CAPÍTULO 3 Problemas 283

PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 3

Deformaciones por torsión 3.2.4 Un tubo circular de acero con longitud L â 1.0 m está
3.2.1 Una barra de cobre con longitud L â 18.0 in se torcerá cargado en torsión por pares de torsión T (consulte la figura).
mediante pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el (a) Si el radio interior del tubo es r1 â 45 mm y el ángulo
ángulo de rotación entre los extremos de la barra sea 3.0° de torsión medido entre los extremos es 0.5°, ¿cuál es la defor-
Si la deformación unitaria por cortante permisible en el mación unitaria por cortante 1 (en radianes) en la superficie
cobre es 0.0006 rad, ¿cuál es el diámetro máximo permisible interior?
de la barra? (b) Si la deformación unitaria por cortante máxima per-
misible es 0.0004 rad y el ángulo de torsión se debe mantener
en 0.45° ajustando el par de torsión T, ¿cuál es radio exterior
máximo permisible (r2)máx?
d
T T 3.2.5 Resuelva el problema anterior si la longitud L â 56 in,
el radio interior r1 â 1.25 in, el ángulo de torsión es 0.5° y la
deformación unitaria por cortante permisible es 0.0004 rad.
L

PROBS. 3.2.1 y 3.2.2

3.2.2 Una barra de plástico con diámetro d â 56 mm se tor- Barras y tubos circulares
cerá por pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el
ángulo de rotación entre los extremos sea 4.0°. 3.3.1 Un minero utiliza un malacate de operación manual
Si la deformación unitaria por cortante permisible en el (consulte la figura) para izar un cubo de mineral en el tiro de
plástico es 0.012 rad, ¿cuál es la longitud mínima permisible su mina. El eje del malacate es una barra de acero con diáme-
de la barra? tro d â 0.625 in. Además, la distancia desde el centro del eje
hasta el centro de la cuerda de izado es b â 4.0 in.
3.2.3 Un tubo circular de aluminio sometido a torsión pura Si el peso del cubo cargado es W â 100 lb, ¿cuál es el
mediante pares de torsión T (consulte la figura) tiene un diá- esfuerzo cortante máximo en el eje debido a la torsión?
metro exterior r2 igual a 1.5 multiplicado por el radio interior r1.
(a) Si la deformación unitaria por cortante máxima en el
tubo es 400 ñ 10–6 rad, ¿cuál es la deformación unitaria por
cortante 1 en la superficie interior?
(b) Si la razón de torsión máxima permisible es 0.125
grados por pie y la deformación unitaria por cortante máxima
se debe mantener en 400 ñ 10–6 rad ajustando el par de torsión
T, ¿cuál es el radio exterior mínimo requerido (r2)mín?
P

T T

L d
W
r2
b
r1 W

PROBS. 3.2.3, 3.2.4 y 3.2.5 PROB. 3.3.1

284 CAPÍTULO 3 Torsión

3.3.2 Al taladrar un agujero en una pata de una mesa, un 3.3.4 Una barra de aluminio con sección transversal sólida
carpintero utiliza un taladro de operación manual (consulte la se tuerce por pares de torsión T que actúan en los extremos
figura) con una broca con diámetro d â 4.0 mm. (consulte la figura). Las dimensiones y el módulo de elastici-
(a) Si el par de torsión resistente suministrado por la pata dad en cortante son las siguientes: L â 1.4 m, d â 32 mm y
de la mesa es igual a 0.3 N∙m, ¿cuál es el esfuerzo cortante G â 28 GPa.
máximo en la broca del taladro? (a) Determine la rigidez torsional de la barra.
(b) Si el módulo de elasticidad cortante del acero es (b) Si el ángulo de torsión de la barra es 5°, ¿cuál es el
G â 75 GPa, ¿cuál es la razón de torsión de la broca del tala- esfuerzo cortante máximo? ¿Cuál es la deformación unitaria
dro (grados por metro)? por cortante máxima (en radianes)?

d
T T
d

PROB. 3.3.4

3.3.5 Una barra de perforación de acero de alta resistencia

utilizada para taladrar un agujero en el suelo tiene un diámetro
de 0.5 in (consulte la figura). El esfuerzo cortante permisible
en el acero es 40 ksi y el módulo de elasticidad en cortante es
11,600 ksi.
¿Cuál es la longitud mínima requerida de la barra de
PROB. 3.3.2
manera que uno de sus extremos se pueda torcer 30° con re-
3.3.3 Al desmontar una rueda para cambiar un neumático, specto al otro sin sobrepasar el esfuerzo permisible?
un conductor aplica fuerzas P â 25 lb en los extremos de dos
de los brazos de una llave de cruz (consulte la figura). La lla-
ve está hecha de acero con módulo de elasticidad en cortante d = 0.5 in
T T
G â 11.4 ñ 106 psi. Cada brazo de la llave tiene una longitud
de 9.0 in y tiene una sección transversal circular sólida con
diámetro d â 0.5 in. L
(a) Determine el esfuerzo cortante máximo en el brazo
que gira la tuerca del birlo (brazo A). PROB. 3.3.5
(b) Determine el ángulo de torsión (en grados) de este
mismo brazo. 3.3.6 El eje de acero de una llave de cubo tiene un diámetro
de 8.0 mm y una longitud de 200 mm (consulte la figura).
Si el esfuerzo permisible en la barra es 60 MPa, ¿cuál es
el par de torsión máximo permisible Tmáx que se puede ejercer
con la llave?
¿Qué ángulo  (en grados) girará el eje ante la acción del
par de torsión máximo? (Suponga G â 78 GPa y no tome en
cuenta ninguna flexión del eje).

