Integrales – Ciencias de la Salud RTZ

UNIDAD 4
INTEGRACIÓN - APLICACIONES

En el capítulo anterior de nuestro estudio información para predecir futuros niveles de

nos hemos ocupado de problema dada una la epidemia.
función encontrar su derivada. Sin embargo,
muchas aplicaciones del cálculo tienen que Definición de una antiderivada. Una función
ver con el problema inverso, dada la F se llama una antiderivada (o integral
derivada de una función, encontrar la indefinida) de una función f si para todo x en
función original. Por ejemplo, un médico el dominio de f se cumple que
que conoce la razón a la cuál crece una F (x)  f(x) .
epidemia en una ciudad, puede utilizar está

 Ej. F(x)  x 2 es la antiderivada (primitiva) de f(x)  2x

 Ej. F(x)  x 3es la antiderivada (primitiva) de f(x)  3x 2
 Ej. F(x)  ln(x) es la antiderivada (primitiva) de f(x)  1
x

Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces, F(x)  C en que C es una constante cualquiera
también es una antiderivada de f(x). Por ejemplo F(x)  x 3 ; G( x)  x 3  7 y
H ( x)  x  3 / 5
3
son todas antiderivadas de 2
3x , porque:
d 3 d 3 d 3
dx
 
x 
dx

x 7 
dx
 
x  3 / 5  3x 2 .

Como se puede ver, todas las antiderivadas antidiferenciación no proporciona una única
de 3x 2 tienen la forma F(x)  C . Esto función sino más bien una familia de
quiere decir que el proceso de funciones, cada una diferente de las demás
en una constante.

Notación para las antiderivadas. El proceso de antidiferenciación también se llama integración y

se denota con el símbolo  (llamado "integral").
El símbolo  f(x)dx se llama la integral indefinida de f(x) , o simplemente la integral de f(x),
y denota la familia de antiderivadas de f(x) . Es decir que, si F(x)  f(x) para todo x,
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entonces  f( x)dx  F(x)  C en que f( x) se llama el integrando y C la constante de

integración.

El diferencial dx en la integral indefinida Esta relación inversa entre integración y

identifica la variable de integración. Es decir, diferenciación nos permite obtener las
el símbolo  f(x)dx quiere decir "la fórmulas de integración directamente de las
antiderivada de f con respecto a x", así fórmulas de diferenciación. De esta manera
dy resulta el siguiente cuadro resumen:
como el símbolo denota "la derivada de
dx
y con respecto a x".

1. Regla de la constante:  kdx  kx  C

2. Regla del múltiplo constante:  kf(x)dx  k  f(x)dx
3. Regla de la suma:
  f(x)  g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx
xn 1
 x dx   C, n  1
n
4. Regla de la potencia simple:
n 1

Nótese que la regla de la potencia tiene la restricción de que n no puede valer –1. Esto significa
1
que por esa fórmula no se puede evaluar la integral  dx que, como se puede comprobar
x
1
fácilmente, corresponde al logaritmo natural, es decir  dx  ln | x | C
x

 Ejercicios resueltos. (se utilizan las cuatro reglas anteriores)

x6
 x dx  C.
5
1.
6
dx x 1 1
2.  2   x dx 
2
C   C.
x 1 x
4
1 4
z3 3
3.
 3
zdz   z dz  3
4/3
C 
4
z3  C .
1
2 1
dx  x3
4.  3
x2
 x 3 dx 
1/3
 C  3x 3  C .

2x3 5x2
 2x  5x  3 dx  2 x2 dx  5 x dx  3 dx   3x  C .
2
5. 
3 2
1 3 1 3 3 5
2 2
6.  (1  x) x dx   (x 2  x 2 ) dx   x 2 dx   x 2 dx  x 2  x 2  C . 3 5
7.
1 1
 (3s  4) ds   (9s  24s  16)ds  9( s 3 )  24( s 2 )  16s  C  3s 3  12s 2  16s  C
2 2

3 2
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x 3  5x 2  4 1 2 4 x 1 1 4
        C  x 2  5x   c
-2
8. dx x 5 - 4x dx x 5 x
x 2
2 1 2 x
3
1 x2 2 3
9.
 5x dx   5 x dx  5 2
3
2
c
3
5x 2  c

Aplicación. Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón
de 2  6 x personas por mes. Si la población actual es 5000 personas, ¿cuál será la población
dentro de 9 meses?

