado, así que ha
delegado en su hija Sandra Russel Davis el manejo operativo. Ella continúa revisando
los calendarios mensuales de producción de la mayoría de las líneas productivas y
muestra un vivo interés en los bates de béisbol hechos en la carolina del sur de la
propia organización. La programación lineal ha probado ser útil en mantener la
eficiencia operativa.

La mayoría de los materiales que se requieren para producir bates son abundantes y
pueden ser obtenidos en cantidades ilimitadas. Sin embargo, existen severas
limitantes con respecto a la madera, equipo y mano de obra que se necesita para el
proceso.

Tabla No. 8 datos de marzo bates de béisbol

Largo de los bates (pulgadas)

30 32 34 36 38 40
Cantidad máxima Costos
Materia prima Disponible
$.08 por
Madera 30 32 34 36 38 40 10,000 pulgadas pulgada
Recursos usados para el proceso de producción de bates
Tiempo en el $.05 por
torno 10 10 11 11 12 12 5,000 minutos minuto
Tiempo en el $.02 por
acabado 25 27 29 31 33 35 8,000 minutos minuto
Tiempo de $.50 por
cura 1 1 1 1 1 1 500 horas hora

93
 Tiempo en el $.30 por
molido 2 2 2 3 3 3 1,000 minutos minuto
$.25 por
Revestimiento 5 5 6 6 7 7 2,000 minutos minuto

Los datos que aparecen en la tabla número 8 son útiles para establecer el programa
de programación lineal para la producción de bates planeada en marzo.

Las restricciones adicionales del sistema son:

1. El número de bates de 34” no pueden exceder el total combinado de bates de los

modelos de 30” y 32”.
2. El número de bates de 38” no puede exceder el combinado total de los modelos de
32” y 34”.
3. El número de bates de 30” debe ser menor o igual al número total de los de 36” y
38”. Se aplican los siguientes costos:
Otros costos directos son $2 por bate, sin importar el y tamaño. Los precios de venta
son $21 el de 30” y 32”, $22 los modelos de 34” y 36”, y $25 para los modelos de 38”
y 40”. La tabla 2 muestra la utilidad por bate considerando los costos por bate por
recursos utilizados en proceso de producción.

Tabla No.9

Utilidad y costo por cada tipo de bate

Modelos

Medida del Bate (pulgadas) 30 32 34 36 38 40

Costos totales por bate $7.75 $7.95 $8.45 $8.95 $9.45 $9.65

Otros costos $2.00 $2.00 $2.00 $2.00 $2.00 $2.00

Precio de venta $21 $21 $22 $22 $25 $25

Utilidad total por bate $13.25 $13.05 $13.55 $13.05 $15.55 $15.35

Solución:

x ,x ,x ,x ,x ,x
Sean 30 32 34 36 38 40 el modelo de bate a producir correspondiente a la
medida de 30, 32, 34, 36, 38 y 40 pulgadas, respectivamente.
Función objetivo (maximizar la utilidad por tipo de bate producido:

Max Z=13.25 x30 + 13.05 x32 + 13.55 x34 + 13.05 x36 + 15.55 x38 + 15.35 x40

Sujeto a:

94
Materia prima (Madera):

30 x30 + 32 x32 + 34 x34 + 36 x36 + 38 x38 + 40 x40 ≤ 10, 000

Tiempo en torno, tiempo en acabado, tiempo de cura, tiempo en molido y

revestimiento, respectivamente:
10 x30 + 10 x32 + 11x34 + 11x36 + 12 x38 + 12 x40 ≤ 5, 000
25 x30 + 27 x32 + 29 x34 + 31x36 + 33 x38 + 35 x40 ≤ 8, 000
x30 + x32 + x34 + x36 + x38 + x40 ≤ 500
2 x30 + 2 x32 + 2 x34 + 3 x36 + 3 x38 + 3 x40 ≤ 1, 000
5 x30 + 5 x32 + 6 x34 + 6 x36 + 7 x38 + 7 x40 ≤ 2, 000

Restricciones adicionales del sistema:

x34 ≤ x32 − x30 , x38 ≤ x32 + x34 , x30 ≤ x36 + x38

Condiciones de no negatividad:
x30 , x32 , x34 , x36 , x38 , x40 ≥ 0

95
3. Solución gráfica de los modelos de programación lineal

Ahora se describirá un procedimiento geométrico para resolver un problema de

programación lineal. Aunque este método solo es idóneo para problemas con un
número reducido de variables, proporcionan bastante información para comprender
el problema de programación lineal.

Min {cx Ax ≥ b, x ≥ 0}
Considere el siguiente problema: . La región factible consta de
todos los vectores x tales que Ax ≥ 0 y x ≥ 0 . Entre todos estos puntos, se desea
encontrar un punto que minimice el valor de cx .

3.1. Tipos de soluciones óptimas y regiones factibles de un problema de

programación lineal

En muchas ocasiones un modelo de programación lineal puede tener más de una

solución óptima.
Los tipos de regiones factibles de un modelo de programación lineal pueden ser:
• Solución óptima finita única. Si la solución óptima finita es única, entonces ocurre
en un punto extremo. La solución óptima finita puede presentarse en una región
factible acotada o no. Sin embargo, en cada caso la solución óptima única es finita.

En la siguiente gráfica No. 1, se muestra una región de factibilidad acotada con óptimo
único. (Bazaraa, 1997)

Gráfica No. 1. Solución óptima finita única en una región acotada. Fuente: Bazaraa (2010)

96
La siguiente gráfica No. 2, muestra un problema de programación lineal contiene una
solución óptima finita en una región acotada y una solución óptima finita en una
región no acotada.

Gráfica No. 2. Óptimos únicos en una región acotada y no acotada. Fuente: Bazaraa (2010)

• Soluciones óptimas finitas alternativas. En estos casos existen dos vértices que son
óptimos. La región factible puede ser acotada o no acotada. Para el primer caso
(región acotada) existen óptimos alternativos cuya solución es la misma. Para el
segundo caso (región no acotada) existe un punto extremo, que es óptimo, y un
conjunto de puntos factibles en un rayo óptimo. La siguiente gráfica No. 3, muestra
ambos casos.

Gráfica No. 3. Óptimos alternativos en una región acotada y no acotada. Fuente: Bazaraa (2010)

• Solución óptima no acotada. En este caso la región factible y la solución óptima no

están acotadas. En este caso el objetivo decrece o crece infinitamente y no existe

97
 solución óptima. La gráfica siguiente gráfica No. 5, muestra una solución óptima
no acotada.

Gráfica No. 5. Solución óptima no acotada. Fuente: Bazaraa (2010)

• Región factible vacía. En este caso, el sistema de ecuaciones y/o desigualdades que
definen la región factible es inconsistente. La siguiente gráfica No. 6, muestra una
región factible vacía.

Gráfica No. 6. Ejemplo de región factible vacía. Fuente: Bazaraa (2010)

98
 3.2. Problemas resueltos y propuestos de programación lineal.

Problema No. 1

Venkataraman (2002). Resuelva el siguiente problema de dos variables, elabore la

gráfica del problema y encuentre la solución utilizando el procedimiento de solución
geométrico o gráfico.

Min f ( x1 , x2 =
) x1 + x2
Sujeto a :
3 x1 − x2 ≤ 3
x1 + 2 x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4
x1 , x2 ≥ 0
Solución:
Región de factibilidad y puntos extremos:
Eje x2

Eje x1

Puntos extremos:

 11 12   5
=A  ,= =
 , B (1, 0), C  0,=
 , D (0, 0)
7 7  2

99
Evaluando en cada punto extremo para obtener el punto óptimo:

 11 12  23 2 Solución óptima del problema de maximización

f , =  = 3
7 7 7 7
f (1, 0 ) = 0
 5 5 1
f  0, = = 2
 2 2 2
f ( 0, 0 ) = 0

El punto óptimo para el problema de minimización es el punto 𝐷𝐷 (𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜), con

coordenadas (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = (0,0).
Si el problema es maximización, entonces la solución óptima es el punto 𝐴𝐴 =
(11/7, 12/7), con 𝑓𝑓 ∗= 3 2/3.

100
Problema No. 2: Venkataraman (2002). Para el siguiente conjunto de problemas
repita las instrucciones del problema anterior
Modelo Gráfica de la región factible Puntos Extremos de Evaluación en cada
la región factible punto extremo y
solución óptima del
problema (asterisco)

 11 12  11 12 23
Max f ( x1 , x2 =
) x1 + x2 A =  , , 𝑓𝑓 � , �= ∗
7 7 7
Sujeto a : 7 7
3 x1 − x2 ≤ 3 B = (1, 0), 𝑓𝑓(1,0) = 1

x1 + 2 x2 ≤ 5  5 5 5
C =  0,  , 𝑓𝑓 �0, � =
 2 2 2
x1 + x2 ≤ 4
D = (0, 0) 𝑓𝑓(0,0) = 0
x1 , x2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 11 12 1

 11 12  𝑓𝑓 � , �=−
A =  , , 7 7 7
Sujeto a: 7 7
𝑓𝑓(1,0) = 1
3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 3 B = (1, 0),
5 5
 5 𝑓𝑓 �0, � ∗= −
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 5 C =  0,  , 2 2
 2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑓𝑓(0,0) = 0
D = (0, 0)
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 11 12 23

𝐴𝐴 = � , � 𝑓𝑓(𝐴𝐴) =
7 7 7
Sujeto a:
𝐵𝐵 = (3,1) ∗ 𝑓𝑓(𝐵𝐵) ∗= 4
3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 3
𝐶𝐶 = (4,0)* 𝑓𝑓(𝐶𝐶) ∗= 4
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 5
𝐷𝐷 = (1,0) 𝑓𝑓(𝐷𝐷) = 1
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4
Óptimos alternos
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 11 12 23

𝐴𝐴 = � , � 𝑓𝑓(𝐴𝐴) =
7 7 7
Sujeto a:
𝐵𝐵 = (3,1) 𝑓𝑓(𝐵𝐵) = 4
3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 3
𝐶𝐶 = (4,0) 𝑓𝑓(𝐶𝐶) = 4
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 5
𝐷𝐷 = (1,0) 𝑓𝑓(𝐷𝐷) = 1
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4
𝐸𝐸 = (0, −3) ∗ 𝑓𝑓(𝐸𝐸) ∗= −3
𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

101
Problema No. 3
Griva, Nash y Sofer (2009). Resuelva los siguientes problemas gráficamente.
a) b) c)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 4
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 5 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 12 −𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 3 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 8
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 3 6𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
−2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 9 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

d) e) f)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 2 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 6
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 1 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 3
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 2 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 2
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

g) h) i)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 6𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −5𝑥𝑥1 − 7𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 100 -3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 30
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 40 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 80 -2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12
2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 ≥ 10 𝑥𝑥1 ≤ 40
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≤ 15 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

102
Para el siguiente conjunto de problemas elabore el modelo de programación lineal. Si
el modelo es de dos variables, use el método gráfico para resolver el problema. Use el
programa Geogebra para graficar la región de factibilidad y obtener los puntos
extremos.

Problema No. 4
Anderson y Sweeney (2011). Problema de producción. Par, Inc. es un pequeño
fabricante de equipo y material de golf. El distribuidor de Par cree que existe un
mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, llamada modelo estándar,
como para una bolsa de golf de un precio alto, llamada modelo de lujo. El distribuidor
tiene tanta confianza en el mercado que, si Par puede fabricar las bolsas a un precio
competitivo, comprará todas las bolsas que Par fabrique durante los tres meses
siguientes. Un análisis detallado de los requerimientos de manufactura dio como
resultado la tabla siguiente, la cual muestra los requerimientos de tiempo de
producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación
que hizo el departamento de contabilidad de la contribución a las utilidades por bolsa:

Tiempo de producción (horas)

Producto Corte y Costura Terminado Inspección y Utilidad por
Estándar 7 1 1 1 $10
De lujo 1 5 2 1 $9
6 3 4

El director de manufactura estima que se dispondrá de 630 horas de corte y teñido,

600 horas de costura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspección y empaque
para la producción de las bolsas de golf durante los tres meses siguientes. a) Si la
empresa quiere maximizar la contribución total a las utilidades, ¿cuántas bolsas de
cada modelo debe fabricar? b) ¿Qué contribución a las utilidades puede obtener Par
con estas cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de tiempo de producción se
programarán para cada operación? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada
operación?

103
Problema No. 5

Anderson y Sweeney (2011). Nuevo problema de producción. Kelson Sporting

Equipment, Inc. fabrica dos tipos diferentes de guantes de béisbol: un modelo regular
y un modelo para cátcher. La empresa dispone de 900 horas de tiempo de producción
en su departamento de corte y confección, 300 horas en su departamento de acabados
y 100 horas en su departamento de empaque y envío. Los requerimientos de tiempo
de producción y la contribución a las utilidades por guante se proporcionan en la tabla
siguiente:

Tiempo de producción (horas)

Modelo Corte y confección Acabados Empaque y envío Utilidad por guante

Modelo regular 1 1 1 $5
2 8
Modelo para cátcher 3 1 1 $8
2 3 4

Suponiendo que la empresa está interesada en maximizar la contribución total a las

utilidades, responda lo siguiente: a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para
este problema? b) Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento de
solución gráfica. ¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar Kelson? c) ¿Qué
contribución total a las utilidades puede obtener Kelson con las cantidades de
producción dadas? d) ¿Cuántas horas de tiempo de producción se programarán en
cada departamento? e) ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento?

104
Problema No. 6

Anderson y Sweeney (2011). Problema de inversiones. National Insurance

Associates tiene un portafolio de inversión de acciones, bonos y otras alternativas de
inversión. Actualmente cuenta con $200,000 en fondos y debe considerar nuevas
oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de acciones que National considera
y los datos en materia de finanzas relevantes son los siguientes:
Acción
A B C D
Precio por acción 100 50 80 40
Tasa de rendimiento anual 0.12 0.08 0.06 0.10
Medida de riesgo por dólar invertido

La medida del riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción en

función de que se logre el rendimiento anual proyectado; los valores más altos indican
un riesgo mayor. El asesor de finanzas de la empresa proporciona las medidas del
riesgo.
La gerencia ejecutiva de National ha estipulado los siguientes lineamientos de
inversión: la tasa de rendimiento anual para el portafolio debe ser por lo menos 9%,
y ninguna acción debe corresponder a más de 50% de la inversión total.

a) Utilice la programación lineal para elaborar un portafolio de inversión que

minimice el riesgo. b) Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de
rendimiento máximo sobre la inversión, ¿cuál es el portafolio de inversión?

c) ¿Cuál es la diferencia en dinero entre los portafolios de los incisos a y b? ¿Por qué
la empresa desea la solución desarrollada en el inciso a?

105
Problemas de programación lineal en forma estándar.
Convierta los siguientes problemas lineales a su forma estándar

Problema No. 1 Problema No. 2 Problema No. 3

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

7𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 ≥ 4 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 4

−2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 5 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12
5𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 ≤ 9 −𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 3 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 8
𝑥𝑥1 ≥ 1 6𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑥𝑥2 ≤ 7 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

Problemas conceptuales
Bazaraa (2010). Resuelva los siguientes problemas utilizando el método gráfico:
Problema No. 1 Problema No. 2

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 ≤ 3 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 2

−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 2 −𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1
−3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≤ 12 𝑥𝑥2 ≤ 3
3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 9 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

106
Sierksma y Zwols (2015). Resuelva los siguientes problemas de programación lineal
usando el método de solución gráfica.
Problema No. 3 Problema No. 4 Problema No. 5

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 11𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 12𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

−𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 4

3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 9 15𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 0 5𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 ≤ 7
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 4 5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 5 8𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2 = 5
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 3 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

Problema No. 6 Problema No. 7

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 25𝑥𝑥1 + 17𝑥𝑥2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥4

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

0.21𝑥𝑥1 + 0.55𝑥𝑥2 ≥ 3 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6

0.50𝑥𝑥1 + 0.30𝑥𝑥2 ≥ 7 25𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥4 ≤ 12
0.55𝑥𝑥1 + 0.10𝑥𝑥2 ≥ 5 −𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 ≥ −2
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 4
2𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4 ≥ −1
𝑥𝑥2 ≤ 2
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 ≥ 0

107
4. El método simplex

En esta sección se aborda el estudio del método simplex, que fue creado en el verano
de 1947 por George Dantzing para resolver problemas de programación lineal. La
primera aplicación importante de este método ocurrió poco después del verano de
1947, cuando J. Lideran resolvió, un programa lineal de planeación de una dieta con
nueve restricciones de igualdad en 27 variables no negativas. Usando una calculadora
de escritorio, para resolver este problema se requirieron 120 días – hombre.
Actualmente, usando computadoras modernas y una implementación sofisticada del
método simplex, es fácil resolver problemas lineales con miles de variables y
restricciones. Aunque se han desarrollado muchas variantes del método simplex y se
han propuesto otros nuevos algoritmos competidores, el método simplex sigue
siendo un medio viable y popular para resolver problemas de programación lineal.
4.1. El método simplex en formato de tableu

(Problema de minimización)
Paso inicial
Se encuentra una solución básica inicial con base B y se forma el siguiente tablero
inicial.
z 𝑥𝑥𝐵𝐵 𝑥𝑥𝑁𝑁 LD

z 1 0 𝑐𝑐𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝑁𝑁 − 𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑐𝑐𝐵𝐵 𝑏𝑏�

𝑥𝑥𝐵𝐵 0 I 𝐵𝐵−1 𝑁𝑁 𝑏𝑏�

Paso principal

Sea 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑀𝑀á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑧𝑧𝑗𝑗 − 𝑐𝑐𝑗𝑗 : 𝑗𝑗 ∈ 𝑅𝑅�. Si 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≤ 0, entonces el proceso ha
terminado; la solución actual es óptima. En caso contrario, se analiza 𝑦𝑦𝑘𝑘 . Si 𝑦𝑦𝑘𝑘 ≤ 0,
entonces el proceso ha terminado; la solución óptima es no acotada a lo largo del rayo:

−1 −𝑦𝑦𝑘𝑘
��𝐵𝐵 𝑏𝑏� + 𝑥𝑥𝑘𝑘 � 𝑒𝑒 � : 𝑥𝑥𝑘𝑘 ≥ 0�
0 𝑘𝑘

En donde 𝑒𝑒𝑘𝑘 es un vector de ceros excepto por 1 en la k- ésima posición. Si 𝑦𝑦𝑘𝑘 no es

menor o igual que cero, entonces el índice r se determina como sigue:
𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑏𝑏𝑖𝑖
≡ Minimo � : 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0�
𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟 1≤𝑖𝑖≤𝑚𝑚 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

108
El tableu se actualiza pivoteando sobre 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟 . Se actualizan las variables básicas y no
básicas, en donde 𝑥𝑥𝑘𝑘 entra a la base y 𝑥𝑥𝐵𝐵𝑟𝑟 sale de la base, y se repite el paso principal.

A continuación, se muestra un ejemplo numérico con la finalidad de mostrar el

método simplex paso a paso. Bazaraa (2010)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 9

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 ≤ 2
−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 4
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

Se introducen las variables de holgura no negativas 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 . El problema se

convierte en el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 = 9

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥5 = 2
−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥6 = 4
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 ≥ 0

Con lo anterior se obtiene el siguiente tablero inicial. Posteriormente, las

correspondientes iteraciones.

109
Iteración 1

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 Lado Razón

Derecho
mínima

𝑧𝑧 -1 -1 4* 0 0 0 0

𝑥𝑥4 1 1 2 1 0 0 9 4.5

𝑥𝑥5 1 1 -1 0 1 0 2

𝑥𝑥6 -1 1 1 0 0 1 4 4*

Iteración 2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 Lado Razón
Derecho
mínima

𝑧𝑧 3* -5 0 0 0 -4 -16

𝑥𝑥4 3 -1 0 1 0 -2 1 0.3333*

𝑥𝑥5 0 2 0 0 1 1 6

𝑥𝑥3 -1 1 1 0 0 1 4

Tablero óptimo
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 Lado
Derecho

𝑧𝑧 0 -4 0 -1 0 -2 -17

𝑥𝑥1 1 1 0 1 0 2 1
− −
3 3 3 3
𝑥𝑥5 0 2 0 0 1 1 6

𝑥𝑥3 0 2 1 1 0 1 13
3 3 3 3

Este es el tablero óptimo, debido 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≤ 0 . La solución óptima está dada por:
1 13
𝑥𝑥1 = , 𝑥𝑥2 = 0 , 𝑥𝑥3 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑧𝑧 = −17
3 3

110
Ahora, con la finalidad de observar la motivación geométrica del método simplex
analizaremos un problema y lo resolveremos con el método gráfico y posteriormente
utilizaremos el algoritmo simplex.
Resuelva el siguiente problema. Gráficamente y utilizando en algoritmo simplex.
Utilice el programa Geogebra para resolver mediante el método algebraico y Excel
para el método simplex. Verifique que con ambos procedimientos se obtiene el mismo
resultado.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 5𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 6
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4
5𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 15

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

Solución: construyendo la región de factibilidad y obteniendo los puntos extremos

con Geogebra y sustituyendo los puntos extremos de la región de factibilidad en el
modelo de programación lineal, se obtiene la solución que se indica a continuación:

111
 Modelo de programación Gráfica de la región factible Puntos Extremos de Evaluación en cada
lineal la región factible punto extremo y
solución

óptima del
problema

(asterisco)

𝐴𝐴 = (0,0)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 5𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 𝐵𝐵 = (0,3) 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = 0

12 15
𝐶𝐶 = � , �*
7 7
Sujeto a:
𝑓𝑓(𝐵𝐵) = 12
𝐷𝐷 = (3,0)
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 6
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4
5𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 15 1
𝑓𝑓(𝐶𝐶) = 17 *
7
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑓𝑓(𝐷𝐷) = 15

Resolviendo el problema con el algoritmo simplex.

Se introducen las variables de holgura no negativas 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 . El problema se
convierte en el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 5𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 6

−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 = 4
5𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥5 = 15

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 ≥ 0

112
Tablero inicial:
Inicialización
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 Lado Razón
Derecho
mínima

𝑧𝑧 -5* -4 0 0 0 0

𝑥𝑥3 1 2 1 0 0 6 6

𝑥𝑥4 -2 1 0 1 0 4

𝑥𝑥5 5 3 0 0 1 15 3*

Iteración 1
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 Lado Razón
Derecho
mínima

𝑧𝑧 0 -1* 0 0 1 15

𝑥𝑥3 0 7/5 1 0 -1/5 3 15/7*

𝑥𝑥4 0 11/5 0 1 2/5 10 50/11

𝑥𝑥1 1 3/5 0 0 1/5 3 5

Iteración 2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 Lado
Derecho

𝑧𝑧 0 0 5/7 0 6/7 120/7

𝑥𝑥2 0 1 5/7 0 -1/7 15/7

𝑥𝑥4 0 0 -11/7 1 5/7 37/7

𝑥𝑥1 1 0 -3/7 0 2/7 12/7

Tablero óptimo, debido a que 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≥ 0 , la solución óptima está dada por:
12 15 37 1
𝑥𝑥1 = , 𝑥𝑥2 = , 𝑥𝑥3 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑧𝑧 = 17
7 7 7 7

113
Ahora, resolvamos el problema 3.2.4.1 de Anderson y Sweeney (2010),
problema de producción utilizando el método simplex.
Solución:
Sea 𝑥𝑥1 = número de bolsas modelo estándar a fabricar y 𝑥𝑥2 = número de bolsas modelo
de lujo a fabricar. Los datos del problema se muestran a continuación:

Tiempo de producción (horas)

Producto Corte y Costura Terminado Inspección y Utilidad

teñido empaque por bolsa

Estándar 7 1 1 1 $10
10 2 10
De lujo 1 5 2 1 $9
6 3 4
máximo de horas
por departamento 630 600 708 135

Función criterio: máxima utilidad por bolsa: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 10𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2

Restricciones del sistema: Tiempo de producción por departamento y horas
disponibles máximas

7
Departamento de corte y teñido: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 ≤ 630
10 1
1 5
Departamento de costura: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 600
2 6
2
Departamento de terminado: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 708
3
1 1
Departamento de inspección y empaque: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 135
10 4

Condiciones de no negatividad: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

114
Región de factibilidad y puntos extremos del modelo de programación lineal:
x2

x1
Puntos extremos: A= (0,0), B= (0,540), C= (300,420), D= (540,252) y E= (708,0)
Evaluación de cada punto extremo en la función objetivo y determinación de la
solución del problema.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐴𝐴 = 0, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐵𝐵 = 4,860, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐶𝐶 = 6,780, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐷𝐷 = 7,668, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐸𝐸 = 7,080
En consecuencia, la solución óptima es el punto extremo D = (540,252) y valor
objetivo Z= 7,668.
Es decir: prodúzcanse 540 bolsas modelo estándar y 252 bolsas modelo de lujo. La
utilidad con los niveles de producción anteriores será de $7,668 unidades monetarias.
Utilizando el algoritmo simplex
Se introducen las variables de holgura no negativas 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 . El problema se
convierte en el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 10𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2

Sujeto a:
7
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 630
10 1
1 5
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 = 600
2 6
2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥5 = 708
3
1 1
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥6 = 135
10 1 4 2
𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 ≥ 0

115
Tablero inicial:
Inicialización
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 Lado Razón
Derecho
mínima

𝑧𝑧 -10* -9 0 0 0 0 0

𝑥𝑥3 7/10 1 1 0 0 0 630 900

𝑥𝑥4 1/2 5/6 0 1 0 0 600 1,200

𝑥𝑥5 1 2/3 0 0 1 0 708 708*

𝑥𝑥6 1/10 1/4 0 0 0 1 135 1,350

Iteración 1
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 LD
𝑧𝑧 0 -2 1/3 0 0 10 0 7,080
𝑥𝑥3 0 8/15 1 0 - 7/10 0 134 2/5
𝑥𝑥4 0 1/2 0 1 - 1/2 0 246
𝑥𝑥2 1 2/3 0 0 1 0 708
𝑥𝑥6 0 11/60 0 0 - 1/10 1 64 1/5

Iteración 2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 LD
𝑧𝑧 0 0 4 3/8 0 6 15/16 0 7,668
𝑥𝑥2 0 1 1 7/8 0 -1 5/16 0 252
𝑥𝑥4 0 0 - 15/16 1 5/32 0 120
𝑥𝑥1 1 0 -1 1/4 0 1 7/8 0 540
𝑥𝑥6 0 0 - 11/32 0 9/64 1 18

Tablero óptimo , debido a que 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≥ 0 , la solución óptima está dada por:
𝑥𝑥1 = 540, 𝑥𝑥2 = 252 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑧𝑧 = 7,668

116
4.2. El método simplex de la gran M (Método de penalización)

También llamad el método de las variables artificiales en donde a la función objetivo

se le penaliza con un valor muy grande (problemas de minimización) o muy pequeño
(para problemas de maximización)
Suponga que se desea resolver el siguiente problema de programación lineal, en el
que 𝑏𝑏 ≥ 0.
El método de la doble fase se utiliza cuando se tienen problemas de programación
lineal con la siguiente estructura:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑍𝑍 = 𝒄𝒄𝑇𝑇 𝑥𝑥
Sujeto a
𝑨𝑨𝑥𝑥(≥, =)𝒃𝒃
𝑥𝑥 ≥ 0
Si no se conoce una base conveniente, entonces se introduce el vector artificial 𝑥𝑥𝑎𝑎 , con
lo cual se obtiene el siguiente sistema:
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑎𝑎 ≥ 0
La solución básica factible inicial está dada por 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 0. Para reflejar la
inconveniencia de un vector artificial distinto de cero, la función objetivo se modifica
de modo que se pague un castigo o una pena muy alta (para un problema de
minimización) cuando se tenga una solución de este tipo. Más específicamente,
considere el siguiente problema.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑀𝑀𝑥𝑥𝑎𝑎
Sujeto a
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑎𝑎 ≥ 0
En donde 𝑀𝑀 es un número positivo muy grande. El termino 𝑀𝑀𝑥𝑥𝑎𝑎 se puede interpretar
como una penalización (o multa) que es necesario pagar por cualquier solución con
𝑥𝑥𝑎𝑎 ≠ 0. Por lo tanto, el mismo algoritmo simplex tratará de sacar de la base las
variables artificiales, y después continuará hasta encontrar la solución óptima del
problema original.
La gráfica siguiente muestra un análisis del método de penalización. En este caso,
P(M) es el problema penalizado y P el problema original

117
 Resolver P(M) para una M
positiva muy grande

Caso A Caso B

El óptimo es finito El óptimo es no acotado

Subcaso A1 Subcaso A2 Subcaso B1 Subcaso B2

X*a=0. La solución
X*a=0. Se encontró la X*a≠0. P no tiene X*a≠0. P es
óptima de P es no
solución óptima de P soluciones factible inconsistente
acotada

En los siguientes ejemplos numéricos se ilustrará el método de penalización (o

método de la gran M). Fuente: Bazaraa (2010)
Ejemplo numérico 1. (Bazaraa, 2010)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2
Sujeto a
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 2
−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1
𝑥𝑥2 ≤ 3
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
La región de factibilidad y los puntos extremos del problema se muestran en la
siguiente gráfica.

118
Note que la región de factibilidad no contiene como punto extremo al origen. En este
caso, el problema se deberá de utilizar el algoritmo simplex de penalización o de
variables artificiales. Los puntos extremos del problema son:
A= (0,2), B= (0,3), C= (2,3) y D= (1/2,3/2), respectivamente.
Evaluación de cada punto extremo en la función objetivo y determinación de la
solución del problema.
5
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐴𝐴 = −4, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐵𝐵 = −6, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐶𝐶 = −4, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐷𝐷 = − , 𝑍𝑍𝐵𝐵 = −6
2
Utilizando el algoritmo simplex de penalización o gran M
Se introducen las variables de holgura no negativas 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 . De igual forma, se
introducen las variables artificiales no negativas 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 . El problema se convierte en
el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑀𝑀𝑥𝑥6 + 𝑀𝑀𝑥𝑥7

Sujeto a:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥6 = 2
−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥7 = 1
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥5 = 3
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 ≥ 0
La función objetivo es penalizada con un número 𝑀𝑀 positivo muy grande. Lo anterior
conduce a la siguiente sucesión de tableros simplex. A continuación, se muestra en
tablero inicial y los subsecuentes.

119
Inicialización:
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 -1 2 0 0 0 - 𝑀𝑀 - 𝑀𝑀 0
𝑥𝑥6 1 1 -1 0 0 1 0 2
𝑥𝑥7 -1 1 0 -1 0 0 1 1
𝑥𝑥5 0 1 0 0 1 0 0 3

Los renglones 1 y 2 se multiplican por 𝑀𝑀 y el resultado se suma al renglón 0.

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 -1 2+2 𝑀𝑀 - 𝑀𝑀 - 𝑀𝑀 0 0 0 3 𝑀𝑀
𝑥𝑥6 1 1 -1 0 0 1 0 2
𝑥𝑥7 -1 1* 0 -1 0 0 1 1
𝑥𝑥5 0 1 0 0 1 0 0 3
Iteración 1
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 1+2 𝑀𝑀 0 - 𝑀𝑀 2+2 𝑀𝑀 0 0 -2-2 𝑀𝑀 -2+ 𝑀𝑀

𝑥𝑥6 2* 0 -1 1 0 1 -1 1
𝑥𝑥2 -1 1 0 -1 0 0 1 1
𝑥𝑥5 1 0 0 1 1 0 -1 2

Iteración 2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 0 0 1/2 3/2 0 -1/2- 𝑀𝑀 -3/2- 𝑀𝑀 -5/2

𝑥𝑥1 1 0 -1/2 ½* 0 1/2 -1/2 1/2
𝑥𝑥2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2
𝑥𝑥5 0 0 1/2 1 1 -1/2 3/2 3/2

Iteración 3
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 -3 0 2 0 0 -2- 𝑀𝑀 - 𝑀𝑀 -4
𝑥𝑥4 2 0 -1 1 0 1 -1 1
𝑥𝑥2 1 1 -1 0 0 1 0 2
𝑥𝑥5 -1 0 1* 0 1 -1 0 1

120
Iteración 4
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho

𝑧𝑧 -1 0 0 0 -2 - 𝑀𝑀 - 𝑀𝑀 -6
𝑥𝑥4 1 0 0 1 1 0 -1 2
𝑥𝑥2 0 1 0 0 1 0 0 3
𝑥𝑥3 -1 0 1 0 1 -1 0 1

Tablero óptimo , debido a que 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≤ 0 , la solución óptima está dada por el punto
(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) ∗= (0,3) ∗ con valor de 𝑍𝑍 ∗= −6.
La secuencia de puntos generada en (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) se ilustra en la figura siguiente. (0,0),
(0,1), (1/2,3/2), (0,2) y (0,3)

Ejemplo numérico 2. (Sierksma y Zwols, 2015)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2

Sujeto a

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 9

3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 18

𝑥𝑥1 ≤ 7

𝑥𝑥2 ≤ 6

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 5

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

121
La región de factibilidad y los puntos extremos del problema se muestran en la
siguiente gráfica.

Puntos extremos: 𝐴𝐴 = (0,5), 𝐵𝐵 = (0,6), 𝐶𝐶 = (3,6), 𝐷𝐷 = (9/2, 9/2), 𝐸𝐸 = (6,0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹 =

(5,0)
Evaluación de cada punto extremo en la función objetivo y determinación de la
solución del problema.
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐴𝐴 = 10, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐵𝐵 = 12, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐶𝐶 = 21, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐷𝐷 = 22 , 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐸𝐸 = 18,
2
9 9
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍𝐹𝐹 = 15, entonces, la solución óptima está dada por el punto (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) ∗= ( , ) ∗
2 2
1
con valor de 𝑍𝑍 ∗= 22
2

Resolviendo con el algoritmo simplex de la gran M o de penalización

La función objetivo es penalizada con un número 𝑀𝑀 positivo muy pequeño. Se
introducen las variables de holgura no negativas 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 y la variable artificial
𝑥𝑥8 también no negativa, obteniéndose el problema de programación lineal en forma
estándar.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 𝑀𝑀𝑥𝑥8

Sujeto a

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 9

3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 = 18

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥5 = 7

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥6 = 6

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥7 + 𝑥𝑥8 = 5

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 , 𝑥𝑥8 ≥ 0

122
Convirtiendo el problema a uno de minimización para facilitar el proceso. Lo anterior
conduce a la siguiente sucesión de tableros simplex.
Tablero inicial:
Inicialización
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 𝑥𝑥8 Lado Derecho

𝑧𝑧 3 2 0 0 0 0 0 - 𝑀𝑀 0
𝑥𝑥3 1 1 1 0 0 0 0 0 9
𝑥𝑥4 3 1 0 1 0 0 0 0 18
𝑥𝑥5 1 0 0 0 1 0 0 0 7
𝑥𝑥6 0 1 0 0 0 1 0 0 6
𝑥𝑥8 1* 1 0 0 0 0 -1 1 5

Multiplicando el último renglón por 𝑀𝑀 veces y sumándolo al primero, tenemos:

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 𝑥𝑥8 Lado Derecho

𝑧𝑧 3+ 𝑀𝑀 ∗ 2+ 𝑀𝑀 0 0 0 0 - 𝑀𝑀 0 5 𝑀𝑀
𝑥𝑥3 1 1 1 0 0 0 0 0 9
𝑥𝑥4 3 1 0 1 0 0 0 0 18
𝑥𝑥5 1 0 0 0 1 0 0 0 7
𝑥𝑥6 0 1 0 0 0 1 0 0 6
𝑥𝑥8 1* 1 0 0 0 0 -1 1 5

Iteración 1
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 𝑥𝑥8 Lado Derecho

𝑧𝑧 0 -1 0 0 0 0 3* -(3+ 𝑀𝑀) -15

𝑥𝑥3 0 0 1 0 0 0 1 -1 4
𝑥𝑥4 0 -2 0 1 0 0 3* -3 3
𝑥𝑥5 0 -1 0 0 1 0 1 -1 2
𝑥𝑥6 0 1 0 0 0 1 0 0 6
𝑥𝑥1 1 1 0 0 0 0 -1 1 5

Entonces 𝑥𝑥8 = 0, podemos dirigirnos a la solución del problema. Podemos borrar la

columna correspondiente a 𝑥𝑥8 .

123
Iteración 2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho
𝑧𝑧 0 1* 0 -1 0 0 0 -18
𝑥𝑥3 0 2/3* 1 -1/3 0 0 0 3
𝑥𝑥4 0 -2/3 0 1/3 0 0 1 1
𝑥𝑥5 0 -1/3 0 -1/3 1 0 0 1
𝑥𝑥6 0 1 0 0 0 1 0 6
𝑥𝑥1 1 1/3 0 1/3 0 0 0 6

Iteración 3
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 𝑥𝑥7 Lado Derecho
1
𝑧𝑧 0 0 -3/2 -1/2 0 0 0 -22
2

𝑥𝑥2 0 1 3/2 -1/2 0 0 0 9/2

𝑥𝑥4 0 0 1 0 0 0 1 4
𝑥𝑥5 0 0 1/2 -1/2 1 0 0 5/2
𝑥𝑥6 0 0 -3/2 ½ 0 1 0 3/2
𝑥𝑥1 1 0 -1/2 1/2 0 0 0 9/2

Tablero óptimo , debido a que 𝑧𝑧𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘 ≤ 0 , entonces, la solución óptima está dada por
9 9 1
el punto (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) ∗= ( , ) ∗ con valor de 𝑍𝑍 ∗= 22 (para el problema de
2 2 2
maximización)
La secuencia de puntos F-E-D generada por el algoritmo simplex en (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) se ilustra
en la figura siguiente.

124
4.3. Problemas propuestos para el algoritmo simplex

En los Problemas siguientes, se muestran programas lineales que pueden dar como
resultado una o más de las siguientes situaciones: solución óptima, solución inviable,
solución óptima no acotada o soluciones óptimas alternativas
Para cada programa lineal, determine la situación de la solución utilizando el método
simplex. Para los problemas con soluciones óptimas alternativas, calcule al menos dos
soluciones óptimas.

125
Problema No. 1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 4𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2
Sujeto a:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 5
−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 8
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

126
Problema No. 2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
Sujeto a:
1
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 10
2
2𝑥𝑥1 ≥ 4
4𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 32
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

127
Problema No. 3
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 40𝑥𝑥1 + 30𝑥𝑥2
Sujeto a:
2 1
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 20
5 2
1
𝑥𝑥 ≤ 5
5 2
3 3
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 21
5 10
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

128
Problema No. 4 (Bazaraa, 2010)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2
Sujeto a:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6
−𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 8
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

129
Problema No. 5 (Bazaraa, 2010)
Demuestre, utilizando el algoritmo simplex que el siguiente problema no tiene
solución. Posteriormente, utilice Geogebra para verificar que no existe región de
factibilidad, y que el problema es inconsistente.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
Sujeto a:
−𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 2
2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 3
𝑥𝑥2 ≥ 4
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0

130
Problema No. 6 (Bazaraa, 2010)
Se proporciona el tablero inicial de un problema de programación lineal.
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 𝑥𝑥6 Lado
Derecho

𝑧𝑧 -1 -1 4 0 0 0 0

𝑥𝑥4 1 1 2 1 0 0 9

𝑥𝑥5 1 1 -1 0 1 0 2

𝑥𝑥6 -1 1 1 0 0 1 4

a) Obtenga el modelo de programación lineal con los datos proporcionados en el

tablero anterior.
b) Obtenga el modelo de programación lineal en su forma estándar
c) Resuelva el problema utilizando el algoritmo simplex
d) Utilice Microsoft Excel para realizar las iteraciones correspondientes
e) Muestre la secuencia de soluciones para cada iteración
f) Utilice Lindo y Lingo para obtener los tableros inicial y final que permitan
verificar sus resultados

131
Problema No. 7 (Bazaraa, 2010)
Considere el siguiente problema
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
Sujeto a:
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≤ 0
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4
5𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 15
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
a) Resuelva el problema gráficamente
b) Resuelva el problema utilizando el algoritmo simplex

132
Problema No. 8 (Bazaraa, 2010)
Considere el siguiente problema
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
Sujeto a:
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 10
−𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 6
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
a) Resuelva el problema gráficamente. Verifique con el programa Geogebra que
el problema tiene un vértice degenerado.
b) Resuelva el problema original utilizando el algoritmo simplex.
c) Resuelva el problema utilizando el método simplex quitando la restricción
redundante que provoca la degeneración.

133
Problema No. 9
Utilice el algoritmo simplex para resolver el problema del caso práctico No. 1:
American Sporting Equipment I (Lapin ,1996)

134
Problema No. 10
Resuelva el siguiente problema utilizando el algoritmo simplex. Utilice Excel para
realizar todas las iteraciones.
3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 12, −𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 4, 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 8, 𝑥𝑥1 ≤ 3, 𝑥𝑥2 ≤ 5, 𝑥𝑥3 ≤ 4,
�𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 � �
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

135
5. Aplicaciones diversas de programación lineal

Problema No. 1
Problema de la dieta (Cornuejols y Trick, 1998)

¿Cuál es la dieta perfecta? Una dieta ideal cumpliría o excedería los requisitos
nutricionales básicos, sería barato, tenía variedad y sería agradable al paladar. ¿Cómo
podemos encontrar una dieta así? Supongamos que los únicos alimentos en el mundo
son los siguientes:

Alimento Tamaño de la Energía (kcal) Proteínas (g) Calcio (mg) Precio Límite
porción (centavos de (ración/día)
dólar/ración)
Harina de 28 g 110 4 2 3 4
avena
Pollo 100 g 205 32 12 24 3

Huevos 2 grandes 160 13 54 13 2

Leche 237 cc 160 8 285 9 8

Tarta de cereza 170 g 420 4 22 20 2

Cerdo y frijoles 260 g 260 14 80 19 2

Después de consultar con los nutriólogos, consideramos que una dieta satisfactoria
debe tener por lo menos 2,000 kcal de energía, 55 g de proteína, y 800 mg de calcio
(las vitaminas y el hierro son suministrados por las píldoras). Mientras que algunos
de nosotros estaríamos contentos de subsistir con 10 porciones de carne de cerdo y
frijoles, hemos decidido imponer la variedad por tener un límite en el número de
porciones / día para cada uno de nuestros seis alimentos. ¿Cuál es la dieta menos
costosa y satisfactoria?
Solución:
Construcción del modelo de programación lineal.
Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑖𝑖 = 1,2,3,4,5, 𝑦𝑦 6
Nuestro objetivo es minimizar el costo, que puede escribirse de la forma siguiente:

136
 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 24𝑥𝑥2 + 13𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4 + 20𝑥𝑥5 + 19𝑥𝑥6
Tenemos limitaciones de energía, proteínas, calcio, y para cada porción / límite por
día.
Esto da la formulación completa de un modelo de programación lineal:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 24𝑥𝑥2 + 13𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4 + 20𝑥𝑥5 + 19𝑥𝑥6
Sujeto a:
(Energía) 110𝑥𝑥1 + 205𝑥𝑥2 + 160𝑥𝑥3 + 160𝑥𝑥4 + 420𝑥𝑥5 + 260𝑥𝑥6 ≥ 2000
(Proteínas) 4𝑥𝑥1 + 32𝑥𝑥2 + 13𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥5 + 14𝑥𝑥6 ≥ 55
(Calcio) 2𝑥𝑥1 + 12𝑥𝑥2 + 54𝑥𝑥3 + 285𝑥𝑥4 + 22𝑥𝑥5 + 80𝑥𝑥6 ≥ 800
(Límite harina) 𝑥𝑥1 ≤ 4
(Límite pollo) ) 𝑥𝑥2 ≤ 3
(Límite huevo) ) 𝑥𝑥3 ≤ 2
(Límite leche) ) 𝑥𝑥4 ≤ 8
(Límite tarta de cereza) ) 𝑥𝑥5 ≤ 2
(Límite cerdo y frijoles) ) 𝑥𝑥6 ≤ 2
Condiciones de no negatividad de las variables: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 ≥ 0
Discusión:
La creación de dietas óptimas fue uno de los primeros usos de la programación lineal.
Algunas de las dificultades con la programación lineal incluyen las diferencias en la
formulación de requisitos de palatabilidad (gusto a los alimentos) y cuestiones de
divisibilidad (nadie quiere comer la mitad de un grano verde) Estos modelos de
programación lineal dan una idea sobre cuántos de estos requisitos de palatabilidad
están costando en la dieta óptima.

137
Problema No. 2
Planeación de personal (Cornuejols y Trick, 1998)
Considere un restaurante que está abierto los siete días de la semana. Sobre la base
de la experiencia anterior, el número de trabajadores necesarios en un día
determinado se da de la siguiente manera:

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Número de trabajadores 14 13 15 16 19 18 11

Cada trabajador trabaja cinco días consecutivos y luego tarda dos días en repetir este
patrón indefinidamente. ¿Cómo podemos minimizar el número de trabajadores que
requiere el personal de staff del restaurante?
Solución:
Modelo de programación lineal
Un primer intento natural (¡y mal!) en este problema es dejar que 𝑥𝑥𝑖𝑖 sea el número de
personas que trabajan en el día 𝑖𝑖. Tenga en cuenta que tal definición variable no
coincide con lo que necesitamos encontrar. No hace ningún bien saber que 15
personas trabajan el lunes, 13 personas el martes, y así sucesivamente porque no nos
dice cuántos trabajadores son necesarios. Algunos trabajadores trabajarán el lunes y
el martes, algunos sólo un día, algunos ninguno de esos días. En su lugar, que los días
sean los números 1 a 7 y que 𝑥𝑥𝑖𝑖 sea el número de trabajadores que comienzan su turno
de cinco días el día 𝑖𝑖 . Nuestro objetivo es claramente:
7

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑖𝑖=1

Considere la restricción para el nivel de 14 del día 𝑥𝑥1 lunes. ¿Quién trabaja los lunes?
Claramente aquellos que empiezan su turno el lunes (𝑥𝑥1 ). Los que empiezan el martes
(𝑥𝑥2 ) no trabajan el lunes, ni tampoco los que empiezan el miércoles (𝑥𝑥3 ). Los que
empiezan el jueves (𝑥𝑥4 ) trabajan el lunes, al igual que los que empiezan el viernes,
sábado y domingo. Esto da la restricción:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 ≥ 14

138
Argumentos similares dan una formulación total:
7

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑖𝑖=1

Sujeto a:
(lunes) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 ≥ 14
(martes) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 ≥ 13
(miércoles) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 ≥ 15
(jueves) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥7 ≥ 16
(viernes) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 ≥ 19
(sábado) 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 ≥ 18
(domingo) 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 ≥ 11

Condiciones de no negatividad de las variables: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 ≥ 0
Discusión.
El modelado de mano de obra es un área bien desarrollada. Tenga en cuenta que
nuestro modelo sólo tiene un tipo de cambio, pero el modelo se extiende fácilmente a
otros tipos de turnos, con costos de desplazamiento diferentes.

139
Problema No. 3
Cartera de inversiones (Cornuejols y Trick, 1998)
Definición del problema.
En sus cursos de formación, aprenderá una serie de técnicas para crear carteras
óptimas. La optimización de una cartera depende en gran medida del modelo
utilizado para determinar el riesgo y otros aspectos de los instrumentos financieros.
He aquí un modelo particularmente sencillo que es susceptible a las técnicas de
programación lineal. Considere a un equipo de inversores con $ 100.000.000 de
dólares para financiar varias inversiones. Hay cinco categorías de préstamos, cada
uno con un retorno asociado y el riesgo (1-10, 1 mejor):

Préstamo/inversión Tasa de retorno Riesgo

(%)

Primera inversión 9 3

Segunda inversión 12 6

Préstamos personales 15 8

Préstamos comerciales 8 2

Valores gubernamentales 6 1

Cualquier dinero no invertido entra en una cuenta de ahorros sin riesgo y un 3% de

tasa de retorno. El objetivo para el equipo de la hipoteca es asignar el dinero a las
categorías para:
(a) Maximizar el rendimiento promedio por dólar
(b) Tener un riesgo real de no más de 5 (todos los promedios y fracciones tomadas
sobre el dinero invertido (No sobre la cuenta de ahorro)).
(C) Invertir al menos el 20% en préstamos comerciales.
(D) El monto en las segunda inversión y préstamos personales combinados no debe
ser mayor que el monto en la primera inversión.
Solución:
Modelo de programación lineal:
Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑛𝑛 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1,2,3,4,5

140
Sea 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
El objetivo es maximizar la tasa de retorno o rendimiento (beneficio)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 9𝑥𝑥1 + 12𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥𝑠𝑠
Sujeto a:
(Disponibilidad de recursos) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥𝑠𝑠 = 100,000,000
Ahora, veamos el riesgo promedio. Puesto que queremos tomar el promedio sobre
sólo la cantidad invertida, una traducción directa de esta restricción es:
3𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5
≤5
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5
Simplificando la expresión anterior, se tiene:
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥5 ≤ 0
Similarmente necesitamos:
𝑥𝑥4 ≥ 0.2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 )
Simplificando, se tiene:
−0.2𝑥𝑥1 − 0.2𝑥𝑥2 − 0.2𝑥𝑥3 + 0.8𝑥𝑥4 − 0.2𝑥𝑥5 ≥ 0
La restricción final es:
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥1 ≤ 0
Condiciones de no negatividad de las variables: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥𝑠𝑠 ≥ 0
Discusión
Los portafolios óptimos no sólo suceden: deben ser calculados, y hay una interacción
constante entre los modelos y la solubilidad. Los modelos de programación lineal
proporcionan un gran poder de modelado con un gran límite: el manejo del riesgo
debe realizarse de forma lineal (como nuestros factores de riesgo aquí). Otros
modelos que verá en finanzas es donde conocerá la covariancia de los rendimientos
entre las inversiones, un efecto fundamentalmente no lineal. Esto puede dar lugar a
modelos no lineales como los que tratan de minimizar la varianza en función de los
requisitos de retorno. Es muy difícil incorporar restricciones con características tan
específicas (como (c) y (d) aquí) en tales modelos.

141
Problema No. 4
Un problema de transporte (Bazaraa, 2010)
Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500, 700 y
600 toneladas de madera. El fabricante puede comprar la madera. El fabricante puede
comprar la madera a 3 compañías madereras. Las dos primeras compañías
madereras tienen virtualmente una oferta ilimitada, mientras que, por otros
compromisos, la tercera compañía no puede surtir más de 500 toneladas por semana.
La primera compañía maderera utiliza el ferrocarril como medio de transporte y no
hay límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras
dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso
máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. En la tabla
siguiente se proporciona el costo de transporte de las compañías madereras a las
fábricas de muebles ($ por tonelada).

