CamachoCamacho Gerardoalfredo M18S4PI

Proyecto integrador.
El
movimiento de una
partícula
Gerardo Alfredo camacho camacho
Facilitador: NOÉ HERNÁNDEZ ARREORTÚA
Grupo: M18C4G18-BB-032
18/04/2021
¿Sabías que la velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios
dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en
todo el universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede
acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden
viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Se estudia, en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por:
Los investigadores, están interesados en determinar:
a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante la velocidad de dicha

partícula es de 0?
si tenemos f’’(x) que representa a la aceleración ocupamos a f’(x) que representa a la

velocidad, por lo tanto, ocupamos a la antiderivada (la integral), aplicando las
siguientes formulas:
f ' ' ( x ) =3 x2−10 x +14
3 x 2−10 x+14
Para 3 x 2 :
n c ( x n+1 )
n
∫ c x dx=c ∫ x dx= n+1
3( x 2+1 ) 3 x 3
∫ 3 x 2 dx=3∫ x2 dx= 2+1
=
3
=1 x 3
Para −10 x :
n c ( x n+1 )
n
∫ c x dx=c ∫ x dx= n+1
−10(x 1+1 ) −10 x 1

∫−10 x 1 dx=−10∫ x1 dx= 1+1
=
2
=−5 x2
Para 14 :
∫ cdx=c ∫ dx=c ( x ) +c
∫ 14 dx=14 ∫ dx=14 x+ c
Por lo tanto, la integral o antiderivada es:
1 x3 −5 x 2 +14 x +c
La antiderivada es:
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c
En donde “t” tiempo=X=0
En donde “v” velocidad = f ' ( x )=0
Entonces sustituyendo en la derivada tenemos que:
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c
0=1(0)3−5 ( 0 )2 +14 ( 0 )+ c
0=c
Como c=0, por lo tanto, la función sustituida quedaría asi:
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +0
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x
Por lo tanto, la función de la velocidad en el instante de tiempo=0 segundos es:
f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x
b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante toma un

valor de 2?
Tenemos que:
F(x)= función de posición
F’(x)= función de velocidad

F’’(x)= función de aceleración
Como no contamos con f(x), debemos de integrar la función de la velocidad para encontrar la
antiderivada que representa a la función de posición con las siguientes formulas:
1 x3 −5 x 2 +14 x
Para 1 x3 :
c ( x n+1 )
∫ c x n dx=c ∫ x n dx= n+1
1( x 3 +1) 1 x 4
∫ 1 x dx =1∫ x dx= 3+1 = 4 =0.25 x 4
3 3
Para −5 x 2 :
c ( x n+1 )
∫ c x n dx=c ∫ x n dx= n+1
−5(x 2+ 1) −5 x 3
∫−5 x dx=−5∫ x dx= 2+1 = 3 =−1.66 x 3
2 2
Para 14x:
n c (x n+1 )
n
∫ c x dx=c ∫ x dx= n+1 +c
14 (x 1+1) 14 x 2
∫ 14 x 1 dx=14 ∫ x 1 dx= 1+1
=
2
=7 x2 +c
Por lo tanto, la integral de la función de la velocidad es:
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +c
Tenemos que la función de posición es:
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +c
En donde f(x) = posición = 2
En donde “t” = tiempo = x=0

Sustituyendo tenemos que:
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +c
2=0.25(0)4 −1.66(0)3 +7(0)2 +c
2=0
Ahora sabemos que la función de posición cuando “t” =0 da 2 es:
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
En donde x= tiempo
Por lo tanto, para saber la distancia que recorrió la partícula en el intervalo de 3 a 6,

aplicaremos la formula del teorema fundamental del calculo representada por la
siguiente formula:
b
f ( x )∨ =f ( b )−F (a)
a
En donde a= límite inferior= valor menor=3
En donde b= límite superior= valor mayor=6
En donde f(x)=función de posición
4 3 2 6
0.25 x −1.66 x +7 x + 2∨ =f ( 6 ) −F(3)
3
¿ [ 0.25 ( 6 )4 −1.66 ( 6 )3 +7 ( 6 )2 +2 ]−[ 0.25 ( 3 )4 −1.66 (3 )3+ 7 (3 )2+ 2 ]
¿ 2 19.44−4 0 .43
¿ 179.01
La partícula recorrió en el intervalo de 3 a 6, 179.01 m

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que
existen.
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
Para encontrar los valores máximos y mínimos ocuparemos la derivada de la

función de posición que es la función de la velocidad:
1 x3 −5 x 2 +14 x
Ahora factorizaremos esta función para encontrar los valores posibles de x
Igualamos a cero la función de la derivada para encontrar los valores de x
1 x3 −5 x 2 +14 x
( x ) ( 1 x 2−5 x+ 14 ) =0
x 1=0 1 x 2−5 x +14=0
Por lo tanto, como solo existe un valor para x 1=0 tenemos que existe o un mínimo o un
máximo.
Para saber si existe un máximo o mínimo, evaluando x=0 en la función f(x) que es la función de
posición:
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
En donde x=0
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
f ( 0 )=0.25( 0) 4−1.66( 0)3 +7 (0)2+ 2
f ( 0 )=2
Por lo tanto, existe un máximo o un mínimo en el punto (0,2).

