18 de mayo 2021

Universidad Nacional de Moquegua

TAREA MODELO # 3
Curso: Beneficio de minerales
Profesor: Diógenes Alberto Uceda Herrera

Función Gates – Gaudin – Schuhmann

Objetivos
 Comparar la solución de ajuste lineal, entre el método de mínimos cuadrados y la gráfica en Excel.
 Graficar x’ vs. y’
 Obtener la función de Gates – Gaudin – Schuhmann.
 Calcular F(80)
 Calcular el porcentaje de lamas en malla -400
Ejemplo 1:
1° Utilizando la función de Gates – Gaudin – Schuhmann (G-G-S):
m
x
F ( x )=100
k( ) …(1)
2° Tomando logaritmos a ambos miembros de la ecuación (1) para hallar las constantes:

log ( F ( x ) )=log 100+ m log ⁡ ( xk )

log ( F ( x ) )=log 100+ m log x−m log k
Ordenando convenientemente para dar forma de una ecuación lineal:
100
log ( F ( x ) )=mlog x +log ⁡
( )km
…( 2)

y ' =m x' +b
Dónde:

y ' =log ( F ( x ) )
x ' =log x

b=log ⁡
( 100k )
m

3° Calculando los valores de “m” y “b”:

3.1) Por el método de mínimos cuadrados:
 N ( ∑ x ' y ' ) −( ∑ x' ) ( ∑ y ' )
m= 2
… (3)
N ( ∑ x ' 2 )−( ∑ x ' )

( ∑ x' 2 ) ( ∑ y ' ) −( ∑ x' ) ( ∑ x ' y ' )

b=cte= 2
…(4 )
N ( ∑ x ' 2) −( ∑ x' )
3.1.1) Cálculo de “N” y de las sumatorias:
N=9
x' y'

% en peso % en peso
Abertura Peso Porcentaje en
Malla
(x) (g) peso
acumulado acumulado x'y' x'^(2)
retenido G(x) pasante F(x) log x log F(x)

+ 14 1168 5.1 1 1 99 3.067 1.996 6.121 9.409

+ 20 833 22.5 4.5 5.5 94.5 2.921 1.975 5.770 8.530
+ 28 589 32.5 6.5 12 88 2.770 1.944 5.386 7.674
+ 35 417 42.8 8.6 20.6 79.4 2.620 1.900 4.978 6.865
+ 48 295 45.3 9.1 29.7 70.3 2.470 1.847 4.562 6.100
+ 65 208 45.6 9.2 38.9 61.1 2.318 1.786 4.140 5.373
+ 100 147 47.2 9.5 48.4 51.6 2.167 1.713 3.712 4.697
+ 150 104 35.2 7.1 55.5 44.5 2.017 1.648 3.325 4.068
+ 200 74 30.7 6.2 61.7 38.3 1.869 1.583 2.959 3.494
-200   22.220 16.393 40.953 56.211
493.720
3.1.2) Reemplazando en las ecuaciones (3) y (4):
9∗( 40.953 ) −( 22.220 )∗( 16.393 )
m=
9∗( 56.211 )−( 22.220 )2
4.32454
m= =0.3561
12.1706

(56.211 )∗( 16.393 )− ( 22.220 )∗( 40.953 )

b=
9∗( 56.211 )−( 22.220 )2
11.491263
b= =0.9422
12.1706
3.2) Por el ajuste lineal con EXCEL: seleccionando las columnas x’ - y’, yendo a insertar (insertar grafica),
agregar línea de tendencia y R.
 Función de G-G-S (log)
2.500

Función de G-G-S (log)

2.000 f(x) = 0.36 x + 0.94
y' Linear (Función de G-G-S (log))
R² = 0.98

1.500
1.500 2.000 2.500 3.000 3.500
x'

De acuerdo a la gráfica:
m= 0.3561
b= 0.9422
4° Calculando “k”:
De la ecuación (2) despejando “k”:

100
k =m
√ 10b
Reemplazando los valores de “m” y “b”, tenemos:

100
k =0.3561
√ 10 0.9422
k =934.0701
5° Finalmente reemplazando en la ecuación (1), tenemos la Función G-G-S:
0.356
x
F ( x )=100 ( )
934
6° Calculando F (80):
0.356
x
80=100 ( )
934
x=499.03u
7° Calculando el porcentaje de lamas en malla -400:
 0.356
37
F ( x )=100 ( )
934
F ( x )=31.68 %
Conclusiones:
 Después de ver los resultados de ajuste lineal por ambos métodos observamos que los valores de “m” y “b”
son iguales, así pues depende de nosotros usar el método que sea más rápido.
 La gráfica de x’ vs. y’ tiene un R = 0.9764, lo que significa que la ecuación lineal es confiable para utilizar.
 El resultado de la función de G-G-S, es:
0.356
x
F ( x )=100 ( )
934
Donde el tamaño de malla máximo es 934.
 Al calcular el F(80), decimos: para que el porcentaje en peso acumulado pasante sea 80%, la malla debe
tener una abertura de 499 u aproximadamente.
 El porcentaje de lamas que pasará por una malla de -400 será solo el 31. 68%
INTRODUCCIÓN
El análisis granulométrico de un material (suelo, roca y/o mineral) es una herramienta comúnmente empleada para
caracterizar las distribuciones de tamaño de las partículas que lo componen. La importancia de dichos análisis recae
en su aplicabilidad en la optimización de procesos en la industria, debido a los requerimientos de separación de
elementos para su posterior tratamiento y/o beneficio que permiten la extracción eficiente de los minerales. Además,
una buena caracterización del material y la determinación del tamaño óptimo de éste, permiten una reducción de
costos en la energía utilizada en la planta de beneficio, al igual que una maximización de la productividad en el
tratamiento de los minerales. Por estas razones, el aprendizaje de los métodos para realizar dicho análisis y la buena
interpretación de los resultados obtenidos se hacen necesarios para su posterior uso en la industria en general,
reconociendo el alcance de la caracterización de sistemas particulados en la obtención de minerales.

1. OBJETIVOS.

1.1 Objetivo general.

El objetivo de la práctica es realizar un análisis granulométrico por tamizado, con el fin de determinar el
porcentaje de masa acumulado en cada uno de los tamices utilizados respecto a la masa de la muestra
inicial, hecho que finalmente permite determinar el mejor modelo que representa la DTP (Distribución de
Tamaño de Partículas).

1.2 Objetivos específicos.

 Conocer los instrumentos y métodos más utilizados para realizar las técnicas de muestreo y
análisis granulométricos.
 Graficar e interpretar la curva granulométrica resultante de los datos obtenidos.
 Estudiar, utilizar e interpretar los dos modelos (funciones de distribución de tamaño) más
empleados en el procesamiento de minerales: Función de distribución de Gates – Gaudin –
Schuhmann y Función de distribución Rosin –Rammler.
 Calcular y analizar las diferentes variables requeridas (tamaño máximo de la distribución, tamaño
promedio, varianza, entre otros) e identificar las posibles causas de error de la práctica.

2. MONTAJE EXPERIMENTAL Y PROCEDIMIENTO.

 Uno de los puntos más importantes al momento de realizar las prácticas en el laboratorio es realizar un correcto
montaje experimental que permita ejecutar de una manera más sencilla el procedimiento planteado; de igual
forma, el conocimiento acerca de los equipos e instrumentos a emplear favorece el adecuado uso y manejo de
éstos, evitando de esta manera que se cometan errores que puedan afectar las medidas y resultados
experimentales.
A continuación se mencionan los equipos utilizados durante la práctica de laboratorio:

 Juego de tamices TYLER

 Balanza
 Cepillo
 Agitador mecánico tipo Ro - Tap.
 Cuarteador de riffles tipo Denver.

El procedimiento utilizado durante la práctica está dividido en cuatro etapas principales:

 Muestreo: Inicialmente se obtiene una fracción pequeña, lo más representativa posible, de la

muestra total que interesa analizar (muestra aurífera de Segovia, Antioquia); para este paso
empleamos un cuarteador de riffles tipo Denver, el cual es un equipo mecánico formado por una
serie de partidores por los que se hace pasar el mineral con el fin de obtener el volumen deseado,
el cual representa de una manera fehaciente la granulometría del mineral.
 Tamizaje: Se ordenan los tamices de manera decreciente según el tamaño de la abertura de la
malla (tamices acoplados en cascada). Para la práctica se utilizaron las mallas: 6, 8, 10, 20, 30, 40,
50, 80, 100, 120 y 200. Posteriormente depositamos la muestra a analizar sobre el primer tamiz, es
decir, aquél de abertura de malla mayor. Luego, llevamos el montaje de los tamices al Ro-Tap
para someterlo a un movimiento rotatorio excéntrico horizontal y otro vertical durante
aproximadamente cinco minutos, con el fin de que las partículas tengan mayor facilidad para pasar
a través de los tamices según su tamaño.
 Peso del material retenido en cada malla: Al finalizar la operación en el Ro – Tap se desmontan
los tamices cuidadosamente (intentando evitar pérdidas de la muestra), se separa el material
retenido en cada uno de ellos con ayuda del cepillo y se pesa de manera individual en la balanza,
para determinar las fracciones resultantes según los tamaños de partícula.
 Cálculos y análisis: Se realizan los cálculos necesarios para la elaboración de tablas y obtención
de resultados del análisis granulométrico; de igual forma, se realiza el balance de masa para
determinar el error de medida en el proceso e identificar las posibles causas de éste.

