CAPITULO 2

DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD
EN FLUJO LAMINAR
En este capitulo vamos a estudiar c6mo se pueden calcular los perfiles de velo-
cidadIaminar en algunos sistcmas gcornetricamente se11ciilos. Para estos calculos
s~ ha~e-uso d~ 1a dcfinicion de viscosidad y del concepto de un balance de cantidad
de __ movimiento. En .rea1idad, para los pro blemas de ing~~ii~ria no se necesita gene-
ralmente un conocimiento completo de las distribuciones de velocidad. Por el con-
trario, es preciso conocer la velocidad maxima, la velocidad media, y el esfuerzo cor-
tante en una superficie. Estas magnitudes pueden deducirse facilmente una vez que
se conocen los perfiles de velocidad.
En la primera secci6n se hacen algunas observaciones generales acerca de los
balances diferenciales de cantidad de movimiento. En las secciones que siguen
despues se exponen 'con detalle algunos ejemplos clasicos de los tipos de flujo vis-
coso. Estos ejernplos deberan de entcnderse perfectamente, puesto que con fre-
cuencia nos referiremos a ellos en capitulos posteriores. El lector se dara cuenta
de que estos sistemas son demasiado sencillos para tener de por sl interes en ingenie-
ria. Si bien es cierto que representan casos muy idealizados, los rcsultados que se
obtienen encucntran grandes aplicaciones en el estudio de numerosas cuestiones
de mecanica de ftuidos.
Los sistemas que se estudian en este capitulo estan ordenados de forma que el
lector entra a considerar gradualmente los distintos factores q~e. intervienen en la
solucion de los tipos de flujo viscose. Elproblema de _la pellcula __descendente, _que
se estudia en § 2.2, proporciona inforrnacion sabre el papel que juegan las fuerzas
de gra vedad y sob re la utilizaci6n de las coordenadas cartesianas; s~ indica tam-
bien c6mo puede llegarse a la solucion en el caso de que la viscosidad sea una fun-
ci6n de la posicion. En § 2.3 se considera el flujo en un tubo circular, que ilustra
sobre elpapel de la presion y las fuerzas de gravedad, a la vez que Se indica el USO
de coordenadas cilindricas; se ex pone asimismo c6mo se tratan los problemas de flujo
no-newtoniano. El flujo en un anillo cilindrico, que se estudia en § 2.4, pone de
manifiesto c6mo intervienen las condiciones Iimite en la obtenci6n de la soluci6n
fi_!!_al. En § 2.5 nos adentramos mas en la cuestion de las condiciones llmite, al dis-
cutir el flujo de dos fluidos adyacentes inmiscibles. Finalmente, en § 2.6 se considera
 2-2 TRANSPORTE UE CANT/DAD DE tvJOVIMJENTO DISTR//JUC!ONES DE VELOCl!)AD EN FLUJO LAl\1/NAR 2-3

coo rdenadas esfcricas c indicar al m ismo ticmpo c6mo se opera con Iuerzas normal cs se obtienen, rcspectivarucntc, las distribucioncs de densidad de flujo de cantidad de
y tangencialcs. movimiento y de velocidad en el sisterna. Esta inforrnacion puede utilizarse despues
Los metocios y problernas que a parecen en este capitulo sc aplican solarnente al para calcular muchas otras magnitudes, talcs corno velocidad media, velocidad
flujo en estado estacionario. Por «estado estacionario» se ent iende que las condi- maxima, velocidad volurnetrica de Ilujo, perdida de presi6n, y fuerzas que actuan
cio nes en cada uno de Ios puntos de la corriente no varian con cl t icrnpo. Es decir, sabre las superficies limite.
que una fotografia dcl sistema de Ilujo en el tiernpo t seria exactarnente igual a En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de
otra tomada ulgun ticmpo despues, f +-
LJ t. En cl Capitulo 3 sc presentan las ecua- integracion que se evaluan urilizando las «condiciones limite», es decir, determina-
cio nes generales del Ilujo no estacionario. ciones de hechos fisicos para valores concretes de la variable independiente. La
mayor parte delas condiciones limitc utilizadas son las siguientes:
§ 2.1 BALANCES ENVOLVENTES DE CANTIDAD DE MOVIM.IENTO:
a. En las interfases s6lido-f1uido, la velocidad del fluido es igual a la. velocidad
CONDICIONES LfMITE con que se mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el .fluido esta
Los problemas que se discuten en §§ 2.2 a 2.5 se estudian aplicando balances adherido a la superficie s6lida con la que se halla en contacto.

l
de cantidad de rnovimiento a una delgad a «envoltura» de fluido. Para el flujo rec- b. En las interfases liguido-gas, la densidad de fiujo de cant'idad de movi-
lilineo en estado estacionario,

)
velocidad de entrada ~·
de
cantidad de movimicnto
-
velocidad de salida
de
cuntidad 'de movimicnto
!I
el balance de cantidad de movimicnto es:

+
surna de las Iuerzas }
q ue ,
actuan sobrc cl sistema
, =O
.
micnto, y por consiguientc, el gracliente de vclocidad en la fase liquida, es extra-
ordinariamente pes1ueno, y en la nrnyor parte de los calculos puede suponcrse igual
a cero.

Perturbaci6n de entrada

(2.1-1)
Pelicula de lfquido
Al sistcma puede entrar cantidad de movumento par transporte, de acuerdo con
la expresion newtoniana (o no-newtoniana), de densidad de Ilujo de cantidad de
movimiento. Tambien puede entrar cantidad de mo_':'.imiento dcbido al movimie..niQ.
global de] Iluido. Las Iucrzas que nos interesan son las fuerzas de presi6n (actuando_
sobre_,..§!:!j?er/icie5._),Y. )§l_S."fu~rza~ 2:_~f?_:qtv~~tad (que actt'.ian sabre todo el 1 QJume,.1J).
1

El balance de caritidacl de. movimiento de la Ee. 2.1-1 puede aplicarse so/a­

i~
men cuci~ulo la~· !fne'a'.s· de::cdf·~­i~f1t~,del sistema son llneas rectas (es -d~cir, para cl
i1ujorectil;0eo): .EI n)61(;°do deo-o.p~i:aci6n par;si;t~1;;;;;-~Tin~;~;-de corriente curvas
.se considera en forrna de .ejernplos en § _3,_4. En realidad, cl origen de la Ee. 2.1-1 no
puede cornprenderse hasta querio ~e estudieIa dcducci6n en el Capitulo 3, y con-
crctarnente la Ec.·3.2-10. A este respccto . pedimos al lector que acepte, sin mas,
el principio de la Ee. 2.1-1 y que a prend a a utilizarlo en la resolucion de problemas Fig. 2.2-1. Diagrann esque1rn'tt ico del experimento de una pelicula desccndente, con indica~
sencillos de flujo viscose en estado estacionario. ci6n de los efectos finales. En la region de longitud L la distribuci6n de velocidad esta totalmentc
desarrollada..
En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de
flujo viscose es el siguiente: primeramente se escribe l.111 balance de cantidad de mo-
vim iento, de la forma de la Ee. 2.1-1 para una envoltura de espesor 'finito ; despues c. En las interfases liguido~liguido, tanto la densidad de flujo de cantidad de
se hace tender hacia cero · este espesor, utilizando la delinicion matematica de la movimiento como la velocidad son continuas a traves de la interfase; es decir, que
prirnera derivada con el fin de obtener la correspondiente ecuacion diferencial que son iguales a ambos ]ados de la interfase.
describe la distribuci6n de la clensidad de fiujo de cantidacl de movimiento. Se in- En las secciones quc sigucn encontraremos estos tres tipos de condiciones limite.
troduce entonces la adecuada exprcsion newtouiana de la dcnsidad de Ilujo de can- En esta seccion hcmos presentado algunas reglas generates para la resoluci6n
tidad de movimiento, con el fin de o btener una ecuaci6n diferencial para la disrri- de, problcrnas elcrnentalcs de flujo viscoso. A continuaci6n se
aclara la aplicaci6n de
de velocidad. Mediante ~ntegraci6n de estas dos ecuaciones diferenciales estas reglas para algunos sistcmas scncillos de ilujo.
 2-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO DISTR!BUClONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-5

Entrado de cantidad de movimiento

d ebido o l flu]o ~· \t
-: ,

r \).
) velocidad de entrada de
cantidad de m.ovimiento z
a traves de la superficie

\,
/ ~-
situada en x

~ velocidad de salida de
I cantidad de movirniento z
(2.2-2)
,,- 1\ I a traves de la superficie
I \
I \ ~ situada en x LI x+
I \
I \
. ~ 1/ '· velocidad de entrada
cantidad de movirniento z
de

( W 6.:i; 1t,,)(puz)I, =o (2.2-3)

~{J - a tra ves de la s uperficie
~-:;_-f . froV) sveJ~,o (
Salida de contidad de ~ ~
movimienlo por
tronsporte viscose/
/
I situada en z = 0 -,

v
-: iI f :G · velocidad de sat id a de can-
I tidad de movimiento z a
r; Y t traves de la superficie si-
(2.2-4)
Direcci6n de (
de rnovimie nto
la grovedod tuada en z = L
de b ldo al flu]o

\1 · fuerza de gravedad que

actua so bre · el fluido (VV 6.x)(pg cos {J) (2.2-5)
._; I ..

