1.3 Forma Escalonada y Eliminación Gauss-Jordan

1.
3
Forma escalonada y
eliminación Gauss-
Jordan
Reducción por renglones y formas escalonadas
Una matriz rectangular está en forma escalonada si tiene las siguientes tres
propiedades:
Todos los renglones diferentes de cero están arriba de los renglones que solo
contienen ceros.
Cada entrada principal de un renglón está en una columna a la derecha de la

entrada principal del renglón superior.
En una columna todas las entradas debajo de la entrada principal, son cero.
Si una matriz de forma escalonada satisface las siguientes condiciones

adicionales, entonces está en forma escalonada.
La entrada principal en cada renglón diferente de cero es 1.

Cada entrada principal 1 es la única entrada distinta de cero en su columna.
Ejemplos de matrices
escalonadas
MATRIZ
MATRIZ ESCALONADA
ESCALONADA
Uso de la reducción por renglones para
resolver un sistema lineal
1. Escriba la matriz aumentada del sistema. 𝐴|𝑏
2. Emplee las operaciones elementales de reducción por renglones para obtener una
matriz aumentada equivalente en forma escalonada. Determine si el sistema es
consistente o no. Si no existe solución, deténgase; en caso contrario, continúe con el
siguiente paso.
3. Prosiga con la reducción por renglones para obtener la forma escalonada reducida.
4. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz obtenida en el paso 3.

Operaciones elementales de renglones
(Remplazo) Sustituir un renglón por la suma de sí mismo y un múltiplo de otro renglón, es

decir, sume a un renglón un múltiplo de otro renglón. 𝑹𝒊 = 𝒄𝑹𝒋 + 𝑹𝒊
(Intercambio) Intercambiar dos renglones. 𝑹𝒋 ↔ 𝑹𝒊
(Escalamiento) Multiplicar o dividir todos los elementos de un renglón por una constante
diferente de cero. 𝑹𝒊 = 𝒄𝑹𝒊
Operaciones elementales
Remplazo
Intercambio
Escalamiento
Ejemplo 1
Resolver el siguiente sistema por reducción de renglones
𝑥1 − 2𝑥2 = −1
−𝑥1 + 3𝑥2 = 3
1. Escribir la matriz aumentada

1 −2 −1
−1 3 3
2. Empleamos las operaciones elementales para escalonar la matriz
1 −2 −1 1 −2 −1 1 03
𝑹𝟐 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟏 = 𝟐𝑹𝟐 + 𝑹𝟏
−1 3 3 0 1 2 0 12
3. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es 3, 2 y como el sistema tiene

solución única, se concluye que el sistema es consistente determinado.
Ejemplo 2
Resolver el siguiente sistema por reducción de renglones
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −4
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6
1. Escribir la matriz aumentada

2 −1 4 −4
1 1 −2 5
3 2 1 6
2. Empleamos las operaciones elementales para escalonar la matriz
2 −1 4 −4 1 1 −2 5 1 1 −2 5
1 1 −2 5 𝑅1 ↔ 𝑅2 2 −1 4 −4 𝑅2 = −2𝑅1 + 𝑅2 0 −3 8 −14
3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6
1 1 −2 5 1 1 −2 5
0 −3 8 −14 𝑅3 = −3𝑅1 + 𝑅3 0 −3 8 −14
3 2 1 6 0 −1 7 −9
1 1 −2 5 1 1 −2 5
𝑅2 ↔ 𝑅3 0 −1 7 −9 𝑅2 = −𝑅2 0 1 −7 9
0 −3 8 −14 0 −3 8 −14
1 1 −2 5 1 1 −2 5
𝑅3
𝑅3 = 3𝑅2 + 𝑅3 0 1 −7 9 𝑅3 = −13 0 1 −7 9
0 0 −13 13 0 0 1 −1
1 1 −2 5 1 1 0 3
𝑅2 = 7𝑅3 + 𝑅2 0 1 0 2 𝑅1 = 2𝑅3 + 𝑅1 0 1 0 2
0 0 1 −1 0 0 1 −1
1 0 0 1
𝑅1 = −𝑅2 + 𝑅1 0 1 0 2
0 0 1 −1
3. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es (1, 2, −1)y como el sistema tiene
solución única, se concluye que el sistema es consistente determinado.
Ejemplo 3 2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 18
4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24
2𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 30
2 4 6 18 𝑅1 1 2 3 9 1 2 3 9
4 5 6 24 𝑅1 = 4 5 6 24 𝑅2 = −4𝑅1 + 𝑅2 0 −3 −6 −12
2
2 7 12 30 2 7 12 30 2 7 12 30
1 2 3 9 𝑅3 1 2 3 9
𝑅3 = −2𝑅1 + 𝑅3 0 −3 −6 −12 𝑅3 = 0 1 2 4
−3
0 3 6 12 0 3 6 12
1 2 39 1 0 −1 1
𝑅3 = −3𝑅2 + 𝑅3 0 1 2 4 𝑅1 = −2𝑅2 + 𝑅1 0 1 2 4
0 0 00 0 0 0 0
𝑥−𝑧 = 1 𝑥 =1+𝑧
𝑦 + 2𝑧 = 4 𝑦 = 4 − 2𝑧
𝑧=𝑧 𝑧=𝑧
Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es (1 + 𝑧, 4 − 2𝑧, 𝑧)y como el sistema
tiene infinitas soluciones, se concluye que el sistema es consistente
indeterminado.
Ejercicios
Resolver los sistemas por Gauss-Jordan:
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2
01 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 1
−2𝑥 − 𝑦 − 8𝑧 = −7
2𝑦 + 3𝑧 = 4
02 2𝑥 − 6𝑦 + 7𝑧 = 15
𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 10
𝑥+𝑦+𝑧= 6
03 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −10

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1.

Cada entrada principal de un renglón está en una columna a la derecha de la

Si una matriz de forma escalonada satisface las siguientes condiciones

La entrada principal en cada renglón diferente de cero es 1.

4. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz obtenida en el paso 3.

(Remplazo) Sustituir un renglón por la suma de sí mismo y un múltiplo de otro renglón, es

(Intercambio) Intercambiar dos renglones. 𝑹𝒋 ↔ 𝑹𝒊

1. Escribir la matriz aumentada

2. Empleamos las operaciones elementales para escalonar la matriz

3. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es 3, 2 y como el sistema tiene

1. Escribir la matriz aumentada

2. Empleamos las operaciones elementales para escalonar la matriz

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