FÁBRICA DE MUEBLES
COMPAÑÍA MADERERA 1 2 3
1 2 3 5
2 2.5 4 4.8
3 3 3.6 3.2

Formule este problema como un problema lineal (En el siguiente capítulo se pide al
estudiante que resuelva este problema)

Solución:

Modelo de programación lineal:

Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = toneladas de madera enviadas de la compañía 𝑖𝑖 a la fábrica de muebles 𝑗𝑗.

El objetivo es minimizar el costo de transporte

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥11 + 3𝑥𝑥12 + 5𝑥𝑥13 + 2.5𝑥𝑥21 + 4𝑥𝑥22 + 4.8𝑥𝑥23 + 3𝑥𝑥31 + 3.6𝑥𝑥32 + 3.2𝑥𝑥33

Sujeto a:

Demanda de madera:

142
 3 3 3

� 𝑥𝑥𝑖𝑖1 = 500 , � 𝑥𝑥𝑖𝑖2 = 700, � 𝑥𝑥𝑖𝑖3 = 600

𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1

Oferta compañía maderera:

� 𝑥𝑥3𝑗𝑗 ≤ 500, 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 200, 𝑖𝑖 = 2,3, 𝑗𝑗 = 1,2,3

𝑗𝑗=1

Condiciones de no negatividad: ∀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0

143
Problema No. 5

Problemas de programación lineal en ingeniería (costos en ingeniería). (Pacheco, 2011)

Un contratista posee cinco máquinas capaces de hacer trabajos de excavación. Estas
máquinas no tienen los mismos rendimientos y, por contratos previos, su
disponibilidad es limitada. El contratista desea determinar que combinación de
máquinas le permitirá excavar 5000 m3 de material en una semana al menor costo.
En la tabla siguiente se incluyen los costos, capacidades y velocidades de operación
de los distintos equipos.

Equipo Capacidad Costo Disponibilidad Tiempo de ciclo

Cargador frontal 1.5 175 6.0 4.50
Excavadora hidráulica 2 400 6.0 1.00
Retroexcavadora A 1.2 275 6.0 1.00
Retroexcavadora B 0.8 220 8.0 1.00
Grúa con almeja 1.2 470 5.5 2.25

Obtenga el modelo de programación lineal que minimicé el costo del proyecto de tal
forma que se obtenga la combinación de maquinaria óptima.

Solución:

Modelo de programación lineal:

Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚á𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, . . ,5

El objetivo es minimizar el costo total

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 175𝑥𝑥1 + 400𝑥𝑥2 + 275𝑥𝑥3 + 220𝑥𝑥4 + 470𝑥𝑥5

Sujeto a:

Para ajustar las restricciones de disponibilidad a una unidad de tiempo común,

multiplicamos la disponibilidad diaria de cada equipo por los 5 día laborables con los
que se cuenta, es decir:

𝑥𝑥1 ≤ 5(6.0), 𝑥𝑥2 ≤ 5(6.0), 𝑥𝑥3 ≤ 5(6.0), 𝑥𝑥4 ≤ 5(8.0), 𝑥𝑥5 ≤ 5(5.5)

144
Para definir la restricción de material total excavado, debemos encontrar el volumen
por hora que remueve cada máquina, en este caso, tenemos que utilizar la siguiente
relación, para cada una de las máquinas:

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉� 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = �𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Máquina 1 1.5𝑚𝑚3� 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 4.5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 20𝑚𝑚3 /ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎 / 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Máquina 2 2.0𝑚𝑚3� 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 1.0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 120𝑚𝑚3 /ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 / 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Máquina 3 1.2𝑚𝑚3� 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 1.0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 72𝑚𝑚3 /ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 / 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Máquina 4 0.8𝑚𝑚3� 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 1.0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 48𝑚𝑚3 /ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 / 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Máquina 5 1.2𝑚𝑚3� 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 2.25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� 32𝑚𝑚3 /ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 / 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

La última restricción obtenida es:

20𝑥𝑥1 + 120𝑥𝑥2 + 72𝑥𝑥3 + 48𝑥𝑥4 + 32𝑥𝑥5 = 5000

El modelo de programación lineal completo es:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 175𝑥𝑥1 + 400𝑥𝑥2 + 275𝑥𝑥3 + 220𝑥𝑥4 + 470𝑥𝑥5

Sujeto a:
𝑥𝑥1 ≤ 30
𝑥𝑥2 ≤ 30
𝑥𝑥3 ≤ 30
𝑥𝑥4 ≤ 40
𝑥𝑥5 ≤ 27.5

20𝑥𝑥1 + 120𝑥𝑥2 + 72𝑥𝑥3 + 48𝑥𝑥4 + 32𝑥𝑥5 = 5000

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 ≥ 0

145
Problema No. 6
Problema de ingeniería 2 (asignación e inspección). (Pacheco, 2011)
Tras el embate de un huracán se requiere evaluar los daños en una ciudad costera.
Para ello se creado una comisión de emergencia que inspeccionará daños en las
instalaciones eléctricas, de gas, agua potable y drenaje en edificios públicos, fábricas
y viviendas. Se requiere que los inspectores atiendan al menos 6 edificios públicos y
4 fábricas, que del total de inspecciones que realicen al menos 60% sean a vivienda.
Se estima que los tiempos de inspección por edificio en horas se consumirán de la
siguiente manera:

Instalaciones Instalaciones Instalaciones

Viviendas 2 1 3
Edificios 4 1 2
Fábricas 6 3 1

Se han presupuestado 120 horas de inspección a instalaciones eléctricas, 80 a

instalaciones de gas y 100 a instalaciones hidráulicas.

Formule un programa de programación lineal que permita optimizar el uso de los

recursos disponibles y que satisfaga las restricciones indicadas.

Solución:

Modelo de programación lineal:

Sea:
𝑥𝑥1 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑥𝑥2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝ú𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑥𝑥3 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓á𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

El objetivo es encontrar el máximo beneficio o número máximo de instalaciones

inspeccionadas.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3

Sujeto a:

Mínimo requerido de edificios públicos inspeccionados: 𝑥𝑥2 ≥ 6

146
Mínimo requerido de fábricas inspeccionadas: 𝑥𝑥3 ≥ 4

𝑥𝑥1
Porciento de viviendas inspeccionadas en relación al total de inspecciones: ≥
𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 +𝑥𝑥3
0.6
Simplificando, se tiene:
0.4𝑥𝑥1 − 0.6𝑥𝑥2 − 0.6𝑥𝑥3 ≥ 0
Tiempos de inspección de las infraestructuras e instalación correspondiente:

Instalaciones eléctricas: 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 ≤ 120

Instalaciones de gas: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≤ 80

Instalaciones hidráulicas: 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≤ 100

Condiciones de no negatividad de las variables: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

El modelo de programación lineal completo es:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3

Sujeto a:

𝑥𝑥2 ≥ 6
𝑥𝑥3 ≥ 4
0.4𝑥𝑥1 − 0.6𝑥𝑥2 − 0.6𝑥𝑥3 ≥ 0
2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 ≤ 120
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≤ 80
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≤ 100
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0

147
Problema No. 7
Un problema de planificación de la producción e inventarios (Eiselt y Sandblom)

Una empresa quiere planificar su producción para uno de sus productos para los
próximos cuatro meses. El cuadro siguiente muestra la demanda pronosticada, las
capacidades de producción y los costos unitarios de producción para los meses
correspondientes, así como los costos de mantenimiento de inventario que se
incurren en el transporte de una unidad de un mes a otro.

Periodo

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Demanda 50 120 150 160

Capacidad de producción 100 100 160 150

Costos unitarios de producción $1 $1.1 $1.2 $1.2

Costos de inventario (por

intervalo de tiempo entre meses) $0.3 $0.2 $0.2

En la actualidad, no hay unidades en stock y después de los cuatro meses, no se desea

tener ningún stock posterior. El problema puede ser escrito como un modelo de
programación lineal.

Solución:

Modelo de programación lineal:

Sean:
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1,2,3,4
𝐼𝐼𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗, 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5

El objetivo es encontrar el costo mínimo de producción total (incluyendo el costo de

mantener el inventario).

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 1.1𝑥𝑥2 + 1.2𝑥𝑥3 + 1.2𝑥𝑥4 + 0.3𝐼𝐼2 + 0.2𝐼𝐼3 + 0.2𝐼𝐼4

Sujeto a:

148
Capacidad de producción por mes:
𝑥𝑥1 ≤ 100
𝑥𝑥2 ≤ 100
𝑥𝑥3 ≤ 160
𝑥𝑥4 ≤ 150
Inventario en el periodo 𝑗𝑗 :
𝐼𝐼1 = 0
𝐼𝐼2 = 0 + 𝑥𝑥1 − 50
𝐼𝐼3 = 𝐼𝐼2 + 𝑥𝑥2 − 120
𝐼𝐼4 = 𝐼𝐼3 + 𝑥𝑥3 − 150
𝐼𝐼5 = 0 = 𝐼𝐼4 + 𝑥𝑥4 − 160
𝐼𝐼5 = 0
Condiciones de no negatividad:

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3 , 𝐼𝐼4 , 𝐼𝐼5 ≥ 0

El modelo de programación lineal completo puede ser expresado como:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 1.1𝑥𝑥2 + 1.2𝑥𝑥3 + 1.2𝑥𝑥4 + 0.3𝐼𝐼2 + 0.2𝐼𝐼3 + 0.2𝐼𝐼4

Sujeto a:
𝑥𝑥1 ≤ 100
𝑥𝑥2 ≤ 100
𝑥𝑥3 ≤ 160
𝑥𝑥4 ≤ 150
𝐼𝐼1 = 0
𝑥𝑥1 − 𝐼𝐼2 = 50
𝑥𝑥2 + 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼3 = 120
𝑥𝑥3 + 𝐼𝐼3 − 𝐼𝐼4 = 150
𝑥𝑥4 + 𝐼𝐼4 − 𝐼𝐼5 = 160
𝐼𝐼5 = 0

𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 , 𝐼𝐼3 , 𝐼𝐼4 , 𝐼𝐼5 ≥ 0

149
6. Conclusiones del capítulo

La programación lineal, como uno de los temas de este libro, es un subconjunto de la

programación matemática que, a su vez, es una parte de la investigación de
operaciones (u operacional). La investigación de operaciones, también conocida
como la ciencia de la gestión, es una disciplina que se ocupa de la optimización y el
control de los sistemas. El término "programación" se utiliza aquí como sinónimo de
optimización. Curiosamente, los problemas de optimización no son otra cosa que las
versiones formalizadas del principio económico fundamental: o maximizan o
minimizar un objetivo sujeto a un conjunto de restricciones del sistema. Dependiendo
del problema en particular alguno de los dos casos o versiones del problema
versiones se aplica depende del escenario específico y de la problemática en
particular que presente el sistema. De igual forma, el criterio de maximizar o
minimizar una función depende, en mucho del punto de vista del tomador de
decisiones.

La historia de la programación lineal se remonta a los años treinta y cuarenta.

La parte anterior de la historia es descrita por McCloskey (1987), mientras que una
reciente explicación autorizada es proporcionada por Gass y Assad (2005). Aquí,
ofrecemos sólo algunos de los aspectos más destacados que han impactado
directamente en el campo de la programación lineal.

En la ciencia de la gestión, como en la mayoría de las ciencias, hay una

interacción natural entre la teoría y la práctica. La teoría proporciona herramientas
para el trabajo aplicado y sugiere enfoques viables para la resolución de problemas,
mientras que la práctica añade un enfoque a la teoría al sugerir áreas para el
desarrollo teórico en su búsqueda continua de la resolución de problemas y sus
limitaciones o capacidades.

Es imposible entonces, comprender completamente la teoría o la práctica

aisladamente, más bien, se necesitan entre sí para analizar la interacción mutua entre
los componentes del sistema.

Habiendo establecido la programación lineal como base para la teoría de la

programación lineal, ahora se está en condiciones de apreciar ciertos aspectos de la
implementación de modelos de programación matemática. En los próximos capítulos,
abordaremos varios temas de aplicaciones de la programación lineal en la teoría de

150
redes, como el problema de transporte, asignación y transbordo, el método de la ruta
más corta, redes Pert-Cpm, seguido por un conjunto de aplicaciones específicas
usando software especializado como Excel, Matlab, Maple, entre otros. Finalmente, se
abordará en el tercer capítulo de este libro modelos de programación matemática
más complicados, mediante al análisis de diversos problemas que caen en área de la
programación no lineal. Posteriormente analizaremos problemas de inventarios y
líneas de espera.

151
7. Referencias y bibliografía

• Anderson y Sweeney (2011). Métodos cuantitativos para los negocios, 11 edición,

edit. Cengage learning, México.

• Bazaraa, Jarvis y Sherali (2010). Linear Programming and Network Flows, 4nd
edition, edit. Wiley, Usa.

• Cornuejols y Trick (1998). Quantitative Methods for the Management Science,

course notes, University, Pittsburg, Usa.

• Eiselt, H.A. & Sandblom, C.L. (2007). Linear Programming and its Applications,
edit. Springer, New York, Usa.

• Griva, Nash y Sofer (2009). Linear and Nonlinear Optimization: Second Edition,
edit. Siam, Usa.

• Lapin y Whisler (1996). Cases in Management Science, Edit. Duxbury Press, Uk.

• Pacheco (s/f). Ejercicios dirigidos y problemas resueltos de la teoría general de

sistemas aplicada a la ingeniería civil. Recuperado de:
http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100
/567/A4. pdf

• Powell y Baker (2009). Management Science: The Art of Modeling with

Spreadsheets, 3rd Edition, Edit. Wiley, Usa.

• Sierkama y Zwols (2015). Linear and Integer Optimization: Theory and Practice,
3nd edition, edit. Taylor & Francis Group, England.

• Venkataraman (2000). Applied Optimization with Matlab Programming, 2nd

Edition, edit. Wiley, Usa.

152
 Capítulo III
Modelos de redes

1. Conceptos básicos
2. El problema de transporte
2.1. Definición del problema de transporte. Bazaraa (2010)
2.2. El problema de transporte balanceado
3. El problema de asignación
4. El problema de transbordo
5. Problema de la ruta más corta
6. Programación de proyectos Pert-Cpm (Técnica de revisión y Evaluación de
Programas y el Método del Camino Crítico)
7. Ejemplos de problemas de redes
8. Problemas propuestos
9. Conclusiones de capítulo
10. Referencias y Bibliografía

153
1. Conceptos básicos
De acuerdo a Obregón (2005), la teoría de redes es un área de conocimiento dentro
del campo de la investigación de operaciones. Los problemas que estudia dicha teoría,
son principalmente de naturaleza combinatoria, es decir, relaciona rutas, cortes,
árboles y otros ejemplos. Para obtener las soluciones de estos problemas, se requiere
diseñar algoritmos. Algunos son más eficientes que otros, y su selección depende de
la característica del problema.
Los modelos de redes han ocupado un lugar muy importante en el progreso de
la Investigación de Operaciones y de las Ciencias Administrativas. Estos modelos
junto con la teoría de la programación lineal han mantenido una estrecha relación en
su desarrollo. Lo que a su vez ha propiciado avances en el campo de la Programación
Entera.
Otro aspecto es el adelanto de códigos más rápidos para los problemas de flujo
en redes, lo cual favorece la relación entre la investigación de operaciones y las
ciencias de la computación. Por otro lado, la investigación en modelos de redes a la
par con la ciencia de la computación, ha propiciado la construcción de estructuras
para el manejo de datos, haciendo más eficientes los algoritmos de redes.
La estructura de los problemas de redes se puede representar gráficamente.
Esto ha permitido visualizar problemas en áreas como: telecomunicaciones,
transporte, asignación, transbordo, distribución, planeación de proyectos,
localización de instalaciones, flujo, entre otros.
Muchos modelos de optimización importantes tienen una representación
gráfica natural en red. En este capítulo, discutimos algunos ejemplos específicos de
modelos de red. Hay varias razones para distinguir modelos de red de otros modelos
de programación lineal:
La estructura de red de estos modelos nos permite representarlos
gráficamente de una manera intuitiva para los usuarios. Podemos utilizar esta
representación gráfica como ayuda
En el desarrollo del modelo de hoja de cálculo. De hecho, para un libro de texto
especial para los estudiantes de licenciatura, el mejor argumento para señalar los
problemas de red para una consideración especial es el hecho de que pueden ser
representados gráficamente. Muchas empresas tienen problemas reales, a menudo
extremadamente grandes, que pueden representarse como modelos de red. De hecho,
muchas de las mejores historias de éxito de la ciencia de la administración han
involucrado modelos de redes grandes. Por ejemplo, y de acuerdo a Winston (2010),

154
la empresa Delta Airlines desarrolló un modelo de red para programar toda su flota
de aviones de pasajeros.
Algunas otras aplicaciones reales de modelos basados en red se enumeran en
todo el capítulo, pero la lista no es en modo alguno exhaustiva. Una exploración rápida
de los artículos en el diario de Interfaces indica que probablemente hay más
aplicaciones basadas en la red reportadas que cualquier otro tipo.
Se han desarrollado técnicas especializadas de solución específicamente para
modelos. Aunque no discutamos los detalles de estas técnicas de solución y no se
implementan en Microsoft Excel Solver; son importantes en las aplicaciones del
mundo real porque permiten a las empresas resolver problemas enormes que no
pueden ser resueltos por los algoritmos de la programación lineal vistos en el primer
capítulo de este libro de texto.
De acuerdo a Hiller y Lieberman (2011), los problemas de redes pueden
clasificarse esencialmente en ocho áreas: problemas de transporte, problemas de
asignación, ruta más corta, flujo máximo, árbol de expansión mínima, flujo a costo
mínimo y planeación y control de proyectos.
El siguiente esquema muestra los diferentes tipos de problemas de redes que
se abordan en la materia de investigación de operaciones en los programas de estudio
de las carreras de ingeniería en sistemas computacionales, ingeniería industrial,
gestión empresarial y la licenciatura en administración del Tecnológico Nacional de
México.

155
 Problema de
transbordo
Problema de
transporte
Problema de
asignación
Problema de la ruta
más corta

Problema de
planeación y control Redes Pert- Cpm
de proyectos
Tipos de problemas
de redes
Problema de flujo
máximo

Problema de árbol
de expansión
miníma

Problema de flujo a
costo mínimo

156
2. El problema de transporte

Una característica central de las cadenas de suministro físicas es el movimiento del

producto de uno o más ubicaciones de origen a un conjunto de destinos donde se
produce la demanda. El costo de Unidades de producto, junto con el costo de
fabricación del producto, representa la mayor parte del costo de obtener los
productos al mercado. No es de extrañar, entonces, que una gran cantidad se presta
atención al control de los costes que se producen en las cadenas de suministro. En
este caso, se analizará una de las aplicaciones más frecuentes en los problemas de
redes: el problema de transporte.

2.1. Definición del problema de transporte. Bazaraa (2010)

Se consideran 𝑚𝑚 puntos de origen, en donde el origen 𝑖𝑖 tiene una oferta de 𝑎𝑎𝑖𝑖 unidades
de un artículo (producto) específico. Además, existen 𝑛𝑛 puntos de destino, en donde
el destino 𝑗𝑗 requiere 𝑏𝑏𝑗𝑗 unidades del producto. Se supone que 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑗𝑗 > 0. Con cada
enlace o arco (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) del origen 𝑖𝑖 al destino 𝑗𝑗 está asociado un costo unitario 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 por
transporte. El problema es determinar un «patrón de embarque» factible de los
orígenes a los destinos que minimice el costo total de transporte.

De acuerdo a Sierksma y Zwols (2015), la formulación general del problema de

transporte se define como:

Sea 𝑚𝑚 (≥ 1) el número de orígenes y 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 ≥ 1) el número de destinos a satisfacer. El

costo de transporte del origen 𝑖𝑖 al destino 𝑗𝑗 es 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 , la oferta del origen 𝑖𝑖 es 𝑎𝑎𝑖𝑖 , y la
demanda de los destinos 𝑗𝑗 es 𝑏𝑏𝑗𝑗 (𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛). El modelo puede ahora
formularse como sigue:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

Sujeto a:

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚

𝐽𝐽=1

157
 𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗 = 1, … 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

158
2.2. El problema de transporte balanceado

Considere nuevamente el problema de transporte citado anteriormente. Si deseamos

asegurarnos de que la demanda de todos los clientes este satisfecha, entonces la
oferta total de varias plantas u orígenes debe ser al menos tan grande como la
demanda total. Suponga ahora que la oferta y la demanda son totalmente iguales, por
ejemplo,

𝑚𝑚 𝑛𝑛

� 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗
𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

La ecuación anterior es llamada ecuación de balance oferta –demanda.

Si esta ecuación se mantiene, entonces debe quedar claro que ningún cliente puede
recibir más que la demanda correspondiente, y cada depósito tiene que agotar su
suministro. Esto significa que, bajo estas circunstancias, las desigualdades en las
limitaciones tecnológicas del modelo pueden, sin pérdida de generalidad, ser
reemplazadas por restricciones de igualdad. El modelo resultante se llama el
problema de transporte equilibrado

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

Sujeto a:

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚

𝐽𝐽=1

𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗 = 1, … 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

159
Ejemplo de un problema de transporte. Sierksma y Zwols (2015)

Una compañía de alquiler de camiones tiene tres depósitos, etiquetados 1, 2, 3, en los

cuales un total de 8, 5 y 6 vehículos, respectivamente, están estacionados. Además,
hay cinco clientes, etiquetados 1, …,5, demandando 2, 3,5,2 y 7 vehículos,
respectivamente. El costo de transporte (por vehículo) de los depósitos a los clientes
se muestra en la tabla siguiente. El problema es transportar los vehículos de los
depósitos a los clientes, asegurándose de que la demanda de los clientes está
satisfecha y de tal manera que Los costos totales de transporte se minimizan. Un
diagrama ilustra la situación mediante el gráfico de red de transporte.

Clientes
1 2 3 4 5
Depósito 1 4 3 8 7 9
Depósito 2 6 5 6 4 5
Depósito 3 7 4 7 5 4

Costos de transporte (x $100)

160
 2
1

4
8
1
3

8
2 3
7

9 5

5 6 5
2 3
4
Oferta

Demanda
5
4

7 7 4 2

5
6
3
4

5 7

Depósitos Clientes

Diagrama del problema de transporte

Para 𝑖𝑖 = 1,2,3 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1,2,3,4,5, sea 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 el costo de transporte del depósito 𝑖𝑖 al cliente 𝑗𝑗,
y sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 el número de vehículos que serán transportados del depósito 𝑖𝑖 al cliente 𝑗𝑗; el
costo de transportar 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 vehículos de 𝑖𝑖 a 𝑗𝑗 es por lo tanto 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 . Además, sea 𝑎𝑎𝑖𝑖 el
número de vehículos en el depósito 𝑖𝑖 (la oferta). Entonces, 𝑎𝑎1 = 8, 𝑎𝑎2 = 5, 𝑎𝑎3 = 6.

Sea 𝑏𝑏𝑗𝑗 el número de vehículos ordenados por el cliente 𝑗𝑗 (la demanda). Entonces, 𝑏𝑏1 =
2, 𝑏𝑏2 = 3, 𝑏𝑏3 = 5, 𝑏𝑏4 = 2, 𝑏𝑏5 = 7. Este problema puede formularse como un modelo de
programación lineal siguiente:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥11 + 3𝑥𝑥12 + 8𝑥𝑥13 + 7𝑥𝑥14 + 9𝑥𝑥15 + 6𝑥𝑥21 + 5𝑥𝑥22 + 6𝑥𝑥23 + 4𝑥𝑥24
+ 5𝑥𝑥25 + 7𝑥𝑥31 + 4𝑥𝑥32 + 7𝑥𝑥33 + 5𝑥𝑥34 + 4𝑥𝑥35
Sujeto a:

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥15 ≤ 8

161
 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 ≤ 5

𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥35 ≤ 6

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 ≥ 2

𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 ≥ 3

𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 ≥ 5

𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥34 ≥ 2

𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥35 ≥ 7

𝑥𝑥11 , … , 𝑥𝑥35 ≥ 0, 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

Las tres primeras restricciones expresan el hecho de que cada depósito sólo puede
entregar tantos vehículos como tiene disponible y las otras cinco restricciones
expresan el hecho de que los clientes deben recibir al menos el número de vehículos
que demandan.

Utilizando un programa específico de computadora, por ejemplo, usando GNU

MathProg Modeling Language (o GMPL), podemos verificar que el costo mínimo de
transporte es de $9,000; los valores óptimos no nulos de las 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ´𝑠𝑠 se unen a los arcos
de la figura siguiente. Este problema se resuelve de forma más eficiente utilizando el
algoritmo simplex de transporte.

162
 2
1

8
1

2 3

5 2x6 5
2 3
Oferta

Demanda
4 2

6
3

5 7

Depósitos Clientes

Código de GNU MathProg Modeling Language (o GMPL) para resolver el problema de

transporte anterior:

163
1. /* Variables de decisión */
2. var x11>=0;
3. var x12>=0;
4. var x13>=o;
5. ……………….;
6. Var x35>=0;

7. /* Función objetivo */

8. minimice Z: *x11+3*x12+8*x13+7*x14+…+4*x35;
9. /* restricciones */
10. /*Oferta depósito 1 */

11. subject to A11: x11+x12+x13+x14+x15<=8;

12. /*Oferta depósito 2 */
13. subject to A12: x21+x22+x23+x34+x25<=5;
14. …………………………………….…;

15. /* Demanda cliente 1 */

16. subject to B11: x11+x21+x31>=2;
17. ………………………………………………..;
18. /* Demanda cliente 5 /*
19. Subject to B15: x15+x25+x35>=7;

20. end;

La línea 1, 7, 9, 10, 12, 15 y 18 son comentarios. Los comentarios son ignorados por
el programa y sirven únicamente para clarificar el problema. Las líneas 5, 14 y 17, son
para generalizar en donde se han omitido variables y restricciones que deberán ser
agregadas al programa para obtener el programa de programación línea completo. La
línea 20 indica el fin de la captura de los parámetros del problema.
3. El problema de asignación

El problema de asignación puede formularse como sigue. Sea 𝑛𝑛 ≥ 1. Hay 𝑛𝑛 trabajos a

realizar por 𝑛𝑛 personas. Cada persona tiene que hacer precisamente uno de los 𝑛𝑛
trabajos, y cada trabajo tiene que ser hecho por una sola personas. Si el trabajo 𝑖𝑖 es
realizado por la persona 𝑗𝑗, entonces el costo asociado es 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛). El objetivo
es determinar una programación óptima, lo que significa que todos los trabajos son
realizados por una persona, cada persona tiene precisamente un trabajo que realizar
y el costo total debe ser lo mínimo posible.

Para formular este problema como uno de programación lineal, introducimos las
variables binarias 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 para 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛, con el siguiente significado:

1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = �
0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

El problema de asignación puede modelarse de la siguiente forma:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:
𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛
𝐽𝐽=1

𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗 = 1, … 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ {0,1} 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

Hay que notar que el problema de asignación es un caso especial del problema de
transporte.

165
Ejemplo de un problema de asignación. Baker (2011)

Europa Auto Company es un fabricante de automóviles con seis plantas de fabricación

y seis vehículos para producir este año. La empresa ha aprendido que tiene sentido
producir cada vehículo en una planta única, aunque algunas de las plantas son más
antiguas y menos eficientes que otras. Para cada posible asignación de un vehículo a
una planta, la compañía ha estimado el costo anual (en millones de dólares) de
implementar la asignación. Los datos de costos se muestran en la siguiente tabla, que
identifica los productos por número. El objetivo del fabricante de automóviles es
minimizar el costo total de la asignación.

Producto
Compacto Coupé Sedan Deportivo Camioneta Van
Planta 1 2 3 4 5 6
1 80 56 43 62 46 58
2 94 50 88 64 63 52
3 94 46 50 40 55 73
4 98 79 71 65 91 59
5 61 59 89 98 45 52
6 77 49 65 95 72 91

Como tal, podemos construir un diagrama de flujo para representar el problema de

decisión de la misma manera que el problema de transporte. El diagrama del ejemplo
del fabricante de automóviles se muestra en la figura siguiente, donde cada uno de los
36 arcos del diagrama representa parte de una asignación potencial.

166
 C11=80 (COSTO DE ASIGNACIÓN) 1
1 P1 A1

1
P2 A2 1

DEMANDA
1 P3 1
OFERTA

A3

1
P4
1
A4

1
P5
1
A5

1 P6 1
A6

PLANTAS TIPO DE AUTOMÓVIL

Diagrama de flujo para el problema de asignación

Modelo de programación lineal par el problema de asignación

Para 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , sea 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 el costo de asignación de la planta 𝑖𝑖

al tipo de auto 𝑗𝑗, y sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 la variable binaria que corresponde a la asignación de la
planta 𝑖𝑖 para la fabricación del vehículo tipo 𝑗𝑗; el costo de asignación de la variable
binaria 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 de la planta 𝑖𝑖 para fabricar el tipo de auto 𝑗𝑗 es por lo tanto 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 . Además,
sea 𝑎𝑎𝑖𝑖 el número de plantas 𝑖𝑖 (la oferta unitaria). Entonces, 𝑎𝑎1 = 1, 𝑎𝑎2 = 1, 𝑎𝑎3 = 1,
𝑎𝑎4 = 1, 𝑎𝑎5 = 1, 𝑎𝑎6 = 1.

167
Sea 𝑏𝑏𝑗𝑗 la demanda para fabricar el tipo de vehículos 𝑗𝑗 (la demanda unitaria). Entonces,
𝑏𝑏1 = 1, 𝑏𝑏2 = 1, 𝑏𝑏3 = 1, 𝑏𝑏4 = 1, 𝑏𝑏5 = 1, 𝑏𝑏6 = 1 . Este problema puede formularse como
un modelo de programación lineal siguiente:

𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑍𝑍 = 80𝑥𝑥11 + 56𝑥𝑥12 + 43𝑥𝑥13 + 62𝑥𝑥14 + 46𝑥𝑥15 + 58𝑥𝑥16 + 94𝑥𝑥21 + 506𝑥𝑥22

+ 88𝑥𝑥23 + 64𝑥𝑥24 + 63𝑥𝑥25 + 52𝑥𝑥26 + 94𝑥𝑥31 + 46𝑥𝑥32 + 50𝑥𝑥33
+ 40𝑥𝑥34 + 55𝑥𝑥35 + 73𝑥𝑥36 + 98𝑥𝑥41 + 79𝑥𝑥42 + 71𝑥𝑥43 + 65𝑥𝑥44
+ 91𝑥𝑥45 + 59𝑥𝑥46 + 61𝑥𝑥51 + 59𝑥𝑥52 + 89𝑥𝑥53 + 98𝑥𝑥54 + 45𝑥𝑥55
+ 52𝑥𝑥56 + 77𝑥𝑥61 + 49𝑥𝑥62 + 65𝑥𝑥63 + 95𝑥𝑥64 + 72𝑥𝑥65 + 91𝑥𝑥66
Sujeto a:

Oferta unitaria (Plantas)

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥16 = 1

𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥26 = 1

𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥36 = 1

𝑥𝑥41 + 𝑥𝑥42 + 𝑥𝑥43 + 𝑥𝑥44 + 𝑥𝑥45 + 𝑥𝑥46 = 1

𝑥𝑥51 + 𝑥𝑥52 + 𝑥𝑥53 + 𝑥𝑥54 + 𝑥𝑥55 + 𝑥𝑥56 = 1

𝑥𝑥61 + 𝑥𝑥62 + 𝑥𝑥63 + 𝑥𝑥64 + 𝑥𝑥65 + 𝑥𝑥66 = 1

Demanda unitaria (Tipo de auto)

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥41 + 𝑥𝑥51 + 𝑥𝑥61 = 1

𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥26 = 1

𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥36 = 1

𝑥𝑥41 + 𝑥𝑥42 + 𝑥𝑥43 + 𝑥𝑥44 + 𝑥𝑥45 + 𝑥𝑥46 = 1

𝑥𝑥51 + 𝑥𝑥52 + 𝑥𝑥53 + 𝑥𝑥54 + 𝑥𝑥55 + 𝑥𝑥56 = 1

𝑥𝑥61 + 𝑥𝑥62 + 𝑥𝑥63 + 𝑥𝑥64 + 𝑥𝑥65 + 𝑥𝑥66 = 1

∀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0

168
Usando GNU MathProg Modeling Language (o GMPL), podemos verificar que el costo
mínimo de asignación es de $314 millones de dólares; los valores óptimos no nulos
de las 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ´𝑠𝑠 se unen a los arcos de la figura siguiente. Este problema se resuelve de
forma más eficiente utilizando el algoritmo húngaro de Kunh.

1
1 P1 A1

43

1 50
P2 A2 1

DEMANDA
1 P3 1
OFERTA

40 A3

1
P4
1
59 A4

45
1
P5
1
A5

77

1 P6 1
A6

PLANTAS TIPO DE AUTOMÓVIL

Diagrama de flujo óptimo para el problema de asignación

A continuación, se muestra el modelo de asignación en hoja electrónica de cálculo.

Este problema puede ser resuelto de forma eficiente utilizando los parámetros de
Microsoft Solver Excel.

169
Redes: ejemplo de un problema de asignación

Parámetros (costos)

Planta Compacto 1 Coupé 2 Sedan 3 Deportivo 4 Camioneta 5 Van 6

1 80 56 43 62 46 58
2 94 50 88 64 63 52
3 94 46 50 40 55 73
4 98 79 71 65 91 59
5 61 59 89 98 45 52
6 77 49 65 95 72 91

Decisiones (asignación)

Planta Compacto 1 Coupé 2 Sedan 3 Deportivo 4 Camioneta 5 Van 6

1 0 0 1 0 0 0
2 0 1 0 0 0 0
3 0 0 0 1 0 0
4 0 0 0 0 0 1
5 0 0 0 0 1 0
6 1 0 0 0 0 0

Objetivo (costo total)

$314, 000,000
El problema de asignación a menudo se presenta cuando existe la necesidad de
asignar tareas a trabajadores, proyectos a jefes de proyecto, trabajadores a turnos,
tripulaciones aéreas a vuelos, contratos de compra a licitaciones de proveedores,
entre otras aplicaciones. De hecho, el problema de asignación es un caso particular
del problema transporte.

En los problemas de transporte se supuso que cada punto es un origen, en que se

dispone de los productos o bienes, o es un destino, en el que se requieren los
productos. Ahora, supondremos que, además existen puntos intermedios en los que
no se dispone ni se requiere de los productos, sino que éstos se transbordan. El
problema de encontrar el patrón de embarque con costo mínimo se denomina el
problema de transbordo y se analizara en la siguiente sección.

170
4. El problema de transbordo

El problema de la asignación resultó ser una versión simplificada del problema de

transporte, especializada en las demandas de la unidad y los suministros de la unidad.
Por el contrario, el problema del transbordo es una versión complicada del problema
del transporte, que contiene dos etapas de flujo en lugar de una sola. En la figura de
nuestro diagrama para el problema del transporte el sistema contiene dos niveles
orígenes y destinos, y todo el flujo tiene lugar en una sola etapa, desde origen hasta el
destino. Sin embargo, en muchos sistemas logísticos existen tres niveles principales,
por decir: plantas, centros de distribución y almacenes; en tales sistemas, el flujo a
menudo tiene lugar en dos etapas.

El problema del transbordo es el problema de enviar un flujo a través de una red con
costo mínimo. La red consta de un número de nodos de suministro, llamados nodos
origen, un número de nodos de demanda, denominado nodo demanda y un número
de nodos intermedios (o transbordos) sin oferta y demanda. Hay un costo de envío
asociado con cada arco de la red.

De acuerdo a Bris (2011). El modelo de transbordo puede formularse de la siguiente

manera:

𝑚𝑚 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 + � � 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑖𝑖=1 𝑘𝑘=1 𝑘𝑘=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:

Oferta:
𝑟𝑟

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚
𝑘𝑘=1

Demanda:
𝑟𝑟

� 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛
𝑘𝑘=1

Ecuación de balance oferta demanda:

171
 𝑚𝑚 𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Condiciones de no negatividad:

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚; 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑟𝑟

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 0, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

Ejemplo de un problema de transbordo. (Bris, 2011)

Considere un problema que abarca tres orígenes, es decir, tres fábricas y tres
minoristas, es decir puntos de la demanda. Cada origen tiene una cierta capacidad
máxima de mercancías, representadas por los nodos 1 ,2 y 3, que son 500, 450 y 400,
unidades, respectivamente. Cada punto de demanda requiere una cierta cantidad de
dichos bienes por parte de un conjunto de minoristas, representados por los nodos 7,
8 y 9, respectivamente, que son 350, 350 y 650 unidades, respectivamente. Entre los
nodos de origen y nodos de destino hay algunos nodos intermedios sobre los cuales
las mercancías son enviadas como puntos intermedios a los nodos de destino. En este
caso, son arcos (dirigidos desde el origen hasta el destino). El objetivo es encontrar el
costo mínimo de transporte desde las plantas hasta los puntos de demanda.

Los datos de costos de transporte por unidad para el problema de transbordo se

muestran en la siguiente tabla:

Fábrica Nodo intermedio Nodo intermedio Nodo destino

(planta) (almacén) (almacén) (demanda)

4 5 6 7 8 9

1 2 3 3 4 7 6 6

2 5 4 1 5 4 2 1

3 3 5 3 6 3 6 8

172
Como tal, podemos construir un diagrama de flujo para representar el problema de
decisión de la misma manera que el problema de transporte. El diagrama del
problema de transporte del ejemplo se muestra en la figura siguiente, donde cada uno
de los 18 arcos del diagrama representa el flujo de mercancías a través de la red.

2 7
500 1 4 7 350

3 6

3
6

5 4

Demanda
4 2
350
Oferta

450 2 5 8
1
1

3 3
5 6

3 8 650
400
3 6 9

Plantas (fábricas) Minoristas

Rutas de distribución
(Almacenes)

Diagrama del problema de transbordo

El modelo de programación lineal par el problema de transbordo del ejemplo, se

plantea de la siguiente forma:

Para 𝑖𝑖 = 1,2,3 ; 𝑗𝑗 = 7,8,9 𝑦𝑦 𝑘𝑘 = 4,5,6 sea 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 el costo de transporte de la fábrica 𝑖𝑖 al

almacén 𝑘𝑘 y sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 el número de unidades enviadas del origen 𝑖𝑖 al almacén 𝑘𝑘. Sea 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘
el costo de transporte del almacén 𝑘𝑘 al destino 𝑗𝑗 y, sea 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 el número de unidades
enviadas del almacén 𝑘𝑘 al destino 𝑗𝑗. Además, sea 𝑎𝑎𝑖𝑖 el número de unidades
disponibles en el origen o depósito 𝑖𝑖 (la oferta). Entonces, 𝑎𝑎1 = 500, 𝑎𝑎2 = 450, 𝑎𝑎3 =
400, respectivamente.

173
Sea 𝑏𝑏𝑗𝑗 el número de artículos ordenados por el cliente 𝑗𝑗 (la demanda). Entonces, 𝑏𝑏1 =
350, 𝑏𝑏2 = 350, 𝑏𝑏3 = 650, respectivamente. Este problema puede formularse como un
modelo de programación lineal siguiente:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥14 + 3𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥16 + 5𝑥𝑥24 + 4𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥26 + 3𝑥𝑥34 + 5𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥36 + 7𝑥𝑥47 + 6𝑥𝑥48
+ 6𝑥𝑥49 + 4𝑥𝑥57 + 2𝑥𝑥58 + 𝑥𝑥59 + 3𝑥𝑥67 + 6𝑥𝑥68 + 8𝑥𝑥69

Oferta plantas o fábricas:

Planta 1:
𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥16 ≤ 500

Planta 2:
𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥26 ≤ 450

Planta 3:
𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥36 ≤ 500

Demandas minoristas:

Demanda 1:
𝑥𝑥47 + 𝑥𝑥57 + 𝑥𝑥67 = 350
Demanda 2:
𝑥𝑥48 + 𝑥𝑥58 + 𝑥𝑥68 = 350
Demanda 3:
𝑥𝑥49 + 𝑥𝑥59 + 𝑥𝑥69 = 650

Ecuaciones de balance oferta demanda:

Ingreso a nodo a nodo 4 = Salida nodo 4:

𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥34 − 𝑥𝑥47 − 𝑥𝑥48 − 𝑥𝑥49 = 0

Ingreso a nodo 5 = Salida nodo 5:

𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥35 − 𝑥𝑥57 − 𝑥𝑥58 − 𝑥𝑥59 = 0

174
Ingreso a nodo 6 = Salida nodo 6:

𝑥𝑥16 + 𝑥𝑥26 + 𝑥𝑥36 − 𝑥𝑥67 − 𝑥𝑥68 − 𝑥𝑥69 = 0

Condiciones de no negatividad:

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, … ,3; 𝑘𝑘 = 1, … ,3

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 0, 𝑘𝑘 = 1, … ,3; 𝑗𝑗 = 1, … ,3

Utilizando un programa específico de computadora, por ejemplo, usando el programa

Lingo, de Lindo, System Inc., podemos verificar que el costo mínimo de transporte para
el problema de transbordo es de $6,650; los valores óptimos de las 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 y de las 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 se
unen a los arcos de la figura siguiente.

500 1 4 7 350

550

Demanda

100 350
350
Oferta

450 2 5 8
350

650
350

400

400 650
3 6 9

Plantas (fábricas) Minoristas

Rutas de distribución
(Almacenes)

Diagrama de flujo óptimo para el problema de asignación

175
 Código Lingo para el problema de transbordo:

Min =
2*x14+3*x15+3*x16+5*x24+4*x25+x26+3*x34+5*x35+3*x36+7*x47+6*x48+6*x49
+4*x57+2*x58+x59+3*x67+6*x68+8*x69;

x14+x15+x16<=500;

x24+x25+x26<=450;
x34+x35+x36<=400;
x47+x57+x67<=350;
x48+x58+x68=350;
x49+x59+x69=650;
x14+x24+x34-x47-x48-x49=0;
x15+x25+x35-x57-x58-x59=0;
x16+x26+x36-x67-x68-x69=0;
end

176
5. Problema de la ruta más corta

El problema del camino más corto es un modelo de red particular que ha recibido
mucha atención tanto por razones prácticas como teóricas. La esencia del problema
se puede afirmar de la siguiente manera: Dada una red con distancia 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (o tiempo de
viaje, o costo, etc.) asociada con cada arco, encuentre un camino a través de la red
desde un origen particular a un destino que tiene la distancia total más corta. La
simplicidad del enunciado del problema es un tanto engañosa, porque una serie de
aplicaciones importantes pueden formularse como problemas de trayectoria más
cortas (o más largas) cuando esta formulación no es obvia desde el principio. Estos
incluyen problemas de reemplazo de equipos, inversión de capital, planificación de
proyectos y planificación de inventarios.

El interés teórico en el problema se debe al hecho de que tiene una estructura

especial, además de ser una red, que resulta en procedimientos de solución muy
eficientes. Además, el problema de la trayectoria más corta ocurre a menudo como un
sub-problema en situaciones más complejas, tales como los sub-problemas en la
aplicación de la descomposición a los problemas de asignación de tráfico que a
menudo son tratados mediante la teoría de la programación lineal entera.

En general, la formulación del problema de trayectoria (distancia) más corta es la

siguiente:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:

𝑛𝑛 𝑟𝑟 1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑠𝑠 (𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)
� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 − � 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 = � 0, 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗=1 𝑘𝑘=1 −1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑡𝑡 (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

Podemos interpretar el problema del camino más corto como un problema de flujo
de red muy fácilmente. Simplemente queremos enviar una unidad de flujo de la fuente
al destino a un costo mínimo. En la fuente (origen), hay un suministro neto de una
unidad; En el destino, hay una demanda neta de una unidad; y en todos los otros
nodos no hay entrada neta o flujo de salida.

177
Consideremos un ejemplo de Bradley (1977), que se muestra en el esquema de red
correspondiente, en donde queremos encontrar la distancia más corta entre el nodo
1 y el 8. Los números o pesos en los arcos son la distancia o el costo de usar ese arco.
De igual forma, el modelo de programación lineal se muestra en un cuadro posterior
al esquema de red citado anteriormente y que se elabora en un cuadro resumen
donde se indican las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de
restricciones del problema.
1

2 5
2 6

0.5 2
5.1 3
1.5

3 2.2
1 1 4 6 8

0.5
4.2 Destino
Origen 3.4 2
1.5 -1
+1

2.4

3 7
5

Flujo en red de la ruta más corta

El modelo de programación lineal par el problema de la ruta más corta del ejemplo,
se plantea de la siguiente forma:

1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒á 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = �
0 , 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5.1𝑥𝑥12 + 3.4𝑥𝑥13 + 0.5𝑥𝑥24 + 2𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥32 + 1.5𝑥𝑥34 + 5𝑥𝑥37 + 2𝑥𝑥45 + 3𝑥𝑥46 + 4.2𝑥𝑥47
+ 𝑥𝑥52 + 3𝑥𝑥56 + 6𝑥𝑥58 + 1.5𝑥𝑥65 + 0.5𝑥𝑥67 + 2.2𝑥𝑥68 + 2𝑥𝑥76 + 2.4𝑥𝑥78

Sujeto a:
Nodo 1: 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 = 1

Nodo 2: −𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 − 𝑥𝑥32 − 𝑥𝑥52 = 0

Nodo 3: −𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥37 = 0

Nodo 4: −𝑥𝑥24 − 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥45 + 𝑥𝑥46 + 𝑥𝑥47 = 0

178
Nodo 5: −𝑥𝑥25 − 𝑥𝑥45 + 𝑥𝑥52 + 𝑥𝑥56 + 𝑥𝑥58 − 𝑥𝑥65 = 0

Nodo 6: −𝑥𝑥46 − 𝑥𝑥56 + 𝑥𝑥65 + 𝑥𝑥67 + 𝑥𝑥68 − 𝑥𝑥76 = 0

Nodo 7: −𝑥𝑥37 − 𝑥𝑥47 − 𝑥𝑥67 + 𝑥𝑥76 + 𝑥𝑥78 = 0

Nodo 8: −𝑥𝑥58 − 𝑥𝑥68 − 𝑥𝑥78 = −1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

Utilizando un programa específico de computadora, por ejemplo, usando Microsoft

Excel Solver., podemos verificar que la distancia mínima es de 10.1 y que la ruta más
corta es:
Distancia
Variable x12 x13 x24 x25 x32 x34 x37 x45 x46 x47 x52 x56 x58 x65 x67 x68 x76 x78 Mínima
5.1 3.4 0.5 2 1 1.5 5 2 3 4.2 1 3 6 1.5 0.5 2.2 2 2.4 10.1

Restricciones Usado Disponible

Nodo 1 1 1 1 = 1
Nodo 2 -1 1 1 -1 -1 0 = 0
Nodo 3 -1 1 1 1 0 = 0
Nodo 4 -1 -1 1 1 1 0 = 0
Nodo 5 -1 -1 1 1 1 -1 0 = 0
Nodo 6 -1 -1 1 1 1 -1 0 = 0
Nodo 7 -1 -1 -1 1 1 0 = 0
Nodo 8 -1 -1 -1 -1 = -1

Solución 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Ruta más corta: (1-3) - (3-2) - (2-4) - (4-6) - (6-8)

2 5

0.5

3 2.2
1 1 4 6 8

Destino
Origen 3.4
-1
+1

3 7

Diagrama de flujo óptimo para el problema de la ruta más corta

179
6. Programación de proyectos Pert-Cpm (Técnica de Revisión y Evaluación de
Programas y el Método del Camino Crítico)

El método del camino crítico (CPM), también conocido como el método de la ruta
crítica es una técnica de gestión de proyectos que se utiliza ampliamente en el
gobierno y la industria para analizar, planificar y programar las diversas tareas de
proyectos complejos. El CPM es útil para identificar qué tareas son críticas para la
ejecución del proyecto en general y para programar todas las tareas de acuerdo con
sus relaciones de prioridad prescritas para minimizar la fecha total de finalización del
proyecto o si se cumple una fecha objetivo con un costo mínimo.

Normalmente, el CPM puede aplicarse con éxito en grandes proyectos de

construcción, como construir un aeropuerto o una carretera; en grandes proyectos
de mantenimiento, como los que se encuentran en las centrales nucleares o en las
refinerías de petróleo; y en complejos esfuerzos de investigación y desarrollo, tales
como el desarrollo tecnológico, pruebas e introducción de un nuevo producto. Todos
estos proyectos consisten en una lista bien especificada de tareas que deben
ejecutarse en una determinada secuencia prescrita.

El método de la ruta crítica proporciona una metodología para definir las

interrelaciones entre las tareas y determinar la forma más efectiva de programar su
finalización.

De acuerdo a Sierksma y Slows (2015), un proyecto es una combinación de

actividades interrelacionadas que deben llevarse a cabo. Cada actividad requiere de
una cierta cantidad de tiempo, llamado el tiempo de ejecución de la actividad.
Además, hay restricciones de precedencia, lo que significa que algunas actividades no
pueden comenzar hasta que otras hayan sido completadas. Una actividad no tiene que
iniciarse inmediatamente después de que las actividades precedentes necesarias
sean completadas. De hecho, lo que se desea es construir un calendario que describa
el orden en que las actividades deben llevarse a cabo, respetando las restricciones de
precedencia.

Cada proyecto puede representarse mediante una estructura de red llamada red
del proyecto, y que tiene las siguientes propiedades:

a) Los nodos se refieres a las metas (o hitos)

180
b) Cada actividad de un proyecto es representada precisamente por un arco en la red
del proyecto
c) La red no contiene un ciclo dirigido

El objetivo es determinar una calendarización de manera que se minimice el

tiempo total requerido para ejecutar esta programación, el denominado tiempo total
de terminación.

Aunque la formulación matemática del problema de programación presenta una

estructura de red, esto no es obvio desde el principio.

Consideremos un caso que ejemplifica la forma en que se aborda un problema de

esta naturaleza utilizando modelos de programación lineal. Posteriormente
resolveremos problemas de la ruta crítica mediante un procedimiento algebraico.