Solución. Sea P(x) la población dentro de x meses. Entonces la razón de cambio de ésta con
dP
respecto al tiempo es la derivada:  2  6 x . Se concluye que la función de población P(x) es
dt
la antiderivada de 2  6 x . Es decir:

dP 3
P( x )   dx dx   (2  6 x )dx  2 x  4 x 2  c

Para determinar c, utilizar la información de que en la actualidad (cundo x=0) la población es de

5000 personas. Es decir;

3
5000  2(0)  4(0) 2  c  c  5000

3
Por tanto P ( x )  2 x  4 x 2  5000

3
Y dentro de 9 meses la población será: P (9)  2(9)  4(9) 2  5000  5126 personas.

Integración por sustitución y uso de fórmulas. El método consiste en hacer un cambio de variable
para simplificar la expresión e integrar inmediatamente.

Si se quiere integrar  f(x)dx hacemos x  g (t ) de tal forma que si dx  g ' (t )dt ,

entonces:

 f(x)dx   f  g(t) g ' (t)dt

Es necesario elegir g (t ) en la integral  f(x)dx , de tal forma que g ' (t ) también esté en la
expresión f(x)dx

u n 1
Regla general de la potencia.  u du 
n
C , n  1
n 1

 5(5x  2) dx =  (5 x  2) 3 5dx
3
Ej.
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Solución: Haciendo u  (5x  2) , resulta du  5dx

u4 (5 x  2 ) 4
por tanto  (5 x  2) 3 5dx   u 3 du  c c
4 4

 4x
33
Ej. x 4  7 dx

Solución. Haciendo u  x 4  7 , tenemos du  4 x 3 dx

4
1 4 4
u 3 3 3

 4x x  7 dx   u du   c  u 3  c  ( x 4  7) 3  c
33 4 3
Por tanto 4 4 4
3
2x
Ej.  (4  x 2
)3
dx

Solución. Haciendo u  4  x 2 , tenemos du  2 x

 2x u 2 1
 (4  x 2 ) 3  
2 3 3
Por tanto dx  ( 4  x ) ( 2 x ) dx  u du  c c
2 2( 4  x 2 ) 2

9x 3 dx
Ej.  3
5x 4  6
=  9x
3
(5 x 4  6) 1 / 3 dx

1
Solución: Haciendo u  5x 4  6 se tiene si du  20x dx  x dx 
3 3
du
20
1
Por tanto  9 x (5 x  6) dx  9  (5 x 4  6) 1 / 3 ( x 3dx )  9  u 1 / 3 .
1 / 3
3 4
du 
20
1 2
9  9 3 3 27 3
20  u 3 du 
20
u . c 
2 40
( 5 x 4  6) 2  c

  x  3 dx
11
Ej.

Solución: Haciendo u  x  3 se tiene du  x

1 1
Por tanto:   x  3 11 dx  u
11
du 
12
u 12  C 
12
 x  3 12  C.

 ln x  2
 x  ln x 
1

2
Ej. dx  dx
x
1
Haciendo: u  ln x se tiene du  dx
x
u3 1
 u du   c  (ln x ) 3  c
2
Sustituyendo:
3 3
x2
Ej.  x3  5
dx .
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1
Haciendo: u  x 3  5 se tiene du  3x 2 dx de donde x dx 
2
du
3
1
du 1 du 1 1
Sustituyendo:  3
u
   ln u  c  ln( x 3  5)  c
3 u 3 3
( x  3)dx
Ej.  (x 2  6x )
1/ 3 .
1
Haciendo: u  x 2  6 x se tiene du  ( 2 x  6)dx  2(x  3)dx de donde (x  3)dx  du
2
2
1
du 1  13 1 u3 3 2 2
Sustituyendo:
 2

u
1
3

2  u du 
2 2
3
 c 
4
( x  6 x ) 3
c

dx
Ej. Hallar  2x  3 .
1
Haciendo: u  2 x  3 se tiene du  2dx de donde dx  du
2
1
du 1 du 1 1
Sustituyendo:  2
u
   ln u  c  2 x  3  c
2 u 2 2

