UNC

UNIVERSIDAD NACIONAL de CÓRDOBA

FACULTAD de CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS, y NATURALES
DEPARTAMENTO de FÍSICA
CÁTEDRA de FÍSICA II

GUÍA de PROBLEMAS
para las carreras de:

INGENIERÍA

selección de problemas: Ing. Rubén A. ROCCHIETTI

 TABLA 1 : Múltiplos, Submúltiplos y Prefijos SI
(Sistema Internacional de Unidades). 1

MÚLTIPLO PREFIJO SÍMBOLO SUBMÚLTIPLO PREFIJO SÍMBOLO

10
24 Yotta Y 10
-1 deci d
10
21 Zetta Z 10
-2 centi c
10
18 Exa E 10
-3 mili m
10
15 Peta P 10
-6 micro
10
12 Tera T 10
-9 nano n
10
9 Giga G 10
-12 pico p
10
6 Mega M 10
-15 femto f
10
3 Kilo K 10
-18 atto a
10
2 Hecto H 10
-21 septo z
10 Deca D 10
-24 yacto y

TABLA 2 : Patrones y Equivalentes 2

Patrón abreviatura Equivalente

Metro m es la longitud del camino recorrido por la luz en el

vacío, en el lapso de 1 / 299 792 458 seg.
Kilogramo Kg masa del Kilogramo patrón que se encuentra en
Sèvres, Francia
Segundo seg Es la duración de 9 192 631 770 períodos de la
radiación correspondiente a la transición de dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del
133
átomo de Cs
Grado Kelvin ºK se define en la escala termodinámica asignando
273,16 ºK al punto triple del agua
Unidad de masa atómica 1 / 12 de la masa de un átomo del nucleído C
12
.
unificada -27
1 1,660 540 x 10 Kg

1
Esquema A norma IRAM 31-0: 1993
2
Esquema A norma IRAM 31: 1993
Mol mol cantidad de sustancia que contiene el mismo
12
número de átomos que, exactamente, 12 g de C
puro.
Aceleración normal de la gn 9,806 65 m / seg
2
gravedad
Presión atmosférica atm 2
101 325 N / m
normal
Caloría termoquímica cal 4,184 0 joules
Litro lt 0,001 000 028 m
3

Pulgada plg 0 0254 m

Libra lb 0,453 592 37 Kg

TABLA 3 : Constantes Físicas Universales 3

Constante Símbolo Valor Observaciones

Velocidad de propaga- c0 2,997 924 58 x 10 m/s

8 año 1974
ción de las ondas elec-
tromagnéticas en el
vacío
Permeabilidad del vacío 0
4 x 10
-7
H/m ó Kg.m.A .s
-2 -2

Permitividad del vacío 0

8,854 187 82 x 10
-12 2 4
ó F/m , ó A .s .Kg .m
-1 -3
2 2 2 -1
C /N.m 0 = ( 0 c0 )
Impedancia del vacío Z0 376,730 31 V/A Z0 = (0/0)
1/2

Carga del electrón qe -1,602 189 2 . 10-19 C

Carga del protón qp - qe
Carga del neutrón qn 0
Masa del electrón en me 9,109 534 x 10
-31
Kg
reposo
Masa del protón en mp 1,672 648 5 x 10
-27
Kg mp / me = 1 836,151
reposo 52
Masa del neutrón en mn 1,674 954 3 x 10
-27
Kg mn / me = 1 838,68
reposo

3
Esquema B IRAM 31: 1993; Comisión Electrotécnica Internacional ( IEC ); algunos valores
basados en la realización del National Bureau of Standards 1969 del Sistema Internacional ( SI ) de
unidades.
Radio del electrón re 2,817 938 0 x 10
-15
m
Radio del protón rp 3 x 10
-15
m
Radio del neutrón rn 3 x 10
-15
m
Relación carga/masa del -qe / 1,758 804 7 x 10
11
C/Kg
electrón me
Constante de Avogadro NA 6,022 094 3 x 10
23
mol
-1

Constante de Faraday F 9,648 456 x 10 C/mol

7 F = -qe NA
Constante de Plank h 6,626 176 x 10
-34
Js
2 -1
ó Kg.m .s
Constante angular de 1,054 588 7 x 10
-34
Js
Plank
Constante de Boltzmann k 1,380 662 x 10 J/K
-23

Constante Universal de R 8,314 41 J/K.mol R = k NA

los Gases
Constante de Rydberg R 1,097 373 177 x 10 m
7 -1

Radio de Bohr a0 5,291 770 6 x 10

-11
m
Constante de Stefan- -8
5,670 32 x 10 W/m K
2 4
Boltzmann
Volumen molar de un 22,413 83 m /mol
3 2
a 273,15 ºK y 101 325 N/m
gas ideal
Constante Gravitacional G 6,672 0 x 10
-11 3
m /Kg.s
2
 TABLA 4 : Datos físicos útiles 4

Aceleración de la Gravedad 9,8 m/s2

Densidad del agua (20º C y 1 atm) 103 Kg / m3
Densidad del aire (20º C y 1 atm) 1,20 Kg / m3
Distancia promedio Tierra-Luna 3,84 . 108 m
Distancia promedio Tierra-Sol 1,496 . 1011 m
Masa de la Luna 7,36 . 1022 Kg
Masa del Sol 1,99 . 1030 Kg
Masa de la Tierra 5,98 . 1024 Kg
Período de la Tierra 3,156 . 107 seg
Presión atmosférica estándar 1,013 . 105 Pa
Radio promedio de la Tierra 6,37 . 106 m

