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    Soluciòn Ejercicio 5 - Análisis Numérico

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    abel alexis torres vera
    El documento presenta diferentes métodos para evaluar la integral definida de 1-e^-2x desde 1 hasta 4. Estos métodos incluyen solución analítica, regla del trapecio con 1 y 2 aplicaciones, Simpson 1/3 con 1 y varias aplicaciones, y Simpson 3/8 con 1 y varias aplicaciones. Para cada método se calcula el valor de la integral y el error cometido en comparación con la solución analítica exacta.

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    Soluciòn Ejercicio 5 - Análisis Numérico

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    abel alexis torres vera
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    El documento presenta diferentes métodos para evaluar la integral definida de 1-e^-2x desde 1 hasta 4. Estos métodos incluyen solución analítica, regla del trapecio con 1 y 2 aplicaciones, Simpson 1/3 con 1 y varias aplicaciones, y Simpson 3/8 con 1 y varias aplicaciones. Para cada método se calcula el valor de la integral y el error cometido en comparación con la solución analítica exacta.

    Descripción original:

    Analisis de la fòrmula de simpson para calcular areas

    Título original

    soluciòn Ejercicio 5 - análisis numérico

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    Soluciòn Ejercicio 5 - Análisis Numérico

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    abel alexis torres vera
    El documento presenta diferentes métodos para evaluar la integral definida de 1-e^-2x desde 1 hasta 4. Estos métodos incluyen solución analítica, regla del trapecio con 1 y 2 aplicaciones, Simpson 1/3 con 1 y varias aplicaciones, y Simpson 3/8 con 1 y varias aplicaciones. Para cada método se calcula el valor de la integral y el error cometido en comparación con la solución analítica exacta.

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    Integración numérica

    Evalúe la siguiente integral:

    Solución

    a) De forma analytical

    ∫ ( 1−e−2 x ) dx
    1

    4
    = ∫¿¿
    1

    = x

    4
    4−1=3 - ∫ (−e−2 x ¿ ) dx ¿
    1

    sea u=−2 x → du=−2 dx


    −1
    dx= du
    2
    4
    = ∫¿¿
    1

    4
    eu
    = −∫ ( )du
    1 2

    e−2 x
    -
    2
    4

    ∫ ( 1−e−2 x ) dx=3+1.67 x 10−4 −0.06766


    1

    ∫ ( 1−e−2 x ) dx=¿2.932
    1

    b) Con una sola aplicación de la regla del trapecio

    f ( a )−f (b)
    I =( b−a)
    2

    Evaluando imágenes en la función:


    4

    ∫ ( 1−e−2 x ) dx
    1

    ¿ f ( a )=f ( 1 ) =0.864 y f ( b ) =f ( 4 )=0.999

    ( 0.864 ) +(0.999)
    I =( 4−1)
    2

    1.863
    I =( 3)
    2
    I =2.794

    Entonces el error cometido será:

    |2.79−2.932|=−0.14

    c) Con una aplicación múltiple de la regla del trapecio n=2 y n= 4

    Para n= 2
    n−1

    ∑ f ( x 1 ) +¿ f (x n)
    I =( b−a) f ( x0 ) + 2 i=0 ¿
    2

    3
    h¿
    2

    ¿ f ( x 0 ) =f ( 1 )=0.864 ; f ( x 1 )=f (2 )=0.981 ; f ( x n )=f ( 4 )=0.999

    n−1

    ∑ f ( x1 ) +¿ f (x n)
    I =( 4−1)0.864 +2 i=0 ¿
    2n

    0.864+0.981+0.999
    I =( 3)
    4

    I =2.8 33

    Entonces el error cometido será:


    |2.133−2.932|=−0.799

    Para n = 4

    n−1

    ∑ f ( x 1 ) +¿ f (x n)
    I =( b−a) f ( x0 ) + 2 i=0 ¿
    2
    3
    h¿
    4

    f ( x 0 ) =1 ; f ( x 1 ) =1.75 ; f ( x 2 ) =¿ 2.5 ; f ( x 3 ) =3.25 f ( x 4 )=4

    Imagines de la function

    ∫ ( 1−e−2 x ) dx
    1

    f ( 1 ) =0.864 ; f ( 1.75 ) =0.969 ; f ( 2.5 )=¿ 0.993 ; f ( 3.25 )=0.998 f ( x 4 )=¿ 0.999

