CINEMATICA

MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTANTE

OBJETIVO.-

Determinar la aceleración constante con las relaciones posición, velocidad ambas

en función del tiempo.

TEORIA.-

Definición de aceleración:
La aceleración es la razón entre el cambio de velocidad y el intervalo en que esta
ocurre:

           

A partir de esta definición, se desprende el valor de la velocidad en cualquier

instante:

Definición velocidad media

Supongamos dos atletas que parten simultáneamente desde la meta. El atleta 1,

parte con velocidad inicial nula y acelera (es decir, aumenta su velocidad en cada
segundo que pasa) hasta llegar a la meta.

Otro atleta imaginario, el atleta 2, parte con una cierta velocidad y la mantiene
constante durante todo el trayecto hasta llegar, al mismo tiempo que el atleta
anterior, a la meta.

La velocidad del segundo atleta se denomina velocidad media. Este recorre la

misma distancia que el primero en el mismo tiempo. Esta es la definición de la
velocidad media.

En la velocidad media renunciamos a saber los detalles del movimiento, sólo nos
interesa la distancia que recorrió y el tiempo empleado. No se indica si el móvil se
detuvo y por cuánto tiempo lo hizo. De esta manera la velocidad media está
relacionada directamente con un tramo y un tiempo específico.

La distancia recorrida por cada uno de los atletas es la misma. En un gráfico

velocidad versus tiempo, el área bajo la curva representa la distancia recorrida. Si
suponemos, por ser más simple, que el atleta 1 tenía una aceleración constante,
el área encerrada por ambas velocidades debe ser la misma.

La situación se ilustra en la figura . El área del rectángulo

de lados y T, es la misma que aquella del triángulo de

altura y base T.

Si consideramos un caso más general en el cual la velocidad inicial del móvil no

es nula, entonces esta expresión se transforma en:

En los pasos siguientes usaremos , además denominaremos

Usando estas convenciones, podemos escribir la velocidad media como:

De acuerdo a la definición de la velocidad:

donde podemos identificar , como indicamos anteriormente, xf = x(t)

donde estamos usando .

La expresión para x(t) obtenida en la línea anterior y la expresión de la velocidad

en función de la aceleración y el tiempo es todo lo que

se necesita para resolver un problema de cinemática en una dimensión con
aceleración constante.

A partir de las dos expresiones obtenidas anteriormente:

es posible despejar (o eliminar) y obtener una expresión que es muy útil en la

resolución de algunos problemas. A continuación despejamos
Si despejamos de la expresión (1) y la introducimos en (2), se obtiene:

Sumando y restando con cuidado, se obtiene:

Velocidad instantánea

Hemos definido la velocidad media, y la hemos definido intuitivamente. Hemos

trazado el vector que va desde la posición inicial a la posición final, cuya dirección
siempre coincide con la cuerda que une esos dos puntos. Si hacemos cada vez
más breves los intervalos de tiempo, la dirección de las cuerdas, y en
consecuencia las de los vectores desplazamiento, se van aproximando a la
dirección de la tangente a la trayectoria. Si pretendemos determinar la velocidad
del móvil en un instante preciso, que denominaremos velocidad instantánea en

el instante , observamos que su dirección coincidirá con la de la tangente

a la trayectoria en cada instante.

Y podremos calcular la velocidad en un instante :

y en consecuencia:

o lo que es igual :
La velocidad instantánea es una magnitud vectorial cuya dirección coincide
siempre con la de la tangente a la trayectoria y su sentido el del movimiento. Al
módulo se le llama rapidez, que es una magnitud escalar.

En el S.I. el módulo se mide en , aunque en la práctica en la Europa

continental se hable más frecuentemente de .

Ese módulo se obtendrá hallando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

de sus componentes, es decir:

Podremos particularizar para los movimientos más estudiados en este curso, que
son los movimientos sobre la recta o sobre un plano. De ese modo:

MATERIAL Y EQUIPO.-

*Carril con colchón de aire.