TABLA 5 : Permitividad, y Rigidez Dieléctrica de Materiales 5

Líquido: Permitividad Rigidez Dieléctrica

Relativa
ke 6
x 10 V/m
Agua destilada, 1,5 ºC 87
Agua destilada, 25 ºC 78,54
Agua destilada, 85 ºC 58
Agua Oxigenada 84,2
Benceno 2,274
Alcohol Etílico 24,
Materiales Inorgánicos Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
Hielo 4,8
Nieve 1,24
Nitruro de Silicio 12,7 500
Cloruro de Sodio 5,9
Azufre 3,75-4,45

4
FISICA Tercera Edición Tomo II, Raymond A. Serway, 1993.
5
Dielectric Materials and Aplications, John Wiley & Sons, Inc., 1954; American Institute of
Physics Handbook, McGraw-Hill Book Company, 1972; información técnica variada.
Dióxido de Titanio 86,7 6
Materiales Cerámicos Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
Alúmina 9,8 7,9
Silicato de Aluminio 5,3 3,2
Titanato de Bario 1240 10
Óxido de Berilio 6,9 8,9
Titanato de Calcio 167,8
Óxido de Magnesio 5,6 2
Silicato de Magnesio 5,8 3,9
Esteatita 6 8,3
Vidrios Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
Borosilicato 4,9 42
Pyrex 5,02 190
Cuarzo 3,78 16
Resina Transparente 4,1 35,4
Plásticos Termoplásticos: Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
Acrílico 4 13,8
Acetato de Celulosa 7,5 7,86
Nylon 5,5 12,6
Policarbonato 3,2 14,3
Polietileno de baja densidad 2,4 16,5
3
910-930 Kg/m
Polietileno de media densidad 2,4 19,7
3
930-940 Kg/m
Polietileno de alta densidad 2,4 21,6
3
940-960 Kg/m
Polipropileno 2,2 17,7
Poliestireno 2,5 11,8
Teflón 2,1 16,9
Plásticos Termoindurentes Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
 Epoxi 3,5-5,0 15,7-19,7
Poliéster 3,0-4,5 11,0-19,7
Urea-formaldehído 7,0-10 8,7-15,7
Materiales diversos Permitividad Rigidez Dieléctrica
Relativa
ke 6
x 10 V/m
Mica rubí 5,4 160
Isoprene (goma natural) 2,61
Goma de Siliconas 5,78
Asfalto 2,68
Papel de Capacitor 3,7 35-40

TABLA 6 : Propiedades Dieléctricas de los Gases 6

Gas Susceptibilidad Rigidez Dieléctrica

relativa
ke x 10-6 6
x 10 V/m
Aire seco (libre de CO2) 536,4 0,8
Hidrógeno 253,8 0,432
Helio 65
Nitrógeno 548 0,8
Oxígeno 494,7 0,688
Neón 127
Dióxido de Carbono, CO2 922 0,704
Monóxido de Carbono, CO 700 0,816
Acetileno 1340 0,88
Metano 944 0,8
Dióxido de Nitrógeno, N2O 1130 0,912

TABLA 7 : Propiedades de los Metales como Conductores 7

6
Table of Dielectric Constants and Electric Dipole Moments of Substances in the Gaseose State,
Maryott and Buckley, 1953.
7
Electronic Designers’ Handbook, L.J. Giacoletto, 2nd ed. McGraw-Hill, 1977.
 Material Densidad, N, áto- Temp. Resistividad Coeficiente de
3 3 de ref. 0 Temperatura
m Kg/m mos/m -9
28 ºC x 10 ohm.m , (ºC)
-1
x 10
Plata 10 490 5,8564 0 14,7 0,004 1
Cobre 8 960 8,4921 0 15,8 0,004 2
Cobre libre de oxígeno 8 900 0 15,3 0,004 3
Cobre electrolítico 8 890 20 17,24 0,003 93
Oro 19 320 5,9070 0 21,9 0,004
Aluminio 2 698 6,0218 0 24,9 0,004 4
Molibdeno 10 220 6,4151 0 51,5 0,004 7
Tungsteno 19 300 6,3219 0 54,8 0,004 8
Níquel 8 902 9,1312 0 61,5 0,006 76
Cobalto 8 850 9,0435 0 61,5 0,006
Hierro 7 870 8,4865 0 98,0 0,006 5
Platino 21 450 6,6213 0 98,5 0,003 93
Plomo 20 220 . 0,003 9
Latón (Cu 90 - Zn 10) 8 770 20 38,0
Bronce Fosforoso 8 860 0 110 . 0,007 4
Constantan 8 860 0 489 . 0,000 02
Kanthal 7 200 20 1 350 . 0,000 07
Nicrome 20 1 500 . 0,000 4

TABLA 8 : Resistividades y coeficientes de temperatura de varios materiales 8

Material Densidad, N, áto- Temp. Resistividad Coeficiente de

3 3 de ref. 0 Temperatura
m Kg/m mos/m
28 ºC ohm.m -1
x 10 , (ºC)
Carbón 20 3,5 . 10-5 -0,000 5
Germanio 20 0,46 -0,048
Silicio 20 640 -0,075
Vidrio 20 1010 - 1014
Caucho duro 20 ≈1013
Azufre 20 1015
Cuarzo (fundido) 20 7,5 . 1017