TABLA DE INTEGRALES

1.   f(x)  h(x)dx  f(x)dx   h(x)dx

2.  k f(x)dx  k  f(x)dx
3.  dx  x  c
v n 1
v dv   c; n  1
n
4.
n 1
dv
5.  v
 ln v  c

av
  c
v
6. a dv
ln a
1 kx
 e dx  k e  c
kx
7.
dv 1 v
8. v 2
a 2
 arctan  c
a a
dv 1 v-a
9. v
a 2

2
ln
2a v  a
c

dv 1 av
10.  2  ln c
a  v2 2a a-v
dv 1 v -a
11.  2  ln c
v a 2
2a v  a
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dv v
12.  a v2 2
 arcsen
a
c

dv
13.  v a2 2
 ln v  v 2  a 2  c

1 1 v
14.  a 2  v 2 dv 
2
v a 2  v 2  a 2 arcsen  c
2 a
2
v a
15.  v 2  a 2 dv 
2
v 2  a 2  ln v  v 2  a 2  c
2

 Ejercicios resueltos.

dx
Ej.  1  x2
 arc senx  C . F12

dx
Ej.  1 x2  arc tan x  C . F8
dx x
Ej.  4x 2
 arcsen
2
C. F12

dx 1 x
Ej.  9  x2 
3
arctan  C .
3
F8
dx 1 4dx 1 4x
Ej.  25  16x 2

4  5  ( 4x)
2 2

4
arcsen
5
 C .F12

dx 1 2dx 1 2x
Ej.  4x 2
 
 9 2 ( 2x)  3
2 2
 arctan
6 3
C. F8

dx 1 x 1
Ej. x
2
 ln
1 2 x 1
C. F11

dx 1 1 x
Ej.   ln C. F10
1 x 2
2 1 x
dx
Ej.   ln(x  x 2  1)  C . F13
x 1
2

dx 1 2dx 1
Ej.     ln( 2x  4x 2  9 )  C . F13
4x  9
2 2 ( 2x )  3
2 2 2
dx 1 3dx 1 3x  4
Ej.  9x 2
   ln
 16 3 (3x)  6 24 3x  4
2
C . F9

dy 1 4dy 1 5  4y
Ej.  25  16y 2

4  25  ( 4 y) 2

40
ln
5  4y
C . F10
1 25 x
Ej.  25  x 2 dx 
2
x 25  x 2 
2
arc sen  C .
5
F14

Integración por partes. Cuando u y v son funciones diferenciables de x, o sea,

d(uv) = u dv + v du
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u dv = d(uv) – v du

 u dv  uv   v du

 Reglas generales.

1. La parte escogida como dv debe ser fácil de integrar.

2.  v du no debe ser más complicada que  u dv.

 xe
x
Ej. Hallar dx .
Tomamos ux  du  dx
dv  e dx   dv   e dx  v  e x
x x

Aplicando la fórmula:  u dv  uv   v du

 xe dx  xe x  e dx  xe x  e x  C .
x x
Por tanto:

x ln xdx .
2
Ej. Hallar
Tomamos u  ln x  du  1x dx
dv  x 2 dx  dv   x 
2
dx  v  13 x 3
Aplicando la fórmula:  u dv  uv   v du

x ln xdx  ln x. 13 x 3   x 3 . 1x dx  x 3 ln x  x dx  x 3 ln x  x3  c .
2 1 1 1 2 1 1
Por tanto: 3 3 3 3 9

La integral definida. El Área es un concepto han sido desarrolladas y que pueden

familiar para todos nosotros por el estudio aplicarse en cada caso.
de las figuras geométricas como rectángulos, En este capítulo queremos desarrollar una
cuadrados, trapecios, triángulos y círculos. manera de calcular el área de una región
Generalmente pensamos en el área como un plana R, limitada por el eje x, las rectas x = a
número que en cierta manera nos indica el y x = b y la gráfica de una función no -
tamaño de una región limitada del plano. negativa continua, como se ve en la figura de
Para figuras simples tenemos fórmulas que abajo.

