Taller #12

Taller 12 – Quı́mica 3 (116056M)
José G. López
Departamento de Quı́mica
Universidad del Valle
Cali, Colombia
24 de agosto de 2019
2
1. Considere una partı́cula de masa m sujeta al potencial V (x) = mω
2 x2 . Utilice la función de
2
prueba e−αx con α como el parámetro variacional para calcular la energı́a del estado fundamental
de este sistema. Compare su resultado con el valor de exacto de la energı́a E0 = ~ω 2 . ¿Qué
conclusión saca usted de esta comparación?
2
2. Utilice la función de prueba gaussiana e−αx , con α como el parámetro variacional, para calcular
la energı́a del estado fundamental del átomo de hidrógeno por el método variacional. Compare
su resultado con el valor exacto y compruebe que se cumple el principio variacional.
3. Suponga que usted fuera a usar la función de prueba de la forma
2
ψprueba = c1 e−αr + c2 e−βr
para realizar un cálculo variacional de la energı́a del estado fundamental del átomo de hidrógeno.
Prediga, sin realizar cálculo alguno, cuáles serı́an los valores de c1 , c2 , α y εmin .
4. Escriba el operador Hamiltoniano para el átomo de helio según el modelo de electrones inde-
pendientes. Corrobore que la función de onda resultante de multiplicar dos orbitales atómicos
hidrogenoides con Z = 2,
ψ(~r1 , ~r2 ) = ψn1 ,l1 ,ml1 (~r1 )ψn2 ,l2 ,ml2 (~r2 )
es función propia de este operador y que la energı́a resultante es la suma de las energı́as de cada
orbital atómico. ¿Cuál es la energı́a del átomo de helio de acuerdo a este modelo? Compare este
valor con el experimental de −2,9033Eh
5. Escriba el operador Hamiltoniano para un átomo de N electrones según el modelo de electrones

independientes. Escriba la fórmula para la función de onda propia del operador Hamiltoniano en
términos de los orbitales atómicos de cada electrón y la fórmula para la energı́a correspondiente.
1
6. En clase vimos que una función de prueba conveniente para el cálculo de la energı́a del estado
fundamental del átomo de helio es el producto de dos orbitales atómicos 1s,
ψ(~r1 , ~r2 ) = ψ1s (~r1 )ψ1s (~r2 )

0
donde ψ1s (~rj ) = √1 Z 03/2 e−Z rj
con j = 1, 2 y Z 0 = 27/16. Calcule el valor esperado de la
π

distancia del electrón 1 al núcleo del átomo de helio, r1 , y compárelo

con el valor esperado
de la distancia del electrón al núcleo del átomo de hidrógeno, r , en su estado fundamental.
¿Sus resultados están de acuerdo con lo que usted aprendió en quı́mica básica de que el átomo
de helio tiene un radio atómico menor que el átomo de hidrógeno?
7. Considere los orbitales tipo Slater vistos en clase:
Sn,l,ml (r, θ, φ) = Nn rn−1 e−ζr Yl,ml (θ, φ)
donde Yl,ml (θ, φ) son los armónicos esféricos. El parámetro ζ es arbitrario y no es necesariamente
igual a Z/n como en los orbitales atómicos hidrogenoides.
a) Muestre que la constante de normalización Nn es igual a:
(2ζ)n+1/2
Nn =
[(2n)!]1/2
b) Grafique los orbitales tipo Slater S2,0,0 (r) y S3,0,0 (r) con ζ = 1/n y compárelos con los
orbitales atómicos respectivos del átomo de hidrógeno ψ2,0,0 (r) y ψ.3,0,0 (r). ¿Qué diferencias
observa?
2
Algunas funciones radiales Rn,l (r)
n l Rn,l (r)
3
e−ρ
Z 2
1 0 2 a0
3
1 Z 2
2 0 √ (2 − ρ)e−ρ/2
2 2 a
0 3
1 Z 2 −ρ/2
2 1 √ ρe
2 6 a0
2
Z ~
ρ= a0 r, a0 = 2
ke me e
Algunos armónicos esféricos Yl,ml (θ, φ)
l ml Yl,ml (θ, φ)
1
0 0 √
2q π
1 3
1 0 2 qπ cos θ
1 ±1 ∓ 8π 3
sin θe±iφ
q
1 5 2
2 0 4 q π (3 cos θ − 1)
2 ±1 ∓ 21 2π15
cos θ sin θe±iφ
q
1 15 2 ±2iφ
2 ±2 4 2π sin θe
3
Fórmulas de algunas integrales
En las integrales siguientes a > 0 y n = 0, 1, 2, . . . , excepto donde se especifique otros valores.

Z ∞ Z ∞ Z
2 2 x sen 2ax
1. x2n e−ax dx = 2 x2n e−ax dx 9. sen2 axdx = −
−∞ 0 2 4a
Z ∞ 2
2. x2n+1 e−ax dx = 0 x2 x sen 2ax cos 2ax
Z
−∞ 10. x sen2 axdx = − −
Z ∞ r 4 4a 8a2
2 π
3. e−ax dx = !
a x3 x2
Z
−∞ 2 2 1
11. x sen axdx = − − sen 2ax−
Z ∞ 6 4a 8a2
r
2
(−ax +bx+c) π (b2 −4ac)/4a
4. e dx = e x cos 2ax
−∞ a
Z ∞ 4a2
−ax
2 1
5. xe dx = Z ∞
0 2a
12. xn e−x dx = n!
Z ∞ 1/2
2 (2n)!π 0
6. x2n e−ax dx = 2n+1 n+1/2
0 2 n!a
sen2 ax
Z
Z ∞ 2 n! 13. sen ax cos axdx =
7. x2n+1 e−ax dx = n+1 2a
0 2a
eax
Z ∞ Z
n −ax n! 2 ax 2 2x 2
8. x e dx = n+1 14. x e dx = x + + 2 , a 6= 0
0 a a a a

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3. Suponga que usted fuera a usar la función de prueba de la forma

5. Escriba el operador Hamiltoniano para un átomo de N electrones según el modelo de electrones

ψ(~r1 , ~r2 ) = ψ1s (~r1 )ψ1s (~r2 )

7. Considere los orbitales tipo Slater vistos en clase:

Sn,l,ml (r, θ, φ) = Nn rn−1 e−ζr Yl,ml (θ, φ)

a) Muestre que la constante de normalización Nn es igual a:

Algunos armónicos esféricos Yl,ml (θ, φ)

En las integrales siguientes a > 0 y n = 0, 1, 2, . . . , excepto donde se especifique otros valores.

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