3. REPORTE DE DATOS Y RESULTADOS OBTENIDOS.

3.1 Representación de Distribución de Tamaños de Partículas (DTP).
Los datos obtenidos al realizar el procedimiento mencionado anteriormente a una muestra aurífera
representativa de 841,7 g, se presentan a continuación en la Tabla 1:
TABLA DE DATOS
Fracción de
Tamaño Peso Fracción de Fino Fracción de Retenido
Malla Peso
(μm) Retenido (g) Acumulado F(X) Acumulado R(X)
Retenido f(x)
-6 3360 0 0 1 0
-6/+8 3360 89,9000 0,1102 1 0
-8/+10 2380 89,2000 0,1094 0,8898 0,1102
-10/+20 1680 128,8000 0,1579 0,7804 0,2196
-20/+30 841 61,3000 0,0752 0,6225 0,3775
-30/+40 595 21,3000 0,0261 0,5473 0,4527
-40/+50 420 34,9000 0,0428 0,5212 0,4788
-50/+80 297 41,1000 0,0504 0,4784 0,5216
-80/+ 100 177 26,4000 0,0324 0,4280 0,5720
 -100/+120 149 26,2000 0,0321 0,3957 0,6043
-120/+200 125 70,9000 0,0869 0,3635 0,6365
-200/Fondo 74 225,6000 0,2766 0,2766 0,7234
Fondo 0 1
Total 815,6000 1  
Tabla 1. Datos y resultados obtenidos.

3.2 Evaluación de los modelos de distribución.

3.2.1 Modelo de Schuhmann

Schuhmann plantea la siguiente función para una Distribución de Tamaños de Partícula (DTP).

n
x
F ( x )=
( )
K sch

n : Parámetro de distribución
K Sch :Constante de Schuhmann(Parámetro de Tamaño , tamaño característico)
x :Tamaño de partícula

Para utilizar el modelo de Schuhmann se gráfica Log(F(x)) vs Log(x), con el propósito de linealizar la
ecuación en el segmento más recto y encontrar los parámetros de tamaño y distribución de la función
de DTP.

Log(xi) Log(F(xi))
3,526339277 0
3,376576957 -0,05070759859
3,225309282 -0,1076827393
2,924795996 -0,2058606442
2,774516966 -0,2617745519
2,62324929 -0,282995593
2,472756449 -0,320208829
2,247973266 -0,368556231
2,173186268 -0,4026339497
2,096910013 -0,4394955848
1,86923172 -0,5581478242

log ( F ( x ) )=n log ( x )−n log ( K sch )

De la gráfica obtenemos la ecuación:

log ( F ( x ) )=0,3077 log ( x ) −1,0925

En donde n=0,3077 y n log ( K ¿¿ sch)=1,0925 ¿

1,0925 1,0925
n
K sch =10 =10 0,3077 =3552,52 μm
Así, la función de distribución según Schuhmann es:

x n 0,3077
x
F ( x )= ( ) (
K sch
=
3552,52 )

MODELO DE SCHUHMANN
0
1.5 2f(x) = 0.312.5
x − 1.09 3 3.5 4
-0.1 R² = 0.99

-0.2
Log(F(x))

Log(F(x))
-0.3 Moving average (Log(F(x)))
Linear (Log(F(x)))
-0.4

-0.5

-0.6

Log(X)

3.2.2 Modelo de Rosin- Rammler

La función de distribución en este modelo está dada por:
m
x

F ( x )=1−e
( K )
−
RR

M : Parámetro de distribución
K RR :Constante de Rosin−Rammler( Parámetro de Tamaño , tamaño característico )
x :Tamaño de particula

Para utilizar el modelo de Rosin- Rammler se gráfica Ln(Ln(1/(1-F(x))) vs Ln(x), con el propósito de linealizar la
ecuación en el segmento más recto y encontrar los parámetros de tamaño y distribución de la función de DTP.