P
9.0 A
in
d = 8.0 mm
9.0
in
T
L = 200 mm
d = 0.5 in
P = 25 lb
PROB. 3.3.3 PROB. 3.3.6
 CAPÍTULO 3 Problemas 285

3.3.7 Un tubo circular de aluminio se somete a torsión por pa- 3.3.9 Tres discos circulares idénticos A, B y C están solda-
res de torsión T aplicados en los extremos (consulte la figura). dos a los extremos de tres barras circulares idénticas (consulte
La barra tiene una longitud de 24 in y los diámetros interior y la figura). Las barras se encuentran en un plano común y los
exterior son 1.25 in y 1.75 in, respectivamente. Mediante una discos están en planos perpendiculares a los ejes de las barras.
medición se ha determinado que el ángulo de torsión es 4° Las barras están soldadas en su intersección D para formar
cuando el par de torsión es 6200 lb-in. una conexión rígida. Cada barra tiene un diámetro d1 â 0.5 in
Calcule el esfuerzo cortante máximo -máx en el tubo, el y cada disco tiene un diámetro d2 â 3.0 in.
módulo de elasticidad en cortante G y la deformación unitaria Las fuerzas P1, P2 y P3 actúan sobre los discos A, B y C,
por cortante máxima máx (en radianes). respectivamente, sometiendo de esta manera las barras a tor-
sión. Si P1 â 28 lb, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo -máx
en cualquiera de las tres barras?

T T

24 in P3 C

P1 135°
P3
d1
A
1.25 in
D
1.75 in 135°
P1 90°
d2

PROB. 3.3.7

P2
P2 B

3.3.8 Un eje de hélice para un yate pequeño está hecho de

una barra sólida de acero con diámetro de 104 mm. El es-
fuerzo permisible en cortante es 48 MPa y la razón de torsión PROB. 3.3.9
permisible es 2.0° en 3.5 metros.
Suponiendo que el módulo de elasticidad en cortante es
G â 80 GPa, determine el par de torsión máximo Tmáx que se
pueda aplicar al eje.
3.3.10 El eje de acero de un malacate grande en un trans-
atlántico está sometido a un par de torsión de 1.65 kN∙m (con-
sulte la figura). ¿Cuál es el diámetro mínimo requerido dmín si
el esfuerzo cortante permisible es 48 MPa y la razón de torsión
permisible es 0.75°m? (Suponga que el módulo de elastici-
dad en cortante es 80 GPa.)
d
T T

L T
d
T

PROB. 3.3.8 PROB. 3.3.10

286 CAPÍTULO 3 Torsión

3.3.11 Un eje hueco de acero empleado en una barrena de Si el esfuerzo cortante permisible en el poste es 4500 psi,
construcción tiene un diámetro exterior d2 â 6.0 in y un diá- ¿cuál es el diámetro mínimo requerido dmín del poste?
metro interior d1 â 4.5 in (consulte la figura). El acero tiene
un módulo de elasticidad G â 11.0 ñ 106 psi.
Para un par de torsión aplicado de 150 k-in, determine las
cantidades siguientes: P
c c
(a) El esfuerzo cortante -2 en la superficie exterior del eje.
A B
(b) El esfuerzo cortante -1 en la superficie interior y
(c) La razón de torsión . (grados por unidad de longitud).
P
También, trace un diagrama mostrando cómo varía la
magnitud de los esfuerzos cortantes a lo largo de la línea radial d
en la sección transversal.

PROBS. 3.3.13 y 3.3.14

3.3.14 Resuelva el problema anterior si las fuerzas horizonta-

d2 les tienen una magnitud P â 5.0 kN, la distancia c â 125 mm
y el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa.

3.3.15 Una barra sólida de latón con diámetro d â 1.25 in

se somete a pares de torsión T1, como se muestra en la parte
(a) de la figura. El esfuerzo cortante permisible en el latón es
12 ksi.
(a) ¿Cuál es el valor máximo permisible de los pares de
torsión T1?
(b) Si se taladra un agujero con diámetro de 0.625 in lon-
gitudinalmente por la barra, como se muestra en la parte (b)
d1 de la figura, ¿cuál es el valor máximo permisible de los pares de
d2 torsión T2?
(c) ¿Cuál es el decremento porcentual en el par de torsión
y el decremento porcentual en el peso debidos al agujero?
PROBS. 3.3.11 y 3.3.12

d
T1 T1

3.3.12 Resuelva el problema anterior si el eje tiene diámetro

(a)
exterior d2 â 150 mm y diámetro interior d1 â 100 mm. Ade-
más, el acero tiene un módulo de elasticidad en cortante G â
d
75 GPa y el par de torsión aplicado es 16 kN∙m. T2 T2

3.3.13 Un poste vertical con sección transversal circular se

tuerce por fuerzas horizontales P â 1100 lb que actúan en los (b)
extremos de un brazo horizontal AB (consulte la figura). La
distancia desde el exterior del poste hasta la línea de acción de
cada fuerza es c â 5.0 in. PROB. 3.3.15
 CAPÍTULO 3 Problemas 287

3.3.16 Un tubo hueco de aluminio utilizado en una techum- segmento más largo del eje tiene un diámetro d1 â 2.25 in y
bre tiene un diámetro exterior d2 â 104 mm y un diámetro una longitud L1 â 30 in; el segmento más corto tiene un diá-
interior d1 â 82 mm (consulte la figura). El tubo tiene una metro d2 â 1.75 in y una longitud L2 â 20 in. El material es
longitud de 2.75 m y el módulo de elasticidad en cortante del acero con módulo de cortante G â 11 ñ 106 psi y los pares de
aluminio es G â 28 GPa. torsión son T1 â 20,000 lb-in y T2 â 8000 lb-in.
(a) Si el tubo se tuerce en torsión pura mediante pares de Calcule las cantidades siguientes: (a) el esfuerzo cortante
torsión en los extremos, ¿cuál es el ángulo de torsión (en gra- máximo -máx en el eje y (b) el ángulo de torsión C (en grados)
dos) cuando el esfuerzo cortante máximo es 48 MPa? en el extremo C.
(b) ¿Qué diámetro d se requiere para un eje sólido (con-
sulte la figura) para resistir el mismo par de torsión con el T1
mismo esfuerzo máximo? T2
d1 d2
(c) ¿Cuál es la razón entre el peso del tubo hueco y el
peso del eje sólido?