De acuerdo a Bradley (1977), supongamos que consideramos la programación de

las tareas involucradas en la construcción de una casa sobre una base que ya existe.
Nos gustaría determinar en qué secuencia se deben realizar las tareas con el fin de
minimizar el tiempo total requerido para ejecutar el proyecto. Todo lo que realmente
sabemos es cuánto tiempo se tarda en llevar a cabo cada tarea y qué tareas deben
completarse antes de comenzar cualquier tarea en particular. De hecho, estará claro
que sólo necesitamos conocer las tareas que preceden inmediatamente a una tarea
particular, ya que la realización de todas las tareas anteriores estará implícita en esta
información. Las tareas que se deben realizar en la construcción de esta casa
particular, sus predecesores inmediatos, y una estimación de su duración se dan en
la Tabla que se muestra posteriormente.

Es evidente que no hay necesidad de indicar que el revestimiento debe ser

colocado antes de que la pintura exterior pueda comenzar, ya que la colocación del
revestimiento precede a la instalación de las ventanas, que precede a la pintura
exterior. Siempre es conveniente identificar una tarea de "inicio", es decir, un
predecesor inmediato de todas las tareas, que en sí mismo no tiene predecesores; y
una tarea de "acabado", que tiene, como predecesores inmediatos, todas las tareas
que en la actualidad no tienen sucesores.

181
No. Tarea (actividad) Predecesor Tiempo (duración Tiempo inicio
inmediato de la actividad) más temprano
0 Inicio de obra --------- 0 --------
1 Estructura 0 2 t1
2 Cubierta 1 3 t2
3 Revestimiento 1 1 t2
4 Ventanas 3 2.5 t3
5 Plomería 3 1.5 t3
6 Sistema eléctrico 2, 4 2 t4
7 Acabado interior 5, 6 4 t5
8 Pintura exterior 2,4 3 t4
9 Fin de la obra 7, 8 0 t6

Aunque no es necesario para realizar los cálculos necesarios asociados con el

problema de programación de proyectos, a menudo es útil representar las
interrelaciones entre las tareas de un proyecto dado por medio de un diagrama de
red. En este diagrama, los nodos representan las tareas correspondientes del
proyecto y los arcos representan las relaciones de prioridad entre las tareas. El
diagrama de red para nuestro ejemplo se muestra en la figura siguiente:

(5) Plomería
3 5
1.5

3 4

2.5
(1) Estructura
1 2 2
2 6

1
3
4

Diagrama de red orientada a eventos para nuestro ejemplo

182
 Como podemos ver, hay seis nodos en la red, cada uno representando una
tarea dada. Por esta razón, esta representación de red se denomina una red orientada
a tareas (o actividades).

Si asumimos que nuestro objetivo es minimizar el tiempo transcurrido del

proyecto, podemos formular un problema de programación lineal.

Si asumimos que nuestro objetivo es minimizar el tiempo transcurrido del

proyecto, podemos formular un problema de programación lineal. En primer lugar,
definimos las variables de decisión 𝑡𝑡𝑖𝑖 para 𝑖𝑖 = 1, . . ,6 como los primeros tiempos de
inicio para cada una de las tareas. La tabla anterior proporciona los tiempos de inicio
más tempranos donde el mismo tiempo de inicio más temprano se asigna a tareas con
los mismos predecesores inmediatos. Por ejemplo, las tareas 4 y 5 tienen la tarea 3
como su predecesor inmediato. Obviamente, no pueden comenzar hasta que la tarea
3 esté terminada; Por lo tanto, deben tener el mismo tiempo de inicio más temprano.
Permitiendo que 𝑡𝑡6 sea el tiempo de terminación más temprano de todo el proyecto,
el objetivo es minimizar la duración del proyecto dado por:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑡𝑡𝑛𝑛 − 𝑡𝑡1

Sujeto a:

𝑡𝑡𝑗𝑗 − 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 𝑐𝑐(𝑖𝑖,𝑗𝑗)

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ∈ 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

Para nuestro ejemplo, estás relaciones de precedencia definen el programa de

programación lineal siguiente:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑡𝑡6 − 𝑡𝑡1
Sujeto a:
𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1 ≥ 2
𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡2 ≥ 3
𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡2 ≥ 1
𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡3 ≥ 2.5
𝑡𝑡5 − 𝑡𝑡3 ≥ 1.5

183
 𝑡𝑡5 − 𝑡𝑡4 ≥ 2
𝑡𝑡6 − 𝑡𝑡4 ≥ 3
𝑡𝑡6 − 𝑡𝑡5 ≥ 4
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ∈ 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

Utilizando un programa específico de computadora, por ejemplo, Lindo, de Lindo,

System, Inc. Se tiene la siguiente solución:
El correspondiente valor de la función objetivo es 𝑍𝑍 ∗ = 13.5
𝑡𝑡6 = 13.5, 𝑡𝑡1 = 0, 𝑡𝑡2 = 2, 𝑡𝑡3 = 5, 𝑡𝑡4 = 7.5, 𝑡𝑡5 = 9.5
Los gerentes de proyectos buscan procedimientos que les ayuden a responder
preguntas importantes con respecto a la planeación, programación y control de los
proyectos. A la luz de la información que nos da la solución del modelo de
programación lineal.
El proyecto puede terminarse en 13.5 unidades de tiempo (días, semanas, meses, etc.)
La solución óptima del modelo contiene los tiempos de realización de las distintas
metas. Sin embargo, no proporciona los arcos de la ruta crítica correspondiente. Estos
arcos se obtienen resolviendo el modelo de programación dual del problema, es decir:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � 𝑐𝑐(𝑖𝑖,𝑗𝑗) 𝑦𝑦(𝑖𝑖,𝑗𝑗)

(𝑖𝑖,𝑗𝑗)∈𝐴𝐴

Sujeto a:

− � 𝑦𝑦(1,𝑗𝑗) = −1
(1,𝑗𝑗)∈𝐴𝐴

� 𝑦𝑦(𝑖𝑖,𝑘𝑘) − � 𝑦𝑦(𝑘𝑘,𝑗𝑗) = 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑘𝑘 = 2, … , 𝑛𝑛 − 1

(𝑖𝑖,𝑘𝑘)∈𝐴𝐴 (𝑘𝑘,𝑗𝑗)∈𝐴𝐴

� 𝑦𝑦(1,𝑛𝑛) = 1
(1,𝑛𝑛)∈𝐴𝐴

𝑦𝑦(𝑖𝑖,𝑗𝑗) ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ∈ 𝐴𝐴.

Entonces, para nuestro problema de la ruta crítica, tenemos la definición de las

variables de decisión que nos permitirán construir el modelo.

184
Sea (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) el arco que ∈ a la red si y solo si la variable dual correspondiente a la
restricción 𝑡𝑡𝑗𝑗 − 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 𝑐𝑐(𝑖𝑖,𝑗𝑗) tiene un valor óptimo que es estrictamente mayor que cero.

Por lo tanto, para los datos de nuestro problema, el modelo de programación lineal
es:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑦𝑦(1,2) + 3𝑦𝑦(2,3) + 𝑦𝑦(2,4) + 2.5𝑦𝑦(3,4) + 1.5𝑦𝑦(3,5) + 2𝑦𝑦(4,5) + 3𝑦𝑦(4,6) + 4𝑦𝑦(5,6)

Sujeto a:
−𝑦𝑦(1,2) = −1

𝑦𝑦(1,2) − 𝑦𝑦(2,3) − 𝑦𝑦(2,4) = 0

𝑦𝑦(2,3) − 𝑦𝑦(3,4) − 𝑦𝑦(3,5) = 0

𝑦𝑦(2,4) + 𝑦𝑦(3,4) − 𝑦𝑦(4,5) − 𝑦𝑦(4,6) = 0

𝑦𝑦(3,5) + 𝑦𝑦(4,5) − 𝑦𝑦(5,6) = 0

𝑦𝑦(4,6) + 𝑦𝑦(5,6) = 1

𝑦𝑦(𝑖𝑖,𝑗𝑗) ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ∈ 𝐴𝐴.

Utilizando un programa específico de computadora, por ejemplo, usando Microsoft

Excel Solver, podemos verificar que la solución óptima del problema, se convierte en:
𝑦𝑦(1,2) = 1, 𝑦𝑦(2,3) = 1, 𝑦𝑦(2,4) = 0, 𝑦𝑦(3,4) = 1, 𝑦𝑦(3,5) = 0,
𝑦𝑦(4,5) = 1

𝑦𝑦(4,6) = 0, 𝑦𝑦(5,6) = 1

De esta solución óptima, se deduce que los arcos (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 𝑦𝑦 (5,6) están
en la trayectoria o ruta crítica. El tiempo de conclusión del proyecto es de 13.5
semanas, tal como se obtuvo en el primer modelo para obtener solo la duración del
proyecto.
El modelo en hoja electrónica de cálculo se muestra a continuación:

185
 y(1,2) y(2,3) y(2,4) y(3,4) y(3,5) y(4,5) y(4,6) y(5,6) Usado Relación Derecho
1 1 = 1
1 -1 -1 0 = 0
1 -1 -1 0 = 0
1 1 -1 -1 0 = 0
1 1 -1 0 = 0
1 1 1 = 1
Tiempo actividad 2 3 1 2.5 1.5 2 3 4 = 13.5 ÓPTIMO
Solución 1 1 0 1 0 1 0 1 (Tiempo)

ARCOS (1,2) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,6)

El diagrama de flujo para el problema de la ruta crítica, se muestra en la

siguiente gráfica.

3 5

3 4

2.5
(1) Estructura
1 2 2
2 6

Diagrama de flujo óptimo con arcos (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 𝑦𝑦 (5,6) para el problema de la ruta crítica

Para facilitar los cálculos PERT/CPM, modificaremos la red del proyecto como se
muestra en la figura siguiente. Observe que en el recuadro anexo la esquina superior
de cada nodo contiene la letra o número de la actividad correspondiente. El tiempo
aparece debajo de la letra o número, según sea el caso. Similarmente, se indican todos
los tiempos que involucran la determinación de la ruta crítica.

186
 ACTIVIDAD 2 ACTIVIDAD 6 ACTIVIDAD 7

ACTIVIDAD 4 ACTIVIDAD 8 FIN DE LA OBRA

INICIO ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 3 ACTIVIDAD 5

Nombre Tiempo de Tiempo de

Actividad Inicio más Terminación
Temprano Más temprano
Duración Tiempo de Tiempo de
De la Inicio más Terminación
Actividad Tardío Más tardío

Para nuestro ejemplo, tenemos para la actividad 2:

Cubierta ES EF

1 LS LF

187
Determinación de la ruta crítica
Primero determinamos el tiempo de inicio más temprano y el tiempo de inicio más
tardío de todas las actividades que componen la red. Sean
𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ó𝑛𝑛 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
El tiempo de terminación más temprano de cualquier actividad es: 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑡𝑡
El tiempo de inicio más temprano de una actividad es igual a los tiempos de
terminación más largos de todas las predecesoras inmediatas.
El procedimiento llamado paso hacia adelante a través de la red, nos permitirá
establecer los tiempos de inicio y terminación más tempranos de todas las actividades
que componen la red.
De igual forma, para determinar la ruta crítica realizaremos un paso hacia atrás a
través de la red, comenzamos el paso hacia atrás con un tiempo de terminación más
tardío. Una vez que se conoce el tiempo de terminación más tardío de una actividad,
el tiempo de inicio más tardío de una actividad se calcula como sigue. Sea
𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟í𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ó𝑛𝑛 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡í𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
Entonces:
𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑡𝑡
La siguiente regla puede usarse para determinar el tiempo de terminación más tardío
de cada actividad en la red:
El tiempo de terminación más tardío de una actividad es el menor de los tiempos de
inicio más tardíos de todas las actividades que inmediatamente siguen a la actividad.
Finalmente, después de realizar los pasos hacia adelante y hacia atrás, podemos
determinar la cantidad de holgura asociada con cada actividad. Holgura es el lapso de
tiempo que una actividad puede ser demorada sin que se incremente el tiempo de
terminación del proyecto. La cantidad de holgura para una actividad se calcula como
sigue:
𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐸𝐸𝐸𝐸
En general, las actividades críticas son las actividades con holgura cero.

188
Resumen del procedimiento de la ruta crítica. Anderson y Sweeney (2011)
Paso 1. Elabore una lista de las actividades que conforman el proyecto
Paso 2. Determine la(s) predecesora(s) inmediata(s) de cada actividad del proyecto.
Paso 3. Calcule el tiempo de terminación de cada actividad.
Paso 4. Trace una red de proyecto que ilustre las actividades y las predecesoras
inmediatas mencionadas en los pasos 1 y 2.
Paso 5. Utilice la red del proyecto y las estimaciones de los tiempos de actividad para
determinar los tiempos de inicio y terminación más tempranos de cada actividad
avanzando un paso a través de la red. El tiempo de terminación más temprano de la
última actividad del proyecto identifica el tiempo total requerido para terminarlo.
Paso 6. Utilice el tiempo de terminación del proyecto en el paso 5 como el tiempo de
terminación más tardío de la última actividad, y retroceda un paso a través de la red
para identificar los tiempos de inicio y terminación más tardíos de cada actividad.
Paso 7. Utilice la diferencia entre el tiempo de inicio más tardío y el tiempo de inicio
más temprano de cada actividad para determinar su holgura.
Paso 8. Determine las actividades con holgura cero; ésta son las actividades críticas.
Paso 9. Utilice la información de los pasos 5 y 6 para desarrollar el programa de
actividades dl proyecto.
Para nuestro ejemplo, tenemos:

2 2 3 6 7.5 9.5 7 9.5 13.5

1 5.5 6.5 2 7.5 9.5 4 9.5 13.5

Inicio 0 0 1 0 2 4 5 7.5 8 7.5 10.5 FIN 13.5 13.5

0 0 0 2 0 2 2.5 5 7.5 3 10.5 13.5 0 13.5 13.5

3 2 5
3 2 5
5 5 6.5
1.5 8 9.5

Red del proyecto sobre la programación de las tareas involucradas en la construcción

de una casa sobre una base que ya existe. Ruta crítica: Inicio- 1-3-4-6-7-Fin. Tiempo
de terminación del proyecto = 13.5 unidades de tiempo.

189
A continuación, se muestra el programa detallado de actividades:

Actividad Descripción Inicio más Inicio más Terminación Terminaci Holgura Activi
temprano tardío (EF) más ón más (LS-ES) dad
(ES) temprana tardía (LF) crítica
(LS) (LF-EF)
0 Inicio de obra 0 0 0 0 0
1 Estructura 0 2 0 2 0 Si
2 Cubierta 2 3 5.5 6.5 1 No
3 Revestimiento 2 5 2 5 0 Si
4 Ventanas 5 7.5 5 7.5 0 Si
5 Plomería 5 6.5 8 9.5 7 No
6 Sistema 7.5 9.5 7.5 9.5 0 Si
7 Acabado 9.5 13.5 9.5 13.5 0 Si
8 Pintura exterior 7.5 10.5 10.5 13.5 3 No
9 Fin de la obra 10.5 13.5 10.5 13.5 0

Ruta crítica: Inicio-1-3-4-6-7-Fin. Tiempo de terminación del proyecto: 13.5 unidades

de tiempo.

190
7. Ejemplos de problemas de redes

En esta sección presentaremos un número de problemas de redes y su solución

usando distintos programas como Microsoft Excel, Maple, Lindo, Lingo o Matlab,
según sea el caso o el problema en particular.

Problema No. 1

Problema de transporte. Parlar (2000)

SunSno, una empresa multinacional que opera tres fábricas en (1) Jasper, Canadá, (2)
Seúl, Corea, y (3) Toronto, Canadá. SunSno envía esquíes a cuatro almacenes
propiedad de la empresa en (1) Frankfurt, Alemania, (2) Nueva York, USA, (3) Paris,
Francia, y (4) Yokohama, Japón. Las capacidades semanales de producción 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 =
1,2,3 de las 𝑚𝑚 fábricas y la demanda semanal 𝑏𝑏𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,2,3,4 de los 𝑛𝑛 almacenes se
muestran en la siguiente tabla donde también se indica el costo unitario de transporte
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, . . ,3 𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 1, . . ,4 en negritas. (Problema de transporte balanceado)

De\ A Frankfurt Nueva York Paris Yokohama Oferta

Jasper 19 7 13 8 100
Seúl 15 21 18 6 300
Toronto 11 3 12 20 200
Demanda 150 100 200 150 600

Para resolver este problema como un programa lineal, definimos 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 como el número
de unidades enviadas de la fábrica 𝑖𝑖 al almacén 𝑗𝑗 para las fábricas 𝑖𝑖 = 1, . . , 𝑚𝑚 y los
almacenes 𝑗𝑗 = 1, . . , 𝑛𝑛. Entonces, el modelo de programa lineal del problema de
transporte toma la siguiente forma:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, . . , 𝑚𝑚
𝑗𝑗=1

191
 𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1, . . , 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

∀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, . . , 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗 = 1, . . , 𝑛𝑛

Especializada está a la empresa en el proceso de decisión, obtenemos el siguiente

modelo de programación lineal.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 19𝑥𝑥11 + 7𝑥𝑥12 + 13𝑥𝑥13 + 8𝑥𝑥14 + 15𝑥𝑥21 + 21𝑥𝑥22 + 18𝑥𝑥23 + 6𝑥𝑥24

+ 11𝑥𝑥31 + 3𝑥𝑥32 + 12𝑥𝑥33 + 20𝑥𝑥34
Sujeto a:

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 = 100 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽)

𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 = 300 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑆𝑆𝑆𝑆ú𝑙𝑙)

𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 = 200 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇)

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 = 150 (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹)

𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 = 100 (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌)

𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 = 200 (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃)

𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥34 = 150 (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)

∀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, . . ,3 ; 𝑗𝑗 = 1, . . , 4

Observe que, en general, la formulación de un problema de transporte como un

problema lineal resulta en 𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑛𝑛 variables de decisión y 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 restricciones. En este
problema tenemos 3 𝑥𝑥 4 = 12 variables y 3 + 4 restricciones. Además, puesto que la
oferta total de ∑3𝑖𝑖=1 𝑎𝑎1 = 600 unidades es igual a la demanda ∑4𝑗𝑗=1 𝑏𝑏𝑗𝑗 = 600, las
fábricas estarán enviando todo lo que producen y las demandas de cada almacén o
punto de orden estarán satisfechas en su totalidad. El problema de transporte donde
∑𝑚𝑚 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 = ∑𝑗𝑗=1 𝑏𝑏𝑗𝑗 se dice que son problemas equilibrados o balanceados.

Formulando y resolviendo este problema usando Maple de forma directa se

introducen la función objetivo y el conjunto de restricciones. Una vez hecho esto,

192
volvemos a utilizar el paquete de optimización de Maple para encontrar la solución
óptima del problema.

Entonces, la solución óptima obtenida con un costo mínimo de 𝑧𝑧 = $5,950.

Resumimos la solución óptima en la siguiente tabla:

De\ A Frankfurt Nueva York Paris Yokohama Oferta

Jasper 0 0 100 0 100
Seúl 150 0 0 150 300
Toronto 0 100 100 0 200
Demanda 150 100 200 150 600

En algunos casos, la oferta no es igual a la demanda. Si la oferta excede a la demanda

total, por ejemplo, cuando ∑𝑚𝑚 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 > ∑𝑗𝑗=1 𝑏𝑏𝑗𝑗 , entonces solamente realizamos las
modificación de la restricción de oferta como, ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, . . 𝑚𝑚. En este caso
la oferta sobrepasa a la demanda. En este caso el exceso de oferta aparecería como
una holgura, que debería interpretarse como la oferta no utilizada que no se envía a
ningún sitio.

193
Cuando la oferta es menor que la demanda, por ejemplo, ∑𝑚𝑚 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 < ∑𝑗𝑗=1 𝑏𝑏𝑗𝑗 , entonces
la formulación del modelo de programación lineal será infactible. En este caso
introducimos un nodo ficticio como una oferta artificial igual a ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝑑𝑑𝑗𝑗 − ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 ,
como la diferencia entre la oferta y la demanda total.

Finalmente, cuando el número de orígenes y destinos no es excesivamente grande, un

problema moderado de transporte puede resolverse utilizando el algoritmo simplex.
Pero, para un problema real con , por decir, 𝑚𝑚 = 200 orígenes y 𝑛𝑛 = 500 destinos,
tendríamos 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 700 restricciones y 𝑚𝑚 ∗ 𝑛𝑛 = 100,000 variables. Entonces, para
resolver este tipo de problemas necesitaremos un procedimiento más eficiente.

194
Problema No. 2

Un problema de asignación. Baker (2011)

Asignación de tareas. Supongamos que un departamento de procesamiento de datos

desea asignar cinco programadores a cinco tareas de programación (un programador
para cada tarea). La gerencia ha estimado el número total de días que cada
programador tomaría si es asignado a los diferentes trabajos, y estas estimaciones se
resumen en la siguiente tabla.

Trabajos 1 2 3 4 5
1 50 25 78 64 60
2 43 30 70 56 72
Programador 3 60 28 80 66 68
4 54 29 75 60 70
5 45 32 70 62 75

El diagrama de este ejemplo se muestra en la figura siguiente, donde cada uno de los
25 arcos del diagrama representa parte de una asignación potencial.

DII= 50 DÍAS REQUERIDOS PARA TERMINAR

TRABAJO 1
1 P1 T1

1
P2 T2 1
PROGRAMADOR

1
TRBAJOS

P3 1
T3

1
P4
1
T4

1
P5
1
T5

195
a. Determine la asignación que minimiza los días totales de los programadores
requeridos para completar los cinco puestos de trabajo.

b. Muestre el diagrama de red correspondiente a la solución en (a). Es decir,

etiquetar cada uno de los arcos en la solución y verificar que los flujos son
consistentes con la información proporcionada.
Solución:

a) El problema de asignación puede modelarse de la siguiente forma:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:
𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛
𝐽𝐽=1

𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗 = 1, … 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ {0,1} 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

Usando los datos de la tabla, tenemos que el modelo de programación lineal se

formula de la siguiente manera:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 50𝑥𝑥11 + 25𝑥𝑥12 + 78𝑥𝑥13 + 64𝑥𝑥14 + 60𝑥𝑥15 + 43𝑥𝑥21 + 30𝑥𝑥22

+ 70𝑥𝑥23 + 56𝑥𝑥24 + 72𝑥𝑥25 + 60𝑥𝑥31 + 28𝑥𝑥32 + 80𝑥𝑥33
+ 66𝑥𝑥34 + 68𝑥𝑥35 + 54𝑥𝑥41 + 29𝑥𝑥42 + 75𝑥𝑥43 + 60𝑥𝑥44
+ 70𝑥𝑥45 + 45𝑥𝑥51 + 32𝑥𝑥52 + 70𝑥𝑥53 + 62𝑥𝑥54 + 75𝑥𝑥55

Sujeto a:

Oferta programadores:

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥15 = 1

𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥25 = 1
𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥35 = 1
𝑥𝑥41 + 𝑥𝑥42 + 𝑥𝑥43 + 𝑥𝑥44 + 𝑥𝑥45 = 1
𝑥𝑥51 + 𝑥𝑥52 + 𝑥𝑥53 + 𝑥𝑥54 + 𝑥𝑥55 = 1

196
Demanda trabajos:

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥41 + 𝑥𝑥51 =1

𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥42 + 𝑥𝑥52 =1
𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥43 + 𝑥𝑥53 =1
𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥44 + 𝑥𝑥54 =1
𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥25 + 𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥45 + 𝑥𝑥55 =1

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ {0,1} 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … ,5

Resolviendo este problema de asignación utilizando el programa Lingo, cuyo código

se muestra a continuación:

MODEL:
! 5 Programadores, 5 Trabajos
Problema de Asignación;
SETS:
PROGRAMADOR / P1, P2, P3, P4, P5/: OFERTA;
TRABAJOS / T1, T2, T3, T4, T5/: DEMANDA;
ROUTES (PROGRAMADOR, TRABAJOS): COSTO, VOLUMEN;
ENDSETS

! La función objetivo;
[OBJ] MIN = @SUM (ROUTES: COSTO * VOLUMEN);

! Las restricciones de demanda;

@FOR (TRABAJOS(J): [DEM]
@SUM (PROGRAMADOR(I): VOLUMEN (I, J)) >=
DEMANDA(J));

! Las restricciones de oferta;

@FOR (PROGRAMADOR(I): [SUP]
@SUM (TRABAJOS(J): VOLUMEN (I, J)) <=
OFERTA(I));

! Aquí los parámetros;

DATA:
OFERTA = 1,1,1,1,1;
DEMANDA = 1,1,1,1,1;
COSTO = 50 ,25, 78, 64,60,
43, 30, 70, 56,72,

197
 60, 28, 80, 66,68,
54, 29, 75, 60,70,
45, 32, 70, 62,75;

ENDDATA, END

La solución del problema de asignación se muestra en la siguiente tabla:

Trabajos 1 2 3 4 5
1 60
2 43
Programador 3 28
4 60
5 70

Valor óptimo: 261 días.

b) La red final del proyecto se muestra a continuación:

1
1 P1 T1
60

43

1
P2 T2 1

28
PROGRAMADOR

TRABAJOS

1 P3 1
T3

1 60
P4
1
T4

70

1
P5
1
T5

Diagrama de flujo óptimo para el problema de asignación

198
Problema No. 3

Un problema de transbordo. Anderson y Sweeney (2011)

Diseño de un sistema de distribución. Una empresa fabrica y distribuye medidores

que se usan para determinar el consumo de energía eléctrica. La empresa empezó con
una pequeña planta de producción en El Paso y gradualmente construyó una base de
clientes en todo Texas. Se estableció un centro de distribución en Fort Worth, Texas,
y más tarde, conforme el negocio se extendió, se estableció un segundo centro de
distribución en Santa Fe, Nuevo México.

La planta de El Paso se expandió cuando la empresa comenzó a comercializar

sus medidores en Arizona, California, Nevada y Utah. Con el crecimiento del negocio
en la Costa Oeste, la empresa abrió un tercer centro de distribución en Las Vegas y
apenas hace dos años inauguró una segunda planta de producción en San Bernardino,
California.

Los costos de manufactura difieren entre las plantas de producción de la

empresa. El costo de cada medidor fabricado en la planta de El Paso es de $10.50. La
planta de San Bernardino utiliza equipo más nuevo y eficiente; como resultado, los
costos de manufactura son $0.50 por medidor menos que en la planta de El Paso.

Debido al rápido crecimiento de la empresa, no se ha presentado mucha

atención a la eficiencia del sistema de distribución, pero la gerencia de la empresa
decidió que es el momento de enfrentar este problema. El costo de enviar un medidor
desde cada una de las tres plantas a cada uno de los centros de distribución se
muestra en la tabla siguiente:

Centro de distribución
Planta Fort Worth Santa Fe Las vegas
El Paso $3.20 $2.20 $4.20
San Bernardino ---------- $3.90 $1.20

Costos de envío por unidad desde las plantas de producción a los centros de
distribución (en dólares)

La capacidad de producción trimestral es 30,000 medidores en la vieja planta

de El Paso y 20,000 en la planta de San Bernardino. Observe que no se permiten
envíos desde la planta de San Bernardino al centro de distribución de Fort Worth.

199
 La empresa da servicio a nueve zonas de clientes desde los tres centros de
distribución. El pronóstico de la cantidad de medidores que se necesitan en cada zona
de clientes para el trimestre siguiente se muestra en la tabla siguiente:

Zona de Demanda
clientes (medidores
Dallas 6,300
San Antonio 4,880
Wichita 2,130
Kansas City 1,210
Denver 6,120
Salt Lake City 4,830
Phoenix 2,750
Los Ángeles 8,580
San Diego 4,460

Pronóstico de la demanda trimestral.

El costo de envío por unidad desde cada centro de distribución a cada zona de
clientes se proporciona en la tabla siguiente; observe que algunos centros de
distribución no pueden dar servicio a ciertas zonas de clientes.

En el sistema de distribución actual, la demanda en las zonas de clientes de

Dallas, San Antonio, Wichita y Kansas City se satisface por medio de envíos desde el
centro de distribución de Fort Worth. Asimismo, las zonas de clientes de Denver, Salt
Lake City y Phoenix reciben servicio del centro de distribución de Santa Fe y las zonas
de clientes de los Ángeles y San Diego son atendidas por el centro de distribución de
Las Vegas.

Como estudiante del área de ingeniería realice las recomendaciones para

mejorar el sistema de distribución. Elabore el diagrama de red del problema, el
modelo de programación lineal, el modelo en hoja electrónica de cálculo, el diagrama
de red óptima y la solución óptima del modelo de programación lineal.

Solución:

El modelo de red que representa el sistema de distribución, se muestra a

continuación:

200
 30,000 20,000

EL PASO
SAN (Plantas)
BERNA..

(Almacenes)

FORT SANTA LAS

WORTH FE VEGAS

6.0 5.2
3.1 5.4 2.5
3.3 2.4
2.1 6.0 2.1
0.3 2.7
4.7 3.3 2.7
5.4 4.5 4.4 3.4

SAN KANSAS SALT LOS SAN

DALLAS WICHITA DENVER PHOENIX
ANTONIO CITY LAKE ÁNGELES DIEGO

2,130 1,210 6,120 4,830 2,750 8,580 4,460

6,300 4,880

(Demandas)

De acuerdo a Bris (2011). El modelo de transbordo puede formularse de la siguiente

manera:

𝑚𝑚 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 + � � 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑖𝑖=1 𝑘𝑘=1 𝑘𝑘=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:

Oferta:
𝑟𝑟

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚
𝑘𝑘=1

Demanda:
𝑟𝑟

� 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛
𝑘𝑘=1

Ecuación de balance oferta demanda:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Condiciones de no negatividad:

201
 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚; 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑟𝑟

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 0, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑟𝑟; 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛

La formulación de programación lineal para el problema de sistema de distribución

(En formato Lindo):

MIN 13.7EPFW + 12.7EPSF + 14.7EPLV + 13.9SBSF + 11.2SBLV + 0.3FWDA +

2.1FWSA + 3.1FWWI + 4.4FWKC + 6.0FWDE + 5.2SFDA + 5.4SFSA + 4.5SFWI +
6.0SFKC + 2.7SFDE + 4.7SFSL + 3.4SFPH + 3.3SFLA + 2.7SFSD + 5.4LVDE + 3.3LVSL +
2.4LVPH + 2.1LVLA + 2.5LVSD

Sujeto a:

1) EPFW + EPSF + EPLV < 30000

2) SBSF + SBLV < 20000
3) FWDA + FWSA + FWWI + FWKC + FWDE - EPFW = 0
4) SFDA + SFSA + SFWI + SFKC + SFDE + SFSL + SFPH + SFLA + SFSD
- EPSF - SBSF = 0
5) LVDE + LVSL + LVPH + LVLA + LVSD - EPLV - SBLV = 0
6) FWDA + SFDA = 6300
7) FWSA + SFSA = 4880
8) FWWI + SFWI = 2130
9) FWKC + SFKC = 1210
10) FWDE + SFDE + LVDE = 6120
11) SFSL + LVSL = 4830
12) SFPH + LVPH = 2750
13) SFLA + LVLA = 8580
14) SFSD + LVSD = 4460

Todas las variables ≥0

202
La solución para el problema de distribución, utilizando Lindo, se muestra a
continuación:

VARIABLE VALOR VALO DE LA FUNCIÓN

EPFW 14,520
EPSF 6,740
EPLV 0
SBSF 0
SBLV 20,000
FWDA 6,300
FWSA 4,880
FWWI 2,130
FWKC 1,210
FWDE 0
SFDA 0
SFSA 0 $600,942
SFWI 0
SFKC 0
SFDE 6,120
SFSL 0
SFPH 0
SFLA 0
SFSD 620
LVDE 0
LVSL 4,830
LVPH 2,750
LVLA 8,580
LVSD 3,840

El diagrama de flujo óptimo para el problema del sistema de distribución, se muestra

a continuación:

203
 30,000 20,000

SAN
EL PASO
BERNA..

FORT SANTA LAS

WORTH FE VEGAS

SAN KANSAS SALT LOS SAN

DALLAS WICHITA DENVER PHOENIX
ANTONIO CITY LAKE ÁNGELES DIEGO

2,130 1,210 6,120 4,830 2,750 8,580 4,460

6,300 4,880

A continuación, se proporciona un resumen de la solución óptima:

Costos A Cualquier centro de distribución

Costos de manufactura $423,230
Costo de envío $177,712
Costo total $600,942

Variables de decisión:

Ruta Unidades Ruta Unidades

El Paso-Fort Worth 14,520 Santa Fe - San Antonio 0
El Paso-Santa Fe 6,740 Santa Fe - Wichita 0
El Paso –Las Vegas 0 Santa Fe - Kansas City 0
San Bernardino-Santa 0 Santa Fe - Denver 6,120
San Bernardino-Las 20,000 Santa Fe - Salt Lake 0
Fort Worth -Dallas 6,300 Santa Fe - Phoenix 0
Fort Worth - San 4,880 Santa Fe - Los Ángeles 0
Fort Worth - Wichita 2,130 Santa Fe - San Diego 620
Fort Worth - Kansas 1,210 Las Vegas - Denver 0
Fort Worth - Denver 0 Las Vegas - Salt Lake 4,830
Santa Fe -Dallas 0 Las Vegas - Phoenix 2,750

204
Discusión:

Permitir que los clientes sean atendidos por cualquier centro de distribución reduce
el costo total a $ 600,942; el costo total consiste en $ 423,230 de costo de fabricación
y $ 177,712 de costo de envío. Se trata de una disminución del 3.19% en el costo total
y una disminución de 8.42% en el costo de envío. Solamente un cliente, San Diego, es
servido por más de un centro de distribución.

205
Problema No. 4

Un problema de redes sobre la ruta más corta

Considere el siguiente ejemplo de transporte. Cada fila representa un camino
(arco) entre dos ciudades (nodos). Las ciudades se identifican por letras y la distancia
en kilómetros entre las ciudades se proporciona. Para este ejemplo, debemos asumir
que todas las carreteras son de una sola vía desde la primera ciudad listada a la
segunda. Estas referencias se recolectan en el conjunto de datos de la ruta más corta.

Ciudad Ciudad 2 Distancia (Km)

A B 6.8
A D 6.2
B C 9.1
B D 8.5
B E 7.2
C E 10.3
D E 8.8
D F 5.6
E F 2.5
E G 9.4
F G 12.3

En general, la formulación del problema de trayectoria (distancia) más corta es la

siguiente:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1
Sujeto a:

𝑛𝑛 𝑟𝑟 1,
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑠𝑠 (𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)
� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 − � 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘 =� 0, 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗=1 𝑘𝑘=1 −1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑡𝑡 (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

206
El flujo en red de la ruta más corta se muestra a continuación:

9.1
B C

6.8
10.3
7.2

8.5

9.4
A E G

8.8
6.2

2.5
Origen (+1) D Destino (-1)

12.3
5.6

El modelo de programación lineal par el problema de la ruta más corta del ejemplo,
se plantea de la siguiente forma:

1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒á 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑚𝑚á𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Sea 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = �
0 , 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑖𝑖 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 6.8𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 + 6.2𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 + 9.1𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 8.5𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 7.2𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 10.3𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 + 8.8𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 + 5.6𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷

+ 2.5𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 + 9.4𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 + 12.3𝑥𝑥𝐹𝐹𝐹𝐹

Sujeto a:

Ciudad

(A) 𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1

(B) −𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0

207
 (C) −𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0
(D) −𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 = 0
(E) −𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 = 0
(F) −𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑥𝑥𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0
(G) −𝑥𝑥𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑥𝑥𝐹𝐹𝐹𝐹 = −1

∀ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0

Resolviendo el problema de la ruta más corta utilizando lindo. Se tiene la ruta más
corta siguiente:

Valor de la función objetivo: 23.40

Variable Valor

XAB 1
XAD 0
XBC 0
XBD 0
XBE 1
XCE 0
XDE 0
XDF 0
XEF 0
XEG 1

El diagrama de flujo óptimo para el problema de la ruta más corta se muestra a

continuación:

208
 B C

6.8

7.2

9.4
A E G

Origen (+1) D Destino (-1)

Ruta más corta: A-B-E-G. Distancia total, 23.40 kilómetros

Problema No. 5

Usando Matlab para encontrar la gráfica y la ruta más corta de un problema de red

Encontrar la ruta más corta en una gráfica dirigida. Considere el siguiente ejemplo:

• Definimos el vector fila W de pesos o distancias o costos en los arcos

W = [.41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21];

• Se utiliza el comando sparse para definir la unión de los nodos

DG = sparse ([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1], [2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5], W), obteniéndose el

vector DG:

DG =
(4,1) 0.4500

209
 (6,2) 0.4100
(2,3) 0.5100
(5,3) 0.3200
(6,3) 0.2900
(3,4) 0.1500
(5,4) 0.3600
(1,5) 0.2100
(2,5) 0.3200
(1,6) 0.9900
(4,6) 0.3800

• Se utilizan los comandos view y biograph para obtener la gráfica

h = view (biograph (DG, [],'ShowWeights','on')

El diagrama de flujo óptimo para el problema de la ruta más corta utilizando Matlab

• Determinado la ruta más corta del nodo 1 al nodo 6. Utilizamos el comando de

Matlab, tenemos:

[dist,path,pred] = graphshortestpath(DG,1,6)

dist = 0.9500 (que es la distancia más corta)

210
path = 1 5 4 6 (se define la ruta más corta)

pred = 0 6 5 5 1 4

211
Problema No. 6

Un problema de redes PERT/CPM. Hiller y Lieberman (2015)

Ken Johnston, el gerente de proceso de datos de Stanley Morgan Bank, está planeando
un proyecto para instalar un nuevo sistema de información administrativo. Ahora
está listo para iniciar el proyecto y desea terminarlo en 20 semanas.

Después de identificar las 14 actividades separadas que se necesitan para realizar

este proyecto, así como sus relaciones de precedencia y duraciones estimadas (en
semanas), Ken ha construido la siguiente red de proyecto:

3
4

H
6 D

5 6
A

7
I M 0
0 3

E 4

INICIO B CULMINACIÓN

4
J 5

F N

C
K
4 G
3

6
L

a) Encuentre todas las rutas y longitudes de rutas a través de esta red de proyecto.
¿Cuál de estas rutas es crítica?

b) Encuentre los tiempos más tempranos, los tiempos más lejanos y la holgura de
cada actividad. ¿Ken será capaz de cumplir con el plazo límite si no ocurren
retrasos?

c) Utilice la información del inciso b) para determinar cuál de las rutas es crítica.
¿Qué le dice esto a Ken acerca de en qué actividades debe enfocar más su atención
para mantenerse dentro del programa?

212
d) Utilice la información del inciso b) para determinar cuál será la duración del
proyecto si el único retraso es que la actividad I toma dos semanas adicionales.
¿Qué pasa si el único retraso es que la actividad H toma dos semanas adicionales?
¿Qué pasa si el único retraso es que la actividad J toma dos semanas adicionales?

Solución:

Inciso a)

Inicio - A - D - H - M – Culminación. Longitud = 19 semanas

Inicio - B - E - J - M - Culminación. Longitud = 20 semanas. *Ruta crítica
Inicio - C - F - K - N - Culminación. Longitud = 16 semanas
Inicio - A - I - M – Culminación. Longitud = 17 semanas
Inicio - C - G - L -N - Culminación. Longitud = 20 semanas. *Ruta crítica

Inciso b)

Actividad ES EF LS LF Holgur Ruta crítica

a
Inicio 0 0 0 0 0 Si
A 0 6 1 7 1 No
B 0 3 0 3 0 Si
C 0 4 0 4 0 Si
D 6 10 7 11 1 No
E 3 10 3 10 0 Si
F 4 8 8 12 4 No
G 4 10 4 10 0 Si
H 10 13 11 14 1 No
I 6 11 9 14 3 No
J 10 14 10 14 0 Si
K 8 11 12 15 4 No
L 10 15 10 15 0 Si
M 14 20 14 20 0 Si
N 15 20 15 20 0 Si
Culminación 20 20 20 20 0 Si

Ken Johnston, el gerente de proceso de datos de Stanley Morgan Bank podrá cumplir
con su plazo si no se producen retrasos.

Inciso c)

213
Las rutas críticas son:

Inicio – B – E – J – M- Culminación
Inicio – C – G- L – N – Culminación

Hay que centrar los esfuerzos en aquellas actividades que tiene holgura 0. Los del
camino crítico.

3
4

H
6 D

5 6
A

7
I M 0
0 3

E 4

INICIO B CULMINACIÓN

4
J 5

F N

C
K
4 G
3

Ruta crítica 1: Inicio-B-E-J-M-Culminación

(20 semanas) 6
L
Ruta crítica 2: Inicio-C-G-L-N-Culminación
(20 semanas)
5

Diagrama de red final que muestra las dos rutas críticas.

Inciso d)

Si la actividad I tarda 2 semanas adicionales, no habrá ningún retraso porque su

holgura es de 3 semanas. Si la actividad H toma 2 semanas adicionales, entonces habrá
un retraso de 1 semana porque su holgura es de una semana. Si la actividad J toma 2
semanas adicionales habrá Un retraso de 2 semanas porque no tiene holgura.

214
8. Problemas propuestos.

Problema No. 1

(Ruta más corta). Sierksma y Zwols (2015)

La distancia entre cuatro ciudades se muestra en la siguiente tabla:

Ciudades
1 2 3 4
Ciudad 1 0 6 3 9
Ciudad 2 6 0 2 3
Ciudad 3 3 2 0 6
Ciudad 4 9 3 6 0

Escriba un modelo de programación lineal que pueda usar para determinar la ruta
más corta de la ciudad 1 a la ciudad 4; determine la ruta más corta de la ciudad 1 a la
ciudad 4.

Use un programa de computadora para determinar la ruta más corta.

215
Problema No. 2

(Transbordo). Anderson y Sweeney (2011)

La formulación de programación lineal siguiente es para un problema de transbordo:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 11𝑥𝑥13 + 12𝑥𝑥14 + 10𝑥𝑥21 + 8𝑥𝑥34 + 10𝑥𝑥35 + 11𝑥𝑥42 + 9𝑥𝑥45 + 12𝑥𝑥52

Sujeto a:

𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 − 𝑥𝑥21 ≤ 5

𝑥𝑥21 − 𝑥𝑥42 − 𝑥𝑥52 ≤ 3

𝑥𝑥13 − 𝑥𝑥34 − 𝑥𝑥35 = 6

−𝑥𝑥14 − 𝑥𝑥34 + 𝑥𝑥42 + 𝑥𝑥45 ≤ 2

𝑥𝑥35 + 𝑥𝑥45 − 𝑥𝑥52 = 4

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑖𝑖, 𝑗𝑗

Muestre la representación en red para este problema y resuélvalo utilizando

Microsoft Excel.

216
Problema No. 3

(Asignación). Anderson y Sweeney (2011)

Una empresa utiliza un producto químico llamado Rbase en las operaciones de

producción de cinco divisiones. Sólo seis de sus proveedores cumplen con los
estándares de control de calidad de la empresa, y sólo estos proveedores pueden
producir Rbase en cantidades suficientes para satisfacer a las necesidades de cada
división. La cantidad de Rbase necesaria por cada división y el precio por galón que
cobra cada proveedor son los siguientes:

Demanda (miles de galones) Precio por galón ($)

División Proveedor

1 40 1 12.60
2 45 2 14.00
3 50 3 10.20
4 35 4 14.20
5 45 5 12.00
6 13.00

El costo por galón ($) para el envío desde cada proveedor hasta cada división se
proporciona en la tabla siguiente:

Proveedor
División 1 2 3 4 5 6
1 2.75 2.50 3.15 2.80 2.75 2.75
2 0.80 0.20 5.40 1.20 3.40 1.00
3 4.70 2.60 5.30 2.80 6.00 5.60
4 2.60 1.80 4.40 2.40 5.00 2.80
6 3.40 0.40 5.00 1.20 2.60 3.60

La empresa considera adecuado distribuir contratos entre sus proveedores, de modo

que la empresa se vea menos afectada por los problemas de los proveedores (por
ejemplo, las huelgas de trabajadores o la disponibilidad de recursos). La política de la
empresa requiere que cada división tenga un proveedor separado.

a) Para cada combinación de proveedor – división, calcule el costo total de satisfacer

la demanda de la división.
b) Determine la asignación óptima de proveedores a las divisiones.

217
Problema No. 4

(Transporte). Anderson y Sweeney (2011)

Una empresa fabrica la unidad central de procesamiento (CPU) de una computadora

personal. Las CPU se fabrican en Seattle, Columbus y Nueva York y se envían a
almacenes en Pittsburgh, Mobile, Denver, Los Ángeles y Washington, D.C. para su
distribución posterior. La tabla siguiente muestra la cantidad de CPU disponibles en
cada planta, la cantidad requerida por cada almacén y los costos de envío (dólares por
unidad):

Almacén
Planta Pittsburgh Mobile Denver Los Washington CPU
Ángeles disponibles
Seattle 10 20 5 9 10 9,000
Columbus 2 10 8 30 6 4,000
Nueva York 1 20 7 10 4 8,000
CPU 3,000 5,000 4,000 6,000 3,000 21,000
requeridos

a) Elabore una representación en red para este problema

b) Elabore el modelo de programación correspondiente para este problema

c) Determine la cantidad que debe enviarse desde cada planta a cada almacén para
minimizar el costo total de envío. Use Lindo, Lingo y Excel para resolver el
problema.

d) El almacén de Pittsburgh acaba de incrementar su pedido en 1,000 unidades y la

empresa autorizó a su planta de Columbus aumentar su producción en la misma
cantidad. ¿este aumento en la producción conducirá a un incremento o a una
disminución en los costos totales de envío? Calcule la nueva solución óptima.

218
Problema No. 5

(Ruta crítica). Sierksma y Zwols (2015)

Una compañía ha firmado recientemente un contrato con un autor para publicar y

comercializar un nuevo libro sobre optimización lineal. La administración desea
saber la fecha de finalización más temprana posible del proyecto. Los datos
pertinentes figuran en la tabla siguiente. Un total de ocho actividades, nombradas
como A1, ..., A8, tienen que ser completadas. Las descripciones de estas actividades se
dan en la segunda columna de esta tabla. En la tercera columna se enumeran los
números estimados de semana necesarios para completar las actividades. Algunas
actividades sólo se pueden iniciar cuando otras han finalizado. La última columna de
la tabla lista los predecesores inmediatos de cada actividad.

Actividad Descripción Tiempo Inmediato

A1 Preparación del manuscrito 25 Ninguna
A2 Editar y copiar el manuscrito 3 A1
A3 Corregir las pruebas de página 10 A2
A4 Obtener todos los derechos de autor 15 A1
A5 Diseñar los materiales de 9 A1
mercadotecnia
A6 Elaborar los materiales de 5 A5,A4
mercadotecnia
A7 Producir el libro final 10 A3,A4
A8 Organizar el envío 2 A6,A7

a) Dibuje la red del proyecto de este problema

b) Calcule el tiempo total de finalización del proyecto, junto con los tiempos de inicio
más temprano y tiempo de inicio más tardío de todas las actividades.

c) Calcule el tiempo de terminación más temprano y el tiempo de terminación más

tardío de todas las actividades.

d) ¿Cuál es la ruta crítica del proyecto? ¿Es única?

219
Problema No. 6

(Transbordo). Griva, Nash y Sofer (2009)

Considere la red en la figura siguiente. La usamos para representar el flujo de petróleo

a través de tuberías. Supongamos que se están produciendo 50 barriles de petróleo
en el nodo 1 y que deben ser transportados a través de un sistema de tuberías al nodo
6 y 7 (20 barriles al nodo 6 y 30 barriles al nodo 7). El costo de bombeo de un barril
de petróleo a lo largo de cada uno se marca en la figura. El flujo en cada arco tiene un
límite inferior de cero y un límite superior de 30. El nodo 1 es una fuente y los nodos
6 y 7 son nodos de destino. Los otros nodos son nodos de transbordo. El coste
asociado de transporte se muestra en cada uno de los arcos de la figura.

9 4 -20
2 4 6
12

11

1 8
7

5
15
50

6 3
3 5 7

-30

Elabore el correspondiente modelo de programación lineal de este problema.

Resuelva el modelo de programación lineal utilizando algún programa de
computadora. Determine cuál es el plan de envío óptimo para este problema.

220
Problema No. 7

(Ruta más corta). Anderson y Sweeney (2009)

Una compañía identificó 10 sitios principales de recolección y entrega para los

pasajeros de taxis en la ciudad de Nueva York. En un esfuerzo por minimizar el tiempo
de viaje y mejorar el servicio al cliente y la utilización de la flota de taxis de la empresa,
a la gerencia le gustaría que los conductores de taxis tomarán la ruta más corta entre
sitios siempre que sea posible. Utilizando la red siguiente de carreteras y calles, ¿cuál
es la ruta que un conductor uno debe tomar partiendo del sitio 1 para llegar al sitio
10? Los tiempos de recorrido en minutos se muestran en los arcos de la red. Observe
que hay dos calles de un sentido con la dirección mostrada por las flechas.

15
2 7

4
5
8 2
4

3 5

13 2 7
1 8 10
2 6

15 3
5
4 5
5
10
4

12
9

221
Problema No. 8

(Ruta crítica). Sierksma y Zwols (2015)

La compañía PHP fabrica instrumental médico, y ha decidido abrir una nueva planta.
La gerencia ha identificado once actividades principales del proyecto, para ser
terminado antes de que la producción real pueda comenzar. La dirección también ha
especificado las actividades (los predecesores inmediatos) que deben ser
completadas antes de que una actividad determinada pueda comenzar. Para cada una
de las once actividades, se ha estimado el tiempo de ejecución. En el cuadro a
continuación se indican los resultados

Actividad Descripción Tiempo Predecesor

estimado inmediato
A Seleccionar el personal de Staff 13 Ninguno
B Seleccionar la ubicación 26 Ninguno
C Preparar los planes finales de 11 B
construcción y la distribución
D Seleccionar equipo 11 A
E Trasladar los servicios al sitio 39 B
F Interesados en entrevista e 11 A
instrucciones de llenado
G Compra de equipo 36 C
H Construir el edificio 41 D
I Desarrollar el sistema 16 A
J Instalar el equipo 5 E,G,H
K Capacitar al personal de Staff 8 F,I,J

a) Dibuje la red del proyecto para este problema

b) Formule el modelo de programación lineal de este problema, y resuélvalo

utilizando un programa de computadora

c) Formule el problema dual del problema del inciso b). Demuestre que la solución
del dual corresponde a la longitud más larga de la red del proyecto.

