ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 1

Estudio de los teoremas de Castigliano en estructuras de vigas, armaduras y

pórticos para reforzar los conocimientos de los estudiantes de Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Universidad San Martín de Porres

Teo – 09027>07V01: Análisis Estructural I

Dr. Ing. Víctor Zelaya Jara

06 de febrero de 2021
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 2

Índice general

1 Introducción.............................................................................................................9

1.1 Objetivos de la investigación..........................................................................10

1.1.1 Objetivo general.......................................................................................10

1.1.2 Objetivos específicos................................................................................10

2 Marco teórico.........................................................................................................11

2.1 Biografía de Carlos Alberto Castigliano........................................................11

2.2 Teoremas de Castigliano................................................................................12

2.2.1 Primer teorema de Castigliano.................................................................12

2.2.2 Segundo teorema de Castigliano..............................................................13

2.3 Proceso para resolver ejercicios con el método de Castigliano......................14

3 Marco Real.............................................................................................................15

3.1 Ejercicio en viga.............................................................................................15

3.2 Ejercicio en armadura.....................................................................................20

3.3 Ejercicio en pórtico.........................................................................................25

4 Conclusiones..........................................................................................................29

4.1 Conclusión especifica.....................................................................................29

4.2 Conclusiones específicas................................................................................29

5 Recomendaciones..................................................................................................30
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 3

6 Lista de referencias bibliográficas.........................................................................31

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Índice de tablas

Tabla 1 Resumen para de elementos............................................................................17

Tabla 2 Resumen para hallar desplazamiento vertical en C.........................................24

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Índice de figuras

Figura 1 Teorema de Castigliano.................................................................................12

Figura 2 Ejercicio de viga............................................................................................15

Figura 3 Ejercicio de armadura....................................................................................20

Figura 4 Ejercicio de pórtico........................................................................................25

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 6

Agradecimientos

A vuestro círculo de calidad 1. Además, a la Universidad San Martín de Porres,

brindando una plataforma virtual para continuar nuestros estudios de pregrado, también al

docente del curso de Análisis Estructural I Dr. Ing. Víctor Zelaya Jara, por su calidad de

docente investigador y profesional en su especialidad, al compartir sus experiencias y los

conocimientos transmitidos durante las clases teóricas y prácticas, bajo el enfoque científico,

nos orientó en el desarrollo del trabajo de investigación.

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Presentación

Nuestro trabajo de investigación, lleva como título “Estudio de los teoremas de

Castigliano en estructuras de vigas, armaduras y pórticos para reforzar los conocimientos de

los estudiantes de Ingeniería Civil” se presenta al docente del curso de Análisis Estructural I

Dr. Ing. Víctor Zelaya Jara, de la Universidad San Martin de Porres. Este trabajo de

investigación permita ser de utilidad como un aporte para reforzar conocimientos para los

estudiantes de la carrera de Ingeniería Civil.

Y a la comunidad científica sea de utilidad para que otros investigadores y alumnos de

pregrado sean motivados a seguir investigando.

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 8

Resumen

El trabajo de investigación “Estudio de los teoremas de Castigliano para en

estructuras de Vigas, Armaduras y pòrticos para complementar los conocimientos de los

estudiantes de Ingeniería Civil.

Definiendo en el marco teórico cada teorema según sea el caso que sea de utilidad

para lo que el ejercicio socilite, tiene un parecido con el trabajo virtual al fin a cabo se debe

de obtener resultados similares o iguales.

En la parte del marco real, desarrollamos ejercicios para la aplicación del método de

castigliano buscando las deflexiones y rotación de las estructuras, primero identificando su

grado de Hiperestaticidad o grado de indeterminación de la estructura, sea viga, armadura o

pórtico, aplicando la derivada parcial. Además, a que para cada caso se utiliza una fórmula

distinta, como lo señaló el docente en la clase teórica y práctica.

Finalmente daremos nuestras conclusiones al trabajo que se muestra a continuación.

