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UT1T1

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Operación de expresiones algebraicas y reducción de términos.

Expresión algebraica es una representación simbólica en la que intervienen constantes, variables,


operaciones matemáticas (adición, sustracción, división, potenciación y radicación) y símbolos de
agrupamiento.
Ejemplos:
4
5 ; a+b ; x +y ; 26- 4( 3+7) ; (a2 – a)/ (a+b) ; 3+
y
Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Dos
o más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores.
Ejemplo:
3ab (a  + b)( a − 3ab )
-   

Primer término segundo término


Tres factores dos factores

Todo término presenta las siguientes partes:


Coeficiente.- El que precede a la parte literal.
Literal.- Está representada por una o varias letras.
Exponente.- Indica cuantas veces se toma como factor una literal.
exponente
-6 x5 literal

coeficiente

GRADO DE UN TÉRMINO.
Se distinguen dos tipos: relativo y absoluto.
Grado Absoluto (G.A.).- El G.A. de un término está dado por la suma de los exponentes de sus
partes literales.
Grado Relativo.- Con respecto a una letra es el exponente de la parte literal.
Ejemplo:
Sea x2 y3 un término
Grado absoluto: 5º grado
Grado relativo: con respecto a x es de segundo grado
con respecto a y es de tercer grado

POLINOMIOS
Los polinomios se construyen sumando o sustraendo términos de la forma axn , o axn ym , en donde
a pertenece a los números reales y n,m pertenecen a los naturales.
Ejemplos de polinomios con una, dos o más variables se dan a continuación
Con una variable: - x2 + 5x – 6
Con dos variables: 2 x4 - 3y2
Con tres variables: x2 - 3xy + 4yz – 5z2
GRADO DE UN POLINOMIO.
Grado Relativo.- Se da con respecto a una letra y está determinado por el término del polinomio
de mayor grado relativo.
Ejemplo: - 3x3 + 9x -1 3er. Grado en x

Grado Absoluto.- Se da con respecto al término de mayor grado en el polinomio.


Ejemplo: 3x2 y + 6xy – x2 y2 polinomio de 4º grado

Cualquier constante real diferente de cero. Se define como un polinomio de grado cero, también
el cero es un polinomio pero no se le asigna grado alguno.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS.


Monomio.- Polinomio de un solo término
Ejemplos: 7 monomio de grado cero
4
7xy monomio de quinto grado

Binomio.- Polinomio de dos términos.


Ejemplos: 2 – 3x binomio de primer grado
-5(x-3) +5x2 binomio de segundo grado

Trinomio.- Polinomio de tres términos.


Ejemplos: x4 – x2 y2 + y4 trinomio de cuarto grado

Los polinomios de 4 o más términos son llamados multinomios o simplemente polinomios.

TÉRMINOS SEMEJANTES.
Son aquellos términos que son diferentes solo en sus coeficientes numéricos.
Ejemplos: ½ x2 y3 ; 6x2 y3 ; 3 x2 y3 ; x2 y3

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.


Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términos
semejantes y a continuación se escribe la parte literal común.

Ejemplo: 3x2 + 2xy + xy2 – x2 + 4xy2 – 6xy


(3-1) x2 + (2-6) xy + (1+4) xy2
Reduciendo 2x2 – 4xy + 5xy2

CRITERIOS DE LA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de dos polinomios llamados factores N(x) y M(x), tiene por objeto,
determinar un tercer polinomio P(x) llamado producto. Es decir:
N(x) ∙ M(x) = P(x)

Primer Segundo Producto


factor factor
El procedimiento para multiplicar polinomios se basa en la propiedad distributiva:
a ( b + c ) = ab + ac
En la propiedad conmutativa: a (b + c) = (b + c)a
Y en la propiedad de los exponentes: am an = am+n
Ejemplos
a) (3x - 2 ) (2x2 – 5x + 6)
Solución:
Si a = 3x ; b = 2 y c = 2x2 – 5x + 6
( a + b) c = ac + bc
3x (2x2 – 5x + 6 ) - 2(2x2 – 5x + 6) =
aplicando la propiedad distributiva y la primera propiedad de los exponentes
= 6x3 - 15x2 + 18x – 4x2 + 10x -12
reduciendo términos semejantes
= 6x3 - 19x2 + 28x - 12
b) 3x (x + 2y) = 3x2 + 6 xy
c) 2 xy3 2x3 y2 = 2 2 x4 y5
CRITERIOS DE LA DIVISIÓN.
Para dividir polinomios y en general expresiones algebraicas se aplica la propiedad de los
exponentes:
am / an = am-n
Ejemplos:
3 3 4
a) 2 x y / 2 xy
= 2 x y / 2xy4
1/2 3 3

= 2-1/2 x2 y-1
b) 3x (x + y) / 6 y (x + y )2
= 3x (x + y) / 2∙ 3 y (x + y)2
= x / 2 y (x + y)

DIVISIÓN SINTETICA O REGLA DE RUFFINI.


La división sintética conocida también con el nombre de Regla de Ruffini, ha sido diseñada,
como método, para facilitar el cálculo del cociente y el residuo cuando un polinomio P(x) se
divide en otro polinomio de primer grado de la forma (x-a).

Ejemplo 1. Hallar por división sintética el cociente y el residuo de:


( 2x2 + 7x -5 ) / (x + 3)
Para hallar el cociente y el residuo por división sintética se procede de la siguiente manera:
P1. Se omite la variable en el dividendo para trabajar únicamente con los coeficientes, en el
divisor se trabaja con el opuesto del término independiente.
2 7 -5
-3
P2. El primer coeficiente del dividendo se lleva debajo de la línea horizontal como el primer
coeficiente del cociente.
2 7 -5
-3

2
P3. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por el divisor colocando el producto debajo
del segundo coeficiente del dividendo y sumándolos para obtener el segundo coeficiente del
cociente.
2 7 -5
-3 -6
2 1

P4. Se multiplica el segundo coeficiente del cociente por el divisor colocando el producto debajo
del tercer coeficiente del dividendo y sumándolos para obtener el residuo por ser la última
columna.
2 7 -5
-3 -6 -3

2 1 -8

Terminando el proceso, los coeficientes resultantes representan los términos del cociente el cual
tendrán un grado menor al polinomio del dividendo.
Cociente: 2x – 1
Residuo: -8

Ejemplo 2. Hallar por división sintética el cociente y el residuo de


(2x3 + 7x - 5) / ( x + 3)
Solución: el dividendo debe ser un polinomio completo por lo que se deben escribir los
coeficientes que hacen falta

2 0 7 -5

-3 -6 18 -75

2 -6 25 -80

residuo
Cociente: 2x2 - 6x + 25
Residuo: -80

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