1
( 1−F ( x ) ))=mLn ( x )−mLn ( K
ln ln( RR )

1
Ln(xi)
((
ln ln
1−F ( x ) ))
7,774855767 0,7909353704

7,426549072 0,4160407018

6,73459166 -0,02615435236

6,388561406 -0,2325304399

6,040254711 -0,3058836469

5,693732139 -0,4294695199
 5,176149733 -0,582292468

5,003946306 -0,685805168

4,828313737 -0,7945801724

4,304065093 -1,127650981

Rosin-Rammler
1

0.5 f(x) = 0.49 x − 3.22

R² = 0.97
Ln(Ln(1/(1-F(x))))

0 Ln(Ln(1/(1-F(X))) vs Ln(x)
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
Linear (Ln(Ln(1/(1-F(X))) vs
Ln(x))
-0.5

-1

-1.5

Ln(x)

De la gráfica obtenemos los datos suficientes para hallar el parámetro de distribución y de tamaño:
1
((
ln ln
1−F ( x ) ))
=0,4916 ln ( x ) −3,2163

En donde m=0,4916 y m ln ( K ¿¿ RR)=3,2163 ¿

3,2163 3,2163
m
K RR=e =e 0,4916 =694,0293 μm

Así la función de distribución, según el modelo de Rosin-Rammler queda definida:

m
x x 0,4916

F ( x )=1−e
( K )
−
=1−e
−(
694,0293 )RR

De acuerdo con lo obtenido en ambos modelos, es apreciable que el que presenta una mejor aproximación es el
modelo de Schuhman ya que al momento de graficar la línea de tendencia de la parte recta de la distribución, esta
2
evidencia una mayor exactitud con respecto al modelo de Rosin-Rammler ( R Rosin−Rammler < R 2Schuhmann).

4. CÁLCULOS DEL D80, D50 Y D25.

Se define el d n como el máximo tamaño de partícula que posee el n% de la distribución, osea, el n% de las
partículas de la distribución tienen un tamaño menor al d n .Para calcular el d80, d25 y d50 se procede a reemplazar
en el modelo de Schuhmann los valores de 0,8; 0,5 y 0,25 respectivamente.
x n 0,3077
x
F ( x )= ( ) (
K sch
=
3552,52 )
 4.1 Cálculo del d80.
0,3077
x
0,8= ( 3552,52 )
x
log ⁡(0,8)=0,3077 log ( 3552,52 )
log ⁡(0,8)
=log ( x )−log ⁡(3552,52)
0,3077
log⁡(0,8 )
+log ⁡( 3552,52)
0,3077
x=10 =1720,23 μm
x=1720,23 μm
4.2 Cálculo del d50.
0,3077
x
0,5= ( 3552,52 )
x
log ⁡(0,5)=0,3077 log ( 3552,52 )
log ⁡(0,5)
=log ( x )−log ⁡(3552,52)
0,3077
log⁡(0,5)
+log ⁡(3552,52)
0,3077
x=10 =373,43 μm
x=373,43 μm
4.3 Cálculo del d25.
0,3077
x
0,25= (
3552,52 )
x
log ⁡(0,25)=0,3077 log ( 3552,52 )
log ⁡(0,25)
=log ( x )−log ⁡(3552,52)
0,3077
log⁡(0,25)
+log ⁡(3552,52)
0,3077
x=10 =39,25 μm
x=39,25 μm
Ejercicio tarea de Gates – Gaudin – Shuhmann y Rosin - Rammler:

 Graficar e interpretar la curva granulométrica resultante de los datos obtenidos.

 Estudiar, utilizar e interpretar los dos modelos (funciones de distribución de tamaño) más empleados en el
procesamiento de minerales: Función de distribución de Gates – Gaudin – Schuhmann y Función de
distribución Rosin –Rammler.
 Calcular D80, D50 Y D25 utilizando el modelo de Schuhmann.

Usando la información de la tabla siguiente. Utilizando la función de Gates – Gaudin – Schuhmann (G-G-S), estimar
los parámetros x, k y m de la función:
m
x
F ( x )=100 ()
k
m
x
Lo mismo que los parámetros de Rosin Rammler
F ( x )=1−e
(−
K )RR

Datos:

Numer
Abertura
o
en Peso
de
mirones retenido
malla
(x)
Tylor

+28 590 6.3

+35 420 6.8

+48 297 15.6

+65 210 15.8

+100 149 17.1

+150 105 10.2

+200 74 5.7

-200