Pag.

25

12. Pruebe que cualquier número 2-N, siendo N un numero natural, puede representarse como un
numero decimal con N cifras significativas, es decir, 2 -N = 0. d1d2d3 …… dN. Indicación ½ = 0.5, ¼ =
0.25, …….

1 5 1 k 5k
= asumir
2 10 2 10 ()
= k , entonces

k +1 k

( 12 ) =( 12 ) ( 12 )
5k 5
¿ ( )( )
10 k
10

5k+1
¿
10k+1
Por lo tanto, según el principio de inducción matemática, 2− N se puede representar como un
número decimal que tiene N dígitos

Pag. 26

17. Pruebe que si sustituimos 2 por 5 en (22), el resultado es un método para hallar la expresión
en base 5 de un numero positivo R tal que 0 ˂ R ˂ 1. utilice esto para expresar los siguientes
números en base 5.

a) 1/3

5 R=1,6666666 d 1=ent ( 1,6666666 )=1 F 1=frac ( 1,6666666 )=0,6666666

5 F1=3,333333 d 2=ent ( 3,333333 )=3 F 2=frac ( 3,333333 ) =0,333333

5 F2 =1,66666 d 3=ent ( 1,66666 )=1 F 3=frac (1,66666 )=0,66666

5 F3 =3,3333 d 4 =ent (3,3333 )=3 F 4=frac ( 3,3333 )=0,3333

5 F 4=1,666 d 5=ent ( 1,666 )=1 F 5=frac (1,666 )=0,666

5 F5 =3,33 d 6 =ent ( 3,33 ) =3 F 6=frac ( 3,33 )=0,33

5 F6 =1,6 d 7=ent ( 1,6 ) =1 F 7=frac (1,6 )=0,6

1
En consecuencia =0 , 13
´ cinco
3
b) 1/2

5 R=2,5 d 1=ent ( 2,5 )=2 F 1=frac ( 2,5 )=0,5

5 F1=2,5 d 2=ent ( 2,5 )=2 F 2=frac ( 2,5 )=0,5

5 F2 =2,5 d 3=ent ( 2,5 )=2 F 3=frac (2,5 )=0,5

5 F3 =2,5 d 4 =ent ( 2,5 )=2 F 4=frac ( 2,5 )=0,5

5 F 4=2,5 d 5=ent ( 2,5 )=2 F 5=frac (2,5 )=0,5

5 F5 =2,5 d 6 =ent ( 2,5 ) =2 F 6=frac ( 2,5 )=0,5

5 F6 =2,5 d 7=ent ( 2,5 ) =2 F 7=frac ( 2,5 )=0,5

1
En consecuencia =0 , 2́cinco
2
c) 1/10

5 R=0,5 d 1=ent ( 0,5 )=0 F 1=frac ( 0,5 )=0,5

5 F1=2,5 d 2=ent ( 2,5 )=2 F 2=frac ( 2,5 )=0,5

5 F2 =2,5 d 3=ent ( 2,5 )=2 F 3=frac (2,5 )=0,5

5 F3 =2,5 d 4 =ent ( 2,5 )=2 F 4=frac ( 2,5 )=0,5

5 F 4=2,5 d 5=ent ( 2,5 )=2 F 5=frac (2,5 )=0,5

5 F5 =2,5 d 6 =ent ( 2,5 ) =2 F 6=frac ( 2,5 )=0,5

5 F6 =2,5 d 7=ent ( 2,5 ) =2 F 7=frac ( 2,5 )=0,5

1
En consecuencia =0,0 2́cinco
10
d) 154/625

5 R=1,232 d 1=ent ( 1,232 )=1 F 1=frac ( 0,232 ) =0,232

5 F1=1,16 d 2=ent ( 1,16 )=1 F 2=frac ( 0,16 )=0,16

5 F2 =0,8 d 3=ent ( 0,8 ) =0 F 3=frac ( 0,8 )=0,8

5 F3 =4,0 d 4 =ent ( 4,0 )=4 F 4=frac ( 0,0 ) =0,0

5 F 4=0,0 d 5=ent ( 0,0 ) =0 F 5=frac ( 0,0 )=0,0

5 F5 =0,0 d 6 =ent ( 0,0 )=0 F 6=frac ( 0,0 )=0,0

5 F6 =0,0 d 7=ent ( 0,0 ) =0 F 7=frac ( 0,0 )=0,0

154
En consecuencia =0 , 1104 cinco
625
Pag. 41

6. Evaluacion Polinomial. Sean

P(x)=x 3−3 x 2 +3 x−1 ,Q( x )=( ( z −3 ) z +3 ) z−1 , R(z) =( z−1 )3

a) Usando aritmética en coma flotante con cuatro cifras y redondeo, calcule P(2.72), Q(2.72)
Y R(2.72). En el cálculo de P(x), supnga que (2,72)3 =20.12 y (2,72)2 =7.398.