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 9

1 Introducción

El trabajo de investigación fue elaborado por los estudiantes del círculo de calidad 1,

de la Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura, Escuela Profesional de Ingeniería Civil, con

el fin de ayudar a reforzar los teoremas de Castigliano para los estudiantes de Ingeniería

Civil.

Este método se utiliza para encontrar desplazamientos en estructuras con materiales

elásticos.

El desplazamiento en un punto que indique el ejercicio es igual a la primera derivada

parcial de la energía de deformación en el cuerpo con respecto a la fuerza que se aplica en el

punto y en la dirección del desplazamiento.

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 10

1.1 Objetivos de la investigación

1.1.1 Objetivo general

 Estudiar los métodos de Castigliano para determinar la deflexión, pendiente y/o una

variable de una carga en un punto determinado de una estructura.

1.1.2 Objetivos específicos

 Analizar los teoremas de Castigliano para el cálculo de deflexión y pendiente en una

viga, armadura y pórtico.

 Identificar su aplicación para el cálculo de la pendiente y la deflexión de la estructura

que se tenga de analizar.

 Desarrollar ejercicios de estructura de vigas, armadura y pórticos aplicando

Castigliano.
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 11

2 Marco teórico

2.1 Biografía de Carlos Alberto Castigliano

Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de 1847, Asti - 25 de octubre de 1884,

Milán ) fue un matemático y físico italiano conocido por el método de Castigliano para

determinar los desplazamientos en un sistema elástico lineal basado en las derivadas parciales

de la energía de deformación . Alberto Castigliano se mudó de su región de nacimiento,

Piamonte en el noroeste de Italia, al Instituto Técnico de Terni (en Umbría ) en 1866.

Después de cuatro años en Terni , Castigliano se mudó nuevamente al norte, esta vez para

convertirse en estudiante en el Politécnico de Turín. . Después de tres años de estudio en

Turín, escribió una tesis en 1873 titulada Intorno ai sistemi elastici ("Acerca de los sistemas

elásticos") por la que es famoso. En su disertación aparece un teorema que ahora lleva el

nombre de Castigliano.

Esto se indica como la derivada parcial de la energía de deformación, considerada en

función de las fuerzas aplicadas que actúan sobre una estructura linealmente elástica, con

respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su

punto de aplicación.

Después de graduarse de Wilkes College, Castigliano fue empleado por los

Ferrocarriles del Norte de Italia. Dirigió la oficina responsable de obras de arte,

mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana. (Carlos Alberto

Castigliano,” 2020)
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 12

2.2 Teoremas de Castigliano

Los teoremas de Castigliano, permiten calcular estructuras Isostáticas y resolver

estructuras Hiperestáticas. Tanto armaduras, vigas y pórticos. Tenemos dos teoremas.

Se considera un sólido elástico en equilibrio, sometido a un sistema de N cargas

puntuales exteriores Pi , que pueden ser indistintamente fuerzas o momentos. En cada punto

de aplicación de una carga se identifica la deformación ∆i en la dirección de la carga, que es

un desplazamiento si se trata de una fuerza o un giro si se trata de un momento

Figura 1 Teorema de Castigliano

2.2.1 Primer teorema de Castigliano

Nos permite calcular deflexiones y pendientes en estructuras isostáticas.

2.2.1.1 Armaduras

El desplazamiento en el punto i de forma general, será igual a la derivada de la

energía de deformación sobre la carga ficticia y todo ello será igual a sumatoria de la axial de

la derivada parcial de la axial sobre la carga, por la longitud sobre EA.

∂U ∂N L
δ i=
∂P
=∑ N( )
∂ P EA
………………………(1)
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 13

2.2.1.2 Vigas y Pórticos

Si es que vamos a trabajar con vigas y pórticos considerando el efecto de flexión en el

desplazamiento, también puede ser la pendiente y esta sería el momento ficticio que el

ejercicio este pidiendo.