    4−1

    ∑ f ( x1 ) +¿ 0.999
    I =( 3)0.864+ 2 i=1 ¿
    2

    0.864+2 ( +0.969+0.993+0.998 )+ 0.999


    I =( 3)
    8

    7.783
    I =( 3)
    8
    I =2.9186

    Entonces el error cometido será:

    |2.918−2.932|=−0.014

    d) Con una sola aplicación de Simpson 1/3

    f ( x0)+ 4 f ( xi )+ f ( xn)
    I =( b−a)
    6

    f ( 1 ) =0.864 ; f ( 2 ) =0.981 ; f ( 4 ) =¿ 0.999

    0.864+ 4 ( 0.981 ) +0.999


    I =( 3)
    6

    I =2.893

    Entonces el error cometido será:

    |2.893−2.932|=−0.0385

    e) Con una aplicación múltiple de Simpson 1/3 y n=4

    (b−a)
    f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) +2 f ( x 2 ) + f (x n)
    I=
    n
    3
    ∗ [ 1 ]
    3
    h¿
    4

    f ( x 0 ) =1 ; f ( x 1 ) =1.75 ; f ( x 2 ) =¿ 2.5 ; f ( x 4 )=4

    f ( 1 ) =0.864 ; f ( 1.75 ) =0.969 ; f ( 2.5 )=¿ 0.993 ; f ( 3.25 )=0.998 f ( x 4 )=¿ 0.999

    1 0.864+ 4 [ 0.969 ] + 2 [ 0.993 ] + 4 [ 0.998 ] + 0.99 9


    I= ∗
    4 [ 1 ]
    I =2.932

    Entonces el error cometido será:

    |2.932−2.932|=0

    f) Con una sola aplicación de Simpson 3/8

    3 h f ( x 0 ) +3 f ( x 1 ) +3 f ( x 2 ) + f ( x 3)
    I=
    8
    ∗ [ 1 ]
    b−a
    h=
    3

    4−1
    h=
    3

    h=1
    3 0.864+ 3 ( 0.981 ) +3 ( 0.997 )+ 0.999
    I= ∗
    8 [ 1 ]
    I =2.923

    Entonces el error cometido será:

    |2.923−2.932|=−0.00825

    g) Con una sola aplicación de Simpson 3/8 n=5

    3 h f ( x 0 ) +3 f ( x 1 ) +3 f ( x 2 ) + f ( x 3)
    I=
    8
    ∗ [ 1 ]
    b−a
    h=
    5

    4−1
    h=
    5

    3
    h=
    5

    f ( x 0 ) =1 ; f ( x 1 ) =1.6 ; f ( x 2 ) =¿ 2.2 ; f ( x 3 ) =2.8 ; f ( x 4 )=3.4 f ( x 5 ) =4

    f ( 1 ) =0.864 ; f ( 1.6 )=0.959 ; f ( 2.2 ) =¿ 0.987 ; f ( 2.8 )=0.996 ; f ( 3 . 4 )=¿ 0.998 ; f ( 4 ) =¿0.999
    3
    3
    5 f ( 0.864 )+ 3 ( 0.959 )+ 3 ( 0.987 ) +3 ( 0.9 9 6 ) +3 ( 0.998 ) +0.999
    I=
    8
    ∗ [ 1 ]

    9 f ( 0.864 ) +3 ( 0.959 ) +3 ( 0.987 ) +3 ( 0.996 )+3 ( 0.998 )+ 0.999


    I=
    40
    ∗ [ 1 ]
    9 12.314
    I=
    40 [
    ∗
    1 ]
    I =2.871

    Entonces el error cometido será:

    |2.871−2.932|=−0 .061

    h) Estime el error relative porcentual

    2.932−2.794
    Incise b ∗100 %=0.047
    2.932

    2.932−2.833
    Incise c ∗100 %=0.033
    2.932

    2.932−2.898
    Incise d ∗100 %=0.011
    2.932
    2.932−2.932
    Incise e ∗100 %=0
    2.932

    2.932−2.923
    Incise f ∗100 %=0.00306
    2.932

    2.932−2.871
    Incise g ∗100 %=0.020
    2.932

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