CÁLCULO APLICADO A

LA FÍSICA I
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES EN LA
CINEMÁTICA
Semana 03 – Sesión 01
LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante describe el

movimiento de una partícula utilizando integrales
para obtener las ecuaciones de movimiento
 ¿QUÉ VEREMOS HOY?

1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO EN UNA

DIMENSIÓN
2. APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES EN LA
CINEMÁTICA
3. CIERRE

Datos/Observaciones
 UTILIDAD
Las integrales y derivadas se convirtieron en las herramientas básicas de cálculo, con numerosas
aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. La ciencia y la tecnología modernas básicamente serían
imposibles sin él.
Las integrales se pueden usar para calcular:
Timsah Arena - Turquía

Longitudes de arco Áreas y Volúmenes de sólidos Solución de ecuaciones

con formas no regulares diferenciales

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 PUNTOS IMPORTANTES QUE
DEBES RECORDAR
❑ Reglas básicas de integración

Integral indefinida

Integral definida

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 Integral Indefinida
Definición: Se dice que una función F es una anti derivada de una función f sobre algún
intervalo I si: 𝐹´ 𝑥 = 𝑓(𝑥) para todo x en I.
Ejemplo: Una anti derivada de 𝑓 𝑥 = 4𝑥
𝑒𝑠:
𝐹 𝑥 = 2𝑥 2 + 7

Definición: una función puede tener varias anti derivada, por ejemplo: 𝐹 𝑥 = 2𝑥 2 +
7 , 𝐺 𝑥 = 2𝑥 2 + 16 y 𝐻 = 2𝑥 2 + 𝜋 son anti derivadas de 𝑓 𝑥 = 4𝑥

Propiedad
Si 𝐺 ′ (𝑥) = 𝐹 ′ (𝑥) para toda 𝑥 en algún 𝐼, entonces 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, para toda 𝑥 en 𝐼.

Es decir, las anti derivadas difieren por una constante.

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 Integral Indefinida
Si 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), la anti derivada más general de 𝑓 se representa por:

න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 Constante de
Signo de
integración
integral

Variable de
Integrando integración

Se lee, la integral indefinida de 𝒇(𝒙) respecto a x.

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Integral Indefinida

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Integral Indefinida

 sin( x)dx   cos( x)  c  ( x)dx  tan( x)  c

2
sec

 cos( x)dx  sin( x)  c  ( x)dx   cot( x)  c

2
csc

 tan( x)dx   ln | cos( x) |  c  sec( x) tan( x)dx  sec( x)  c

 cot( x)dx  ln | sin( x) |  c  csc( x) cot( x)dx   csc( x)  c
 sec( x)dx  ln | sec( x)  tan( x) | c 1 1 x
 x 2  a 2 dx  a arctan  a   c
 csc( x)dx  ln |csc( x)  cot( x) |  c

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EJEMPLOS

න 3 𝑑𝑥 = 3𝑥+𝑐

5 3
න 5𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 +𝑐
3

2
5 3
න 5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 + 3𝑥 + 𝑐
3

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EJEMPLOS
Calcular
2
I   ( x 3  3x1/ 2   4 x 2 )dx
3x

Solución
2 1
I   x 3dx  3 x1/ 2 dx   dx  4  x 2
dx
3 x
3

x4
x 2 2
x 1
3
  ln x  4  c
43 3 1
2
2 4 x4 2 4
  ( x  3 x   2 )dx 
3
 2 x 3  ln x   c
3x x 4 3 x

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EJEMPLOS
Calcular 4
I   (sin x  sec 2 ( x)  e x  )dx
x 2
2

Solución

1
I   sin xdx   sec ( x)dx   e dx  4 2
2 x
dx
x 2

4  x 
 I   cos x  tan( x)  e  x
arctan  c
2  2

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 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
VELOCIDAD CONSTANTE

• En Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) la

velocidad es constante.

• La coordenada de posición 𝑥 se obtiene cuando

se integra esta ecuación. Al denotar mediante
𝑥0 el valor inicial de 𝑥, se escribe:

• Ecuación del movimiento:

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 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN CONSTANTE

• En Movimiento Rectilíneo Uniformemente

Acelerado (MRUA) la aceleración es constante.

• La velocidad 𝑣 de la partícula se obtiene al integrar

esta ecuación:

• Donde 𝑣0 es la velocidad inicial.

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 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN CONSTANTE

• Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada

de la posición y sustituyendo el resultado anterior
para la velocidad.