222
d) Calcule el tiempo total de finalización del proyecto, junto con los tiempos de inicio
más temprano y tiempo de inicio más tardío de todas las actividades.

e) Calcule el tiempo de terminación más temprano y el tiempo de terminación más

tardío de todas las actividades.

f) ¿Cuál es la ruta crítica para este problema?

223
Problema No. 9

(Estudio de caso práctico transporte). Lapin y Whisler (1996)

La compañía Textil Internacional, Ltd., se encuentra en Hong Kong, se especializa en

la distribución de textiles a todo el mundo. La compañía está integrada por la familia
del Lao. Los planes del presente son permanecer en el Hong Kong a través de la
transición en el gobierno. Si las personas de la República China desean continuar su
crecimiento económico, la compañía espera usar la base actual al funcionamiento de
la expansión al continente. La compañía Textil Internacional tiene los telares en la
Bahamas, Hong Kong, Corea, Nigeria, y Venezuela, cada tejido de dicha prenda es de
dos fibras como: algodón, poliéster, y/o seda. Los telares atienden a ocho compañías
de distribución localizados cerca del cliente, en centros geográficos de actividad.

Debido a que los costos de transportación históricamente han estado por

debajo del 10% de los gastos totales, la dirección ha prestado poca atención a mejorar
la economía a través de la asignación de ruta adecuadas de embarques, Ching Lao está
volviendo de los Estados Unidos, él ha completado su grado de maestría en
mercadotecnia. Él cree que puede salvar a la compañía Textil Internacional ahorrando
ciento de miles de millones de dólares simplemente con la asignación de ruta óptimas
cada año de los Telares a los centros de la distribución.

Un ejemplo brillante de una asignación inadecuada es la asignación actual de

la producción de telas para el centro de distribución de la ciudad de México
procedente de Nigeria en lugar de partir de Venezuela, con menos de un tercio de la
distancia entre dichas ciudades. De igual forma, el centro de Manila recibe la mayoría
de sus textiles ahora de Nigeria y Venezuela, aunque los telares en el propio Hong
Kong son más cercanos.

Por supuesto, el costo de enviar la tela no depende exclusivamente de la

distancia. La tabla 1 proporciona los costos reales proporcionados al Sr. Lao de la
oficina principal de la compañía. Las demandas de los centros de distribución son
estacionales, para que un nuevo plan del embarque deba hacerse cada mes. La tabla
2 proporciona los requerimientos de tela para el mes de marzo. La compañía textil
Internacional tiene diferentes capacidades en sus telares para producir varios tipos
de tela. La tabla 3 muestra las cantidades que aplican durante el mes de marzo.

224
 Tabla No. 1 Datos de costos de envío (dólares por rollo)
Distribución central
Telares Los Chicago Londres México Manila Roma Tokio Nueva
(fábricas) Ángeles York
Bahamas 2 2 3 3 7 4 7 1
Hong Kong 6 7 8 10 2 9 4 8
Corea 5 6 8 11 4 9 1 7
Nigeria 14 12 6 9 11 7 5 10
Venezuela 4 3 5 1 9 6 11 4

Tabla No. 2 Demandas para el mes de marzo (rollos)

Distribución central
Textil Los Ángeles Chicago Londres México Manila Roma Tokio Nueva
York
Algodón 500 800 900 900 800 100 200 700
Polyester 1,000 2,000 3,000 1,500 400 700 900 2,500
Seda 100 100 200 50 400 200 700 200
Tabla No. 3 Capacidades de producción mes de marzo (rollos)
Capacidades de producción
Fábrica Algodón Polyester Seda
Bahamas 1,000 3,000 0
Hong Kong 2,000 2,500 1,000
Corea 1,000 3,500 500
Nigeria 2,000 0 0
Venezuela 1,000 2,000 0

El sr. Lao quiere fijar la producción y los embarques de tal forma que se reduzcan los
costos para los clientes porque cuando hay capacidad insuficiente y la eficiencia en
las operaciones es menor a la capacidad es cuando la demanda se cae debajo de la
máxima potencia productora.

Usted se ha involucrado en la compañía Internacional y ha decidido ayudar al señor

Lao.

Encuentre la cantidad óptima de embarques a fijar en marzo y su costo de

transportación total para cada uno de los siguientes telares o productos fabricados:

a) Algodón

b) Tela de poliéster

c) Seda

225
Problema No. 10

(Ruta crítica). Lapin y Whisler (1996)

Los datos para la construcción de una casa se muestran en la siguiente tabla:

Actividad Descripción Actividad Tiempo esperado para

A Clasificar Ninguna 3
B Excavar Ninguna 4
C Decorar B 1
D Cimientos A,C 2
E Vigas del piso D 3
F Instalación hidráulica A,C 3
G Piso E,F 2
H Instalación eléctrica D 1
I Paredes G 10
J Cableado H,I 2
K Líneas de comunicación J 1
L tuberías I 5
M Ventanas L 2
N Puertas L 2
O Tabla roca K,L 3
P Detalles interior N,O 5
Q Detalles exterior N 4
R Pintura M,P,Q 3
S Alfombra R 1
T Inspección del comprador S 1

a) Dibuje la red del proyecto para este problema

b) Calcule el tiempo total de finalización del proyecto, junto con los tiempos de inicio
más temprano y tiempo de inicio más tardío de todas las actividades.

c) Calcule el tiempo de terminación más temprano y el tiempo de terminación más

tardío de todas las actividades.

d) ¿Cuál es la ruta crítica para este problema?

226
9. Conclusiones de capítulo

Existen varios tipos de modelos de programación lineal que exhiben una

estructura especial que pueden ser utilizados para la construcción de algoritmos
eficientes para su solución. La motivación para aprovechar su estructura
generalmente ha sido la necesidad de resolver problemas más grandes de lo que
de otra manera no sería posible resolver con la tecnología informática existente.

Históricamente, la primera de estas estructuras especiales a analizar era el

problema de transporte, que es un tipo particular de problema de red. El
desarrollo de un procedimiento de solución eficiente para este problema dio lugar
a la primera aplicación generalizada de la programación lineal a problemas de
logística industrial.

Más recientemente, el desarrollo de algoritmos para resolver eficientemente

sistemas de redes se ha convertido en una preocupación importante en la
programación matemática aplicada.

Los modelos de red son posiblemente aún los más importantes modelos con
una estructura especial en la programación lineal. En este capítulo examinamos
las características de los modelos de red, formulamos algunos ejemplos de estos
modelos y utilizamos un enfoque para su solución.

El enfoque presentado aquí se deriva simplemente de especializar las reglas

del método simplex para aprovechar la estructura de los modelos de red.

Los algoritmos resultantes son extremadamente eficientes y permiten la

solución de modelos de red tan grandes que resultan imposibles de resolver
mediante procedimientos de programación lineal ordinarios.

En este capítulo se presentaron los problemas de transporte, el problema de

asignación, el problema de transbordo, el problema de la ruta más corta, y,
finalmente, los problemas de red PERT-CPM o el método de la ruta crítica.

El procedimiento PERT/CPM para planear, programar y controlar una amplia

variedad de proyectos. La clave de este procedimiento de programación de
proyectos es el desarrollo de una red de proyecto PERT/CPM que ilustra las
actividades y sus relaciones de precedencia. Con esta red y las estimaciones de
tiempo y actividad, pudieron identificarse la ruta crítica de la red y las actividades
críticas asociadas.

227
 Durante el desarrollo del último tema, pudieron identificarse un programa de
actividades que mostraron los tiempos de inicio y terminación más tempranos, los
tiempos de inicio y terminación más tardíos y la holgura de cada actividad.

Reviste importancia el mencionar los siguiente: en los problemas de redes

PERT/CPM las estimaciones de los tiempos de actividad precisas son importantes
en el desarrollo de un programa de actividades. Sin embargo, cuando los tiempos
de actividad son desconocidos, se precisa abordar el problema con tiempos de
actividad desconocidos, en este caso, se agregan al problema, estimaciones de
tiempo adicional: tiempo optimista, tiempo más probable y tiempo pesimista. Lo
anterior permitirá que el problema de redes se aborde desde un enfoque
diferente. Es decir, tomar en cuenta la incertidumbre al determinar la ruta crítica
y el programa de actividades.

Para este caso, se sugiere abordar en clase, uno o dos problemas con los
alumnos en donde se resuelva un problema con tiempos inciertos que le permitan
comprender de forma amplia parte de la teoría del método del camino crítico.

En esta sección, se utilizaron distintos programas de cómputo, entre ellos:

Lindo, Lingo, Maple, Matlab y Excel.

228
10. Referencias y Bibliografía

• Anderson y Sweeney (2011). Métodos Cuantitativos para los negocios. 11ª.

Edición, Edit. Cengage, México.

• Baker, K. (2005). Optimization Modeling with Spreadsheets, 2nd. Edition.

Edit. Wiley, USA.

• Bazaraa, M., Sherali, H., Jarvis, J. (2010). Linear Programming and Network
Flows, 4th. Edition, Edit. Wiley, USA.

• Bradley, S., Hax, A., Magnanti, T., (2010). Edit. Addison-Wesley Publishing
Company, USA.

• Bris, M. (2011). Transshipment model in the function of cost Minimization

in a logistics system. Recuperado de:
hftp://ftp.repec.org/opt/ReDIF/RePEc/osi/journl/PDF/Interdisciplinary
Management Research VI/IMR6a04.pd
• Griva, Nash y Sofer (2009). Linear and Nonlinear Optimization, 2nd.
Edition, Edit. Siam, USA.

• Hiller y Lieberman (2010). Investigación de operaciones, 9ª. Edición. Edit.

McGraw-Hill, México.

• Lapin y Whisler (1996). Cases in Management Science, Edit. Duxbury Press,

London, UK.

• Obregón, B. (2005). Teoría de redes: el problema de la ruta más corta. Tesis

de maestría, Unam. México.

• Parlar, M. (2000). Interactive Operations Research with Maple, Edit.

Birkhäuser, Boston, USA.

• Sierksma y Zwols (2015). Linear and Integer Optimization: Theory and

Paractice, Edit. CRC Press, London, UK.

229
 Capítulo IV
Programación no lineal

1. Introducción
2. Conceptos básicos de programación no lineal
3. Aplicaciones de la programación no lineal
3.1. Suministro de materia prima (inventarios)
3.2. Manufactura
3.3. Análisis de punto de equilibrio
3.4. Logística
4. Máximos y mínimos
5. Funciones convexas y funciones cóncavas
5.1. Funciones convexas
5.2. Funciones cóncavas
6. Clasificación de los problemas de programación no lineal
7. Ilustración gráfica de problemas de programación no lineal
7.1. Optimización de una variable
8. Búsqueda no restringida
9. Método de la sección dorada
10. Algoritmo de búsqueda de la sección dorada
11. Interpolación cuadrática
12. Método de Newton Raphson
13. Problemas de máximos y mínimos y puntos de inflexión con una sola variable.
Taylor (2007)
14. Método de resolución de modelos de programación no lineal con una sola
variable. Anderson y Sweeney (1993)

230
15. Problemas de programación lineal no restringidos con una sola variable
(Resueltos con Maple)
16. Problemas propuestos de funciones no lineales con una sola variable. Dgarmo,
Sullivan, Bontadelli y Wicks. (1997)
17. Problemas de máximos y mínimos y puntos de inflexión para dos variables.
Miller (2000)
17.1. Derivadas parciales, vector gradiente y matriz Hessiana
17.2. Vectores gradiente
17.3. Matrices Hessiana
17. 4 Máximos y mínimos para funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 )
17.5 Problemas de programación lineal no restringidos para funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 )).
Miller (2000)
17.6. Problemas propuestos de problemas no restringidos de funciones no lineales
de dos variables. Miller (2000). Hidalgo (2017)
18. Modelos de programación no lineal restringidos.
19. Problemas propuestos de programación no lineal restringidos a igualdad.
20. Aplicaciones industriales utilizando modelos de programación no lineal
21. Problemas propuestos
22. Conclusiones del capítulo
23. Referencias y Bibliografía

231
1. Introducción
Numerosas aplicaciones de la programación matemática, incluyendo muchas vistas
en los dos capítulos anteriores, se expresan naturalmente como programas lineales.
Los supuestos o aproximaciones de programación lineal también pueden conducir a
representaciones de problemas apropiadas sobre el rango de variables de decisión
que se están considerando. En distintas ocasiones, sin embargo, las no linealidades en
forma de funciones objetivo no lineales o restricciones no lineales son cruciales para
representar correctamente una aplicación como un programa matemático. En este
tercer capítulo del libro se proporciona un primer paso hacia el enfrentamiento de
problemas no lineales; primero introduciendo varias características de programas no
lineales y entonces tratando dichos problemas que pueden ser resueltos usando
procedimientos especiales. Como consecuencia, las técnicas a discutir son
principalmente basadas en el cálculo.
A medida que se desarrolla nuestra discusión sobre la programación no lineal,
se invita a los alumnos y a los lectores a reflexionar sobre la teoría de la programación
lineal y la teoría de redes que se ha desarrollado anteriormente, contrastando las dos
teorías para entender por qué los problemas no lineales son intrínsecamente más
difíciles de resolver. Al mismo tiempo, debemos tratar de entender las similitudes
entre las dos teorías, en particular porque los resultados no lineales a menudo están
motivados por, y son extensiones directas de, sus análogos lineales.
Las similitudes serán particularmente visibles para el material de este capítulo
donde predominan las técnicas vistas en los dos capítulos anteriores.
Los métodos clásicos de optimización son útiles para encontrar la solución
óptima de funciones continuas y diferenciables. Estos métodos son analíticos y hacen
uso de las técnicas de cálculo diferencial para localizar los puntos óptimos. Dado que
algunos de los problemas prácticos implican funciones objetivas que no son continuas
y / o diferenciables, las técnicas clásicas de optimización tienen un alcance limitado
en aplicaciones prácticas. Sin embargo, un estudio de los métodos de cálculo de
optimización constituye una base para el desarrollo de la mayoría de las técnicas
numéricas de optimización presentadas en los temas subsecuentes. En este capítulo
presentamos las condiciones necesarias y suficientes para localizar la solución
óptima de una función de una sola variable, una función multivariable sin
restricciones y una función multivariable con restricciones de igualdad y desigualdad.

En la mayoría de las situaciones prácticas, la función objetivo y /o

restricciones son no lineales. El método de solución para tratar con tales problemas
se puede llamar como programación no lineal.

232
 El presente capítulo se centra en la programación no lineal aplicada. Se
presenta una introducción general que discute varios aplicaciones industriales o
gerenciales. Se utilizan conceptos clave como funciones convexas y funciones
cóncavas.

Mediante un conjunto de ejemplos se explican las funciones para variables

simples y variables múltiples. Si bien la programación no lineal es muy extensa, los
alcances del tema se acotan a lo establecido en el programa de estudios de la carrera
de ingeniería en sistemas computacionales. Sin embargo, hay casos especiales que
pueden ser abordados en estudios superiores, como el caso especial de programación
no lineal entera o la programación geométrica. En ese sentido, se espera que el
presente libro será una útil referencia o un libro de texto para profesionales y
estudiantes de distintas carreras en el campo de la ingeniería, por ejemplo, ingeniería
industrial, ingeniería en sistemas computacionales, ingeniería en gestión
empresarial, e inclusive, personas interesadas en cursar en algún momento de su vida
un programa en el campo de la investigación de operaciones o de la ciencia de la
gestión.

233
2. Conceptos básicos de programación no lineal

Cualquier problema de optimización consiste esencialmente en una función objetivo

(o criterio). Dependiendo de la naturaleza de la función objetivo, existe la necesidad
de maximizar o minimizar eso. Por ejemplo,

a) Maximizar el beneficio
b) Maximizar la fiabilidad de un equipo
c) Minimizar el costo
d) Minimizar el peso de un componente o determinada estructura de ingeniería,
Etcétera
Si se imponen ciertas limitaciones o restricciones, se hace referencia a un problema
de optimización restringida. En ausencia de las limitaciones, es un problema no
restringido.
Los métodos de la programación lineal son útiles cuando la función objetivo y el
conjunto de restricciones son funciones lineales, tales problemas pueden ser
resueltos utilizando el algoritmo simplex. La programación no lineal puede presentar
los siguientes casos:
a) Función objetivo no lineal y restricciones lineales
b) Función objetivo lineal y restricciones no lineales
c) Función objetivo no lineal no restringida

234
3. Aplicaciones de la programación no lineal

En el escenario industria de negocios, existen numerosas aplicaciones de la

programación no lineal. Algunas de estas aplicaciones son las siguientes:

3.1. Suministro de materia prima (inventarios)

Las industrias procuran contar regularmente con las materias primas o los insumos
y /o componentes. Éstos se obtienen frecuentemente en tamaños de lote adecuados.
El costo anual total oportuno es la suma del costo de ordenar y el costo de
mantenimiento del inventario. Si el tamaño del lote es grande, entonces hay un menor
número de órdenes en un año y por lo tanto el costo anual de ordenar. Pero al mismo
tiempo, el costo de mantenimiento del inventario se incrementa. Considerando la tasa
de demanda constante, la función de costo total es no lineal, tal como se muestra en
la figura No. 1 siguiente:

Hay un tamaño correspondiente de lote apropiado del inventario en el cual el

costo anual total está en el nivel mínimo. Después de formular la función no lineal
de costo total en términos del tamaño del lote, se optimiza para evaluar la cantidad
a adquirir deseada. Esta cantidad puede adquirirse periódicamente en cuanto la
cantidad se acerque a nivel cero.

Costo
Total

Tamaño de Lote

Figura No. 1. Función de costo total con referencia al tamaño de lote

3.2. Manufactura

Si una máquina o instalación está configurada para un tipo particular de producto,

entonces está lista para producir esa unidad. El costo de la instalación puede incluir
salarios de los ingenieros y trabajadores durante ciertos períodos de tiempo,

235
mientras se está configurando la máquina. Además de esto, el costo de las pruebas de
ejecución, etc., si las hay, pueden ser tomados en consideración.

Cualquier número de artículos pueden ser fabricados en una configuración antes de

que se cambie para otra variedad de productos. Hay menos número de
configuraciones en un año si la cantidad producida por configuración de unidad, son
más. Se necesita un gran número de configuraciones en el caso de que haya menos
número de unidades fabricadas y, en consecuencia, el costo anual de instalación será
alto. Esta relación entre el costo anual de instalación y la cantidad se muestra en la
Figura No. 2.

Costo anual
de
Instalación

Cantidad

Figura No. 2. Variación del coste de instalación con respecto a la cantidad

3.3. Análisis de punto de equilibrio

Para el buen funcionamiento de cualquier industria, es de interés conocer el nivel de

producción en el que no hay ganancia, y ninguna pérdida. Esto se conoce como punto
de equilibrio. Si la cantidad fabricada y vendida es menor que este punto, hay
pérdidas.

Los beneficios se obtienen si la cantidad producida y comercializada es mayor

que el punto de equilibrio. El análisis de punto de equilibrio es la interacción de los
ingresos por ventas y el costo total, donde el costo total es la suma del costo fijo y el
costo variable.

El costo fijo se refiere a las inversiones realizadas en bienes de capital tales

como maquinaria e instalaciones o infraestructura. El costo variable se refiere al costo
real de producción y es proporcional a la cantidad producida.

236
 La línea de costo total se muestra en la Figura No. 3 junto con los ingresos por
ventas. Los ingresos por ventas son la multiplicación de la cantidad vendida por el
precio de venta por unidad.

Ingresos por ventas

Costo total

Ventas
Ingresos/ Costo
Costos variables
Total

Costos fijos

Punto de equilibrio cantidad fabricada y vendida

Figura No. 3. Interacción del costo total lineal y los ingresos por venta

El costo total en la figura No. 3 se muestra como una función lineal. Sin
embargo, en la práctica, y dependiendo de la naturaleza del costo variable y de
otros factores, el costo total puede ser representado como una función no
lineal como se muestra en la figura No. 4.

Ventas Costo total

Ingresos/ Costo
Total Ingresos por ventas

Costos fijos

q1 q2 Cantidad

Figura No. 4. Interacción entre el costo total no lineal y los ingresos por venta.

237
La función de costo total no lineal y la línea de ingresos por ventas se intersecan en
dos puntos, correspondientes a la cantidad q1 y q2. Por lo tanto, existen dos puntos
de equilibrio en el rango visible de la cantidad. Como el beneficio es igual = ingreso
de ventas - costo total, es cero si se produce y se vende la cantidad q1 o q2. Hay cierta
cantidad que es más que q1 e inferior a q2, en la que se puede lograr el máximo
beneficio.

En situaciones más complejas, tanto el costo total como las funciones de ingresos por
ventas pueden ser no lineales.

3.4. Logística

La logística se asocia con la entrega oportuna de bienes y servicios en los lugares

deseados. Un producto acabado requiere materias primas, componentes y diferentes
elementos de entrada. Todos ellos son necesarios en determinado momento, y, por lo
tanto, el transporte de ellos, se convierte en un problema significativo. El costo de
transporte debe ser incluido en los modelos de forma explícita. De igual forma, el
envío efectivo y adecuado de los artículos terminados es importante para satisfacer
las necesidades del cliente con el objetivo central de minimizar los costos totales. La
entrada y salida de los artículos terminados se muestra en la figura No. 5.

El apoyo logístico juega un rol importante en la gestión de la cadena de

suministros. El énfasis en la cadena de suministros está en la integración de varias
actividades incluyendo la adquisición, la fabricación, el envío de artículos finales a los
almacenes o distribuidores, transporte, etc.

En la formulación del modelo de programación no lineal, se deberá de incluir

la producción, los ítems de entrada, la frecuencia de las órdenes, entre otros aspectos
del costo total.

Cuando existe descuento por adquisición de determinados productos, fruto de los

periodos estacionales, la empresa toma ventajas de este momento, para comprar en
grandes volúmenes, de tal forma que el descuento por la compra sea efectivo. En ese
sentido, se puede maximizar el costo beneficio potencial.

238
 PROVEEDORES

ELEMENTOS DE ENTRADA

ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL

ARTÍCULOS TERMINADOS

CLIENTES

Figura No. 5. Entradas y salidas de los elementos del sistema

En la siguiente parte se analizan algunas aplicaciones de la vida real en las que se

formula una función objetivo no lineal. Estas funciones se maximizan o minimizan
dependiendo del caso. El concepto de máximo y mínimo se explican a continuación.

239
4. Máximos y mínimos

Considere una cualquier función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) como se muestra en la figura No. 6. Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se
define en el intervalo de 𝑥𝑥, [𝐴𝐴, 𝐵𝐵]. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiene su valor máximo en 𝑥𝑥 ∗ que es óptimo.

F(x)

A X* B

Figura No. 6. Una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

La figura No. 7, representa el comportamiento de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se define

en el intervalo de 𝑥𝑥, [𝐴𝐴, 𝐵𝐵]. Tres puntos máximos son visibles, marcados como 1, 2 y
3. Estos puntos son definidos como máximos locales o máximos relativos.

Figura No. 7. Máximos/mínimos locales y globales

El punto 2 de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), que se encuentra entre los puntos 1 y 3 es el valor

máximo. Este punto se denomina máximo global. Los puntos y 3 son llamados
máximos locales.

240
Similarmente, los puntos 4 y 5 son puntos mínimos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥). El punto 4 es un mínimo
global. El punto 5 es un mínimo local o relativo.

También se suele llamar a los máximos o mínimos locales como extremos locales.

Para un máximo o un mínimo,

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)
=0
𝑑𝑑𝑑𝑑

Para la optimización, la derivada de segundo orden debe ser negativa, en el caso de

máximos y positiva en el caso de mínimos, por ejemplo:

𝑑𝑑 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
< 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
y
𝑑𝑑2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
> 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑑𝑑𝑑𝑑 2

Un ejemplo numérico que nos permite observar los máximos y mínimos global y
cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋)
locales del de la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 0.15 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1.75. La figura No. 8
𝑥𝑥
muestra la gráfica de la función

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝜋𝜋𝜋𝜋)
Figura No. 8. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥

241
5. Funciones convexas y funciones cóncavas

5.1. Funciones convexas

Una función no lineal 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se muestra en la figura No. 9. Esta función es de tal
naturaleza que la línea que une cualquiera de los puntos seleccionados en esta
función, nunca estará por debajo de esta función. En otras palabras, viendo la gráfica
desde abajo, esta función o curva se verá convexa.

Función convexa

Figura No. 9. Función convexa

5.2. Funciones cóncavas

La figura No. 10 representa a una función no lineal 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Seleccionando cualesquiera

dos puntos, por ejemplo P y Q. La línea que une P y Q (o cualquier otro punto
seleccionado de la función) nunca estará por encima de esta función 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Esta
función se conoce como función cóncava. Si observamos la gráfica desde la parte
inferior se verá cóncava.

242
 Función cóncava

Figura No. 10. Función cóncava

La diferencia entre funciones entre funciones convexas y cóncavas se muestra en

la tabla No. 1 y tabla No. 2.

Propiedades funciones convexas Gráfica función convexa

1) La línea que une cualquiera de los dos

puntos anteriores nunca estará por
debajo de esta función.

2) 𝛼𝛼𝛼𝛼(𝑥𝑥1 ) + (1 − 𝛼𝛼)𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) ≥ 𝑓𝑓[𝛼𝛼𝑥𝑥1 +

(1 − 𝛼𝛼)𝑥𝑥2 ], 0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 1
Función convexa
3) La derivada de segundo orden no
negativa indica que se trata de una
función convexa

4) Para minimizar una función convexa,

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)
= 0 se obtiene la solución
𝑑𝑑𝑑𝑑
óptima

5) Si -𝑓𝑓(𝑥𝑥) es cóncava, entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es

una función convexa

Tabla No. 1. Propiedades y gráfica de una función convexa

243
 Propiedades funciones cóncavas Gráfica función cóncava

1) La línea que une cualquiera de los dos

puntos anteriores nunca estará por
encima de esta función.

2) 𝛼𝛼𝛼𝛼(𝑥𝑥1 ) + (1 − 𝛼𝛼)𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) ≤ 𝑓𝑓[𝛼𝛼𝑥𝑥1 + (1 −

𝛼𝛼)𝑥𝑥2 ], 0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 1
Función cóncava

3) La derivada de segundo orden no

positiva indica que se trata de una
función cóncava

4) Para maximizar una función cóncava,

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)
= 0 se obtiene la solución óptima
𝑑𝑑𝑑𝑑

5) Si -𝑓𝑓(𝑥𝑥) es convexa, entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una

función cóncava

Tabla No. 2. Propiedades y gráfica de una función cóncava

Ejemplo numérico No. 1 (resolviendo con Maple)

Pruebe que la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = , es una función convexa para valores

positivos de 𝑥𝑥. Encuentre la solución óptima al minimizar 𝑓𝑓(𝑥𝑥). La figura No. 11
muestra la gráfica de la función.

244
Como la segunda deriva es positiva, la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es convexa. Una solución óptima
se obtiene al igualar a cero la primera derivada. El valor positivo de la primera
derivada es 𝑥𝑥 ∗ = 600.

Sustituyendo 𝑥𝑥 ∗ = 600 en 𝑓𝑓(𝑥𝑥), el valor óptimo es: ,

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 600
La gráfica de la función : 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = , cuando 𝑥𝑥 es positiva, se muestra
a continuación:

Figura No. 11. Grafica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = . Función convexa

Ejemplo numérico No. 2 (Resolviendo con Maple)

45,000
Muestre que la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − � � − 2𝑥𝑥, es una función cóncava para valores
𝑥𝑥
positivos de 𝑥𝑥 y obtenga la solución óptima al maximizar 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con los valores
positivos de 𝑥𝑥.

245
Como la segunda deriva es negativa, la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es cóncava. Una solución óptima
se obtiene al igualar a cero la primera derivada. El valor positivo de la primera
derivada es 𝑥𝑥 ∗ = 150.

Sustituyendo 𝑥𝑥 ∗ = 150 en 𝑓𝑓(𝑥𝑥), el valor óptimo es: ,

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −600
45,000
La figura No. 11 muestra la gráfica de la función : 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − � � − 2𝑥𝑥 ,
𝑥𝑥
cuando 𝑥𝑥 es positiva, se muestra a continuación:

246
 45,000
Figura No. 12. Grafica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − � � − 2𝑥𝑥 . Función cóncava
𝑥𝑥

247
6. Clasificación de los problemas de programación no lineal

Con el fin de optimizar la función objetivo no lineal, en la práctica se utilizan varios

métodos. La clasificación actual puede no ser exhaustiva. Sin embargo, dependiendo
de varias consideraciones, estos métodos podemos clasificarse de la siguiente forma:

a) Según el número de variables

i) Optimización de una sola variable

ii) Optimización multivariable, si más de una variable está en la función objetivo

b) Dependiendo del procedimiento de búsqueda

La búsqueda del valor óptimo de cualquier variable comenzará desde un punto inicial
adecuado. Después de cierto número de iteraciones, se espera que el objetivo se
encuentre.

Algunos métodos son los siguientes:

i) Búsqueda no restringida: cuando no hay ninguna noción disponible para el

intervalo en el que puede haber una variable óptima, se realiza una búsqueda
sin restricciones.

ii) Búsqueda restringida.

iii) Método de búsqueda de la sección dorada. Se conoce el intervalo inicial en el

que se encuentra una variable y se optimiza una función unimodal (si solo
tiene un óptimo absoluto o relativo)

iv) Interpolación cuadrática: si cualquier función puede ser aproximada por la

función cuadrática, entonces se obtiene un valor mínimo de 𝑥𝑥 usando: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
Posteriormente este valor mínimo se sustituye en la función real y se
continua un proceso iterativo para alcanzar una precisión deseable.

v) Métodos numéricos

c) Dependiendo de la presencia de restricciones en los modelos de programación no

lineal

Si no hay restricciones en el modelo de programación no lineal, es decir si no se

imponen restricciones a la función objetivo, entonces se denomina optimización sin

248
restricciones. En caso contrario, el problema de programación lineal puede ser el
siguiente: optimización no lineal, sujeto a un conjunto de restricciones del tipo:

La forma más común de un modelo de optimización no lineal es:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝒙𝒙 ∈ 𝐹𝐹,

Donde 𝑓𝑓: 𝐹𝐹 ⟶ 𝑅𝑅 es la función objetivo, 𝐹𝐹 es la región factible, y 𝒙𝒙 es el vector de

variables de decisión. Asumiremos que 𝐹𝐹 ⊆ 𝑅𝑅𝑛𝑛 para algunas 𝑛𝑛 ≥ 1 enteras, y por lo
tanto 𝒙𝒙 es un vector de 𝑛𝑛 números reales.

Asumimos que el conjunto 𝐹𝐹 puede describir el conjunto de restricciones lineales o

no lineales de la forma:

𝑔𝑔𝑗𝑗 (𝑥𝑥) = 0 (𝑗𝑗 = 1, … , 𝑝𝑝) y la restricción de desigualdad ℎ𝑘𝑘 (𝑥𝑥)(≥, ≤)0 (𝑘𝑘 = 1, … , 𝑞𝑞)
asumiremos que las funciones 𝑓𝑓, 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑦𝑦 ℎ𝑘𝑘 (𝑗𝑗 = 1, … , 𝑝𝑝, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑞𝑞) son funciones
diferenciales y continuas.

El conjunto 𝐹𝐹 se expresa de la siguiente forma:

𝑔𝑔𝑗𝑗 (𝑥𝑥)=0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗=1,…,𝑝𝑝

𝐹𝐹 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 � ℎ𝑘𝑘 (𝑥𝑥)≤0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑘𝑘=1,…,𝑞𝑞
�

En consecuencia, un modelo de programación no lineal con restricciones puede

escribirse en la forma siguiente:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Sujeto a:

𝑔𝑔𝑗𝑗 (𝑥𝑥) = 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑝𝑝

ℎ𝑘𝑘 (𝑥𝑥) ≤ 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑞𝑞

d) Requisito de integralidad para las variables

Normalmente las soluciones obtenidas para un problema de optimización dan

valores en fracciones tales como 14.3, 201.57, etc. Mientras que, en muchas
aplicaciones de la vida real, las variables óptimas deben evaluarse en términos de
enteros exactos. Ejemplos pueden ser:

i) ¿Cuántos empleados recomendables se necesitan?

ii) Número de componentes necesarios para la fabricación, que se utilizarán

posteriormente en el ensamblaje de cualquier producto acabado.

249
iii) Número de ciclos para la adquisición de insumos o materias primas en el
contexto de la gestión de la cadena de suministro.

iv) Un número óptimo de ciclos de producción en un año para que el costo mínimo
total pueda ser alcanzado.

Los problemas de programación con números enteros no lineales pueden clasificarse

de la siguiente manera:

1) Problemas de optimización con todas las variables enteras

Es el caso en donde todas las variables de diseño son necesarias. A este caso se le
denomina optimización entero puro.
2) Problemas de optimización entera mixta

En este caso, no es necesario obtener el valor entero óptimo de todas las variables. El
requisito de integridad se justifica solo para algunas variables. En otras palabras,
algunas variables de un conjunto pueden tomar valores continuos, mientras que los
restantes pueden tener valores enteros.

Los descrito anteriormente, puede resumirse brevemente en la siguiente figura No.

12

Busqueda
irrestricta

Método de la
sección oro
Optimización de
una variable
Interpolación
cuadrática

Método de
No restringida
Newton Rapson

Métodos
dicotómicos
Optimización
multivariable
Método
Programación no univariado
lineal/métodos
de solución
Optimización de Métodos de
una variable búsqueda

Restringida Métodos de
penalización de
Optimización la función
Aplicación multivariable
específica Métodos de
Lagrange

Figura No.12. Breve clasificación de los modelos de programación no lineal y sus métodos de solución

250
7. Ilustración gráfica de problemas de programación no lineal

7.1. Optimización de una variable

Si una función cualesquiera 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiene solo una variable, su maximización o

minimización se referirá a un problema univariable, por ejemplo:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 2

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥

Estos son problemas de optimización de una sola variable sin restricciones. Si se

imponen ciertas limitaciones, como:

a) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 2

Sujeto a:
𝑥𝑥 ≥ 0.3

b) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥

Sujeto a:
𝑥𝑥 ≤ 0.15

Esto dará origen a un problema de optimización de una variable con limitaciones.

De hecho, es posible agregar restricciones a un problema de optimización no

restringido de una variable después de obtener el valor óptimo de una función.

Existen varios métodos para resolver un problema de optimización no restringido

con una variable, algunos de los que se abordarán en este libro son:

1) Búsqueda irrestricta

2) Búsqueda de la sección oro

3) Interpolación cuadrática

4) Método de Newton Raphson

251
8. Búsqueda no restringida

Cuando no hay idea del intervalo en la que puede encontrarse una variable que sea
óptima, la búsqueda del óptimo es irrestricta. Se necesita un punto inicial adecuado
para iniciar el procedimiento de búsqueda. En la figura No. 13, se muestra un punto
óptimo mediante el valor símbolo 𝑥𝑥 . Supongamos que el valor inicial es 𝑥𝑥 = 0 desde
donde se iniciará una búsqueda. Es como tratar de encontrar una dirección en una
ciudad desconocida.

A partir del punto inicial, es decir, 𝑥𝑥 = 0, se ha de decidir si se mueve en dirección

positiva o negativa. El valor de 𝑥𝑥 se incrementa o disminuye en la longitud adecuada
hasta que no se obtiene un rango cercano a 𝑥𝑥, en la que pueda encontrarse un óptimo.
Se obtiene un óptimo correcto en este intervalo acotado usando un valor de longitud
más pequeño.

Figura No. 13. Búsqueda de un punto óptimo con longitud 𝑆𝑆

Ejemplo numérico No. 3. (Resolviendo con Maple y con el algoritmo de

búsqueda no restringida)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 , considerando el punto inicial 0 y una longitud de 0.1.

Graficando la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con Maple, se tiene la siguiente Figura No. 14.

252
 Figura No. 14. Gráfica de la función = en el intervalo −3.03 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3.03
Resolviendo el problema mediante búsqueda no restringida:

Como la longitud del intervalo es 0.1, el valor de 𝑥𝑥 en dirección negativa es 0 – 0.1 = -

0.1 y su valor en dirección positiva es 0 + 0.1 = + 0.1

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2

0 0
−0.1 −0.48
0.1 0.32

Como el objetivo es maximizar y 0.32 > − 0.48, es razonable proceder en dirección

positiva.

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2

0 0
0.1 0.32
0.2 0.48
0.3 0.48

𝑓𝑓 (0.3) no es mayor que 𝑓𝑓 (0.2), por lo tanto, un óptimo correcto puede encontrarse
en el rango cercano de [0.2, 0.3]. A continuación se busca un intervalo de paso más
pequeño, es decir 0.01 a partir de 𝑥𝑥 = 0.2 , después de encontrar la dirección
adecuada.

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2

0.21 0.4872
0.22 0.4928
0.23 0.4968
0.24 0.4992
0.25 0.5000
0.26 0.4992

253
Por lo tanto, 𝑓𝑓(0.26) no es mayor que 𝑓𝑓(0.25), por lo que el valor de 𝑥𝑥 = 0.25 hace
máxima a nuestra función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5.

Verificando con Maple:

Por lo que se comprueba que el procedimiento del método es adecuado para

problemas de este tipo. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 0.25
La figura No. 15 muestra el punto en donde la función derivada pasa por el valor de 𝑥𝑥
es igual a 0.25, y tiene un valor máximo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5

Figura No. 15. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 y su derivada.

Ejemplo numérico No. 4 (Resolviendo con Maple)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥, usando un valor inicial de 𝑥𝑥 = 0.5 con una amplitud o
longitud de 0.1 .

Graficando la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con Maple, se tiene la siguiente Figura No. 15.

254
 Figura No. 16. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥 en el intervalo −3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3

Evaluando la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 = 0.5, se tiene que 𝑓𝑓(0.5) = −0.72

Para encontrar una dirección adecuada, se incrementa y disminuye el valor de 𝑥𝑥 con

una amplitud de 0.1.

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥

0.5 -0.720
0.6 −0.384
0.4 −0.896

Como la función tiene tendencia a decrecer en dirección negativa desde el valor inicial
de 0.5, la búsqueda se realiza de la siguiente manera:

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥

0.5 −0.720
0.4 −0.896
0.3 −0.912
0.2 −0.768

Como 𝑓𝑓 (0.2) no es menor que 𝑓𝑓 (0.3), la búsqueda se detiene en este escenario. Se

reinicia desde 𝑥𝑥 = 0.3 con una longitud menor, es decir, disminuimos la amplitud en
0.01, con el objetivo de encontrar una dirección adecuada para la movilidad.

255
En este caso, se tiene:

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥

0.3 − 0.01 = 0.29 −0.9048
0.3 + 0.01 = 0.31 −0.9176

Otra mejora (desde el punto de vista de la minimización) es tomar una dirección

positiva, por lo tanto, el proceso en el intervalo cerrado [0.3, 0.4] nos da una mejor
precisión para obtener la solución del problema. Repetimos el proceso, y tenemos:

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥

0.31 −0.9176
0.32 −0.9216
0.33 −0.9240
0.34 −0.9248
0.35 −0.9240

Como 𝑓𝑓(0.35) no es mayor que 𝑓𝑓(0.34), el proceso se detiene en este estado.

Con este valor, es decir, a partir de 𝑥𝑥 = 0.34, consideramos una longitud o amplitud
de 0.001.

Sumando y restando 0.001 a 𝑥𝑥 = 0.34, se obtiene:

𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥

0.34 − 0.01 = 0.339 −0.92479
0.34 + 0.01 = 0.341 −0.92479

En comparación con 𝑓𝑓(0.34) = −0.9248, no hay mejoras, por lo que el valor que hace
mínima la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥, es 𝑥𝑥 = 0.34. Por lo tanto, 𝑓𝑓(0.34) = −0.9248.

Verificando con Maple, tenemos:

256
Por lo que se comprueba que el procedimiento del método es adecuado para
problemas de este tipo. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 0.5

La figura No. 16 muestra el punto en donde la función derivada pasa por el valor de
𝑥𝑥 es igual a 0.34, y tiene un valor mínimo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −0.9248.

Figura No. 17. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 2 − 5.44𝑥𝑥 en el intervalo −3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 y su derivada.

Es importante mencionar que, en el campo de la ingeniería, existen muchas

situaciones prácticas, que están relacionadas con la determinación del rango inicial
seleccionado para los problemas de programación no lineal, y en el que pueda
encontrarse una variable que sea óptima, dicho rango inicial debe estar disponible,
de tal forma que la búsqueda restringida se acote a ese rango exclusivamente. Por
ejemplo, el diámetro del círculo de paso de un engranaje que se va a montar en el
equipo no puede ser mayor de 200 milímetros. Similarmente, este diámetro no puede
ser inferior a 50 milímetros, dependiendo de varios factores, tales como el rango de
salida deseado, la fabricación, la exactitud y la capacidad de la máquina disponible
para la fabricación del engranaje, etc.

El proceso de búsqueda puede estar restringido al intervalo cerrado de [50, 200]

milímetros desde el principio.

Para ilustrar lo anterior, analicemos el siguiente problema:

Ejemplo numérico No. 5 (Resolviendo con Maple)

257
 Una industria manufacturera elabora múltiples artículos, mediante un proceso
productivo. Cada artículo fabricado se produce mediante diferentes ciclos
productivos. El costo total de producción anual, es la suma de los costos de
mantenimiento del inventario y el costo de instalación de la maquinaria y equipo. Se
estima que la función de costo total, está determinada por la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 +
250/𝑥𝑥.

Donde 𝑥𝑥 es el tiempo de ciclo ordinario por año. El objetivo es minimizar la

función de costo total 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) y evaluar 𝑥𝑥 óptimo para su implementación. Aplicar el
procedimiento de búsqueda como se discutió anteriormente y considerar 𝑥𝑥 = 0.45
año con una longitud del intervalo 0.01 en la primera etapa de la búsqueda.

También resuelva el problema probando si la función es convexa y usando la

propiedad de convexidad. Comente sobre la importancia de los procedimientos de
búsqueda.

Solución:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥, usando un valor inicial de 𝑥𝑥 = 0.45 con una amplitud o
longitud de 0.01 .

Graficando la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con Maple, se tiene la siguiente Figura No. 18.

Figura No. 18. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 − 250/𝑥𝑥 en el intervalo −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2

258
Evaluando la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 = 0.45, se tiene: 𝑓𝑓(0.45) =
1073.06

Entonces 𝑓𝑓(0.46) = 1972.47 < 𝑓𝑓(0.44) = 1074.18, y comparando con 𝑓𝑓(0.45 =

1073.06, tomando los datos en la dirección positiva se observa una mejora en la
utilización de los costos.

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥

0.46 1072.47
0.47 1072.41
0.48 1072.83

A partir de 0.47 y usando una longitud de intervalo de 0.001, se elige la dirección

negativa y se obtienen los siguientes resultados:

𝑥𝑥 0.469 0.468 0.467 0.466 0.465

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥 1072.40 1072.39 1072.3819 1072.3807 1072.384

Por lo tanto, el tiempo de ciclo óptimo 𝑥𝑥 se obtiene como 𝑥𝑥 = 0.466 años y el coste
total relevante de 1072.38

Verificando con Maple, tenemos:

Por lo que se comprueba que el procedimiento del método es adecuado para

problemas de este tipo. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 0.45

La figura No. 19 muestra el punto en donde la función derivada pasa por el valor de 𝑥𝑥
es igual a 0.4662, y tiene un valor mínimo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1072.380.

259
Figura No. 19. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1150𝑥𝑥 + 250/𝑥𝑥 en el intervalo −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 y su derivada en
el mismo intervalo.

Con el fin de probar si la función es convexa, la primera y la segunda derivada de la

función son, respectivamente: y

.
500
> 0 para valores positivos de 𝑥𝑥. Por lo tanto, es una función convexa.
𝑥𝑥 3

Usando las propiedades de convexidad, el óptimo puede obtenerse diferenciando a

𝑓𝑓(x) con respecto de 𝑥𝑥 e igualando a cero, los cálculos realizados con Maple, se
muestran a continuación:

, , , .

El resultado es similar al obtenido mediante el procedimiento de búsqueda.

Discusión:

Sin embargo, en muchos casos, es difícil probar si la función es convexa o cóncava. En

otras palabras, es difícil diferenciar todas las funciones. Las propiedades de la función
convexa o cóncava no pueden usarse para evaluar el óptimo si no es posible
determinar el tipo de función.

En tales situaciones, los procedimientos de búsqueda se vuelven muy importantes

para calcular el valor óptimo.

260
El siguiente ejemplo muestra como es difícil encontrar un punto máximo o mínimo
global cuando la función contiene máximo y mínimos locales y puntos de inflexión. En
la última sección se abordará lo relacionado al tema de máximos y mínimos.

Ejemplo numérico No. 6 (Resuelto con Maple)

Determine los valore máximos y mínimos de la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 5 − 45𝑥𝑥 4 + 40𝑥𝑥 3 + 5

La figura No. 20 se muestra a continuación:

Figura No. 19. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 5 − 45𝑥𝑥 4 + 40𝑥𝑥 3 + 5

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0 , 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 0,1,2

, , , (máximo
relativo)

, , , (mínimo
relativo)

261
 , , Ni máximo, ni mínimo, se procede a calcular la
siguiente derivada.

, en 𝑥𝑥 = 0, 𝑓𝑓’’’(0) = 240, entonces

𝑓𝑓’’’(𝑥𝑥) ≠ 0, entonces ni máximo ni mínimo, es un punto de inflexión.

Verificando con Maple, utilizando la 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑦𝑦 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀.

,
,

262
9. Método de la sección dorada

Este método es adecuado para la situación en la que un máximo se encuentra en el

intervalo dado y la función es unimodal en ese intervalo. Consideremos una función
𝑓𝑓 (𝑥𝑥) como se muestra en la figura No. 20. Existe una gama conocida de puntos
[𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2] en la que se encuentra un 𝑥𝑥 * óptimo.

Figura No. 20. Optimo 𝑥𝑥 ∗ en el rango [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ]

Consideremos a dos puntos 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 en el rango o intervalo [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ], tales que:

𝑥𝑥𝐿𝐿 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑥𝑥𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ𝑎𝑎

Pueden surgir tres posibilidades:

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) , 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ), 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 )

Clasificando en dos, tenemos:

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅)

ii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅)

Tomando el primer caso, por ejemplo, cuando 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) . Esto puede ser cierto o
verdadero en dos situaciones:

a) Cuando 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 están a cada lado de 𝑥𝑥 * óptimo, tal como se muestra en la figura
No. 20.

263
b) Cuando 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 están a un lado de 𝑥𝑥 * óptimo, tal como se muestra en la figura No.
21.

Para ambos casos, lo siguiente es aplicable la siguiente afirmación: «el valor óptimo
debe estar en el rango [𝑥𝑥𝐿𝐿 , 𝑥𝑥2 ] si 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) »

Figura No. 21. Cuando 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 están a un lado de 𝑥𝑥 * óptimo [𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) ]

Ahora tomemos el segundo caso, por ejemplo, cuando (𝑥𝑥𝐿𝐿 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) .

Esto puede ser cierto en las tres situaciones que se muestran en las figuras No. 22(a),
22(b) y 22(c).

Figura No. 22 (a). 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ). 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 se encuentran a cada lado del valor óptimo 𝑥𝑥 *

264
 Figura No. 22 (b). 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ). 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 se encuentran a cada lado del valor óptimo 𝑥𝑥 *

Figura No. 22 (c). 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ). 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 se encuentran en un solo lado del valor óptimo 𝑥𝑥 *

265
10. Algoritmo de búsqueda de la sección dorada

El algoritmo de la búsqueda de la sección dorada se muestra en la figura No. 23 donde

[𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ] es el rango en donde se encuentra el valor óptimo 𝑥𝑥 * y,

𝑟𝑟 = 0.5�√5 − 1� = 0.618034 ≅ 0.618

Este número tiene ciertas propiedades que se analizarán posteriormente.

Figura No. 23. Algoritmo para el método de la sección dorada.

266
Después de inicializar como se indica en la figura No. 23, se siguen los siguientes
pasos:

Paso 1.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) se compara con 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) y dependiendo de esta comparación, debemos
ir al paso 2 o al paso 3.

Paso 2.- Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ), 𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥𝐿𝐿 y 𝑀𝑀 = 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋1 , 𝑥𝑥𝐿𝐿 posterior a 𝑥𝑥𝑅𝑅 y 𝑥𝑥𝑅𝑅 = 𝑋𝑋1 + 𝑀𝑀𝑟𝑟

Ir al paso 1.

Paso 3.- Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ), 𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋𝑅𝑅 𝑦𝑦 𝑀𝑀 = 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋1 , 𝑥𝑥𝑅𝑅 posterior a 𝑥𝑥𝐿𝐿 y 𝑥𝑥𝐿𝐿 = 𝑋𝑋1 + 𝑀𝑀𝑟𝑟 2

Ir al paso 1.

El procedimiento se detiene cuando 𝑀𝑀 es considerablemente pequeño

Ejemplo numérico No. 7. (Resuelto con Maple y con el algoritmo de la sección

dorada)

Utilice el algoritmo de la sección dorada para el encontrar el valor máximo de la

función 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 . Use el rango inicial de [0,0.5] en el que se encuentra el
valor óptimo. La Figura No. 24 muestra la gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Figura No. 24. Grafica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 en el intervalo [0,0.5]

267
 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 = 0.5, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 0.25

La figura No. 25 muestra la gráfica y el punto solución del problema utilizando el

programa Maple.

Figura No. 25. Grafica de la función y su derivada en el

intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1.