La solución a este problema es el Teorema fundamental del cálculo, uno de los más famosos
descubrimientos de las matemáticas. De él se desprende que, así como la derivada de una función
puede usarse para calcular su pendiente, su antiderivada puede usarse para encontrar el área.
Anticipándonos a la conexión que existe entre antiderivada y área, denotamos el área de la región
b

mostrada en la figura de abajo como: Área  a f(x)dx .

El símbolo utilizado se llama integral definida de “a” a “b”, donde a es el límite inferior de
integración y b el límite superior de integración.
y

R
a b x
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a f(x)dx  Área

Teorema fundamental del Cálculo. Si f es una función continua en el intervalo  a, b , entonces

b

a f(x)dx  F(b)  F( a) .

Nota:

1. Este teorema describe un procedimiento para evaluar una integral definida y no un

procedimiento para calcular antiderivadas.

b
b
2. Al usar el teorema es útil usar la notación  f(x)dx  F(x)
a
a
 F(b)  F( a)

Es decir, para evaluar una integral definida, se calcula primero la antiderivada del integrando y
esta antiderivada se evalúa en el límite superior, a lo cual se le resta su valor en el límite inferior
de integración.

4
x3/ 2 
 
4
2 3/ 2 2 14
Ej. 1 x dx   
2 / 3 1 3
4  13 / 2  (8  1) 
3 3

3. Observando bien, se ve que la constante de integración de la antiderivada no necesita ser

tomada en cuenta cuando la antiderivada se utiliza para este propósito, ya que:

 f ( x )dx   F ( x )  C    F ( b)  C    F ( a )  C   F ( b)  F ( a )  C  C  F ( b )  F ( a )
b
a
a

Propiedades de la Integral Definida, para f y g integrables en [a, b]. Se listan algunas propiedades
que suelen ser útiles para facilitar la evaluación de integrales definidas.

b b

Propiedades 1.  kf(x)dx k  f(x)dx , k constante

a a
b b b

De la 2.   f(x)  g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx

a a a
b c b

Integral 3.  f(x)dx   f(x)dx 

a a
c f(x)dx ,
acb
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Definida 4. a kf(x)dx 0
b a

5.  f(x)dx    f(x)dx
a b

Ej. Calcular el área de la región limitada por el eje “x” y la gráfica de

f( x)  x 2  x  2, para 2x4

10

4
8
Area   (x 2  x  2)dx
6 2

1 2 3 4

Solución. En todo el intervalo de integración se tiene f(x)  0 , por lo que el área sombreada se
puede representar por la integral:

4
4  x3 x2   64  8  26
  2 x    8  8    2  4  
Área  (x  x  2)dx =  3

2
2 2  3   3  3
2

 (3s  2) ds
2
Ej. Haga una gráfica de la región de integración y evalúe la integral definida:
1

16

14

12

10

2 2 2
1  (3s  2) 3 
 
2
1 1 1 63
Solución :  (3s  2) 2 ds     13  0.5  64
 (3s  2) 3  4 3 -0.5 1.51 2 2.5  7
1
3 3 1 9 1 9 9 1
9