*Móvil

*Bomba de aire

*Sensor de movimiento

*Interface (equipo Vernier)

*Polea

*Porta pesas

*Imán de retención

*Generador de chispas

*Banda elástica

*Hilo

*Cinta metálica

PROCEDIMIENTOS DE TOMA DE DATOS.-

Para la toma de datos de esta práctica primero debemos de asegurarnos de que
el equipo esté bien armado.

1ºColocar el detector de movimiento en el extremo del carril, en línea recta con el

desplazamiento del móvil.

2ºRevisar que mientras el móvil se desplaza, se encuentre siempre en línea recta

con el detector de movimiento.

3ºConectar un gancho al móvil y unirlo mediante un hilo a la porta pesas.

4ºDejamos encendido el generador de chispas con una frecuencia de 10 Hz.

5ºDejamos de que el móvil se mueva (apagamos el imán eléctrico) y vemos qué

acelera.

6ºDespues de que el móvil recorrió todo el trayecto del carril, paso a medir las
chispas marcadas por el generador cuando el móvil estaba en movimiento.

7ºPeso las masas tanto de móvil como de la porta pesas.

8ºNos dicto a cada grupo las distintas posiciones que se obtuvo en los tiempos
marcadas por el detector de movimiento; también las mas del móvil y porta pesas.

DATOS.- Los datos que obtuvimos en la práctica son:

n t[s] x[cm] Masas:

1 0 0
2 0.1 0.15 1.-Masa del móvil: 92.04 g
3 0.2 0.5
4 0.3 1.2 2.-Masa de la porta pesas: 4.01 g
5 0.4 2.45
M = m1 +m2= 96.06 g
6 0.5 4.05
CALCULOS Y GRAFICOS.-

A.Análisis posición- tiempo

Tabla #1
n t[s] x[cm]
1 0 0
2 0.1 0.15
3 0.2 0.5
4 0.3 1.2
5 0.4 2.45
6 0.5 4.05
Grafico # 1 Posición-Tiempo

x(cm)

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
t(s)

Para la grafica se asume como modelo:

y = a xb

Determine la relación funcional x-t usando el método de los mínimos cuadrados

(MMC)