Resolviendo el problema utilizando el algoritmo se la sección dorada, se tiene:

Solución:

Ahora [𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ] = [0,0.5]

Paso inicial:

𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥1 = 0, 𝑋𝑋2 = 𝑥𝑥2 = 0.5

𝑀𝑀 = 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋1 = 0.5 − 0 = 0.5

𝑥𝑥𝐿𝐿 = 𝑋𝑋1 + 𝑀𝑀𝑟𝑟 2 = 0 + (0.5 ∗ 0.6182) = 0.19

𝑥𝑥𝑅𝑅 = 𝑋𝑋1 + 𝑀𝑀𝑟𝑟 = 0 + (0.5 ∗ 0.618) = 0.31

Primera iteración

Paso 1

268
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(0.19) = 0.47

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) = 𝑓𝑓(0.31) = 0.47

Cuando se satisface la condición 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅) se aplica el paso no. 3

Paso 3

𝑋𝑋2 = 0.31 𝑦𝑦 𝑀𝑀 = 0.31 – 0 = 0.31, 𝑥𝑥𝑅𝑅 = 0.19 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝐿𝐿 = 0 + (0.31 ∗ 0.6182) =

0.12

Segunda iteración

Paso 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(0.12) = 0.36

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) = 𝑓𝑓(0.19) = 0.47

Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ), el paso 2 es aplicable

Paso 2

𝑋𝑋1 = 0.12 𝑦𝑦 𝑀𝑀 = 𝑋𝑋2 – 𝑋𝑋1 = 0.31 – 0.12 = 0.19

𝑥𝑥𝐿𝐿 = 0.19 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅 = 0.12 + (0.19 ∗ 0.618) = 0.24

Puede observarse que un solo valor de 𝑥𝑥𝐿𝐿 y 𝑥𝑥𝑅𝑅 está cambiando realmente en cada
iteración. Cualquier 𝑥𝑥𝐿𝐿 o 𝑥𝑥𝑅𝑅 tomará el valor previo o anterior de 𝑥𝑥𝑅𝑅 o 𝑥𝑥𝐿𝐿 ,
respectivamente.

En cualquier iteración 𝑖𝑖, el valor de 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 (Valor de 𝑀𝑀 en la iteración, 𝑖𝑖 − 1)

Alternativamente, el valor de 𝑀𝑀 (o el rango en el cual se encuentra el óptimo) en

cualquier iteración 𝑖𝑖 = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖 .

Donde 𝑖𝑖 = 1,2,3..

En iteración 1, 𝑀𝑀 = (0.5 – 0) ∗ 0.618 = 0.31

En iteración 2, 𝑀𝑀 = (0.5 – 0) ∗ 0.6182 = 0.19

269
El proceso iterativo se continúa hasta que 𝑀𝑀 es considerablemente pequeño

Tercera iteración

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1 ∶ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(0.19) = 0.47, 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) = 𝑓𝑓(0.24) = 0.50

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 2 ∶ 𝑋𝑋1 = 0.19 𝑦𝑦 𝑀𝑀 = 0.31 − 0.19 = 0.12 , 𝑥𝑥𝐿𝐿 = 0.24 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑅𝑅

= 0.19 + (0.12 ∗ 0.618) = 0.26

Cuarta iteración

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1: 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓(0.24) = 0.50, 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) = 𝑓𝑓(0.26) = 0.50

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 3: 𝑋𝑋2 = 0.26, 𝑀𝑀 = 0.26 – 0.19 = 0.07, 𝑥𝑥𝑅𝑅 = 0.24, 𝑥𝑥𝐿𝐿

= 0.19 + (0.07 ∗ 0.6182) = 0.22

Quinta iteración

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1: 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝐿𝐿 ) = 𝑓𝑓 (0.22) = 0.49, 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑅𝑅 ) = 𝑓𝑓 (0.24) = 0.50

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 2: 𝑋𝑋1 = 0.22, 𝑀𝑀 = 0.26 – 0.22 = 0.04, 𝑥𝑥𝐿𝐿 = 0.24, 𝑥𝑥𝑅𝑅

= 0.22 + (0.04 ∗ 0.618) = 0.24

El proceso se puede continuar con cualquier precisión deseada.

En la actualidad, el valor de 𝑀𝑀 = 0.04 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 [𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ] = [0.22, 0.26], lo que indica que
el óptimo se encuentra entre los valores de 0.22 𝑦𝑦 0.26.

Teniendo en cuenta que un intervalo pequeño, incluso un promedio entre los valores
de las obras puede ser de 0.24 que está muy cerca de exacta del valor óptimo 𝑥𝑥 ∗ =
0.25 obtenido con la precisión del programa Maple.

En cualquier iteración 𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝐿𝐿 – 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 – 𝑥𝑥𝑅𝑅

Por ejemplo, en la iteración 3,

0.24 – 0.19 = 0.31 – 0.26 = 0.05

270
11. Interpolación cuadrática

Si es posible aproximar cualquier función por una función cuadrática o si está es difícil
diferenciarla, entonces se analiza la función cuadrática para obtener un mínimo. El
mínimo así obtenido se sustituye en la función original que ha de minimizarse y el
proceso se continúa para alcanzar la precisión deseada.

Una función cuadrática es de la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑥𝑥 (Ecuación No. 1)

Tomando tres puntos cualesquiera: 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦 𝑥𝑥3 son seleccionados, y se tiene el
siguiente sistema:

Al resolver estas tres ecuaciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥3), los valores de 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏 se

obtienen de la siguiente manera:

(𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 )𝑓𝑓(𝑥𝑥3 )+(𝑥𝑥2 −𝑥𝑥3 )𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )(𝑥𝑥3 −𝑥𝑥1 )𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )

𝑎𝑎 = − � � (Ecuación No. 2)
(𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 )(𝑥𝑥2 −𝑥𝑥3 )(𝑥𝑥3 −𝑥𝑥1 )

�𝑥𝑥12 −𝑥𝑥22 �𝑓𝑓(𝑥𝑥3 )+�𝑥𝑥22 −𝑥𝑥32 �𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )�𝑥𝑥32 −𝑥𝑥12 �𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )

𝑏𝑏 = � � (Ecuación No. 3)
(𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 )(𝑥𝑥2 −𝑥𝑥3 )(𝑥𝑥3 −𝑥𝑥1 )

Para obtener el valor mínimo de la función (𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑥𝑥, se utiliza el criterio
de la derivada, obteniéndose:

, también, (Ecuación No. 4). Por lo tanto:

𝑏𝑏
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑥𝑥 ∗ = − (Ecuación No. 5)
2𝑎𝑎

Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación No. 5, se obtiene:

1 �𝑥𝑥12 −𝑥𝑥22 �𝑓𝑓(𝑥𝑥3 )+�𝑥𝑥22 −𝑥𝑥32 �𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )�𝑥𝑥32 −𝑥𝑥12 �𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )

𝑥𝑥 ∗ = � � (Ecuación No. 6)
2 (𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 )𝑓𝑓(𝑥𝑥3 )(𝑥𝑥2 −𝑥𝑥3 )𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )(𝑥𝑥3 −𝑥𝑥1 )𝑓𝑓(𝑥𝑥2)

271
Este mínimo 𝑥𝑥 ∗ se utiliza en el proceso iterativo. Tres puntos 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑥𝑥3 , así como sus
correspondientes valores en la función, son necesarios para determinar el valor
óptimo 𝑥𝑥 ∗ .

El procedimiento consiste en proporcionar un punto inicial 𝑥𝑥1 . Entonces 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ∆,

donde ∆ es la longitud de paso.
Como el objetivo es minimizar, un tercer punto 𝑥𝑥3 se selecciona como sigue:

i) 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥1 − ∆, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )

ii) 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2 + ∆= 𝑥𝑥1 + 2∆, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )

Ejemplo numérico No. 8 (Resuelto con Maple y con el algoritmo de

interpolación cuadrática)

Obtener el valor mínimo de la siguiente función usando interpolación cuadrática.

300
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1200𝑥𝑥 +
𝑥𝑥

Comenzar con el punto inicial 𝑥𝑥1 = 0.3 y una longitud de paso de ∆= 0.1

Solución: (resolviendo primero de forma directa con el programa Maple)

La gráfica de la función , se muestra a continuación:

272
 Figura No. 26. Gráfica de la función en el intervalo −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1

𝑥𝑥 ∗ = 0.50, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ ) = 1,200

Utilizando interpolación cuadrática: 𝑥𝑥1 = 0.3 y una longitud de paso de ∆= 0.1.

Solución:
Primera iteración

Ahora, 𝑥𝑥1 = 0.3 𝑦𝑦 𝑓𝑓(0.3) = 1,360, 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ∆= 0.3 + 0.1 = 0.4 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) = 1,230

Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) , 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥1 + 2∆ = 0.5, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥3 ) = 1,200

De la ecuación No. 6, se tiene que : 𝑥𝑥 ∗ = 0.48, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ ) = 1,201

Segunda iteración

Entonces, 𝑥𝑥 ∗ = 0.48 puede reemplazar el valor inicial de 𝑥𝑥1

Ahora, 𝑥𝑥1 = 0.48, 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) = 1201, 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ∆= 0.48 + 0.1 = 0.58 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) =
1,213.24

Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ), 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥1 − ∆ = 0.48 − 0.1 = 0.38, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥3 ) = 1,245.47

De la ecuación No. 6, se tiene que: 𝑥𝑥 ∗ = 0.508, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ ) = 1,200.15

Con el fin de conseguir la precisión deseada, el proceso puede continuar hasta que la
diferencia entre valores consecutivos de 𝑥𝑥 ∗ se haga muy pequeña.

La figura No. 27 muestra la gráfica de la función y su correspondiente derivada. El

punto solución es en donde la derivada es cero.

273
Figura No. 27. Gráfica de la función y la función derivada

en el intervalo −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 .

274
12. Método de Newton Raphson

Considere 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 como un valor aproximado inicial del óptimo de una función

𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 𝑦𝑦 (𝑎𝑎 + ℎ) como un valor mejorado.

Para averiguar el valor de ℎ, expanda 𝑓𝑓 (𝑎𝑎 + ℎ) usando el teorema de Taylor e ignore

las potencias superiores de ℎ. Se pueden asumir las siguientes notaciones por
conveniencia.

Sea:

𝑓𝑓 1 (𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

𝑓𝑓 11 (𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

Ahora, 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) = 𝑓𝑓 1 (𝑎𝑎) + ℎ𝑓𝑓 11 (𝑎𝑎) = 0

Para el valor mínimo: 𝑓𝑓 1 (𝑎𝑎 + ℎ) = 𝑓𝑓 1 (𝑎𝑎) + ℎ𝑓𝑓 11 (𝑎𝑎) = 0

−𝑓𝑓1 (𝑎𝑎)
O, también: ℎ =
𝑓𝑓11 (𝑎𝑎)

𝑓𝑓1 (𝑎𝑎)
Siguiente valor de 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 −
𝑓𝑓11 (𝑎𝑎)

Ejemplo numérico No. 9 (Resuelto con Maple y con el algoritmo de Newton

Raphson)

Use el método de Newton Raphson para resolver el problema anterior, en el que:

300
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1200𝑥𝑥 + , obtenga el mínimo considerando un valor inicial de 𝑥𝑥 = 0.3.
𝑥𝑥

Primera iteración

(Derivada de primer orden)

(Derivada de segundo orden)

Sustituyendo el valor inicial 𝑥𝑥 = 0.3 en la derivada de primer y segundo orden, se

tiene:
=

275
 = 22222.22222

Nuevo valor de 𝑥𝑥 ∗ = = 0.396

Este valor se utiliza como un nuevo 𝑥𝑥 ∗ = 𝑎𝑎 en la siguiente iteración. Es decir, 𝑎𝑎 =

0.396

Segunda iteración

Ahora, 𝑎𝑎 = 0.396

Sustituyendo el nuevo valor de 𝑎𝑎 = 0.396 en la derivada de primer y segundo orden,

se tiene:

𝑥𝑥 ∗ =

𝐴𝐴ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜, 𝑎𝑎 = 0.469801 ≅ 0.47

Tercera iteración

Sustituyendo el nuevo valor de 𝑎𝑎 = 0.47 en la derivada de primer y segundo orden,

se tiene:

276
Este proceso continua hasta encontrar la precisión deseada del valor de 𝑥𝑥 ∗ .

Verificando, nuevamente con Maple, obtenemos el valor óptimo de nuestra función.

, 𝑥𝑥 ∗ = 0.50, 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ ) = 1,200

Discusión:

En los modelos de inventarios, no se asume que los pedidos de productos faltantes

estén totalmente demorados, sino una sola fracción de los pedidos no se encuentra
acumulada.

En los modelos de inventarios, la función de costo anual total se formula como la suma
del costo de adquisición más el costo de instalación, más costo de mantenimiento de
inventario y costo del pedido posterior.

Después de sustituir la cantidad máxima de faltante (en términos de tamaño de lote

de fabricación) en la derivada de primer orden de esta función con respecto al tamaño
de lote e igualar a cero, se desarrolla una ecuación no lineal, que se formula en
términos de variable única.

El método de Newton-Raphson puede aplicarse con éxito para obtener el tamaño de

lote óptimo utilizando un valor inicial como tamaño de lote para la situación en la que
se supone que todas las insuficiencias están completamente pendientes.

Si alguna función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) está en la forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 y el objetivo es encontrar el valor de

𝑥𝑥 que satisfaga esto, entonces el método de Newton-Raphson puede ser usado de la
forma siguiente:

𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + ℎ𝑓𝑓 1 (𝑎𝑎) = 0

−𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
También: ℎ = , el siguiente valor de 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 −
𝑓𝑓1 (𝑎𝑎) 𝑓𝑓1 (𝑎𝑎)

277
Este valor de 𝑥𝑥 se usa en la siguiente iteración como un valor aproximado de 𝑎𝑎. El
proceso se continúa hasta que la diferencia entre dos valores sucesivos de 𝑥𝑥 sea muy
pequeña o casi cero.

278
13. Problemas de máximos y mínimos y puntos de inflexión con una sola
variable. Taylor (2007)

En la práctica cotidiana, principalmente en los cursos de investigación de

operaciones, se dedica más tiempo a la enseñanza de la programación lineal que en
cualquier otro tema del programa o cualquier otro tema.

La programación lineal, es una técnica muy versátil que puede ser y ha sido
aplicada a una amplia variedad de problemas.

Además de los capítulos dedicados específicamente a los modelos de

programación lineal y aplicaciones, también hemos presentado distintas variaciones
de uso de la programación lineal, como los problemas de programación lineal en
enteros, además de aplicaciones en los problemas de transporte, asignación,
transbordo, ruta más corta y redes PERT/CPM.

En todos estos casos, todas las funciones objetivo y el conjunto de

restricciones eran lineales; es decir, formaron una recta o un plano en el espacio
euclidiano. Sin embargo, muchos problemas empresariales realistas tienen relaciones
que pueden ser modeladas sólo con funciones no lineales.

Cuando los problemas se ajustan al formato de problemas de programación

lineal general, pero incluyen funciones no lineales, se les denomina problemas de
programación no lineales.

Los problemas de programación no lineal se estudian por separado debido a

que éstos se resuelven de una forma diferente a los problemas de programación lineal
clásicos.

De hecho, la solución de un problema de programación no lineal es

considerablemente más compleja y difícil que los problemas de programación lineal,
en virtud de que, a menudo es difícil, si no imposible, determinar una solución óptima,
incluso para un problema de pequeña instancia.

En los problemas de programación lineal, las soluciones se encuentran en las

intersecciones de líneas o planos, y aunque puede haber un número muy grande de
posibles puntos de solución, el número es finito, y una solución puede eventualmente
ser encontrada.

Sin embargo, en la programación no lineal no puede haber intersección o

puntos extremos; en su lugar, el espacio de solución puede ser una línea o una
superficie ondulada, que incluye virtualmente un número infinito de puntos.

279
 Para un problema realista, el espacio de la solución puede ser como una
cordillera, con muchos picos y valles, y el punto de solución máximo o mínimo podría
estar en la parte superior de cualquier pico o en el fondo de cualquier valle.

Lo que es difícil en la programación no lineal es determinar si el punto en la

cima de un pico es sólo el punto más alto en el área inmediata (llamado óptimo local,
en términos de cálculo) o el punto más alto de todos.

Las técnicas de solución para problemas de programación no lineales

generalmente implican buscar en la superficie de la solución picos o valles, es decir,
puntos altos o puntos bajos.
El problema de los métodos de solución de la programación no lineal, es que en
muchas ocasiones tienen problemas para determinar si el punto cumbre (máximo)
que han identificado es sólo una solución óptima local o la solución óptima global.

Por lo tanto, encontrar una solución es a menudo difícil y puede implicar

matemáticas muy complejas que están más allá del alcance de este libro de texto.

En este capítulo presentamos la estructura básica de los problemas de

programación no lineal y Maple para resolver modelos simples.

280
14. Método de resolución de modelos de programación no lineal con una sola
variable. Anderson y Sweeney (1993)

Regla No. 1 (condición necesaria)

La primera derivada de una función sin restricciones debe ser igual a cero en sus
puntos máximos locales o mínimos locales.

Regla No. 2 (condición suficiente)

Si se satisface la regla 1 en un punto, y

a) Si la segunda derivada es mayor que cero, entonces el punto es un mínimo local.

b) Si la segunda derivada es menor que cero, entonces el punto es un máximo local

El procedimiento general para encontrar el máximo o mínimo global para una función
de una variable es el siguiente:

Paso 1. Encontrar los puntos que satisfagan las reglas 1 y 2. Estos son los candidatos
para proporcionar la solución óptima del problema.

Paso 2. Si la solución está restringida a un intervalo específico, evaluar la función en

los extremos del intervalo.

Paso 3. Comparar los valores de la función con todos los puntos que se encontraron
en los pasos 1 y 2. El mayor de éstos es la solución global máxima; el menor de ellos
es la solución global mínima.

281
15. Problemas de programación lineal no restringidos con una sola variable
(Resueltos con Maple)

Problema No. 1

Maximice la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 − 30 en el intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 10. Anderson y

Sweeney (1993)

Solución:

La función tiene un valor máximo en 𝑥𝑥 = 1. El valor de la función máximo de la

función es: 𝑓𝑓(1) = 12(1) − 6(−1)2 − 30 = −24. El procedimiento, la gráfica y su
derivada se muestran en la figura No. 28.

Figura No. 28. Gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 − 30 y su derivada

282
Problema No. 2

Obtenga el mínimo de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 3 − 20𝑥𝑥 2 + 60 en el intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4.

Anderson y Sweeney (1993)

Solución:

La gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), se muestra a continuación:

Figura No. 29. Grafica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 3 − 20𝑥𝑥 2 + 60 en el intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4

283
Instrucción Maple Resultado

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸:

−40 < 0, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸:

40
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
9

40 > 0

284
𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 0
≤ 𝑥𝑥 ≤ 4,

Figura No. 30. Grafica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 3 − 20𝑥𝑥 2 + 60 y su derivada 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 9𝑥𝑥 2 − 40𝑥𝑥 en el
intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4

285
Problema No. 3

Costos en ingeniería. DeGarmo, Sullivan, Bontadelli y Wicks (1997)

El costo de operación de un aeroplano comercial (transporte de pasajeros) impulsado

a reacción varía a una potencia de tres medios de su velocidad; específicamente, 𝐶𝐶𝑜𝑜 =
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥 3/2 , donde 𝑛𝑛 es la longitud del viaje en millas, 𝑘𝑘 una constante de
proporcionalidad, y 𝑣𝑣 la velocidad en millas por hora. Se sabe que a 400 millas por
hora el costo promedio de operación es de $300 dólares por milla. La compañía que
posee el aeroplano quiere minimizar el costo de operación, pero este debe
balancearse con respecto al costo del tiempo de los pasajeros (𝐶𝐶𝐶𝐶 ), fijado a $300,000
por hora.

a) ¿A qué velocidad debe planearse el viaje para minimizar el costo total, el cual es la
suma del costo de operación del aeroplano y el costo del tiempo de los pasajeros?
b) Verifique su respuesta dada en el inciso anterior utilizando los criterios para
valores máximos y mínimos.

Solución:

300,000
a) La función de costo total está dada por la ecuación: 𝐶𝐶𝑇𝑇 = 0.0375𝑥𝑥 3/2 + .
𝑥𝑥
Realizando y resolviendo el problema utilizando Maple, tenemos:

286
 Figura No. 31. Gráfica de la función en el intervalo −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1.

Se observa que 𝑥𝑥 tiene cinco raíces, dos negativas, dos imaginarias y una real. Se toma
el valor de la variable 𝑥𝑥 real positiva, y no las imaginarias debido a que los problemas
de optimización se trabaja con funciones reales de variable real. Por lo tanto, 𝑥𝑥 =
490.6812819 millas por hora es la velocidad que minimiza el costo total. El valor de -
396.9694959 se omite debido a que no tiene sentido hablar de velocidades negativas
en este problema. Verificando la segunda derivada para confirmar una solución de
costo mínimo.

287
 , > 0, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 > 0

300,000
𝐶𝐶𝑇𝑇 = 0.0375𝑥𝑥 3/2 + = $1,018.991387 (Costo mínimo total)
𝑥𝑥

Figura No. 32. Grafica de la función y su derivada

en el intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 10

La tabla No. 3 muestra de forma general y de acuerdo a Miller (2000) la

caracterización de un máximo o un mínimo en un punto 𝑥𝑥 ∗ para una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) de
una variable.
Máximo Mínimo

Condiciones necesarias de 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)

=0 =0
primer orden 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Condiciones necesarias de 𝑑𝑑 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

≤0 ≥0
segundo orden 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 2

Condiciones suficientes 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)

=0y =0y
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 2
𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
<0 >0
𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 2

Tabla No. 3. Caracterización de un punto máximo o mínimo.

288
A continuación, en las tablas número 4, 5 y 6 veremos tres ejemplos que muestran de
forma gráfica la caracterización de una función con valor máximo y valor mínimo. De
igual forma, se muestra una función con un punto de inflexión.
Función Primera Segunda Gráfica (valor mínimo
derivada derivada indiscutible en 𝑥𝑥 ∗ = 0)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 + 2 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑓𝑓´´(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥

= 4𝑥𝑥 3
𝑓𝑓´´(𝑥𝑥) = 0
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 0
𝑥𝑥 ∗ = 0

Tabla No. 4. Mínimo de una función

Función Primera Segunda Gráfica (valor máximo

derivada derivada en 𝑥𝑥 ∗ = 0)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 4 + 5 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = −12𝑥𝑥 3 𝑓𝑓´´(𝑥𝑥)

= −36𝑥𝑥 2
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 0
𝑥𝑥 ∗ = 0 𝑓𝑓´´(𝑥𝑥) = 0

Tabla No. 5. Máximo de una función

289
 Función Primera Segunda Gráfica (punto de
derivada derivada inflexión en 𝑥𝑥 ∗ = 0)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 2 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 𝑓𝑓´´(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥

𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 0 𝑓𝑓´´(𝑥𝑥 ∗) = 0
∗
𝑥𝑥 = 0

Tabla No. 6. Punto de inflexión

290
 16. Problemas propuestos de funciones no lineales con una sola variable.
Dgarmo, Sullivan, Bontadelli y Wicks. (1997)

I. Una compañía produce tarjetas de circuitos que se utilizarán para poner al día el
equipo de cómputo atrasado. El costo fijo es $42,000 por mes y el costo variable
es $53 por tarjeta. El precio de venta por unidad es 𝑝𝑝 = $150 − 0.02𝐷𝐷.
La producción máxima de la planta es 4,000 unidades por mes.

a) Determine la demanda óptima de este producto.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima mensual?
c) ¿En qué volumen debe encontrarse el punto de equilibrio?
d) ¿Cuál es el rango de demanda lucrativa de la compañía?

II. Una compañía estima que la relación entre precio unitario y demanda por mes
para un nuevo producto potencial se calcula mediante 𝑝𝑝 = $100 − $0.10𝐷𝐷. La
compañía puede fabricar el producto incrementando los costos fijos en $17,500
por mes, y el costo variable estimado en $40.00 por unidad. ¿Cuál es la demanda
óptima, 𝐷𝐷∗ ? Con base en esta demanda, ¿debe la compañía fabricar este nuevo
producto? ¿Por qué?

III. Una compañía produce y vende un producto de consumo, y hasta ahora ha sido
capaz de controlar el volumen del producto variando el precio de venta. La
compañía busca maximizar su utilidad neta. Se ha concluido que la relación entre
precio y demanda, por mes, es aproximadamente 𝐷𝐷 = 500 − 5𝑝𝑝, donde p es el
precio por unidad en dólares. El costo fijo es $1,000 a mes, y el costo variable es
$20 por unidad. Responda, matemáticamente y gráficamente, a las siguientes
preguntas:

a) ¿Cuál es la cantidad óptima de unidades que debe producirse y venderse por

mes?
b) ¿Cuál es la utilidad mensual máxima?

291
 c) ¿Cuáles son las cantidades de ventas en punto de equilibrio (¿intervalo de
volumen de demanda lucrativa?

IV. Se debe buscar un sitio para los desechos sólidos municipales fuera de su ciudad
o de cualquier otra. Después de la separación, una parte de los desperdicios se
transportará a una planta de energía eléctrica donde se utilizará como
combustible.

Lo datos para el acarreo de los desperdicios de cada ciudad a la planta de energía

se muestran en la tabla No. 7.
Cualquier Su ciudad
ciudad
Distancia de acarreo 4 milla 3 millas
promedio
Cuota de renta anual de un $5,000 $100,000
lugar para desechos sólidos
Costo de acarreo $1.50 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 /𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 $1.50 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 /𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Tabla No. 7. Datos para el acarreo de desperdicios sólidos municipales

a) Si la planta de energía pagará $8.00 por yarda cúbica de desechos clasificados

entregada en la planta, ¿dónde debería estar el lugar para los desechos sólidos?
Utilice el punto de vista de los ciudadanos y suponga que 200,000 yardas cúbicas
de desperdicios se transportarán a la planta tan sólo en un año. Se debe
seleccionar un lugar.
b) Respecto a la planta eléctrica anterior, el costo 𝑦𝑦 en dólares por hora para
producir electricidad es 𝑦𝑦 = 12 + 0.2𝑥𝑥 + 0.27𝑥𝑥 2 , donde 𝑥𝑥 está dado en mega
watts. El ingreso en dólares por hora de suministro de electricidad es 16𝑥𝑥 −
0.2𝑥𝑥 2 . Encuentre el valor de x que da la utilidad máxima.

V. Un granjero estima que, si cosecha su cultivo de soya ahora, obtendrá 1,000

busheles (27.22 toneladas métricas), que puede vender a $3.00 por bushel. Sin
embargo, estima que este cultivo aumentará en 1,200 busheles adicionales de
soya por cada semana que atrase la cosecha, pero el precio caerá a una tasa de 50

292
 centavos por bushel a la semana; además, es probable que sufra la
descomposición de aproximadamente 200 busheles por cada semana que retrase
la cosecha. ¿Cuándo debe cosechar su cultivo para obtener el rendimiento neto
más grande de efectivo, y cuánto recibirá por este cultivo en este tiempo?

VI. El costo de operación de un buque (𝐶𝐶𝑂𝑂 ) varia al multiplicar a cuadrado de su

velocidad (𝑣𝑣) específicamente, 𝐶𝐶𝑂𝑂 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑣𝑣 2 , donde 𝑛𝑛 es la longitud del viaje en
millas y 𝑘𝑘 es una constante de proporcionalidad. Se sabe que a 12 millas/hora el
costo promedio de operación es $100 por milla. El propietario del barco quiere
minimizar el costo de operación, pero debe balancearlo contra el costo de la carga
de productos perecederos (𝐶𝐶𝐶𝐶 ), que el cliente fijo a $1,500 por hora. ¿A qué
velocidad debe planearse el viaje para minimizar el costo total (𝐶𝐶𝑇𝑇 ), que es la suma
de operar el barco y el costo de la carga perecedera?

VII. Griva, Nash y Sofer. (2009). Considere la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 15 − 12𝑥𝑥 − 25𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 3
Use la primera y segunda derivada para encontrar el máximo y el mínimo local y
demuestre que f no tiene ni máximo ni mínimo global.

VIII. Griva, Nash y Sofer. (2009). Considere la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 3 + 7𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 − 3

Encuentre todos los puntos estacionarios de esta función y determine si son mínimos
y máximos locales. ¿Esta función tiene un mínimo global o un máximo global?

IX. Miller (2000). Examine las siguientes funciones para máximos, mínimos y
puntos de inflexión, Sin utilizar la segunda derivada.

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 10

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 10
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 10

293
 X. Miller (2000). Encuentre los máximo y mínimos para cada una de las
siguientes funciones, utilizando la primera y segunda derivada. Indique en
cada caso si los puntos son máximos o mínimos relativos o absolutos.

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 15

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 + 2
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3
d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 10
e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 2 + 1
f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 18𝑥𝑥 2 + 15

XI. Miller (2000) e Hidalgo (2017). Utilice Maple para explorar y analizar las
siguientes funciones para máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Encuentre todas las raíces de la primera derivada de la función, también
con Maple. Use esos valores para analizar el problema.

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.1(𝑥𝑥 + 1)3 (𝑥𝑥 − 2)3 + 1 (aquí la primera derivada es de orden 5 con tres
raíces reales. Verifique esto usando Maple)

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)3 (𝑥𝑥 − 2)2 + 1 (de igual forma, hay tres raíces reales para la
primera derivada. Use Maple para resolver el problema)

294
17. Problemas de máximos y mínimos y puntos de inflexión para dos variables.
Miller (2000)

Consideremos ahora el caso en el que 𝑦𝑦 depende de dos variables, 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 ; 𝑦𝑦 =

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ). Dado que solo son necesarias tres dimensiones, las condiciones para los
puntos máximos y mínimos se visualizan fácilmente. Generalizar a funciones de
cualquier número de variable es un tema que sale de los objetivos de ese libro, debido
a que forma parte de estudios más avanzados en la materia.
Nuestra preocupación en todo estará en analizar funciones que son suaves y
continuas, de modo que la diferenciación es posible en todas partes.
En todo caso, requerimos de derivadas por lo menos de segundo orden Esto es lógico,
ya que de lo contrario las "curvas" no tendrían curvatura; serían planos o líneas y la
búsqueda de máximos y mínimos por medio de condiciones de primer orden (donde
la tangente tiene una pendiente de cero) generalmente carecerían de sentido.

17.1. Derivadas parciales, vector gradiente y matriz Hessiana

Derivadas parciales con funciones de dos (o más) variables, el concepto de derivada

parcial es necesario. Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), entonces 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 denota inequívocamente la
derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con respecto a la única variable independiente, 𝑥𝑥. Cuando 𝑦𝑦 =
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ), un cambio en 𝑦𝑦 cuando ambas variables cambian o cuando cualquiera de
ellas cambia mientras que la otra permanece constante. Por lo tanto, es necesario
𝜕𝜕𝜕𝜕
especificar que variable está cambiando y cuál no; la notación que se suele usar es
𝜕𝜕𝑥𝑥1
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
y (o 𝑦𝑦 ), leída como la derivada parcial de la función con respecto a 𝑥𝑥1 𝑜𝑜 𝑥𝑥2 .
𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝜕𝜕
El uso de en lugar de 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 indica la similitud del concepto.
𝜕𝜕𝜕𝜕

Las derivadas parciales están diseñadas para medir un cambio en 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) cuando
todas las variables, excepto una permanece constante, la técnica de la diferenciación
parcial es una extensión simple de la diferenciación ordinaria. Requiere que
solamente la otra 𝑥𝑥 (o 𝑥𝑥´𝑠𝑠, si hay más de tres variables) se considere como constante.

Por ejemplo, si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 3𝑥𝑥12 + 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥23 , las dos posibles derivadas
parciales son:

295
 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
= 6𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2
Obsérvese que en general ambas variables aparecen en ambas derivadas parciales.
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
En particular para un valor para 𝑥𝑥2 , por ejemplo 𝑥𝑥20 , se asume, entonces que
𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥1
𝜕𝜕𝜕𝜕
(evaluada en 𝑥𝑥20 ) es solo una función de 𝑥𝑥1 . Similarmente, es una función de 𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑥𝑥2

relativa a algún valor específico 𝑥𝑥10 . Como este el caso, es fácil visualizar las derivadas
parciales como curvas en planos particulares en el espacio tridimensional 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦
espacio.

Por ejemplo, sea la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
Las derivadas parciales de y , calculadas con Maple, se muestran a
𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2

continuación:

La gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7, se muestra en la

figura No. 33.

Figura No. 33. Gráfica de la función (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7 en el intervalo −6 ≤
𝑥𝑥1 ≤ 8 𝑦𝑦 − 6 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 8

296
Para obtener puntos máximos o mínimos en una función de dos o más variables,
necesitamos obtener derivadas parciales de mayor orden. Son similares a las
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 2
derivadas de orden superior de la misma forma que y . Entonces =
𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝜕𝜕𝑥𝑥12
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕( )/𝜕𝜕𝑥𝑥1 es la segunda derivada parcial de 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) con respecto de 𝑥𝑥1 .
𝜕𝜕𝑥𝑥1

Con funciones de dos o más variables, también es posible medir, por ejemplo, como
la primera derivada parcial con respecto a 𝑥𝑥1 se ve afectada por un cambio en 𝑥𝑥2 .
Por ejemplo, para la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 3𝑥𝑥12 + 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥23 , las dos posibles derivadas
parciales son:

Entonces, las segundas derivadas parciales de 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) con respecto a 𝑥𝑥1 y a𝑥𝑥2 , son,
respectivamente:

𝜕𝜕𝜕𝜕
La notación para las derivadas parciales cruzadas es 𝜕𝜕( )/𝜕𝜕𝑥𝑥2 o 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 /(𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2 ). Las
𝜕𝜕𝑥𝑥1

derivadas cruzadas son:

17.2. Vectores gradiente

El gradiente de una función es un vector que contiene las primeras derivadas

parciales de una función. Se puede elegir un vector columna o un vector fila. Depende
de las preferencias de cada autor. Para nuestro caso elegiremos un vector columna
como vector gradiente.
La notación usual es ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) o simplemente ∇𝑓𝑓.

297
 ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) ≡ ∇𝑓𝑓
6𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2
Específicamente para: 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 3𝑥𝑥12 + 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥23 , ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = � �
4𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥22
Si las primeras derivadas parciales son evaluadas en un punto en particular, por
𝟐𝟐 32
ejemplo, en 𝒙𝒙𝟎𝟎 = � � el gradiente en ese punto se denota por ∇𝑓𝑓(2,5)=� �.
𝟓𝟓 83

17.3. Matrices Hessiana

Una función de dos variables independientes tendrá dos segundas derivada parciales,
denotadas por (𝑓𝑓11 𝑦𝑦 𝑓𝑓22 ) y dos (iguales) derivadas parciales cruzadas, denotadas por
(𝑓𝑓12 𝑦𝑦 𝑓𝑓21 ) . Estos son los elementos de un vector gradiente para construir la matriz
Hessina. Entonces, para 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ),
𝑓𝑓 𝑓𝑓
∇2 = 𝐻𝐻 = � 11 12 �
𝑓𝑓21 𝑓𝑓22
Las representaciones de gradiente y matriz Hessiana proporcionan una notación
compacta para examinar las condiciones de máximo y mínimo para una función
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ), y, en última instancia para instancias apropiadas, de 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ), donde
𝑛𝑛 >2.

298
17.4. Máximos y mínimos para funciones 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 )

La tabla No. 8, muestra los resultados para determinar los valores máximos y
mínimos de una función de dos variables en un punto.

Función(𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) Máximo Mínimo

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥 ∗ ) = 0
Condiciones necesarias de
primer orden
O, usando gradiente: 𝛁𝛁𝒇𝒇(𝒙𝒙∗ ) = 0

𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) ≤ 0 𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) ≥ 0
O, usando los primeros O, usando los primeros
menores del Hessiano menores del Hessiano
Condiciones necesarias de |𝐻𝐻1∗ (1)| = 𝑓𝑓11
∗
≤0 |𝐻𝐻1∗ (1)| = 𝑓𝑓11
∗
≥0
segundo orden

|𝐻𝐻1∗ (2)| = 𝑓𝑓22

∗
≤0 |𝐻𝐻1∗ (2)| = 𝑓𝑓22
∗
≥0

Y, |𝐻𝐻2∗ |=|𝑯𝑯∗ | ≥ 0

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝒙𝒙∗ ) = 0
O, usando gradientes
𝛁𝛁𝑓𝑓(𝒙𝒙∗ ) = 0
Y,
Condiciones suficientes
𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) < 0 𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) > 0
O, usando loa principales O, Usando los principales
menores del Hessiano menores del Hessiano
|𝑯𝑯1∗ | < 0 |𝑯𝑯1∗ | > 0

Y, |𝑯𝑯∗2 | = |𝑯𝑯∗ | > 0

Tabla No. 8. Condiciones para un valor máximo o mínimo de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ).

299
17.5. Problemas de programación lineal no restringidos para funciones
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 ). Miller (2000)

Problema numérico No. 1.

Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (𝑥𝑥1 − 1)2 + (𝑥𝑥2 − 2)2 +7

La gráfica de la función se muestra a continuación:

Figura No. 34. Gráfica de la función f(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (𝑥𝑥1 − 1)2 + (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7 en el intervalo −2 ≤ 𝑥𝑥1 ≤
4 𝑦𝑦 − 2 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 4

Esta es una función convexa con una valor mínimo indiscutible en 𝑥𝑥1∗ = 1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2∗ = 2.
Las condiciones de primer orden se muestran en los resultados obtenidos con Maple.

a) Condiciones necesarias de primer orden:

2(𝑥𝑥1 − 1)
El punto estacionario se identifica de la forma: 𝛁𝛁𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = � � = 0. El hecho
2(𝑥𝑥2 − 2)
de que sea un mínimo se desprende del análisis de los principales menores del
Hessiano. O del criterio del valor de la derivada parcial: 𝑑𝑑2 (𝒙𝒙∗ ) ≥ 0.
Los cálculos correspondientes realizados con Maple, se muestran a continuación:

300
b) Condiciones necesarias de segundo orden:

c) Condiciones suficientes:

Por lo tanto, el punto (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (1,2) es un valor mínimo global de la función
f(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (𝑥𝑥1 − 1)2 + (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7.

301
Problema numérico No. 2.

Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7. Entonces, esta es la
negativa de la función del problema anterior. No es sorprendente que se trata de
una función cóncava.

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 )= = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 Máximo

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥 ∗ ) = 0
Condiciones necesarias de primer
orden

O, usando gradiente: 𝛁𝛁𝒇𝒇(𝒙𝒙∗ ) = 0

𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) ≤ 0

Condiciones necesarias de segundo

orden

O, usando los primeros menores del Hessiano

|𝐻𝐻1∗ (1)| = 𝑓𝑓11
∗
≤0

|𝐻𝐻1∗ (2)| = 𝑓𝑓22

∗
≤0

Y, |𝐻𝐻2∗ |=|𝑯𝑯∗ | ≥ 0
−2 0
𝐻𝐻 = � �=4≥0
0 −2

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝒙𝒙∗ ) = 0

302
 (1,2) = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥 ∗
O, usando gradientes
Condiciones suficientes
𝛁𝛁𝑓𝑓(𝒙𝒙∗ ) = 0
Y,

𝑑𝑑 2 (𝒙𝒙∗ ) < 0

O, usando loa principales menores del Hessiano

|𝑯𝑯1∗ | < 0

Y, |𝑯𝑯∗2 | = |𝑯𝑯∗ | > 0, 4 > 0

La gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 )= = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7 se muestra a

continuación:

Figura No. 35. Gráfica de la función f(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 +7 en el intervalo −6 ≤
𝑥𝑥1 ≤ 8 𝑦𝑦 − 6 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 8

Por lo tanto, el punto (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (1,2) es un valor máximo global de la función
f(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −(𝑥𝑥1 − 1)2 − (𝑥𝑥2 − 2)2 + 7.

303
17.6. Problemas propuestos de problemas no restringidos de funciones no
lineales de dos variables. Miller (2000). Hidalgo (2017)

1) Encuentre los máximos o mínimos para cada una de las siguientes funciones (Use
el programa Maple para resolver los problemas):

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 − 𝑥𝑥2

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + (3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 26)2

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 9𝑥𝑥12 − 18𝑥𝑥1 − 16𝑥𝑥22 − 64𝑥𝑥2 − 55

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 16 − 2(𝑥𝑥1 − 3)2 − (𝑥𝑥2 − 7)2

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −2𝑥𝑥13 + 6𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥22 − 4𝑥𝑥2 + 100

2) Un barco de excursión se puede alquilar para 100 personas a $ 10 dólares por

persona. Para cada pasajero de más de 100, los propietarios de embarcaciones
acuerdan reducir la tarifa (para todos los pasajeros) en 5 centavos. ¿Cuántos
pasajeros maximizaría los ingresos totales de alquiler de los propietarios?
¿Cuánto es ese alquiler máximo?

3) Se ha demostrado que los costos, 𝑦𝑦 , dependen de 𝑥𝑥1 y 𝑥𝑥2 (salidas totales de los
productos 1 y 2, respectivamente):

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥12 + 4𝑥𝑥22 − 40𝑥𝑥1 + 500

a) ¿Qué cantidad de bienes 1 y 2 deben ser elaborados con el fin de minimizar los
costos?

b) ¿Qué cantidad de bienes 1 y 2 debe ser producido con el fin de minimizar los
costos,
Si hay un límite superior de 12 en 𝑥𝑥1

4) Suponga que la función de costos en el problema 3) ha sido estimada

incorrectamente; en realidad debería ser:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥12 + 4𝑥𝑥22 − 40𝑥𝑥1 + 500 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

¿Cómo respondería ahora a la pregunta del problema 3)?

304
5) Suponga que la función del problema 4), 𝑦𝑦 representa utilidad, no costos, como
una función de 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 .

a) ¿Qué cantidad de bienes 1 y 2 deben ser elaborados con el fin de maximizar la

utilidad?

b) ¿Qué cantidad del bien 2 se debe producir si se decide que 𝑥𝑥1 , debe ser
exactamente 12?

c) ¿Cómo respondería el inciso b) si 𝑥𝑥2 no puede exceder de 5?

6) Anderson y Sweeney (1993). El costo por lote de un cierto proceso de producción

está relacionado con el ajuste de dos instrumentos de control. Supóngase que el
costo total por lote está dado por:

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 4𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥22 + 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥1 − 6𝑥𝑥2 + 35

Determine los ajustes de los dos instrumentos que minimizan este costo.

7) Anderson y Sweeney (1993). Los precios de dos productos, denotados por

𝑝𝑝1 𝑦𝑦 𝑝𝑝2 , están relacionados con las cantidades que se venden de los productos
𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 , mediante la siguientes expresiones:

𝑥𝑥1 = 32 − 2𝑝𝑝1 , 𝑥𝑥2 = 22 − 𝑝𝑝2

Además, el costo total (CT) de fabricar y vender el producto está relacionado con las
cantidades que se venden, de acuerdo con la función:

1
𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 + 73
2
a) Desarrolle un modelo matemático que muestre la utilidad como función de las
cantidades que se fabrican.

b) Determine los precios y cantidades que maximizan las utilidades.

8) Anderson y Sweeney (1993). Una tienda de zapatos ha determinado que es

posible aproximar sus ganancias 𝐺𝐺(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ), en millares de dólares, mediante una
función de 𝑥𝑥1 , su inversión en inventario en millares de dólares, y 𝑥𝑥2 , sus gastos
de publicidad, en millares de dólares:

𝐺𝐺(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −3𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥22 + 30𝑥𝑥1 + 24𝑥𝑥2 − 86

305
Calcule las ganancias máximas, junto con el monto de gastos de publicidad e inversión
e inventario que arrojan este máximo.

9) Considere la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 2𝑥𝑥14 − 12𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥12 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 − 4𝑥𝑥2 + 20.
Determine si los puntos que se muestran enseguida son mínimos locales, máximos
locales, puntos silla de montar, o ninguno de los anteriores.

𝑥𝑥1 = 0 𝑥𝑥1 = 2 𝑥𝑥 = −2
� �, � �,� 1 �
𝑥𝑥2 = 2 𝑥𝑥2 = −2 𝑥𝑥2 = −2

10)Supóngase que se desea encontrar todos los puntos máximos y mínimos de la

función que se muestra enseguida:

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 5𝑥𝑥12 + 10𝑥𝑥22 + 10𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 22𝑥𝑥1 − 26𝑥𝑥2 + 25

Utilice las condiciones necesarias de primer orden, las condiciones necesarias de

segundo orden y las condiciones suficientes para encontrar un valor máximo o
mínimo.

306
18. Modelos de programación no lineal restringidos.

Método de multiplicadores de Lagrange para modelo de programación lineal con

restricciones de igualdad.

Considere el siguiente el siguiente modelo de programación no lineal multivariable

con restricciones de igualdad

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )

Sujeto a:

ℎ𝑖𝑖 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) = 0, 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚

La función objetivo consiste en 𝑛𝑛 número de variables y 𝑚𝑚 número de restricciones

que le son impuestas. El conjunto de restricciones es de la forma «= 0». El método de
multiplicadores de Lagrange es útil para optimizar este tipo de problemas. Se forma
una nueva función, es decir, una función Lagrange, 𝐿𝐿 con la siguiente estructura:
𝑚𝑚

𝐿𝐿(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑚𝑚 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) + � 𝜆𝜆𝑖𝑖 ℎ𝑖𝑖 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
𝑖𝑖=1

Donde 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚 son llamados multiplicadores de Lagrange. En caso de tratarse

de un problema de maximización, el signo de la ecuación anterior se cambia a
negativo. La ecuación anterior es una función d (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) variables incluyendo el
multiplicador de Lagrange.

Diferenciado parcialmente con respecto a cada variable e igualando a cero, produce

los valores óptimos después de resolver. Resolvamos el siguiente conjunto de
problemas:

250
Problema numérico No. 1, sea la función: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = + 1090𝑥𝑥1 − 7𝑥𝑥2 −
𝑥𝑥1
7𝑥𝑥22 5𝑥𝑥32
5𝑥𝑥3 + +
40𝑥𝑥1 16𝑥𝑥1

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 12

Solución (resuelto con Maple):

Ambas restricciones se expresan de la forma:

307
 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 − 4 = 0
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 − 12 = 0

La función de Lagrange es:

𝐿𝐿(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 )

250 7𝑥𝑥22 5𝑥𝑥32
= + 1090𝑥𝑥1 − 7𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 + + + 𝜆𝜆1 (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 − 4)
𝑥𝑥1 40𝑥𝑥1 16𝑥𝑥1
+ 𝜆𝜆2 (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 − 12)

Ahora, Usando Maple (se utilizará a 𝑘𝑘1 y 𝑘𝑘2 como multiplicadores de Lagrage),
tenemos:

308
Igualando las derivadas parciales a cero, tenemos:

Resolviendo del sistema de ecuaciones mediante procedimientos algebraicos, la

solución del problema es:
𝑥𝑥1 0.49
𝑥𝑥2
⎛ ⎞ ⎛ 8.49 ⎞
𝑥𝑥
⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3.51 ⎟ , 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = 1000.92
𝜆𝜆1 −0.41
𝜆𝜆
⎝ 2 ⎠ ⎝ 0.94 ⎠

Problema numérico No. 2. Minimice la siguiente función utilizando el método de

Lagrange. (Usando Maple)

96 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 6𝑥𝑥1 + +4 +
𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 6

Modelo de programación Modelo con multiplicadores de Lagrange (𝑘𝑘 es el

no lineal restringido multiplicador de Lagrange)

96
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 6𝑥𝑥1 +
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 𝑥𝑥1
+4 +
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 6

309
 Gráfica de la función objetivo

96 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1
Figura No. 36. Gráfica de la función (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 6𝑥𝑥1 + +4 + en el intervalo 1.9 ≤ 𝑥𝑥1 ≤
𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

9 𝑦𝑦1.9 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 9

Ahora:

Instrucción y resultado con el programa Maple para obtener el sistema

de ecuaciones al derivar la función de Lagrange

310
Resolviendo estas ecuaciones, utilizando el programa Maple.

311
 . El único valor real
de la ecuación E6 es 4. Por lo que el valor de 𝑥𝑥1 = 4.
,

La solución del modelo de programación no lineal restringido, es:

𝑥𝑥1 = 4, 𝑥𝑥2 = 2, 𝑦𝑦 𝜆𝜆 = 0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 )∗ = 52

La figura No. 37 muestra la gráfica del modelo de programación no lineal restringido.

312
 96 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1
Figura No. 36. Gráfica de la función (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 6𝑥𝑥1 + +4 + Sujeto a 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 6
𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
en el intervalo 1.8 ≤ 𝑥𝑥1 ≤ 9 𝑦𝑦1.8 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 9.

313
19. Problemas propuestos de programación no lineal restringidos a igualdad.

1) (De Anderson y Sweeney (1993).) Considere el problema:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 − 14𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥22 − 16𝑥𝑥2 + 113

Sujeto a:
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 12

a) Obtenga la solución óptima para este problema

b) ¿Cuánto esperaría que cambiara el valor de la solución si se aumenta el
lado derecho de la restricción de 12 a 13?

2) (De Anderson y Sweeney (1993).) Considere el problema:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −𝑥𝑥12 − 4𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 + 20𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥22 + 82𝑥𝑥2 − 397
Sujeto a:
2𝑥𝑥12 − 16𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥22 − 18𝑥𝑥2 + 5 = 0

Determine si el punto 𝑥𝑥1 = 4, 𝑥𝑥2 = 3 produce o no una solución óptima.

3) Una compañía tiene dos instalaciones de producción que fabrican guantes de

béisbol. Los costos de producción varían en las dos instalaciones debido a
diferencias en los salarios, los impuestos locales a la propiedad, el tipo de equipo,
la capacidad, etc. La planta 1 tiene costos de producción semanales que pueden
expresar como función del número de guantes que se fabrican;
𝐶𝐶𝐶𝐶1 (𝑥𝑥1 ) = 𝑥𝑥12 − 𝑥𝑥1 + 5

En donde 𝑥𝑥1 es el volumen semanal de producción en millares de unidades y 𝐶𝐶𝐶𝐶1 (𝑥𝑥1 )

es el costo en millares de unidades. Los costos semanales de producción de la planta
2 está dado por:
𝐶𝐶𝐶𝐶2 (𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥22 + 2𝑥𝑥2 + 3

314
En donde 𝑥𝑥2 es el volumen semanal de producción en millares de unidades y 𝐶𝐶𝑇𝑇2 (𝑥𝑥2 )
es el costo, en millares de dólares. A la compañía le gustaría fabricar 8,000 guantes
por semana al menor costo posible.

a) Formule un modelo matemático que se pueda utilizar para determinar el número

de guantes que se deben fabricar cada semana en cada instalación.
b) Obtenga la solución matemática del modelo para determinar el número óptimo de
guantes que se deben fabricar en cada instalación.

4) Resuelva el problema:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥22 − 8𝑥𝑥1 − 12𝑥𝑥2 + 34

Sujeto a:
𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥22 = 5

5) (De Griva, Nash y Sofer (2009).) Determine el mínimo/máximo de las siguientes

funciones sujeto a la restricción proporcionada.