Fig. 2.2-2. Flujo viscoso isoterrnico de una pelicula de liquido bajo la influencia de la gra- Observese que las direcciones de «entrad a» y «salida» se toman £iempre en las di-
vedad, sin forrnacion de ondulaciones. Capa de espesor L1 x sobre la que se aplica el balance de recciones positivas de los ejes x, y z (en este problcma coinciden con la direcci6n
cantidad de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.
<lei transporte de cantidad de movimiento). La notaci6n Ix +
Llx quiere decir «eva-
luado para x + zlx».
Substituyendo estos terminos en el balance de cantidad de movirniento de la
§ 2.2 FLUJO DE UNA PELfCULA DESCENDENTE Ee. 2.1-1 se obtiene

+
­ r~x
Como primer ejernplo, considerernos una superficie plana inclinada, tal como LWTxzlx ­ LWTxzlx+ti.x W 6.x pu/lz=O
· se indica en la Fig. 2.2-1. Estas peliculas se han estudiado en relacion con torres
de pared mojada, experiencias de evaporacion y absorci6n de gases y aplicaci6n de
pv~2lz=D + LW6.x pg cos fi = 0 (2.2-6)
capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido Como vz vale lo mismo ara z _=;:: O_y_z_=L, para cada valor de x, los terrninos
son constantes y se considera una region de longitud L, suficieutcmcnte alcjada de tercero y cuarto se anulan cntre sl. Dividiendo la Ee. 2.2-6 por LW Llx y tomando
los extrernos de la pared, de forma quc las perturbaciones de la entrada y la salida cl Ii mite cuando Llx tiende hacia cero :
no estan incluidas en L; es decir, queen esta region el componente u, de la velocidad
e-
es independiente de z.
(2.2-7)
Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimicnto z sobre un sis-
tema de espesor L'.Jx, limitado por los pianos z = 0 y z = L, y que se extieude hasta
una distancia Wen la dircccion y. (Vease Fig. 2.2-2.) Los distintos cornponentes El primer micmbro de esta ecuacion es por definicion la derivada prirnera de r.n
del balance de cantidad de movirniento son por tan to: con respecto a x, Por tan to, la Ee. 2.2- 7 puede escribirse asi
2··6 'JJ<AN.\l'UJ<f'E ot: C-IN"/Jl>AJ> 01: MOVJ/\llENTO f)JSTIUBUCIONF.S /JE Vl:'LOC'fVAD EN FUJJO LAMINAR 2-7

Rcsulta , por ta nto, que el perfil de velocidad es parab61ico. (Vease Fig. 2.2-2.)
Una vez que se ha obtcnido cl perfil de veloc idud, pucden calcularse las siguientes
d T xz = pg COS )
I) (2.2-8)
­ magnitudes:
dx
que cs la ecuacion difercncial para la dcnsidad de flujo de cantidad de movimiento (i) La l'e!ocidad 111ti.Yima v=•nu\.~. es evidenterncnte la vclocidad para x = O; por
txz·Al integrurla se obtiene tan to
(2.2-9) , <52 cos (J
Vz,max = pg
----· (2.2-17)
La constante de iutegracion puede evaluarse aplicando la condicion limite .corres- 2ft
pondiente a la interfase liquido-gas (vease § 2. l ): (ii) La l'e!ocidad media <v.> en una seeci6n transversal de la pelicula, se obtiene
C.L. I: para x = 0, (2.2--10) rnediante el ca lculo siguiente:

J
cuya substitucion en la Ee. 2.2-9 conduce a C1 = 0.
Por lo tanto, la distribucion de la dcnsidad de flujo de cantidad de movimicnto es JW Vz dx 0 dy
(v ) = ---'o"-----

iw iod:c dy
_!:.:...l

I = es» cos r1
,')

--·---
(2.2-1 l) z

l
ta! como sc indica en la Fig. 2.2-2. o
Si el fluido es ncwtoniano, ya sabernos que la densidad de flujo de cantidad de =! v dx
,) o z
movimiento esta relacionada con el grad iente de ve!oeidad mediante la expresion,

(2.2-12)

Substituyendo este valor de r.xz en la Ee. 2.2-11 se obtiene la siguicnte ecuacio n

=pg 02 cos p (2.2-18)
diferencial para la distribucion de velocidad 3µ

dvz = _ (pg COS fl) .r (2.2-13) (iii) La velocidad volwnerrica de {/u).Q_Q se obticne a partir de la ve!ocidad
dx p media, o por i ntegracion de la distribucion de velocidad :
que puede integrarse Iacilmente para obtener
(2.2-19)
vz = _ (pg ')cos}}_) :t:2 + C.,~ (2.2--14)'
-P
La constante de integraei6n se evalua a partir de la condici6n Hmite correspori- • (iv) El espesor de la pelf cu/a a puede expresarse en funcion de la velocidad media,
diente de la velocida d volumetrica de flujo, o la velocidad de_Q_ujo de masa QOr un,idad
de anch~1 r~. de pa red (T =-= (} 00·2):
C.L. 2: para x o u, 0 (2.2-15)
J
= =

~
Substituycndo esta condiei6n limite en la Ee. 2.2-14 se obtiene que = :)J;;Q- =
C2 = (pg cos ,B/2p)o2. Por consiguiente, la distribuci6n de veloeidad cs 0 = 3µ(vz) 3/ 3pf' (2.2-20)
f3 fJ :../ p2g cos /3

B
pg cos ':.J pgW cos
cos (3[. 1- (x)- 2]
(2.2-16) (v) El cornponenle-z de la fuerza F de/ fiuido sobre la superficie se obtiene inte-
2/t r5 grando la den sidad de tlujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluido-
---
s6lido:
2-8 TRANSPORTE DE CANT/ DAD DE MOVIMIENTO
DlSTRTBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-9

Este es el resultado que se desea si, y solarncnte en este caso, el flujo es realmente laminar.

lo Jo
L{W Para averiguar la natur a lcza de! Ilujo , vamos a calcular cl nurnero de Reynolds basado en

rr-µ ~~1.. /::

Fz = T xzLv=~ dy dz la velocidad de flujo de masa que hernos hallado :

= Re=
4I' 4I'
- = - =
4(0,204)
= 5,1 (adimensional).
ft p11 (0,8 x I 03) (2 x 10_4)
= (LJ1:')( -µ) ( _ pg o;os f])
Este numero de Reynolds es inferior al Ilmite superior que se ha indicado anteriormente
par~ el flujo laminar, y el valor calculado para Tes por tanto valido.
= pg bLW cos f3 (2.2-21)
Es evideute que esto correspcnde exactamente al componentc-z del peso de todo
el fluido contenido en la pelicula.
Ejcmplo 2.2-2. Pelicula descendente con viscosidad variable
Los anteriores resultados analiticos son solo validos cuando la pelicula desciende
en flujo laminar con lineas de corriente rectas. Estas condiciones se cumplcn para Resolver de nucvo el problerna de la pclicula dcsccndcntc para el caso de que la visco-
el flujo lento de peliculas viscosas delgadas. Experimentalmente se ha encontrado sidad dependa de la posici6n en la Iorrna siguiente :
que al aumentar la velocidad «o;» de la pel icula, al aumentar _su espesor b, y al dis-
minuir la viscosidad cinernatica v = µ/ p, varia gradualmente 1a natura\eza del
ftujo. Durante este cambio gradual se pueden observar tres tipos distintos de flujo, (2.2-22)
mas o menos estables: (a) flujo laminar con lineas de corrientc rectas, (b), fl ujo
laminar con ondulaciones, y (c) flujo turbulento. La inforrnacion cuantitativa res- en la quc 110 cs la viscosi dad en la supcrficic de la pcllcula, y IX cs una constantc quo exprcsa
pecto del tipo de flujo que puede esperarse para una serie determinada de condi- la rapidez con que disminuyc /l al aumentar x. Una variaci6n de cste tipo tiene lugar en
el flujo dcscendcntc de! condcnsado en una pared, con un gradiente lineal de ternperatura
ciones f'isicas es solo fragmentaria. Para paredes verticales se puede dar la siguicnte
a traves de la pelicula. Dernostrar c61110 el resultado de este problerna se transforma en
informacion: 1,2
el obtcnido anteriorrncnte para el caso Iimite de que IX = 0 (pelicula de viscosidad cons-
~ujo laminar sin ondulaciones Re «; 4 a 25 tante).
fl_ujo _lamina..!_S.2]1 _Q!ldulacion~ 4 a 25 < Re < 1000 a 2000
Solucion. Se precede igual que antes para establecer cl balance de cantidad de 1110-
fiuio turbulento Re> 1000 a 2000 virnicnto y ca lcular la distribuci6n de dcnsida d de flujo de canticlad de movimicnto de
siendo Re = 4(kvz>pjµ = 4I'/µ el m'imero de Reynolds para cste sistema. El porque la Ee. 2.2-1 I. Subsrituyendo dcspucs la Icy de Newton (con la viscosidad variable
se utiliza este grupo adimensional como criterio&f tipo de flujo se estudia mas de la Ee. 2.2-22) en la Ee. 2.2-11, se obticne:
adelante en los capitulos que siguen.

Ejemplo 2.2-1. Calculo de la velocidad de peticula.

(2.2-23)
Un aceite ticne una viscosidad cinernatica de 2 x 10·4 m2 seg! y una dcnsidad de
0,8 x 103 kg ru", z, Cua! tiene que ser la .velocidad de flujo de masa de una pelicula que
desciende por una pared vertical para que el espesor de la misma sea de 2,5 111111? Esta ecuaci6n diferencial puede intcgrarse, y e valuar la constante de integraci6n'a partir
Soluci6n. De acuerdo con la Ee. 2.2-20, la velociclad de flujo de rnasa por unidad de las conclicioncs limite de la Ee. 2.2--15. El pcrfil de velocidad a que se llcga es
de anchura de pared es, (toclos los valorcs nurncricos estan en unidadcs mks):
r =
3v
= (2,5 x 10-3)3 (0,8 x 103) (9,80)
<53p/f

3(2 x I o-4) vz = pgr52cos!!._[e'1.(~ - ~)-

110 .: IX oc2
e~x/6(~ ­
cu5
!..)]
1X2
(2.2-24)
= 0,204 kg m' seg'
1 T. K. SHER.WOOD y R. L. PrGFORD, Absorp t ion and Extraction, McGraw-Hill Nueva York Con cl fin de hallar la velociclad para una pclicula de viscosidacl constante, darnos a ex:
(1952), p. 265. el valor 0 en la Ee. 2.2 ·--24. Al hacer csto aparccc una dificultad matcmatica que sc resucl-
2 S. S. GRIMLEY, Trans. Inst, (i:/1e111. E11g1·s. (Londres), 23, 228-235 (1948).
ve clesarrollando en serie, por la formula de Taylor, las dos funcioncs exponenciales:
 2-10 TRANSPORT£ DE CANTJDAD DE MOVIMIENTO DISTRTBUC!ONES DE VELOCJDAD EN FLUJO LAlvlINAR 2-11

[(1 +
velocidad de entrada de
02,cos
(vz)a=O =pg f3 Jim oc + ~ + ~ + .. ·) (~ _ ~) cantidad de rnovimiento
(2.3-3)
f. 0 c=--O 2. 3. CJ.
a traves de la superficie
(X

- ( 1 + :; + ;::: + ;~~: + .. ·) (ocxb - b)] anular situada en z = 0

vclocidad de salida de
= w; c5:1:os G + ~oc + . ) -G ~ + ~ ~oc + .. ·) J
f3 ~~~ [ cantidad de movimicnto
a traves de la superficie
(2.3-4)

.:« 02 cos
2110
p[ (~)2]
1 _
o (2.2-25)
anular situada en z = L

fuerza de gravedad que

que esta de acuerdo con la Ee. 2.2-16.
A partir de la Ee. 2.2-24 puede dernostrarse qu~ ta velocidad media es actua sobre la envcltura (21TrD.rL)pg (2.3-5)
cilindrica
(2.2-26) fuerza de presion quc actua
sabre la supcrficie anular (2.3-6)
El lector pucde comprobar que este resultado se transforma en Ia Ee. 2.2-18 cuando
(I.= 0. situada en z = 0