TABLA 9 : Código de colores para resistores

8
Electronic Designers’ Handbook, L.J. Giacoletto, 2nd ed. McGraw-Hill, 1977.
 Color 1ª franja 2ª franja 3ª franja 4ª franja
multiplicador tolerancia (%)
Negro 0 0 100
Marrón 1 1 101
Rojo 2 2 102
Naranja 3 3 103
Amarillo 4 4 104
Verde 5 5 105
Azul 6 6 106
Violeta 7 7 107
Gris 8 8 108
Blanco 9 9 109
Oro 5%
Plata 10 %
Sin color 20 %

TABLA 10: Características de los Combustibles Líquidos y Gaseosos 9

Combustible Densidad, a Poder Calorífico Aire Teórico Tonalidad

Gaseoso 15 ºC inferior de Térmica
Kg/m
3
KJ/m
3
Kcal/Kg Combustión a 0 ºC
Kg/Kg de gas Kcal/l
Metano al 97 % 0,74 34 750 11 200 17,4 0,820
Propano 1,81 83 317 11 000 15,8 0,900
Butano 2,38 108 438 10 900 16,5 0,870
Propano-Butano 50/50 2,06 94 621 10 950 16,1 -
Gas de Alumbrado 0,60 15 910 10 950 8 0,800
Combustible Densidad, a Poder Calorífico Aire Teórico Tonalidad
Líquido 15 ºC inferior de Térmica
Kg/m
3
KJ/dm
3
Kcal/Kg Combustión a 0 ºC
Kg/Kg de gas Kcal/l
Benzol Puro 875 35 169 9 600 13 0,923
Alcohol etílico 100 % 795 21 171 6 550 9 0,919
Alcohol metílico 100 % 795 15 072 4 500 6,5 0,932
Aeronafta 700 - 750 33 913 10 400 14,8 0,890
Nafta Súper 725 - 770 32 029 10 400 15 0,890

9
Motores Endotérmicos, Dante Giacosa, Ed. Omega, 1986.
Nafta Normal 710 - 775
Kerosén 739 - 825 33 913 10 300 - -
Gas Oil 805 - 865 35 588 10 200 14,5 0,930
Naftas pesadas 890 36 425 9 800 14 0,930

TABLA 11: Propiedades de Materiales Diamagnéticos o Paramagnéticos 10

Material Densidad, Temp. de Susceptibilidad Relativa

ref. km = km - 1
3 ºC -6
m Kg/m x 10
Aire 1,225 20 0,36
Aluminio 2.698 18 20,7
Carbono (diamante, cúbico) 3.520 20 -21,7
Carbono (grafito, hexagonal) 2.250 20 -14,1
Cobre 8.960 23 -9,68
Germanio 5.326,7 20 -7,086
Oro 19.320 18 -34,5
Hidrógeno 0,089 9 20 -0,004 461
Plomo 11.360 16 -15,8
Magnesio 1.740 18 11,8
Manganeso 7.430 20 899
Mercurio 13.546 20 -28,38
Oxígeno (sólido) 1.568 -218,9 12.560
Oxígeno (líquido) 1.195,3 -202,4 1.903
Oxígeno (gas, a 1 atm) 1,429 20 3,871
Platino 21.450 17,1 278,9
Selenio 4.780 20 -19
Silicio 2.329 17 -3,245
Plata 10.490 23 -23,8
Azufre 2.070 18 -12,6
Estaño 7.298,4 7 -28,6
Telurio 6.240 22 -24,3
Tungsteno 19.300 25 77,8
Uranio 19.070 25 411,8
Agua 998,23 20 -9,031
Hielo 999,87 0 -8,822
Zinc 7.133 20 -15,6

10
Electronic Designers’ Handbook, L.J. Giacoletto, 2nd ed. McGraw-Hill, 1977.
Circonio 6.489 20 -109,1

Efecto de Histéresis :
Muchos materiales magnéticos exhiben una considerable alinearidad e histéresis similar a la
mostrada en la figura. El vector Polarización Magnética J, en Teslas, es sumado al Campo
Magnético B del vacío:
B =  0 H + J = (  0 +  m) H

