b

A=∫ |f (x)|dx =
a

2 0 2
A=∫ |x +2 x|dx =∫ (−x −2 x ) dx+∫ x +2 xdx
2 2 2

−2 −2 0

3 20 3 22
x 2x +x 2x
¿− − +
3 2 −2 3 2 0

3 2❑ 3 2❑
−2 2(−2) + 2 2(2) −8 8
¿+ + + = +4 + + 4=8 u2
3 2 ❑ 3 2 ❑ 3 3

3 3
b 1 1 1
x 2 x 3 1 1 2 13 2 1 1
A=∫ |f ( x )−g(x )|dx=∫ ( √ x−x 2 ) dx=∫ (x −x 2) dx= − = − = − = u 2
2

a 0 0
3 3 3 3 3 3 3
2 0 2
 b
A=∫ |f ( x )−g(x )|dx =
a

1
A=∫ ¿ ¿=
−4

1 2
A=∫ −x+ 4−x −2 xdx +∫ x +2 x + x−4 dx
2 2

−4 1

1 2
A=∫ −3 x + 4−x dx +∫ x +3 x−4 dx
2 2

−4 1

−3 x 2 x3 1
A=( +4 x− )+¿
2 3 −4
 ( )
2 2 3
−3 ( 1 ) 13 −3 (−4 ) (−4 )
A= + 4 ( 1 )− − + 4 (−4 )− +¿
2 3 2 3
3 2 3 2
+ 2 3(2) 1 3 ( 1)
+ −4 (2) ¿−( + −4(1))
3 2 3 2
−3 1 64 8 1 3 71 2
A= + 4− +24+ 16− + + 6−8− − + 4= u
2 3 3 3 3 2 3
 d
A=∫ |f ( y )−g ( y)|dy =
c

f ( y)
1
A=∫ 1− y 2 −(2 y−2)dy
−3

y3 2 y2
A= y− − +2 y
3 2
− y3 2 y2 1
A= − +3 y
3 2 −3

3 2 3 2
−1 2 (1 ) (−3 ) 2 (−3 )
A= − +3 ( 1 )+ + −3(−3)
3 2 3 2
−1 32 2
A= −1+3−9+ 9+ 9= u
3 3

3.2 Longitud de curvas.

 3
Paso 1: escribir f ( x )=4 x 2
1
3 1
f ´ ( x )=4( ) x 2 =6 x 2
2

Paso 2 es sustituir en la integral

1
L=∫ 1+ 6 x
0
√ [ ] dx
1 2
2

1
L=∫ √ 1+36 x dx
0

Cambio de variable u=1+ 36 x

du=0+36 dx
du
dx=
36
 1
du
L=∫ √ u
0 36
3
1 1 1 3
1 1 u2 2
L= ∫ u 2 du=¿ = (1+36 x ) 2 ¿
36 0 36 3 108 0
2
3
2 3 2
[ ( 1+36( 1) ) ¿ ¿ −( 1+36 ( 0 ) ) ]=
2
¿ [225.06−1]=4.15 u ¿
108 2 108

Comprobación

3
Paso 1: escribir f ( x )=x 2 +4
1 1
3 3
f ´ ( x )=( )x 2 = x 2
2 2

Paso 2 es sustituir en la integral

√ [ ]
1 1 2
3
L=∫ 1+ x 2 dx
0 2

√
1
9
L=∫ 1+ x dx
0 4

9
Cambio de variable u=1+ 4 x
9
du=0+ dx
4
 du
dx=
9
4
4 du
dx=
9
1
4 du
L=∫ √ u
0 9

( )
1 1 3 31
4 8 2 8 9
¿ ∫ u 2 du= u = (1+ x ) 2
9 0 27 27 4 0

( )
3 3
8 9 9
¿ [ 1+ ( 1 ) 2 −(1+ (0)) 2 ]
27 4 4
8
¿ ( 5.86−1 )=1.44 u
27

3.4 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

 b
v=∫ π ( f ( x )) dx
2

4
v=∫ π ( √ x ) dx=¿
2

π x 2 4 π (4)2 π ( 0 )2
v=
2 0
= 2 − 2 =8 π

b
v=∫ π ( f ( x )) dx
2

r
2 2
v=π ∫ ( √r −x ) dx
2

−r

( )
r
x3 r
v=π ∫ (r −x )dx=π r x−
2 2 2
❑−r
−r 3
 ( ( ))
3 3
r (−r)
¿ π r 2 ( r )− − r 2 (−r )−
3 3

( 1 1
3 ) (
2
3
4
¿ π r 3 − r 3 +r 3− r 3 =π 2r 3 − r 3 = π r 3
3 3 )

Ejemplo 4 Hallar el volumen del sólido de

revolución dado:

b
v=∫ π ( f ( x )) dx
2

3 3
v=∫ π ( 9−x ) dx=π ∫ 81−18 x + x dx=¿ ¿
2 2 2 4

0 0
 ( )
3 5
18 x x 3
¿ π 81 x− + ❑0
3 5

(
¿ π 81 ( 3 )−
3
+
5 (
18 ( 3 )3 ( 3 )5
− 81(0)−
18(0)3 ( 0)5
3
+
5 ))
648
¿( )π
5
 b
v=∫ π ¿ ¿
a

3
v=∫ π ¿ ¿
0

3
v=π ∫ x +2 x + 4−x ¿ dx ¿
2 2

3
v=π ∫ (4 x + 4) dx
0
 ( )
2 3
4x
v=π +4 x
2 0

v=π [ 2∗3 + 4 ( 3 )−( 0 +4 ( 0 ) ) ]

2 2

v=(18+ 12)π
 v ( t )=∫ a (t) dt

v ( t )=∫ −9.81 dt=−9.81t +c

Para hallar el valor de “c” aplicamos condición inicial

v ( 0 )=49
 v ( 0 )=−9.81 ( 0 ) +c=49
c=49

La formula para calcular la velocidad es

v ( t )=−9.81 t+ 49

Cuando t=2 s
v ( 2 )=−9.81 ( 2 ) + 49=29.38 m/s

Para encontrar la altura máxima del proyectil

V(t)=0
v ( t )=−9.81 t+ 49=0
−9.81 t+ 49=0
−49
t= =4.99 s
−9.81

Para hallar la posición:

∫ v (t)=∫ −9.81t +49 dt
−9.81t 2
s (t)= + 49 t+c
2

Para hallar el valor de “c” aplicamos condición inicial s(0)=0

−9.81 ( 0 )2
s ( 0 )= + 49(0)+ c=0
2

c =0

−9.81t 2
s (t)= + 49 t
2

Cuando t=5 la altura máxima es

2
−9.81 ( 5 )
s ( 5 )= + 49 (5 )=122.37 m
2

Velocidad de impacto se halla cuando t=10 s

v ( 10 ) =−9.81 (10 )+ 49=−49.1 m/s
 v ( t )=∫ −32 dt

V(0)=-8
S(0)=54