A B C

L1 L2

PROB. 3.4.1
d1 d
d2 3.4.2 Un tubo circular con diámetro exterior d3 â 70 mm y
diámetro interior d2 â 60 mm está soldado en el extremo de-
PROB. 3.3.17 recho a una placa fija y en el extremo izquierdo a una placa ex-
trema rígida (consulte la figura). Dentro del tubo y concéntrica
*3.3.17 Un tubo circular con diámetro interior r1 y diámetro con el tubo se encuentra una barra circular sólida con diámetro
exterior r2 se somete a un par de torsión producido por fuer- d1 â 40 mm. La barra pasa por un agujero en la placa fija y
zas P â 900 lb (consulte la figura). Las fuerzas tienen sus está soldada a la placa extrema rígida.
líneas de acción a una distancia b â 5.5 in desde el exterior La barra tiene una longitud de 1.0 m y la longitud del
del tubo. tubo es igual a la mitad de la barra. Un par de torsión T â 1000
Si el esfuerzo cortante permisible en el tubo es 6300 psi y N∙m actúa en el extremo A de la barra. Además, tanto la barra
el radio interior r1 â 1.2 in, ¿cuál es el radio exterior mínimo como el tubo están hechos de una aleación de aluminio con
permisible r2? módulo de elasticidad en cortante G â 27 GPa.
(a) Determine los esfuerzos cortantes máximos en la ba-
rra y el tubo.
P
(b) Determine el ángulo de torsión (en grados) en el ex-
tremo A de la barra.

Tubo
Placa
fija
Placa
P Barra
extrema
P
T
r2 A
r1
P Tubo
b b
2r2 Barra

PROB. 3.3.17

d1
Torsión no uniforme
d2
3.4.1 Un eje escalonado ABC que consiste de dos segmentos d3
circulares sólidos se somete a pares de torsión T1 y T2 que
actúan en sentidos opuestos, como se muestra en la figura. El PROB. 3.4.1
288 CAPÍTULO 3 Torsión

3.4.3 Un eje escalonado ABCD que consiste en segmentos 3.4.6 Un eje con sección transversal sólida que consiste de
circulares sólidos se somete a tres pares de torsión, como se dos segmentos se muestra en la primera parte de la figura. El
muestra en la figura. Los pares de torsión tienen magnitudes segmento izquierdo tiene un diámetro de 80 mm y una longi-
de 12.5 k-in, 9.8 k-in y 9.2 k-in. La longitud de cada segmento tud de 1.2 m; el segmento derecho tiene un diámetro de 60 mm
es 25 in y los diámetros de los segmentos son 3.5 in, 2.75 in y una longitud de 0.9 m.
y 2.5 in. El material es acero con módulo de elasticidad en En la segunda parte de la figura se muestra un eje hueco
cortante G â 11.6 ñ 103 ksi. hecho con el mismo material y con la misma longitud. El es-
(a) Calcule el esfuerzo cortante máximo -máx en el eje. pesor t del eje hueco es d10, donde d es el diámetro exterior.
(b) Calcule el ángulo de torsión D (en grados) en el ex- Los dos ejes se someten al mismo par de torsión.
tremo D. Si el eje hueco debe tener la misma rigidez torsional que
el eje sólido, ¿cuál deberá ser su diámetro exterior d?
12.5 k-in 9.8 k-in 9.2 k-in
3.5 in 2.75 in 2.5 in
80 mm 60 mm
C D
A B
25 in 25 in 25 in

PROB. 3.4.3 1.2 m 0.9 m

t=—d
d
3.4.4 Una barra circular sólida ABC consiste de dos seg- 10
mentos, como se muestra en la figura. Un segmento tiene un
diámetro d1 â 56 mm y una longitud L1 â 1.45 m; el otro
segmento tiene un diámetro d2 â 48 mm y una longitud
2.1 m
L2 â 1.2 m.
¿Cuál es el par de torsión permisible Tperm si el esfuerzo
cortante no debe sobrepasar 30 MPa y el ángulo de torsión en- PROB. 3.4.6
tre los extremos de la barra no debe exceder 1.25°? (Suponga
G â 80 GPa).
3.4.7 Cuatro engranes están conectados a un eje circular y
d1 d2 transmiten los pares de torsión que se muestran en la figura. El
T T esfuerzo cortante permisible en el eje es 10,000 psi.
(a) ¿Cuál es el diámetro requerido d del eje si tiene una
A B C
sección transversal sólida?
L1 L2 (b) ¿Cuál es el diámetro exterior requerido d si el eje es
hueco con un diámetro interior de 1.0 in?
PROB. 3.4.4

3.4.5 Un tubo hueco ABCDE construido de metal monel está

sometido a cinco pares de torsión que actúan en los sentidos
que se muestran en la figura. Las magnitudes de los pares de 8000 lb-in
torsión son T1 â 1000 lb-in, T2 â T4 â 500 lb-in y T3 â
T5 â 800 lb-in. El tubo tiene un diámetro exterior d2 â 1.0
in. El esfuerzo cortante permisible es 12,000 psi y la razón de 19,000 lb-in
torsión permisible es 2.0°ft.
Determine el diámetro interior máximo permisible d1 del 4000 lb-in
tubo.
A 7000 lb-in
T1 = T2 = T3 = T4 = T5 =
1000 lb-in 500 lb-in 800 lb-in 500 lb-in 800 lb-in B
C

D
A B C D E
d2 = 1.0 in
PROB. 3.4.5 PROB. 3.4.7
 CAPÍTULO 3 Problemas 289

3.4.8 Una barra ahusada AB con sección transversal sólida se (d) ¿Cuál es la rotación en el punto 2, 2?
tuerce por pares de torsión T (consulte la figura). El diámetro (e) Trace el momento torsional (TMD: T(x), 0 ≤ x ≤ L) y
de la barra varía linealmente de dA en el extremo izquierdo a los diagramas del desplazamiento (TDD: (x) 0 ≤ x ≤ L).
dB en el extremo derecho.
¿Para qué razón dBdA será el ángulo de torsión de la ba-
rra ahusada la mitad del ángulo de torsión de una barra pris-
mática con diámetro dA? (La barra prismática está hecha con Segmento 1 Segmento 2
el mismo material, tiene la misma longitud y se somete al mis-
mo par de torsión que la barra ahusada). Sugerencia: utilice x 7
los resultados del ejemplo 3.5. —Ip Ip T
R1 8 —
2
T
B
A 1 2 3
T T
x L–x