Entonces para determinar el máximo o el mínimo graficaremos en GeoGebra la
función de posición
e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos

de tiempo: [2,4] y [5,6]?
Tenemos que la razón de cambio es igual a la velocidad promedio representada por la

siguiente formula:
(x ¿¿ 2)−f ( x 1 )
razon cambio =f ¿
x2 −x1
Primeramente, calcularemos la razón de cambio de 2 a 4:
En donde x 1=2
En donde x 2=4
En la función de posición.
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
f ( x 1 ) =0.25(2)4−1.66 (2)3 +7 (2)2 +2
f ( x 1 ) =20 .72
f ( x 2 ) =0.25( 4)4−1.66 (4 )3 +7 (4 )2 +2
f ( x 2 ) =7 1.76
(x ¿¿ 2)−f ( x 1 )
razon cambio =f ¿
x2 −x1
7 1 .76−2 0 .72 51.04

razon cambio = = =25.52
4−2 2
Por lo tanto, la razón de cambio de 2 a 4 es de 25.52 km/s.
Ahora calcularemos la razón de cambio de 5 a 6.
En donde x 1=5
En donde x 2=6
En la función de posición.
f ( x )=0.25 x 4 −1.66 x3 +7 x 2 +2
f ( x 1 ) =0.25(5)4 −1.66(5)3+ 7(5)2+ 2
f ( x 1 ) =125 .75
f ( x 2 ) =0.25(6)4 −1.66(6)3 +7(6)2+2
f ( x 2 ) =219.44
(x ¿¿ 2)−f ( x 1 )
razon cambio =f ¿
x2 −x1
2 19 .44−12 5 .75 93.69

razon cambio = = =93.69
6−5 1
Por lo tanto, la razón de cambio de 5 a 6 es de 93.69 km/s.

¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los
intervalos de interés?
Con la diferencia podemos obtener el valor del aumento de la velocidad de un

intervalo de tiempo.
b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula,

estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de
cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en
máximo 10 líneas.
Si imaginamos que en vez de referirnos a la velocidad de una partícula en general,

estuviéramos calculando ingresos, entonces la utilidad que tendría la razón de
cambio promedio en el contexto de un negocio familiar, fue de carácter positivo, ya
que a medida que pasa el tiempo la razón de cambio de ingresos cambia
constantemente de manera ascendente, esto influye en mayores ganancias a través
del tiempo

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Facilitador: NOÉ HERNÁNDEZ ARREORTÚA

Los investigadores, están interesados en determinar:

a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante la velocidad de dicha

si tenemos f’’(x) que representa a la aceleración ocupamos a f’(x) que representa a la

f ' ' ( x ) =3 x2−10 x +14

−10(x 1+1 ) −10 x 1

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c

En donde “t” tiempo=X=0

En donde “v” velocidad = f ' ( x )=0

Entonces sustituyendo en la derivada tenemos que:

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c

Como c=0, por lo tanto, la función sustituida quedaría asi:

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +c

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x +0

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x

Por lo tanto, la función de la velocidad en el instante de tiempo=0 segundos es:

f ' ( x )=1 x3 −5 x 2 +14 x

b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante toma un

F(x)= función de posición

F’(x)= función de velocidad

Por lo tanto, la integral de la función de la velocidad es:

Tenemos que la función de posición es:

En donde f(x) = posición = 2

En donde “t” = tiempo = x=0

2=0.25(0)4 −1.66(0)3 +7(0)2 +c

Ahora sabemos que la función de posición cuando “t” =0 da 2 es:

c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?

Tenemos que la función de posición es:

Por lo tanto, para saber la distancia que recorrió la partícula en el intervalo de 3 a 6,

En donde a= límite inferior= valor menor=3

En donde b= límite superior= valor mayor=6

En donde f(x)=función de posición

¿ [ 0.25 ( 6 )4 −1.66 ( 6 )3 +7 ( 6 )2 +2 ]−[ 0.25 ( 3 )4 −1.66 (3 )3+ 7 (3 )2+ 2 ]

La partícula recorrió en el intervalo de 3 a 6, 179.01 m

Tenemos que la función de posición es:

Para encontrar los valores máximos y mínimos ocuparemos la derivada de la

Ahora factorizaremos esta función para encontrar los valores posibles de x

Igualamos a cero la función de la derivada para encontrar los valores de x

x 1=0 1 x 2−5 x +14=0

f ( 0 )=0.25( 0) 4−1.66( 0)3 +7 (0)2+ 2

Por lo tanto, existe un máximo o un mínimo en el punto (0,2).

e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos

Tenemos que la razón de cambio es igual a la velocidad promedio representada por la

Primeramente, calcularemos la razón de cambio de 2 a 4:

7 1 .76−2 0 .72 51.04

Por lo tanto, la razón de cambio de 2 a 4 es de 25.52 km/s.

Ahora calcularemos la razón de cambio de 5 a 6.

f ( x 1 ) =0.25(5)4 −1.66(5)3+ 7(5)2+ 2

f ( x 2 ) =0.25(6)4 −1.66(6)3 +7(6)2+2

2 19 .44−12 5 .75 93.69

Por lo tanto, la razón de cambio de 5 a 6 es de 93.69 km/s.

Con la diferencia podemos obtener el valor del aumento de la velocidad de un

b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula,

Si imaginamos que en vez de referirnos a la velocidad de una partícula en general,

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