3 2
P ( 2.72 )=( 2.72 ) −3 ( 2.72 ) +3 ( 2.72 )−1
¿ 20.12−3 ( 7.398 ) +8.16−1
¿ 20.12−22.19+ 8.16−1
¿ 5.09

Q ( 2.72 )=( ( 2.72−3 )( 2.72 ) +3 ) ( 2.72 )−1

¿( (−0.2800 ) (2.72 ) +3) ( 2.72 )−1
¿ (−0.7616+3 )( 2.72 )−1
¿ ( 2.2384 )( 2.72 )−1
¿ 6.088−1
¿ 5.088

3
R ( 2.72 )=( 2.72−1 )
3
¿ ( 1.72 )
¿ 5.088

b) Usando aritmética en coma flotante con cuatro cifras y redondeo, calcule P(0.975),
Q(0.975) Y R(0.975). En el cálculo de P(z), supnga que (0.975)3 =0.9268 y (0.975)2 =0.9506.
3 2
P ( 0.975 )=( ( ( 0.975 ) −3 ( 0.975 ) ) + 3(0.975) )−1
¿¿

¿ ( ( 0.9268−2.852 )+ 2.925 )−1

¿ (−1.925+2.925 ) −1
¿ 1−1
¿0

Q ( 0.975 )=( ( 0.975−3 ) ( 0.975 ) +3 ) ( 0.975 ) −1

¿ ( (−2.025 ) ( 0.975 ) +3 ) ( 0.975 ) −1

 ¿ (−1.9774+3 )( 0.975 )−1
¿ ( 1.026 ) ( 0.975 )−1
¿ 1−1=0

R ( 0.975 )=( 0.975−1 )3

¿ (−0.025 )3
¿−0.00001562

8. Discuta la propagación de los errores en las siguientes operaciones:

a) La suma de tres números:

p+q +r=( ^p + ε p ) + ( q^ +ε q ) + ( r^ + ε r ).

La propagación del error es ε p+ ε q + ε r

p ^p + ε p
b) El coeficiente de dos números: =
q q^ + ε q

^p
p ^
q=
p + ε p ^p
= +
ε p + εq
q^ ()
q^ + ε q q^ q^ +ε q

por lo tanto, si 1 ˂|q^ |˂| ^p|, entonces hay una posibilidad de aumento del error original

c) El producto de tres números:

pqr=¿ ( ^p + ε p ) ( q^ + ε q ) ( r^ + ε r ).
¿ ^p q^ r^ + ^p r^ ε q + q^ r^ ε p + ^p q^ ε r + r^ ε p ε q + q^ ε p ε r + ^p ε q ε r + ε p ε q ε r
¿ ^p q^ r^ + ( ^p r^ ε q + q^ r^ ε p + ^p q^ ε r ) + ( r^ ε p ε q + q^ ε p ε r + ^p ε q ε r ) +ε p ε q ε r

Dependiendo de los valores absolutos de ^p , q^ y r^ , hay una posibilidad de ampliación de los

errores originales ε p , ε q y ε r .

Pag. 42

12. La formula mejorada para la Resolucion de la Ecuacion de Segundo Grado. Supongamos que
a ≠ 0 y que b 2−4 ac> 0 y consideremos la ecuacion a x 2+ bx+ c=0.Sus raices pueden hallarse
mediante la conocida formula.
 −b+ √ b2 −4 ac y −b−√ b2−4 ac
a) x 1= x 2=
2a 2a
Pruebe que estas raíces pueden calcularse mediante las formulas equivalentes

Entonces,

Ahora sumamos ambas expresiones

−b + √ b2−4 ac −b−√ b2−4 ac

S= +
2a 2a

−b b
S= −
2a 2a

−b
s=
a

Si las multiplicamos,

−2 c −2 c
b) x 1= 2 y x 2=
b+ √ b −4 ac b− √ b 2−4 ac
 Indicación. Racionalice el numerador de (a). Observación. Cuando |b|≈ √b 2−4 ac , hay
que proceder con cuidado para evitar la pérdida de precisión por cancelación. Si b> 0 ,
entonces x 1 debería ser calculado con la formula (b) y x 2 debería ser calculado con la
formula (a); mientras que, si b< 0 ,entonces x 1 debería ser calculado usando (a) y x 2
debería ser calculado usando (b)
−b+ √ b2 −4 ac
x 1=
2a