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥23 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 4.

ii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 2𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 25.
iii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 3𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 9.
iv) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 3𝑥𝑥13 + 2𝑥𝑥23 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 4.
v) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥2 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 − 3𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 0.
vi) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1.
1
vii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥2 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 1.
3

6) (De Miller. (2000)). 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 6𝑥𝑥12 + 5𝑥𝑥22 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 = 3.

7) (De Miller. (2000)). Minimice la función del problema 6 sujeto a la misma

restricción

8) Encuentre el máximo o el mínimo de:

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = −𝑥𝑥12 − 𝑥𝑥22 − 𝑥𝑥32 + 4𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 , Sujeto a: 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 10

315
9) Maximice o minimice la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 5𝑥𝑥12 + 6𝑥𝑥22 − 3𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 58.

10)Maximice o minimice la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 4𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 − 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

Sujeto a:

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 15

2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 20

316
20. Aplicaciones industriales utilizando modelos de programación no lineal

En el contexto del análisis no lineal, las funciones siguientes (y sus tipos) interactúan
entre sí:

i) Función de coste total no lineal y función de ingresos totales lineales (Fig. 37).
ii) Función de coste total lineal y función de ingresos totales no lineales (Fig. 38).
iii) Función de coste total no lineal y función de ingresos totales no lineales (Fig.
39)
Utilidad
total

Valores de
las funciones

Cantidad

Figura No. 37. Costo total no lineal y función de ingresos lineales.

Como el beneficio es la diferencia entre ingresos y costos, es cero en la intersección

de estas funciones. Como se muestra en la figura 37, 𝑄𝑄1 y 𝑄𝑄2 son la cantidad
correspondiente a la cual el beneficio es cero. El beneficio máximo se obtiene en algún
punto del rango [𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ].

Del mismo modo, la función de ingresos lineales y los ingresos no lineales se

muestran en la figura 38. En algunos de los casos, ambas funciones pueden ser no
lineales. Esta situación está representada por la figura 39. La función de beneficio se
determina y luego por igualar a cero, se obtienen dos puntos de equilibrio. El
beneficio también puede maximizarse en el rango calculado de la cantidad.

317
 Ingreso Total

Costo total

Cantidad

Figura No. 38. Costo total lineal y función de ingresos no lineales.

Costo
total

Utilidad
total

Figura No. 39. Costo no lineal y función de ingresos no lineales.

Ejemplo numérico No. 1: Considere las siguientes funciones usando la cantidad

𝑄𝑄,

la función de ingresos, 𝑈𝑈 = 25𝑄𝑄 y la función de coste total, 𝐶𝐶 = 45 + 𝑄𝑄 + 2𝑄𝑄2 ,

obtenga los dos valores de punto de equilibrio y maximice el beneficio en ese

rango. Solución. Este caso se refiere a la función de ingresos lineales y la función
de coste total no lineal.

Solución (Usando Maple): Este caso se refiere a la función de ingresos lineales y la

función de coste total no lineal.

En los puntos de equilibrio, 𝑈𝑈 = 0, y por lo tanto

318
 , , =

, ,

Dos valores de puntos de equilibrio son 2.33 y 9.67 unidades. Con el fin de
maximizar los beneficios,

,
, , =

Q=6 unidades es el valor óptimo de la función. Verificando que es un máximo

global utilizando el criterio de la segunda derivada, tenemos, entonces:

, 4 < 0.

319
21. Problemas propuestos

Problema No. 1.

Sea la función de ingresos, 𝑈𝑈 = 55𝑄𝑄 − 3𝑄𝑄2 y la función de coste total, 𝐶𝐶 = 30 +

25𝑄𝑄. Resolver el problema mediante la obtención de puntos de equilibrio y la
maximización de los beneficios.

Problema No. 2

Calcular la cantidad en la que no hay pérdida de ganancia y la cantidad

correspondiente al beneficio máximo de la función de ingresos, 𝑈𝑈 = 71𝑄𝑄 − 3𝑄𝑄2 y
función de costo, 𝐶𝐶 = 80 + 𝑄𝑄 + 2𝑄𝑄2 .

320
22. Conclusiones del capítulo

En esta sección, se asume que el alumno ya conoce los conceptos fundamentales del
cálculo diferencial. Para funciones de una variable, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), esto significa esencialmente
la noción del concepto de derivada como la pendiente de una función (la pendiente
de su tangente) en un punto. La aplicación que ésta tiene a la localización de puntos
estacionarios de la función (puntos en los que la pendiente de la tangente es cero), y
la clasificación de tales puntos como máximos o mínimos, mediante el uso del criterio
de la segunda derivada. De igual forma, se asume que el alumno tiene la capacidad de
aplicar las reglas más básicas de la diferenciación.

De igual forma, se abordaron problemas de funciones con dos variable

𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ), utilizando los conceptos de derivada parcial para obtener los valores
máximos y mínimos de dicha función de dos variables.

Al inicio del capítulo se examinó las funciones mediante el criterio de la

segunda derivada para analizar los conceptos de concavidad y convexidad de una
función. Con los conceptos anteriores proporciono una base teórica sobre la cual se
logró extender el capítulo para el análisis de problemas con más variables.

Al inicio del capítulo se presentaron algunos métodos para encontrar los

valore máximos y mínimos de una función en los que se supone que las funciones
derivables para determinar las condiciones de primer y segundo orden. En todo este
capítulo vimos cómo el poder de las computadoras y los programas modernos como
Maple y Matlab se utilizan para obtener de forma más precisa la solución de un
problema de programación no lineal.

Si bien la programación no lineal es muy extensa, en cuanto a los tipos de

problemas que suelen presentarse en la vida real, de igual forma existen una gran
cantidad de métodos de solución para un conjunto específico de problemas, pero para
fines de alcanzar los objetivos educacionales del tema, se utilizaron un conjunto
discreto de métodos de solución, tales como: método de búsqueda irrestricta,
búsqueda de la sección oro, interpolación cuadrática y el método de Newton Raphson.

Finalmente, analizamos problemas de programación no lineal restringida a un

conjunto de igualdades. Para este caso se utilizó el método de Lagrange.

Por último, y con la finalidad de apoyar el proceso de aprendiza de esta disciplina,

en la mayoría de los temas y al final del subtema se propone a los alumnos resolver
un conjunto de ejercicios en donde deberán de utilizar los conceptos teóricos vistos a
lo largo de cada sección, recomendando auxiliarse de un programa computacional.

321
23. Referencias y Bibliografía

• Anderson, R., Sweeney, D., Williams, T. (1993). An Introduction to

Management Science, 6ª ed., edit. West Publishing Company, Usa.

• Degarmo, E., Sullivan, W., Bontadelli, J., y Wicks, E. (1997). Engineering

Economy, 10ª. Ed., edit. Prentice Hall, Usa.

• Griva., Nash, S., y Sofer, A. (2009). Linear and Nonlinear Optimization, edit.
Siams, Usa.

• Miller, R. (2000). Optimization, Foundations and Applications, edit. Wiley,

Usa.

• Parlar, M. (2000). Interactive operations research with Maple, edit.

Birkhäuser, Usa.

• Pérez, C. (2016). Matlab: optimization Techniques, recuperado de. www.it-

ebooks.info.

• Pérez, M. (2016). Técnicas de optimización con Matlab. Usa

• Sharma, S. (2006). Applied NonLinear Programming, edit. New Age

International Publisher, New Delhi, India.

• Sierksma, G. y Zwols, Y. (2015). Linear and Integer Optimizations: Theory

and Practice, 3ª. Ed, edit. CRC Press, Usa.

• Venkataraman, P. (2002). Applied optimization with Matlab, edit. Wiley,

Usa

• Taylor III, B. (2006). Introduction to Management Science, 9ª ed. Edit.

Prentice Hall, Usa.

322
 Capítulo V
Modelos de inventarios

1. Conceptos relevantes
2. Objetivos del inventario
3. Taxonomía de un sistema de inventarios. Vrat (2014)
4. Funciones de los inventarios
5. Objetivos del capítulo
6. Definición de la cantidad económica de pedido (EOQ)
7. Variables utilizadas en el análisis
8. Derivación de la cantidad económica de la orden (pedido) (EOQ)
9. Problemas resueltos
10. Ajuste de la cantidad de pedido económico
11. Modelo de Cantidad Económica del Pedio (EOQ) cuando se permiten
faltantes (déficit)
11.1. Derivación del modelo de inventarios cuando existe déficit o faltantes
planeados
11.2 Derivación por medio del cálculo de 𝑸𝑸∗ , 𝑺𝑺∗ , 𝒚𝒚 𝑰𝑰∗ para el modelo (EOQ) cuando se
permiten faltantes.
12. Modelo de Cantidad Óptima del Pedido (EOQ) para lotes de producción: un
solo producto
12.1. Formulación del modelo
12.2. Derivación de las reglas de decisión óptimas para el modelo de la cantidad
óptima del pedido (EOQ) para lotes de producción: un solo producto
12.3. Discusión y reflexión
12.4. Problemas resueltos de la sección
13. Modelo de inventarios con escasez planeada y con pedidos pendientes

323
13.1. Pedidos atrasados y ventas perdidas
13.2. Pedidos atrasados
14. Conclusiones del capítulo
15. Referencias y bibliografía

324
1. Conceptos relevantes

Los gestores de inventario toman una serie de decisiones sobre el stock, ¿cómo
mantener acciones y en qué tipo de instalaciones? Qué hacen los proveedores y los
operadores de transporte ¿usamos? ¿Qué sistemas de información utilizamos?
¿Podemos formar alianzas?

Estos y todas las demás decisiones sobre acciones, establecen el contexto

general.

Llega un punto, Sin embargo, cuando los gerentes de inventario tienen que
tomar algunas decisiones inmediatas sobre sus existencias.

Habiendo establecido la escena con una serie de decisiones apropiadas, Son

ahora responsables de algunas existencias reales, y tienen que empezar a cuidar de
ellos. ¿Qué decisiones toman?

El inventario son las existencias de cualquier elemento, recurso o bien

utilizado en una organización.

Un sistema de inventario es el conjunto de políticas y controles que

monitorean los niveles de inventario y determinan qué niveles deben mantenerse,
cuándo deben reponerse los inventarios y cuán grandes deben ser los pedidos.

Por conveniencia, el inventario de manufactura generalmente se refiere a

artículos que pueden convertirse en parte de la producción de productos de una
empresa. El inventario de fabricación suele clasificarse en materias primas, productos
acabados, componentes, suministros y trabajos en proceso.

En la distribución, el inventario se clasifica como en tránsito, lo que significa

que se está moviendo en el sistema y en el almacén, que es el inventario en un almacén
o centro de distribución.

Los sitios minoristas llevan inventario para la venta inmediata a los clientes.
En los servicios, el inventario se refiere generalmente a los bienes tangibles que se
venden ya los suministros necesarios para administrar el servicio.

El objetivo básico del análisis de inventario, ya sea en la fabricación, distribución,

venta al por menor, o servicios, es especificar (1) cuándo deben ordenarse los

325
artículos y (2) cuánto debe ser el pedido. Muchas compañías tienden a asociarse en
una relación a largo plazo con los proveedores para abastecer sus necesidades de
posiblemente todo el año. Esto cambia el "cuándo" y "cuántos a ordenar" a "cuándo"
y "cuántos entregar".

326
2. Objetivos del inventario

Todas las empresas (incluidas las que operan el sistema Justo a Tiempo (JIT)
mantienen un inventario por las siguientes razones:

a) Mantener la independencia de las operaciones.

Un suministro de materiales en una empresa permite flexibilidad de las operaciones

en centro de trabajo.

Por ejemplo, debido a que hay costos para realizar cada nueva configuración del
sistema de producción, este inventario permite a la administración reducir el número
de clasificaciones.

La independencia de los puestos de trabajo es deseable en las líneas de montaje

también.

El tiempo que tarda en realizar operaciones idénticas varía naturalmente de una

unidad a la siguiente.

Por lo tanto, es deseable tener un stock de varias partes dentro de la estación de

trabajo, de tal forma que los tiempos de funcionamiento más cortos pueden
compensar tiempos de funcionamiento más largos.

De esta manera, la producción promedio puede ser bastante estable.

b) Satisfacer la variación en la demanda de productos. Si la demanda del producto

se conoce con precisión, puede ser posible (aunque no necesariamente
económico) para producir el producto para satisfacer exactamente la demanda.

Normalmente, sin embargo, no se conoce completamente la demanda, y se debe

mantener una reserva de seguridad o amortiguador para absorber la variación.

c) Permitir flexibilidad en la programación de la producción.

Un stock de inventario alivia la presión sobre el sistema de producción para sacar las
mercancías. Esto hace que los tiempos de entrega sean más largo, de tal forma que
permiten la planificación de la producción dentro del sistema.

327
Los altos costos de nuevas disposiciones, por ejemplo, favorecen la producción de un
mayor número de unidades una vez que se ha realizado la configuración.

328
3. Taxonomía de un sistema de inventarios. Vrat (2014)

Hay una enorme cantidad de literatura científica disponible en los modelos de

inventario. Es difícil compilar y presentar todos estos modelos en un solo tratado.
Sin embargo, una descripción estructurada de la taxonomía de estos modelos ofrece
una muy buena visión general de la abundancia de modelos de inventario disponibles
en la gestión del inventario científico.

La figura No. 2, representa una taxonomía de este tipo en una estructura en

forma de árbol.

Estos modelos pueden clasificarse ampliamente como modelos de compra

única (estática) o modelos de compra repetitiva (dinámica); otros grupos
importantes podrían ser modelos de inventario deterministas versus modelos de
inventario probabilísticos.

La ramificación adicional se puede hacer sobre la base del número de

elementos (único o múltiple), el número de fuentes de suministro (único o múltiple),
el número de escalones (único o multi escalón) y otras variables de situación tales
como descuentos por cantidad, limitaciones presupuestarias, etc.

En este capítulo, trataremos de discutir algunos de estos modelos de

inventario, pero una cobertura exhaustiva del tema de inventarios no es posible ni
deseable en un capítulo sobre el tema de inventarios. Desafortunadamente en la
mayoría de los países en desarrollo estos modelos no son usados

329
Figura No. 1. Taxonomía de un modelo de inventarios. Fuente: P. Vrat, Materials Management, Springer
Texts in Business and Economics, DOI 10.1007/978-81-322-1970-5_2.

330
4. Funciones de los inventarios

a) Suavizar las operaciones de una empresa.

Regularmente, los procesos de demanda sufren variaciones de alguna manera

previsibles, aunque no controlables. Estas fluctuaciones muchas veces ocurren de
acuerdo a la temporada del año, o ciclos comerciales o fiscales, y se pueden
resolver modificando la producción cada vez que se requiera, lo cual exige la
existencia de materia prima, o bien produciendo y almacenando la demandas
cumbre.

b) Explotación del mercado.

Frecuentemente, los movimientos en el mercado hacen que resulte

económicamente ventajosa la creación de un inventario.

Las variaciones de precios de los bienes y productos de un mercado o bien de la

materia
prima, pueden motivar la adquisición prematura o la producción sobre pedido.
La posibilidad de un incremento en los costos de la mano de obra puede hacer útil
la constitución de un inventario.

c) Protección contra déficit de material

Al enfrentarnos a las fluctuaciones impredecibles en los procesos de oferta y

demanda, se corre el riesgo de que, en un momento dado, exista escasez de
material y se experimente una lucha con los clientes, interrupción en las
operaciones, etc. Un inventario es un "seguro" contra dicha situación.

La necesidad de la existencia de tales inventarios aumenta de acuerdo al

crecimiento de las fluctuaciones, y al tiempo que transcurre entre una fluctuación
aleatoria y su compensación.

d) Economías de escala

Aún cuando los procesos de oferta y demanda se pudieran controlar de manera

que fueran iguales e invariantes en el tiempo, no sería deseable hacerlo, puesto
que implicaría un gran número de pequeñas remesas y despreciaría las economías
con pocas remesas, pero de gran tamaño, cuando ocurre que, en muchas
ocasiones, se obtienen descuentos por volumen con un consecuente ahorro en el
costo promedio por artículo.

331
e) Control económico

Un argumento a favor de los inventarios grandes, es que requieren menor control

y que
es más barato mantener grandes inventarios que revisar los niveles de inventario
con
mucha frecuencia.

Sin embargo, es importante saber cuanto se gasta en diseñar, implantar y

mantener un inventario, para determinar su eficiencia y decidir la existencia del
mismo. Algunas corrientes que consideran que lo óptimo es llegar a tener un
inventario cero.

332
5. Objetivos del capítulo

Este capítulo presenta algunos modelos cuantitativos para el control de inventario. El

primer modelo toma un stock idealizado y encuentra el tamaño de pedido fijo que
minimiza los costes.

Esta es la cantidad de orden económico, que es la base de la mayoría de la demanda

independiente

Los métodos, cálculos y extensiones relacionados con este modelo básico se

desarrollan en las siguientes secciones.

El alumno después de analizar este capítulo, deberá ser capaz de concebir lo

siguiente:

• Discutir el razonamiento detrás de la cantidad de orden económico;

• Derivar una ecuación para la cantidad del orden económico;

• Calcular la cantidad de orden económico para un artículo;

• Medir los efectos de alejarse de la cantidad del orden económico;

• Trabajar con tamaños de orden entero;

• Medir los efectos de errores y aproximaciones en los costos y prever la

demanda;

• Calcular un nivel de reorden;

• Esbozar algunas limitaciones del nivel de reorden

En este cuarto capítulo del libro, se pondrá énfasis en lo siguiente:

• En los modelos cuantitativos (matemáticos) en el control de inventarios;

• cálculo de una cantidad económica de pedido para el tamaño de orden;

• Cálculo de un nivel de reorden para encontrar el momento de las órdenes.

333
6. Definición de la cantidad económica de pedido (EOQ)

Antecedentes del modelo

Patrón típico de nivel de existencias con el tiempo

Este capítulo describe uno de los análisis estándar del control de inventario. Muestra
Cómo podemos equilibrar los diferentes costos de la acción para responder a la
pregunta, ¿Cuánto debemos ordenar?

El enfoque es construir un modelo de un sistema de inventario idealizado y calcular

la cantidad de pedido fijo que minimiza los costos totales. El tamaño de pedido óptimo
se denomina cantidad económico de pedido (EOQ).

El cálculo del (EOQ) es el análisis más importante del control de inventario, y sin duda
uno de los resultados más importantes derivados en cualquier área de la
investigación de operaciones. La primera referencia a la obra es de Harris (1915),
pero el cálculo del (EOQ) a menudo se atribuye a Wilson (1934).

El nivel de existencias de un artículo varía con el tiempo, con un patrón típico como
se muestra en figura No. 2.

Nivel de
Stock

A B F
La entrega H
Lugar de la C D La entrega
llega La entrega
orden La entrega Lugar de la llega G llega
llega orden E
Lugar de la
Stock fuera
orden

Figura No. 2. Modelo típico del nivel de stock (existencia o reservas) en el tiempo. Fuente: Waters, C. D. J.
(C. Donald J.), 1949–Inventory control and management, Donald Waters.

334
Descripción:

En algún período, A, llega una entrega y eleva el nivel de reservas o existencias.

Entonces, mientras que las unidades se eliminan para satisfacer las demandas de los
clientes en otro período, B, una orden para la reposición se coloca con un proveedor
y esto llega a tiempo C.

Este patrón general, con algunas variaciones a corto plazo, se repite siempre que el
artículo se conserva en la acción.

A veces, una demanda inesperadamente alta o una entrega retardada significa que las
existencias se agotan (como en el punto E) y luego podemos representar la escasez
por niveles de stock negativos.

En otras ocasiones, una demanda inesperadamente baja o entrega rápida significa

que las entregas llegan cuando no se necesitan realmente (como en los puntos C y H).

Podemos analizar este patrón, pero es bastante complicado, así que empezamos con
un modelo base que hace una serie de suposiciones:

1) La demanda se conoce exactamente, es continua y es constante en el tiempo;

2) Todos los costos se conocen exactamente y no varían;

3) No se permite escasez;

4) El plazo de entrega es cero, por lo que la entrega se realiza tan pronto como se
realiza el pedido.

Otras suposiciones están incluidas en el modelo (EOQ), tales como:

5) El precio de compra y los costos de reorden no varían con la cantidad

solicitada;

6) Se realiza una entrega única para cada pedido;

7) La reposición es instantánea, de modo que todo un pedido llega en stock al

mismo tiempo y se puede utilizar de inmediato.

Quizás la suposición más importante aquí es que la demanda es conocida

exactamente, es continua y constante suficiente para el tiempo de muchos fines (como
se muestra en la figura No. 3.

335
 Demanda

Tiempo

Figura No. 3. La demanda es constante y continua en el tiempo.

Esto, y los otros supuestos, puede parecer poco realista, pero debemos recordar dos
cosas.

En primer lugar, todos los modelos son simplificaciones de la realidad y su objetivo

es dar resultados útiles en lugar de representaciones exactas de las circunstancias
reales. La cantidad de orden económico es ampliamente utilizada, y podemos inferir
que es exacta.

Los resultados pueden no ser óptimos en el sentido matemático estricto, pero son
buenas aproximaciones y, en el peor de los casos, dan pautas útiles.

En segundo lugar, este es un modelo básico que podemos extender de muchas

maneras.

Los supuestos dan un patrón idealizado para un nivel de stock (existencias o

reservas)

Una demanda continua significa que el nivel de stock disminuye constantemente en

lugar de caer en una serie de pasos; una demanda constante significa que la
disminución es siempre a la misma tasa.

Si el plazo de entrega es cero, nunca debemos realizar un pedido antes de que se

agoten las existencias, ya que realizar un pedido cuando hay existencias restantes
dejaría un residuo que nunca se utiliza y sólo incurre en gastos de mantenimiento.

La suposición de que no se permite escasez significa que el nivel de stock nunca cae
por debajo de cero, y no hay ventas perdidas.

336
Por último, estamos buscando la cantidad de pedido fijo que minimice los costos, por
lo que siempre realizar pedidos de exactamente este tamaño.

El patrón resultante se muestra en la figura No. 4

Nivel
de stock

Tamaño
De
´pedido
óptimo

Haga su Haga su Haga su Haga su Tiempo

Pedido y Pedido y Pedido y Pedido y
Reciba la Reciba la Reciba la Reciba la
entrega entrega entrega entrega

Figura No. 4. Nivel de stock con un tamaño de pedido único.

337
7. Variables utilizadas en el análisis

Ahora hemos sentado las bases de nuestro modelo y podemos introducir algunos
detalles, comenzando con una lista de variables.

1) El costo unitario (𝐶𝐶𝐶𝐶) es el precio cobrado por los proveedores por una unidad
del artículo, o el costo total para la organización de adquirir una unidad.

2) El costo de reordenamiento (𝐶𝐶𝐶𝐶) es el costo de realizar una orden de rutina para

el artículo y puede incluir asignaciones para la elaboración de una orden,
correspondencia, costos telefónicos, recepción, uso del equipo, expedición,
entrega, controles de calidad, etc. Si el elemento se realiza internamente, esto
puede ser un coste de configuración.

3) El costo de mantenimiento (𝐶𝐶𝐶𝐶) es el costo de mantener una unidad del artículo

en stock durante un período de tiempo. El período habitual para calcular los
costos de las acciones es de un año, por lo que un costo de mantenimiento podría
ser, digamos, $ 10 por unidad al año.

4) Costo de escasez (𝐶𝐶𝐶𝐶) es el costo de tener una escasez y no ser capaz de satisfacer
la demanda de stock. En este análisis hemos dicho que no se permite escasez, por
lo que no aparece 𝐶𝐶𝐶𝐶 (es tan grande que cualquier escasez sería prohibitivamente
cara).

Si se analizamos la figura no. 4, puede observarse que existen otras tres variables, es
decir:

5) Cantidad de pedido (𝑄𝑄) que es el tamaño de pedido fijo que siempre utilizamos. El
propósito de este análisis es encontrar un valor óptimo para esta cantidad de
pedidos.

6) Tiempo de ciclo (𝑇𝑇) que es el tiempo entre dos reabastecimientos consecutivos.

Esta depende de la cantidad de la orden, con órdenes más grandes que conducen
a tiempos de ciclo más largos.

7) Demanda (𝐷𝐷) que establece el número de unidades a suministrar de la acción en

un período de tiempo dado (por ejemplo, diez unidades a la semana). Aquí,
suponemos que la demanda es continua y constante.

La única variable que está directamente bajo nuestro control es la cantidad del pedido
(𝑄𝑄), y podemos darle a este cualquier valor que nos guste.

Cuando fijamos la cantidad de pedido (𝑄𝑄), esto fija la longitud del ciclo (𝑇𝑇).

338
Suponemos que todos los demás parámetros son fijos y están fuera de nuestro
control.

Nuestro objetivo, entonces, es encontrar valores óptimos para 𝑄𝑄 y por tanto 𝑇𝑇 en

términos de estas otras constantes.

339
8. Derivación de la cantidad económica de la orden (pedido) (EOQ)

Esta derivación utiliza un enfoque estándar que es adecuado para muchos modelos
de control de existencias (stock). Tiene tres pasos, como sigue:

1. Encuentre el costo total de un ciclo de inventario

2. Divida este costo total por la duración del ciclo para obtener un costo por unidad
de tiempo

3. Minimizar este costo por unidad de tiempo.

Si tomamos un ciclo de stock de la figura No. 4, obtenemos el patrón mostrado en la

siguiente figura No. 5.

Tamaño
De pedido
óptimo

Nivel
Promedio
De stock

Haga su Haga su
Pedido y Pedido y
Reciba la Reciba la
entrega entrega

Figura No. 5. Características de un ciclo de stock

En algún punto ponemos una orden para una cantidad, 𝑄𝑄, que llega instantáneamente
y se usa a una velocidad constante, 𝐷𝐷.

Eventualmente no hay existencias y es hora de hacer otro pedido.

El ciclo tiene una longitud 𝑇𝑇. Sabemos que durante el ciclo la cantidad que entra en el
stock es 𝑄𝑄, mientras que la cantidad que sale es 𝐷𝐷 × 𝑇𝑇.

340
Estos deben ser iguales, ya que el nivel de stock en el inicio y final del ciclo es cero.

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Así que:
𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝐷𝐷

(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑄𝑄)) = (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐷𝐷) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑇𝑇))

El primer paso del análisis encuentra los costos totales para un ciclo, y lo encontramos
añadiendo los tres componentes separados del costo de unidades, reordenamientos
y tenencias (recordando que no hay costos de escasez). Por lo tanto:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Podemos calcular estos componentes separados para un ciclo de la siguiente manera:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑁𝑁ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄)
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑄𝑄)

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑁𝑁ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝐶𝐶𝐶𝐶) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (1)

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇

𝑄𝑄
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )(𝑇𝑇)
𝑄𝑄 2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( ) (𝑇𝑇)
2
(𝐶𝐶𝐶𝐶)

La suma de estos tres componentes proporciona el coto total por ciclo. Es decir:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄) 𝑄𝑄
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = + (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )(𝑇𝑇) = (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄) + (𝐶𝐶𝐶𝐶) +
2 𝑄𝑄
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + (𝐶𝐶𝐶𝐶) (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )(𝑇𝑇)
2

341
Esto completa el primer paso del análisis. El segundo paso divide este coste por la
longitud del ciclo, 𝑇𝑇, para dar un coste total por unidad de tiempo, 𝐶𝐶𝐶𝐶:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑄𝑄
(𝐶𝐶𝐶𝐶)( )(𝑇𝑇)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄) + 2 (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄) (𝐶𝐶𝐶𝐶)
𝑇𝑇 = + +
(𝐶𝐶𝐶𝐶) 𝑇𝑇 𝑇𝑇
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑇𝑇 + 𝑄𝑄
𝑇𝑇 (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2

𝑄𝑄 𝑄𝑄
Pero sabemos que: 𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝐷𝐷, 𝑜𝑜, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡é𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞: 𝐷𝐷 = , de igual forma, 𝑇𝑇 = , y
𝑇𝑇 𝐷𝐷
sustituyendo, tenemos:

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷) +
(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷) (𝐶𝐶𝐶𝐶)(Q)
𝑄𝑄 +
2
La demanda y todos los costos son fijos, por lo que la única variable en el lado derecho
de esta ecuación es 𝑄𝑄. Así podemos ver cómo el costo total por unidad de tiempo varía
con la cantidad de pedido.

La manera más conveniente de hacer esto es trazar cada uno de los componentes de
costo por separado contra 𝑄𝑄 y luego agregarlos juntos (como se muestra en la Figura
No. 6).

Costo

Costo total

Costo más
bajo
Componente del
Costo de
mantenimiento

Componente de
Costo
Unitario

Componente del
Costo de
reordenar

Cantidad de pedido óptima

Figura No. 6. Cantidad de pedido óptima.

342
El componente de coste unitario (𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 𝐷𝐷) es independiente de la cantidad de pedido
y es «fijo».

Los otros dos componentes varían con la cantidad de la orden y forman el costo
«variable» por unidad de tiempo. En particular, el componente de coste de
mantenimiento aumenta linealmente con 𝑄𝑄 mientras que el componente de coste de
reordenación disminuye a medida que 𝑄𝑄 aumenta.

La suma de los tres componentes juntos da una curva de costo total que es una forma
simétrica «U» con un mínimo distinto. Este mínimo corresponde al tamaño de pedido
óptimo.

Con órdenes de órdenes más pequeñas que esto, los costos aumentan debido al mayor
componente de costo de reordenamiento; con órdenes mayores que esto, los costos
aumentan debido al mayor componente de costo de tenencia.

El tercer paso de nuestro análisis encuentra el costo mínimo por unidad de tiempo.
Para esto diferenciamos la ecuación para 𝐶𝐶𝐶𝐶 con respecto a 𝑄𝑄 ,igualamos el resultado
igual a cero:

Utilizando cálculo diferencial con Maple, tenemos:

, , ,
, ,
, ,

343
Cuando lo reorganizamos obtendremos el tamaño de orden óptimo, o la cantidad
económica de la orden (pedido), a la que llamaremos 𝑄𝑄∗ . Tomando la parte positiva,
tenemos:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)
𝑸𝑸∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪)

Este es el resultado más importante del análisis y responde a la pregunta «¿Cuánto

debemos ordenar?» " Ahora podemos encontrar la longitud óptima correspondiente
del ciclo de stock. Sabemos que 𝑄𝑄 = 𝐷𝐷 × 𝑇𝑇, y si sustituimos 𝑄𝑄∗ por 𝑄𝑄 encontramos
la longitud óptima del ciclo, 𝑇𝑇 ∗ .

Reorganizando:

𝑸𝑸∗ 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)
𝑻𝑻∗ = =�
𝑫𝑫 (𝑫𝑫)(𝑪𝑪𝑪𝑪)

344
También podemos encontrar el coste óptimo por unidad de tiempo, 𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ ,
sustituyendo el valor de

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)
𝑸𝑸∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪)
en la expresión:

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷) +
(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷) (𝐶𝐶𝐶𝐶)(Q)
𝑄𝑄 +
2

(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸∗ )
𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) + +
𝑸𝑸∗ 𝟐𝟐

El componente de coste unitario es fijo, por lo que podemos concentrarnos en los dos
últimos términos que forman el costo variable (𝐶𝐶𝐶𝐶). Entonces:

(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷) (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑄𝑄)
𝐶𝐶𝐶𝐶 = +
𝑄𝑄 2

Sustituyendo 𝑄𝑄∗ por 𝑄𝑄 para obtener el valor óptimo de 𝐶𝐶𝑉𝑉 ∗ :

𝑪𝑪𝑽𝑽∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)

Si compara esto con la cantidad de orden económico, puede ver que:

Costo variable óptimo por unidad de tiempo:

𝑪𝑪𝑽𝑽∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸∗ )

Entonces, el costo total óptimo por unidad de tiempo es la suma de este costo variable
y el costo fijo:
𝑪𝑪𝑻𝑻∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) + 𝑪𝑪𝑽𝑽∗

Para analizar las derivaciones del conjunto de expresiones del problema de

inventarios, resolvamos el siguiente problema.

345
Ejemplo numérico No. 1 (Waters, D. (2003))

Jaydeep (Trading) Company compra 6,000 unidades de un artículo cada año con un
costo unitario de $ 30.00. Cuesta $ 125 para procesar una orden y arreglar la entrega,
mientras que los intereses y los costos de almacenamiento ascienden a $ 6 por año
por cada unidad que se tiene. ¿Cuál es la mejor política de pedidos para el artículo?

Solución:

Describiendo los valores que indica nuestro problema, tenemos:

Sea:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐷𝐷 = 6,000 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = $30.00 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = $125.00 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = $6.00 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

La sustitución de estas cifras en la ecuación de la cantidad económica de la orden

proporciona:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) 𝟐𝟐(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝑸𝑸∗ = � = � = 500 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝑪𝑪𝑪𝑪) (𝟔𝟔)

El tiempo óptimo (tiempo de ciclo) entre pedidos es:

𝑸𝑸∗ 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓

𝑻𝑻∗ = =� = = 0.083 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜𝑜𝑜 = 1 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑠𝑠
𝑫𝑫 (𝑫𝑫)(𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝟔𝟔, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

El costo variable asociado es:

𝑪𝑪𝑽𝑽∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸∗ ) = (𝟔𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎)(𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓) = $3,000 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

Esto da un costo total de:

𝑪𝑪𝑻𝑻∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) + 𝑪𝑪𝑽𝑽∗ = ($𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎)(𝟔𝟔, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) + $𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = $183,000 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

346
La variación del coste total por unidad de tiempo con el tamaño del pedido se muestra
en la Figura No. 7 y las variaciones en el costo total con respecto al nivel de stock
(existencias), se muestra en la Figura No. 8.
Costo anual

CT*=183,000

Cantidad ordenada Q

Q*=500

Figura No. 7. Variación del costo total por unidad de tiempo con respecto al tamaño del pedido.

Nivel
de stock

500

Tiempo
1 mes 1 mes 1 mes

Figura No. 8. Variaciones en el costo total y nivel de stock (existencia o reservas)

347
En conclusión:

La política óptima es pedir 500 unidades al mes, con costos anuales de $ 183,000

Ejemplo numérico No. 2 (Waters, D. (2003))

Sarah Brown trabaja para un empresario que fabrica piezas para motores marinos.

Las partes se hacen en lotes, y cada vez que se inicia un nuevo lote cuesta 1,640
dólares para la interrupción y la producción perdida y 280 dólares en salarios para
los instaladores.

Un artículo tiene una demanda anual de 1,250 unidades con un precio de venta de
300 dólares, 60 por ciento de los cuales son materiales directos y costos de
producción. Si la empresa busca un rendimiento del 20% anual sobre el capital, ¿cuál
es el tamaño óptimo del lote para el artículo y los costos asociados?

Solución:

De la información proporcionada, tenemos:

1. La demanda anual (𝐷𝐷) es 1,250 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

2. Como el 60 por ciento del precio de venta se compone de costos directos, el

costo unitario (𝐶𝐶𝐶𝐶) se convierte en 0.6 × $ 300 = $ 18

3. El costo anual de mantenimiento (𝐶𝐶𝐶𝐶) es del 20 por ciento del costo unitario,
o 0.20 × 180 = 36 𝑑𝑑ó𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙.

4. Reordenamiento o, en este caso, preparación de lotes, el costo de reorden (𝐶𝐶𝐶𝐶)

tiene dos componentes para la producción perdida y los salarios directos y se
convierte en 1,640 + 280 = $ 1,920.

La sustitución de éstos datos proporciona el tamaño óptimo del pedido

(resolviendo con Maple). De igual forma, la gráfica que muestra la cantidad óptima
del pedido en relación al costo total se muestra en la Figura No. 9.

, , , , ,
, , , , , ,

348
 , ,

, unidades (aproximadamente)

, ,
años = 15 semanas (aproximadamente)

, , , =
= $13,145.34 dólares en un año

, ,
, =$ 238,140 dólares en un año.

349
 Tamaño de la orden

Figura No. 9. Tamaño óptimo de la orden que minimiza los costos totales.

, ,

, =

, , =

=365.14 unidades (cantidad óptima de pedido)

350
 =$ 238,145

Comentarios:

En la práctica, se ha desarrollado una gran cantidad de software para el control de

inventarios. Gran parte de las compañías utiliza programas especializados, que
pueden ser muy grandes y complicados. Sin embargo, el alumno puede encontrar
software que haga parte del análisis o ilustre los principios. Las hojas electrónicas de
cálculo, el programa Maple o Matlab pueden ser útiles durante el desarrollo del curso,
como se ilustró en el problema No. 2, que muestra un cálculo básico de la cantidad
económica de la orden.

Resumen

Hemos construido un modelo de un sistema de inventario idealizado que relaciona el

tamaño del pedido con los costos y la demanda. Esto demuestra que las órdenes
grandes e particulares tienen un alto componente de costo de mantenimiento, por lo
que el costo total es alto: las órdenes pequeñas y normales tienen un componente de
costo de reorden alto, por lo que el costo total también es alto. Un compromiso
encuentra el tamaño de pedido óptimo o la cantidad de pedido económico que
minimiza los costos de inventario.

351
 9. Problemas resueltos

Problema No. 1. (Waters, 2003)

Preguntas conceptuales:

¿Qué suposiciones se hacen para calcular una cantidad económica de la orden?

a) ¿Qué es el (EOQ)?
b) Si hacemos pedidos que son mayores que el (EOQ), ¿por qué aumenta el costo
total?
c) ¿En qué varía el costo variable por unidad de tiempo?
d) ¿Si utilizamos la cantidad económica del pedido, que es mayor, el componente de
costo de reorden o el componente de costo de mantenimiento?

Respuestas

a. Los principales supuestos son: se considera un solo artículo, se conoce la demanda

y es constante y continuo, el tiempo de espera es cero y la reposición es
instantánea, los costos unitarios, de reorden y de mantenimiento se conocen con
exactitud y se establecen, no se permite escasez. Hay una serie de otras
suposiciones implícitas en el análisis.

b. Es la cantidad económica del pedido, es el tamaño del pedido que minimiza el

inventario total y los costos para un sistema de inventario simple.

c. Debido a que los niveles de stock promedio son más altos, lo que da altos costos
de tenencia. El aumento en el componente de costo de mantenimiento es mayor
que la disminución en el componente de costo de reorden.

d. En el tamaño del pedido.

e. Ninguno en el (EOQ), el componente de costo de reorden es igual al componente

de costo de mantenimiento.

352
Problema No. 2 (Waters, 2003)

La demanda de un artículo es constante en 1,000 unidades al año. El costo unitario es

de $50.00, el costo de reorden es de $ 100.00, el costo de mantenimiento es de 25 por
ciento de valor al año y no se permite la escasez. Describa una política de inventario
óptima para el elemento.

Solución. Resolviendo con Maple

, , , , , ,
, , , , ,

, , , ,
, , , ,

, , , ,
(6.5 semanas aproximadamente)

¿Qué tamaño de pedido dará un costo variable dentro del 10 por ciento de lo
óptimo?

Entre 81 y 197 será la cantidad de pedido que responde a la pregunta

¿Cuál es el costo si los proveedores sólo realizan entregas de 200 unidades?

, ,

353
Problema No. 3 (Bonini, Ch., Hausman, W., Bierman, H. (1997))

Los costos de colocar un pedido son $150 dólares. Se estima que durante los 12 meses
siguientes se utilizarán 1,000 unidades. El costo de mantenimiento por unidad por
mes es de $2.50 dólares.

a) Calcular el tamaño óptimo del pedido (EOQ)

b) Ahora, si la empresa pudiera reducir el costo de los pedidos a $50 dólares; el costo
del esfuerzo para lograr este cambio sería $1,000. Suponer que el producto se
venderá sólo durante los próximos dos años. Calcular la nueva cantidad de pedido
óptima si se aplicara el costo más bajo del pedido, y determinar si la empresa debe
invertir $1,000 dólares en el programa de reducción de este costo.

Solución (Resolviendo con Maple)

, ,

, , , , , , ,

unidades

, , unidades

, ,

354
Por lo tanto, el ahorro es de $1,268 ($3,000-$1,732) o $2,536 durante dos años, y
esto supera el costo de $1000. (Si los ahorros se produjeron a lo largo de un
período de tiempo más largo, sería prudente descontarlos de nuevo a un valor
actual antes de hacer la comparación.

355
Problema No. 4 (Bonini, Ch., Hausman, W., Bierman, H. (1997))

Una empresa utiliza una cierta pieza en el montaje de juegos de equipos electrónicos
a una tasa de 8,000 por año. Cada pieza vale $18 dólares. La empresa estima el costo
de mantener el inventario en 20% del valor del artículo por año.

La empresa puede producir la pieza en una de dos máquinas. En la máquina A, el costo

de configuración es $200 dólares; en la máquina B es sólo $100 dólares. Sin embargo,
cuesta 10 centavos más por unidad producir el repuesto si se usa la máquina B que si
se hace en la máquina A.

¿Cuál máquina debe usar la empresa? ¿Cuál es el tamaño del lote?

Solución. Resolviendo con Maple

, , , , ,

, ,

, , ,

356
357
Problema No. 5 (Bonini, Ch., Hausman, W., Bierman, H. (1997))

ABC Company utiliza 10,000 unidades por año de un producto. El costo unitario de
mantenimiento es de $3 dólares por año. El costo de pedir un lote es de $60 dólares.

a) ¿Cuál es el tamaño óptimo del pedido?

b) Si los costos de los pedidos fueran 60 centavos por pedido, ¿cuántas unidades
deben pedirse de una sola vez?

Solución. Resolviendo con Maple

, ,

, , , , ,

, unidades

, unidades

358
Problema No. 6 (Bonini, Ch., Hausman, W., Bierman, H. (1997))

Dada la misma situación literal a) del problema No. 5, con la información adicional
de que el costo de los pedidos puede reducirse de $60 dólares a $15 dólares por lote,
si la empresa se une a una cooperativa de compras, pagando una cuota de afiliación
anual de $2,000 dólares.

a) ¿Cuál sería el tamaño óptimo del pedido si la empresa decidiera unirse a la

cooperativa?
b) ¿Debe unirse la empresa a la cooperativa?

Solución. Resolviendo con Maple

,
,
, , , , ,

, ,

, ,

359
10. Ajuste de la cantidad de pedido económico

Alejándose de la Cantidad Económica del Pedido (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸)

Las empresas manufactureras suelen tener un problema con el (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸). Cuando sus
costos de configuración de lotes son altos, el (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸) puede sugerir lotes muy grandes
lo que complica la programación de la producción, da largos plazos de entrega a los
clientes, necesita almacenamiento excesivo y dejar demasiado capital en las
existencias. Estos problemas pueden anularse poniendo un valor artificialmente
elevado en el costo de tenencia, pero ilustra una debilidad del cálculo. Otros
problemas surgen cuando:

El (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸) sugiere un valor fraccionario para las cosas que vienen en unidades
discretas (una orden para 2.7 camiones, por ejemplo, no tiene sentido y
compraríamos dos o tres); los proveedores no están dispuestos a dividir los tamaños
estándar de los envases (227 kg de cemento, por ejemplo, se redondearían a los 50 kg
más próximos);

Las entregas se efectúan con vehículos de capacidad fija, de modo que 12

toneladas, digamos, podrían caber en un camión, pero el (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸) de 13 toneladas
necesitaría dos camiones y, por lo tanto, dos costes de entrega; es simplemente más
conveniente redondear tamaños de orden a un número conveniente.

Esto plantea la cuestión de cuánto subirían los costos si no usamos el (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸).

Supongamos que tenemos los siguientes valores:

• Demanda, (𝐷𝐷) = 6,000 unidades al año

• Costo unitario, (𝐶𝐶𝐶𝐶) = $ 30 por unidad

• Costo de reorden, (𝑅𝑅𝑅𝑅) = $ 125 una orden

• Costo de mantenimiento, (𝐶𝐶𝐶𝐶) = $ 7 por unidad al año

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones estándar se obtiene:

𝟐𝟐(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) 𝟐𝟐(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎)
𝑸𝑸∗ = � = � = 462.91 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
(𝟕𝟕) (𝟔𝟔)

𝑪𝑪𝑽𝑽∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸∗ ) = (𝟕𝟕)(𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟗𝟗𝟗𝟗) = $3,240.37 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

360
Es improbable que alguien ordene 463 unidades (y ciertamente no 462.91), por lo
que sería útil saber lo sensible que es el costo de pequeños cambios alrededor de (𝑄𝑄∗ ).
Si nos movemos a una pequeña distancia del (EOQ), ¿el costo sube muy rápidamente,
o es relativamente estable y sólo da pequeñas penalidades? ¿Qué sucede aquí si
compramos en lotes de, digamos, 450 ó 500 unidades?

Órdenes de 450 unidades. Resolviendo con Maple

, , , , ,
, , , ,
,

, ,
,$ (dólares)

Órdenes de 500 unidades. Resolviendo con Maple.

Mismos datos anteriores excepto por

, ,>

, (dólares)

Los lotes de 450 unidades - que están con un 2.8 por ciento por debajo de óptimo -
aumentan los costos variables en $ 1.30 o 0.04 por ciento.

Los lotes de 500 unidades - que están en un 8 por ciento por encima del óptimo
aumentar los costos variables en $ 9.63 o 0.3 por ciento.

En este caso el costo variable es claramente estable alrededor del valor óptimo. En la
práctica, esto es siempre cierto, y podemos alejarnos un poco del (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸) y no obtener
un costo significativamente mayor.

361
11. Modelo de Cantidad Económica del Pedio (EOQ) cuando se permiten
faltantes (déficit)

En el modelo EOQ que se abordó en capítulos anteriores, se supuso que un pedido era
recibido precisamente en el instante en el que el nivel de inventario llegaba a cero. No
se toleraban faltantes, y así los costos de los faltantes se ignoraban en el modelo de
decisión de inventario.

Aunque en muchas situaciones de inventarios los faltantes deben evitarse, hay casos
en donde es económicamente justificable planear y permitir faltantes. Hablando
prácticamente, estos tipos de situaciones existen cuando el valor por unidad del
inventario es alto. Un ejemplo de este tipo de situación es el del individuo que compra
un nuevo auto que no está disponible donde el distribuidor, quien lo pide
posteriormente para el cliente.

Ahora aliviamos la situación de no faltantes (se permite déficit) y permitimos que

ocurran.
Además, agregamos la suposición de que todas las demandas que no se satisfacen
como resultado de los faltantes de inventario se piden de nuevo y eventualmente se
cumplen. Las suposiciones del modelo clásico EOQ todavía se aplican excepto,
naturalmente, la suposición que no permite faltantes.

El perfil de inventario, cuando hay faltantes de existencias se muestra en la figura No.

10.

Nivel de Stock
(inventario) I

Q I Max
D

t2

S
t1 Tiempo, t
T

Figura No. 10. Perfil de inventario con faltantes planeados.

362
11.1. Derivación del modelo de inventarios cuando existe déficit o faltantes
planeados

Además de la notación que se ha utilizado en secciones anteriores, definiremos los

siguientes términos, sea:

𝐶𝐶𝐶𝐶 = Costo de penalización por pedidos pospuestos (faltantes), proporcionales tanto

al número de pedidos pospuestos como al tiempo, costo del faltante por unidad de
faltante por año.

𝑆𝑆 = Número de faltantes por pedido (cantidad pospuesta)

𝐼𝐼𝑀𝑀Á𝑋𝑋 = Nivel máximo de inventario (𝑄𝑄 − 𝑆𝑆)

𝑡𝑡1 = Tiempo durante el cual hay inventario disponible

𝑡𝑡2 = Tiempo durante el cual existen faltantes

𝑇𝑇 = Tiempo entre los pedidos (tiempo de ciclo 𝑇𝑇 = 𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 )

𝑄𝑄 = Cantidad pedida (unidades)

𝐷𝐷 = Requisitos de demanda anual ($ por unidad)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = Costo de reorden (costo de pedir) ($ por pedido)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = Costo de mantener el inventario ($ por unidad de tiempo; típicamente la unidad

de tiempo es 1 año, pero puede ser cualquier unidad de tiempo siempre y cuando
todas las unidades sean consistentes)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = Costo unitario de compra ($ por unidad)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = Costo incremental total

Objetivo: Expresión total del costo

𝐷𝐷
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) = (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )
𝑄𝑄

(𝑄𝑄 − 𝑆𝑆)2
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = (𝐶𝐶𝐶𝐶)
2𝑄𝑄

363
 (𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝑆𝑆)2
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 =
2𝑄𝑄

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟) + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓

𝑫𝑫 (𝑸𝑸−𝑺𝑺)𝟐𝟐 (𝑺𝑺)𝟐𝟐
𝑪𝑪𝑪𝑪 = (𝑪𝑪𝑪𝑪) � � + = (𝑪𝑪𝑪𝑪) + (𝑪𝑪𝑪𝑪)
𝑸𝑸 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐
11.2 Derivación por medio del cálculo de 𝑸𝑸 , 𝑺𝑺 , 𝒚𝒚 𝑰𝑰 para el modelo (EOQ)
∗ ∗ ∗

cuando se permiten faltantes.

