Geometría Afín y Proyectiva

ETSAM 10 de enero de 2018

I. Cuestiones
1. (1,5 ptos.)
a. Sea f : ℜ 4 → ℜ 3 una aplicación lineal ¿puede ser inyectiva?, ¿puede ser
sobreyectiva?, justifica la respuesta.

No puede ser inyectiva, por ser aplicación todos los elementos del primer
espacio, de dimensión 4, tienen que tener imagen y no puede ser única porque
el espacio final tiene dimensión 3<4 y el núcleo tiene que tener como mínimo
dimensión 1.

Si, puede ser sobreyectiva, si el núcleo tiene dimensión 1.

b. Sea f : ℜ 2 → ℜ 2 un endomorfismo no inversible ¿puede tener autovalores

imaginarios?

No, el polinomio característico es de grado 2, una solución es λ = 0 y la otra

tiene que ser real porque las soluciones imaginarias son pares de soluciones
conjugadas.

⎧x + z = 1
c. Sea la recta de ecuaciones ⎨ , dar una referencia el la que el giro de
⎩y = 2
amplitud π respecto de la recta dada tenga como ecuaciones:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ x' ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟⎜ x ⎟
⎜ y ' ⎟ = ⎜ 0 0 − 1 0 ⎟⎜ y ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 0 0 0 − 1⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

El origen será un punto sobre la recta, el primer vector de la base será el vector
director de la recta (se mantiene invariante) y los otros dos estarán sobre un
plano perpendicular a la misma (cambian de sentido), por ejemplo:
⎧x = 1 − α
x + z = 1⎫ ⎪
⎬ ⇒ ⎨y = 2 , podemos tomar como nuevo origen el punto O ' = (1,2,0 )
y=2 ⎭ ⎪
⎩z = α
⎧x = α
⎪
y como primer vector: e1 ' = (− 1,0,1) . Plano perpendicular: x − z = 0 ⇒ ⎨ y = β
⎪z = α
⎩
podemos tomar como segundo vector y tercer vector: e 2 ' = (1,0,1) y e3 ' = (0,1,0) .
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
Si la ortonormalizamos será: O' = (1,2,0 ) . e1 ' ' = ⎜⎜ − ,0, ⎟⎟ e 2 ' ' = ⎜⎜ ,0, ⎟⎟
⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠
y e3 ' ' = (0,1,0) .

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2. (1,5 ptos.)
a. Definir sistema generador y base de un espacio vectorial.

Se dice que un sistema de vectores S = {u1 , u 2 , u 3 ....u n } es un sistema generador

de un subespacio L , si todos los vectores del subespacio se obtienen como
n
combinación lineal de los vectores del sistema: x ∈ L ⇔ x = ∑ λi u i
1
Una base de un subespacio es un sistema generador libre.

Dado el subespacio vectorial L = {(a, b, c, d ) / a = c, b = d } ⊂ ℜ 4 , ¿es el sistema

de vectores S = {(1,0,1,0 ), (1,1,1,1)(
. 0,1,0,1)} sistema generador de L ?, ¿Es base?

Si es sistema generador:
⎧a = α + β
⎪b = β + γ
(a, b, a, b ) = α (1,0,1,0) + β (1,1,1,1) + γ (0,1,0,1) ⇒ ⎪⎨
⎪a = α + β
es un sistema compatible.
⎪⎩b = β + χ
No es base, es ligado: (1,1,1,1) = (1,0,1,0 ) + (0,1,0,1)

b. Demostrar que un sistema de vectores es ligado si y solo si uno de ellos es

combinación lineal de los demás.