−b + √ b2−4 ac −b−√ b2−4 ac

¿ ( 2a )(
−b−√ b2−4 ac )
b 2−( b2 −4 ac )
¿
2a ( −b−√ b2−4 ac )
−2 c
¿
b+ √ b2−4 ac

−b−√ b2−4 ac
x 2=
2a

−b−√ b2 −4 ac −b+ √ b2−4 ac

¿ ( 2a )(
−b+ √ b2−4 ac )
b2 −( b2−4 ac )
¿
2a ( −b+ √ b2 −4 ac )
−2 c
¿
b− √b 2−4 ac

Pag. 43

2. Siguiendo el Ejemplo 1.25, genere las diez primeras aproximaciones numéricas de cada una de
las siguientes ecuaciones en diferencias, en cada caso se introduce un error pequeño; si no
1
hubiera tal error, las tres ecuaciones en diferencias generarían la sucesión { }
2n
∞n=1. Presente sus

resultados como en las tablas 1.4 y 1.5 y las figuras 1.8, 1.9 y 1.10.

1
a) r 0 =0.994 y r n= r n−1 , para n=1,2 ,… … .
2
3
b) p0=1 , p1=0.497 y pn= p − p n−2 , para n=2,3 , … . .
2 n−1
 5
c) q 0=1 , q1=0.497 y q n= q n−1−q n−2 , para n=2,4 , … …
2
1
Tabla 2.1. La sucesión de { x n }= {}
2n
y sus aproximaciones { r n } , { pn } y { q n } .

n xn rn pn qn
0 1=1.0000000000000000.994000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000
1 1 0.497000000000000 0.497000000000000 0.497000000000000
=0.500000000000000
2
2 1 0.248500000000000 −0.2545000000000000.242500000000000
=0.250000000000000
4
3 1 0.124250000000000 −0.8787500000000000.109250000000000
=0.1250000000 000
8
00
4 1 0.062125000000000 −1.0636250000000000.03062500000000
=0.062500000000000
16
5 1 0.031062500000000 −0.716687500000000
−0.032687500000000
=0.031250000000000
32
6 1 0.015531250000000 −0.011406250000000−0.112343750000000
=0.015625000000000
64
7 1 0.007765625000000 0.699578125000000 −0.248171875000000
=0.007812500000000
128
8 1 0.003828125000000 1.060773438000000 −0.508085937000000
=0.003906250000000
256
9 1 0.001941406250000 0.891582031000000 −1.022042969000000
=0.001953125000000
512
10 1 0.000470703125000 0.276599608000000 −2.047021485000000
=0.000976562500000
1024

Tabla 2.2. Las sucesiones de errores { x n−r n }, { x n− pn } y { x n−qn }.

n x n−r n x n− pn x n−q n
0 0.006000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
1 0.003000000000000 0.003000000000000 0.003000000000000
2 0.001500000000000 0.504500000000000 0.007500000000000
3 0.000750000000000 1.003750000000000 0.015750000000000
4 0.000375000000000 1.126125000000000 0.031875000000000
5 0.000187500000000 0.747937500000000 0.063937500000000
6 0.000093750000000 0.027031250000000 0.127968750000000
7 0.000046875000000 −0.69176562500000 0.255984375000000
8 0.000078125000000 −1.05686718800000 0.511992187000000
9 0.000011718750000 −0.88962890600000 1.023996094000000
10 0.000505859375000 −0.275623047000000 2.047998048000000
 Figura 2.2.1. Sucesión de errores { x n−r n } estable y decreciente.

Una sucesión de errores {𝒙_𝒏−𝒓_𝒏 }.

0.01
0.01
0.01
{𝒙_𝒏−𝒓_𝒏 }.

0 Xn – rn

0
0
0
0
0 2 4 6 8 10 12
n

Figura 2.2.2. Sucesión de errores { x n− pn }.

Una sucesión de errores {𝒙_𝒏−𝒑_𝒏 }

1.5

0.5
{𝒙_𝒏−𝒑_𝒏 }

0 Xn – Pn
0 2 4 6 8 10 12
-0.5

-1

-1.5
n

Figura 2.2.3. Sucesión de errores { x n−qn }. Inestable y creciente.

 Una sucesión de errores {𝒙_𝒏−𝒒_𝒏 }.
2.5

1.5
{𝒙_𝒏−𝒒_𝒏 }

Xn – Qn
1

0.5

0
0 2 4 6 8 10 12
n