Parámetros y coeficientes de correlación

No se puede usar MMC curvas es necesario hacer un cambio de variable

a “t” lo elevamos al cuadrado t 2

n t 2[ s2] x[cm]
1 0 0
2 0.01 0.15
3 0.04 0.5
4 0.09 1.2
5 0.16 2.45
6 0.25 4.05

X= A+ Bt= elevando al cuadrado t es X= A+

Bt 2

2 i 2
n x y xy x y di di

1 0 0 0 0 -0.092 -0.092 0.0085

2 0.01 0.15 0.0015 0.0001 0.07 0.08 0.0064

3 0.04 0.5 0.02 0.0016 0.55 0.05 0.0025

4 0.09 1.2 0.108 0.0081 1.36 0.16 0.0256

5 0.16 2.45 0.392 0.0256 2.5 0.05 0.0025

6 0.25 4.05 1.0125 0.0625 3.958 0.092 0.0085

∑x ∑y ∑ xy ∑ x2 ∑ di2
0.55 8.35 1.534 0.0979 0.05392

∑ y · ∑ x2 −∑ xy · ∑ x (8.35 x 0.0979)−(0.55 x 1.534) 0.8174−0.8437

A= = = = -0.092
n ·∑ x 2−(∑ x)2 0.2849 0.2849

n ·∑ xy −∑ x · ∑ y 6 ( 1.534 )−(0.55 x 8.35) 9.204−4.5925

B= 2 2 = = =16.2
n · ∑ x −(∑ x ) 0.2849 0.2849

y l= A + Bt
1 y l= -0.092+ 16.2 (0)= -0.092

2 y l= -0.092+ 16.2 ( 0.01)= 0.07

3 y l= -0.092+ 16.2 (0.04 )= 0.55

4 y l= -0.092+ 16.2 (0.09)= 1.36

5 y l= -0.092+ 16.2 (0.16)= 2.5

6 y l= -0.092+ 16.2 (0.25)= 3.958

di= y - y l

1 di= 0-0.092= −0.092

2 di= 0.15- 0.07= 0.08

3 di=0.5-0.55= -0.05

4 di= 1.2-1.36= -0.16

5 di=2.45-2.5=-0.05

6 di=4.05-3.958=0.092

1 di 2= 0.008464

2 di 2=0.0064

3 di 2=0.0025

4 di 2=0.0256

5 di 2=0.0025

5 di 2=0.0025

6 di 2=0.00846
Calculo de los errores de los parámetros

∑ x2 · σ 2 n · σ2
σ A=
√ ∆
=0 . 068 σ B=
√ ∆
=0 .53

2 ∑ d i2
∆=n · ∑ x2 −( ∑ x )2 =0 .2849 σ = =0.01398
n−2

Con dichos parámetros la relación funcional x-t es:

Ecuación 2 X = 16.2t2

Tabla # 2

n Log [t] Log [x]

1 -1 -0.8239
2 -0.699 -0.3
3 -0.5229 0.0792
4 -0.3979 0.3892
5 -0.30103 0.61
6

Grafico # 2 log(x)- log(t)

Log x
 0.8

0.6

0.4

0.2

0
-1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2
-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
log t

Determine los parámetros a y b

A= 1.2

a= 10 A =15.8

Δlogx 0.3892−0.0792
B= = =2.15
Δ logt −0.3979+0.5229

B=b

b= 2

Con estos resultados la relación funcional x=x(t) es:

Ecuación 3 X= 15.8t 2

Compare este resultado con el obtenido por el MMC.

Comente esta comparación: El resultado del método MMC es más preciso ya se

usa la calculadora y el método grafico no es tan correcto porque depende de él
grafico para el parámetro A.

Determinación de la aceleración:
 1 ¿
a c =¿ a
2

1
2. - X = a ct2 X = 16.2t2
2

a ¿=¿ 2a c a ¿=¿ 32.4

1
3. - X = a ct2 X= 15.8t 2
2

a ¿=¿ 2a c a ¿=¿ 31.6

El valor obtenido para la aceleración es:

De la ecuación 2 a ¿=¿ 32.4 (cm/ s2)

De la ecuación 3 a ¿=¿ 31.6 (cm/ s2)

B. Análisis “velocidad-tiempo”

Δxi= xi - x i−1

Δti= ti - t i−1= Δt

Δt= 0.1 [s]

La velocidad media está definida por:

Δ⃗
xi
v́i=
Δti

Con estas indicaciones llene la tabla # 3

Tabla # 3

n X[cm] t[s] Δx[cm] Δt[s] V=Δx/Δt[cm/s]

1 0 0 …….. ....... ……..

2 0.15 0.1 0.15 0.1 1.5

3 0.5 0.2 0.35 0.1 3.5

4 1.2 0.3 0.7 0.1 7

5 2.45 0.4 1.25 0.1 12.5

6 4.05 0.5 1.6 0.1 16

Grafica # 3 velocidad en función del tiempo

V[cm/s]

18
16
16
14
12.5
12
10
8 7
6
4 3.5

2 1.5

0
1 2 3 4 5
t [s]

Tabla # 4 velocidades instantáneas

n t [s] V[cm/s]
1 0 0
2 0.05 1.5 V1= ´ para todas las velocidades
v1
3 0.15 3.5
4 0.25 7
5 0.35 12.5
6 0.45 16
Para t`1 = t1/2 = 0

Para t`2=(t1+t2)/2= 0.05

Para t`3= (t2+t3)/2= 0.15

Para t`4=(t3+t4)/2=0.25

Para t`5= (t4+t5)/2= 0.35

Para t`6=(t5+t6)/2= 0.45

Grafica # 4 velocidad instantánea

V[cm/s]

18

16

14

12

10

0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
t [s]

La grafica # 4 sugiere para v = v(t) el modelo:

V= A+ B t

A partir de dicha grafica determine los parámetros A y B.