• Al denotar mediante 𝑥0 el valor inicial de 𝑥 e

integrar, se tiene

• Obteniendo la ecuación de la posición

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 EJERCICIO 1

𝑥 𝑡2 𝑡2 Posición 𝑥 𝑡 = 9𝑡 2 + 25t
න 𝑑𝑥 = න 𝑣 𝑡 . 𝑑𝑡 → 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + න (18𝑡 + 25) 𝑑𝑡
𝑥0 𝑡1 𝑡1
18 2 𝑡 =3.1 𝑑𝑥
→ 𝑥 𝑡 =0+ 𝑡 + 25t /𝑡21 =1.5 Velocidad 𝑣 = = 18𝑡 + 25
2 𝑑𝑡

18 18
→𝑥 𝑡 = (3,1)2 +25(3,1) - (1,5)2 +25(1,5) 𝑑𝑣
2 2
Aceleración 𝑎 𝑡 = 𝑑𝑡
= 18
→ 𝑥 𝑡 = 9(9,61) + 77,5 - 9(2,25) + 37,5

→ 𝑥 𝑡 = 163,99 - 57,75
→ 𝑥 𝑡 = 106,24𝑚

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 EJERCICIO 2
b) Encontrando la aceleración

𝑑𝑣
a 𝑡 =
𝑑𝑡
a 𝑡 = −4tm/𝑠 2

c) 𝑣 𝑡 = 0 = 4 − 2𝑡 2
2𝑡 2=4
𝑡2 = 2
a) Encontrando la posición 𝑣 𝑡 = 4 − 2𝑡 2 , 𝑡 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑡 = ± 2,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 = 1,41 𝑠
𝑥 𝑡2
න 𝑑𝑥 = න 𝑣 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑥0 𝑡1 d) Cuando cambia de dirección:
𝑡2
→ 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + න (4 − 2𝑡 2 ) 𝑑𝑡 a 1,41 = −4 1,41
𝑡1

2 𝑡 =𝑡 a 1,41 = −5,64
→ 𝑥 𝑡 = 0 + (4𝑡 − 𝑡 3 )/𝑡21=0
3

2
→ 𝑥 𝑡 = 4𝑡 − 𝑡 3 𝑚
3

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 EJERCICIO 3 b) Encontrando la posición:

𝑦 𝑡
න 𝑑𝑦 = න 𝑣𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑦0 = 0, 𝑣0 = 0
𝑦0 𝑡0 =0

𝑡
𝑦(𝑡) = න (5𝑡 2 + 4t )𝑑𝑡
𝑡0 =0

5 3 𝑡 =𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 2 /𝑡20=0
3

5 3
𝑦(𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 2
3
a) Encontrando la velocidad c) Encontrando la posición y velocidad cuando a = 20 𝑚/𝑠 2
𝑣𝑦 𝑡
𝑚
න 𝑑𝑣 = න 𝑎𝑦 𝑡 𝑑𝑡, 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡0 = 0, 𝑣0 = 0 𝑎𝑦 𝑡 = 10𝑡 + 4 = 20 → 𝑡 = 1,6𝑠
𝑣0 𝑡0 𝑠2
𝑡
𝑣𝑦 = න 10𝑡 + 4 𝑑𝑡 𝑣𝑦 = 5𝑡 2 + 4𝑡 → 𝑣𝑦 = 5(1,6)2 +4 1,6 → 𝑣𝑦 = 19,2 𝑚/𝑠
𝑡0
𝑡 =𝑡
𝑣𝑦 = 5𝑡 2 + 4t /𝑡20=0 5 5
𝑦 𝑡 = 𝑡 3 + 2𝑡 2 → 𝑦 𝑡 = (1,6)3 +2(1,6)2 → 𝑦 𝑡 = 11,95 𝑚
3 3
𝑣𝑦 = 5𝑡 2 + 4t

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 EJERCICIO 4 b) Encontrando la posición:
𝑥 𝑡
න 𝑑𝑥 = න 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑖 𝑡0 = 0, 𝑥0 = 24
𝑥0 𝑡0 =0
𝑡
𝑘 3
𝑥 𝑡 − 24 = න 18 + 𝑡 − 216 𝑑𝑡
𝑡0 =0 3

𝑡 =𝑡 𝑘 1 4 𝑡 =𝑡
𝑥 𝑡 − 24 = 18𝑡 /𝑡20 =0 + 𝑡 − 216𝑡 /𝑡20 =0
3 4

a) Encontrando la velocidad
𝑘 1 4
𝑣 𝑡 𝑥 𝑡 − 24 = 18𝑡 + 𝑡 − 216𝑡
න 𝑑𝑣 = න 𝑎 𝑡 𝑑𝑡, 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡0 = 6, 𝑣0 = 18 𝑚/𝑠 3 4
𝑣0 𝑡0
c) Encontrando k =? 𝑠𝑖 𝑥 = 96𝑚, 𝑡 = 6𝑠
𝑣=𝑣 𝑡 𝑘 1 1
න 𝑑𝑣 = න 𝑘. 𝑡 2 𝑑𝑡, 96 − 24 = 18(6) + (6)4 −216(6) → −108 = 𝑘 324 − 1296 → −108 = 𝑘 −972 → 𝑘 =
3 4 9
𝑣0 =18 𝑡0 =6