Los siguientes valores relacionados con el efecto de histéresis son de interés (ver figura) :
1.- H (Amperes por metro), es el campo magnético aplicado al material. Para una bobina toroidal,
en la cual se considera que todo el flujo magnético está contenido dentro de la bobina, el campo
magnético aplicado es el potencial magnético dividido por la circunferencia media, H = NI / r0.
2.- B (Teslas, ó Webers por metro cuadrado), es la inducción magnética, o densidad de flujo
magnético. B = µ0H + M.
3.- J (Teslas, ó Webers por metro cuadrado), polarización magnética del material. Es la porción de
densidad de flujo magnético que es atribuible al material.
4.- Curva inicial de magnetización, es la variación inicial de B en función de H, cuando no hay
polarización magnética residual del material.
5.- µi (Henrios por metro), permeabilidad inicial, es la relación B / H asociada con la curva inicial
de magnetización, cuando H es incrementado desde cero.
6.- µmax (Henrios por metro), permeabilidad máxima, es la relación B0 / H0 asociada con la curva
inicial de magnetización, que corresponde al máximo valor de B / H.
7.- µn (Henrios por metro), permeabilidad normal, es la relación B / H asociada a un punto
especificado de la curva inicial de magnetización.
8.- µdif (Henrios por metro), permeabilidad diferencial dB / dH , es la pendiente de un punto
especificado del lazo de histéresis.
9.- µ∆ (Henrios por metro), permeabilidad incremental ∆B / ∆H, es la relación de cambio
incremental cuando el valor medio de B no es cero.
10.- µrev (Henrios por metro), permeabilidad reversible, es igual al valor límite de µ∆ cuando
∆H → 0 .
11.- HP y BP son los valores de pico de H y B asociados al lazo de histéresis.
12.- HS y BS son los menores valores de H y B en los cuales la polarización magnética del material,
alcanza un valor constante máximo de saturación, JS = BS - µ0 HS .
13.- Jr (Teslas, Webers por metro cuadrado), polarización magnética residual, es la densidad de
flujo magnético cuando H = 0 (para una bobina toroidal). El máximo valor de Jr es la retentividad,
Jrs ≤ Js
14.- Hd y Bd son valores arbitrarios de desmagnetización de H y B asociados con el segundo y
cuarto cuadrantes del lazo de histéresis. Bdr es la densidad de flujo magnético remanente asociada
a un determinado circuito magnético, después que el potencial magnético es removido. Si no hay
entrehierro de aire o alguna otra inhomogeneidad en el circuito magnético, Bdr → Jr . El máximo
valor de Bdr asociado a un circuito magnético determinado, es la remanencia Bdm . Si no hay
entrehierro de aire o alguna otra inhomogeneidad en el circuito magnético, Bdm → Jrs .
15.- BdHd (Joules por metro cúbico), energía por unidad de volumen, es un producto asociado a un
valor arbitrario de Hd , Bd .
16.- (BdHd)max es el máximo valor del producto energía por unidad de volumen.
17.- HC (Amperes por metro), campo magnético coercitivo, es el valor de -Hd asociado a Bd = 0
cuando el material esta cíclica y simétricamente magnetizado en condición de variación pseudo-
estática (muy lenta en el tiempo).
18.- HCS (Amperes por metro), coercitividad, es el máximo valor del campo magnético coercitivo.
19.- CM, condición cíclicamente magnetizado. Un material magnético está en condición
cíclicamente magnetizado luego de haber sido sometido a un suficiente número de ciclos iguales
de magnetización, la curva B-H es cerrada y substancialmente idéntica ciclo a ciclo.
20.- CSM, condición cíclicamente y simétricamente magnetizado. Un material magnético está en
condición CSM cuando la curva cerrada B-H sufre una inversión simétrica respecto del origen.
21.- Ciclo de histéresis B-H, es el lazo obtenido por una suave y lenta variación de H, en CM.
22.- Ciclo normal de histéresis B-H, es el lazo obtenido por una suave y lenta variación de H, en
CSM.

23.- Energía del ciclo de histéresis Uh / v , es la

energía por unidad de volumen absorbida por
el material magnético, en condición de
variación pseudo-estática alrededor del ciclo
normal de histéresis. Es el área encerrada por
el ciclo normal de histéresis.
 Curva inicial de magnetización de materiales magnéticos 11:

11
Adaptado de Electrical Materials Handbook, Allegheny Ludlum Steel Corp., 1961.
 TABLA 12: Propiedades de Materiales Ferromagnéticos Blandos 12

Material Densidad Temp. Resisti- Permeab Permeab Energía

de vidad ilidad ilidad del lazo
Curie inicial máxima
3 TC µi µmáx HS BS Uh/v
m Kg/m
ºC Ωm.10-7 A/m T J/m
Hierro 7 880 770 1 10 000 2,9.105 13,5 2,158 30
Acero dúctil 13 7 859 770 1 120 2 000 4 000 2,12 500
Níquel 8 902 358 0,706 220 645 22 000 0,62 200
Cobalto 8 850 1 115 0,586 70 250 150 000 1,79 200
Hierro-Silicio 14 7 650 740 4,7 1 500 50 000 19 500 2
Hierro-Silicio 15 7 650 740 4,7 1 500 50 000 19 500 2 143
Acero (1 % C) 7 830 770 1,2 200 3 800 50 000 2
Deltamax 16 8 250 500 4,5 500 1,5.105 800 1,55 33
Supermalloy 17 8 770 400 6 100 000 10.105 0,79 0,8

Vanadio 8 150 980 4 800 8 000 80 000 2,4 600

Permendur 18
Mumetal 19 8 580 400 6,2 20 000 290 000 0,65 4

TABLA 13: Propiedades de Materiales Ferromagnéticos Duros 20

Material Densidad Temp. Resisti- Retentivi Coercitiv Densidad de Energía

de Curie vidad dad idad Flujo de del lazo
TC Saturación
3 ºC Jrs Hcs BS Uh/v
m Kg/m
Ωm.10-7 T A/m T J/m3

12
Electronic Designers’ Handbook, L.J. Giacoletto, 2nd ed. McGraw-Hill, 1977.
13
Acero al 0,2 % de Carbono
14
3 % de Silicio
15
3 % de Silicio grano orientado, Silectron, grado M-5
16
50 % Níquel, Hierro
17
79 % Níquel, 5 % Molibdeno
18
49 % Cobalto, 2 % Vanadio
19
77 % Níquel, 5 % Cobre, 2 % Cromo
20
Electronic Designers’ Handbook, L.J. Giacoletto, 2nd ed. McGraw-Hill, 1977.
Acero SAE1095 7 730 770 2 0,9 3 980 1,98
Acero al Cromo 21 7 760 760 2,9 0,9 4 780 1,7 17 500
Acero alTungst. 22 8 300 760 3 1,05 5 170 1,65 14 000
Vicalloy 1 23 8 200 6,7 0,9 23 880 1,43 100 000
Cunico 1 24 8 300 0,34 56 520 0,5 93 300
Alnico 5DG 25 7 310 890 4,7 1,33 54 500 1,4
Acero al Mang. 26 0,538 14 200
Vectolite 27 3 130 300 0,16 79 600 0,48