16
dx
Ej. Evaluar la integral definida 
1 x
16

 
16 16
dx x1/ 2 16
Solución :    x dx 
1 / 2
2 x  2 16  1  2( 4  1)  6
1 x 1
1/ 2 1
1
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Área de una región entre dos curvas. Las gráficas de ambas funciones quedan encima
integrales definidas pueden aplicarse del eje x, se puede interpretar
igualmente para calcular el área de la región geométricamente el área de la región entre
entre dos curvas. Para ello consideramos la dichas curvas, como el área de la gráfica
región limitada por las gráficas de y  f( x) superior de f a la que se le sustraer el área
, y  g( x) , x  a y x  b . Si las bajo la gráfica de g.

y y y

f f f

g g g

x=a x=b x x=a x=b x x=a x=b x

(1) (2) (3)

b b b

  f(x)  g(x)dx
a
  f(x)dx
a
 a g(x)dx

Aunque la explicación gráfica usa el hecho de Área entre dos curvas. Si f y g son
que ambas curvas quedan sobre el eje x, eso continuas en [a, b] y g(x)  f(x) para
no es necesario y se puede usar el mismo todo x en [a, b], entonces el área de la
integrando  f(x)  g( x) siempre que f y g región limitada por y  f(x) ,
sean continuas y g(x)  f(x) en el y  g(x) , x  a y x  b está dada
intervalo [a, b]. El siguiente teorema resume b

todo esto. por A  a  f(x)  g(x)dx

Ej. Calcular el área entre las gráficas de y  (x  1) 2  3 y y  x 1, 1 x  3

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b 3 3
A   f ( x )  g ( x ) dx   (( x  1) 
 3)  ( x  1) dx   (( x  1) 2  x  2)dx
2

a 1 1
3
 ( x  1) 3 x 2   2 3 32   1  25 3 8
   2 x      2(3)    0   2    
 3 2 1  3 2   2  6 2 3

En este ejemplo, las gráficas no se interceptan y los valores de “a” y de “b” se dan explícitamente.

Otro tipo de estos problemas requiere el cálculo del área de dos gráficas que se interceptan. En
este caso, es necesario calcular primeramente a y b.

Ej. Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de y  4  (x  1) 2 y y  x  1 .

Solución. En este caso, a y b se determinan como los puntos de intersección de las dos gráficas.
Para ello igualamos ambas ecuaciones y resolvemos para x:

x  1  4  ( x  1) 2 
x  1- 4  x2  2x  1  x2  x  2  0 
( x  2)( x  1)  0 
x  1 ; 2

b 2 2
A   f ( x )  g ( x )dx   (4  ( x  1) 
)  ( x  1) dx   (3  ( x  1) 2  x )dx
2

a 1 1
2
 ( x  1) 3
x  2
 1 4  8 1 9
 3 x     6      3    
 3 2  1  3 2  3 2 2

Ecuaciones diferenciales. Es toda ecuación que contenga una derivada. Por ejemplo,

dy dP
 3x 2  5 ;  kP
dx dt

dy dy h(x)
La clase más sencilla de ecuaciones diferenciales tienen la forma  g(x),  .
dx dx g(y)
Estas ecuaciones se resuelven separando las variables, estos es colocando los términos que
contengan “x” con su diferencial de x y los términos de “y” con su diferencial de y.

dy
Ejemplo:  x 2  3x
dx

Separando variables: dy  ( x 2  3 x )dx

1 3 3 2
 dy   ( x  3x )dx  y  x  x  C (solución general)
2
Integrando:
3 2
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dy
Ejemplo:  xy  x y
dx

dy
Separando variables:
y
  x dx

1 2 23
Integrando: 2 y 2  x  C (solución general)
3

Ejemplo. Encuentre la ecuación diferencial que describa la situación: La razón con la cual decrece
la concentración de una droga en el torrente sanguíneo es proporcional a la concentración.

dC
Sol.   k C (t ) ; C(t): concentración del medicamento. K: constante positiva.
dt

Ejemplo. 100 gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una
velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido. La ecuación diferencial
que expresa la velocidad de en el tiempo es:

q: gramos de azucar convertidos

q 100-q: gramos de azucar no convertidos
k: constante de proporcionalidad
100
dq
 k (100  q )
dt

