UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

LABORATORIO 08
MEDIDA DE LA INDUCTANCIA
MUTUA EN UN CIRCUITO
ACOPLADO
DOCENTE : SINCHI, Francisco
CURSO : ML 121 - Laboratorio de Circuitos Eléctricos
SECCIÓN :A
INTEGRANTES DEL EQUIPO CODIGO
ALVA CUADROS, José 20164520A
ANAMPA SARAVIA, Pold Martin 20172011E
DAMIAN LOPEZ-DAVALOS, Sebastián Ariel 20162244G

FECHA DE LABORATORIO : 26 de noviembre de 2019

FECHA DE PRESENTACIÓN : 03 de diciembre de 2019

2019-II
ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN 3
 I.1. Objetivos 3
I.2. Fundamento teórico 3
II. PARTE EXPERIMENTAL 6
II.1. Materiales 6
II.2. Procedimientos 7
III.CÁLCULOS Y RESULTADOS 8
III.1. Datos de Laboratorio 8
III.2. Cuestionario 9
IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 12
IV.1. Conclusiones 15
IV.2. Recomendaciones
V. BIBLIOGRAFÍA 15

2
I. INTRODUCCIÓN
Completar

3
I.1. Objetivos
- Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe en un circuito acoplado.
- Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “K” y el coeficiente de
inductancia mutua “M” en dicho circuito.
I.2. Fundamento teórico
Inductancia mutua
Hasta ahora, cuando analizamos circuitos con más de una bobina, consideramos que
las mismas no estaban acopladas (es decir, el flujo de cada bobina no llegaba hasta las
demás).  Consideremos ahora las siguientes bobinas acopladas magnéticamente:

L1 y L2 representan la auto-inductancia o inductancia propia de cada bobina, mientras

que M representa la inductancia mutua, el cual es un parámetro que relaciona el
voltaje inducido en un circuito con la corriente variable en el tiempo de otro circuito.
Se define como:
M =k √ L1 L2
donde k se conoce como el coeficiente de acoplamiento y es una medida del grado en
el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra (0 ≤ k ≤1).  Si las bobinas no
están acopladas, entonces k =0.
La principal aplicación de la inductancia mutua en los circuitos eléctricos se encuentra
en los transformadores.
Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente
Dado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, y siguiendo la
convención de signo pasivo, se asignan las corrientes y voltajes como se observa en la
figura:

4
De esta manera, resulta que el voltaje inducido v1 (t )(o simplificando la nomenclatura:
v1 ) está formado por el generado por la inductancia L1 y el producido por la

inductancia mutua M .  Igualmente, el voltaje inducido v 2 está formado por el

generado por la inductancia L2 y el producido por la inductancia mutua M .
d i1 d i2
v1 =L1 ±M
dt dt
d i1 d i1
v 2=L2 ±M
dt dt
Si sólo interesa la solución en estado estacionario, aplicando la Transformada Fasorial
el sistema de ecuaciones se convierte en:
v́1 = jω L1 ∙ I´1 ± jωM ∙ I´2
v́ 2= jω L2 ∙ I´2 ± jωM ∙ I´1
El signo del segundo término es positivo cuando los flujos se suman:

y negativo si se restan:

Para simplificar este tipo de análisis se emplea la convención de punto.

5
Convención de punto
La convención de punto nos permite esquematizar el circuito sin tener que
preocuparnos por el sentido de los arrollamientos.  Dada más de una bobina, se coloca
un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en
ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se
sumarán.
Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden
esquematizarse de la siguiente manera:

Regla general: si ambas corrientes entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje
mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido.  En otro caso, los signos serán
opuestos.