21
Cromo 3 %, Carbono 0,9 %, Manganeso 0,3 %
22
Tungsteno 6 %, Carbono 0,7 %, Cromo 0,3 %
23
Cobalto 52 %, Hierro 38,5 %, Vanadio 9,5 %
24
Cobre 50 %, Cobalto 29 %, Níquel 21 %
25
Hierro 50,5 %, Cobalto 24 %, Níquel 14,5 %, Aluminio 8 %, Cobre 3 %
26
Hierro 83,55 %, Manganeso 14 %, Titanio 1,4 %, Silicio 0,6 %, Aluminio 0,4 %, Carbono 0,05
%
27
Fe3O4 44 %, Fe2O3 30 %, Co2O3 26 %
 TABLA 14 : Indices de refracción a t = 20º C y luz de λ0 = 589 nm (en el vacío) 28

Sustancia Estado Indice de refracción

Agua líquido 1,333

Aire gas a 0º C, 1 atm. 1,000293
Alcohol etílico líquido 1,361
Benceno líquido 1,501
Circón sólido 1,923
Cloruro de sodio (ClNa) sólido 1,544
Cuarzo fundido (SiO2) sólido 1,458
Diamante (C) sólido 2,419
Dióxido de carbono gas a 0º C, 1 atm. 1,00045
Disulfuro de carbono líquido 1,628
Fluorita (F2Ca) sólido 1,434
Glicerina líquido 1,473
Hielo (H2O) sólido 1,309
Poliestireno sólido 1,490
Tetracloruro de carbono líquido 1,461
Vidrio crown sólido 1,520
Vidrio flint sólido 1,66

TABLA 15: Cristales birrefringentes : índices de refracción

para λ0 = 589,3 nm 29

Cristal η0 ηE η0 / ηE
Calcita (CO3Ca) 1,658 1,486 1,116
Cloruro de Zinc (Cl2Zn) 1,687 1,713 0,985
Cuarzo (SiO2) 1,544 1,553 0,994
Nitrato de Sodio (NO3Na) 1,587 1,336 1,188
Sulfato de Sodio (SO3Na) 1,565 1,515 1,033
Sulfuro de Zinc (SZn) 2,356 2,378 0,991

28
FISICA Tercera Edición Tomo II, Raymond A. Serway, 1993.
29
FISICA Tercera Edición Tomo II, Raymond A. Serway, 1993.
 SUGERENCIAS para la RESOLUCIÓN de PROBLEMAS
- Lea atentamente el enunciado del mismo. Los datos incluidos sirven para resolver
directamente el problema, o para deducir aquellos datos que permitan resolver el problema.
- Efectúe siempre un gráfico ó dibujo asociado al problema, aunque el enunciado no lo
incluya. Esto le permitirá ubicarse rápidamente en el camino de la resolución.
- Si los datos no le permiten resolver de inmediato el problema, investigue mediante qué
fórmulas, ecuaciones o tablas puede acceder a los mismos, desde los datos que le plantea
el problema.
- En clase, usted podrá consultar apuntes o libros para encontrar las ecuaciones, leyes,
reglas o constantes que necesite, pero recuerde que mientras mejor y más hábil sea su
manejo personal de las mismas, más rápidamente podrá resolver el problema, y con menos
posibilidades de error.
- Debe manejar perfectamente los conocimientos de las materias correlativas a ésta, o sea
lo relativo a cálculo de superficies y volúmenes, derivadas, integrales, ecuaciones de orden
n, resolución de matrices, mecánica, cinemática, dinámica, etc.
- Efectúe en todas la ecuaciones, el Análisis de Unidades correspondiente mientras trabaja,
esto le permitirá asegurar, y corroborar dimensionalmente los resultados.
- Ordene la presentación de sus problemas. Es sugerible colocar en el extremo izquierdo
de la hoja, la ecuación de partida, y, luego de hallado el resultado, repetirlo recuadrado en el
extremo derecho de la hoja.
- En los exámenes, coloque siempre el nombre de la materia, su nombre, y la fecha, en el
extremo superior derecho de todas las hojas. En la resolución de los problemas, no saltee
ningún paso; de esta forma el Docente que lo examina, evaluará mejor sus conocimientos.

Ing. Rubén A. ROCCHIETTI

marzo, 1995.-
 UNIDAD TEMÁTICA I : CAMPO ELÉCTRICO

1.- La carga eléctrica. Ley de Coulomb. Unidades.

1.1.- Dos cargas puntuales eléctricas positivas, cuyos valores son q1 = 4 µCoul y q2 = 1
µCoul, se encuentran separadas a una distancia r = 2 cm. ¿ Cuál es el valor y sentido de
las fuerzas coulombianas que aparecen ?

1.2.- La masa de un cuerpo muy pequeño parece disminuir en 0,1 gramo cuando se
coloca debajo de él y a 3 centímetros de distancia una carga positiva de 0,4 pC. Calcule el
signo y el valor de la carga en el primer cuerpo.

1.3.- Calcular y dibujar las fuerzas que

actúan sobre la carga q1, siendo q1 =
2 µC y q2 = q3 = q4 = -3 µC.

1.4.- Tomando los datos y el dibujo del

ejercicio anterior , calcule cuanto
debería valer q4 para que la resultante
de fuerzas sobre q1 sea igual a cero.

1.5.- Dos esferas de iguales radios y

pesos están suspendidas de hilos de
manera que sus superficies se toquen.
Después de comunicarles una carga de q0 = 0,4 µC a cada una, se han repelido y
distanciado formando los hilos un ángulo de 60o. Halle el peso de las esferas si la
distancia desde el punto de suspensión hasta el centro de la esfera es igual a 20
centímetros.