Dados los parámetros del modelo (𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐷𝐷) y la expresión anual del 𝐶𝐶𝐶𝐶,
podemos determinar las reglas de decisión óptimas para las variables de decisión:

1) La cantidad óptima de pedido 𝑄𝑄∗

2) El máximo nivel de inventario 𝐼𝐼𝑚𝑚á𝑥𝑥

Usando Maple, tenemos:

364
Pero: ,

Tomando la parte positiva y simplificando términos, la cantidad óptima de pedido que

minimiza 𝐶𝐶𝐶𝐶 es:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪)

𝑸𝑸∗ = � �
𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪𝑪

∗
que es el número de faltantes óptimo que minimiza el 𝐶𝐶𝐶𝐶. 𝐼𝐼𝑚𝑚á𝑥𝑥 se calcula simplemente
de la relación:

∗
𝑰𝑰𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝑸𝑸∗ − 𝑺𝑺∗

365
 (𝑪𝑪𝑪𝑪) 2(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐷𝐷)(𝐶𝐶𝐶𝐶
Pero: 𝑆𝑆 ∗ = 𝑸𝑸((𝑪𝑪𝑪𝑪)−(𝑪𝑪𝑪𝑪) , equivalente a: 𝑆𝑆 ∗ = �(𝐶𝐶𝐶𝐶)(𝐶𝐶𝐶𝐶)−(𝐶𝐶𝐶𝐶)2

Sustituyendo en Q la expresión obtenido, se tiene:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝑪𝑪𝑪𝑪 (𝑪𝑪𝑪𝑪)

∗
𝑰𝑰𝒎𝒎á𝒙𝒙 = � � − 𝑸𝑸 � � = 𝑸𝑸∗ (
𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪 (𝑪𝑪𝑪𝑪) − (𝑪𝑪𝑪𝑪)

El costo incremental total, es:

(𝑪𝑪𝑪𝑪)
𝑪𝑪𝑪𝑪(𝑸𝑸∗ ) = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)𝑫𝑫�
(𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪)
De igual forma:
∗
𝑺𝑺∗ = 𝑸𝑸∗ − 𝑰𝑰𝒎𝒎á𝒙𝒙
Número óptimo de pedidos:

𝑫𝑫
(pedidos/año) =(Unidades/año) /(unidades/pedido): 𝑵𝑵∗ =
𝑸𝑸∗

𝑸𝑸∗
Tiempo entre pedidos (denominado a menudo tiempo de ciclo): 𝑻𝑻∗ =
𝑫𝑫

Ejemplo:

Supongamos que una empresa está considerando la posibilidad de permitir que se

presenten pedidos pospuestos para uno de sus artículos. La empresa estima el costo
faltante (CS) basado en pérdida de prestigio, pérdidas potenciales de utilidad debido
a pérdida de ventas y costos de retardo, en un valor cuatro veces el costo de
mantenimiento, o sea $8 por unidad por año y CR = $9 por pedido.

Los datos del problema son:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = (𝐶𝐶𝐶𝐶) = $2

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅) = (𝐶𝐶𝐶𝐶) = $9

𝑁𝑁ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜 = 𝐷𝐷 = 10,000

𝐷𝐷
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑇𝑇 =
𝑄𝑄∗

366
Utilizando Maple para resolver el problema para determinar la cantidad
óptima del pedido (EOQ) cuando no se permiten faltantes.

, , , , , , ,

, , unidades , , =$ 600

, , , ,

, días , ,

, , , pedidos por año

De igual forma, cuando se permiten faltantes, tenemos:

367
 , ,

, , ,

, , , unidades

, , , unidades

, , ,

, unidades

, , , =$536.65

De igual forma:

, , , , , días

368
Así, si este modelo se implementa, el sistema comparado con el modelo clásico de la
cantidad óptima del pedido (EOQ) tendrá las siguientes características:

Características (EOQ) Se permiten (EOQ) No se permiten

faltantes faltantes

𝑄𝑄 ∗ (𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢) 335 300

𝐼𝐼∗ 𝑚𝑚á𝑥𝑥 (unidades) 263 300

𝑄𝑄 11.73 10.5
𝑇𝑇 ∗ = (𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝐷𝐷
∗
𝐶𝐶𝐶𝐶 ($) 536.55 600.00

Así, en este ejemplo, el permitir faltantes se traduce en un ahorro de ($600 −

$536.55 = $63.45) o un poco más del 10% sobre el modelo sin faltantes (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸). La
comparación anterior se basa en una asignación precisa del costo faltante, que en
realidad es un parámetro muy difícil de estimar. Si a la compañía le preocupa mucho
que los faltantes pueden deteriorar seriamente su prestigio y la pérdida de ventas,
entonces las ganancias anticipadas no serían suficientes para garantizar el cambio de
un modelo de inventario que permitía faltantes planeados. Un análisis de sensibilidad
en 𝐶𝐶𝐶𝐶 sería un método útil para decidir en este caso.

369
12. Modelo de Cantidad Óptima del Pedido (EOQ) para lotes de producción:
un solo producto

Consideraremos ahora el caso en donde los artículos se reciben para inventario a una
tasa constante con el tiempo, al mismo tiempo que las unidades se consumen. Esto
contrasta con el modelo de la cantidad óptima del pedido (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸), en donde la cantidad
total pedida se recibe instantáneamente. Este modelo se diseña típicamente para
situaciones de producción en que se coloca un pedido, la producción comienza y un
número constante de unidades se suma al inventario cada día hasta completa el lote
de producción. Al mismo tiempo, las unidades se demandan y consumen a una tasa
constante. Se supone que la tasa de producción es mayor que la tasa de demanda. De
otra manera, no se acumulará inventarios y se presentarán faltantes.

12.1. Formulación del modelo

Definamos los siguientes parámetros:

𝑝𝑝 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ó𝑛𝑛, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑑𝑑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢ó𝑛𝑛, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡é𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢)

𝑇𝑇 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ó𝑛𝑛, 𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) ($ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑜𝑜)

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ($ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡). 𝑈𝑈𝑈𝑈 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐷𝐷 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜)

𝑁𝑁 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

Función objetivo:

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

El costo de pedir (ordenar) es como antes igual a:

𝐷𝐷
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟) = (𝐶𝐶𝐶𝐶)( )
𝑄𝑄

370
La interpretación del costo de pedir en una situación de producción se le conoce más
adecuadamente, como el costo de producción de alistamiento. Este costo, que incluye
horas hombre, material y costo de pérdida de producción en que se incurre mientras
se prepara el sistema de producción para operación, es un costo fijo que ocurre para
cada lote de producción, independientemente de la cantidad producida.
Los costos de preparación (reorden, pedir o alistamiento) representan los costos para
desarrollar los planes de producción para el artículo, escribir los pedidos para la
planta y realizar los trámites de papel necesarios, alistar las máquinas y controlar el
flujo de pedido a lo largo de la planta manufacturera.

El costo de mantenimiento es también igual, como antes, al costo anual

𝑄𝑄
unitario de sostenimiento multiplicado por el inventario promedio, es decir: (𝐶𝐶𝐶𝐶)( ).
2
Sin embargo, puesto que la producción de la cantidad total pedida 𝑄𝑄 tiene lugar sobre
un periodo de tiempo (definido por la tasa de producción 𝑝𝑝) y las partes ingresan al
inventario, no en grandes tandas o cantidades (como en el modelo 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸), sino en
pequeñas cantidades a medida que la producción y el consumo se realizan,
obtenemos un patrón de inventario similar a la Figura No. 11.

El máximo nivel de inventario, y por consiguiente el nivel de inventario

promedio, no será solamente una función del tamaño del lote como en el modelo
clásico 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸, sino también una función de la tasa de producción (𝑝𝑝) y de la tasa de (𝑑𝑑).
Examinemos la figura No. 11 mostrada a continuación:

Nivel de Stock
(inventario) I p = tasa de producción
d= tasa de demanda
tp = período de tiempo de un lote de producción
T = período de tiempo entre la iniciación de los lotes de producción

Imax { =tp (p-d), Q (1-d/p)

Q
I =Imax/2

tp
Tiempo, t
T

Figura No. 11. Perfil de inventario en función del tiempo, con recepción de artículos no instantánea.

371
Nivel máximo de inventario

𝑰𝑰𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝒕𝒕𝒑𝒑 (𝒑𝒑 − 𝒅𝒅)

donde (𝑝𝑝 − 𝑑𝑑) es la tasa de acumulación de inventario por unidad de tiempo

(𝑝𝑝 se supone mayor que 𝑑𝑑) y 𝑡𝑡𝑝𝑝 es la duración total del lote de producción.
Para obtener el nivel de inventario promedio en términos de la variable de
𝑄𝑄
decisión 𝑄𝑄, remplazamos ( ) por 𝑡𝑡𝑝𝑝 , obteniendo:
𝑝𝑝

Inventario promedio:

𝑸𝑸 𝒅𝒅
(𝟏𝟏 − )
𝟐𝟐 𝒑𝒑

El costo anual de mantenimiento es:

𝑸𝑸 𝒅𝒅
(𝑪𝑪𝑪𝑪) (𝟏𝟏 − )
𝟐𝟐 𝒑𝒑

La expresión del costo total es:

𝑫𝑫 𝑸𝑸 𝒅𝒅
𝑪𝑪𝑪𝑪 = (𝑪𝑪𝑪𝑪) + (𝑪𝑪𝑪𝑪) (𝟏𝟏 − )
𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒑𝒑

372
12.2. Derivación de las reglas de decisión óptimas para el modelo de la
cantidad óptima del pedido (EOQ) para lotes de producción: un solo
producto

Dada la función objetivo

𝑫𝑫 𝑸𝑸 𝒅𝒅
𝑪𝑪𝑪𝑪 = (𝑪𝑪𝑪𝑪) + (𝑪𝑪𝑪𝑪) (𝟏𝟏 − )
𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒑𝒑

Y los parámetros del modelo (𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐷𝐷, 𝑑𝑑 , 𝑝𝑝), podemos derivar una regla de decisión
óptima para 𝑄𝑄∗ por medio del cálculo diferencial. Los resultados utilizando Maple,
son:

, = 𝑄𝑄∗

Comprobando mediante el criterio de la segunda derivada, tenemos:

373
 , ˃ 0.

Puesto que el valor de la segunda derivada es mayor que cero para 𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝑦𝑦 𝑄𝑄 mayores
que cero, 𝑄𝑄∗ es la solución de costo mínimo.
Por lo que:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) 𝒑𝒑
𝑸𝑸∗ = � 𝒅𝒅 = � (𝑪𝑪𝑪𝑪)
�(𝒑𝒑−𝒅𝒅)
𝑪𝑪𝑪𝑪(𝟏𝟏− )
𝒑𝒑

También:
𝒅𝒅
𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)(𝟏𝟏 − )
𝒑𝒑

El número óptimo de lotes de producción de tamaño 𝑄𝑄∗ es, por consiguiente:

𝑫𝑫
𝑵𝑵∗ =
𝑸𝑸∗

Y el tiempo óptimo entre los lotes de producción es:

𝟏𝟏 𝑸𝑸∗ 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝒑𝒑
𝑻𝑻∗ = = , = 𝑻𝑻∗ = � �
𝑵𝑵∗ 𝑫𝑫 (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝒑𝒑−𝒅𝒅)

El costo variable es:

(𝒑𝒑 − 𝒅𝒅)
𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)�
𝒑𝒑
Ejemplo numérico No. 1:

Supongamos que los artículos del ejemplo anterior fueran fabricados por una división
de una compañía que tuviera una planta productora contigua a la empresa.
Supongamos también que la tasa de producción 𝑝𝑝 es de 15,000 unidades por año.

Admitamos que 𝐶𝐶𝐶𝐶 = $2, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = $9.

, , , unidades.
También:

374
 , ,

, , , = $346.410

También,

, = número óptimo de lotes de producción de tamaño

𝑄𝑄∗

, , , = 18.4 días (0.051 años x

350 días/año)

Finalmente, realicemos la comparación entre reposición finita e instantánea.

La tabla siguiente muestra las diferencias entre los modelos.

Comparación de reposición finita e instantánea

Reembolso instantáneo
Tasa de reabastecimiento finita (Para la cantidad de económica del
pedido EOQ)

Cantidad ordenada
𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) 𝒑𝒑 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)
𝑸𝑸∗ = � � 𝑸𝑸∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪) (𝒑𝒑 − 𝒅𝒅) (𝑪𝑪𝑪𝑪)

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪) 𝒑𝒑 𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)
Tiempo de ciclo 𝑻𝑻∗ = � � 𝑻𝑻∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝒑𝒑 − 𝒅𝒅) (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)

(𝒑𝒑 − 𝒅𝒅)
Costo variable 𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)� 𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)
𝒑𝒑

𝒅𝒅
Costo total 𝑪𝑪𝑪𝑪∗ = �𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)(𝟏𝟏 − ) 𝑪𝑪𝑻𝑻∗ = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) + 𝑪𝑪𝑽𝑽∗
𝒑𝒑

Tiempo óptimo de 𝑸𝑸∗

𝑻𝑻𝑻𝑻∗ =
producción 𝒑𝒑

375
12.3. Discusión y reflexión:

Imagínese trabajando con un mayorista o minorista. Tienen entregas grandes que

aumentan instantáneamente el nivel de bienes o mercancías, y luego una serie de
demandas más pequeñas que lentamente la reducen.

Consideremos, sin embargo, las existencias de productos terminados al final de una

línea de producción. Si la tasa de producción es mayor que la demanda, los bienes se
acumularán a un ritmo finito, de modo que no hay reposición instantánea, sino una
tasa de reposición finita.

Si la tasa de producción es menor que la demanda, cada unidad que llega es

inmediatamente transferida a un cliente y no hay existencias. Los bienes sólo se
acumulan cuando la tasa de producción es mayor que la demanda. Entonces el nivel
de stock sube a un ritmo que es la diferencia entre producción y demanda. Si
llamamos la tasa de producción 𝑝𝑝, las existencias se acumularán a una tasa (𝑝𝑝 – 𝑑𝑑),
como se muestra en la siguiente Figura No. 12.
Transferencia

Aglutinar
demanda
a stock

Producir a la tasa (p) por Aumentos de stock a (p-d) Satisfacer la demanda de (d)
unidad de tiempo por unidad de tiempo por unidad de tiempo

Figura No. 12. Tasa de reabastecimiento finita.

Este aumento continuará mientras la producción continúe. Esto significa que tenemos
que tomar una decisión en algún momento para detener la producción de este
elemento y probablemente transferir la fabricación de otros elementos a otras
instalaciones.

El objetivo de este análisis es encontrar el mejor momento para esta transferencia, lo

que equivale a encontrar un tamaño de lote óptimo.
Supondremos que las otras suposiciones que hemos hecho para la cantidad de orden
económico siguen siendo válidas, por lo que seguimos considerando un solo artículo,
con demanda conocida, constante y continua, con costos conocidos y constantes, y sin
escasez.

376
Así que tenemos reabastecimiento a una tasa 𝑝𝑝 y la demanda a una tasa 𝑑𝑑, con el
crecimiento de la población a una tasa (𝑝𝑝 − 𝑑𝑑). Después de algún tiempo, decidimos
detener la producción.

Entonces, el stock se utiliza para satisfacer la demanda y disminuye a una tasa d.

Después de algún tiempo adicional, (𝑇𝑇 − 𝑡𝑡𝑡𝑡), en donde todas las existencias se han
utilizado y debemos comenzar la producción de nuevo.

La Figura No. 11 muestra la variación resultante en el nivel de stock, donde asumimos

que hay un valor óptimo para 𝑡𝑡𝑡𝑡 (que corresponde a un tamaño de lote óptimo) que
usamos siempre.

12.4. Problemas resueltos de la sección

Problema resuelto No. 1 (Waters, 2003)

La demanda de un artículo es constante en 1,800 unidades al año. El artículo se puede

hacer a una tarifa constante de 3,500 unidades por año. El coste unitario es $ 50, el
coste de la reorden o de pedido de la producción es $650, y el coste de mantener es el
30 por ciento del valor un año. ¿Cuál es el tamaño óptimo del lote o del artículo? Si el
tiempo de preparación de la producción es de 2 semanas, ¿cuándo debería iniciarse?

Solución:

Listando las variables y datos proporcionados:

𝐷𝐷 = 𝑑𝑑 = 1,800 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝑝𝑝 = 3,500 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = $50 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

𝐶𝐶𝐶𝐶 = $650 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (30% 𝑑𝑑𝑑𝑑 50) = (0.30 𝑥𝑥 50 = 15 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜)

Sustituyendo estos valores y utilizando Maple, tenemos:

377
 ,

, , ,

, , , , ,

, , ,$

, , , ,

,
semanas

, ,

, semanas

, , $ por año

378
 , , ,
,$

Finalmente, si el tiempo de preparación de la producción es de 2 semanas, podemos

encontrar el tiempo para comenzar desde el valor de reorden. El tiempo de ciclo es
más largo que el tiempo de entrega, así que:

, ,

La mejor política es comenzar a hacer un lote de 567 unidades cada vez que las
existencias caen a 70 unidades.

Ejemplo resuelto No. 2 (Waters, 2003)

Los meteorólogos de Saloman Curtis han estimado la demanda de un artículo que

importan de Taiwán a un promedio de 20 unidades al mes. Ellos pagan $ 1,000 por
cada unidad.

El año pasado, el Departamento de Compras y Transporte Interno organizó la entrega

de 2,000 pedidos y tuvo costos de operación de $ 5,000,000.

La Sección de Cuentas cita los costos anuales de tenencia como 20 por ciento del costo
unitario por la pérdida de capital y oportunidad, 5 por ciento por espacio de
almacenamiento, 3 por ciento por deterioro y obsolescencia y 2 por ciento por seguro.

Todos los demás costos asociados con el almacenamiento del artículo se combinan en
un costo anual fijo de $ 24,000. Calcule la cantidad de pedido económico para el
artículo, el tiempo entre pedidos y el costo total correspondiente.

Al hacer que el artículo a una tasa de 40 unidades al mes Saloman Curtis podría evitar
el costo fijo de $ 24,000 al año, reducir el costo unitario a $ 900 y tener un costo de
ordenación de lote de $ 1,000. ¿Sería mejor para la empresa hacer el artículo en sí en
lugar de comprarlo?

379
Solución:

En primer lugar, podemos considerar la opción de comprar el artículo. Entonces

conocemos las siguientes variables.

Listando las variables y datos proporcionados:

𝐷𝐷 = 𝑑𝑑 = 20 𝑥𝑥 12 = 240 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝑝𝑝 = 40 𝑥𝑥 12 = 480 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = $1,000 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

$5,000,000
𝐶𝐶𝐶𝐶 = = $2,500 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
2,000

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (0.2 + 0.05 + 0.02) 𝑥𝑥 1,000 = 0.30 𝑥𝑥 100 = $300 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜)

Resolviendo con Maple (reembolso instantáneo, para la cantidad de económica

del pedido EOQ)

, ,
,

, , , , ,
, , , , unidades

, , años,

, semanas

380
 , , ,

, , , $

, , , , $

, , unidades

, , $

, $ ,

, , $

, , $ = $258,973

Utilizando ahora la tasa de reabastecimiento finita y usando Maple, tenemos:

,
,

, , , , , , ,
,

381
 , , unidades

, , años , semanas

, , ,

, , , unidades

, , , $ =$26,832.81572

, unidades

, $ = $53,665.63145

, ,$ = $216,000

, , $

, , $
=$224,049.8447

382
13. Modelo de inventarios con escasez planeada y con pedidos pendientes

13.1. Pedidos atrasados y ventas perdidas

Los modelos descritos hasta el momento han supuesto que no se permiten escaseces
y que toda demanda debe ser cumplida. Esta es una opinión razonable cuando la
escasez es muy cara. Hay, sin embargo, circunstancias en las que la escasez planificada
es beneficiosa. Un ejemplo obvio viene cuando el costo de mantener un artículo en la
una sala de exposición es más alto que el beneficio de venderlo.

Cuando usted compra un automóvil nuevo, por ejemplo, en la sala de exhibición no se

mantiene una exposición de cada versión en sus modelos de autos, pero usted elige
las características que usted desea, la sala de exposiciones ordena esto al fabricante,
y después usted espera el coche para que le sea entregado. En otro caso, si compra
una computadora de la compañía Dell, usted visita su sitio web para diseñar un
sistema y luego Dell lo fabrica y lo entrega con un plazo de entrega corto.

Cuando la demanda de los clientes de un artículo no puede ser satisfecha de las

existencias, hay escasez. Entonces el cliente tiene una opción (como se muestra en la
figura No. 13).

En primer lugar, pueden esperar a que el artículo entre en stock, en cuyo caso su
demanda se cumple con un pedido pendiente. O pueden retirar su pedido y acudir en
un futuro con otro proveedor, en cuyo caso se pierden ventas.

Es probable que los clientes que experimentan una escasez se desvíen por lo menos
con algunos negocios similares o con proveedores más confiables. Las encuestas
sobre las actitudes de los clientes sugieren que se necesita una mala experiencia para
que un cliente cambie de proveedor, pero algo así como 14 buenas experiencias para
restaurar su confianza.

Comenzaremos por mirar las órdenes atrasadas, donde los clientes están preparados
para esperar, y en seguida pasar al análisis de las ventas perdidas.

La figura siguiente muestra las alternativas que tienen los clientes cuando su
demanda no puede ser satisfecha de las existencias disponibles.

383
 El cliente exige un
artículo

El artículo
está agotado

El cliente espera El cliente se traslada a

otro proveedor con
ventas perdidas

El cliente transfiere El cliente transfiere El cliente transfiere

El cliente transfiere
algunos negocios algunos negocios algunos negocios
todo el negocio futuro
futuros a otro futuros a otro futuros a otro
a otro proveedor
proveedor proveedor proveedor

Figura No. 13. Alternativas para los clientes cuando su demanda no puede ser satisfecha de las
existencias disponibles.

13.2. Pedidos atrasados

Una orden posterior se produce cuando un cliente exige un artículo que está fuera de
las existencias, y luego debe esperar para recibir el artículo en la próxima entrega por
parte de los proveedores.

Vemos estos casos en muchos minoristas, tales como salas de exposición de los
muebles. Cada sala de exposición almacena una colección de muebles, pero no es
suficiente para cubrir toda la demanda, y se pide a los clientes que esperen las
entregas de proveedores o centros regionales de distribución. Esto sugiere que es
más probable que la disposición posterior sea más alta cuando el costo unitario sea
alto, que exista una amplia gama de elementos, que sea demasiado costoso mantener
existencias de toda la gama, que los plazos de entrega de los proveedores sean
razonablemente cortos, y los clientes están dispuestos a esperar.

Conoceremos el caso más común en el que se mantienen algunas existencias, pero no

lo suficiente para cubrir toda la demanda. La pregunta clave es: ¿cuánto de la
demanda se debe satisfacer de las existencias y cuánto de los pedidos atrasados?

La figura No. 14 muestra el nivel de existencias durante un ciclo cuando la escasez

está pendiente.

384
 Nivel de Stock

Tiempo

Figura No. 14. Un ciclo de reservas (stock) único con pedidos atrasados

Aquí los pedidos atrasados se muestran como existencias negativas, y vamos a usar
el enfoque estándar de encontrar el costo para un solo ciclo y usarlo para calcular el
tamaño óptimo del pedido.

El costo total para un solo ciclo proviene de la suma de los cuatro componentes de
costo:

• Componente del costo unitario: momento del costo unitario = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸)

• Componente del costo de reorden (costo de pedir): = Costo de Ordenar

multiplicado por el número de pedidos= (𝑪𝑪𝑪𝑪)

(𝑸𝑸−𝑺𝑺)
• Componente del costo de mantener: = Stock promedio de mantenido
𝟐𝟐
durante un tiempo 𝑇𝑇1 .
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸−𝑺𝑺)𝑻𝑻𝟏𝟏
=
𝟐𝟐
• Componente del costo de escasez: escasez promedio durante un tiempo 𝑇𝑇2 .

(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑺𝑺)(𝑻𝑻𝟐𝟐 )
=
𝟐𝟐

385
Si se suman estos datos, se obtiene el costo total por ciclo.

(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸−𝑺𝑺)(𝑻𝑻𝟏𝟏 ) (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑺𝑺)(𝑻𝑻𝟐𝟐 )
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸 + (𝑪𝑪𝑪𝑪) + +
𝟐𝟐 𝟐𝟐

Durante la primera parte del ciclo se satisface toda la demanda de existencias, por lo
que la cantidad enviada a los clientes es (𝑄𝑄 – 𝑆𝑆), lo que equivale a la demanda de
(𝐷𝐷)( 𝑇𝑇1 ).

Durante la segunda parte del ciclo toda la demanda es ordenada de nuevo, por lo que
la escasez, S es igual a la demanda no satisfecha (𝐷𝐷) (𝑇𝑇2 ). Sustituyendo:

(𝑸𝑸−𝑺𝑺) 𝑺𝑺
𝑻𝑻𝟏𝟏 = y 𝑻𝑻𝟐𝟐 =
𝑫𝑫 𝑫𝑫

Se obtiene el costo total por ciclo:

(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸−𝑺𝑺)𝟐𝟐 (𝑪𝑪𝑪𝑪)𝑺𝑺𝟐𝟐
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸) + (𝑪𝑪𝑪𝑪) + +
𝟐𝟐(𝑫𝑫) 𝟐𝟐(𝑫𝑫)

Luego dividiendo por 𝑇𝑇 y sustituyendo 𝑄𝑄 = (𝐷𝐷)( 𝑇𝑇) se obtiene el coste total por
unidad de tiempo:

(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑸𝑸−𝑺𝑺)𝟐𝟐 (𝑪𝑪𝑪𝑪)𝑺𝑺𝟐𝟐

𝑪𝑪𝑪𝑪 = (𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫) + + +
𝑸𝑸 𝟐𝟐(𝑸𝑸) 𝟐𝟐(𝑸𝑸)

La ecuación tiene dos variables, 𝑄𝑄 y 𝑆𝑆, por lo que podemos diferenciar con respecto a
Ambas variables e igualar a cero para obtener los resultados:

Usando Maple para derivar los valores óptimos:

386
 ,

Después de alguna manipulación estas ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas

para dar valores óptimos:

, ,

387
Tamaño del pedido óptimo (tomando la raíz positiva):

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)(𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪)
𝑸𝑸∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)

Cantidad óptima de pedido pendiente:

𝟐𝟐(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑫𝑫)
𝑺𝑺∗ = �
(𝑪𝑪𝑪𝑪)(𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝑪𝑪)
Además, sabemos:

Tiempo durante el cual se satisface la demanda:

(𝑸𝑸∗ − 𝑺𝑺∗ )
𝑻𝑻𝟏𝟏 =
𝑫𝑫

Tiempo durante el cual la demanda está pendiente:

𝑺𝑺∗
𝑻𝑻𝟐𝟐 =
𝑫𝑫
Tiempo de ciclo:

𝑻𝑻𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐

Discusión

A veces es útil tener escasez planificada, particularmente cuando la demanda del

cliente no se pierde, pero puede ser satisfecha con pedidos atrasados. Estos pedidos
pendientes inevitablemente tienen algún costo, que podemos expresar como un costo
de escasez dependiente del tiempo. Podemos Utilice esto para encontrar valores
óptimos para el tamaño del pedido y la cantidad que se ordenarán de nuevo.

Analicemos lo anterior mediante un ejemplo resuelto.

Ejemplo resuelto. (Waters,2003)

La demanda de un artículo es constante a 100 unidades al mes. El costo unitario es de

$ 50, el costo de reorden es de $ 50, el costo de mantenimiento es de 25 por ciento de

388
valor al año, el costo de escasez para los pedidos atrasados es de 40 por ciento de
valor al año. Encuentre una política de inventario óptima para el elemento.

Solución:

Listando las variables que conocemos en unidades consistentes:

𝐷𝐷 = (100)(12) = 1,200 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = $50 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

𝐶𝐶𝐶𝐶 = $50 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (0.25)($50) = $12.5 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

𝐶𝐶𝐶𝐶 = (0.4)($50) = $20 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜

Entonces la sustitución da al resolver con Maple:

, , ,

, , , unidades

, , unidades

389
 , ,

, semanas

, ,

, semanas

, , ,

semanas

Conclusiones

En este ejemplo, el costo de escasez es relativamente bajo, por lo que el artículo está
agotado casi el 40 por ciento del tiempo.

390
14. Conclusiones del capítulo

En este capítulo se ofrece una introducción íntegra a la gestión de inventarios de

acuerdo al programa de trabajo presentado a la Dirección de docencia del
Tecnológico Nacional de México. Se desarrolló el tema de inventarios desde los
principios básicos hasta un material un poco avanzado con respecto a los objetivos y
contenido del programa de estudios de la materia investigación de operaciones que
se imparte en la carrera de ingeniería en sistemas computacionales, dejando al
alumno y a los profesores e interesados en el tema a profundizar en el tema de
inventarios con los desarrollos más recientes.

De hecho, no se aborda ningún conocimiento previo del tema, de tal forma que
cualquiera que lea la sección de inventarios abordado en el libro de texto encontrará
fácil construir una comprensión detallada del tema.

En esta parte del libro también se tiene el cuidado de no pedir ningún

conocimiento específico sobre la ciencia de la gestión, investigación de operaciones,
matemáticas avanzadas, contabilidad, o cualquier otra materia. Esto significa que una
gran variedad de personas con distintos perfiles en su formación académica pueden
leerlo útilmente, incluyendo a estudiantes que hacen un curso general en
administración, negocios, comercio, o algún campo relacionado que requiera el
conocimiento del tema.

También puede utilizarse para cursos más especializados en, por ejemplo,
mercadotecnia, gestión de la cadena de suministro, gestión de operaciones,
investigación de operaciones, ciencias de la gestión o producción.

Además, es útil para los administradores que quieren aprender más sobre la
gestión de inventario y cómo las ideas pueden ser utilizadas en su trabajo. Cualquiera
que sea su experiencia, puede utilizar la sección de este libro de forma accesible y
fácil, de tal forma que este en posibilidad de usarlo para aprender sobre el
pensamiento y las prácticas actuales en la gestión de inventario.

Es adecuado para muchos tipos de personas, incluidos los estudiantes del

campo de la ingeniería industrial, ingeniería en sistemas computacionales, ingeniería
en gestión empresarial y la licenciatura en administración. También es útil para
personas que realizan una gama amplia de cursos sobre el tema, también es útil para
los directores empresariales.

Las ideas sobre la gestión de inventario están cambiando muy rápidamente, y

en esta sección del libro se ofrece una visión práctica del pensamiento sistémico en
que se sustenta la investigación de operaciones.

391
 Algo medular: los interesados en abordar problemas en el campo de aplicación de
la investigación de operaciones, deben conocer las herramientas básicas del cálculo
diferencial, la estadística, el álgebra lineal. De igual forma, es importante estar
familiarizado con el uso de software especializado como Maple, Matlab, Excel,
Mathematica u otro que le permita comprender los conceptos del tema, y facilitar las
operaciones necesarias para resolver los problemas y proyectos propuestos.

392
15. Referencias y bibliografía

• Bierman, Harold, Jr. / Bonini, Charles P. / Hausman, Warren H. (1981).

Quantitative Analysis for Business Decisions, Sixth Edition, Edit. Mc Graw-Hill,
Usa

• Garvan, F. (2001). The Maple Book. Chapman and Hall/CRC; Edición, Usa.

• Moskowitz, Herbert; Wright, Gordon P; Franco G., Carlos A. (1981). Operations

Research Techniques for Management, Edit. Prentice Hall, Usa.

• Parlar, M. (2000). Interactive Operations Research with Maple, edit.

Birkhäuser, Usa.

• Thierau, R. (1970). Decision Making Through Operations Research

(Management & Administration). Usa

• Vrat, P. (2014). Materials Management, Springer Texts in Business and

Economics, Usa.

• Waters, D. (2003). Inventory Control and Management, 2ª. Edición, Edit. John
Wiley & Sons, Usa.

393
 Capítulo VI
Líneas de espera

1. Introducción
2. Historia
3. Aplicaciones
4. Caracterización
5. Elementos de un sistema de líneas de espera (colas)
5.1. Especificación de un sistema de colas
6. Notación
6.1. Notación de Kendall
6.2. Notación de Kendall para distintas distribuciones de probabilidad
7. Leyes de Little
7.1. La tasa de llegada
7.2. Tasa de finalización del servicio
8. PASTA.
9. Proceso de nacimiento y muerte
10. Sistema de colas (M/M/1)
10.1 Distribución del tiempo de espera en el sistema de espera o cola modelo
(M / M / 1)
11. Sistema de colas (M / M / 1 / c)
12. Sistema de colas (M / M / s)
13. Proceso de toma de decisiones en líneas de espera (Costo de la espera)
14. Sistemas de pérdida
14.1 Modelo de líneas de espera de pérdida M/G/c

394
15. Problemas resueltos
16. Conclusiones del capítulo
17. Referencias y bibliografía

395
 Date prisa y espera.
Viejo refrán del ejército.
1. Introducción

En general no nos gusta esperar. Pero la reducción del tiempo de espera suele
requerir inversiones adicionales. Para decidir si invertir o no, es importante conocer
el efecto de la inversión en el tiempo de espera. Necesitamos modelos y técnicas para
analizar tales situaciones.

En este capítulo tratamos una serie de modelos de colas elementales. Se presta

atención a los métodos de análisis de estos modelos, así como a las aplicaciones de los
modelos de colas mediante un conjunto de problemas numéricos. Las áreas de
aplicación importantes de los modelos de colas son sistemas de producción, sistemas
de transporte y almacenamiento, sistemas de comunicación y sistemas de
procesamiento de información. Los modelos de colas son particularmente útiles para
el diseño de estos sistemas en términos de diseño, capacidades y control.

Esta sección, nuestra atención se restringe a los modelos con una cola. Las
situaciones con múltiples colas se tratan en un tema avanzado llamado "Redes de
colas", que queda fuera del alcance de nuestro curso. Las técnicas más avanzadas para
el análisis exacto, aproximativo y numérico de los modelos de colas forman parte de
un curso denominado «Métodos algorítmicos en la teoría de colas», que se imparten
en niveles de maestría y doctorado en el campo de la investigación de operaciones.

Para tal efecto, la organización de esta unidad es la siguiente:

En la primera parte se discute primero una serie de conceptos básicos sobre la

teoría de colas, una breve historia del tema. Posteriormente se aborda el modelo de
colas relevante y más simple, y su versión multiservidor se trata en las siguientes
secciones de este capítulo. De igual forma se muestran algunas variaciones en los
modelos de líneas de espera con determinadas características como el modelo de
líneas de espera de perdida. En cada sección se resuelve un ejemplo numérico por lo
menos. El texto contiene una gran cantidad de ejercicios y se insta al lector a probar
estos ejercicios utilizando programas como Maple, Matlab, Minitab, Excel, entre otros.
Esto es realmente necesario para adquirir habilidades para modelar y analizar nuevas
situaciones.

396
2. Historia

La teoría de las colas como parte de la teoría de las probabilidades ha evolucionado

desde la ingeniería clásica de las comunicaciones telefónicas en las últimas décadas.
En 1909 A.K. Erlang, un ingeniero danés de una empresa telefónica, publicó un
artículo titulado La teoría de las probabilidades y las conversaciones telefónicas. A
principios de la década de 1920 desarrolló el famoso modelo Erlang para evaluar las
probabilidades de pérdida de conversaciones punto a punto multicanal.

El modelo de Erlang se amplió para permitir el cálculo en situaciones de

entrada de la fuente finita por Engset varios años más adelante conduciendo al
modelo de Engset. En 1951 D.G. Kendall publicó su trabajo sobre las cadenas de
Markov incrustadas, que es la base para el cálculo de sistemas de colas bajo
condiciones de entrada bastante generales. También definió una convención de
nomenclatura para los sistemas de cola que todavía se utiliza. Casi al mismo tiempo
D.V. Lindley desarrolló una ecuación que permite los resultados de un sistema de
colas bajo condiciones de entrada y de servicio bastante generales. En 1957 J.R.
Jackson inició la investigación de las colas en red lo que conduce a los llamados
modelos de red de colas. Con la aparición de las computadoras y las redes de
procesadores, los sistemas de colas y las redes de colas han sido identificados como
una potente herramienta de análisis y diseño para diversas aplicaciones.

De acuerdo a Moskowitz (1979), esta teoría es ahora una herramienta de valor en

negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como
problemas de congestión llegada-salida o llegada-partida.

397
3. Aplicaciones

Como se mencionó anteriormente, la teoría de colas permite el cálculo de un amplio

espectro de aplicaciones. Éstas incluyen:

• En los sistemas de fabricación, las materias primas se transportan de estación en

estación utilizando una banda transportadora. Con cada estación que ha realizado
su tarea, el artículo se permite proceder a la siguiente estación. Si los tiempos de
procesamiento en todas las estaciones son iguales y la banda transportadora se
llena en la misma frecuencia en que los artículos pasan de una estación a otra, no
puede haber espera, ya que la línea de montaje funciona en modo síncrono. En
Modo asíncrono, puede haber colas para estaciones y claramente tiene un impacto
en el rendimiento general.

• Los sistemas informáticos para realizar operaciones en tiempo real o de alta

velocidad suelen estar sujetos a un mal rendimiento debido a un solo dispositivo
de cuello de botella, como CPU, unidad de disco, tarjeta gráfica, puertos de
comunicación o sistema de bus.
Mediante el uso de modelos analíticos, el dispositivo de cuello de botella puede
ser detectado y, como consecuencia, actualizado.

• La ingeniería de Tráfico se ocupa de la disponibilidad de estaciones, postes y líneas

de interconexión. Aunque estos sistemas se caracterizan por dar forma más que
por retraso, todavía pertenecen al mundo de los sistemas de cola. Con la
introducción de nuevos medios en la ingeniería de tráfico el paradigma de retardo
se vuelve más importante de nuevo. Ingeniería de tráfico ahora también tiene que
cubrir un amplio espectro de nuevas unidades tales como tableros del anuncio,
unidades interactivas de la respuesta de la voz, servidores de medios, medios y
pasarelas de la señalización.

• La administración de recursos humanos se preocupa por la asignación más

eficiente de personal. La aplicación de la teoría de colas en la gestión de la fuerza
de trabajo es más visible en los centros de llamadas, donde los agentes tienen que
asignarse según la carga de las llamadas. Basándose en otras técnicas como la
previsión, la teoría de colas puede verse como otro ladrillo en la pared en una
amplia gama de métodos de solución que se aplicarán para resolver problemas
que aparecen en la administración de la fuerza de trabajo.

398
• Cajero automático. Aquí, usted espera en una cola de primer llegado, primero
servido para utilizar el cajero automático para los servicios tales como hacer
depósitos, comprobando saldos, y retirar efectivo (lo más probable el último,
¿verdad?).

• Impresora de la sala de ordenadores. Aquí, cada trabajo que envía a la impresora

para su impresión se coloca en una cola de impresión, en la que suele esperar
primero llegado, primero servido, aunque personas especiales como supe
usuarios probablemente pueden anular esta disciplina de cola para dar prioridad
a determinados trabajos. Una generalización de esto es la red de área local (LAN)
que conecta los equipos cliente, servidores y periféricos en un edificio o en un
campus.
• Aeropuerto. En el aeropuerto, hay muchos sistemas de cola. Hay colas en el
mostrador de boletos y colas en el check-in de la puerta. Aún más importante son
quizás las colas para usar las pistas de aterrizaje (en el suelo para despegar, y en
el aire, aunque no sea una cola física, para el aterrizaje) ya veces las colas no vistas
para usar las puertas. Otros sistemas de colas incluyen los carriles especiales para
que los pasajeros sean llevados a otras salas utilizando dispositivos móviles
especiales utilizando áreas en las terminales correspondientes. De igual forma
suelen presentarse colas en el sistema de manejo de equipajes.

• Sistema de fabricación. Cada parte del sistema tiene que someterse a una serie de
operaciones de fabricación en varias estaciones del sistema. Las colas son a
menudo dispositivos físicos (tampones) donde las partes se mantienen en
almacenamiento temporal mientras se espera la disponibilidad de la máquina
particular requerida para realizar la operación en la estación.

• Red de telecomunicaciones. Los paquetes de mensajes, que contienen información

de datos, voz y / o video, se envían a través de la red de área amplia (WAN) a
través de conmutadores, en los que pueden existir memorias intermedias para
almacenar paquetes mientras se espera el envío. (En muchas partes de los
sistemas, no hay tampones, en cuyo caso los paquetes pueden perderse).
Obviamente, la lista anterior está lejos de ser completa y puede extenderse
además de otras aplicaciones. Para más información, el alumno e interesado en
profundizar sobre más aplicaciones puede remitirse a diversas publicaciones
como EEE Communications Magazine, IEEE Computers, Bell Labs Technical System
Journal o similar.

399
4. Caracterización

Un sistema de colas puede ser descrito como un sistema, donde los clientes llegan de
acuerdo con un proceso de llegada para ser atendidos por una instalación de servicio
de acuerdo con un proceso de servicio. Cada instalación de servicio puede contener
uno o más servidores. Generalmente se supone que cada servidor sólo puede atender
a un cliente a la vez. Si todos los servidores están ocupados, el cliente tiene que hacer
cola para obtener servicio. Si un servidor vuelve a estar libre, el siguiente cliente se
selecciona de la cola de acuerdo con las reglas dadas por la disciplina de colas.
Durante el servicio, el cliente podría pasar por una o más etapas de servicio, antes de
salir del sistema. En la figura no. 1 se muestra una representación esquemática de
dicho sistema de colas. Antes de entrar en más detalle, los aspectos más importantes
de los sistemas de colas serán listados y brevemente descritos.

(Cola) (Servidor)

(Llegada) (Salida)
Área de espera

Número de servidores

Capacidad del
sistema

+ =

Figura No. 1. Representación esquemática de un sistema de colas. Fuente: Stationary Queueing

Models with Aspects of Customer Impatience and Retrial Behaviour.

• El proceso de llegada se da por una distribución estadística y sus parámetros. Muy

a menudo se supone que la distribución exponencial tiene como resultado que el
patrón de llegada se mida como el número promedio de llegadas por unidad de
tiempo. Cuando se determina la carga principal en un sistema telefónico privado
(PBX), el patrón de llegada se da a menudo en llamadas por hora de ocupación.
Los procesos de llegada más generales también se caracterizan por otro patrón.
Estos incluyen las llegadas por grupos de llamadas y la dependencia del tiempo.

400
• El proceso de servicio se describe de forma similar al proceso de llegada. Una vez
más, la exponencialidad se asume a menudo en la práctica debido a las dificultades
al liberar estos supuestos. Frente al proceso de llegada, el proceso de servicio
depende en gran medida del estado del sistema. En caso de que el sistema de colas
esté vacío, la instalación de servicio estará inactiva.
• La disciplina de la cola se refiere a la forma en que los clientes son seleccionados
para el servicio en condición de línea de espera. El más utilizado es el sistema de
primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS). Otros son el último en llegar,
primero en ser atendido (LCFS), el servicio al azar y el prioritario.

• El proceso de salida rara vez se utiliza para describir un sistema de colas, ya que
puede ser visto como resultado de la fila de disciplina, la llegada y el proceso de
servicio. Bajo ciertas condiciones, el proceso de llegada y salida sigue la misma
distribución estadística. Esto se ha convertido en un hecho muy importante en el
modelado de la red de colas.

• La capacidad del sistema introduce un límite natural en los sistemas de colas. En

los sistemas de vida, sólo hay número limitado de recursos, tales como las líneas
trocales en un sistema telefónico privado (PBX), la memoria del ordenador o los
buffers de una red. En las redes de colas, los nodos con capacidades finitas del
sistema pueden bloquear a los clientes del nodo anterior, cuando se ha alcanzado
el límite de capacidad del nodo.

• El número de servidores se refiere al número de nodos paralelos, que pueden

atender a los clientes simultáneamente. En los sistemas de telefonía los servidores
podrían describir líneas troncales, detectores de tonos, generadores de tono e
intervalos de tiempo.

• El número y la estructura de las etapas de servicio, un cliente podría tener que

visitar otras áreas antes de salir del sistema. En un sistema informático, por
ejemplo, un trabajo puede requerir ser procesado en la CPU dos o más veces antes
de apagar el sistema. En la práctica, existen muchas situaciones, que pueden ser
modeladas por sistemas de cola complejos con etapas de servicio o redes
computacionales sencillas.

401
5. Elementos de un sistema de líneas de espera (colas)

Los tres elementos principales de un sistema de colas son los siguientes:

• clientes;
• servidores;
• líneas o colas.

En un «sistema» de colas de un cajero automático de un banco, tenemos clientes,

cajeros automáticos y sala de espera. En un sistema de fabricación, tenemos piezas,
máquinas y amortiguadores. En una pista del aeropuerto, tenemos aviones, pistas de
aterrizaje y áreas de espera (tanto en el cielo como en el suelo). En un taller de
reparación de máquinas, tenemos máquinas (¡como clientes esta vez!), Personas
encargadas de las reparaciones, y sala de espera o almacenamiento. En una red de
comunicaciones (WAN o LAN), tenemos paquetes de datos, conmutadores, canales y
búferes.

5.1. Especificación de un sistema de colas

Los elementos principales que especifican un sistema de colas son los siguientes:

• Fuentes de entrada (llamada población): tiempos de inter-arribo, proceso de

llegada

• Colas: espacio finito o infinito; la disciplina de la cola, por ejemplo, FCFS

(FIFO), LCFS (LIFO), tiempo de procesamiento más corto (SPT), aleatorio,
prioridad, impaciente, etcétera.

• Por el proceso de servicio: número de servidores, características de los

tiempos de servicio.

• Enrutamiento/ topología, redes de colas.

• Algunos factores que deben ser considerados en la aplicación de la teoría de

colas, porque afectan a la complejidad del análisis: considerar los resultados
solo en estado estacionario, el tiempo de espera solo será mediante las leyes
de y fórmulas de Little (a excepción del modelo 𝑀𝑀/𝑀𝑀/1)

402
6. Notación

En esta sección, resumimos la notación utilizada en este capítulo para un solo sistema
de colas. Las tres primeras cantidades son parámetros de entrada, mientras que las
otras son medidas de desempeño de salida.

𝑠𝑠 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐),

𝜆𝜆𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑁𝑁 (𝑡𝑡) = 𝑛𝑛,

𝜇𝜇𝑛𝑛 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑁𝑁 (𝑡𝑡) = 𝑛𝑛,

𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑡𝑡) = 𝑃𝑃 (𝑁𝑁 (𝑡𝑡) = 𝑛𝑛), 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁 (0) = 0,

𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖,

�𝑊𝑊𝑞𝑞 �𝑖𝑖 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖,

𝑁𝑁 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓),

𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑃𝑃(𝑁𝑁),

𝐿𝐿 = 𝐸𝐸[𝑁𝑁] = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,

𝐿𝐿𝑞𝑞 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓),

𝑞𝑞𝑛𝑛 = 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒,

𝑤𝑤 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,

𝑊𝑊 = 𝐸𝐸[𝑤𝑤] = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,

𝑤𝑤𝑞𝑞 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

403
 𝜌𝜌 = 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Precaución: el término «tiempo de espera» se utiliza a menudo en la literatura de

investigación de operaciones para indicar lo que llamamos tiempo del sistema; de
forma similar, la «longitud de cola» se utiliza a menudo para denotar lo que llamamos
el número en el sistema y no sólo el número en cola.

6.1. Notación de Kendall

Utilizaremos la siguiente notación para representar las colas de una sola estación:

. / . / . / . / . = 𝐴𝐴/𝐵𝐵/𝑋𝑋/𝑌𝑌/𝑍𝑍

1. La primera posición representa el proceso de llegada (distribución de tiempo

entre llegadas).

2. La segunda posición representa la distribución del tiempo de servicio.

3. La tercera posición representa el número de servidores.

4. La cuarta posición representa el espacio en el sistema, que incluye cola más

espacios en los servidores; si se omite, entonces el espacio se supone ilimitado
(∞).

5. La quinta posición representa la población del sistema, es decir, el sistema se

«agotará» después de que un determinado número de clientes hayan sido
atendidos; si esto se omite, entonces la población se supone ilimitada (∞).
Por lo tanto, siempre habrá al menos los tres primeros indicadores utilizados en la
notación. Los tres últimos indicadores son enteros positivos, mientras que los dos
primeros son letras que representan distribuciones. Las distribuciones que
utilizaremos serán las siguientes:

𝑀𝑀: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷ó𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)

𝑈𝑈: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷ó𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
𝐷𝐷: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷, 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,

404
𝐸𝐸𝑘𝑘 : 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑛𝑛 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓. 𝑑𝑑. 𝑝𝑝
(𝜇𝜇𝜇𝜇)𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 −𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 1 1
𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 𝑒𝑒 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
(𝑘𝑘 − 1)! 𝜇𝜇 (𝑘𝑘𝑘𝑘2 )
𝐺𝐺: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷ó𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔, 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑛𝑛 ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ó𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.

6.2. Notación de Kendall para distintas distribuciones de probabilidad

Los símbolos estándar comúnmente utilizados en los sistemas de colas se presentan

en la tabla siguiente.

La notación de Kendall (𝐴𝐴/𝐵𝐵/𝑋𝑋/𝑌𝑌/𝑍𝑍) se ha extendido de varias maneras.

Características Símbolo Descripción

𝐴𝐴 𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷í𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
− 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶𝑘𝑘 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)
𝐸𝐸𝑘𝑘 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑜𝑜 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺é𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)
𝐻𝐻𝑘𝑘 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑀𝑀 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐵𝐵 𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷í𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
− 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐶𝐶𝑘𝑘 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐸𝐸𝑘𝑘 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺é𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)
𝐻𝐻𝑘𝑘 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻
𝑀𝑀 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑋𝑋 − 𝑁𝑁ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 1,2, . . , ∞

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

405
 𝑌𝑌 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1,2, . . , ∞

𝑍𝑍 − 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆ó𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅í𝑛𝑛
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑙𝑙

Tabla. Notación de Kendall para un sistema de líneas de espera

Ejemplos:

• 𝑀𝑀 / 𝑀𝑀 / 1 : sistema de colas de un solo servidor con tiempos exponenciales entre

llegadas (proceso de llegada de Poisson) y los tiempos de servicio exponenciales,
no hay límite en la longitud de cola o de la población de clientes.

• 𝐺𝐺 / 𝐺𝐺 / 1 : sistema de colas con tiempos de llegada general y tiempos de servicio

general, sin límite en la longitud de la cola o población de clientes.

• 𝑀𝑀 / 𝐺𝐺 / 1: sistema de colas con proceso de llegada de Poisson y tiempos de

servicio general, sin límite de longitud de cola o población de clientes.

• 𝐷𝐷 / 𝑈𝑈 / 2: sistema de colas con dos servidores con proceso de llegada determinista

y tiempos de servicio uniformemente distribuidos, sin límite en la longitud de cola
o población de clientes.

• 𝑀𝑀 / 𝐺𝐺 / 𝑠𝑠 / 𝑠𝑠: sistema de colas de 𝑠𝑠 servidores con proceso de llegada Poisson y

los tiempos de servicio general, sin colas (todos los clientes en servicio, de lo
contrario abandonan el sistema) y sin límite en la población de los clientes.

• 𝑀𝑀 / 𝑀𝑀 / 𝑠𝑠 / 𝑐𝑐 / 𝑐𝑐,(𝑐𝑐 ≥ 𝑠𝑠): sistema de colas de 𝑠𝑠 servidores con proceso de llegadas

Poisson y tiempo de servicio exponencial, sistema y población de tamaño 𝑐𝑐.

