Presentación

Nombre
Raúl
Apellido
Hurtado Reynoso
Matricula
2-16-6182
Asignatura
Ing. Económica
Tema
Practica II
Índices
Tema Practica II
1Evaluacion de Pago únicos y series de pagos
2. valor Presente
3. Valor Futuro
4. Evaluación de la tasa de Retorno
5. Evaluación de la Razón Beneficios/ costo
6. Diagrama de flujo de caja
7. Las Anualidades
8. Los Gradientes
Evaluación de Pago únicos y series de pagos
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo,
específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola
vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado posteriormente. Para hallar
estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores
futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de
interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizaren las
fórmulas financieras de pagos únicos:

P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.

F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo

evaluado.

n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos

entre lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de
tiempo necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o
no presentar en forma continua según la situación que se evaluando.

i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la

financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago
único es compuesto.

Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cada

acción multiplicada por el número de acciones. El aumento de la capitalización en una
año es la capitalización al final de dicho año menos la capitalización al final del año
anterior.
Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta.

Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P:

F = P (1+i)n 
Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F:
P = F [1 / (1+i)n]
Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:
P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P:
A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1] 
Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F:
A = F [i / (1+i)n-1]
Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A:
F = A [(1+i)n-1 / i]

Notación estándar de los factores:

Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar de los nombres de
los factores y ésta será utilizada en lo sucesivo:

Nombre del factor notación estándar:

Valor presente, pago único

(P/F,i,n)

Cantidad compuesta, pago único

(F/P,i,n)

Valor presente, serie uniforme

(P/A,i,n)

Recuperación del capital

(A/P,i,n)

Fondo de amortización
(A/F,i,n)

Cantidad compuesta, serie uniforme

(F/A,i,n)
Ejemplo:

(P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de

una anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de
capitalización. Este factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217

Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos:

(P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
= (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10
= 7.7217

Ejercicio

Cuánto dinero tendrá el señor Mendoza en su cuenta de ahorros en 12 años si deposita

hoy $3.500 a una tasa de interés de 12% anual?

Solución:
F = P ( F/P , i , n) F = 3.500 (F/P, 12% , 12) F = 3.500 (3,8960)
F = $13.636

2-¿Cuál es el valor presente neto de $500 dentro de siete años si la tasa de interés es

18% anual?

Solución: P = 500 ( P/F, 18% , 7 ) P = 500 [ 1/(1+ 0.18)7] P = 500 (0,3139)

P = $156,95
3-¿En cuánto tiempo se duplicaran $1.000 sí la tasa de interés es de 5% anual?

Solución: P = $1.000, F = $2.000 P = F ( P/F , i%, n ) 1.000 = 2.000 (P/F, 5%, n) (P/F,
5%, n) = 0,5 (P/F, 5%, n) = 1 / ( 1 + i )n 1 / ( 1 + 0,05 )n = 0,5 1 / 0,5 = (1.05 )n 2 =
(1.05 )n log 2 = n log (1.05) n = log 2 / log 1.05 = 14.2 años.

4-¿En la compra de su departamento usted se comprometió, mediante una letra, a pagar

$400.000 dentro de 8 meses. Sí usted tiene la posibilidad de invertir en algunos papeles
comerciales que rinden 2% mensual, ¿cuál será el valor tope que usted podría pagar por
la letra hoy?

Solución:
F = $400.000, i = 2% mensual P = F (P/F, i , n) P = 400.000 (P/F, 2%, 8) P = 400.000
(0,85349)
P = $341. 396
Una industria recibe, de una organización de mantenimiento, la oferta de encargarse del
mantenimiento de la máquina 14.31161200 durante los próximos 5 años, con
un costo mensual uniforme de $50.000. Si la tasa de retorno mínima de la industria es
de 2,5% mensual, ¿cuál seria hoy el costo presente equivalente de dicho
Mantenimiento?

Solución:
P = A (P/A, i%, n) P = 50.000 (P/A, 2,5%, 60) P = 50.000 (30,9086)

Valor Presente
El valor presente (VP) es el valor que tiene a día de hoy un determinado flujo
de dinero que recibiremos en el futuro.
Es decir, el valor presente es una fórmula que nos permite calcular cuál es el valor
de hoy que tiene un monto de dinero que no recibiremos ahora mismo, sino más
adelante.

Para calcular el VP necesitamos conocer dos cosas: los flujos de dinero que
recibiremos (o que pagaremos en el futuro ya que los flujos también pueden ser
negativos) y una tasa que permita descontar estos flujos.

Concepto de valor presente

El valor presente busca reflejar que siempre es mejor tener un monto de dinero hoy
que recibirlo en el futuro.

En efecto, si contamos con el dinero hoy podemos hacer algo para que este sea
productivo, como por ejemplo invertirlo en una empresa, comprar acciones o dejarlo
en el banco para que nos pague intereses, entre otras opciones.