1.6.- Tres bolitas, cada una con masa igual a 10 g se cuelgan separadamente de un
mismo punto mediante hilos de seda, cada uno de 1 m de largo. Las bolitas tienen
exactamente la misma carga, y quedan suspendidas en los vértices de un triángulo
equilátero de 0,1 m de largo cada lado. ¿ Cuál es la carga que tiene cada bola ?
2.- Campo eléctrico. Su
representación. Cálculo del campo
en configuraciones discretas y
continuas: hilo y plano cargados.

2.1.- Se tiene una esfera conductora

de radio r = 10 cm la cual posee una
carga distribuida homogéneamente
en toda su superficie cuyo valor es q
= 10 µC. Grafique el valor del módulo
del Campo Eléctrico E en función de
la distancia r al centro de la esfera ,
para 0 < r < 50 cm explicitando el
valor de r = 0, r = 10 cm, r = 20 cm y
r = 50 cm. Dibuje las líneas de fuerza
del campo.

2.2.- Calcular y dibujar el valor del

Campo Eléctrico Ep en el punto P
ubicado en el vértice de un triángulo
equilátero, en cuyos otros dos vértices se encuentran situadas sendas cargas eléctricas
puntuales +q y -q , siendo el valor de q = 1 µC.
2.3.- Siendo q1 = 1 µC y q2 = 2 µC, ¿
en qué punto de la línea que une a las
dos cargas es nula la intensidad E del
Campo Eléctrico?

2.4.- Se tiene un pequeño objeto de

masa m = 1 g cargado con una carga q
= 1 µC, en un recinto en el cual podemos ajustar el valor del Campo Eléctrico a voluntad.
¿ Cuál será el valor del Campo Eléctrico que debemos aplicar sobre el objeto para
contrarrestar la fuerza de gravedad y quede suspendido en el espacio ? ¿ Hacia donde
debe estar dirigido ?

2.5.- Determinar el módulo, dirección y sentido del

Campo Eléctrico E en el centro del cuadrado de la
figura.
Datos: q1 = 1 µC ; a = 50 cm.

2.6.- Un electrón que se mueve con una velocidad de

6
5.10 m/s se dispara paralelamente a un campo
3
eléctrico de intensidad E = 10 N/C colocado de
modo que retarde su movimiento.
a) ¿ Hasta donde llegará el electrón en el
campo antes de quedar momentáneamente en
reposo?
b) ¿ Cuanto tiempo transcurrirá?
c) Si el campo eléctrico termina bruscamente después de 0,8 cm, ¿ qué fracción
de su energía inicial pierde el electrón al atravesarlo?
2.7.- Un péndulo, cuya esfera es de 2 g,
se encuentra en un campo eléctrico
horizontal de 5000 N/C. En estado de
equilibrio el péndulo hace un ángulo de
25º con la vertical. ¿ Cuál es la carga
que tiene la esfera del péndulo?

2.8.- Una esfera cargada cuelga de un

hilo en una región con Campo Eléctrico
vertical de valor E = 12.000 N/C .
Cuando el Campo se dirige hacia arriba,
la tensión en el hilo es de 48 mN.
Cuando el campo se dirige hacia abajo,
la tensión es cero. Encuéntrese la masa
y la carga de la esfera.

2.9.- Una línea continua de carga se encuentra a lo largo del eje x extendiéndose desde x
= +x0 y se extiende hasta el infinito positivo. La línea posee una densidad de carga
uniforme λ .¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el origen?

2.10.- Un anillo de radio R= 10 centímetros formado por un conductor está cargado

negativamente y lleva una carga q= -5 pC. a) Halle la intensidad del campo eléctrico en el
eje del anillo en los puntos situados a la distancia L del centro del anillo, iguales a 0, 5, 8,
10 y 15 centímetros. b) ¿A qué distancia L del centro del anillo la intensidad del campo
eléctrico será máxima?

2.11.- Un disco uniformemente cargado de radio 35 cm tiene una densidad de carga de

7,9 mC/m2. Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a una distancia del centro de
éste de a) 5 cm, b) 10 cm,
c) 50 cm y d) 200 cm.

3.- Flujo del campo eléctrico e integral de Gauss: aplicación a plano, cilindro
y esfera cargados.
3.1.- En un día claro, el campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra es de 100 N/C
apuntando radialmente hacia el centro. Si el mismo campo eléctrico existe en cualquier
punto de la superficie de la Tierra, determine la carga total que debería estar
almacenada en la Tierra.

3.2.- Calcular el valor de la integral de Gauss a través

de las superficies gaussianas que se muestran:

3.3.- El campo eléctrico sobre cualquier punto en la

superficie de una esfera hueca de radio 11 cm se mide
y es igual a 3,8 . 10 4 N/C apuntando radialmente hacia
afuera desde el centro de la esfera. a) ¿Cuál es el flujo
eléctrico a través de esa superficie? b)¿ Cuánta carga
es encerrada por esa superficie?

3.4.- Una carga de 170 µC está en el centro de un

cubo de lado 80 cm. a) Encuentre el flujo eléctrico a
través de cada cara del cubo. b) Encuentre el flujo a través de toda la
superficie del cubo. c) ¿Cambiarían sus respuestas para a) y b) si la carga no
estuviera en el centro? Dé una explicación

3.5.- Dos grandes placas metálicas están ubicadas en forma paralela, frente a
frente, y están cargadas. Una con carga positiva y la otra con carga negativa
con densidades superficiales respectivamente en sus superficies interiores.
Aplique Gauss para determinar cuanto vale el campo eléctrico en el espacio
comprendido entre ambas placas, y en el espacio exterior a las mismas.
3.6.- Calcular el flujo del Campo
Eléctrico que atraviesa un hemisferio de
radio R. El campo E es uniforme y
paralelo al eje del hemisferio.