Sea el sistema: S = {u1 , u 2 , u 3 ....u n }

n
• Es ligado ⇔ 0 = ∑ λi u i con al menos un escalar no nulo, al no influir el
1

orden suponemos que es el primero λ1 ≠ 0 , entonces podemos escribir:

1 n
u1 = − ∑ λi u i y u1 es combinación lineal de los demás vectores del
λ1 2

sistema.
• Supongamos que u1 es combinación lineal de los demás vectores del
n n
sistema: u1 = ∑ λi u i ⇒ 0 = −u1 + ∑ λi u i y la combinación lineal del
2 2
vector nulo respecto del sistema tiene al menos un escalar no nulo, − 1 ≠ 0 .
II. Problemas

1. (2,5 ptos.) Sea B = {e1 , e2 , e3 } una base de ℜ 3 y f : ℜ 3 → ℜ 3 un endomorfismo

⎧x + y + z = 0
tal que el núcleo tiene como ecuaciones en la base dada: Kerf ≡ ⎨ , el
⎩x − y = 0
⎧y = 0
subespacio propio asociado al autovalor 1 es: V (1) ≡ ⎨ y
⎩x + z = 0
f (e2 + e3 ) = e1 + 2e 2 + e3 . Se pide:

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a) Expresión matricial de f en la base dada.

⎛ x' ⎞ ⎛ 2 0 1 ⎞⎛ x ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ y ' ⎟ = ⎜ 1 1 1 ⎟⎜ y ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ − 1 1 0 ⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

b) ¿Es inyectivo?, justifica la respuesta.

No, el núcleo no se reduce al vector nulo.

c) Hallar una base de la imagen.

BIm ag = {e 2 + e3 , e1 + e3 }

d) Hallar las ecuaciones del subespacio engendrado por los vectores

u = e1 + e2 − 2e3 y v = e1 − e3 ,

⎛ x⎞ ⎛ 1 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ α ⎞
Paranétricas: ⎜ y ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟⎜⎜ ⎟⎟ , cartesiana: x + y + z = 0 .
⎜ z ⎟ ⎜ − 2 − 1⎟⎝ β ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

¿Está contenido en la imagen?, justifica la respuesta.

No está en la imagen porque uno de los vectores que engendran el

subespacio pertenece al núcleo.

e) Hallar los autovalores y subespacios propios de f .

λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2

f) ¿Es f diagonalizable?

Si, tiene tres autovalores reales diferentes.

En caso afirmativo dar una base de vectores propios y la matriz asociada a

f en la base de autovectoes.

⎧z = 0
V (2) ≡ ⎨ , e1 + e 2 ∈V (2 )
⎩x − y + z = 0
⎛0 0 0⎞
⎜ ⎟
B ' = {e1 + e 2 − 2e3 , e1 − e3 , e1 + e 2 } , D = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜0 0 2⎟
⎝ ⎠

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2. (2 ptos.) En el espacio afín euclídeo ℜ 3 con una referencia ortonormal

B = {O,{e1 , e2 , e3 }}, se consideran las siguientes transformaciones:

h homotecia de centro C ≡ (3,3,3) y razón k =

1
3
⎧ x' = −6 + 3 x
⎪
f transformación definida por ⎨ y ' = 12 − 3 z . Se pide:
⎪ z ' = 12 − 3 y
⎩
a. Hallar las expresiones matriciales de h y de f ,

⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 1 0 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎛1⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ x' ⎟ ⎜ 2 0 ⎟⎜ x ⎟
1
3
0 ⎜ x' ⎟ ⎜ − 6 3 0 0 ⎟⎜ x ⎟
h≡⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ , f ≡ ⎜ ⎟ = ⎜
1 0 − 3 ⎟⎜ y ⎟
⎜ ⎟ ⎜
y' 2 0 0 ⎟ y y' 12 0
3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎜
1 ⎟⎝ z ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −3 0 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠
⎝ ⎠ ⎝ 0 0
3⎠ ⎝ z ' ⎠ ⎝ 12

¿Son isometrías? Justifica la respuesta.