Modelo equivalente T
Un par de bobinas acopladas magnéticamente también pueden ser modelas a partir de
3 bobinas sin acoplamiento magnético: 

Demostración a partir de la comparación de los sistemas de ecuaciones que surgen de

aplicar mallas a ambos circuitos:

6
v´1= jω L1 ∙ I´1 ± jωM ∙ I´2 → v́ 1= jω ( L1−M + M ) ∙ I´1 ± jωM ∙ I´2
{
v´2= jω L2 ∙ I´2 ± jωM ∙ I´1 {v́ 2= jω ( L2−M + M ) ∙ I´2 ± jωM ∙ I´1

Como se mencionó al inicio, la principal aplicación de la inductancia mutua en los

circuitos eléctricos se encuentra en los transformadores.
A continuación, vamos a analizar dos modelos de transformadores: el lineal y el ideal.
Transformador lineal
Un transformador puede ser o no lineal.  Se dice que es lineal cuando existe una
relación lineal entre el flujo magnético y las corrientes en las bobinas.  Esto ocurre
cuando las bobinas no se devanan sobre núcleos magnéticos.  Ejemplo: transformador
con núcleo de aire.
El siguiente modelo permite analizar el comportamiento de un transformador lineal:

Donde:
R1 + jω L1: Impedancia del primario = Z1
R2 + jω L2: Impedancia del primario = Z2
Ahora analicemos un circuito básico, donde el transformador acopla una fuente
sinusoidal V s ( t) (con impedancia interna Z s) con una carga Z L:

Planteando mallas:
V s−Z 11 I 1 + jωM I 2=0
{−Z 22 I 2+ jωM I 1=0
Donde, para simplificar:

7
Z11 =Z s + R1+ jω L1 → imp. Total de la malla que contiene al primario
Z22=Z L + R2 + jω L2 → imp. Total de la malla que contiene al secundario
Del sistema de ecuaciones surge la impedancia vista por la fuente ideal:
Vs ω2 M 2
=Z11 + =Z 11 + Z r
I1 Z 22
Quiere decir que el circuito puede reemplazarse por:

donde Z r se conoce como la impedancia del secundario reflejada en el primario, o

simplemente impedancia reflejada.  Como la inductancia mutua aparece elevada al
cuadrado, nótese que Z r es independiente de la polaridad magnética del
transformador.
Desarrollando el término Z22 , Z r puede expresarse de otra manera:
ω2 M 2 ω2 M 2
Z r= = [ ( R2 + R L ) − j( ω L2 + X Load )]
( R2 + R L ) + j(ω L2+ X Load) |Z 22|2

Es decir:
ω2 M 2 ¿
Z r= 2
∙ Z 22
|Z 22|
donde la reactancia de la carga, X Load , lleva su propio signo (positivo si la carga es
inductiva y negativo si es capacitiva).
Si no estuviera presente el transformador, la fuente real vería solamente la impedancia
de carga.  El resultado anterior nos indica la manera en que el transformador afecta al
circuito.  Ahora, la fuente real ve la conjugada de la impedancia total del secundario
afectado por un factor de escala.
Transformador ideal
Un transformador de N1 espiras en el primario y N2 espiras en el secundario, se
considera ideal si verifica las siguientes condiciones:

8
 k=1
 L1 = L2 = ¥
 R1 = R2 = 0 (pérdidas insignificantes en los devanados)
En la práctica, el comportamiento de un transformador con núcleo ferromagnético se
aproxima bastante al de un transformador ideal
En este tipo de transformadores se puede demostrar que:
N2 V2
=
N1 V 1
siempre y cuando los voltajes V 1 y V 2 sean ambos positivos o negativos en las
terminales con punto, caso contrario N 2 / N 1=−V 2 /V 1
N 2 / N 1 se conoce como razón de transformación de un transformador ideal.
Además, también se cumple que:
N 2 I1
=
N1 I2
siempre y cuando ambas corrientes  I 1 y  I 2 entren o salgan de las terminales con
punto, caso contrario N 2 / N 1=−I 1 /I 2

9
II. PARTE EXPERIMENTAL
II.1.Materiales

Fig 1. Autotransformador Fig 2. Multimetro

Fig 3. Amperímetro
Fig 4. Vatimetro

Fig 6. Transformador 220/115

Fig 5. Interruptor

10
II.2.Procedimientos

a) Ubicar el cursor del autotransformador en 0 antes de efectuar cualquier medida.

b) Armar el circuito de la Figura N°1, ubicar el cursor del autotransformador en
220V. Tomar un juego de 10 valores de V , W , A, V 1 y V 2 disminuyendo V hasta
120V de 10 en 10.
c) Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada “c-d” y de
salida “a-b” variando V de 10 a 110V en pasos de 10 a 10V. Tanto en b) como en
c) ubicar el lado de alta tensión (220V – bornes a-b) y el de baja tensión (110V-
bornes c-d)

11
d) Armar el circuito de la Figura N°2, variando el cursor del autotransformador (V )
de 10V a 120V. Tomar un juego de 5 valores de A, A1, V 2 de 20 en 20V
e) Armando el circuito de la Figura N°3 repetir el procedimiento que se indica en el
paso anterior d).