§ 2.3 FLUJO A TRAVES DE UN TUBO CIRCULAR Iuerza de prcsion que actua

. El ft_ujo de Iluidos en tubos circulares sc encuentra con Irecuencia en fisica, qui- sabre la superficie anular ­(2rrrD.r)PL (2.3-7)
m1c~, biologia .e ingenieria. El flujo laminar de Iluidos en tubos circulares puede situada en z = L
analizarse rnediante el balance de cantidad de movimicnto que se ha descrito en
§ 2.1. La unica modalidad nueva que se introduce aqui es el uso de coordenadas Tengase en cuenta una vez mas que la «entrada» y «salida» se toma eri la direccion
cilfndricas, que son las ccordenadas naturales para describir las posiciones en una positiva de los ejes,
tuberia circular. Sumando las contribuciones al balance de cantidad de movimiento, se obtiene
Consideremos el flujo laminar en cstado estacionario de un fluido de densidad
constante pen un tubo «muy largo» de longitud Ly radio. R. Especificarnos que el (21TrLTrz)lr ­ (21Tl·Lrrz)lr+6r + (211r_i;}rpv},)lz=O
tubo sea «rnuy largo» porque vamos a suponer que no existcn '<<efectos finales»: es
decir, que vamos a ignorar el hecho de quc a la entrada y ct la salida el fiujo no sera
necesariamente paralelo a la superficie de! tuba.
Elegimos coma sisterna una envoltura cilindrica de espesor Llr y longitud L. Como se supone q ue el flu ido es incc mpresible, V4 es la misma para z = 0 y z = L,
(vease Fig. 2.3-1), y cornenzamos por enumerar las distinta s contribuciones al y, par tanto, las terminos tercero y cuarto sc anulan entre si. Dividiendo la Ee. 2.3-8
balance de cantidad de movirniento en la direcci6n z: por 2nLL1r y pasando al limite, cuando L1r tiende hacia cero, queda

velocidad de entrada de
cantidad de movimiento lirn ((rrrz)lr+M ­ (rTrz)lr) = (Po - PI, +pg) r (2.3-9)
a traves de Ia superficie (2.3-1) t'.r­•O 6.r L
cilindrica situada en r El primer miernbro de esta ecuacion es por definicion la derivada primera, y por
velocidad de salida de can- tan to la Ee. 2.3-9 puede escribirse asi:
tidad de movimicnto a tra-
ves de la superficie cilin- (2.3-2) (
!!)' 0 ­ f!i'L)
' ,. (2.3-10)
L
drica situada en r + Llr

BIRD
2-12 TRANSPORT£ DE CANT/DAD DE MOVIMIENTO DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-13

Entrado de contidod de
movimiento debida al flujo Presi6n p0
r = (!!J)o ­ t!J'L)r (2.3-12)
., TZ 2L

Esta distribucion se indica en la Fig. 2.3-2

Distribuci6n porob61ica de
velocidod Uz(r)

Pared del tubo

L
~
....

Distribuci6n lineal de lo
T rz::: 0 VO;}--------->k------WA densidad de flu] o de
cantidod de movimiento
T r~(r)

, _ (0'0-11',)R
7 rz, max - __ 2_L_

Salida de cantidod de movi- Presi6n Pr,

miento debido al nujo Fig. 2.3-2 Distribuciones de velocidad y densidad de flujo de canridad de movimiento para
el flujo en tubos cillndricos.
Fig. 2.3-1 Envoltura cilindrica de un flu ido sobre la cual' se aplica cl balance de ca ntidad de
movimiento, para obtener el perfil de velocidad y la formula de Hagen-Poiseui lle para la velo- La ley de Newton de la viscosidad para este caso es
cidad volurnetrica de flujo.
en la que! f?JJ = p - pgz. La Ee. 2.3-10 puede integrarse para obten.er: du;
7rz = <: (2.3-13)

T. = (
g;0 - 'rY L ) 1'
c
+ ___! (2.3-11)
Substituyendo este valor de i,.z en la Ee. 2.3-12, se obtiene para la velocidad la
iz 2L r siguiente ecuaci6n diferencial:

La constante C1 tiene que ser cero si la dcnsidad de flujo de cantidad de movimiento dvz = -([J}Jo - t!J' L) r (2.3-14)
no es infinita para r = 0. La distribucion de la densidad de flujo de cantidad de dr 2µL
movimien to es, por consiguiente Integrando, se 1lega a

1 El terrnino &' representa el efecto combinado de la presi6n estatica y la fuerza de gravita-

v = -
z
(fl!) 4µL.?!'r.) r
0 - 2 + C
z
(2.3-15)
ci6n. Con el fin de permitir otras orientacioncs de flujo, se pucde definir .'?l' en es ta Iorrna mas ge-
neral 9'= p + pgh, siendo h la distancia medida liacia arriba (cs decir, en scntido contrario a la Teniendo en cuenta la condici6n Iimite de que o, es cero para r = R, se obtiene para
gravedad) dcsde un plane cualquiera, que se torna como referencia , la constante C2 el valor ( &0-.1? L)R2/4~tL. La distribucion de velocldad es por tan to
2-14 TRANSPURTE DE CAN1'1DAD DE MOVJ1vl1£NTO VEU>CI
LAM JN AR
1
!l/SFUllJUCI<>N ES DE. /)A J) EN FLU JO 2-15

Estc rcsulta do vicnc a dccir q uc la Iuerza nc ta q uc actua en el scntido de la corricnte

sob re cl cili ndro de Iluido, debido a la d ifcrcncia de pres ion ya la aceleracion gra-
(2.3-16)
vitacional, se cquilibra exactamente por la fucrza viscosa Fz, que tiende a oponerse
al movimicnto de! fluido.
Estc rcsultado nos indica quc la distribuci6n de vclocidad para cl flujo laminar de Los rcsuliados de csta secci6n son validos solamcnte para valores de! nurnero
un fluido incornprcsiblc en un t ubo cs parabolica. (Vease Fig. 2.3-2.) de Reynolds ink1Torcs a ildo~ para los" que cl nujo cs laminar. Para estc sistcrm SC
Una vcz que se conocc el pcrfil de velocidad , pucdcn calcularsc Iacilmcntc las ~,;;t~1mbra ckll11i1:_ cl numcro de B:eynolds-·por Re = D<v,)p/,u, sicndo D = 2R, el
siguicntes magnitudes: diamctro dcl tu bo.
(i) La velocidad maxima, vz, ruax .» ticne lugar para r = 0, y su valor es A conti nuaciou vamos a resumir todas las suposiciones que estan implicitas
en cl desarrollo de la Icy de Hagen-Poiseu ille:
Vz,max
'
= (£'J!o - f!JJT,)R2 (2.3-17) -- a. El flujo es laminar (Re menor que aproxirnadamcnte 2100)
r~ ~L = b. La dcnsidad p cs constante («flujo incompresible»)
/(ii)/La velocidad media cu,», sc calcula sumando todas las velocidades en una ­~ c. El flujo es independieute de! tiempo ( «estado estacionario»); cl problema
sccci6'i1 transversal y dividicndo por cl area de dicha seccion : correspondicntc al esiado no estacionario se trata en § 4.1.
1tf -; ­ d. El fluido cs newtoniano ; es dccir, rrz = - p(dvJdr).

f
2
dr dO _ e. Los efcctos finales son desprecia bles. En la practica se necesita uua «lon-
(&Oo ­ tJJ1JR2
v, = f'J,Rr gitud de en trada» (dcspues de la entrada de! tubo) dcl ordcn de Le= 0,035 D Re
( ) -'o--"-o _ (2.3-18)
dr dO 8µL para que se formen los perfiles parabolicos. Si en la sccci6n de la tuberia de que se
tr ata esta incluida la region de entrada hay que aplicar una correccion>. El factor
Los detallcs de la integracion SC dejan para el lector. Notcse que «u,» =-= 1/2 vi, mrix.' de corrcccion que se introduce bien sea en /I .<!Jo en Q nunca excedc de Lef L si L >Le.
(iii) La velocidad volumetrica de flujo Q, es el producto del area por la velocidad ·- f El flu ido se co mporta corno un medic continue. Esta suposici6n es valida,
media, por tanto excepto para Ios gases muy diluidos o tubos capila res muy estrechos, en los que el,
recorrido Ji bre rne<lio es comparable al diiimetro del tubo (regimen de «flujo de
Q =. 7r([j} 0 - f?JI)R4 deslizamiento» ), o mucho mayor que el di{i.metro del tubo (regimen de <<flujo
, (2.3-19)
8µL de Knudsen» o de «flujo de rnolecula libre»)6•
.. g. No hay de'llizamicnto en la pared. Esta suposici6n cs muy correcta para los
Este ultimo resultado cs la conocida Icy de Hagcn-Poiscuille., ~11 honor de los dos
fluidos puros en las condiciones que se ha11 supuesto en (/).
cientificos>," que sc han hecho Ia mo sos con es ta formula. Establece la rclacion
que existe entre la vclocidad volumetrica de flujo y las fucrzus quc originan diclH]
ftujo (las fucrzas._ref:.icio~rndas--co~i:la-caida de- p1:'(;ST01; la_ ac,cl~y-aciqn_~tvi_~a- y Ejemplo 2.3- l. Dcterminaci6n de la viscosidad a partir de datos de flujo en un capilar
cional). --- - - ·- Por un tubo horizontal de JO cm de longitud y 2,5 111111 de cliametro intcrno, fluye
--(i~) El componente z de la fuerza def fluido que actuu sabre la superficie 1110- glicerina (CH20H · CHOH · CH20H) a 26,5° C. i~ara una cafda de presi6n de 2,957 kg
jada de la tuber!a }~,cs exactamente la densidad de Ilujo de cantidad de movimieruo cm--2 la vdocidacl de l1ujo es 1,883 crn3 scg-1. La densidad de la glicerina a 26, 5° C es
1,261 g cm·-3. A partir de estos datos calcular la viscosiclacl de la glicerina en centipoises.
integrado sobre el area mojada : (,i./ _ 1)L)_ 1· ~ ·'\r··,_ . -,
., . .' l~ (La mcdicla del tlujo en tubos capilarcs es uno de los metoclos corrientes para la de'termi-
naci6n de viscosidad; estos aparatos se c!enorninan «viscosfmctros capilares».)
v, = (21TRL)(­,a du~)I
d: r=Tc
J~ wR'(Y'o ­ Y'L)
ii
(, \l,, p; ·\
5 .J. H. PERRY, C/ze111ical Engineers Ha11dboock, McGraw-Hill, Nueva York (!950), Tercera
(2.3-20) · ellici6n, pp. 388-389. W. M. KAYS y A. L. LONDON, Co111pac1 Heat Ei;changers, McGraw-Hill,
Nueva York ( 1958), p. 49.
Ii M. KNUDSEN, The Kinetic Theory of Gases, !Vkthuen, Londres ( 1934). E. H. KENNARD, Ki­
3 G. HAGEN, Ann. Phys, Cheui., ~2J-•l42 ( 1839).
4J.
ne lie 7/icory of Gases, ivlcGraw-Hill, NueYiL York (1938). G. N. PATTEHSON, Aiolec11Jor Floh' of
L. Po1SEUILLE, Co111p1es Rendus, 961y1041(1840);12, 112 (1841).
Gases, Wiley, Nueva York (1956).
 ,r
DISTRIBUC/ONES DE VELOClDA D EN FLUJO LAMINAR 2-17
2-16 TRAN5PORTE DE CANT!DAiJ DE MOVIMIENTO