No las homotecias no mantienen las distancias y f tampoco:

⎛3 0 0 ⎞⎛ 3 0 0 ⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 0 − 3 ⎟⎜ 0 0 − 3 ⎟ ≠ ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 0 − 3 0 ⎟⎜ 0 − 3 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b. Hallar el subespacio de puntos invariantes de f .

Un punto fijo: P ≡ (3,3,3)

c. Hallar la expresión matricial de h o f .

⎛1⎞ ⎛1 0 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ x' ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟⎜ x ⎟
ho f ≡⎜ ⎟=⎜
y' 6 0 0 − 1 ⎟⎜ y ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 6 0 − 1 0 ⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Hallar el subespacio de puntos fijos de h o f .

Plano de ecuación: y + z = 6

¿Es h o f una isometría?

⎛1 0 0 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 0 − 1⎟⎜ 0 0 − 1⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ , si es isometría.
⎜ 0 − 1 0 ⎟⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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En caso afirmativo, clasificarla.

1 0 0
0 0 − 1 = −1 , indirecta, es una simetría respecto del plano y + z = 6 .
0 −1 0

3. (1,5 ptos.) En el plano afín euclídeo ℜ 2 con una referencia ortonormal

B = {O, {e1 , e2 }}, se considera la cónica cuya ecuación respecto de la referencia
dada es: c ≡ 2 x + 2 y + 2 xy = 0 ( c ≡ 2 x1 + 2 x 2 + 2 x1 x 2 = 0 ), se pide:

a. Clasificar la cónica, hallar el centro, los ejes y las asíntotas si tiene.

0 1 1
0 1
1 0 1 = 2 ≠ 0 ⇒ cónica regular, = −1 < 0 ⇒ hipérbola. C ≡ (1,1,−1) ,
1 0
1 1 0
ejes son: x + y + 2t = 0 y x − y = 0 ,tiene asíntotas: x + t = 0 y y + t = 0

b. Hallar el diámetro conjugado con el de ecuación − x + y = 0 ( − x1 + x 2 = 0 )

El punto del infinito del diámetro dado es (1,1,0 ) , luego el eje x + y + 2t = 0
es el diámetro pedido.
4. (1 ptos.) En el plano afín euclídeo ℜ 2 con una referencia ortonormal
B = {O, {e1 , e2 }} , se pide determinar la parábola regular que es tangente a la cónica
c ≡ 4 x 2 + y 2 − 4 = 0 ( c ≡ 4 x12 + x22 − 4 x02 = 0 ) en el punto propio P = (0,2 ) sabiendo
que pasa por los puntos de intersección de la cónica dada con la recta
r ≡ y − 1 = 0 ( r ≡ x 2 − x 0 = 0 ).

⎛ 4 0 0 ⎞⎛ x ⎞
La tangente es: ( 0 2 1) ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ⎜⎜ y ⎟⎟ = 0; y = 2t y la cónica c pertenece al haz
⎜ 0 0 −4 ⎟ ⎜ t ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
que será λ ( y − t ) ( y − 2t ) + μ (4 x + y − 4t 2 ) = 0 ,
2 2

⎛ 4μ 0 ⎞⎟⎛ x ⎞
⎜ 0
⎜ ⎟
(x y t )⎜ 0 λ + μ − 3λ 2 ⎟⎜ y ⎟ = 0 ,
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 0 − 3λ 2λ − 4μ ⎟⎝ t ⎠
⎝ 2 ⎠
4μ 0 ⎧μ = 0
Serán parábolas para: =0⇒⎨ , para μ = 0 tenemos el par de
0 λ+μ ⎩λ = − μ
rectas paralelas utilizado en el haz y la parábola no degenerada será:,
⎛4 0 0 ⎞⎟⎛ x ⎞
⎜ ⎜ ⎟
(x y t )⎜ 0 0 3 2 ⎟⎜ y ⎟ = 0 , 4 x 2 + 3 yt − 6t 2 = 0
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜0 3 − 6 ⎟⎝ t ⎠
⎝ 2 ⎠

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