dA dB TMD 0 0

PROBS. 3.4.8, 3.4.9 y 3.4.10

3.4.9 Una barra ahusada AB con sección transversal sólida TDD 0 0

se tuerce por pares de torsión T â 36,000 lb-in (consulte la
figura). El diámetro de la barra varía linealmente de dA en el
extremo izquierdo a dB en el extremo derecho. La barra tiene
una longitud L â 4.0 ft y está hecha de una aleación de alu- PROB. 3.4.11
minio que tiene un módulo de elasticidad en cortante G â
3.9 ñ 106 psi. El esfuerzo cortante permisible en la barra es
3.4.12 Un tubo uniformemente ahusado AB con sección
15,000 psi y el ángulo de torsión permisible es 3.0°.
transversal circular se muestra en la figura. El tubo tiene espe-
Si el diámetro en el extremo B es 1.5 veces el diámetro en
sor de pared constante t y longitud L. Los diámetros promedio
el extremo A, ¿cuál es el diámetro mínimo requerido dA en el ex-
en los extremos son dA y dB â 2dA. El momento polar de iner-
tremo A? (Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 3.5).
cia se puede representar mediante la fórmula aproximada IP ≈
3.4.10 La barra que se muestra en la figura está ahusada li- )d3t4 (consulte la ecuación 3.18).
nealmente del extremo A al extremo B y tiene una sección Deduzca una fórmula para el ángulo de torsión  del
transversal sólida. El diámetro en el extremo más pequeño de tubo cuando se somete a pares de torsión T que actúan en los
la barra es dA â 25 mm y la longitud es L â 300 mm. La ba- extremos.
rra está hecha de acero con módulo de elasticidad en cortante
G â 82 GPa. B
Si el par de torsión T â 180 N∙m y el ángulo de torsión A
permisible es 0.3°, ¿cuál es el diámetro mínimo permisible dB T T
en el extremo más grande de la barra? (Sugerencia: utilice los
resultados del ejemplo 3.5).
3.4.11 La barra circular no prismática en voladizo que se mues- L
tra tiene un agujero cilíndrico interno de 0 a x, de manera que el t
momento polar de inercia de la sección transversal para el seg- t
mento 1 es (78)IP. El par de torsión T se aplica en x y el par de
torsión T2 se aplica en x â L. Suponga que G es constante.
(a) Encuentre el momento de reacción R1.
(b) Encuentre los momentos torsionales internos Ti en los dA
segmentos 1 y 2. dB = 2dA
(c) Encuentre x requerida para obtener una torsión en el
punto 3 de 3 â TLGIP. PROB. 3.4.12
290 CAPÍTULO 3 Torsión

3.4.13 En la figura se muestra un tubo de una aleación de 3.4.15 Un ciclista que sube por una colina aplica un par de
aluminio uniformemente ahusado AB con sección transversal torsión T â Fd (F â 15 lb, d â 4 in) al extremo de los mani-
circular y longitud L. Los diámetros exteriores en los extre- llares ABCD (empujando sobre sus extensiones DE). Consi-
mos son dA y dB â 2dA. Una sección hueca con longitud L2 dere sólo la mitad derecha del conjunto del manillar (suponga
y espesor constante t â dA10 está formada en el tubo y se que las barras están fijas en la horquilla en A). Los segmentos
extiende desde B hasta la mitad del tubo hacia A. AB y CD son prismáticos con longitudes L1 â 2 in y L3 â 8.5
(a) Encuentre el ángulo de torsión  del tubo cuando se in, y con diámetros exteriores y espesores d01 â 1.25 in, t01
somete a pares de torsión T que actúan en los extremos. Uti- â 0.125 in, y d03 â 0.87 in, t03 â 0.115 in, respectivamente,
lice los valores numéricos siguientes: dA â 2.5 in, L â 48 in, como se muestra en la figura. El segmento BC tiene una lon-
G â 3.9 ñ 106 psi y T â 40,000 in-lb. gitud L2 â 1.2 in aunque está ahusado y el diámetro exterior y
(b) Repita el inciso (a) si la sección hueca tiene un diáme- los espesores varían linealmente entre los puntos B y C.
tro constante dA. [(Consulte la parte (b) de la figura]. Considere sólo los efectos de la torsión. Suponga que
G â 4000 ksi es constante.
t constante
t Obtenga una expresión integral para el ángulo de torsión
L dB – 2t D de la mitad del tubo del manillar cuando se somete a un par
—
2 B de torsión T â Fd actuando en el extremo. Evalúe D para los
T A
T valores numéricos dados.

dA
L dB

(a)
Extensión del manillar
d01, t01
L E
— dA
2 B d03, t03
A B T = Fd
T T
A C D
dA dB
L L1 L2 L3
PROB. 3.4.13

3.4.14 Para el tubo delgado no prismático de acero con espesor Extensión

constante t y diámetro variable d que se muestra con pares de d
del manillar
torsión aplicados en los puntos 2 y 3, determine lo siguiente:
F
(a) Encuentre el momento de la reacción R1. 45°
(b) Encuentre una expresión para la rotación de torsión
3 en el punto 3. Suponga que G es constante. D
(c) Trace el diagrama del momento torsional (TMD:
T(x), 0 ǔ x ǔ L).

2d
t t
d d
T/2 T, f3
R1
2 3
1 L L
— —
2 2
x

0 TMD

PROB. 3.4.14 PROB. 3.4.15

 CAPÍTULO 3 Problemas 291

3.4.16 Una barra prismática AB con longitud L y sección (c) Encuentre la rotación C.
transversal circular (diámetro d) está cargada por un par de (d) Encuentre el esfuerzo cortante máximo -máx y su ubi-
torsión con intensidad constante t por unidad de distancia cación a lo largo de la barra.
(consulte la figura). (e) Trace el diagrama de momento torsional (TMD:
(a) Determine el esfuerzo cortante máximo -máx en la barra. T(x), 0 ǔ x ǔ L).
(b) Determine el ángulo de torsión  entre los extremos
de la barra. T
—0
L