Solucion, A partir de la ley de Hagen-Poiseu ille (Ee. 2.3-19), se obtiene:

'TT6.pR4
tl=--
SQL
:n;(2,957 x 103 gc;n-2)(981 dinasg-1) (l,25)4 x 10-4cm4
8( 1,883 cm3 seg " 1) (30 cm) Distribuci6n de
velocidad
=4,92 g cm-1 seg-1 =492cp (2.3-21) vz(r)

Es precise comprobar q ue el flujo es laminar. El nurnero de Reynolds es

D(vz)P 4 Qp
Re= -- =--
µ 7T Di»

4( I ,883 cm3 seg- 1,261 g cm=")

1) (
~· I flu]o de
n (0,25 cm) (4,92 g cm- 1 seg -1) 4 top6n con ...,,.__
j Vj
2,46 (adimensional) (2.3-22)

Por lo tanto, el flujo es evidenternente laminar. Por otra parte, la longitud de entrada ,
T rz = 0 k:------+--·---- Distribuci6n de

0--'::-
Ln es densidod de flu]o
Le · 0,035D Re = (0,035) (0,25) (2,46) = 0,022 cm T <:.To de co ntidod. de
movlmlento
T rz(r)

r----------------
De esto se deduce que los efectos de entrada carecen de irnportancia, y quc cl valor de la
viscosidacl que hernos obtenido esta corrcctarnente calculado. I
Ejcmplo 2.3.:.... 2. Flujo de Bingham en un tubo capilar r =O 2r0L
"o = (rl~-tl'L)ll
r=R
Un fluido cuyo comportamiento se ajusta rnuy aproxirnadarncnte al modclo de Bin-
gham (vease Ee. 1.2-2) circula por un tubo vertical en virtud de un gra diente de prcsion Fig. 2.3-3. Flujo de un Iluido de Bingham en un tubo circular.
y/o la aceleracion de la gravedad. El radio y la longitud de! tubo son, respcctivamente,
Ry L. Se desea obtener una relacion entre la velocidad valumetrica de flujo , Q, y la cornbi- Al integrar esta ecuaci6n diferencial ~le primer or den de variables separables, resulta
nacion de las fuerzas de presion y gravedad que actuan sobre el fluido,

Solucion. La distribuci6n de la densidad de flujo de cantidad de rnovimiento para (2.3-24)

el flujo de cualquier clase de fluido en un tubo circular, vicne dada por la Ee. 2.3 -12.
De acucrdo con la Fig. 1.2- l , el gradiente de velocidad para un fluido de Bingham es
ccro micntras la dcnsidad de llujo de cantidad de movimiento sea mcnor de un cicrto va- La constante C2 se calcula utilizando la condicion llrnite de que u, = 0 para r = R. Con
lor T0. Por lo tanto, es de espcrar que cx ista una region de «Ilujo de tapori» en la parte esto se llega finalmente a la siguicnte distribuci6n de velocidad:
central del tubo, ta! como se ha reprcscntado en la Fig. 2.3 ---3. Fucru de la region de
flujo de tapon, la dcnsidad de flujo de canticlad de movirnicnto y cl gradicnte de vclo- (2.3-25)
cidad estan relacionados por la Ee. 1.2--20. Substituyendo en la Ee. 2.3-12 la Ee. l.2-2a,
expresada en coordenadas cilindricas, sc obtiene
(2.3-26)
(2.3--23)
2-18 TRANSl'ORTE DE CANTJDAD DE ,VJOVIMIENTO DISJ'R.JBUCION ES' DE VELOC/DAD EN FLUJO LA MINAR 2-[9

Sicndo r0 cl radio de la region de llujo de tapon, quc cst.i dcfinido pOrT0 = (:9'10 - £1'rJ circularcs couxiales de radios KR y R (vease Fig. 2.4-1). Corncnzamos efectuando
r0/2L. La Ee. 2.3 --26 sc obticnc hacie ndo r ~= r0 en la Ee. 2.3 ··-25 y sirnplificando. un balance de cantidad de movimiento sobre una Jina envoltura cilindrica, y se
La velocidad volurnetrica de flujo puede calcularse de la siguiente Iorrna :

(2" (R
Q =Jo Jo vzr dr dO

in
I
(2.3-27) I

l
I
= 2rr
r0
Vz < r dr + 2rr Vz > r dr I
0 To

Las integrales pueden evaluarse substituyendo en estas ecuaciones

de v, < y v/. Sin embargo, rcsulta mas sencillo integrar
las corresporidientes
por partes la prime-
·:,· ·.·l I, 'Dhh;b,d6o
ve loc i dad de
expresiones
ra exprcsion de Q:
.
,,- I

r drJ
I

Q = 2rr -1 r2 Vz
[2
In 21JR(t1u)
- -
ell
~ 2 (2.3-28) I
I
0 0 I Distr i trucicn del e sfue rzo
--""'..LL.1..w.vA cortonte densidad de
a
El terrnino r2vz es ccro para arnbos lirnites, y ademas, el limitc inferior de la integral pue- I flujo de cantidad de

de substituirse por r0 pucsto que dvz/dr "'" 0 cuando r "o- < I movimienlo

Por lo tanto, la velocidud volurnetrica de flujo es

•• II
: :
I ,

(2.3-29) ­­'Jo..R­ ';--'1

~ : I
, I
I
I
Efectuando la integracion, y urilizando el sirnbolo rR para la densidad de Ilujo de caruidad I
(9'0­Y'zJR ..
de movimiento en la pared, , se obtiene
2L

Q= rr(.9'0 - 9' I)R1 [ , 4 (To). +--1 ('To ')'1] (2.3-30)

8110L 3 T n 3 T 11 Fig. 2A-l. Flujo ascendente a travcs de dos cilindros co nceruricos.
/

que es la Ecuaci6n de Buck inghum­Reinerle­" Cd'ando "o es cero, el modelo de Bingham '. llega a la misma ecuaci6n diferencial que se ha obtenido ariteriorrnente para el
se trunsforma en el modelo newtoniano, y la Ee. 2.3-30 se conviertc en La ecuacion de flujo en un tubo (vease Ee. 2.3-10):
Hagen- Poiscu ille.
d .
­ (rrrz) =
&'o - ,q})r), r (2.A-1)
FLUJO A TRA YES DE UNA SECCION DE CORONA CIRCULAR o (
§ 2.4. dr L
Vamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas ci- Tengase en cuenta que para este problema r!J= p +
pgz, puesto que las fuerzas de
lindricas, pero cuyas condiciones limites son diferentcs. Un fluido incornpresible presi6n y gravedad actuan en direcciones opuestas (es decir, que z corresponde a Ii
fluye en estado cstaciouario a traves de la region cornprendida entre dos cilindros en la nota 1 al pie de la pagina 45). Esta ecuacion diferencial puede integrarse igual
que antes (vease Ee. 2.3-11), para obtener
Proc. »stt«. 21, 1154-1161 (1921).
f!i'Jo - g; r.)
E. I3ucK1NGHAM,
?
s.M. REINER, Deformation and Flow, Lewis, Londres (1949). r.=
~ ( 2L
'r+­ C1r (2.4-2)
l) M. REINl:R, «Phenomenological Macror hcology», capit ulo 2 de Rheology, F. R. Eirich (Ed.),
Academic Press, Nueva Y 01 k ( 1956). vol. , p. 45
2,.20 TRANSPORTE DE,CANTlIJAD DE l\40VI'f:.11EffTO DISTRif!.UClO!fES DE VELOC!DAD EN FLUJO LAMINAR 2-21

La constante C1 no puede determinarse de forma inmediata, puesto que no dis- Substituyendo estos valores en las Ecs. 2.4-3 y 2.4-5 se obtienen, respectivamente,
ponemos de informacion acerca de la densidad de flujo de cantidad de movimiento la distribucionl de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribucion
en ninguna de fas dos superficies r =KR o r = R. Lo mas que podemos decir es de velocidad, para el flujo incompresible en estado estacionario a traves de dos tubos
que ha de existir un maximo de la curva de velocidad _ell. un ciert_o_~ (hasta concentricos
ahora desconocido) r = J..R, para el cual la densida.Q_.Q~yj..Q_d_e._.cantidad d_e movi-
miento ha de ser ~r_9 . .Iemendo esto en cuenta, puede substituirse C1 por -C&o - &D
TJJ~)2]2L, con lo que la Ee. 2.4-2 se transforma en
Trz = ( &o - {Ii' .r,)R [ (!:_) _ ( 1 - K2 ) (!!.) J (2.4-12)
2L R 2 In (1/K) r

·
Vz = (.9'o -
4µL
(!l> L)R2 [1 - (!_)
K
2
+ (~)
In (l/K)
In (!_)]
R
(2.4-13)

Notese que A. es todavia una constante de intcgraci6n desconocida. La unica razon

de haber substituido C1 por }, es que conocemos el significado fisico de A.. Observese que cuando K se hace cero estas ecuaciones se transforman en las corres-
Substituyendo en la Ee. 2.4-3 la ley de la viscosidadde Newton rrz = - µ(dv,Jdr) pondientes al flujo en tubos circulares (veanse Ecs. 2.3-12 y 2.3-16). El lector
se obtiene esta ecuacion diferencial: debera de habituarse a comprobar analiticamente los resultados para asegurarse
de que describen adecuadamente los «casos limite».

dvz = _ (&o - &1JR[(~) _ J..2(~)] (2.4-4)

Una vez que se conocen ya las distribuciones de velocidad y densidad de fiujo
de cantidad de movimiento, pueden obtenerse de forma inmediata otras magni-
dr 2pL R r tudes interesantes:
Integrando con respecto a r: (i) La velocidad maxima

v, = - ( &, ~µ~ ,,)R'[ (~)'­ 2; Jn (~)

