Circuitos lógicos – Electrónica digital

by Administrador
1 ¿Qué son Circuitos lógicos?
2 Tabla de verdad – Simplificación de funciones Booleanas

Circuitos lógicos. ¿Qué es un circuito lógico?

Los circuitos lógicos son aquellos que manejan la información en
forma de “1” y “0”, dos niveles lógicos de voltaje fijos. “1” nivel alto
o “high” y “0” nivel bajo o “low”.
Los circuitos lógicos están compuestos por elementos digitales
como la compuerta AND (Y), compuerta OR (O), compuerta NOT
(NO) y combinaciones poco o muy complejas de los circuitos
antes mencionados.
Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos
digitales como las compuertas, entre otros:

 compuerta nand (No Y)

 compuerta nor (No O)
 compuerta or exclusiva (O exclusiva)
 mutiplexores o multiplexadores
 demultiplexores o demultiplexadores
 decodificadores
 codificadores
 memorias
 flip-flops
 microprocesadores
  microcontroladores
 etc

La electrónica moderna usa electrónica digital para realizar

muchas funciones. Aunque los circuitos electrónicos podrían
parecer muy complejos, en realidad se construyen de un número
muy grande de circuitos muy simples.

En un circuito lógico digital se transmite información binaria (ceros

y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo
con la combinación de bloques de circuitos simples.

La información binaria se representa en la forma de: (ver gráficos)

 “0” o “1”
 “abierto” o “cerrado” (interruptor)

 “On” o “Off”
 “falso” o “verdadero”

 etc
Los circuitos lógicos se pueden representar de muchas maneras.
En los circuitos de los gráficos anteriores la lámpara puede estar
encendida o apagada (“ON” o “OFF”), dependiendo de la posición
del interruptor. (apagado o encendido).

Los posibles estados del interruptor o interruptores que afectan un

circuito se pueden representar en una tabla de verdad.

https://unicrom.com/mapas-de-karnaugh-simplificacion-de-funciones/

Mapas de Karnaugh – Simplificación

de funciones booleanas
by Administrador
Mapas de Karnaugh – Simplificación de
funciones booleanas
¿Qué son los Mapas de Karnaugh?
Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para
la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función
lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función
de la manera más económica posible se utiliza este método.
Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.
Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma
canónica).
Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C)
cuando F cuando es igual a “1”. Si A en la tabla de verdad es “0” se
pone A, si B = “1” se pone B, Si C = “0” se pone C, etc.
 F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C
Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de
Karnaugh. Este tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n =
3 (número de variables (A, B, C)). Ver el diagrama arriba.
La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a
A = 1 La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0).

La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) La

tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) La cuarta
columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)
En el mapa de Karnaugh se han puesto “1” en las casillas que
corresponden a los valores de F = “1” en la tabla de verdad. Tomar
en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la
numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Para proceder con la simplificación, se crean grupos de “1”s que

tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (solo potencias de 2). Los “1”s deben
estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más “1”s tenga el
grupo, mejor.

La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor

número de grupos con el mayor número de “1” s en cada
grupo

Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro “1”s (se
permite compartir casillas entre los grupos). La nueva expresión de
la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh.
 Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los “1”s de
la tercera y cuarta columna corresponden a B sin negar)
 Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los “1”s
están en la fila inferior que corresponde a A sin negar).
Entonces el resultado es F = B + A  ó   F = A + B

Ejemplo: Una tabla de verdad como la de la derecha da la

siguiente función booleana: F = A B C + A B C + A B C + A B C
Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la
tabla de verdad cuando F = “1”, Con esta ecuación se crea
el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos.
Se lograron hacer 3 grupos de dos “1”s cada uno. Se puede ver
que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de
2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres
grupos.
La función simplificada es: F = A B+ A C + B C. Grupo en azul: A B,
grupo marrón: A C, grupo verde:B C

Qué es una tabla de verdad? – Simplificar

funciones Booleanas
Para qué se utiliza la tabla de verdad

https://unicrom.com/tabla-de-verdad/
La tabla de verdad es un instrumento utilizado para la
simplificación de circuitos digitales a través de su ecuación
booleana.

Todas las tablas de verdad funcionan de la misma manera sin

importar la cantidad de columnas que tenga y todas tienen
siempre una columna de salida (la última columna a la derecha)
que representa el resultado de todas las posibles combinaciones
de las entradas.

El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma

de las entradas que hay + 1 (la columna de la salida).

El número de filas de la tabla es la cantidad de combinaciones que

se pueden lograr con las entradas y es igual a 2n, donde en el
número de columnas no se toma en cuenta la columna de salida.
Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de
entrada, entonces habrá 23 = 8 combinaciones (8 filas)

Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios

“0” o “1”), tendrá 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la
columna salida) determinado por el estado de los interruptores de
entrada.

Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores,

conocidos como “compuertas lógicas”
(compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta
lógica tiene su tabla de verdad.
Si pudiéramos ver con más detalle la construcción de las
“compuertas lógicas”, veríamos que son circuitos constituidos
por transistor, resistencias, diodos, etc., conectados de manera que
se obtienen salidas específicas para entradas específicas.
La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el
diseño y análisis de circuitos complejos. La tecnología moderna
actual permite la construcción de circuitos integrados (ICs) que se
componen de miles (o millones) de compuertas lógicas.
Ejemplos de tablas de verdad de la compuerta AND.
Mapas de Karnaugh
http://suayed.cuautitlan.unam.mx/
uapas/08_Mapas_Karnaugh/

Introducción

Los mapas de Karnaugh son una herramienta utilizada para la

simplificación de funciones lógicas booleanas, a diferencia de la resolución
por álgebra de Boole, este es un método gráfico que implica conocer las
representaciones canónicas de las funciones.

El Mapa de Karnaugh tiene la característica de que puede ser visto como

una representación bidimensional de una tabla de verdad. En la tabla de
verdad, se colocan las variables por columnas y las combinaciones de
tales variables determinan un valor de salida 0 ó 1, sin embargo, en el
mapa las variables se colocan como si de un plano cartesiano se tratará,
respetando cada una de las combinaciones que de ellas se genere, y
colocando en la intersección de las combinaciones, el valor de salida.

Una de las ventajas de estos elementos gráficos, es que evitan la

realización de cálculos algebraicos, y al determinar la función de salida,
esta se encuentra minimizada.
Wikipedia. (s.a.). Ejemplo de mapa de Karnaugh. [imagen]. Tomada de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh#/media/Archivo:K-

map_6,8,9,10,11,12,13,14_anti-race.svg
 Al término del tema, el participante: Simplificará expresiones booleanas
haciendo uso de los mapas de Karnaugh, así como de las reglas de
construcción de mapas para la simplificación de cualquier expresión
booleana canónica.

Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh son utilizados para la simplificación de funciones
lógicas, estas funciones pueden ser representativas de circuitos digitales
lógicos.

Los mapas muestran la relación que existe entre las entradas y las salidas
de un circuito lógico, si se aplica adecuadamente, el resultado será el más
simplificado posible. Pueden ser utilizados para cualquier número de
variables de entrada, sin embargo, se recomienda un máximo de seis
variables.

En la Figura 1, vemos dos ejemplos de la representación de los mapas de

Karnaugh, como ya se mencionó, se pueden utilizar más variables, pero en
este caso nos enfocaremos a mapas con 3 y 4 variables.

Fig. 1. Representación base de los mapas de Karnaugh , del lado izquierdo se tiene un mapa de
tres variables, y del lado derecho se tiene un mapa de 4 variables. En los mapas se puede ver la
forma de ordenar las variables y los valores lógicos que puede tener cada variable o combinación
de variables. [Elaboración propia].
El mapa de Karnaugh es una representación en dos dimensiones de una
tabla de verdad, en la Figura 2, podemos ver la forma en la que una tabla
de verdad es representada por un mapa.

Fig. 2. Forma de pasar una tabla de verdad a un mapa de Karnaugh. [Elaboración propia].

En la Figura 2, también se observa o se muestra que la tabla tiene 4

variables colocadas de la A a la D, ordenadas en columnas. Estas 4
variables forman diferentes combinaciones y cada combinación tiene una
salida lógica {0, 1}, por ejemplo; la combinación mostrada en amarillo
puede ser representada como AB CD , esta es la representación canónica,
es decir, es una combinación que involucra a todas las variables y que
tiene como salida un 1, hay que hacer notar que cuando el valor de la
variable es 1, solo se representa con el nombre de la variable, sin
embargo, cuando el valor de la variable es 0, se representa con la variable
negada.
Como se aprecia en la Figura 2, las variables A y B, encerradas en
anaranjado, son pasadas al mapa como si se tratara del eje de las Y de un
plano cartesiano; las variables C y D son pasadas al mapa como si se
tratara del eje de las X dentro del plano.

Ahora, para saber dónde colocar los valores vamos a utilizar la

combinación enmarcada con verde, podemos ver que a las variables A y B
les corresponden los valores 0 y 1 respectivamente, buscamos en el eje de
las Y en donde se encuentra esa combinación de valores, y lo podemos
ver también enmarcado con verde; para las variables C y D, se tienen los
valores 0 y 0, por lo que, buscamos en el eje de las X tal combinación, la
cual también es marcada con verde, ahora el valor que le corresponde, en
este caso 1, se coloca en la casilla donde ambas combinaciones se
intersectan. Este mismo procedimiento se puede ver para la combinación
enmarcada en amarillo. Obviamente, todas las casillas del mapa deben de
ser llenadas en la misma forma.