t
A 2Ip IP Fc
RA
B C
A L L
B — —
L 2 2
T0
—
3L

PROB. 3.4.16

*3.4.17 Una barra prismática AB con sección transversal cir- 0 TMD

cular sólida (diámetro d) está cargada por un par de torsión dis-
tribuido (consulte la figura). La intensidad del par de torsión,
es decir, el par de torsión por unidad de distancia, se denota
t(x) y varía linealmente de un valor máximo tA en el extremo A
a cero en el extremo B. Además, la longitud de la barra es L y
el módulo de elasticidad cortante del material es G. PROB. 3.4.18
(a) Determine el esfuerzo cortante máximo -máx en la barra. **3.4.19 Un alambre de una aleación de magnesio con diá-
(b) Determine el ángulo de torsión  entre los extremos metro d â 4 mm y longitud L gira dentro de un tubo flexible a
de la barra. fin de abrir o cerrar un interruptor desde una ubicación remota
(consulte la figura). Se aplica un par de torsión manualmente
(ya sea en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a
éste) en B, torciendo así el alambre dentro del tubo. En el otro
t(x) extremo A, la rotación del alambre opera una manija que abre
o cierra el interruptor.
A
Se requiere un par de torsión T0 â 0.2 N∙m para operar
el interruptor. La rigidez torsional del tubo, combinada con la
fricción entre el tubo y el alambre, induce un par de torsión
L B distribuido con intensidad constante t â 0.04 N∙mm (par de
torsión por unidad de distancia) que actuá a lo largo de toda la
longitud del alambre.
(a) Si el esfuerzo cortante permisible en el alambre es
PROB. 3.4.17 -perm â 30 MPa, ¿cuál es la longitud máxima permisible Lmáx
del alambre?
3.4.18 Una barra no prismática ABC con sección transversal (b) Si el alambre tiene una longitud L â 4.0 m y el módu-
circular sólida está cargada por pares de torsión distribuidos lo de elasticidad en cortante para el alambre es G â 15 GPa,
(consulte la figura). La intensidad de los pares de torsión, es ¿cuál es el ángulo de torsión  (en grados) entre los extremos
decir, el par de torsión por unidad de distancia, se denota t(x) del alambre?
y varía linealmente de cero en A a un valor máximo T0L en B. Tubo flexible
El segmento BC tiene un par de torsión linealmente distribui- T0 = par de torsión
B
do con intensidad t(x) â T03L de signo opuesto al aplicado a
lo largo de AB. Además, el momento polar de inercia de AB es
el doble que el de BC y el módulo de elasticidad en cortante
del material es G. A d T
(a) Encuentre el par de torsión de la reacción RA.
(b) Encuentre los momentos torsionales internos T(x) en t
los segmentos AB y BC. PROB. 3.4.19
292 CAPÍTULO 3 Torsión

3.4.20 Dos tubos huecos están conectados por un pasador en

d2
B, que se inserta en un agujero que pasa por los dos tubos en T T
B (consulte la vista de sección transversal en B). El tubo BC
está ajustado firmemente en el tubo AB pero no tome en cuenta
ninguna fricción sobre la interfaz. Los diámetros interior y ex-
L
terior del tubo di (i â 1, 2, 3) y el diámetro de pasador dp están
identificados en la figura. El par de torsión T0 se aplica en C.
El módulo de elasticidad en cortante del material es G.
Formule expresiones para el par de torsión máximo T0,máx d1 d2
que se puede aplicar en C para cada una de las condiciones
siguientes.
(a) El cortante en el pasador de conexión es menor que PROBS. 3.5.1, 3.5.2 y 3.5.3
algún valor permisible (-pasador < -p,perm).
(b) El cortante en el tubo AB o BC es menor que algún 3.5.2 Una barra hueca de acero (G â 80 GPa) se somete a
valor permisible (-tubo < -t,perm). pares de torsión T (consulte la figura). La torsión de la barra
(c) ¿Cuál es la rotación máxima C para cada uno de los produce una deformación unitaria máxima máx â 640 ñ 10Ľ6
casos (a) y (b) anteriores? rad. La barra tiene diámetros exterior e interior de 150 mm y
120 mm, respectivamente.
(a) Determine la deformación unitaria máxima por ten-
sión en la barra.
(b) Determine el esfuerzo de tensión máximo en la barra.
(c) ¿Cuál es la magnitud de los pares de torsión apli-
cados T?

3.5.3 Una barra tubular con diámetro exterior d2 â 4.0 in se

tuerce por pares de torsión T â 70.0 k-in (consulte la figura).
Ante la acción de estos pares de torsión, se determina que el
esfuerzo de tensión máximo en la barra es 6400 psi.
(a) Determine el diámetro interior d1 de la barra.
(b) Si la barra tiene una longitud L â 48.0 in y está hecha
de aluminio con módulo en cortante G â 4.0 ñ 106 psi, ¿cuál
es el ángulo de torsión  (en grados) entre los extremos de la
barra?
(c) Determine la deformación unitaria por cortante máxi-
ma máx (en radianes)

3.5.4 Una barra circular sólida con diámetro d â 50 mm

(consulte la figura) se tuerce en una máquina de pruebas hasta
PROB. 3.4.20 que el par de torsión aplicado alcanza el valor T â 500 N∙m.
En este valor del par de torsión, un deformímetro orientado a
45° con respecto al eje de la barra da una lectura F â 339 ñ 10Ľ6.
¿Cuál es el módulo de cortante G del material?

Deformímetro
d = 50 mm T = 500 N·m
T
Cortante puro
3.5.1 Un eje hueco de aluminio (consulte la figura) tiene un 45°
diámetro exterior d2 â 4.0 in y diámetro interior d1 â 2.0 in.
Cuando se tuerce por los pares de torsión T, el eje tiene un PROB. 3.5.4
ángulo de torsión por unidad de distancia igual a 0.54°ft. El
módulo de elasticidad del aluminio es G â 4.0 ñ 106 psi. 3.5.5 Un tubo de acero (G â 11.5 ñ 106 psi) tiene un diá-
(a) Determine el esfuerzo de tensión máximo ,máx en metro exterior d2 â 2.0 in y un diámetro interior d1 â 1.5 in.
el eje. Cuando se tuerce por un par de torsión T, el tubo desarrolla
(b) Determine la magnitud de los pares de torsión apli- una deformación unitaria normal máxima de 170 ñ 10Ľ6.
cados T. ¿Cuál es la magnitud del par de torsión aplicado T?
 CAPÍTULO 3 Problemas 293