2 + c,J (2.4-=5)

Ahora pueden evaluarse las dos constantes de integraci6n A y C2, utilizando las (ii) La velocidad media
dos siguientes condiciones Iimite:

C.L. 1: para r = 1<R (2.4-6)

(2.4-15)
C.L. 2: para r = R (2.4-7)

Substituyendo estas condiciones limites en la Ee. 2.4-5 se obtiencn estas dos ecua- (iii) La velocidad volumetrica de flujo
cio nes simultaneas

0 = - (&o - .9'1JR2 (K2 - 2J..2 ln K + c)2 (2.4-8)

Q = 7TR2(1 - K2)(vz) = ?T(.9'o ­ &r,)R4(c1 - K4) ­ (1 - K21:) (2.4-16)
4µL 8µ,L In (1/K)
so
0 = - (.9'o - g.i L)Rz (1
4p,L
+ C2) (2.4-9)
(iv) La fuerza ejercida por el fluido sob re el lido se obtiene sumando las fuer-
zas que actuan sobre los cilindros interior y exterior, respectivamente:

Fz = ­Trzlr=KR • 21TKRL + Trzlr=R · 2rrRL

de las que se deduce el valor de las constantes C2 y A
(2.4-17)
C2 = -1 2A.2 = l - K2 (2.4-10,11)
In (1/K) 1 L·1 distribucion de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para el flu]o no-newtoniano
no viene dada por la Ee. 2.4-14. Vease el problerna 2.Q.
 DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-23
2-22 TRAMPORTE DE CAN1'1DAD DE i'vlOVJMIENTO

El lector debcra de conprobar c intcrpretar, coma ejcrcicio, estos rcsultados.

Las ecuaciones anteiores sc transforman en las formulas para el flujo en tubas d T xz = Po - fi L (2.5-1)
circulares en el cas o llnite de que K --+ 0. De igual forma, sc obtienen tambien las d» L
ecuaciones para cl fl ujo en rendijas planas cuando tc ­­~ l. Los procesos neccsarios Esta ecuaci6n se obtiene tanto para la fase I como para la fase II. Integrando la
para obtcner cstas u ltinas se tratan en los problernas 2. F (para la velocidad volu- Ee. 2. 5-1 para las dos regiones, res ulta
metrica de flujo) y 2.P (para los per files de velocidad).
La solucion que se lu obtenido es solo valida para el flujo laminar. La transici6n
de laminar a turbulentose Qroducc en las inmediaciones de Re= 2000, estando el
T,,} = (Po~ PL)x + C/ (2.5-2)
numcro de Reyn~ds deinido por Re = 2R (1 - K) <1v_Eli!_. En realidad, antes de
la transici6n, cl fiujo laninar estable presenta un movimienio sinuoso-. -: (Po~ PL)x + C/I (2.5-3)

Se utiliza la condici6n limite de que el transporte de cantidad de movimicnto es

continua a traves de la interfase de los dos fluidos:

C.L. 1: para x = 0 (2.5-4)

Lo que nos indica q ue C11 =-= C111, y, por tanto, le llamaremos simplcmente constante
de intcgracion C1-
Si sc substiiuye la Jey de Newton de la viscosidad en las Ecs. 2.5-2 y 2.5-3,
se llega a

­µ­I dv/
dx
(Po~ p~)x + C1 (2.5-5)

­µ
II dv/I
--=
dx
(Po~PL)x+Ci (2.5-6)

Fig. 2.5-1. Flujo de dosfluitlos inmiscibles entre dos laminas planas .paralelas debido a un
La integracion de estas ccuaciones da
gradiente de presion.

Dos fluidos inmiscilles e incompresiblcs circulan, debido a un gradiente de

vz [ = (Po ­ PL)x2 ­ C1 x + c,r (2.5-7)
presi6n, en la direccionz de una estrecha rendija horizontal de longitud L y an- 2µ1L 1/ ..
chura JtV. Las velocid.ads de los fluidos estan ajustadas de tal forma que una mitad
de la rendija esta Hen a dl fluido I (la fase mas densa), y la otra mi tad est a ocupada v z 1[ = _(Po­. PrJx2 _ C1 x + c,rr (2.5-8)
2µIIL µlI ~
por el fluido II (la fa se nenos densa). Se desea analizar la distribuci6n de velocidad
y de densidad de fl uj o re cantidad de movimiento en este sisterna,
Para deterrninar las tres constantes de integracion, se utilizan estas tres condiciones
Un balance diferernial de cantidad de movimiento conduce a la siguiente
limite adicionales
ecuacion :
2 C.L. 2: para x =0, viz = VU
z (2.5-9)
R. S. PRENGLE y R. H ROTHFUS, Eng. Chem., 47, 379-386 (1955).
1 E! ftujo adyacente de un capa laminar y otra turbulerua ha sido estudiado por T. J. HAN- C.L. 3: para x = - b, », I
= 0 (2.5- IO)
RAHY y J. M. ENGEN, .A. i. ~it. E. Journal, 3, 399-304 (1957). El Ilujo anular gas-liquido en tubes
ha sido tratado por A. D. K LA.lRD, Trans. ASME, 76, !005-1010 (1954), y S. CALVERT y D. W!L- C.L. 4: para x - +b, V Ii
z =0 11)
UAMS, A. !. Ch. E. Journal, 1, 78-86
2-24 TRANSPOR.TE DE CANTJDAD DE MOVIMIENTO D!STRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-25

Al establecer matematicarnente estas condiciones limite se obtiene § 2.6 FLU JO REPT ANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA S6LIDA1,2
En las secciones anteriores hemos resuelto algunos problemas clementales de
B.C. 2: c/ = c2u (2.5-12)
:ftujo viscoso, mediante la aplicacion de balances diferenciales de cantidad de movi-
B.C. 3: 0 = _ (Po ­ P L)b2 + C1 b +C r (2.5-13) rniento. En la seccion inicial de este capitulo se insistio en que este metodo de ana-
2µIL µI 2 lisis esta restringido a los sisternas con lineas de corriente rectas. Puesto que[ el
problerna del flujo alrededor de una esfera implica lineas de corriente curvas, 'iio
B.C. 4: 0 = - (Po ­ PL)b2 ­ C1b + c/I (2.5-14) puede resolverse por las tecnicas que hemos visto en este capitulo. Sin embargo, lo
2µIIL µII
trataremos aqui brevemente debido a la importancia que tiene en ingenieria el :flujo
alrededor de objetos surnergidos. No se preteriden deducir las expresiones para las
De estas ecuaciones se deduce que distribuciones de la densidad de ftujo de cantidad de movimiento, de la presion y de

C1 = - (Po - PrJb (µr -

2L µI+ µ11
µII) (2.5-15)
la velocidad, sino que enunciaremos estos resultados y los utilizaremos despues
para deducir algunas relaciones importantes que seran necesarias en posteriores
tratamientos.
C/ = +(Po ­ PL)b2 ( 2µI ) = C2II (2.5-16) Considcrcmos el flujo muy lento de un fluido incornpresible alrededor de una
. 2p.,IL µr + 1P esfera solida, tal como se indica en la Fig. 2.6-l. La esfera es de radio R y dia-
metro D. El flu ido tiene una viscosidad µ y una densidad p, y asciende verticalmente
Por lo tanto, los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movirniento y de velo- hacia la esfera con una velocidad uniforme v00 a lo largo del eje z negativo. Analitica-
cidad son: rnente se ha encontrado queipara un flujo muy lento, la distribucion de la densidad
de flujo de cantidad de movimiento, la distribucion de presi6n, y los componen-
= (Po ­ PL)b [ (~) _ J: (ll1 ­ /L
11)
J (2.5-17)
tes de la velocidad, expresados en coordenadas esf ericas, son:
7
xz L b 2 µI + µ lI
(2.6-1)
(2.5-18)

23 µv
R (R)
­; 2
(2.6-2)
+ (µ1-1hrr)(x)_
00
p =Po - pgz ­ cos (j
VII=\ ([J O -p L )b 2[( 21.tu ) (:i;_)2] (2.5-19)
z 2µIIL flI + µ1[ PI+ /l[f b b
(2.6-3)
Estas distribuciones se indican en la Fig. 2.5-1. Observese que si µ1 =µII, ambas
distribuciones son iguales, y los resultados se transforman en el perfil parabolico
de velocidad para el fiujo laminar de un fluido puro en una rendija. (2.6-4)
La velocidad media en cada capa puede calcularse de esta forma:

( v r)
z b
f
= ! o v r dx = (ro - P1Jb2 (7µr + µrr)
-b z 12µ1£ µI +µII
(2.5-20)
En la Ee. 2.6-2, p0 es la presion en el piano z = 0 alejado de la esfera, - pgz es la
contribucion de! peso del fluido (efecto hidrost atico), y el terrnino que contiene v00

v n) = ! f1'v II dx =(Po - P1Jb2(µ1 + 7/tn) (2.5-21)

I Ve ise C. G. STOKES, Trans. Cambridge Phil. Soc., 9, 8 (1850). Vease tarnbien H. LAMB, Hy­
< z b 0 z 12µII L µI + µn drodynamics, Dover, Nueva York ( 1945), Primera edici6n arnericana, § 338, pp. 602 y ss.; V. L.
STREETER, Fluid Dynamics, McGraw-Hill, Nueva York (1948), pp. 235-240. Un tratamiento mas.
A partir de las distribuciones de la densidad de flujo de cantidad de rnovimiento minucioso puede verse en· H. VILLAT, Lecons sur les [Iuides visqueux , Gauthier-Vi liars, Paris ( 1943),
capitulo 7, en el que se considera el movimiento no estacionar io de una esfera.
y de la velocidad, que hemes obtcnido anteriorrnente, se puede adernas calcular
2 El flujo no-ncwtoniano alrcdcdor de una esfera ha sido estudiado por J. C. SLATTERY, tesis
la velocidad maxima, la velocidad en la interfase, el piano de esfuerzo cortante doctoral, Universidad de Wisconsin (1959).
cero y la friccion en las paredes de la rendija.
 DlSTRllJUCfONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMJNAH 2-27
2-26 TRANSPORTE DE CANT/DAD DE MOVJMIENTO
actua perpendicularmente a la superficie. El componente z de esta presion es - p
resulta como consecuencia del flujo del Iluido alrededor de la esfera. Esras ecua- cos 0. Esta presion local se multiplica po r el area de la superficie sobre la que actua ,
c~ones son solamente validas para «fiujo reptantc>1, gue para ~s!:,£ sis~gia tiene lggar R2 sen 0 dO d¢, y se integra sobre Ll superficie esferica para obtener la fuerza resul-
_cuando el numero -~ ~e~nol_~s- P.!!S?.9J!Jp_ es inferior a al?.roximadamente 0,1. Esta tante en la direccion z :
region se caracteriza por la virtual ausencia de remolinos aguas abajo de la esfera.
Observese que la distribucion de vclocidad cumple la condicion de que v, = "o = 0 21TJ1T
en la superficie de la esfera. Adernas, puede demostrarse que u, tiende hacia v00 para
puntos alejados de la csfera. Por otra parte, se vc clararnente que, lejos de la super-
Fn = J0 0
(- Plr= B COS O)R2 sen 0 dO def (2.6-5)