∂U ∂ M ⅆx
δ i=
∂P
=∑∫ M
L
( )
∂ p EI
……………………(2)

Entonces si es que necesito desplazamiento aplicaré una carga en la dirección que se

requiera. Y si es que necesito una pendiente aplicaré un momento en el punto requerido.

2.2.2 Segundo teorema de Castigliano

Este segundo teorema de Castigliano está diseñado para resolver estructuras

hiperestáticas.

Se aplicará las fórmulas anteriores, pero teniendo el siguiente criterio; cuando se

conoce la deflexión y la pendiente se conoce son iguales a cero. El desplazamiento debe de

ser igual cero. Por lo tanto, ya no se calculará la pendiente y el momento, sino serán las

reacciones.

Condiciones:

Empotramiento (Deflexión y pendiente =0)

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 14

Apoyo fijo (Deflexión =0)

Apoyo móvil (Deflexión =0)

Entonces el desplazamiento:

∂U
δ i= =0 , por tanto, se tiene que determinar el valor de xi.
∂ xi

2.3 Proceso para resolver ejercicios con el método de Castigliano

 Determinar la Hiperasticidad (g) o el grado de indeterminación de la estructura, sea

este; viga, armadura o pórtico, aplicando la fórmula para cada caso ya que es distinto.

 Realizar secciones a pórticos y vigas para determinar momentos y reacciones.

 Determinar los momentos en los tramos y aplica derivadas parciales.

 La aplicación del teorema de Castigliano.

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 15

3 Marco Real

Ejercicios de aplicación del teorema de Castigliano para vigas, armaduras y pórticos.

3.1 Ejercicio en viga

Hallar la Deflexión

Figura 2 Ejercicio de viga

Solución:

Segmento Origen Límites M ∂M

∂P
AB A 0–5 1 ⅆ x
( )
M 1 ( X , P )= 12+ P XM 1 ( x , P )=
2 ⅆP 2
BC A 5 – 10 1 ⅆ x
( 2 ⅆP )
M 2 ( X , P )= 12+ P XM−16(
2 (x , PX−5)
)=
2
DC D 0 - 10 1 ⅆ x
( )
M 3 ( X , P ) = 4+ P X M 3 ( x , P )=
2 ⅆP 2

 Estableciendo el valor real de P = 0 :

M 1 ( x )=M 1 ( x , 0 )=12 x

M 2 ( x )=M 2 ( x , 0 )=4 (3 X−4 (−5+ X ))

M 3 ( x )=M 3 ( x , 0 ) =4 X
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 16

X
DM 1 ( x )=DM 1 ( x , 0 )=
2

X
DM 2 ( x )=DM 2 ( x , 0 ) =
2

X
DM 3 ( x )=DM 3 ( x , 0 ) =
2

 Aplicando el segundo teorema de Castigliano para hallar la deflexión:

Fórmula:
L
Δ=∫
o
( ∂∂MP ) EIM ⅆx
x
5 5 (12)( )
M ( x ) D M 1( x ) 2 250
Δ 1=∫ 1 ⅆx=∫ ⅆx=
0
EI 0
EI EI

x
10 10 (12 x−16 ( x−5 ) )( )
M ( x ) D M 2( x ) 2 2750
Δ 1=∫ 2 ⅆx=∫ ⅆx=
5
EI 5
EI 3 EI

Δ 1=∫
10
M 3 ( x ) D M 3( x )
10
ⅆx=∫
( 4 x) ( x2 ) ⅆx= 2000
0 EI 0 EI 3 EI

5500
Δ=Δ 1 + Δ2 + Δ3=
3 EI

kⅈp
E=29000 I =240 ⅈn 4
i n2

5500 kip f t 3
Δ= =0,4557∈¿
3 EI
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 Hallar la Rotación, del mismo ejercicio anterior