Una vez definida la manera en cómo se llena un mapa, vamos a

proporcionar unos puntos con los cuales se obtienen las funciones
booleanas simplificadas.

 Puntos importantes que deben tomarse en cuenta para la

formación de grupos dentro del mapa de Karnaugh.

1.- Los grupos deben contener posiciones en potencias de 2. Es decir, los

grupos sólo podrán realizarse con cantidades iguales a las potencias de
dos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.
2.- Grupos en extremos y esquinas. Pueden generarse grupos con las
posiciones que estén en las esquinas.

3.- Grupos de unos, darán lugar a una suma de productos.

4.- Grupos de ceros, darán lugar a un producto de sumas.

5.- Los grupos deben ser lo más grande posible. Se buscará realizar grupos con la
mayor cantidad de posiciones posibles.
6.- No se pueden generar grupos en diagonal. Solo se permitirán grupos en
vertical y horizontal dentro del mapa.
7.- Puede existir solapamiento de grupos.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos se mostrará la aplicación de cada uno de los puntos

referidos para la formación de grupos dentro del mapa de Karnaugh.
Ejemplo 1.

Encontrar la función que representa al siguiente mapa de Karnaugh:

En este ejemplo se puede ver con facilidad el número de grupos que se

podrán realizar, debes recordar que no es posible hacer grupos en
diagonales y que se hacen con potencias de 2.

Como primera parte, vamos a ver un error que se puede cometer al

resolver este tipo de casos, esto se puede observar en la siguiente figura:
No se pueden realizar grupos con posiciones discontinuas, es decir, solo
podrás formar tus grupos con aquellas posiciones que se encuentren de
manera continua en horizontal y vertical y que contengan las cantidades
aceptables (1, 2, 4, 8, etc.), en este caso la columna AB está vacía, lo que
impide que se puedan agrupar los unos existentes.

Por lo tanto, en este ejercicio es posible hacer dos grupos con dos
posiciones, los grupos fueron marcados con colores distintos para que
puedas notar que cada grupo va a corresponder a un elemento diferente
dentro del resultado, la forma correcta de los grupos puede verse en la
siguiente figura:

Dando como resultado:

Para obtener el resultado final debes poner atención en aquellas variables

que no tienen ningún cambio dentro del grupo. Es importante que
recuerdes que las variables que sufren cambio no son parte del resultado.

El resultado B C  está dado por los valores lógicos que le corresponden a

la posición de cada variable en donde se encuentra el grupo, en este caso
B tiene el valor 0 por lo que corresponde una negación y C tiene el valor 1
por lo que se mantiene como verdadera.
Explicado de otra forma, si cada uno de los unos que se encuentran en el
grupo azul lo convertimos a su posición binaria dentro de una tabla de
verdad, se tiene la siguiente tabla.

A B C

0 0 1

1 0 1

Es posible ver que en la columna correspondiente a la variable A, existe un

cambio entre sus filas; en la columna correspondiente a la variable B, se
mantiene el valor de 0; y en la columna que le corresponde a la variable C,
se mantiene constante el valor de 1. Por lo que, en la función resultante, A
no forma parte de la ecuación, B es negado y C es no negado.

Para el resultado BC , este lo podemos explicar en la misma forma que el

anterior, si cada uno de los unos que se encuentran en el grupo morado lo
convertimos a su posición binaria dentro de una tabla de verdad, se tiene
la siguiente tabla, en donde es posible ver que en la columna
correspondiente a la variable A, existe un cambio entre sus filas; en la
columna correspondiente a la variable B, se mantiene el valor de 1; y en la
columna que le corresponde a la variable C, se mantiene constante el valor
de 0. Por lo que, en la función resultante, A no forma parte de la ecuación,
B es no negado y C es negado.

A B C

0 1 0

1 1 0
 Ejemplo 2.

Obtener la función booleana del siguiente mapa de Karnaugh:

En este ejemplo es necesario recordar que se busca hacer grupos lo más

grande posible, por lo que se tiene la posibilidad de un solo grupo de 4
posiciones, recordando también que el 4 es una potencia de 2, por lo que
este grupo si está permitido.

El resultado correcto se muestra en la siguiente forma:

El resultado de este mapa es A ya que como se mencionó anteriormente

esta es la única variable que no sufre cambios en sus valores lógicos
dentro del grupo. Nuevamente podemos representar las posiciones de
todos los unos que se encuentran dentro del grupo verde dentro de una
tabla de verdad en la siguiente forma:
 A B C

1 0 0

1 0 1

1 1 1

1 1 0

Podemos observar en la tabla de verdad que dentro de la columna que

representa a la variable B, existen cambios entre sus filas, hay valores 1 y
valores 0; lo mismo sucede con la columna que representa a la variable C,
sin embargo, es posible observar que en la columna que representa a la
variable A, no existen cambios entre sus filas, permaneciendo constante el
valor de 1, por lo que, se mantiene como verdadera o no negada.