3.5.6 Una barra circular sólida de acero (G â 78 GPa) trans- Transmisión de potencia
mite una par de torsión T â 360 N∙m. Los esfuerzos permisi- 3.7.1 Un eje de un generador en una planta hidroeléctrica pe-
bles en tensión, compresión y cortante son 90 MPa, 70 MPa queña gira a 120 rpm y suministra 50 hp (consulte la figura).
y 40 MPa, respectivamente. Además, la deformación unitaria (a) Si el diámetro del eje es d â 3.0 in, ¿cuál es el esfuer-
permisible en tensión es 220 ñ 10-6. Determine el diámetro zo cortante máximo -máx en el eje?
mínimo requerido d de la barra. (b) Si el esfuerzo cortante está limitado a 4000 psi, ¿cuál
3.5.7 La deformación unitaria normal en la dirección a 45° es el diámetro mínimo permisible dmín del eje?
sobre la superficie de un tubo circular (consulte la figura) es
880 ñ 10Ľ6 cuando el par de torsión T â 750 lb-in. El tubo está
hecho de una aleación de cobre con G â 6.2 ñ 106 psi.
Si el diámetro exterior d2 del tubo es 0.8 in, ¿cuál es el 120 rpm
diámetro interior d1? d

Deformímetro
d 2 = 0.8 in T = 750 lb-in 50 hp
T
PROB. 3.7.1
45°

PROB. 3.5.7 3.7.2 Un motor impulsa un eje a 12 Hz y suministra 20 kW

de potencia (consulte la figura).
3.5.8 Un tubo de aluminio con diámetro interior d1 â 50 mm (a) Si el eje tiene un diámetro de 30 mm, ¿cuál es el es-
y módulo de elasticidad en cortante G â 27 GPa se somete a fuerzo cortante máximo -máx en el eje?
un par de torsión T â 4.0 kN∙m. El esfuerzo cortante permisi- (b) Si el esfuerzo cortante máximo permisible es 40 MPa,
ble en el aluminio es 50 MPa y la deformación unitaria normal ¿cuál es el diámetro mínimo permisible dmín del eje?
permisible es 900 ñ 10Ľ6.
Determine el diámetro exterior d2 requerido.
3.5.9 Una barra sólida de acero (G â 11.8 ñ 106 psi) con diá-
metro d â 2.0 in está sometida a pares de torsión T â 8.0 k-in 12 Hz
d
que actúan en los sentidos que se muestran en la figura.
(a) Determine los esfuerzos máximos de cortante, tensión
y compresión en la barra y muéstrelos en diagramas de ele- 20 kW
mentos de esfuerzo orientados apropiadamente.
(b) Determine las deformaciones máximas correspon- PROB. 3.7.2
dientes (en cortante, tensión y compresión) en la barra y mués-
trelas en diagramas de los elementos deformados.
3.7.3 El eje de la hélice de un barco grande tiene un diáme-
d = 2.0 in T = 8.0 k-in
T tro exterior de 18 in y un diámetro interior de 12 in, como se
muestra en la figura. El eje está clasificado para un esfuerzo
cortante máximo de 4500 psi.
(a) Si el eje gira a 100 rpm, ¿cuál es la potencia máxima,
PROB. 3.5.9
en caballos de potencia, que se puede transmitir sin sobrepasar
3.5.10 Una barra sólida de aluminio (G â 27 GPa) con diá- el esfuerzo permisible?
metro d â 40 mm se somete a pares de torsión T â 300 N ∙ m (b) Si la velocidad rotacional del eje se duplica pero los
que actúan en los sentidos que se muestran en la figura. requerimientos de potencia permanecen iguales, ¿qué pasa
(a) Determine los esfuerzos máximos en cortante, tensión con el esfuerzo cortante en el eje?
y compresión en la barra y muéstrelos en diagramas de ele-
mentos de esfuerzo orientados apropiadamente.
(b) Determine las deformaciones unitarias máximas co-
18 in 100 rpm
rrespondientes (en cortante, tensión y compresión) en la barra
y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados.

d = 40 mm T = 300 N·m
T
12 in
18 in
PROB. 3.5.10 PROB. 3.7.3
294 CAPÍTULO 3 Torsión

3.7.4 El eje motriz de un camión (diámetro exterior de 60 *3.7.9 Un motor suministra 275 hp a 1000 rpm al extremo de
mm y diámetro interior de 40 mm) está girando a 2500 rpm un eje (consulte la figura). Los engranes en B y C toman 125 y
(consulte la figura). 150 hp, respectivamente.
(a) Si el eje transmite 150 kW, ¿cuál es el esfuerzo cor- Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo
tante máximo en el eje? cortante permisible es 7500 psi y el ángulo de torsión entre el
(b) Si el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa, ¿cuál es motor y el engrane C está limitado a 1.5°. (Suponga G â 11.5
la potencia máxima que se puede transmitir? ñ 106 psi, L1 â 6 ft y L2 â 4 ft).

2500 rpm
60 mm
Motor
C
A d B

40 mm
60 mm

L1 L2
PROB. 3.7.4

PROBS. 3.7.9 y 3.7.10

3.7.5 Un eje circular hueco que va a usarse en una estación
de bombeo se está diseñando con un diámetro interior igual a
0.75 veces el diámetro exterior. El eje debe transmitir 400 hp
a 400 rpm sin exceder el esfuerzo cortante máximo permisible
de 6000 psi. *3.7.10 El eje ABC que se muestra en la figura está impul-
Determine el diámetro exterior d mínimo requerido. sado por un motor que suministra 300 kW a una velocidad
rotacional de 32 Hz. Los engranes en B y C toman 120 y 180
3.7.6 Un eje tubular diseñado para utilizarse en un sitio de kW, respectivamente. Las longitudes de las dos partes del eje
construcción debe transmitir 120 kW a 1.75 Hz. El diámetro son L1 â 1.5 m y L2 â 0.9 m.
interior del eje tendrá la mitad del diámetro exterior. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo
Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 45 MPa, cortante permisible es 50 MPa, el ángulo de torsión permisible
¿cuál es el diámetro exterior d mínimo requerido? entre los puntos A y C es 4.0° y G â 75 GPa.