3.7.- Una carga q = 10 µC se ubica en

el origen de un sistema de coordenadas
en forma coincidente con el vértice de
un cubo, tres de cuyas aristas coinciden
con los ejes x, y, z. El lado del cubo es
de 0,10 m . Averiguar el flujo del
Campo E a través de cada una de las caras del cubo. Si el lado del cubo fuera de 0,20 m,
¿ qué pasaría con el valor de dicho flujo ?

3.8.- Se tiene una esfera no conductora de

radio r = 10 cm, en cuyo interior se
encuentra distribuída homogéneamente en
todo su volumen, una carga positiva q cuyo
valor total es q = 1000 µC. Aplicando Gauss,
hallar la ley de variación del Campo Eléctrico
E en función de la distancia al centro de la
esfera.

3.9.- Una pared no conductora tiene un

densidad de carga uniforme de 8.6 µC/cm2 .
¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia
de 7 cm de la pared? ¿El resultado variaría si
se cambia la distancia a la pared?

3.10.- Una placa plana delgada y muy grande de aluminio de área A tiene una carga total
Q uniformemente distribuida sobre sus superficies . Si la misma carga se esparce de
manera uniforme sobre la superficie superior de otra placa idéntica de vidrio, compare
los campos eléctricos precisamente sobre el centro de la superficie superior de cada
placa.
3.11.- Encuéntrese el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal positiva
uniforme cuya carga por unidad de longitud es λ = constante

3.12.- Un alambre recto y largo es rodeado por un cilindro hueco cuyo eje coincide con el
alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de +λ y el cilindro
hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de + 2λ. Con esta información, utilice
la ley de Gauss para determinar : a) la densidad de carga en la placa, b) el campo
eléctrico precisamente sobre la placa y c) el campo eléctrico precisamente bajo la placa.
 UNIDAD TEMÁTICA II : POTENCIAL ELÉCTRICO

4.- Trabajo y potencial en el campo eléctrico.

4.1.- En el Modelo de BOHR del átomo de hidrógeno, los electrones giran en un círculo
de radio 0.053 nm alrededor del núcleo.
a) ¿ Con qué rapidez se moverán los
electrones en esta órbita ?
b) ¿ Cuanta energía se necesita para
arrancar el electrón del átomo ?

4.2.- Tres cargas se colocan en los vértices de

un triángulo equilátero de lado a = 20 cm. Si q
= 1 µC determinar el valor de la energía
potencial mutua del sistema.

4.3.- Dado un sistema de coordenadas (x, y, z)

ubicamos una carga puntual positiva de valor q
= 50 µC en el punto P = (0, 10 cm, 0). Hallar el valor del Potencial Eléctrico en el punto A
= (0, 10 cm, 10 cm) y B = (10 cm, -10 cm, 20 cm). ¿ Cómo y cuánto será el intercambio
de energía producido para trasladar una carga q = 1 µC desde el punto A hasta el punto
B?

4.4.- Dos cargas q1 = +3 µC y q2 = +5 µC, están separadas por una distancia de 60 cm.
Encuéntrese la magnitud del campo eléctrico y el potencial absoluto de un punto situado
a la mitad de la distancia entre ellos.

4.5.- ¿ En qué puntos sobre la recta que

une las cargas puntuales de la figura, el
potencial se hace igual a cero ?
 4.6.- Calcúlese Ue para la configuración de las cargas
representadas en la figura, donde a = 0,20 m, b =
0,40 m y q = 10 µC.

4.7.- Se tiene un Campo Eléctrico paralelo al eje z y

orientado en su sentido positivo. Calcúlese el
trabajo requerido para desplazar una carga q = 5 µC en cada tramo de la trayectoria
ABCD, siendo sus coordenadas A = (0; 0; 0), B = (0; 1,2; 0) m, C = (0; 1,2; -3) m, D = (1,5;
1,2; -3) m.
E = 2000 N/C.

4.8.- Dos esferas metálicas de 3 cm de radio, tienen cargas de 10 nC y 30 nC,

respectivamente. Si sus centros se
encuentran separados 2 m, calcular :
a) El potencial en el punto situado a la
mitad entre sus centros;
b) El potencial de cada esfera.

4.9.- Una gota esférica de agua que

tiene una carga de 100 pC tiene un potencial de 600 V en su superficie.
a) ¿ Cuál es el radio de la gota ?
b) Si dos gotas iguales de la misma carga y radio se combinan para formara una sola
gota esférica, ¿ cuál es el potencial en la superficie de la nueva gota así formada ?

5.- Superficies Equipotenciales. Cálculo del potencial en configuraciones

de carga discretas y continuas: casos de planos, esfera y cilindro
cargados.
5.1.- Se tiene una esfera de material conductor de radio r = 15
cm a la cual se le ha aplicado una carga q = 0,5 µC. Calcular el
potencial en la superficie de la esfera y graficar el potencial en
función de la distancia r al centro de la esfera. Calcular el
potencial de la superficie esférica equipotencial de r = 1,5 m.

5.2.- En una cierta región, el Campo Eléctrico está dado por E =

5000 ux - 3000 uy V/m. Encuéntrese la diferencia de potencial
Vb - Va, si A es punto cuyas coordenadas coinciden con el origen,
y el punto B es (0, 0, 5) m. Repítase este procedimiento si B es
un punto de coordenadas (4, 0, 3) m.
(Sugerencia: ya que el campo es conservativo, úsese cualquier
trayectoria conveniente).

