Ecuaciones de Fresnel

Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
INFORME 5
ECUACIONES DE FRESNEL
David Ignacio Reyes Murcia
Resumen
En esta práctica se utilizaron las ecuaciones de Fresnel para calcular los

coeficientes de reflexión de polarización p y s para reflexión de incidencia
externa y su comparación contra el ángulo de incidencia de la luz. También se
obtuvo el coeficiente de refracción del vidrio de lucita utilizando el efecto de
Brewster y el fenómeno de reflexión interna total, el resultado promedio obtenido
fue 𝑛 = 1.50 ± 0.02. Se cumplieron los objetivos dado que se comprobaron
experimentalmente las ecuaciones planteadas en la teoría y se realizó un ajuste
no-lineal para las mediciones.
I. Introducción
Las ecuaciones de Fresnel permiten

calcular los campos transmitido y
reflejado cuando una onda armónica
plana incide sobre una interfaz entre
dos medios con índice de refracción
distinto. Tienen una dependencia del
estado de polarización del haz
incidente (paralelo al plano de
incidencia “p,∥” , perpendicular al
plano de incidencia “s,⊥” o una
combinación), de los índices de
refracción del medio de entrada y de
salida (𝑛1 , 𝑛2 ) y del ángulo de FIGURA 1. Onda incidente polarizada
incidencia 𝜃𝑖 . El ángulo del haz perpendicularmente al plano de
transmitido 𝜃𝑡 se obtiene a través de incidencia
la ley de Snell: 𝑛1 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖 ) = 𝑛2 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑡 )
[1].
B) El campo eléctrico de la onda
incidente está contenido en el plano
Para calcular las amplitudes de las
de incidencia (Fig. 13).
ondas reflejada y refractada es
necesario, como en el caso de la
2 cos(𝑖 ) sin(𝑡) tan(𝑖 − 𝑡)
reflexión en un conductor, descomponer 𝜏𝑟 = , 𝜌𝑟 =
el problema en dos casos particulares sin(𝑖 + 𝑡)cos(𝑖 − 𝑡) tan(𝑖 + 𝑡)
de polarización:
Véase la deducción en [2].
̅̅̅̅
A) Donde 𝐸 0 𝑖 es perpendicular al plano
Cualquier situación de polarización
de incidencia (Fig. 1).
arbitraria puede descomponerse en la
Aquí se obtienen los coeficientes de
superposición de dos situaciones
transmisión 𝜏, y de reflexión, 𝜌:
correspondientes una al caso A y otra
al caso B [3].
2 cos(𝑖 ) sin(𝑡) sin(𝑖 − 𝑡)
𝜏𝑠 = , 𝜌𝑠 = −
sin(𝑖 + 𝑡) sin(𝑖 + 𝑡)
Véase la deducción en [2].
Octubre, 2016 1
paralela al plano de incidencia, el haz
reflejado se anula en el ángulo de
Brewster. En este caso, se produce una
transmisión total del haz entre ambos
medios.
En general, el ángulo de Brewster entre
dos medios depende de las
características electromagnéticas de
los mismos (permitividad eléctrica y
permeabilidad magnética). En el caso
en que las permeabilidades magnéticas
de ambos medios no varían (el caso más
frecuente), el ángulo de Brewster se
FIGURA 2. Onda incidente polarizada en el (o puede calcular a partir de los índices
paralelamente al) plano de de refracción de ambos medios:
incidencia
𝑛2
𝜃𝐵 = tan−1 ( )
𝑛1
Si 𝑛2 > 𝑛1, tenemos el efecto de
reflexión interna total.
Donde: 𝜃𝑐 es el ángulo de Brewster
Cuando el ángulo de incidencia es mayor
que el valor crítico, el rayo no pasa [5]
Véase la deducción en
al medio superior, sino que se refleja
internamente (Fig. 3). El objetivo de la práctica es
determinar el comportamiento de la
energía reflejada y transmitida en la
interface de dos medios transparentes,
como función del ángulo de incidencia,
para dos estados de polarización (p y
s).
II. Desarrollo experimental
Utilizando el arreglo experimental de

la Fig. 4., se observó el
comportamiento del haz reflejado y
transmitido, cuando el eje de
transmisión del polarizador era
paralelo al plano de la mesa giratoria.
FIGURA 3. Reflexión interna total Luego, utilizando el efecto Brewster
se calculó el índice de refracción del
𝑛2 vidrio y su error.
𝜃𝑐 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( )
𝑛1 Se repitió para el caso en el que el
eje del polarizador es ortogonal al
Donde: 𝜃𝑐 es el ángulo crítico plano de la mesa.
Véase la deducción en [4]
Al incidir un haz de luz con el ángulo