Ahora, si el grupo se hubiera posicionado en donde se encuentra la fila de

A=0, entonces el resultado sería una negación , tal como se puede
observar en la siguiente figura:

S=A
 Ejemplo 3.

Obtener la función booleana del siguiente mapa de Karnaugh:

La particularidad de este ejemplo es que con él, se puede mostrar la unión

de las celdas de las esquinas. En este caso, es posible realizar un solo
grupo, un grupo en el que se junten las 4 esquinas, tal como lo podemos
observar en la siguiente figura:

S=BD

De igual forma que en los ejemplos anteriores vamos a convertir las

posiciones de cada uno de los unos que componen el grupo verde a su
representación en tabla de verdad para poder explicar el resultado
obtenido.

La tabla de verdad que representa cada una de las 4 posiciones

agrupadas, se muestra a continuación:
 A B C D

0 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

Como es posible ver en la tabla, las columnas que representan a A y a C,

tienen cambios de valores entre sus filas, sin embargo, la columna que
representa a B permanece con valores constantes iguales a 0 y la columna
que representa a D también permanece con valores constantes iguales a
0, por lo que las variables A y C no forman parte de la función, mientras B
y D permanecen como variables negadas.

Ejemplo 4.

Obtener la función booleana del siguiente mapa de Karnaugh:

Para resolver este ejemplo y encontrar la solución más reducida, es

indispensable recordar dos de los puntos anteriores, esto son: los grupos
deben ser lo más grande posibles en cuanto sean formados por una
cantidad de unos que represente un conjunto de    elementos y los grupos
pueden empalmarse siempre y cuando exista al menos un 1 sin agrupar.
Una vez recordado esto la solución se muestra a continuación.

Si has llegado hasta ese punto, ya tienes los conocimientos para poder resolver
cualquier mapa de Karnaugh que se te presente. Con este tema has reflexionado
sobre la importancia que tienen los mapas en el diseño de sistemas digitales y
como éstos te ayudarán a simplificar funciones lógicas complejas.
Actividad 1. Eligiendo el mapa de Karnaugh más
reducido.
Después de haber estudiado el tema sobre los mapas de Karnaugh donde
se pudo apreciar que es una herramienta que se utiliza para la
simplificación de funciones lógicas Booleanas y que mediante la aplicación
de ciertas reglas se logra simplificar cualquier expresión booleana
canónica, presta atención a los siguientes ejercicios y simplifica las
funciones que se te piden.

Observa el siguiente mapa de Karnaugh, resuélvelo en tu cuaderno y elige

la respuesta correcta.

Recuerda que la solución debe ser lo más reducida posible.

Solución
Actividad 2. Eligiendo el mapa de Karnaugh canónico.
Continuemos con las simplificaciones de las expresiones booleanas
haciendo uso de los mapas de Karnaugh y utilizando las reglas de
construcción para la simplificación de cualquier expresión booleana
canónica.

Observa el siguiente mapa de Karnaugh, resuélvelo en tu cuaderno y

posteriormente elige la respuesta correcta.

Solución
Bibliografía
 Floyd Thomas, L. (2010). Fundamentos de sistemas digitales. 9na. Ed;
Madrid. Pearson educación.

 Morris, M. M. (2003). Diseño digital. México. Prentice Hall.

 Tocci, R. J. y Winder, N. (2003). Sistemas digitales: Principios y

aplicaciones. 8va. Ed. México. Pearson educación.

Bibliografía complementaria
 Deschamps, Jean-Pierre, Valderrama, Terés, Ll. (2017). Digital Systems.
From Logic Gates to Processors. España. Springer.

 Donzellini, G; Oneto, L; Ponta, D; Anguita, D. (2019). Introduction to Digital

Systems Design. Italia. Springer.

 Morfin, R. J. (2013). Sistemas Digitales: Una perspectiva de

diseño. Universidad Iberoamericana.

 Sajjan, G. S. (1998). Introducción al diseño lógico. México. Trillas.

 Nelson, P. V; Troy, N. H. Carrol, D. V. e Irwin, D. J. (1996). Análisis y diseño

de circuitos lógicos digitales. México. Pearson.

 Tokheim, R; Sánchez, J; y Vaquero, A. (1995). Electrónica digital. Principios

digitales. México. McGraw-Hill.

 Cómo citar

 Tinoco, D. y Cabrera, A. (2021). Mapas de Karnaugh. Unidades de

Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/SUAYED FESC-UNAM.
Consultado el (fecha) de (vínculo)