ficie esferica, la distribuci6n de presion se transforma en la ecuaci6n hidrostatica La distribuci6n de presion en la superfieie de la esfera es
p =Po ­­ pgz. Por lo tanto, las ecuaciones deben de satisfacer las condiciones limite
para r = Ry r = oo, 3 /Wro (2.6-6)
Plr­ R = Po ­ pg[{ cos 0 ­ ­ ­ cos (J
Calculamos ahora la fuerza neta que el fluiclo ejerce sobre la esfera. Esta fuerza se - 2 R
calcula intcgraudo la Iuerza normal y la fuerza tangencial sobrc la superficie de la Esta expresion sc substituye en la integral de la Ee. 2.6-5. La integral que contiene
esfera. Po se anula, la de - pg R cos 0 da la fuerza de flotacion del fluido sobre el s6lido,
Radio de lo esfera =R y la integral en que interviene la vclocidad cla la resistencia de forma. Por lo tanto,
q ueda final mente
(2.6-7)
En coda punto exlsten fuerzos de
presi6n y fricci6n que o ctuo n (x,y,z) o
sc bre la superf1cie
de la esfero
/'1 (r,0,¢) Integracion de la fucrza tangencial
.
.> I
I En cada punto de la superficie cxiste tambien un esfuerzo eortante que actua
I tangencialmcnte. Este esfuerzo, - r,0 es la fuerza que actua en la direcci6n 0 sabre
I
la unidad de area de la superficie esferica. El componente z de esta fuerza, por uni-
--~--4
I dad de area, es (- r,0) (- sen 0). Multiplicando por R2 sen 0 dfJ e integrando dcp
- ---•I p.. .. I
roye c cro n de
sobre la superficie de la esfera, se obtiene la fuerza resultante en la direccion z:

f'r f (
punto sabre el
piano ry
Ft = +T.,.olr=R sen O)R2 sen 0 dO dcp (2.6-8)
0 0 '

La distribuci6n del esfuerzo cortante en. la superficie de la esfera, de acuerdo con la

Ee. 2.6-1, es
3 µvro
I
Tro r=It =-- sen 0 (2.6-9)
2 R
El fluido asciende conluoo
una velocidad u.., Substituyendo esta expresion en la integral de la Ee. 2.6-8, se obtiene la «resis-
tencia de friccion»

lFig. 2.6- t. Sistema coordenado para describir el flujo de un fluido alrede dor de (2.6-10)
una esfera rigida.

Por Jo tanto, la fuerza total F de! fluido sobre la esfera, viene dada por la surna de
Integrachin de fa fuc~za normal
las Ecs, 2.6--7 y 2.6-10:
En cada punto de la superncie esferica existe una presi6n sobre el solido que
BIFlD -- 5
 UlSIIUJJUC1UNJ:',S JJt; Vt.LUCWAJJ l~N FLUJO LAMINAR 2-29

F = 4/3nR3eg + 2npR V00 +· (resiste11cia

4nµR1~ 00

de Iriccion)
~2.6-11) CUESTrONES PARA. DISClJTIR
(fuerza de flotaci6n) (res istencia de fonna)
0 l. ;_ Cual es la dcfinici6n de derivada primera y como se utiliza esta definici6n en relaci6n con
bien Ios balances aplicados a una envoltura ?
(2.6-12) 2. Comparar la variaci6n de Trz con ,i para el flujo laminar de un fluido en un tubo yen tubos
concentricos,
El primer terrnino del segundo miembro de la Ee. 2.6-12 representa el empuje
3. L Cua! es la ley de Hagen-Poiseuille y a que se debe su importancia? Comprobar su con-
y el scgundo resulta corrio consecuencia del movimiento del fluido alrededor de la
sis tencia dimensiona I(j,<)
esfera. Para posteriores consideraciones, es conveniente designar estos dos ter-
4. l Que es el numero de Reynolds? i, Cu ales son sus dimensiones?
mi nos por F_, (la fuerza que se ejerce au nque el fluido este en reposo) y F,, (la fuerza
que resulta del movimiento del fluido, o sea, la contribucion «cinetica»): en el 5. Para el flujo en tubos concentricos, i, cual de las dos paredes, interior o exterior, esta mas
proxima a la superficie donde la densidad de ftujo de cantidad de movimiento es cero?
caso que estamos considerando, estas fuerzas son
6. l Que Iimitaciones se han hecho en la deducci6n de la formula que da el espesor de una pe-
Fs = hR3 pg (2.6-13) licula descendente?

r, = 61TµRv00 (2.6-14) 7. L Cual es el signiftcado flsico de las cuatro condiciones limite que son necesarias para de-
terminar las cuatro constantes de integraci6n en § 2.5?
La Ee. 2.6-14 es la conocida fey de Stokes. Se aplica en el movimiento de particulas ~
8. l Cual es el intervalo de validez de la ley de Stokes?
coloidales por efecto de un campo electrico, en la teoria de sedimentacion, y en el
9. i, Es de esperar que la ley de Stokes sea valida para el dcscenso de las gotitas de un liquido
estudio del movimiento de particulas de aerosoles. Tengase en cuenta que la ley
A en el seno de un medio liquido inrniscible B?
de Stokes es valida para numeros de Reynolds (basados en el diametro de la esfera)
inferiores a aproximadamente 0,1; para Re = I, la ley de Stokes predice una fuerza 10. (,Se cu mp lira la ley de Stokes para el descenso de diminutas particulas en aire, si el dia-
metro de las particulas es del orden del recorrido libre medio de las mo leculas del aire ?
resisten te que es un 10 por ciento men or. El comportamiento de este mis mo sis-
tema para numeros de Reynolds mas elevados se estudia en el Capitulo 6. Este 11. En § 2.6, f, y F1, cleberian en realidad de tr~1ta rse como magnitudes vectoriales. l Como
se modiflcaria la Ee. 2.6 --12 si la direcci6n de flujo del ftuido no fuese exactamente contraria a
problema indica que cuando las lineas de corriente son curvas es preciso desarrollar la aceleraci6n de la grave~iad?
una formulaci6n mas general de la med. nica de ftuidos, tal como se presenta en
12. l C6mo se elige la forma y la orientaci6n de! elemcnto de volumen utilizado para aplicar
el Capitulo 3. un balance de envoltura ?
13. i. En que lugar de la deducci6n efectuada en § 2.3 habria que comenzar a introducir modi-
Ejemplo 2.6-1. Determinacicn de la viscosidad .a partir de la velocidad ficaciones, si (a) el coeficiente de viscosidad fuese una funci6n de r (debido a condiciones no
final de caida de una esfera isotcrmicas, por ejcmplo); (b), el fluido Iuese no-ncwtoniano ?
Deducir una relaci6n que perrnita obtener la viscosidad de un fluido mediante la velo- 14. Discutanse las dificultades de medida implicitas en la detenninaci6n de viscosidades ab-
cidad de caida en estado cstacionario de una esfera en el seno de un fluido. solutas mediante la formula de H'rgen-Poiseu ille. Estudiense los efectos relatives que sobre el re-
Solucion, Si una esfera, inicialmcnte en reposo, se deja caer en un fluido viscose, sultado ejerce un error de un I por cicnto en las d istintas medidas.
adquiere un movimicnto aceleraclo hasta que alcanza una velocidad constante («final»). 15. Dos liquidos inmiscibles A y B fluyen con movimiento laminar entre dos laminas planas
Cuando se alcanza este estado, la suma de todas las fuerzas que actuan sobrc la esfera es parulelas, lSeria posible que los perfiles de velocidad fuesen de La siguiente forma? (Expliquense
cero. La fuerza de gravedad actua sabre el solido en la direccion de la caida, y el empuje brevernente las razones de la respuesta.)
y la fuerza debida al mov irniento actuan en sentido contrario:

(2.6-15)

En esta expresi6n1 R cs el radio de la esfera, Ps la densidad de la esfera, p la densidad del

tluido, y v1 la «velocidad finah>. Despejando I' de la Ee. 2.6-15, se obtiene

µ = 2R2(p3 ­ p)g/9v1 (2.6-16)

Este resultado es v'alido solamcnte cuando Dv1p/1t es menor quc aproximadamente 0, 1_. 16. i. Cual es la vclocidad final en un campo electrico de intensidad 8, de una particula co-
loidal esferica que posee una carga e'? (A<lmitase que se cumple la Icy de Stokes.)
2-30 TJ<ANSPORTE DE CAN'l'JDAD DE MOVIMIENTO D/STRIBUCJONES DE VELOCJDAD EN FLUJO LAMINAR 2-31

PROULEMAS integrar esta ecuacion, (iii) intro ducir en este resultado la ley de Newton con el fin de obtcner una
ecuacion diferencia l de primer orden para la velocidad, (iv) integrarla para obtener la distribu-
2.A1 Determinaci6n de! rad io de un capilar medlante mcdidas de flujo ci6n de velocidad. Otro procedimiento consiste en, (i) deducir una ecuacion diferencial de primer
Uno de los rnerodos para determinar el radio de un rubo capilar consiste en medir la velo- orden para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, (ii) substituir la ley de Newton en
cidad de flujo de un fluido viscoso a traves del tubo. Hallar el radio de un capilar a partir de los esta ecuacion con el fin de obtener una ecuacion diferencial de segundo orden para la velocidad,
siguientes datos : (iii) integrar esta ecuacion con el fin de obtcner la distribuci6n de velocidad, Aplicar este proce-
dimieruo, substituycndo la Ee. 2.2-12 en la Ee. 2.2-8, y coruinua r en la forma que se ha indica-
Longitud del capilar = 50,02 cm
do, hasta obiener la distribucion de velocidad.
Viscosidad cinernatica dcl fluido = 4,03 x 10-s m2 seg+!
Densidud de! fluido = 0,9552 x 103 kg m-3
Caida de presi6n a traves de!
tubo capilar (horizontal) = 4,829 x 1 os newtons m-2
= 4,766 atm.
Velocidad de flujo de masa a
traves del tube = 2,997 x I0-3 kg seg-1

l Cua I es cl principal inconveniente de este metodo ? Sugieranse algunos otros metodos de deter-
minacion del radio de tubes capilares. '
Respuesta: 0,1512 mm. L
2.B1' Velocidad volumetrica de flujo a truves de un anillo circular
z
Un anillo circular horizontal tienc una longitud de 8,23 m. El radio externo del cilindro inte-
rior es de 1,257 cm y el radio interno de! cilinciro exterior es de 2,794 cm. Mediante una bornba
se hace circular a truves del conducto anular una solucion acuosa de sacarosa (C12H22011) al 60
/
por ciento a 20° C. La densidad de! Iluido es de I ,286 g cm-J y su viscosidad 56,5 cp. i. Cual es la
velocidad volumetrica de fl ujo cuando sc le comunica una diferericia de presion de ,0,379 kg cm : 2 '{ 2B <E---

. ~· Respuestu: },06 x ]03 cm-' seg : l .