12
III.CÁLCULOS Y RESULTADOS
III.1. Datos de Laboratorio
Experimento N°1
Parte a) Parte b)
V1 W A1 V2 V2 W A1 V1
220.67 2 0.183 116.3 10 0 0.04 23.21
210.2 2 0.162 110.8 20 0 0.058 37.8
200.5 2 0.145 105.8 29.97 0.5 0.073 56.8
190.0 1.5 0.128 100.3 40 0.5 0.087 75.9
180.0 1 0.114 95 50.1 0.5 0.1 95.1
170.0 1 0.102 89.6 60 1 0.116 113.6
159.9 1 0.092 84.4 70.4 1 0.135 133.6
150.5 1 0.085 79.5 79.9 2 0.158 151.3
140.3 0.5 0.078 74 90.5 2.5 0.195 172.1
130.1 0.5 0.072 68.6 100 3 0.238 184.2
120.2 0.5 0.067 63.36 109.9 3.5 0.299 207.4
110.1 0 0.062 57.9 120.4 4 0.314 228.1
100.0 0 0.058 52.64
Experimento N°2 Experimento N°3
V1 A 11 V2 V1 A 11 V2
220.4 0.175 116.2 9.97 0.008 3.43
210.1 0.155 110.8 20.4 0.013 7.05
199.9 0.137 105.3 29.96 0.016 10.35
190 0.122 100.2 39.95 0.019 13.79
180.3 0.108 95.1 50.4 0.021 17.41
170 0.097 89.7 60.08 0.023 20.75
160.1 0.087 84.6 70 0.025 24.1
150.2 0.071 79.2 80.2 0.027 27.66
140.2 0.072 73.9 90.3 0.028 31.14
130.1 0.067 68.5 100.6 0.03 34.71
120.3 0.063 63.4 109.8 0.031 37.9
110.3 0.058 58.02 120.4 0.033 41.51
99.8 0.059 52.61
80.1 0.047 42.14
III.2. Cálculo analítico
60.2 0.04 31.62
39.9 0.032 21.05
III.3. Cuestionario 20 0.023 10.54

1. Determinar los valores de L1, M 21 y R1 con los datos obtenidos en el paso (b).
Presentarlos en forma tabulada y graficar M 21 en función de V 2.

13
 V1 W A1 V2 L1 M 21 R1
220.67 2 0.183 116.3 3.19 1.69 59.72
210.20 2 0.162 110.8 3.44 1.81 76.21
200.50 2 0.145 105.8 3.66 1.94 95.12
190.00 1.5 0.128 100.3 3.93 2.08 91.55
180.00 1 0.114 95 4.18 2.21 76.95
170.00 1 0.102 89.6 4.41 2.33 96.12
159.90 1 0.092 84.4 4.60 2.43 118.15
150.50 1 0.085 79.5 4.68 2.48 138.41
140.30 0.5 0.078 74 4.77 2.52 82.18
130.10 0.5 0.072 68.6 4.79 2.53 96.45
120.20 0.5 0.067 63.36 4.75 2.51 111.38
110.10 0 0.062 57.9 4.71 2.48 0.00
100.00 0 0.058 52.64 4.57 2.41 0.00
Tabla 1

M21 vs V2
2.6

2.4 f(x) = − 0 x² + 0.05 x + 0.83

2.2
M21

2.0

1.8

1.6

1.4
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

V2

Gráfica 1. M21 vs V2

2. Determinar los valores de L2, M 12 y R2 con los datos obtenidos en el paso (c).
Presentarlos en forma tabulada y graficar M 12 en función de V 1.