3.7.7 Un eje de hélice con sección transversal circular y diá- Elementos torsionales estáticamente indeterminados
metro d esta empalmado mediante un collarín del mismo ma-
3.8.1 Una barra circular sólida ABCD con soportes fijos está
terial (consulte la figura). El collarín está firmemente unido a
sometida a los pares de torsión T0 y 2T0 en las ubicaciones que
las dos partes del eje.
se muestran en la figura.
¿Cuál debe ser el diámetro exterior mínimo d1 del colla-
Obtenga una fórmula para el ángulo de torsión máximo
rín a fin de que el empalme pueda transmitir la misma potencia
máx de la barra. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b
que el eje sólido?
del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.)

d1 d

T0 2T0
TA A B C D TD
PROB. 3.7.7

3.7.8 ¿Cuál es la potencia máxima que puede suministrar un 3L 3L 4L

— — —
eje hueco de hélice (diámetro exterior de 50 mm, diámetro 10 10 10
interior de 40 mm y módulo de elasticidad en cortante de 80 L
GPa) que gira a 600 rpm si el esfuerzo cortante permisible es
100 MPa y la razón de torsión permisible es 3.0°m? PROB. 3.8.1
 CAPÍTULO 3 Problemas 295

3.8.2 Una barra sólida circular ABCD con soportes fijos en

los extremos A y D está sometida a dos pares de torsión igua-
les y con sentidos opuestos T0 como se muestra en la figura. 200 mm
Los pares de torsión se aplican en los puntos B y C, cada uno
A
de ellos se ubica a una distancia x desde un extremo de la ba-
rra. (La distancia x puede variar de cero a L2. P
200 mm
(a) ¿Para qué distancia x el ángulo de torsión en los pun- C
tos B y C será un máximo?
(b) ¿Cuál es el ángulo de torsión máx correspondiente? B
(Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 P
para obtener los pares de torsión reactivos.)
600 mm

400 mm
T0 T0
TA A B C D TD PROB. 3.8.4

3.8.5 Un eje escalonado ACB que tiene secciones transversa-

x x les circulares sólidas con dos diámetros diferentes se mantiene
fijo contra la rotación en los extremos (consulte la figura).
Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 6000 psi,
L
¿cuál es el par de torsión máximo (T0)máx que se puede aplicar
PROB. 3.8.2 en la sección C? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.45a y b
del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.)

3.8.3 Un eje circular sólido AB con diámetro d tiene sus ex- 1.50 in
0.75 in
tremos fijos para evitar su rotación (consulte la figura). Un
A C B
disco circular está conectado al eje en la ubicación mostrada.
¿Cuál es el ángulo de rotación máximo permisible máx
del disco si el esfuerzo cortante permisible en el eje es -perm?
T0
(Suponga que a > b. Además, utilice las ecuaciones 3.46a y b
del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.) 6.0 in 15.0 in

PROB. 3.8.5

Disco
3.8.6 Un eje escalonado ACB que tiene secciones transversa-
A d Disco B les circulares sólidas con dos diámetros diferentes se sostiene
firmemente para evitar la rotación en sus extremos (consulte
la figura).
Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es de 43 MPa,
a b ¿cuál es el par de torsión máximo (T0)máx que se puede aplicar
en la sección C? (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.45a y b
PROB. 3.8.3 del ejemplo 3.9 para obtener los pares de torsión reactivos.)

3.8.4 Un eje hueco de acero ACB con diámetro exterior de 50 20 mm 25 mm

mm y diámetro interior de 40 mm está fijo en los extremos A A C B
y B (consulte la figura) a fin de evitar su rotación. Las fuerzas
horizontales P se aplican en los extremos de un brazo vertical
que está soldado al eje en el punto C. T0
Determine el valor permisible de las fuerzas P si el es- 225 mm 450 mm
fuerzo cortante máximo permisible en el eje es 45 MPa. (Su-
gerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo 3.9 para
obtener los pares de torsión reactivos.) PROB. 3.8.6
296 CAPÍTULO 3 Torsión

3.8.7 Un eje escalonado ACB se sostiene firmemente para

25 in 25 in
evitar la rotación en los extremos A y B y se somete a un par
de torsión T0 que actúa en la sección C (consulte la figura). A 3.0 in T0 B
Los dos segmentos del eje (AC y CB) tienen diámetros dA y
dB, respectivamente, y momentos polares de inercia IPA e IPB,
respectivamente. El eje tiene una longitud L y la longitud del
segmento AC es a. x
(a) ¿Para qué razón aL serán iguales los esfuerzos cor-
tantes máximos en los dos segmentos del eje?
2.4 3.0
(b) ¿Para qué razón aL serán iguales los pares de torsión
in in
internos en los dos segmentos del eje? (Sugerencia: utilice las
ecuaciones 3.45a y b del ejemplo 3.9 para obtener los pares de
torsión reactivos).
PROB. 3.8.9

dA dB
IPA IPB
A C B 3.8.10 Una barra sólida de acero con diámetro d1 â 25.0 mm
está contenida por un tubo de acero con diámetro exterior
d3 â 37.5 mm y diámetro interior d2 â 30.0 mm (consulte la
T0
figura). Tanto la barra como el tubo se mantienen rígidamente
a mediante un soporte en el extremo A y están unidos firmemen-
L te a una placa rígida en el extremo B. La barra compuesta, que
tiene una longitud L â 550 mm, se tuerce por un par de torsión
PROB. 3.8.7 T â 400 N∙m que actúa sobre la placa extrema.
(a) Determine los esfuerzos cortantes máximos -1 y -2 en
la barra y el tubo, respectivamente.
3.8.8 Una barra circular AB con longitud L está fija en ambos (b) Determine el ángulo de rotación  (en grados) de la
extremos para evitar la rotación y cargada por un par de tor- placa extrema, suponiendo que el módulo de elasticidad en
sión distribuido t(x) con intensidad que varía linealmente de cortante del acero es G â 80 GPa.
cero en el extremo A a t0 en el extremo B (consulte la figura). (c) Determine la rigidez torsional kT de la barra compues-
Obtenga fórmulas para los pares de torsión en los extre- ta. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar
mos fijos TA y TB. los pares de torsión en la barra y el tubo).

