Capítulo 6 V.A. Distribuidas Conjuntamente

Capítulo 6 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente
Competencias a desarrollar:
1. Calcula distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas distribuidas
conjuntamente
2. Calcula distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas distribuidas
conjuntamente
3. Calcula e interpreta la esperanza y varianza de funciones de las variables aleatorias
distribuidas conjuntamente, covarianza y correlación de estas
4. Calcula probabilidades usando la función de distribución de probabilidad de las
variables aleatorias.
En muchas ocasiones la distribución de probabilidad depende varias variables interactuando

en el mismo espacio muestra. Si todas las variables aleatorias son discretas entonces las
n-tuplas de estas variables serán discretas.
Vamos a trabajar el caso de dos variables aleatorias, X, Y discretas que parten del mismo
espacio muestra 𝑆𝑆
La función de distribución de probabilidad conjunta o bivariada de (𝑋𝑋, 𝑌𝑌), es una

función 𝑓𝑓: 𝑅𝑅𝑋𝑋 × 𝑅𝑅𝑌𝑌 → [0,1] tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑝𝑝(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥, 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦). La función 𝑓𝑓, debe
satisfacer que 0 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≤ 1 , ∑𝑥𝑥∈𝑅𝑅𝑋𝑋 ∑𝑦𝑦∈𝑅𝑅𝑌𝑌 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1
Definimos la función de distribución marginal de la variable aleatoria 𝑿𝑿, como
𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) = ∑𝑦𝑦∈𝑅𝑅𝑌𝑌 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). La función de distribución marginal de la variable
aleatoria 𝒀𝒀, 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) = 𝑝𝑝(𝑌𝑌 = 𝑦𝑦) = ∑𝑥𝑥∈𝑅𝑅𝑋𝑋 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦).
La función de distribución de probabilidad condicional de Y dado que 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 es
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝑓𝑓𝑌𝑌⁄𝑥𝑥 (𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑦𝑦⁄𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 para 𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥) > 0
𝑋𝑋 (𝑥𝑥)
Dos variables aleatorias X, Y son independientes si 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)
La media , esperanza o valor esperado de una función ℎ(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) es 𝜇𝜇ℎ(𝑋𝑋;𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(ℎ(𝑋𝑋; 𝑌𝑌) =
∑𝑥𝑥 ∑𝑦𝑦 ℎ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
Observación 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = ∑𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥), 𝐸𝐸(𝑌𝑌) = ∑𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦),
La covarianza de X, Y es 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) = 𝜎𝜎𝑋𝑋,𝑌𝑌 = 𝐸𝐸((𝑋𝑋 − 𝜇𝜇𝑋𝑋 )(𝑌𝑌 − 𝜇𝜇𝑌𝑌 )) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑋𝑋) − 𝜇𝜇𝑋𝑋 𝜇𝜇𝑌𝑌
La covarianza es una medida de asociación lineal entre las dos variables aleatorias. Una
covarianza positiva indica una relación donde al acrecer una crece la otra. Covarianza
negativa indica que al crecer una, la otra decrece. Covarianza cero puede indicar que no
están relacionadas o que presentan una relación no lineal.
Una medida de asociación lineal entre dos variables que es más fácil de interpretar es la
𝜎𝜎
correlación. La correlación entre X, Y es 𝜌𝜌𝑋𝑋𝑋𝑋 = 𝜎𝜎 𝑋𝑋,𝑌𝑌
𝜎𝜎
. Se cumple que −1 ≤ 𝜌𝜌𝑋𝑋𝑋𝑋 ≤ 1. Si
𝑋𝑋 𝑌𝑌
|𝜌𝜌𝑋𝑋𝑋𝑋 | = 1, la relación entre X, Y es perfectamente lineal. Si X, Y son independientes,
entonces 𝜎𝜎𝑋𝑋,𝑌𝑌 = 𝜌𝜌𝑋𝑋𝑋𝑋 = 0.
Ejemplo: Una urna contiene 3 pelotas azules, 2 rojas y 3 verdes de tamaño idéntico. Se
seleccionan dos bolas al azar. Sea X la variable aleatoria del número de bolas azules
obtenidas y Y la variable aleatoria del número de bolas verdes obtenidas.
a) Encuentre la función de distribución de probabilidad conjunta de X,Y

b) Calcule la media y la varianza de 𝑋𝑋 + 𝑌𝑌
c) Calcule la media y la varianza de 𝑋𝑋, 𝑌𝑌
d) Calcule la covarianza y la correlación de 𝑋𝑋, 𝑌𝑌
e) Determine si 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 son independientes.
𝑋𝑋 = {0,1,2} , 𝑌𝑌 = {0,1,2}.
3 3 2
� ��
𝑥𝑥 𝑦𝑦 2−𝑥𝑥−𝑦𝑦
8 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 2
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � � � . En una tabla, la función queda de la
2
0 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 > 2
siguiente forma
𝑋𝑋/𝑌𝑌 0 1 2 𝑓𝑓𝑋𝑋
0 1 6 3 10
28 28 28 28
1 6 9 0 15
28 28 28
2 3 0 0 3
28 28
𝑓𝑓𝑌𝑌 10 15 3 1
28 28 28
𝑋𝑋 + 𝑌𝑌 0 1 2 3 4
b) 𝑔𝑔𝑋𝑋+𝑌𝑌 1 12 15 0 0
28 28 28
1 12 15 42 3
𝐸𝐸(𝑋𝑋 + 𝑌𝑌) = 0 �28� + 1 �28� + 2 �28� = 28 = 2
42 2 1 12 15 48 2 72 3 2 30 15
𝑉𝑉(𝑋𝑋 + 𝑌𝑌) = 𝐸𝐸((𝑋𝑋 + 𝑌𝑌)2 ) − � � = 02 � � + 12 � � + 22 � � − � � = − �2� = =
28 28 28 28 28 28 28 14
c) Como la distribución es simétrica, la media y la varianza serán iguales para 𝑋𝑋, 𝑌𝑌

10 15 3 21 3
𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝐸𝐸(𝑌𝑌) = 0 �28� + 1 �28� + 2 �28� = 28 = 4
3 2 10 15 3 3 2 27 3 2 45
𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝑉𝑉(𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋 2 ) − � � = 02 � � + 12 � � + 22 � � − � � = −� � =
4 28 28 28 4 28 4 112
𝑋𝑋𝑋𝑋 0 1 2 3
d) 𝑔𝑔𝑋𝑋+𝑌𝑌 19 9 0 0
28 28
19 9 9 9 3 2 −27
𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑋𝑋) = 0 �28� + 1 �28� = 28 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑋𝑋) − 𝐸𝐸(𝑋𝑋)𝐸𝐸(𝑌𝑌) = 28 − �4� = 112
−
27
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) 112 = − 27
𝜌𝜌𝑋𝑋,𝑌𝑌 = =
𝜎𝜎𝑋𝑋 𝜎𝜎𝑌𝑌 45 45
112

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Capítulo 6 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente

En muchas ocasiones la distribución de probabilidad depende varias variables interactuando

La función de distribución de probabilidad conjunta o bivariada de (𝑋𝑋, 𝑌𝑌), es una

a) Encuentre la función de distribución de probabilidad conjunta de X,Y

c) Como la distribución es simétrica, la media y la varianza serán iguales para 𝑋𝑋, 𝑌𝑌

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