𝑘 3 𝑡2 =𝑡 𝑡3
𝑣 𝑡 − 18 = 𝑡 /𝑡0 =0 𝑘 1 3 ⟹ 𝑣(𝑡) = + 10
3 𝑣(𝑡) = 18 + 𝑡 3 − 216 ⟹ 𝑣 𝑡 = 18 + 𝑡 −8 27
3 27

𝑘 3 𝑘 1 4
𝑣(𝑡) = 18 + 𝑡 − 6 3 𝑥 𝑡 − 24 = 18𝑡 + 𝑡 − 216𝑡 𝑡4 𝑡4
3 3 4 ⟹ 𝑥 𝑡 = 24 + 18t + − 8t ⟹ 𝑥 𝑡 = 108 + 10t + 24
𝑘 108
𝑣(𝑡) = 18 + 𝑡 3 − 216
3

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 EJERCICIO 5 Si: 𝑣 = 36 𝑚/𝑠 cuando 𝑥 = 18 𝑚 para poder encontrar k

3 3𝑘
(36)2 = 729 − 18 ⟹ 𝑘 = 19
2
3 57
⟹ 𝑣 2 = 729 − 𝑥
2
a) Encontrando la velocidad cuando 𝑥 = 20 𝑚
3 57 3 57
𝑣 2 = 729 − 𝑥 ⟹ 𝑣 2 = 729 − 20
𝑑𝑥 𝑑𝑣 2 2
3
𝑣 𝑡 = y a 𝑡 = ⟹ 𝑎 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑣 ⟹ 𝑣 2 = 159
𝑑𝑡 𝑑𝑡
⟹ 𝑣 = 29.34 m/s
1
𝑎 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑣 ⟹ −𝑘 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑣 ⟹ 𝑑𝑥 = − 𝑣 𝑑𝑣 b) Encontrando el tiempo en reposo.
𝑘
𝑥 𝑣2 =𝑣
1 ⟹ 𝑎 = −𝑘 𝑣 = −19 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 −1
⟶න 𝑑𝑥 = න − 𝑣 𝑑𝑣 ⟹𝑎= ⟹ 𝑑𝑡 = ⟹ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡 𝑎 19𝑣 1/2
𝑥0 =0 𝑣1 =81 𝑘
𝑡 𝑣2 =𝑣
−1 1 𝑣2=𝑣 1 1 𝑣2=𝑣 1/2
3/2 ⟶න 𝑑𝑡 = න 𝑑𝑣 = − න 𝑑𝑣 = − න 𝑣 𝑑𝑣
1 𝑣 𝑡 =𝑡 1/2
→𝑥 𝑡 =− /𝑡20 =0 𝑡0 =0 𝑣1 =81 19𝑣 19 𝑣 =81 𝑣 1/2 19 𝑣1=81
1
𝑘 3/2
2 1 𝑡2 =𝑡
2 3 →𝑡=− 𝑣 2 /𝑡0 =0
𝑡 =𝑡
→ 𝑥 𝑡 = − . 𝑣 2 /𝑡20=0 19
3𝑘

3𝑘 3 2 1 1
→ 𝑥 𝑡 = −𝑣 + 729
2 →𝑡=− 𝑣 2 − 81 2 , 𝑠𝑖 𝑣 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜
2 19
2 18
3 3𝑘 →𝑡=− 0−9 = 𝑠
→ 𝑣 2 = 729 − 𝑥 𝑡 19 19
2

CÁLCULO APLICADO A LA FÍSICA 1 Mgtr. Danny Javier Inoñan Valdera

 AHORA TE TOCA A TI!

Matemáticas para Ingenieros I Mgtr. Danny Javier Inoñan Valdera C21943@utp.edu.pe

Ejercicio 1
Calcular: I   e x dx
x2

Solución:

Matemáticas para Ingenieros I Mgtr. Danny Javier Inoñan Valdera C21943@utp.edu.pe

Ejercicio 2
1
Calcular: I  3
dx
x ln x

Solución:

Matemáticas para Ingenieros I Mgtr. Danny Javier Inoñan Valdera C21943@utp.edu.pe

Ejercicio 3
Encuentre 𝑓(𝑥) si:
𝑓 ′ 𝑥 = sen 2𝑥 − tan 3𝑥
ቊ
𝑓 0 =1

Solución:

Matemáticas para Ingenieros I Mgtr. Danny Javier Inoñan Valdera C21943@utp.edu.pe

¿QUÉ APRENDIMOS HOY?
 Las integrales son herramientas
importantes para la física.
 Las integrales se aplican en la cinemática.
 Integrando la aceleración con respecto al
tiempo se obtiene la velocidad como
función del tiempo.
 Integrando la velocidad con respecto al
tiempo, se obtiene la posición de una
partícula como función del tiempo.
REFERENCIAS
Física universitaria, Volumen 1.
Sears F., Zemansky M.W., Young H. D.,
Freedman
México. Pearson Educación

Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.

Serway, R. y Jewett, J.W.
México. Ed. Thomson.

Mecánica vectorial para ingenieros.

Dinámica
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston
Mc Graw Hill
 ¡GRACIAS!

Datos/Observaciones