Fórmula del valor presente

Supongamos que recibiremos un monto de dinero en el futuro (n años en el futuro o

n períodos en el futuro) y nuestra tasa de descuento es de r%, la que refleja nuestro
coste de oportunidad. Luego, el valor presente es:

VP= Fn/(1+r)n

Ahora, si recibimos varios flujos de dinero en distintos períodos tenemos:

VP= F0 + F1/(1+r) + F2/(1+r)2 + ….. + Fn/(1+r)n

Donde:

Fi= Flujos (i=0,1,2,3….n)

r= tasa de descuento
Ejemplo del valor presente

Veamos un ejemplo: Juan le pide a Pablo que le alquile su vehículo durante 3 meses
a un pago mensual de 5.000 euros (el primer pago es hoy). Luego de este tiempo, se
lo comprará por 45.000 euros. El costo de oportunidad de Juan es de un 5% mensual
¿Cuál es el VP del proyecto?

Calculamos el VP:

VP= 5.000 + 5.000/(1+5%) + 5.000/(1+5%)2 + 45.000/(1+5%)3

VP= 53.170 euros (valor aproximado)

Ejercicios valor presente

El Sr. Alberto desea hacer construir una vivienda que tiene un costo de $ 120.000 y
cuya condición es pagar el 50% al momento de suscribir el contrato de construcción
y el saldo dentro de 18 meses a la conclusión y entrega de la vivienda ¿Cuánto debe
depositar en el banco en este momento para garantizar el pago, si la tasa de interés
es del 24% capitalizable mensualmente? (la respuesta con centésimas)

Resultado: En este momento el Sr. Villa debe depositar $ 42.009,56 para obtener al
cabo de los 18 meses los 60.000 $ y cancelar el saldo.

2-¿Cuánto se debe depositar al banco si se desea obtener $ 13.073,41 dentro de 18,5

meses a una tasa del 18% capitalizable mensualmente.

´
Resultado Se debe depositar el día de hoy la suma de $ 9.925,84
3-¿cuánto debo depositar si deseo obtener $ 20 000 durante 18 meses a una tasa del
12,5% capitalizable mensualmente.

Resultado: Se debe depositar el día de hoy la suma de $ 16.596,67

4-¿En qué tiempo un capital de $ 3.000 se convertirá en $ 3.958,44 al 8%

capitalizable trimestralmente.

Resultado: El capital de $ 3.000 se convertirá en $ 3.958,44 en 14 trimestres.

5-¿Se deposita $ 12.000 en un banco que paga el 18% de interés con capitalización
mensual, Transcurridos los 4 meses se retira a $ 4000. Hallar el importe que tendrá
en el banco dentro de 1 año de haber realizado el depósito.

Resultado: El banco tendrá el importe dentro de 1 año por el depósito de $ 9841,44.

 Valor Futuro
El valor futuro (VF) es el valor que tendrá en el futuro un determinado monto de
dinero que mantenemos en la actualidad o que decidimos invertir en un proyecto
determinado.
El valor futuro (VF) nos permite calcular cómo se modificará el valor del dinero que
tenemos actualmente (en el día de hoy) considerando las distintas alternativas de
inversión que tenemos disponibles. Para poder calcular el VF necesitamos conocer
el valor de nuestro dinero en el momento actual y la tasa de interés que se le
aplicará en los períodos venideros.

El concepto de valor futuro se relaciona con el del valor presente. Este último

refleja el valor que tendría hoy un flujo de dinero que recibiremos en el futuro.

Fórmula del valor futuro

La fórmula para calcular el valor futuro depende de si el interés que se aplica es

simple o compuesto.

 Fórmula de interés simple

Ocurre cuando se aplica la tasa de interés solo sobre el capital o monto inicial, no
sobre los intereses que se van ganando en el tiempo. La fórmula es la siguiente:

VF = VP x (1 + r x n)

Donde:

VF= valor futuro

VP= valor presente (el monto que invertimos hoy para ganar intereses)

r= tasa de interés simple

n= número de períodos

Ejemplo: Suponga que invierte 1.000 euros en una cuenta de ahorro que ofrece una
tasa de interés simple de 10%. ¿Cuál es el valor futuro en los dos años siguientes?

VF = 1.000 x (1 + 10% x 2) = 1.200 euros (los intereses ganados son 200)

Ejemplo del valor futuro

Ejemplo: Suponga que ahora el banco le ofrece una tasa de interés

compuesta de 10% sobre el ahorro. ¿Cuál es el valor futuro en los dos años
siguientes?

VF = 1.000 x (1 + 10%)2 = 1.210 euros

Esto implica que los intereses ganados son 210. El primer año el interés es
el 10% de 1.000 (100 euros), y el segundo año es el 10% de 1.100 (110
euros).

Encuentre el valor presente

de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Encuentre el valor presente
de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Encuentre el valor presente
de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Encuentre el valor presente
de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Encuentre el valor presente
de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Encuentre el valor presente
de $ 3.800.000 que vence
dentro de 7 meses, si la tasa
de
interés es del 25%
Evaluación de la tasa de Retorno
La Tasa Interna de Retorno o TIR es la tasa de interés o de rentabilidad que nos
ofrece una inversión. Así, se puede decir que la Tasa Interna de Retorno es el
porcentaje de beneficio o pérdida que conllevará cualquier inversión. Es una medida
ampliamente utilizada para la evaluación de los proyectos de inversión. Además,
está muy relacionada con el VAN o Valor Actualizado Neto. De hecho, su relación
es tal, que la Tasa Interna de Retorno también está definida como el valor de la tasa
de descuento cuando el Valor Actualizado Neto adquiere un valor igual a 0 para un
proyecto de inversión concreto y determinado.
 Sin duda, la Tasa Interna de Retorno es una medida de gran utilidad, pues gracias a
ella se puede conocer cuál es la rentabilidad relativa, expresada a través de un
porcentaje, de un proyecto de inversión concreto.