V2 W A1 V1 L2 M 12 R2
10 0 0.04 23.21 0.66 1.54 0.00
20 0 0.058 37.8 0.91 1.73 0.00
29.97 0.5 0.073 56.8 1.06 2.06 93.83
40 0.5 0.087 75.9 1.21 2.31 66.06
50.1 0.5 0.1 95.1 1.32 2.52 50.00
60 1 0.116 113.6 1.36 2.60 74.32

14
 70.4 1 0.135 133.6 1.38 2.63 54.87
79.9 2 0.158 151.3 1.32 2.54 80.12
90.5 2.5 0.195 172.1 1.22 2.34 65.75
100 3 0.238 184.2 1.11 2.05 52.96
109.9 3.5 0.299 207.4 0.97 1.84 39.15
120.4 4 0.314 228.1 1.01 1.93 40.57
Tabla 2

M12 vs V1
2.8
2.6
2.4 f(x) = − 0 x² + 0.02 x + 1.06

2.2
M12

2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
0 50 100 150 200 250

V1

Gráfica 2 M12 vs V1

15
3. Hallar los valores promedio de L1, M 21, R1 L2, M 12 y R2 de los cálculos
efectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre estos.
Para el cálculo de los valores promedios, no se han considerados los valores 0, ya
que estos desvían la media y estos valores se deben a la baja precisión del
vatímetro dado el rango de valores medidos.

L1 L2 M 21 M 12 R1 R2
4.28 1.13 2.26 2.17 94.75 61.76
Tabla 3 Valores promedios

Considerando: f =60 Hz y Z=R+ jωL=R+ j ∙2 π ∙ 60 ∙ L se tiene:

Z1 =94.75+ j 1614.81
Z2 =61.76+ j 425.06
4. Los valores de M12 y M21 son diferentes. ¿Por qué? Explique
Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son iguales
( M 12=M 21) para núcleos lineales como el aire.
∂ ϕ21
No se cumple M12 = M21 debido a la relación no lineal de M 21= y
∂ I1

∂ ϕ1 2
M 1 2= y a la medida de los parámetros como corriente y voltaje no se
∂ I2
mantienen constante por el suministro.
5. Considerando Z1 y Z2 conocidos (calculados en 3) y con los datos obtenidos
en el procedimiento pasos (d) y (e), determinar los valores de M 12 y M 21.
Tabular.

V1 A1 V2 M 12 M 21.
220.4 0.175 116.2 0.95 2.88
210.1 0.155 110.8 0.70 3.02
199.9 0.137 105.3 0.42 3.16
190 0.122 100.2 0.16 3.30
180.3 0.108 95.1 0.14 3.46
170 0.097 89.7 0.36 3.57
160.1 0.087 84.6 0.59 3.70
150.2 0.071 79.2 1.32 4.08
140.2 0.072 73.9 0.88 3.85
130.1 0.067 68.5 0.86 3.83

16
120.3 0.063 63.4 0.78 3.79
110.3 0.058 58.02 0.75 3.78
99.8 0.059 52.61 0.20 3.49
80.1 0.047 42.14 0.23 3.50
60.2 0.04 31.62 0.30 3.22
39.9 0.032 21.05 0.99 2.86
20 0.023 10.54 1.99 2.33
Tabla 4

V1 A1 V2 M 12 M 21
9.97 0.008 3.43 0.99 0.00
20.4 0.013 7.05 0.13 0.30
29.96 0.016 10.35 0.68 0.58
39.95 0.019 13.79 1.29 0.79
50.4 0.021 17.41 2.08 1.07
60.08 0.023 20.75 2.64 1.26
70 0.025 24.1 3.14 1.42
80.2 0.027 27.66 3.59 1.58
90.3 0.028 31.14 4.27 1.82
100.6 0.03 34.71 4.61 1.94
109.8 0.031 37.9 5.11 2.11
120.4 0.033 41.51 5.39 2.21
Tabla 5

17
 6. Hallar el valor promedio de M12 y M21. Comentar

Paso d) Paso e)
M 12 M 21 M 12 M 21
0.68 3.40 2.83 1.26

7. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “k” del circuito.

III.4.

18
IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
IV.1. Conclusiones
- Las
IV.2. Recomendaciones
- En el

19
V. BIBLIOGRAFÍA
- Circuitos Acoplados Magnéticamente
http://www.ing.unp.edu.ar/electronica/asignaturas/ee016/apuntes/12/12.htm Consultado el 2 de
diciembre de 2019
-

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