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    Sismica

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    Este documento presenta tres casos de ecuaciones de movimiento para sistemas de rigidez combinada. También incluye ecuaciones de movimiento y frecuencia para vigas con diferentes condiciones de apoyo y carga, y describe el proceso para obtener la matriz de rigidez de un marco de dos dimensiones.

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    Ingeniería Sísmica.

    Tarea 3. Ecuaciones de movimiento de S1GL


    Profesor: Dr. Eber Alberto Godínez
    Domínguez

    1. Determine la rigidez efectiva de los sistemas combinados y escriba


    las correspondientes ecuaciones de movimiento.

    x(t) x(t)
    k1 k1 k2
    mF( t) mF( t)

    k2

    Caso a) Caso b)

    x(t)
    k1 k3
    m F(t)

    k2
    Caso c)

    Caso A
    Determinación de rigidez en paralelo para rigidez efectiva

    Ecuación de movimiento para un sistema sin amortiguamiento.

    Caso B
    Determinación de rigidez en serie para rigidez efectiva.

    Ecuación de movimiento

    Caso C
    Primero se obtiene la rigidez en paralelo, con 𝑘1 y 𝑘2.
    Con el valor obtenido se resuelve la rigidez efectiva del sistema.

    Ecuación de movimiento para el sistema mostrado.

    2. Escriba la ecuación de movimiento para cada caso mostrado. La variable x indica


    la dirección del desplazamiento.

    VIGA #1

    Rigidez para viga con carga al centro del claro, apoyo fijo y móvil:

    Fuerza debida a la carga W:

    Si , entonces: 𝑤 = 𝑘 𝑥𝑜
    Fuerza de inercia: 𝑓(𝑡) = 𝑚 𝑥̈
    Fuerza de rigidez debido al
    desplazamiento: 𝑓(𝑡) = 𝑘(𝑥𝑜 + 𝑥) ⇒ 𝑓𝑅(𝑡) = 𝑘 𝑥𝑜 + 𝑘 𝑥
    Ecuación de movimiento:
    -𝑚 𝑥̈ + 𝑘 𝑥𝑜 − 𝑘 𝑥𝑜 + 𝑘 𝑥 = 0
    𝑚 𝑥̈ + 𝑘 𝑥 = 0

    Siendo , la rigidez que describe el sistema la ecuación de movimiento es:

    𝑓𝑅 𝑓𝐼
    𝐸𝐼

    𝐿 𝐿
    2 2
    𝑓𝑤

    VIGA #2

    W Rigidez para viga con


    carga en voladizo.
    x
    𝐿

    Fuerza debida a la carga W.

    Si , entonces: 𝑓𝑤 = 𝑘 𝑥𝑜

    𝑓𝑅 𝑓𝐼
    Fuerza de inercia: 𝑓(𝑡) = 𝑚 𝑥̈
    Fuerza de rigidez debido al desplazamiento.
    𝑓𝑅(𝑡) = 𝑘(𝑥𝑜 + 𝑥) ⇒ 𝑓𝑅(𝑡) = 𝑘 𝑥𝑜 + 𝑘 𝑥 W
    Ecuación de movimiento: 𝑚 𝑥̈ + 𝑘 𝑥 = 0
    𝑓𝑤 x
    Siendo , la rigidez que describe el 𝐿

    sistema la ecuación de movimiento es:

    VIGA #3
    W
    Rigidez para viga con doble empotramiento y carga
    puntual al centro del claro: x
    𝐿 𝐿
    2 2
    Fuerza debida a la carga W: 𝑤 = 𝑘 𝑥𝑜

    Fuerza de inercia: 𝐼(𝑡) = 𝑚 𝑥̈


    Fuerza de rigidez debido al desplazamiento:
    𝑓𝑅(𝑡) = 𝑘(𝑥𝑜 + 𝑥) ⇒ 𝑓𝑅(𝑡) = 𝑘 𝑥𝑜 + 𝑘 𝑥

    Ecuación de movimiento: 𝑥̈ + 𝑘 𝑥 = 0 𝑓𝐼
    𝑓𝑅

    Siendo , la rigidez que describe el sistema


    la ecuación de movimiento es:
    W

    x
    𝐿 𝐿
    2 𝑓𝑤 2

    3. Una viga simplemente apoyada tiene un peso


    W concentrado en el centro de su claro. Considere que la masa de la viga es
    despreciable y desprecie el amortiguamiento del sistema. Determine la
    ecuación de movimiento del sistema y calcule la frecuencia circular del
    sistema.

    Rigidez para viga con carga al centro del claro, apoyo fijo y móvil.

    Fuerza debida a la carga W.

    Fuerza de rigidez debido al desplazamiento.

    Ecuación de movimiento sistema:

    Frecuencia circular del sistema:


    4. Obtenga la matriz de rigidez global del marco mostrado E= 2.1X10^6 KG/CM^2,
    Acol=23 cm2, Icol= 2240 cm^4, Avig= 17 cm^2, Ivig= 683 cm^4. Considere que los
    elementos son axialmente rígidos.
    10 kg/cm Hc=250
    Hv=400
    E=2100000
    150 2 3
    kg

    250 cm
    θ3θ4
    1 4

    δ1
    400 cm

    10 kg/cm

    150 2 3
    kg
    250 cm

    1 4

    400 cm
    δ 1=1 ,θ 3=θ 4=0

    6 EIc
    K 21=
    H c2
    6 EIc
    K 31=
    Hc2
    24 EI
    K 11 =
    Hc3

    24 (2.1∗106)( 2240)
    K 11 = 3
    =7.225∗103
    250
    6(2.1∗106 )(2240)
    K 21=K 31= 2
    =4.516∗105
    250

    δ 1=θ 4=0 , θ 3=1

    6
    6 EIc 6(2.1∗10 )(2240)
    K 12= 2
    = 2
    =4.516∗105
    Hc 250

    4 EIc 4 EIv
    K 22= + =4 (2.1∗106) ¿ ¿
    Hc Hv
    6
    2 EIv 2(2.1∗10 )(683)
    K 32= = =7.171∗106
    Hv 400
    δ 1=θ 3=0 , θ 4=1

    6
    6 EIc 6 (2.1∗10 )(2240)
    K 13= 2
    = 2
    =4.516∗105
    Hc 250
    6
    2 EIv 2(2.1∗10 )(683)
    K 23= = =7.171∗106
    Hv 400
    4 EIc 4 EIv
    K 33= + =4 (2.1∗106) ¿ ¿
    Hc Hv

    MATRIZ DE RIGIDEZ DEL MARCO:


    7.225∗10 3 4.516∗10 5 4.516∗105
    K= 4.516∗105 8.961∗107 7.171∗106
    4.516∗105 7.171∗106 8.961∗107

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