A= 0

Δ v 16−12.5
B= = =35
Δ t 0.45−0.35

Con lo que la relación funcional de v=v(t) será:

 V= 0+ 35t ecuación 4

Confirme la ecuación (4) usando MMC.

Parámetros y coeficientes de correlación

n x y xy x2 yi di di 2
1 0 0 0 0 -0.76 -0.76 0.577

2 0.05 1.5 0.075 0.0025 1.045 0.155 0.024

3 0.15 3.5 0.525 0.0225 4.655 1.155 1.33

4 0.25 7 1.75 0.0625 8.265 1.265 1.6

5 0.35 12.5 4.375 0.1225 11.875 0.625 0.391

6 0.45 16 7.2 0.2025 15.48 0.52 0.27

∑x ∑y ∑ xy ∑ x2 ∑ di2
1.25 40.5 13.9 0.412 4.192

∑ y · ∑ x2 −∑ xy · ∑ x (40.5 x 0.412)−(13.9 x 1.25) 16.685−17.375

A= 2 2 = = = -0.76
n ·∑ x −(∑ x) 0.91 0.91

n ·∑ xy −∑ x · ∑ y 6 ( 13.9 )−( 1.25 x 40.5) 83.9−50.6

B= = = =36.1
n · ∑ x 2−(∑ x )2 0.91 0.91

y l= A + Bx

1 y l= -0.76 + 36.1 (0)= -0.76

2 y l= -0.76 + 36.1 (0.05)= 1.045

3 y l= -0.76 + 36.1 ¿ 0.15)= 4.655

4 y l= -0.76 + 36.1 (0.25)= 8.265

5 y l= -0.76 + 36.1 (0.35)=11.875

6 y l= -0.76 + 36.1 (0.45)= 15.48

di= y - y l

1 di= 0-0.76= −0.76

2 di= 1.5-1.045= 0.155

3 di=3.5-4.655= -1.155

4 di= 7-8.265= -1.625

5 di=12.5-11.875 =0.625

6 di= 16-8.15.48= 0.52

1 di 2=0.577

2 di 2=0.024

3 di 2=1.33

4 di 2=1.6

5 di 2=0.391

6 di 2=0.27

Calculo de los errores de los parámetros

∑ x2 · σ 2 n · σ2
σ A=
√ ∆
=0 .69 σ B=
√ ∆
=2. 63

2 2 2 ∑ d i2
∆=n · ∑ x −( ∑ x ) =0 . 91σ = =1.048
n−2
Con estos parámetros escriba la relación funcional v = v (t) es:

V=-0.76 + 36.1t despreciando A ecuación 5

V =36 .1 t

La interpretación física de los parámetros de la ecuación (5) es:

R.-Que parte de A= -0.76 siendo este su punto de inicio, con una aceleración
constante para diferentes tiempos.

De acuerdo a la ecuación (4) y (5) la aceleración (a ¿ ¿ del movimiento es:

De la ecuación (4) a ¿=35 [cm/ s2]

De la ecuación (5) a ¿=36.1 [cm/ s2]

¿Cómo son los valores de la aceleración obtenidas, por el análisis x-t y por el
análisis v-t, si existe diferencia entre estos resultados a que se debe dicha
diferencia?

R.-Los valores obtenidos no son casi iguales pero hay una diferencia mínima,
debido a que hayamos con deferentes funciones como ser x-t su aceleración es
32,4 [cm/ s2] es menor a la de v-t es 36.1 [cm/ s2]

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

CARRERAS: ING. ELECTROMECANICA

ING. QUIMICA
 PRATICA # 5

CINEMATICA
MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTANTE

GRUPO: AGUILA MURIEL DIMAS ELTON JOHN

CAMACHO VERDUGUEZ GINO OMAR

CUELLAR OJOPI DAYANA

ORTIZ ROCA ADRIANA NADINE

DOCENTE: ING. JUAN CARLOS VARGAS P.

FECHA DE ENTREGA: 08/06/2010

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/cinematica/cin010.htm

http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?
title=Concepto_de_velocidad#Velocidad_instant.C3.A1nea