PARA QUÉ SE UTILIZA LA TASA INTERNA DE RETORNO?

En un mundo en constante evolución, que sufre continuos cambios políticos,
económicos y sociales, resulta de gran dificultad que los mercados puedan anticipar
todos estos cambios. Así, resulta una verdadera actividad de riesgo decidir en qué
invertir nuestro dinero. No obstante, existen fórmulas muy útiles para evaluar la
rentabilidad de nuestras inversiones. Y es justo para eso para lo que sirve calcular la
Tasa Interna de Retorno a la hora de decidir en qué invertir y en qué no.

CÓMO CALCULAR LA TASA INTERNA DE RETORNO

Hemos de recordar que la Tasa Interna de Retorno ese el Valor Actualizado Neto
cuando éste alcanza un valor igual a 0. Así, la fórmula de la Tasa Interna de Retorno
es la siguiente:

Donde:

1. Fn es el flujo de caja en el periodo n.

2. n es el número de períodos.
3. i es el valor de la inversión inicial.

EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO

la Tasa Interna de Retorno. Supongamos que tenemos en mente un proyecto de
inversión en el que es necesario que invirtamos 5.000 euros, recibiendo en dicho
proyecto 2.000 euros el primer año y 4.000 euros el segundo año.
En este supuesto, los flujos de caja serían = -5.000/2.000/4.000
Hemos de recordar que, en primer lugar, tenemos que igualar a 0 el Valor
Actualizado Neto para poder calcular la Tasa Interna de Retorno. Así, tendríamos la
siguiente fórmula con los datos dados:
VAN (Valor Actualizado Neto) = -5000 + 2000/ 1+r + 4000/(1+r)2 = 0
La ‘’r’’ es la incógnita que debemos resolver, es decir, es el valor de la Tasa Interna
de Retorno. Al revolver esta ecuación, la ‘’r’’ adquiere un valor de 0,12, por lo que
 la rentabilidad, expresada en porcentaje, es de un 12%. De esta forma, la Tasa
Interna de Retorno es de un 12%.

Evaluación de la Razón Beneficios/ costo

Es el método que, utilizando los principios de la Ingeniería Económica, permite la
solución y comparación de proyectos públicos fundamentales.

Compar Con respecto a asociados a

a
Beneficio Costos
Un proyecto
 Analiza El valor del dinero en
el tiempo

Objetivos del análisis beneficio – costos

Maximizar Maximizar
1 Los beneficios Los beneficios
Cuando tanto
2 Los costos como
Los beneficios varían

Valoración de beneficios de costos

Beneficios de los usuarios

B = Beneficios - Contra beneficios

Costos para el promotor

Costos para Costos de Costo de operación
El promotor= Capital + Y mantenimiento - Ingresos
 Ejemplo ecuaciones para análisis
Beneficio y Costos

Razón B/C Convencional Con Valor Presente (vp)

B/C= VP (beneficio del proyecto) = VP(B)_______

VP(Costo totales del proyecto 1+VP (0 y M)

Donde:
VP (B) = Valor presente de beneficios
I = Inversión inicial del proyecto
O y M = Costos de operación y mantenimiento del proyecto

Diagrama de flujo de caja

El diagrama de flujo de efectivo es una herramienta para determinar, interpretar y

analizar las variables, los rubros y el comportamiento de un instrumento financiero.
En este se realiza una representación de los valores asociados al instrumento en una
línea recta horizontal, incorporando unas divisiones que representan cada período
(pago o cuota) que va en orden, iniciando desde la izquierda a la derecha.

Hay que tener en cuenta que los períodos pueden ser mensuales, bimestrales,
trimestrales, semestrales, anuales, etc. dependiendo de las cláusulas del contrato.
Pero, al representarlos en el diagrama deben expresarse períodos iguales (es decir,
no se podrían combinar años con semestres o bimestres con meses en un diagrama,
ya que se volvería complicada su interpretación).
Por otra parte, la numeración de las divisiones corresponde con el final del período
indicado y el espacio entre divisiones corresponde a un período, es decir, el período
2 va desde el numeral 1 al 2 y si nos ubicamos en el numeral 2, estaríamos ante el
final del período 2 y el inicio del 3; tal y como se muestra en la siguiente gráfica.

Ejemplo:

A manera de ejemplo, mostraremos cómo sería el diagrama de flujo de un préstamo

en el que se espera pagar una cuota constante durante toda la obligación.

La entidad Z adquiere un préstamo con las siguientes condiciones:

Tasa 5 % efectiva anual

Monto otorgado $20.000.000

Número de cuotas pactadas 6 cuotas anuales