406
7. Leyes de Little

Las leyes de Little son un concepto muy simple, pero también muy potente. Dibuje
una «caja negra» alrededor de la porción del sistema en la que se encuentra el interés
(que podría ser todo el sistema), y sea λ∗ la tasa de arribo (llegada) en la caja negra,
sea 𝐿𝐿∗ el número promedio en la caja negra, y 𝑊𝑊 ∗ el tiempo promedio que se pasa en
la caja negra. La Ley de Little dice lo siguiente:

Si el sistema es estable, entonces:

λ* Caja Negra λ*

Tasa de llegada L* Tasa de salida

Leyes de Little: L *= λ*W*

• La tasa de salida de la caja negra es igual a la tasa de entrada λ∗ .

• 𝐿𝐿∗ = 𝜆𝜆∗ 𝑊𝑊 ∗

Nota importante: La Ley de Little no requiere suposiciones sobre los procesos de

Poisson ni sobre tiempos de servicio distribuidos exponencialmente. Por lo tanto, ¡es
un resultado muy general que es independiente de las distribuciones! La clave para
aplicar la Ley de Little es asegurarse de que se definen correctamente las cantidades
𝜆𝜆∗ , 𝐿𝐿∗ , 𝑊𝑊 ∗ , especialmente la tasa de llegada que realmente entra en la caja negra y no
la tasa de llegada nominal.

Ejemplo: para un sistema completo, tenemos la caja negra que es el sistema, y λ es la

tasa total en el sistema, por lo que:

𝐿𝐿 = 𝜆𝜆𝜆𝜆

que es la manera en que la ley de Little se resume generalmente. Aplicado sólo a la

porción de la cola, tenemos:

𝐿𝐿𝑞𝑞 = 𝜆𝜆𝑊𝑊𝑞𝑞

407
Aplicado sólo a la porción de servicio, tenemos:

𝐿𝐿𝑠𝑠 = 𝜆𝜆𝜆𝜆[𝑋𝑋]

Donde 𝐿𝐿𝑠𝑠 representa el número medio en servicio. (Claramente, por definición, 𝐿𝐿 =

𝐿𝐿𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝑞𝑞 )

7.1. La tasa de llegada

La aplicación de la Ley de Little requiere una cuidadosa consideración de la tasa de

llegada, que puede tener algunas complicaciones como las siguientes:

• La tasa de llegada «nominal» no es la tasa que realmente entra en el sistema,

porque hay rechazos, obsesivo, etcétera.

• La tasa de llegada depende del estado, por ejemplo, en una población de clientes
finitos, es proporcional al número de clientes pendientes.

En general, la tasa media de llegada es dada por:

𝝀𝝀� = � 𝝀𝝀𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒊𝒊

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒊𝒊

Precaución: Como se discutió anteriormente, el 𝜆𝜆𝑖𝑖 aquí es la tasa en el estado 𝑖𝑖; en

redes, utilizamos la misma notación para indicar la tasa de llegada total a la estación
𝑖𝑖. El significado debe ser claro desde el contexto, pero no se confunda por el uso dual
de la notación. Desde una perspectiva de trayectoria de muestra, la tasa de llegada se
puede encontrar por:

𝑵𝑵𝒂𝒂 (𝒕𝒕)
𝝀𝝀 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→∞ 𝒕𝒕

Donde 𝑵𝑵𝒂𝒂 (𝒕𝒕) es el número de llegadas en el tiempo 𝑡𝑡.

408
 7.2. Tasa de finalización del servicio

La tasa de salida (salida) suele ser la suma de las diversas tasas de terminación de
servicio en las estaciones de un sistema. Viendo cada estación por separado, la
estabilidad asegura que la tasa de llegada a una estación es igual a la tasa de
terminación del servicio. Si 𝑝𝑝𝑛𝑛 es la probabilidad de que haya 𝑛𝑛 en la estación, y 𝜇𝜇𝑛𝑛 es
la tasa de servicio cuando hay 𝑛𝑛 en la estación, entonces la tasa de terminación de
servicio es dada por:

� 𝝁𝝁𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒏𝒏
𝒏𝒏≥𝟏𝟏

Si la tasa de servicio es independiente del número de clientes en la estación, como en

una cola de un solo servidor, tenemos una simplificación:

� 𝝁𝝁𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝝁𝝁(𝟏𝟏 − 𝒑𝒑𝟎𝟎 )

𝒏𝒏≥𝟏𝟏

Puesto que, para un sistema estable, la tasa de llegada debe ser igual a la tasa de
finalización del servicio, por lo tanto, tenemos el siguiente resultado general para una
cola de un solo servidor:
𝝀𝝀
𝒑𝒑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 − = 𝟏𝟏 − 𝝆𝝆
𝝁𝝁

sin necesidad de supuestos exponenciales en las llegadas o salidas.

409
8. PASTA.

PASTA significa «Arribo tipo Poisson» (Promedios de tiempo), y fue acuñado no por
alguien de origen italiano, sino por alguien con un nombre alemán (Wolff). La idea es
muy simple, una vez que entendemos la diferencia entre un promedio de tiempo y un
promedio de clientes. PASTA sólo dice que, si los clientes siguen un proceso de llegada
Poisson, entonces estas dos cantidades son las mismas. La idea es que las llegadas de
Poisson toman una mirada «al azar» en el sistema.

Ejemplo: Modelo de cola (𝑀𝑀 / 𝑀𝑀 / 1), pronto, resolveremos el sistema de colas

(𝑀𝑀 / 𝑀𝑀 / 1) usando un modelo de cadena de markov. Encontraremos todas las
probabilidades de estado estacionario para el número en el sistema, a partir de las
cuales podemos determinar otras medidas de rendimiento de interés. Pero primero,
derivamos el tiempo medio en la cola directamente aplicando tres conceptos
importantes: la expectativa condicional, PASTA, y la Ley de Little. Además, aplicamos
la propiedad sin memoria de la distribución exponencial. Definamos λ como tasa de
llegada, μ como la tasa de servicio (de ahí el tiempo de servicio medio 1 / μ), 𝐿𝐿∗𝑞𝑞 como
el número encontrado en el sistema por un cliente que llega, y 𝑆𝑆𝑟𝑟∗ como el tiempo de
servicio restante para el cliente en servicio encontrado por un cliente que llega.
Luego, condicionando el número encontrado en el sistema por un cliente que llega,
𝐿𝐿∗𝑞𝑞 , tenemos:

𝑬𝑬[𝑳𝑳∗𝒒𝒒 ]
𝑾𝑾𝒒𝒒 = 𝑬𝑬[𝑺𝑺∗𝒓𝒓 ] +
𝝁𝝁
es decir, la espera de un cliente consiste en esperar que el cliente en servicio termine
(si lo hay) más todos los clientes en la cola. En primer lugar, calculamos el tiempo de
servicio restante esperado de un cliente condicionando el estado del servidor. Dado
que los tiempos de servicio son exponenciales, por la propiedad sin memoria, el
tiempo de servicio restante encontrado por un cliente que llega es un tiempo de
servicio completo si el servidor está ocupado y 0 de lo contrario. La probabilidad de
que el servidor esté ocupado es de PASTA igual a 1 − 𝑝𝑝0 = ρ, así que tenemos:

𝝆𝝆
𝑬𝑬[𝑺𝑺∗𝒓𝒓 ] =
𝝁𝝁

410
Aplicando PASTA y las leyes de Little, tenemos:

𝑬𝑬�𝑳𝑳∗𝒒𝒒 � = 𝑳𝑳𝒒𝒒 = 𝝀𝝀𝑾𝑾𝒒𝒒

Sustituyendo, tenemos:
𝝆𝝆 𝑳𝑳𝒒𝒒 𝝆𝝆 𝝀𝝀𝑾𝑾𝒒𝒒
𝑾𝑾𝒒𝒒 = + = +
𝝁𝝁 𝝁𝝁 𝝁𝝁 𝝁𝝁
Entonces,
𝝆𝝆
𝝁𝝁
𝑾𝑾𝒒𝒒 =
𝟏𝟏 − 𝝆𝝆

Esta derivación particular es interesante por sí misma, porque reunió tres resultados
/ técnicas muy importantes que hemos aprendido:

• Esperanza condicional
• PASTA
• Leyes de Little

411
9. Proceso de nacimiento y muerte

Una sistema de nacimiento-muerte es simplemente un sistema de colas que se puede

representar por un proceso de nacimiento-muerte, donde los nacimientos
corresponden a llegadas, las muertes corresponden a las salidas, y 𝑁𝑁 (𝑡𝑡) es el estado
en el tiempo 𝑡𝑡, que representa el número de clientes en el sistema:

• población ↔ clientes en el sistema

• nacimiento ↔ llegada
• muerte ↔ partida
• tasas de natalidad ↔ tasa de llegada (posiblemente dependiente de la población
del cliente)
• tasas de mortalidad ↔ tasas de servicio (dependiendo del número de servidores)

Dado que un proceso de nacimiento-muerte es un tipo especial de cadena de markov

en tiempo continuo (CTMC), en el que las transiciones sólo a los estados vecinos,
podemos utilizar la técnica usual CTMC de equilibrio de flujo y normalización para
resolver las probabilidades de estado estacionario. Por lo tanto, el proceso para
analizar una cola de muerte-muerte es el siguiente:

1. Defina el estado del sistema.

2. Determine el diagrama de velocidad de transición de estado o matriz.

3. Usar el balance de flujo donde la suma de las probabilidades deben sumar 1, para
resolver todas las probabilidades 𝑝𝑝0 , 𝑝𝑝1 … 𝑝𝑝𝑛𝑛

4. Expresar las medidas de rendimiento que se puede en términos de 𝑝𝑝0 , 𝑝𝑝1 … 𝑝𝑝𝑛𝑛

5. Utilice la Ley de Little y / o PASTA para determinar otras medidas de desempeño.

412
10. Sistema de colas (𝑴𝑴/𝑴𝑴/𝟏𝟏)

1. El estado del sistema es el número en el sistema

2. 𝜆𝜆 del estado 𝑖𝑖 al estado 𝑖𝑖 + 1 y 𝜇𝜇 del estado 𝑖𝑖 al estado 𝑖𝑖 − 1, donde 𝜆𝜆 es la tasa de

llegada y µ es la tasa de servicio.

𝜆𝜆 𝜆𝜆
3. El balance de flujo dado por 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝜌𝜌𝑛𝑛 𝑝𝑝0 , 𝜌𝜌 = , también 𝑝𝑝𝑛𝑛 = ( )𝑛𝑛 𝑝𝑝0 , la
𝜇𝜇 𝜇𝜇
normalización dada por 𝑝𝑝0 = 1 − 𝜌𝜌, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜌𝜌 < 1

4. 𝐿𝐿 = ∑∞
𝑖𝑖=0 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛

5. La Ley de Little y otras relaciones pueden usarse para encontrar 𝑊𝑊, 𝑊𝑊𝑞𝑞 , 𝐿𝐿𝑞𝑞 .

𝝆𝝆 𝝀𝝀
𝑳𝑳 = =
𝟏𝟏 − 𝝆𝝆 𝝁𝝁 − 𝝀𝝀

𝑬𝑬[𝑿𝑿] 𝟏𝟏
𝑾𝑾 = =
𝟏𝟏 − 𝝆𝝆 𝝁𝝁 − 𝝀𝝀

𝝆𝝆𝝆𝝆[𝑿𝑿] 𝝆𝝆
𝑾𝑾𝒒𝒒 = 𝑾𝑾 − 𝑬𝑬[𝑿𝑿] = =
𝟏𝟏 − 𝝆𝝆 𝝁𝝁 − 𝝀𝝀

𝝆𝝆𝟐𝟐 𝝀𝝀𝝀𝝀
𝑳𝑳𝒒𝒒 = = = 𝝆𝝆𝝆𝝆
𝟏𝟏 − 𝝆𝝆 𝝁𝝁 − 𝝀𝝀
La estabilidad requiere:

𝝆𝝆 < 𝟏𝟏 𝒐𝒐 𝝀𝝀 < 𝝁𝝁

Ejemplo numérico:

En un cajero automático único de un banco, las llegadas siguen un proceso de Poisson

a una velocidad de 10 por hora, los tiempos de servicio distribuidos
exponencialmente con una media de 4 minutos. Analice las características del
sistema.

413
Resolviendo con Maple.

, ,
,
,

, , , , unidades ,

, unidades , , horas = 8 minutos ,

, horas = 12 minutos

Si la tasa de llegada aumenta en un 20%, volvemos a trabajar el problema.

12 15
𝜆𝜆 = 𝑦𝑦 𝜇𝜇 =
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

16
Entonces, ρ = 4/5, y tenemos que 𝐿𝐿 = 4 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝐿𝐿𝑞𝑞 = = 3.2 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑊𝑊𝑞𝑞 =
5
4 1
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 16 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑊𝑊 = ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 20 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.
15 3

Con Maple:

, , , , , ,

, , , , ,

¡El tiempo promedio en el sistema y el número en el sistema se han duplicado! En los

ejemplos numéricos, ¡asegúrese de mantener consistencia en sus unidades de forma
correcta en todas las fases del problema! Por ejemplo, sea coherente en el uso de
horas o minutos en todo el proceso, con el fin de obtener el factor de utilización 𝜌𝜌
correctamente. Además, interprete la tasa versus la media correctamente.

414
 10.1. Distribución del tiempo de espera en el sistema de espera o cola
modelo (𝑴𝑴 / 𝑴𝑴 / 𝟏𝟏)

Por PASTA, tenemos que:

𝑷𝑷�𝒘𝒘𝒒𝒒 = 𝟎𝟎� = 𝒑𝒑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 − 𝝆𝝆

Suponiendo que 𝑡𝑡 > 0, observamos que:

𝑷𝑷�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝒕𝒕� = 𝑷𝑷(�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝒕𝒕�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝟎𝟎�𝑷𝑷�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝟎𝟎� + 𝑷𝑷�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝒕𝒕�𝒘𝒘𝒒𝒒 = 𝟎𝟎�𝑷𝑷(𝒘𝒘𝒒𝒒 = 𝟎𝟎)

La distribución del tiempo del sistema puede derivarse condicionando el número de

clientes encontrados a la llegada por un cliente, 𝑞𝑞𝑛𝑛 , y aplicando PASTA para usar 𝑝𝑝𝑛𝑛
en su lugar. Entonces, la probabilidad se reduce a la probabilidad de la suma de los
tiempos de servicio exponenciales:
∞ 𝒏𝒏+𝟏𝟏

𝑷𝑷(𝒘𝒘 > 𝒕𝒕) = � 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝑷𝑷(� 𝑿𝑿𝒊𝒊 > 𝒕𝒕)

𝒏𝒏=𝟎𝟎 𝒊𝒊=𝟏𝟏

El álgebra es bastante desconcertada, y así saltamos directamente a los resultados:

𝑷𝑷(𝒘𝒘 > 𝒕𝒕) = 𝒆𝒆−𝝁𝝁(𝟏𝟏−𝝆𝝆)𝒕𝒕 , 𝑷𝑷�𝒘𝒘𝒒𝒒 > 𝒕𝒕� = 𝝆𝝆𝒆𝒆−𝝁𝝁(𝟏𝟏−𝝆𝝆)𝒕𝒕

Así, la variable aleatoria del tiempo del sistema también tiene una distribución
exponencial (con media 𝜇𝜇 − 𝜆𝜆).
Ejemplo numérico
En el problema del cajero único de un banco, las llegadas siguen un proceso de
Poisson a una velocidad o tasa de 10 por hora, los tiempos de servicio distribuidos
exponencialmente con una media de 4 minutos. Encuentre las siguientes cantidades:
1. El porcentaje de tiempo que el cajero automático está inactivo;

2. El número medio o promedio de personas en el cajero automático;

3. El tiempo promedio de espera en la línea;

4. El número promedio de personas atendidas por hora;

5. La probabilidad de que pasará más de 10 minutos en el cajero automático.

Solución:

415
La primera, y en muchos sentidos más importante, paso consiste en ser capaz de
“traducir” los requisitos anteriores en las respectivas cantidades matemáticas que se
1
encuentran: 𝑝𝑝0 ; 𝐿𝐿; 𝑊𝑊𝑞𝑞 ; 𝜆𝜆; 𝑃𝑃 �𝑤𝑤 > �
6

Entonces, como antes, tenemos 𝜆𝜆 = 10�ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜, 𝜇𝜇 = 15�ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 , 𝜌𝜌 = , y

2
3
Usando Maple para resolver el problema:

, , , , ,

, , ,

, , , ,

, , ,

Resolviendo:

1. , =33.33%

2. , personas

3. ,, horas = 8 minutos

4. por hora

5. , , , 0.0820 =
8.20%

416
11. Sistema de colas (M / M / 1 / c)

Consideremos ahora una cola de un solo servidor con una capacidad limitada de c
espacios en el sistema, donde el proceso de llegada es Poisson con tasa 𝜆𝜆 y los tiempos
de servicio son independientes e idénticamente distribuidos exponencialmente (i.i.d)
con la tasa 𝜇𝜇.

Como un sistema colas con proceso de nacimiento y muerte, el análisis es idéntico a

la cola 𝑀𝑀 / 𝑀𝑀 / 1, excepto que el espacio de estado es ahora finito en lugar de infinito.
Las ecuaciones del balance de flujo no cambian, pero la normalización es sobre una
suma finita en lugar de una infinita.

𝒄𝒄
𝝀𝝀
𝒑𝒑𝒏𝒏 = � � 𝒑𝒑𝟎𝟎 , � 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝟏𝟏
𝝁𝝁
𝒏𝒏=𝟎𝟎
Resolviendo, obtenemos:

𝟏𝟏−𝝆𝝆 𝝀𝝀
𝒑𝒑𝟎𝟎 = , donde 𝝆𝝆 = , 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝝆𝝆𝒏𝒏 𝒑𝒑𝟎𝟎
𝟏𝟏−𝝆𝝆𝒄𝒄+𝟏𝟏 𝝁𝝁

𝒄𝒄
𝝆𝝆[𝟏𝟏 − (𝒄𝒄 + 𝟏𝟏)𝝆𝝆𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝝆𝝆𝒄𝒄+𝟏𝟏 ] 𝝆𝝆 (𝒄𝒄 + 𝟏𝟏)𝝆𝝆(𝒄𝒄+𝟏𝟏)
𝑳𝑳 = � 𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒏𝒏 = = −
(𝟏𝟏 − 𝝆𝝆𝒄𝒄+𝟏𝟏 )(𝟏𝟏 − 𝝆𝝆) 𝟏𝟏 − 𝝆𝝆 (𝟏𝟏 − 𝝆𝝆(𝒄𝒄+𝟏𝟏) )
𝒏𝒏=𝟎𝟎

𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 − 𝒑𝒑𝟎𝟎 , 𝑳𝑳𝒒𝒒 = 𝑳𝑳 − 𝑳𝑳𝒔𝒔

Tenga en cuenta que, dado que el sistema tiene capacidad limitada, no hay ningún
problema con la estabilidad (ya que se supone que los clientes que encuentran el
sistema completo se van). De hecho, un caso especial es aquel en el que 𝜆𝜆 = 𝜇𝜇, en el
que tenemos que cada estado es igualmente probable. De tal forma que el promedio
en el sistema está medio lleno:

𝟏𝟏 𝒄𝒄
𝒑𝒑𝒏𝒏 = , 𝑳𝑳 =
𝒄𝒄 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐

Además, suponiendo que 𝑊𝑊 y 𝑊𝑊𝑞𝑞 se refieren sólo a los clientes que entran realmente
en el sistema, no tenemos la versión habitual de las leyes de Little, es decir, 𝐿𝐿 ≠ 𝜆𝜆𝜆𝜆.

417
ya que 𝜆𝜆 es la tasa nominal de clientes, ya que algunos clientes realmente no entran
en el sistema si el sistema está lleno. Por PASTA, sabemos que la tasa de clientes que
no entran en el sistema viene dada por 𝜆𝜆𝑞𝑞𝑐𝑐 = 𝜆𝜆𝑝𝑝𝑐𝑐 , por lo que podemos aplicar la Ley
de Little para la tasa dada por 𝜆𝜆(1 − 𝑝𝑝𝑐𝑐 ) para obtener

𝑳𝑳 𝑳𝑳𝒒𝒒
𝑾𝑾 = , 𝑾𝑾𝒒𝒒 =
𝝀𝝀(𝟏𝟏−𝒑𝒑𝒄𝒄 ) 𝝀𝝀(𝟏𝟏−𝒑𝒑𝒄𝒄 )

Ejemplo numérico

Ejemplo Considere una barbería de un hombre con 10 asientos (incluyendo el asiento

de corte). Supongamos que los clientes potenciales llegan según un proceso de
Poisson en promedio cada 3 minutos, y los tiempos de corte de pelo del barbero se
distribuyen exponencialmente con un tiempo promedio de 12 minutos. Encuentre lo
siguiente (promedio a largo plazo):

1. El número de cortes de pelo dados por el peluquero por hora;

2. El tiempo de espera que pasó un cliente en la barbería;

3. Porcentaje de tiempo que el barbero está ocupado;

4. La probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar;

5. La probabilidad de que un cliente llegue a salir del sistema sin recibir un corte de
pelo.

Resolviendo con Maple, tenemos:

Datos del problema:

, , , , , , ,

418
 , , = 75%,

1. µ = 5 clientes por hora

, , clientes

, , , , clientes

2. , , horas,

3. , , =99.99%

4. Misma respuesta que inciso anterior

5. , = 75%

12. Sistema de colas (M / M / s)

Ahora considere una sola cola con los servidores 𝑠𝑠 (como en un banco y la mayoría de
los contadores de aerolíneas en estos días), donde el proceso de llegada es Poisson
con tasa 𝜆𝜆 y los tiempos de servicio son i.i.d. exponencialmente distribuido con la tasa
𝜇𝜇, para cualquiera de los servidores. Como en el proceso de nacimiento y muerte en
los sistemas de colas, tenemos lo siguiente:

𝝀𝝀𝒏𝒏 = 𝝀𝝀, 𝝁𝝁𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝒏𝒏, 𝒏𝒏 < 𝒔𝒔 𝝁𝝁𝒏𝒏 = 𝒔𝒔𝒔𝒔, 𝒏𝒏 > 𝒔𝒔

El balance de flujo y la normalización conducen al siguiente resultado:

𝒏𝒏 𝒔𝒔
�𝝀𝝀�𝝁𝝁� �𝝀𝝀�𝝁𝝁�
𝒔𝒔−𝟏𝟏

𝒑𝒑𝟎𝟎 = (� + )−𝟏𝟏
𝒏𝒏=𝟎𝟎
𝒏𝒏! 𝒔𝒔! �𝟏𝟏 − 𝝀𝝀�𝝁𝝁�

419
 𝒏𝒏
⎧ (𝝀𝝀�𝝁𝝁)
⎪ 𝒑𝒑𝟎𝟎
𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝒏𝒏! , 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟎𝟎 ≤ 𝒏𝒏 ≤ 𝒔𝒔
⎨(𝝀𝝀�𝝁𝝁)𝒏𝒏
⎪ 𝒑𝒑 , 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒏𝒏 ≥ 𝒔𝒔
⎩ 𝒔𝒔! 𝒔𝒔𝒏𝒏−𝒔𝒔 𝟎𝟎

𝒑𝒑𝟎𝟎 (𝒔𝒔𝒔𝒔)𝟐𝟐 𝝆𝝆 𝝀𝝀
𝑳𝑳𝒒𝒒 = , 𝝆𝝆 =
𝒔𝒔!(𝟏𝟏−𝝆𝝆)𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔

La estabilidad requiere:
𝝆𝝆 < 𝟏𝟏 𝒐𝒐 𝝀𝝀 < 𝒔𝒔𝒔𝒔

𝜆𝜆
Para el sistema de colas: 𝑀𝑀/𝑀𝑀/2, donde: 𝜌𝜌 = .
2𝜇𝜇

𝟏𝟏−𝝆𝝆 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑬𝑬[𝑿𝑿]

𝒑𝒑𝟎𝟎 = , 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝝆𝝆𝒏𝒏 𝒑𝒑𝟎𝟎 , 𝑳𝑳 = , 𝑾𝑾 =
𝟏𝟏+𝝆𝝆 𝟏𝟏−𝝆𝝆𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝝆𝝆𝟐𝟐

𝜆𝜆
Para el sistema de colas: 𝑀𝑀/𝑀𝑀/3, donde: 𝜌𝜌 = .
3𝜇𝜇

𝟏𝟏 − 𝝆𝝆
𝒑𝒑𝟎𝟎 =
𝟑𝟑
𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝝆𝝆𝟐𝟐
𝟐𝟐

Ejemplo numérico:

En el problema del cajero del banco, considere que hay disponibles dos cajeros
automáticos las llegadas siguen un proceso de Poisson a una tasa de 80 personas por
hora, los tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con una media de 1.2
minutos.

𝜆𝜆 = 80�ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 , 𝜇𝜇 = 50�ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 , 𝜌𝜌 = 80�2 (50) = 80�100 = 0.80

420
Datos y solución del problema resuelto con Maple:

, , , , , , = 11.11%

1. Número esperado de clientes en el sistema (largo total)

, = 4.44 clientes
2. Tiempo de espera en el sistema

, =0.055=3.33 min
3. Tiempo de espera en la línea

, , = 2.13333 minutos
4. Número esperado de clientes en la línea

, , clientes

5. % de tiempo de que a lo menos un cajero se encuentre inactivo

, , , , = 0.29= 29%

421
13. Proceso de toma de decisiones en líneas de espera (Costo de la espera)

Ahora que podemos manejar varios servidores en un sistema de colas, consideramos

la aplicación de algunos resultados de la teoría de colas a la toma de decisiones. Una
vez más, la idea es simplemente aplicar algunos aspectos estadísticos para calcular
ciertas cantidades de interés que luego pueden usarse para ayudar a la toma de
decisiones. En esta sección, aplicaremos principalmente los resultados obtenidos en
los ejemplos numéricos vistos anteriormente para analizar el costo de la espera. En
las redes de comunicaciones o en un sistema de fabricación, puede haber algún costo
para el retraso o demora en exceso o los inventarios en el sistema. Si podemos
calcular estas cantidades, podemos decidir si necesitamos agregar nuevo equipo o
reconfigurar el sistema o realizar algún otro tipo de cambio o ajuste en el sistema. Las
formas más comunes de decisiones implican los siguientes tipos de opciones:

• Qué tipo de servidor utilizar;

• Cuántos servidores utilizar;
• Qué configuración utilizar.

Para el último punto, un ejemplo es si utilizar una sola línea o varias líneas paralelas.
A veces la decisión está dictada por consideraciones físicas. Por ejemplo, en una
cabina de derecho de autopista sería difícil implementar una sola línea paralela,
aunque como dijimos anteriormente es el sistema más justo, en el sentido de
minimizar la varianza del tiempo de espera de un cliente.

En términos de nuestros modelos, las opciones anteriores se traducen en decisiones

sobre los valores de los siguientes parámetros: 𝜇𝜇, 𝑠𝑠, 𝜆𝜆, 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 . Para tomar estas decisiones,
los costos deben ser conectados a los servidores y al tiempo de espera de los clientes
o al número en el sistema (normalmente llamado como inventario cuando los
«clientes» no son humanos).

Ejemplo numérico No. 1: ¿Cuántos servidores?

• Costo por servidor;

• Costo por tiempo de espera o inventario; reparación de computadoras: $ 70 por
día para cada reparador; $ 100 por día para cada computadora fuera de servicio.

422
Análisis:

• Sistema es el taller de reparación;

• Los servidores son los reparadores;
• Los «clientes» son las computadoras;
• Costo del número de ordenadores en reparación (fuera de servicio).

Función de costos:

𝑮𝑮(𝒔𝒔) = 𝟕𝟕𝟕𝟕(𝒔𝒔) + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝒔𝒔)

Determine 𝑠𝑠 para minimizar la función de costos.
El incremento en costos depende del estado del sistema:

• Sin costo para una computadora fuera de servicio;

• $ 50 por día por dos computadoras fuera de servicio;
• $ 60 por día por cada computadora adicional fuera de servicio (después de dos).

Función de coste modificada:

𝑮𝑮(𝒔𝒔) = 𝟕𝟕𝟕𝟕 (𝒔𝒔) + �(𝟓𝟓𝟓𝟓 + (𝒊𝒊 − 𝟐𝟐)𝟔𝟔𝟔𝟔)𝒑𝒑𝒊𝒊

𝒊𝒊≥𝟐𝟐
Ejemplo numérico 2: ¿Qué equipo?

Costo por computadora;

Costo por tiempo de espera o inventario; opciones de computadora: $ 70 por hora

para Tipo I, que tiene velocidad de 10 trabajos por hora; $ 100 por hora para Tipo II,
que tiene velocidad de 15 trabajos por hora. Costo de espera: $ 5 por hora en el
sistema para un trabajo.

Análisis:

• El sistema es un sistema informático;

• Los servidores son las computadoras;
• Los «clientes» son los empleos;
• Costo en la hora del sistema de trabajos en el sistema.

Función de costos:

423
 𝑮𝑮𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟕𝟕 + 𝟓𝟓(𝑳𝑳), 𝑮𝑮𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟓𝟓(𝑳𝑳)

Elija la máquina que produzca el costo promedio más bajo.

La forma general de la función de costo, es:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 "𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛"�
𝑈𝑈. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑈𝑈. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑈𝑈. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

Donde este último es usualmente el producto de 𝐿𝐿 y un costo por unidad de tiempo.

Incluso cuando los costos se dan en términos de espera, terminamos con la misma
forma, porque para convertir en unidades de costo correcto, aplicamos la Ley de Little
multiplicando por la tasa de llegada:

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑈𝑈. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 # 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
= 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 # 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑈𝑈. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

Donde este último es solo 𝐿𝐿.

Importante: a veces hay una distinción entre los costos del sistema y los costos de la
cola; en este último caso, utilizará 𝐿𝐿𝑞𝑞 o 𝑊𝑊𝑞𝑞 en su lugar.

Ejemplo: si nos remitimos al caso del cajero automático del banco y asumimos que el
proceso de llegada se describe mediante una distribución de probabilidad Poisson y
tiempos de servicio exponencial, con suficiente espacio para la espera.

El cajero 1 cuesta $ 6 por hora para operar, con una tasa de 12 por hora.

El cajero 2 cuesta $ 10 por hora para operar, con una tasa de 15 por hora. Los costos
de espera son de $ 10 por hora para un cliente. La tasa de llegada es de 10 unidades
por hora.

424
Resolviendo con Maple:

, , ,

, ,

, , ,

Decisión: seleccionar el cajero No. 2

Pregunta: ¿deberíamos de añadir otro cajero?

, , , , =0.41666 , , =

, =$
Decisión: Si.

425
14. Sistemas de pérdida

De acuerdo a Bonini (2000), en algunos sistemas de líneas de espera, los trabajos que
llegan no pueden entrar al sistema porque no hay línea de espera o cola. Estos son los
llamados sistemas de pérdida. Por ejemplo, se tiene un servicio de remolques con una
grúa para remolcar vehículos averiados hasta las instalaciones de reparación. Éste
servicio de remolque es uno de los que varias empresas tienen contratados con un
club de automovilismo.

Cuando éste recibe una llamada de emergencia, se contacta con el servicio más
cercano. Si todas las grúas están en servicio, contacta a otra que esté bajo contrato.
Desde la perspectiva de la empresa de remolque, éste es un sistema de pérdida. Si una
llamada llega al club mientras la grúa está en servicio con otro cliente, el trabajo se
pierde.

14.1. Modelo de líneas de espera de pérdida 𝑴𝑴/𝑮𝑮/𝒄𝒄

En un sistema donde los trabajos llegan de manera aleatoria (tiempo entre llegadas
exponencial) y los tiempos de servicio pueden tener una distribución general. Hay 𝑠𝑠
canales de servicio. Los trabajos que llegan cuando todos los canales 𝑐𝑐 están
ocupados, se pierden.

La media del tiempo entre llegadas es 𝜆𝜆 y la media de la tasa de servicio es 𝜇𝜇. El factor
𝜇𝜇
de carga del sistema es: 𝜌𝜌 = .
𝑠𝑠𝑠𝑠

En sistemas de pérdida, ésta puede ser mayor al 100% ya que algunas llegadas en
realidad no ingresan al sistema. Una medida del desempeño importante para los
sistemas de pérdida es la fracción de los trabajos que llegan y se pierden. La expresión
matemática es:

(𝒄𝒄𝒄𝒄)𝒔𝒔
𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑é𝒓𝒓𝒓𝒓𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒔𝒔!
(𝒔𝒔𝒔𝒔)𝒌𝒌
∑𝒄𝒄𝒌𝒌=𝟎𝟎
𝒌𝒌!

426
Para el caso de canal único, (𝑠𝑠 = 1), esto se convierte en:

𝝆𝝆
𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑é𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 =
𝟏𝟏 + 𝝆𝝆

Para el caso de dos canales, (𝑠𝑠 = 2), esto se convierte en:

𝟐𝟐𝝆𝝆𝟐𝟐
𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑é𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 =
𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝝆𝝆 + 𝟐𝟐𝝆𝝆𝟐𝟐

Para el caso de los tres canales, (𝑠𝑠 = 3), esto se convierte en:

(𝟑𝟑𝝆𝝆)𝟑𝟑
𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑é𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟑𝟑!
(𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐 (𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟑𝟑
, Y, así sucesivamente.
𝟏𝟏+𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑!

Ejemplo numérico:
Bonini (2000). Un gerente de un supermercado local, como parte de su operación,
alquila equipo para que los clientes dueños limpien sus propias alfombras, y para ello
recibe solicitudes para alquilar estas unidades a una tasa de dos por día, en promedio,
(es decir, la media del tiempo entre llegadas es de medio día). Las solicitudes para las
máquinas siguen un proceso de Markov (distribución exponencial). Se dispone de dos
máquinas. Los clientes las alquilan por un periodo máximo de dos días, pero, en
promedio, la devuelven un día después. Suponer que, si no tiene una máquina para
alquilar, el cliente va a otro lugar para hacerlo (los clientes no esperan).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente solicite una máquina cuando no hay
disponibles?
b) ¿Cuántas máquinas se necesitaría tener disponibles para reducir a menos de
5% la probabilidad de que un cliente se vaya?
Solución: Resolviendo con Maple. Nota: se trabajó el problema con el número de
canales 𝑠𝑠 = 𝑐𝑐

, , , ,

427
 , ,

, , ,

428
15. Problemas resueltos

Problema No. 1.

Moskowitz (1982). Dado una tasa de llegada de 30 por hora y dado que la tasa
promedio de servicio es 40 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que haya 0, 1, 2, 3y 4
clientes en el sistema (en la cola y siendo servidos)? ¿cuáles son las características del
sistema? Resuelva con Maple

Solución:

, , , , , =0.25=25%, , =0.1875

, = 0.1416, , =0.1055,

= =0.0791 =7.91%

: = clientes ,

, = =2.25 clientes

,= = horas = 4.5 minutos

, , = horas = 6
minutos

429
Problema No. 2.
Moskowitz (1982) ¿Qué es un problema de colas? ¿Cuáles son algunas de las
características básicas de un sistema de colas? ¿Cuáles son algunas de las
suposiciones importantes de los modelos básicos abordados en este capítulo?

Respuesta:
Un problema de colas es esencialmente el mismo problema de asignación por
programación matemática. Esto es, hay actividades que compiten por servicios
limitados (o recursos). En sistemas de colas, tanto las tasas de llegada como las tasas de
servicio varían con el tiempo. Así, el centro de servicio estará vacío parte del tiempo. La
meta para «resolver» problemas de líneas de espera es balancear el costo de las demoras
(tiempo de espera y longitudes de colas) contra el costo de proporcionar cantidades
diferentes de servicio (más servidores o servidores más rápidos) con el objetivo final de
minimizar el coto total (o maximizar la utilidad total). Las suposiciones básicas que se
requieren para resolver los modelos de colas que se dan son que el patrón de flujo de
llegada sigue una distribución de Poisson y el tiempo de servicio una distribución
exponencial.

Problema No. 3.
Moskowitz (1982) ¿Cómo propondría usted mejorar el servicio en cada una de las
operaciones siguientes?

a) Un taller de reparación de computadoras

b) Una institución local de ahorros y préstamos
c) El mostrador de pasajes de una compañía aérea

Respuesta:

a) Para un taller de reparación de computadoras, el servicio se puede mejorar

programando los trabajos, contratando más trabajadores, estableciendo reglas de
prioridad, utilizando mejor (más eficiente) equipo de prueba.
b) Para una institución de ahorros y préstamos, el servicio puede mejorarse
programado las citas, contratando más y mejor personal.
c) Para el mostrador de pasajes, el servicio puede mejorarse contratando más
personal, disponiendo de mostrador de prioridad o instalando un sistema de registro
previo de equipaje, entre otros.

430
Problema No. 4.

Moskowitz (1982) El autoservicio en una gasolinera local, con una tasa promedio de
7 minutos por carro, es más lento que el servicio asistido, que posee una tasa de 6
minutos por carro. El gerente de la gasolinera desea calcular el número promedio de
clientes en la gasolinera, el tiempo promedio que cada carro gasta en la gasolinera y
el tiempo promedio que cada carro gasta esperando servicio. Supongamos que los
clientes llegan aleatoriamente a cada línea a una tasa de 5 carros por hora. Calcule la
estadística adecuada de operación de esta gasolinera. Resuelva usando Maple.

Solución:

, , ,
,

, , = autos

, = autos

, = minutos

, = minutos

431
 , : , , ,

, autos

, autos

, minutos

, minutos

Problema No. 5.

Moskowitz (1982) Se debe contratar a un mecánico para reparar máquinas que fallan
a una tasa de promedio de 4 por hora. Las fallas ocurren aleatoriamente (Poisson)
con el tiempo. El tiempo no productivo en una máquina se considera que le cuesta a
la compañía $0.50 dólares por hora. La gerencia ha limitado la selección a dos
mecánicos: uno lento, pero barato tiene un salario de $30 dólares por hora; y repara
las máquinas que fallan a una tasa media de 5 por hora. El mecánico rápido, y costoso
con un salario de $50 dólares por hora; repara máquinas a una tasa promedio de 7
por hora. ¿Cuál de los dos mecánicos debe contratar la compañía? ¿Suponga para
ambos mecánicos, tiempos de reparación exponencial? Resuelva con Maple.

432
Solución:

(costo de mano de obra mecánico barato), , ,

(tiempo no productivo por máquina)

(costo por hora mecánico barato) = $

(costo mano de obra mecánico caro),

(costo por hora mecánico caro), $

Mecánico barato.

Problema No. 6

Bonini (2000). Dos mecanógrafas tienen trabajos idénticos. Cada una escribe las
cartas que le dicta un gerente en particular. Las cartas por escribir les llegan de
manera aleatoria (tiempos entre llegadas exponenciales), con una media de tiempo
entre llegas de 20 minutos.
Suponer que cada carta a realizar puede hacerse en 15 minutos, en promedio
(también una distribución exponencial). Resuelva las siguientes preguntas utilizando
el programa Maple.

(Nota: Bonini utiliza la tasa promedio de llegada y la tasa promedio de servicio,

por tal razón la fórmula del factor de utilización se modifica, sin embargo, los
cálculos y resultados no varían)

433
a) Suponiendo que cada mecanógrafa hace su propio trabajo, ¿cuál es el tiempo
de espera que puede tener una carta (¿tiempo anterior a la iniciación de esta?
b) Suponer que las dos mecanógrafas se unen. Es decir, las cartas les llegan a las
dos y la escribe quien esté libre, cualquiera que sea el orden de llegada. ¿Cuál
es el tiempo de espera que puede tener una carta bajo ese acuerdo?

Solución:

minutos , minutos , ,
=75%

cartas

, = cartas

𝑊𝑊 = µ𝐿𝐿 = 45 minutos es el tiempo de espera

Este es el tiempo promedio de espera antes de que se inicie una carta. El tiempo
promedio de procesamiento es de una hora (el tiempo de espera promedio más el
tiempo promedio de servicio.

, ,

(tabulado e interpolando)

434
 Nota: La fórmula para el tiempo múltiplo de espera es, desgraciadamente, muy
confusa y complicada. Para tal caso puede utilizarse un múltiplo de tiempo de espera
𝜇𝜇
para la cola M/M/c, utilizando el factor de uso o carga 𝜌𝜌 = , mediante tabulación
𝑐𝑐𝑐𝑐
para distintos factores de carga del sistema. Para nuestro caso: 𝑊𝑊 = 1.37,
, minutos.

Problema No. 7

Bonini (2000). Una empresa petrolera integrada está considerando la expansión de

una de sus instalaciones descargas en su refinería de Singapur. Debido a las
variaciones del clima, los retrasos en la carga y otros factores, los tiempos entre
llegadas para los barcos que atracan en la refinería para descargar petróleo crudo
sigue una distribución exponencial con un promedio 𝜆𝜆 = 1.4 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎. El tiempo de
servicio también es exponencial con promedio 𝜇𝜇 = 0.7 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎.

a) ¿Cuál es el número promedio de barcos en espera para enviar el petróleo crudo?

b) ¿Cuál es el tiempo promedio que un barco debe esperar antes de comenzar a
entregar su carga a la refinería?
c) ¿Cuál es el tiempo total promedio (espera más entrega real) que un barco pasa en
la refinería?

, ,

= , = , =

, = barcos

= barcos

= días

435
 = días

Problema No. 8

Bonini (2000). Remitirse al problema 6.7. La empresa está considerando tomar un

segundo muelle cuyo alquiler sería US$ 1,500 diarios. El tiempo de servicio para este
muelle también sería exponencial, con la misma media de tiempo de servicio que el
muelle propio de la empresa. Por cada día que un barco permanezca en espera, la
empresa pierde US$ 4,000. Use Maple para resolver este problema

a) Si se alquila un segundo muelle, ¿cuál sería el tiempo promedio que un barco

esperaría?
b) ¿Cuál sería el número promedio de barcos en espera?
c) ¿El beneficio (en dólares) de reducir el tiempo de espera cubre el costo de alquiler
del segundo muelle?

Solución:

, ,

, ,

a)

días = 1.76 horas

b)

436
 unidades

c) la reducción del tiempo promedio de espera de un canal al sistema de dos canales

es de 0.70 días de espera por barco a 0.049 días de espera, una reducción de 0.651
días de espera por buque. Dado que el tiempo medio de navegación entre barcos
es de 1.4 días, el número promedio de buques que llegan por día es de 1 / 1.4 =
0.714 buque por día. Por lo tanto, los ahorros diarios son: (número de barcos por
día) x (reducción promedio del tiempo de espera) x $4,000 =
(0.714) (0.651) ($4,000) = $1,860 por día.

Dado que el costo es de sólo $1,500 por día, el segundo muelle debe ser alquilado

Problema No. 9

Parlar (2000). Use Maple para obtener las diferentes (recursivas) ecuaciones del
sistema de colas modelo M/M/1 para el caso especial de 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 𝜆𝜆 𝑦𝑦 𝜇𝜇𝑛𝑛 = 𝜇𝜇, que se
reduce al proceso de nacimiento y muerte del modelo M/M/1. Use el comando de
Maple rsolve () donde se le indica a Maple que las condiciones iniciales para 𝑛𝑛 =
𝜆𝜆
1, 𝑝𝑝1 = ( )𝑝𝑝0 .
𝜇𝜇

Solución:

437
 , , , ,

, , ,

Ahora, utilizando el programa Maple ayudamos a calcular las expresiones

restantes, se tiene:

Dado que cada tiempo de servicio es exponencial, la distribución de la terminación

de 𝑛𝑛 servicios es una distribución de probabilidad Erlang con 𝑛𝑛 etapas. Por lo
tanto, como 𝑝𝑝𝑛𝑛 = (1 − 𝜌𝜌)𝜌𝜌𝑛𝑛 , la distribución 𝑊𝑊𝑞𝑞 (𝑡𝑡)se puede escribir como sigue:

, ,

438
 , ,

, , ,

Lo que queda demostrado que las fórmulas anteriores constituyen las expresiones
del modelo M/M/1

Problema No. 10

Anderson (2016). Una franquicia de comida rápida considera operar un servicio de

despacho de comida en su automóvil. Suponga que las llegadas de clientes siguen una
distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de llegadas de 24 automóviles
por hora, y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad
exponencial. Los clientes que llegan hacen su pedido en una estación de
intercomunicación en la parte trasera del estacionamiento y luego se dirigen a la
ventanilla de despacho para pagar y recibir sus pedidos. Se consideran las siguientes
tres alternativas de servicio.

Una operación de un solo canal en el cual un empleado completa el pedido y recibe el

dinero del cliente. El tiempo de servicio promedio con esta alternativa es de 2
minutos.

Una operación de un solo canal en la que un empleado completa el pedido mientras

que un segundo empleado recibe el dinero del cliente. El tiempo de servicio promedio
con esta alternativa es de 1.25 minutos.

Una operación de dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados.
El empleado estacionado en cada ventanilla completa el pedido y recibe el dinero de
los clientes que llegan a la ventanilla. El tiempo de servicio promedio con esta
alternativa es de 2 minutos en cada canal.

439
Responda las siguientes preguntas y recomiende un diseño alterno para la franquicia
de comida rápida:

• ¿Cuál es la probabilidad de que no haya automóviles en el sistema?

• ¿Cuál es el número promedio de automóviles en espera de que los atiendan?
• ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema?
• ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera para que lo atiendan?
• ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un carro que llega tenga que esperar para que lo
atiendan?

El costo del tiempo de espera de un cliente se estima en $25 por hora para reflejar
el hecho de que el tiempo de espera es costoso para el negocio de comida rápida.

El costo de cada empleado es de $6.50 por hora.

Para tener en cuenta el equipo y espacio, se atribuye un costo adicional de $20 por
hora a cada canal.

• ¿Cuál es el diseño de costo mínimo para el negocio de comida rápida?

Solución:

, , ,

440
 , , ,

, , , , ,

441
Costo del servicio por canal:

Costo total:

Decisión: Sistema B. Tiene el menor costo total

442
16. Conclusiones del capítulo

Una de las áreas más fructíferas de la teoría de probabilidad aplicada es la teoría de

colas o el estudio de fenómenos de línea de espera (una cola es una línea de espera).
Esperar en línea (hacer cola) para el servicio es una de las experiencias más
desagradables de la vida en este planeta. Barrer (1957) lo dice todo en el título de su
artículo, "Cola con clientes impacientes y empleados indiferentes".

Barrer dice, En ciertos procesos de colas, un cliente potencial se considera

"perdido" si el sistema está ocupado en el momento en que se solicita el servicio. Un
cliente al teléfono cuelga cuando recibe una señal de ocupado. Un hombre que intenta
conseguir un corte de pelo durante su hora del almuerzo no espera a menos que una
silla esté inmediatamente disponible. Otra forma de esta situación general es aquella
en la que los clientes esperan el servicio, pero esperan un tiempo limitado.

Si no se sirve durante este tiempo, el cliente abandona el sistema y se

considera perdido. Tales situaciones ocurren en el procesamiento o comercialización
de productos perecederos. Muchos tipos de compromisos militares se caracterizan
de forma similar. Un avión que es atacado y está ocupado defendiéndose de misiles
antiaéreos o guiados está disponible para «servicio», es decir, está dentro del alcance,
por sólo un tiempo limitado.

A pesar del título atrayente, que es descriptivo de la sensación común sobre

las colas, el artículo de Barrer es una aplicación innovadora de la teoría de la cola a la
destrucción de los aviones atacantes, no a la teoría general de las colas. Tenemos que
unirse a una cola cuando queremos obtener dinero en efectivo de un cajero
automático (ATM), comprar sellos, pagar por nuestros alimentos, comprar un boleto
de cine, obtener una mesa en un restaurante lleno de gente, etcétera. Larson (1987)
discute algunos de las implicaciones psicológicas de las colas. Él dice:

Las colas implican esperar, sin duda, pero las actitudes de uno hacia las colas
pueden ser influenciadas más fuertemente por otros factores. Por ejemplo, los
clientes pueden enfurecerse si experimentan injusticia social, definida como violación
de la disciplina de la cola, que establece: primero en entrar, primero en salir. El
entorno de cola y la retroalimentación sobre la probable magnitud del retraso
también pueden influir en las actitudes de los clientes y, en última instancia, en
muchos casos, en la cuota de mercado de una empresa. Incluso si nos centramos en la
espera en sí, el «resultado» de la experiencia de cola puede variar no linealmente con

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el retraso, reduciendo así la importancia del tiempo promedio en la cola, la medida
tradicional del rendimiento de las colas. En este capítulo abordamos la importancia
del tema de las filas para comenzar a organizar nuestros pensamientos sobre los
atributos importantes de las colas y hacer más tolerable la espera para los seres
humanos.

En este capítulo hemos introducido al lector a las ideas fundamentales de la

teoría de colas y discutido algunos de los sistemas de colas básicos que son
especialmente útiles en la carrera de ingeniería de sistemas y la licenciatura en
informática. Hemos ilustrado el uso de estos sistemas con una serie de ejemplos. Para
aquellos interesados en aplicaciones más complejas podrán encontrar en algunos de
estos modelos básicos de teoría de colas para abordar modelos de redes de colas y
analizar sistemas de mayor complejidad.

Discurso del estudiante

Las rosas son rojas; ¡las violetas son azules, si λ es grande, entonces ρ es demasiado!

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17. Referencias y bibliografía

• Adan, I., Resing, J. (2015). Queueing Systems, Department of Mathematics and

Computing Science Eindhoven University of Technology, Usa.

• Allen, A. (1990). Probability, Statistics, and Queueing Theory With Computer

Science Applications, Second Edition, Usa.

• Anderson, D., Sweeney, D., Willams, T. (2011). Quantitative Methods for Business,
11th, edit. Cengage, Usa.

• Bonini, Ch., Hausman, W., Bierman, H. (1997). Quantitative Analysis for

Management, 9th edition, edit. MacGraw-Hill, Usa

• Fu, Michael. (2000). Queueing Theory Notes, BMGT 835, Robert H. Smith School
of Business,
• University of Maryland, College Park, MD 20742-1815 USA.

• Larson, R. (1987). Perspectives on Queues: Social Justice and the Psychology of

Queueing. Recuperado de http://www.jstor.org/stable/171439.

• Moskowitz, H., Wright, G. (1982). Operations Research Techniques for

Managament, edit. Prentice Hall, Usa.

• Parlar, M. (2000). Interactive Operations Reseach with Maple: Methods and

Models, edit. Birkhäuse, Usa.

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