2.C1 Perdida de particulas catulitlcas en un gas de escape

a. Determinar el diarnetro maxirno de las particulas de un catalizador constituido por micro-
esferas, que pueden perderse en cl gas que va a Ia chimenea en una unidad de cracking de un flui-
do, en las siguicnres condiciones:
Velocidad del gas en el eje de la chirnenea = 30,5 cm seg "! (verticalrnente hacia arriba)

Viscosidad del gas = 0,026 cp

Densidad del gas = 7,21 x I0-4 g cm v '
Densidad de una particula del
catalizador = 1,2 g cm r '

Expresar el resultado en rnicrones (1 micron = 10-6 cm)

b. L Se puedc utilizar la ley de Stokes en el caso (a)?
Fig. 2.E. Flujo a traves de una rendija,
Respuesta: Drnax = 110 micrones; Re = 0,?3.
2.E2 Flujo laminar en una rendija estrecha
2.02 Flujo de una pelicula dcscendcntc. Otras deducciones
a. Deducir el perfll de velocidad y la velocidad media, situando el origen de coordenadas de
Un Iluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija forrnada por dos paredes pla nas
x x
forrna que se midu a partir de la pared (es decir, = 0 corresponde a la pared y = b a x la
'su- separadas una dista ncia 2B. Efectuar un balance difcrencial de canridad de movimiento y obte-
ner las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de
perficie libre de la pelicula). Dernostrar oue Ia distribucion de velocidad viene dada por '
velocidad (vease Fig. 2.E): · ·
v. = cos P[(x/b) - Hx/0)2) (2.D-1)
&'0 -
( ­­­­ L
Bi')I,
x (2.E-1)
y que la veiocidad media es la que se 1:xpresa en la Ee. 2.2_:!'8. Demostrar como se puede llegar
a la distribuci6n de velocidad de la Ee. I a partir de la Ee. 2.2 - l 6.
b. En Jos prnbknnas de este capituio se ha seguido el proccdimiento siguiente: (i) deducir una v, = (&o - !JI' z,)B~
2pL
[1 - (:)&
B
l
J
(2.E-2)
ecuaci6n diforencial de primer orden p;irn. la densidad de fiujo de cantidad Jc movimiento, ( i)
2-32 TRANSPORT£ De CANT/DAD DE MUVJMICN'/U U!STRIBUCION ES DE VELUCWA D EN FLU JO LA l'vl!N AR 2-33

en las que &= p + pgh = p .; pg'z l Cual es "la relacion de la velocidad media a la maxima en la 2.F2 Relacion entre las formulas de la rendi]a y del anillo circular
rendija ? Obtener la ecuacion analoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija.
Cuando un anillo es muy delgado puede considerarse, rnuy aproxirnadnrnente, como una ren-
Respuesta: (v,) = 1vz, m~x; dija estrecha. Por consiguiente, se pueden aplicnr los resultados del problerna 2.E. Por ejernplo,
a partir del problerna 2.E, es posible obtener la velocidad volumetrica de flujo en un anillo cuyo
radio de la pared externa es R y el de la interna ( l - E) R, siendo E pequeno, tomando 28 igu al
a ER y W igual a 2:-iR, con lo que,
rr(:!l - Y' )R~E3
Q = o L (2.F-1)
611L
Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir de la Ee. 2.4-16, tornando para sc el valor
I - E y desarrollando la expresi6n de Q en potencias de E. Esta operaci6n requiere el uso de la
serie de Taylor,
(2.F-2)

Distribuc i6n de y efectuar despues una division. t Not a: Utilizar en la deducci6n los cuatro primeros terrninos de
velocidad en el la serie de Taylor de la Ee. 2.F-2.)
interior del tubo L.L..LJ....i....J_.1.....l....l.J\/
Dl s m oucto n de
velocidud en la 2.G2 Flujo laminar eri un pelicula que desciende por el exterior de un tubo circular
I
I
peltcu lo exterior
En una experiencia de absorcion de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pe-
queno tubo circular, para descender despues por la parte exterior del mismo. (Vease Fig. 2.G.)
Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envo ltura de pelicula de espesor Jr, ta! corno
I
I
se indica en la figura. Observese que las flechas de «entrada de cantidad de movimiento» y «sa-
lida de cantidad de movirniento» se roman siempre en la direcci6n r positiva al efectuar el ba-
I lance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la direcci6n r ne-
gativa.

1,
J
a. Demostrar que la distribuci6n de velocidad en la pelicula descendente (despreciando los

.
efectos finales) es

I ~e movimiento
do '"""dod Soll do de contldnd (2.G-1)

'"'""r
en lo de movimiento en la

L -1--
1

envolturo de espesor
L df,~''"'°' l:ir b. Obtener una expresi6n de la velocidad volurnetrica de flujo 'en' la pelicula.
c. Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la Ee. 2.2-19 si el espesor de la pell-
cula es rnuy pequeno.

Fuerzu de groverlod 2.H2 Flujo no-newtoniano en un tubo

que cc tuo sobre a. Deducir la formula analoga a la de Hagen-Poiseuil le para el modelo de Ostwald-de Waele
1 el volumen
27rrD.rL (ley de la potencia). Al hacer la deducei6n debe de eliminarse primerarnente el signo del valor ab-
soluto. Como para el flujo en un tubo di•,/dr es sierupre negativo, la ley de la potencia se transfor-
I ma en este caso en
I

I dv,1n­i(­ dv,) m(- dv,)n

I l
do, n-1 do;
I Trz = ­m __:
dr
­ =
dr
Ill -
dr dr
=
dr
(2.H-1)

rR~~~I Explicar cuidadosamente las transformaciones de la Ee. 2.H-1

b, Deducir una expresi6n de la velocidad volumetrica
de Ellis (vease Ee. 1.2-5):
para el flujo en un tubo de un fluido

I 10:-1
Fig. 2.G. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad <le movimicnto, paru unu pcllcula - du,
--
dr
= </)oTrz +'Pi Trz Trz (2.H-2)
que asciende por el exterior de un tubo circular.
 2-34 TRANS!'O!UE OL CANT/DAD !JE MOV/i'vllENTO DISTRIBUC!ONES DE VELOC!DAD EN FLUJO LAMINAR 2-35
2.12 Flujo de un lluido de Bingham en un tubo circular!
tracloruro de carbono (CC14), cuya densidad es de 1,594 g cm-3. El diametro dcl capilar es
Un tubo vertical esra lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el cxtremo inferior median- 0,025 cm. (Observese quc para calcular la velocidad de tlujo basta medir H y L; es decir que no
te una lamina. Al separar la l.imina. el fluido puede salir o no dcl tubo por gravedad. (Vease hace falta medir 0. L Por que ?)
Fig. 2.1.) Expliquese este hecho y establezcase un criterio de flujo para este experimento.

h = LsenO

- __ _l_
F

Fig. 2. l. Flujo de un Iluido de Bingham en un tubo circular -------f-

2.J2 Flujo en tubos concentrlcos con movimiento axial del cilindro interior H = 2,S cm
Cousiderar el sisterna representado en la Fig. 2.J, en el que la va rilla cilindrica se mueve con
una velocidud V. La varilla y el cilindro son couxiales. Hullar la distribuci6n de velocidad en cs-
______ l _ E

Cilindro de radio

­­­­­.,,._.I
Fluido a lo presi6n p0 interior R fluido a lo presi6n Po
v
~~==%1=~==it,§=~= )}­~WP~AMJJ~AB
Varilia de radio «n ~ =----,.,

que se mueve con velocidod V Fig. 2.L. Medi dor de flujo capilar,

Separador electrostatico de polvo

Fig. 2.J. Flujo en tubos conceruricos con movirniento axial de!, cilindro interior Un separador de polvo consiste en dos larninas de car gas opuestas entre las cuales ftuyen
gases conteniendo el polvo (vease Fig. 2. M). Se desea establecer un criterio de la longitud m
tado estacionario y la velocidad volurnetrica de flujo. Este tipo de problernas se presentan en el
recubrimiento de alarnbres con barniz-'. -(----·---------L -------------;.-
v, In (r/ R)
Re spuesta: -=---; Q = rrR
-- 2V((l----- K2) -2K~")
V In K 2 Jn (l/K)
2.K2 Flujo no-newtoniano de una pelicula
Deducir una formula para el espesor de una pelicula de un Iluido de Bingham descendiendo
por una pared plana vertical con una velocida d l'(g seg ·-1 por unidad de anchura de pared)

2.L3 Anallsls de un medidor de flujo capilar

Determinar la velocidad de flujo (en kg hr+ t) en el medidor de flujo capilar de la Fig. 2.L. El
fluido que circula por el tube cupilar es agua a 20° C, y corno Iluido manornetrico se utiliza te- x = -B -/:/ /f/;.x