5.3.- Supóngase que las placas metálicas paralelas representadas

en la figura están separadas por una distancia de 0,50 cm y
además conectadas a una batería de 90 V. Encuéntrese el campo
eléctrico entre ellas y la densidad superficial
de carga sobre cada placa.

5.4.- Una placa metálica infinita tiene una

densidad superficial de carga uniforme de 3
2
nC/m . ¿ A qué distancia de la placa se
encuentran los planos equipotenciales que
difieren en potencial por 6 V respecto de la
placa ?

5.5.- La diferencia de potencial entre las dos

placas de la figura es de 100 V. Si el sistema
está en el vacío, ¿ cuál será la rapidez de un protón justo antes de golpear a la placa A, si
éste se deja en un punto arbitrario de la placa B ?
5.6.- Encuéntrese Va, Vb, y Vb - Va, para la situación que se muestra en la figura.

5.7.- En una cierta región del espacio, el campo eléctrico esta dirigido hacia la dirección
positiva del eje "y" y tiene una magnitud de 4000 V/m.¿ Cuál es la diferencia de
potencial entre un punto cuyas coordenadas son las del origen y los siguientes puntos:
a) x = 0, y = 20 cm, z = 0;
b) x = 0,y = -30 cm, z = 0;
c) x = 0, y = 0 , z = 15 cm ?

5.8.- Dos grandes placas metálicas paralelas (separadas por una división de 3 mm) se
cargan con una diferencia de potencial de 12 V,
a) ¿ cuál es el campo eléctrico entre ellas ?
b) la batería se desconecta en esta situación y las placas se separan hasta que
entre ellas media una distancia de 5 mm. ¿ Cuál es el nuevo campo eléctrico entre ellas y
cuál es ahora la diferencia de potencial?

5.9.- Las placas metálicas paralelas que se muestran en la figura están separadas por una
distancia de 10 cm y la diferencia de voltaje
entre ellas es de 28 V. Una pequeña esfera de
masa de 0,60 g cuelga atada a un hilo desde la
placa superior. ¿ Cuál es la tensión en el hilo si la
esfera tiene una carga de 20 µC ? Hay dos
respuestas posibles. Encuéntrense ambas.

5.10.- El haz de electrones en un tubo de

televisión consiste en electrones acelerados
desde el reposo a través de una diferencia de potencial de casi 20.000 V. ¿ Que tanta
energía en electrón-volt tienen los electrones ? ¿ Cuál es su rapidez ? Ignórense los
efectos relativos para estos cálculos aproximados.

6
5.11.- Se desea acelerar un protón desde el reposo hasta una velocidad de 5.0 * 10
m/s,
a) ¿ a través de qué diferencia de potencial debe cruzar el protón ?
b) ¿ cuál será su energía cinética en electrón volts ?

5.12.- Un electrón se dispara desde una placa grande hacia una segunda placa que es
6
paralela a la primera. Si su velocidad inicial es 5 * 10 m/s y su velocidad justo antes de
6
golpear a la otra placa es 2 * 10 m/s. ¿ Cuál es la diferencia de potencial entre las
placas ? La placa a la cual se dirige el electrón, ¿ tiene un potencial mayor o menor ?

6.- Gradiente de potencial. Aplicaciones al cálculo del campo eléctrico en

dipolos, anillos, discos y cilindros coaxiales cargados.

6.1.- El potencial eléctrico en cierta región del espacio está dado por V=3x2y-4xy-5xy2
volts. Encuentre a)el potencial eléctrico y b) las componentes del campo eléctrico en el
punto (+1,0,+2) donde todas las distancias están en metros.

6.2.- Dos placas paralelas son perpendiculares al eje x. La placa negativa está en el plano
yz y la placa positiva está en el punto x = x0 . El potencial en cualquier punto entre las
placas ( x < x0 ) está dado por V(x) = bx donde b es una constante. Encuentre una
expresión para el campo eléctrico E entre las dos placas.

6.3.- El potencial eléctrico dentro de un conductor esférico cargado de radio R está dado
por V = k.Q/R y fuera del conductor está dado por V = k.Q/r . Utilizando Er = - dV/dr,
deduzca el campo eléctrico en ambas partes a) dentro ( r < R ), y b) fuera ( r > R ) de esta
distribución de carga.

6.4.- Un dipolo eléctrico consta de dos cargas iguales y opuestas separadas una
distancia 2a, calcule el potencial eléctrico y el campo eléctrico en un punto p sobre el eje
x, y localizado a una distancia x del centro del dipolo.
6.5.- Un contador Geiger-Muller es un típico detector de radiación que consta
esencialmente de un cilindro hueco (el cátodo) de radio interior ra y un alambre cilíndrico
coaxial (el ánodo) de radio rb . La carga por unidad de longitud sobre el ánodo es λ,
asimismo la carga por unidad de longitud en el cátodo es de -λ. a) Demuestre que la
diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro en la región sensible del detector
está dado por
r 
V = 2 k . λ.ln a  .
 rb 
b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico sobre esta
región está dada por
V 1
E= . 
 ra   r 
ln 
 rb 
donde r es la distancia desde el centro del ánodo al punto
donde el campo es calculado.

7.-. Teorema de Gauss en forma diferencial, divergencia. Ecuaciones de

POISSON y LAPLACE. Aplicaciones

7.1.- Hallar ∇ . E siendo : E = a x . x 3 + a y . xyz + a z . yz 2