de Brewster, la componente de la
polarización paralela al plano de 4
incidencia se anula en el haz 3
reflejado. Por este motivo, el haz que 2
vemos reflejado posee una polarización
1
lineal, justamente en la dirección
perpendicular al plano de incidencia,
independientemente del tipo de FIGURA 4. Montaje experimental.
polarización propia del haz incidente. 1)Láser verde; 2) Polarizador; 3)
Se debe notar que, en el caso Semidisco de lucita; 4) Pantalla
particular de incidir con un haz
linealmente polarizado en la dirección
Octubre, 2016 2
Posteriormente se realizó el mismo III. Resultados
proceso para el fenómeno de reflexión
interna total (Fig. 5) y se calculó el Para la primera parte del experimento,
índice de refracción. cuando el eje del polarizador es
paralelo a la mesa se observa que la
intensidad del rayo reflejado variaba
con el ángulo de incidencia y se
presenta el efecto de Brewster.
FIGURA 5. Reflexión interna total
haz de luz usando una navaja. Con el

detector se realizaron mediciones de
la intensidad de la luz en cada
posición de la navaja. Se realizaron
TABLA 1. Ángulo de Brewster e índice de
dichas medidas cada 1mm recorrido por
refracción
la navaja.
Para la segunda parte del experimento Se tomaron los datos de la Tabla 1 y

se realizó el proceso utilizando un se obtuvo el valor de n.
segundo polarizador en el rayo
reflejado que lo “aniquilaba” Índice de refracción obtenido con el
completamente. Al variar el ángulo de efecto Brewster.
incidencia se tenía que variar el
ángulo del polarizador para seguir 𝑛 = 1.53 ± 0.01
aniquilando el rayo reflejado.
𝑟 2 Realizando el mismo procedimiento con
Se analizó la razón ( 𝑟𝑝 ) y se graficó
𝑠 el efecto de reflexión interna total
contra el ángulo de incidencia. Las se obtuvieron los datos de la Tabla 2
ecuaciones utilizadas se encuentran y el índice de refracción.
en el Anexo 1.
TABLA 2. Ángulo crítico e índice de

refracción
Índice de refracción obtenido con la

reflexión interna total.
𝑛 = 1.48 ± 0.01
Octubre, 2016 3
Cuando se colocó el eje del [2] TEJERO, A. “Óptica
polarizador perpendicular al de la electromagnética”, 1a Edición,
mesa no se produce el efecto de Edit. Copyleft, 2004. P. 46-50
Brewster por lo que la intensidad es [3] BARÁ, J. “Ondas electromagnéticas en
la misma en cualquier ángulo de comunicaciones”, 1a Edición, Edit.
reflexión. UPC, 1999. P. 133-135
[4] ORNELAS, J. “Reflexión interna
En la segunda parte se obtuvo la total”, [En línea]. 2004. [fecha de
gráfica de la Fig. 6 y se ajustó una consulta: 9 de octubre, 2016].
función no-lineal. Disponible en:
http://galia.fc.uaslp.mx/~medelli
n/Acetf2/optica/contenido/texto/r
inttot.html
[5] RODRÍGUEZ, L. “Ley de Brewster”, [En
línea]. 2010. [fecha de consulta:
9 de octubre, 2016]. Disponible en:
http://opticafisicaaplicadaleydeb
rewster.blogspot.mx/2010/09/ley-
de-brewster.html
Anexos
IV. Discusión
FIGURA 6. Ángulo de incidencia vs tan2 (𝜃)
Anexo 1. Ecuaciones utilizadas
Dados los resultados obtenidos del
índice de refracción por el efecto (𝑥 + 𝜃0 )𝜋
𝜃𝑖 =
Brewster y el efecto de reflexión 180
interna total, se obtuvieron 𝑛 = 1.53 ±
0.01 y 𝑛 = 1.48 ± 0.01, por lo que, aunque sin(𝜃𝑖 )
𝜃𝑡 = asin ( )
son cercanos, no son congruentes con 𝑛
el criterio utilizando dos veces el
error. Se necesita repetir la medición 𝑒0 tan(𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 )
𝑟𝑝 =
para resolver la congruencia de los tan(𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 )
índices de refracción.
sin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 )
𝑟𝑠 =
V. Conclusiones sin(𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 )
El efecto de Brewster sólo se produce 𝑟𝑝 2

𝑦=( )
cuando el eje del polarizador es 𝑟𝑠
paralelo al plano de la mesa, pero no
cuando es perpendicular.
Mediante las ecuaciones de Fresnel se
pueden determinar los coeficientes de
polarización p y s experimentalmente.
VI. Referencias
[1] SÁNCHEZ, L. “Ecuaciones de Fresnel”,

[En línea]. 2013. [fecha de
consulta: 9 de octubre, 2016].
Disponible en:
http://pendientedemigracion.ucm.e
s/info/aocg/python/optica/fresnel
/index.html#introduccion
Octubre, 2016 4

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David Ignacio Reyes Murcia

En esta práctica se utilizaron las ecuaciones de Fresnel para calcular los

Las ecuaciones de Fresnel permiten

Véase la deducción en [2].

II. Desarrollo experimental

Utilizando el arreglo experimental de

Véase la deducción en [4]

Al incidir un haz de luz con el ángulo

FIGURA 5. Reflexión interna total

haz de luz usando una navaja. Con el

Para la segunda parte del experimento Se tomaron los datos de la Tabla 1 y

TABLA 2. Ángulo crítico e índice de

Índice de refracción obtenido con la

El efecto de Brewster sólo se produce 𝑟𝑝 2

[1] SÁNCHEZ, L. “Ecuaciones de Fresnel”,

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