I Sugerido por el Prof. H. Krarncrs, Technische Hogeschool (Delft). t

Presi6n
t
Presi6n
2 J. B.
PATON, P. H. SQUIRES,W. H. DAHNELL, F. M. CASH y J. F. CARUY, Processing of Ther­
Po PL
moplastic Materials, E. C. Bernhard! Reinhold, Nueva York (1959), capituloq, pp. 209-301.
Fig. 2.M. Trayectoria de una partlcula en un colector electrico de polvo. ,t
2-36 TRANSPORT£ DE CANT/DAD DE MOVIMIENTO l)/STR/IJUCION ES ot: VELOCI DA lJ EN FLU JO LAMINAR 2-37

ma de scparador en funci6n de la carga de la particula e, la intensidad del carnpo electrico ~.la c. Diferenciar la integral de! apartado (b) con respecto a r R para obtener la ecuacion de Rabi­
diferencia de presi6n (p0 ­ pL), la masa de la particula my la viscosidad del gas /t. Es decir, L para nowitschi'
que longitud L habra alcanzado la partlcula mas pequena (masa m) la lamina inferior, cxacta-
mente antes de que pueda ser arrastrada fuera de! canal? Sup6ngase que el flujo es laminar en.re (2.0-2)
las dos placas, de forrna que la Ee. 2.E-2 describe la distribucion de velocidad. Sup6ngase tarnbien
que la velocidad de la particula en la direcci6n z es la misma que la de! fluid o en esa direcci6n. Expliquese c6mo puede utilizarse esta ecuaci6n para obtener la curva de Tn frente a (­­·dvz/dr)
Admitase finalrnente que tanto la resistencia de Stokes sobre la esfera, como la fuerza de gravedad
que actua sobre la particula, que es acelerada en la direcci6n ­x, pueden despreciarse. 2.P4 Relacion mutua entre los perfilcs de velocidad en una rendija y en tubos concentrlcos
Respuesta: Lm1n = [64(p0 .r: pL)2B"m/225/t2e6']1" Dernostrar que la distribuci6n de velocidad en tubos concentricos, Ee. 2.4-13, es la misma
queen una rendija (vease Ee. 2.E-2) cuando K se mantiene constante y R se hace muy grande.
2.N 3 Flu]o en un tubo con deslizamiento en la pared
Obtener una modificaci6n de la Icy de Hagen-Poiseuille suponiendo que hay deslizamiento 2.Q4 Flujo no-newtoniano en tubos concentrlcos
de! fluido en la pared de! cilindro. Es decir, queen vez de admitir que Vz = 0 para r = R, utilizar Deducir la ecuacion de la velocidad volumetr ica de Ilujo para un fluido de Bingham que
la condici6n limite de que circula en un espacio anular, utilizando la notaci6n que sc ha introducido en § 2.4 y en el ejem-
plo 2.3-2. Utilizar los siguientes numeros adimensionales:
du,
flv, = r­­rt r­r­: at r = R (2.N-1) T = 2r,,L/(;J' 0 - :Y'1)R, ~ densidud de flujo de cantidad de movimiento adimensional
' dr
T0 = 2r0L/(:!1'0 - :?L)R ""' parametro reologico adimensional
en la que fJ es el «coeficiente de fricci6n deslizante». (l Cual es el significado fisico de fJ = oo ?) </> = (2110L/(:!J 0 - iJ' L)R2)v, = velocidad adimensional
En la mayor parte de los problemas de flujo de ftuidos el deslizarniento carece de importancia-'. ~ = r] R = coordenada radial adimensional
Sin embargo, se ha utilizado la soluci6n obtenida para el flujo con deslizarn iento+ alrededor de Dernostrar que la distribucion de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la Icy reologi-
esferas, en las «teorias hidrodinarnicas» de difusio n>. Por otra parte, el deslizarniento es irnpor-
ca, pueden expresarse de estu Iorrna
tante en algunos problemas de flujo no-newtonianoe.
T= ~ ­ 1 ,w-- (2.Q-1)
2.04 Deducclon de la ecuaci6n de Rablnowltsch
de~
Mediante la ecuacion de Rabinowitsch 7,8, puede obtenerse una representaci6n grafica de la T= ±T ­ 0
_!:_
d!;
(2.Q-2)
densidad de flujo de cantidad de movimiento frente al gradiente de velocidad (vease Fig. 1.2-1)
para cualquier ftuido, a partir de datos experimentales de la perdida de presi6n para diversas ve- Dernostrar que los limites A.+ y A,_ de la region de Ilujo de tap6n vicnen dados por
locidades de flujo, en el flujo laminar isotermico de un fluido a traves de tubos circulares. Las ).2
unicas suposiciones que es preciso hacer consisten en que el fluido es totalrnente hornogeneo y -- ±T 0 =Ai- (2.Q-3)
- A!·
que no existe deslizamiento e11 la pared.
y que). es justarncnte la media gcornetrica de A.+ y ). Obtener la distribucion de velocidad para
a. Dernostrar que la integral correspondiente a la velocidad volurnetrica de flujo puede inte-
gra rse por partes para obtencr los Ires intcrvalos:
para el intervalo "<.!;<L

Q = ­n
i o
R du,
­
dr
r2dr (2.0-1)
para ~! interval o
para el intervalo
;._<~<?.+
;.,_<..!;<I
Jntegrando despues sabre la distribuci6n de velocidad, se obtiene la velocidad volumetrica de
b. Efectuar el siguiente cambio de variable r/R = T,z/TR (siendo Tn = (.90 - fJ'L)R/2L la
densidad de flujo de cantidad de movimiento en la pared, r = R), y escribir de nuevo la integral flujo l":
tr(& - (J,1' )R4
[(1 - K4) - 2A.2(1 - 1<2) - W + K3)To + !(4A.2 + To2)%To]
de[ apartado (a) en funci6n de la variable de integraci6n •rz·
Q = . o , l (2.Q-4)
8/t0L
J H. LA.Mn,
Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945), p. 576.
Ibid., pp. 601 y SS.
4 9 Utilizar la «formula de Leibnitz» para la diferenciaci6n de una integral:
5 R. B. BIRD, «Theory of Diffusion». En Advances in Chemical Engineering, T. B. Drew y J.
W. Hoopes, Jr. (Eds.), Academic Press, Nueva York (1956), val. 1, pp. 195-196. d l<12<tl
­ . J (x, t) dx =
luz(O -of dx + (
f (a
d I )
t) ~ ­ J(a1, t) '01.
ot
2,
6 J. G. OLDROYD, «Non-Newtonian Flow of Liquids and Solids». En Rheology. F. R. Eirich dt 111(1) a1(0 dt dt
(Ed.), Academic Press, Nueva York (1956), vol. 1, pp. 663-664.
10 A. G. FREDRICKSON y R. B. IJ1Ro, Ind. En>J. Chem., 50, 347-352 (1958); en este artlculo se
7 B. RA.BINOWITSCH, Z. physik . Chemie, A145, 1-26 (1929).
presenta tarnbien una soluci6n para el modelo de la potencia
8 J. G. OLDROYD, Op. cit. cap. 16, vol. I, pp. 662-666.
2-38 TRANSPORTE DE CAN:t'IDAD DE A10VIM!ENTO DJSTl<llJUCJONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-39

L Como se determina A? La distribucion de densidad de flujo de cantidad de rnovimiento en tu- L Que suposiciones son inherentes a la Ee. 2.R-2?
bas concentricos, l cs igual para el ftujo no-newtoniuno que para cl newtoniano '! c. Dcrnostrar que resolvicndo la Ee. 2.R-2 se obticne

J­;;­z
2.R4 Eseurrimicnto de Iiquidos! I
Se deseu concccr la caruidud de Iiquido que qucda retenido sobre Ia superficie interna de un 0 = -- (2.R-3)
pg t
vaso grande cuando se vacla. En la Fig. 2.R se indica Jo que oeurre en las proxirnidadcs de la pa-
red <lei vuso. El espesor local de la pelicula es una funci6n de z y 1. l Que restricciones <leben ponerse a este resultado?

Nivel i nicia I del 1 lquido

2.S3 Flujo de grasas no-newronianas a traves de tubos

Se ha supuesto el siguientc modelo pan el estudio de! flujo de grasas no-newtonianas en tubos
circulares12:

Tr:= [l
( du,)
dr
­ ­ +b ( ­­
dr
dv,)n

= ay +by" (2.S-1)

Es pe s or de pel lculo
Demostrar que la expresion para la veloeidad volurnetrica de flujo, Q, puede obtenerse por el si-
guiente procedimicnto :
a. Dernostra r que la expresi6n general de Q puede intcgrarse dos veces por partes para obtener

)'
en la que y11 = (­dv,/dr)l,=ll·
Q
rrR y
= __
3
3
11 ­
tt
­
3 l 0
n
ra dy (2.S-2)

b. Dernostrar que r puede expresarse en funcion de y, cle la siguiente forma:

Nivel del lfquido
descendiendo con
R
velocidod s r = - (ay + by") (2.S-3)
Tll

c. Demostrar que substituyendo la Ee. 2.S-3 en la integral de la Ee. 2.S- 2 y aplicando la con-
dicion Iimite conveniente, se obtiene finalmente
Fig. 2. R. Adherencia de un liquido viscoso a las parcdes de un vaso durante el vaciado.

rrR3a3y114{
Q=--1+4 [ ("
-- + 2) .A+~ (211
­­ + I) ·"'v s + ( -- n ) x J}
3 (2.S-4)
a. Aplicar un balance no cstacionario de materia a un elernento de pelicula comprendido en- 4TR3 /I + 3 211 + 2 311 + J
tre z y z + .J z, y demostrar que
siendo X = (b/a)(y1111·-l), y y11 una funcion implicita de r11:
a 01~
-
az (u,)c5 = - -
ot (2.R-1) TJl = ayR + /J)'Jl" (2.S-5)

b. Utilizar la Ee. 2.2--18 con el fin de obtener la siguiente ccuacion diferencial parcial de pri-
mer ordcn para J(z,t): 2.T3 Una expresion integral para la distribucion de velocidad en un tubo
015 PK ob
- +-a·-= 0
o (2.R-2) Hemes reci bido de! editor de una revista profesional un trabajo para revisar. Este trabajo
,O.; I' oz trata de! transporte de calor para el flujo en un tub o. Los autores establecen que corno han ope-
rado con flujo no isoterrnico, deben de obtener una expresi6n «general» para la distribucion de

ll Para un tratumiento mas amplio de estc problerna, vease J. J, VAN ROSSUM, Appl. Sci. Re­
search, A1, 121-144 (1958). 12 A. W. S1sKO, ind. E. .ng. Chem., 50, 1789-1792 (1958).
,HU /RANSPUJfff:, 1)[:,' CAN 111JA J) LJJ:, MUV/M/l;,N l U

velocidad, que puede utilizarse.aun cuand~ la ,;i~cosida.t;I del fl~id5J sea. u.na ·~uncio1~ de_ la ~e,mpe-
ratura (Y por lo tanto dela posici6n). lndican que «una expresi6n general de la distribucion de
velocidad para el flujo en un tuba», es

-v. =
(v,)
il /il
y-dy
u /l .
yJ
- dy
o µ
(2.T-1)

en la que (v,)es Ia velocidad n~'edia de flujo, y es la coordenada radial reducida ( esto es, r IR), Y ft
es la viscosidad.rque puede variar cony). No deducen su formula ni dicen dondc puede encontrar-
se en la bibliografla. Como censores del trabajo, estarnos obligados a (a) deducir la formula que
indican, y (b) establecer las restricciones que esten implicitas en dicha formula.