Ejemplo. Dinámica de poblaciones (Thomas Malthus 1798). Se basa en la hipótesis de que la tasa
de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total p (t ) ,
de ese país en cualquier momento t .

dp dp
 p  kp
dt dt

dy 1
Ejemplo.  xy 3 (1  x 2 ) 2 ; con y (0)  1
dx

x
 y 3 dy  
1 x 2
dx

1
CV
u  1  x 2
 ;   1 x2  c
du  2 xdx
2y2

Cuando x  0, y  1  c   32
1 3
Solución:  2
 1 x2 
2y 2
Integrales – Ciencias de la Salud RTZ

Aplicación.
Aplicación. (virus
( de la gripe). Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y
regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que se propaga
el virus es proporcional, no solo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también al la
cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días
después si se observa que a los 4 días hay 50 estudiantes infectados.

X : Cantidad de alumnos infectados.

1000-X : Cantidad de alumnos no infectados

dx
; x (6)  ?
 x ( 0)  1
 kx(1000  x ) ; 
 x ( 4)  50
dt
dx
 (1000  x) x   kdt

1 1
ln x  ln(1000  x)  kt  c
1000 1000

1 1
x(0)  1; ln 1  ln(1000  1)  k 0  c  c   ln 999
1000 1000

1 1
ln x  ln(1000  x )  kt  ln 999
1000 1000

1 999 x
ln  kt
1000 1000  x

1 999 * 50
x ( 4)  50; ln  k * 4 k=0.0009906
1000 1000  50

1 999 x
Por Tanto: ln  0.0009906t
1000 1000  x

999 x 1000e 0.9906t

Si  e 0.9906t entonces x (t ) 
1000  x 999  e 0.9906t

X(0)=1
Por tanto: X(4)=50
X(50)=276 personas.

Aplicación. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa
proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos.
Pasadas 10 horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

Resolución.
Integrales – Ciencias de la Salud RTZ

x : población de lacomunidad en el tiempo t

x 0  Población inicial
t : tiempo en horas
Sean:
dx
 rapidez con la que aumenta la población de bacterias .
dt
k  0 : constante de proporcionalidad

dx dx
 kx   kdt 
dt x
datos
t  3;

t  10
x  400
x  2000 ; Pr egunta t  0; x0  ?

2000 10
dx 2000 10 2000
400 x  k 3 dt  ln x 400
k t 3
 ln
400
 k .(10  3)  k  0.2299

2000 10
dx 2000 10 2000 2000
 x
 k  dt  ln x x0
k t 0
 ln
x0
 k .10 
x0
 e10*k  x0  2000 * e 10*( 0.2299)  202
x0 0

EJERCICIOS PROPUESTOS GRUPO 9

1. Halle las siguientes integrales indefinidas.

 5ds  6u du  3t dt
2 5
a) b) c)
d)  4z e)   7 dx f)   dx
5 2
dz

6 4z 4  4
g)  (6x  5)dx
3
h)  5x 3
dx i)  2z2
dz

 (t  2)(2t w w dw
2 23
j)  3)dt k) l)
 (2s  4) ds
2 2

m)  (x  4)(3x  2)dx  (2  5y) y 

2 2
n) dy o) 3
4 x dx

x  3x  2
2
3x
 e x
5 x
p) dx r) dx s) dx
x 2
1
3x  6
 dx x
6
e1 x dx  3t
5
t) u) v) t 2  8 dx
2 x 2  8x  3

2. Calcule las integrales indefinidas (por partes).

x 1  x dx .  sen
2
a) b) xdx .

x x
2 2
c) sen xdx . d) e 5 x dx .
Integrales – Ciencias de la Salud RTZ

3. Haga un esbozo de la región limitada por las gráficas y calcule el área de esa región.

a) f(x)  x 2  4x

b) f(x)  3  2x  x 2 , g(x)  0

c) y  x, y  2, y 0

d) f(x)  x 2  x, g(x)  2(x  2)

e) y  x 3  2x  1, y  2x, x 1