Tabla 1 Resumen para de elementos

Segmento Origen Límites M ∂M

∂P
AB A 0–5 1 ⅆ M ( x , M )= x
(
M 1 ( X , M )= 12−
20 )
M X
ⅆM 1 20
BC A 5 – 10 1ⅆ x
( ⅆM
20 )
M 2 ( X , M )= 12− MMX−16(2 ( x , M )X−5)
=
20
DC D 0 - 10 1 ⅆ M ( x , M )= −x
(
M 3 ( X , M )= −( M −4
20 ⅆP
3) X
) 20

 Estableciendo el valor real de M = 0 :

M 1 ( x )=M 1 ( x , 0 )=12 x

M 2 ( x )=M 2 ( x , 0 )=4 (3 X−4 (−5+ X ))

M 3 ( x )=M 3 ( x , 0 ) =4 X

X
DM 1 ( x )=DM 1 ( x , 0 )=
20

X
DM 2 ( x )=DM 2 ( x , 0 ) =
20

−X
DM 3 ( x )=DM 3 ( x , 0 ) =
20
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 Aplicando el segundo teorema de castigliano para hallar la rotación:

L
∂M M
θ=∫
o
( )
∂ Ḿ EI
ⅆx

x
5 5 (12 x )( )
M 1( x ) D M 1 (x ) 20 25
θ1=∫ ⅆx=∫ ⅆx=
0
EI 0
EI EI

x
10 10 (12 x −16 ( x −5 ))( )
M 2( x ) D M 2 (x ) 20 275
θ2=∫ ⅆx=∫ ⅆx=
5
EI 5
EI 3 EI

10
θ3 =∫
M 3 (x ) D M3 ( x )
10
ⅆx=∫
(4 x ) ( −x20 ) ⅆx= −200
0 EI 0 EI 3 EI

50
θ=θ1 +θ2 +θ3=
EI

kⅈp
E=29000 I =240 ⅈn 4
i n2

50 kip f t 2
θ= =0,001rad
3 EI

θ=0,0593 deg
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 19

3.2 Ejercicio en armadura

Determinar la deflexión vertical del punto C (Δ cy ) y el desplazamiento horizontal en el

apoyo D( Δdx ) de la armadura mostrada. Considerar que E=2× 105 MPa y las áreas de las

barras AB, AC, CD y BD es de 300 cm2 y el área de la barra BC es de 200 cm2

Figura 3 Ejercicio de armadura

Fórmula:

∂U ∂F L
Δ i=
∂P
=∑ F ( )
∂ P EA

 Aplicamos una carga P en C, ya que es ahí donde nos pide la deflexión

vertical:
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 20

 Determinamos las reacciones en los apoyos A y D:

ΣM A =0 (Antihorario positivo)

Dy *12 – * (100+P) * 6 – 60 * 4 = 0  Dy = 70 + 0,5P

ΣF Y =0 (Antihorario positivo)

Ay – (100+P) + 70 + 0,5P = 0  Ay = 30 + 0,5P

ΣF X =0  Ax = 60
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 21

 Determinamos los ángulos en la armadura (Tang−1∗Altura/ Base):

 Cálculo de las fuerzas “F” de cada barra por el método de Nodos:

Nodo A:

ΣF Y =0

F AB∗sen ( 33,69º ) +30+ 0,5 P = 0  F AB = -54,08 – 0,9P

ΣF X =0

F AC + F AB∗cos ( 33,69º ) −60=¿ 0  F AC = 105 + 0,75P

Nodo C:
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 22

ΣF Y =0

F CB=100+ P

ΣF X =0

F CD =105+0,75 P

Nodo D:

ΣF Y =0

F BD∗sen ( 33,69 º ) +70+0,5 P=0 F BD =−126,19−0,9 P

 Calculamos la Rigidez EA:

E A200 =( 2∗105∗10 6 )∗( 200∗10−4 )=4∗109 N=4∗106 KN

ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 23

E A300 =( 2∗105∗106 )∗( 300∗10−4 )=6∗10 9 N=6∗10 6 KN

Tabla 2 Resumen para hallar desplazamiento vertical en C

BARRA L(m) EA(kN) L m F(P ) ∂ F (P) ∂F L

( ) F( )( )
EA kN ∂P ∂ P EA
AB 2 √3 6*106 1,2*10−6 -54,08 – -0,9 58,41*10−6
0,9P

AC 6 6*106 1*10−6 105 + 0,75 78,75*10−6

0,75P
CB 4 4*106 1*10−6 100 + P 1 100*10−6

CD 6 6*106 1*10−6 105 + 0,75 78,75*10−6

0,75P
BD 2 √3 6*106 1,2*10−6 -126,19- -0,9 136,29*10−6
0,9P

∂U ∂F L
Δ i=
∂P
=∑ F ( )
∂ P EA
=452,20∗10−6 (Total)

 Por lo tanto:

Deflexión Vertical en C = ( ΔCy ) =452,20∗10−6 m C

 Δ y =0,452 mm

Desplazamiento Horizontal en D= ( Δ Dx ) =210∗10−6 m  Δ CD =0,210 mm

 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 24

3.3 Ejercicio en pórtico

Hallar la reacción en el punto C por el método de Castigliano.

Figura 4 Ejercicio de pórtico

 Determinamos el grado de Hiperestaticidad:

Fórmula para determinar el grado de hiperestaticidad en pórticos:

G= 3b + r – 3n - e

b= Número de barras =2

r= Número de restricciones=4

n= Número de nudos=3

e= 0

G=3*2+4-3*3-0 = 1
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 25

 Eliminamos el restrictor en B y reemplazamos por Reacción vertical en B:

Tramo 1 – 1: (0≤ X ≤3)

M 1=V b x−10 x

∂M1
=x
∂V b

Tramo 2 – 2: (0≤ Y ≤ 2)

M 2=3 V b +30 y−90

∂ M2
=3
∂V b

Luego:

∂v
δ Bv = =0
∂ vb
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 26

 Reemplazamos tramo por tramo:

3 2
1 1
∫ ( v b x−10 x2 ) ( x ) ⅆx+ ∫ ( 3 v b +30 y−90 ) ( 3 ) ⅆy=0
EI 0 3 EI 0

v b ⇒1,5 kN +↑

Al conocer el valor de la reacción en el punto B, por lo tanto, podemos hallar en el

empotramiento las demás reacciones y el momento.

 Realizamos los diagramas de Fuerza Normal, Fuerza Cortante y

Momento Flector
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 27
 ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 28

4 Conclusiones

4.1 Conclusión especifica

 Si, se estudió los métodos de Castigliano para determinar la deflexión, pendiente y/o

una variable de una carga en un punto determinado de una estructura.

4.2 Conclusiones específicas

 Si, se analizó los teoremas de Castigliano para el cálculo de deflexión y pendiente en

una viga, armadura y pórtico.

 Si, se identificó su aplicación para el cálculo de la pendiente y la deflexión de la

estructura que se tenga de analizar.

 Si, se desarrolló ejercicios de estructura de vigas, armadura y pórticos aplicando

Castigliano
ESTUDIO DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANO 29

5 Recomendaciones

 Ejemplificar mejor con elementos animados, o simulaciones 3D de las

estructuras tanto en vigas, armaduras y pórticos para que sea más didáctico el

aprendizaje.
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6 Lista de referencias bibliográficas

Carlos Alberto Castigliano – Carlos Alberto Castigliano. (13 de diciembre de 2020).

En Wikipedia. https://es.qaz.wiki/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

Estructurando. (11 de agosto 2020). Deflexiones en vigas: Segundo teorema de

Castigliano [ Archivo de Vídeo ]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?

v=wfDRiS613VY

LicMath 20. (5 de abril 2018). Teorema de Castigliano – Resistencia de Materiales 2

[ Archivo de Vídeo ]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?

v=CKAMMb39vxU

Victor Antonio Zelaya Jara. (19 de junio 2020). VAZJ SÍSMICO como poner

TÍTULO de Tesis [ Archivo de Vídeo ]. https://www.youtube.com/watch?

v=MzBLeKj0zkA