t0
t(x)
Tubo
TA TB
A B
A B T
Barra
x
L Placa
PROB. 3.8.8 L extrema

3.8.9 Una barra circular AB con extremos fijos para evitar su d1

rotación tiene un agujero que se extiende hasta la mitad de su
longitud (consulte la figura). El diámetro exterior de la barra d2
es d2 â 3.0 in y el diámetro del agujero es d1 â 2.4 in. La
longitud total de la barra es L â 50 in. d3
¿A qué distancia x desde el extremo izquierdo de la barra
se debe aplicar un par de torsión T0 de manera que los pares de
torsión reactivos en los soportes sean iguales? PROBS. 3.8.10 y 3.8.11
 CAPÍTULO 3 Problemas 297

3.8.11 Una barra sólida de acero con diámetro d1 â 1.50 in *3.8.13 El eje compuesto que se muestra en la figura se ma-
está contenida por un tubo de acero con diámetro exterior d3 â nufacturó ajustando por contracción un manguito de acero
2.25 in y diámetro interior d2 â 1.75 in (consulte la figura). sobre un núcleo de latón de manera que las dos partes actúan
Tanto la barra como el tubo se sostienen rígidamente median- como una sola barra sólida en torsión. Los diámetros exterio-
te un soporte en el extremo A y están unidos firmemente a res de las dos partes son d1 â 1.6 in para el núcleo de latón y
una placa rígida en el extremo B. La barra compuesta, que d2 â 2.0 in para el manguito de acero. Los módulos de elas-
tiene una longitud L â 30.0 in, se tuerce por un par de torsión ticidad en cortante son Gb â 5400 ksi para el latón y Gs â
T â 5000 lb-in, que actúa sobre la placa extrema. 12,000 ksi para el acero.
(a) Determine los esfuerzos cortantes máximos -1 y -2 en Suponiendo que los esfuerzos cortantes permisibles en el
la barra y el tubo, respectivamente. latón y el acero son -b â 4500 psi y -s â 7500 psi, respecti-
(b) Determine el ángulo de rotación  (en grados) de la vamente, determine el par de torsión máximo permisible Tmáx
placa extrema, suponiendo que el módulo en cortante del ace- que se puede aplicar al eje. (Sugerencia: utilice las ecuaciones
ro es G â 11.6 ñ 106 psi. 3.44a y b para encontrar los pares de torsión).
(c) Determine la rigidez torsional kT de la barra compues-
ta. (Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.44a y b para encontrar
los pares de torsión en la barra y el tubo.
3.8.14 Un eje de acero (Gs â 80 GPa) con longitud total L â
*3.8.12 El eje compuesto que se muestra en la figura se ma- 3.0 m está contenido en un tercio de su longitud por un man-
nufacturó ajustando por contracción un manguito de acero guito de latón (Gb â 40 GPa) que está firmemente unido al
sobre un núcleo de latón de manera que las dos partes actúen acero (consulte la figura). Los diámetros exteriores del eje y el
como una sola barra sólida en torsión. Los diámetros exterio- manguito son d1 â 70 mm y d2 â 90 mm, respectivamente.
res de las dos partes son d1 â 40 mm para el núcleo de latón (a) Determine el par de torsión permisible T1 que se pue-
y d2 â 50 mm para el manguito de acero. Los módulos de de aplicar a los extremos del eje si el ángulo de torsión entre
elasticidad en cortante son Gb â 36 GPa para el latón y Gs â los extremos está limitado a 8.0°.
80 GPa para el acero. (b) Determine el par de torsión permisible T2 si el esfuer-
Suponiendo que los esfuerzos cortantes permisibles en zo cortante en el latón está limitado a -b â 70 MPa.
el latón y el acero son -b â 48 MPa y -s â 80 MPa, respecti- (c) Determine el par de torsión permisible T3 si el esfuer-
vamente, determine el par de torsión máximo permisible Tmáx zo cortante en el acero está limitado a -s â 110 MPa.
que se puede aplicar al eje. (Sugerencia: utilice las ecuaciones (d) ¿Cuál es el par de torsión máximo permisible Tmáx si
3.44a y b para encontrar los pares de torsión). se deben cumplir las tres condiciones anteriores?

T Manguito Eje
Manguito de acero d2 = 90 mm d1 = 70 mm
de latón de acero
Núcleo de latón T T
T
A B C
1.0 m
L L
= 2.0 m = 2.0 m
2 2
Manguito Eje
d1 d1 d1
de latón de acero

d1 d2

d2 d2

PROBS. 3.8.12 y 3.8.13 PROB. 3.8.14

298 CAPÍTULO 3 Torsión

L Fijo contra rotación

Fijo contra rotación —
2 d(x)
t constante
TA TB
T0

dA dB
L

(a)
Fijo contra
Fijo contra rotación dA
rotación
TA
TB
T0

dA L
— dB
2
L

(b)

PROB. 3.8.15

IPA IPB
3.8.15 Un tubo AB de una aleación de aluminio uniforme- TA TB
mente ahusado con sección transversal circular y longitud L Tubo A Tubo B
está fijo contra la rotación en A y B, como se muestra en la A
figura. Los diámetros exteriores en los extremos son dA y dB â C B
2dA. Una sección hueca con longitud L2 y espesor constante L L
t â dA10 está moldeada en el tubo y se extiende desde B
hasta la mitad del tubo hacia A. El par de torsión T0 se aplica b Pasador en C
en L2. Tubo A
(a) Encuentre los pares de torsión reactivos en los sopor- Tubo B
tes, TA y TB. Utilice los valores numéricos siguientes: dA â 2.5
in, L â 48 in, G â 3.9 ñ 106 psi, T0 â 40,000 in-lb.
(b) Repita el inciso (a) si la sección hueca tiene un diá-
metro constante dA.
Sección transversal en C
PROB. 3.8.16
3.8.16 Un tubo circular hueco A (diámetro exterior dA, espe-
sor de pared tA) se ajusta sobre el extremo de un tubo circular
B (dB, tB), como se muestra en la figura. Los extremos más Energía de deformación en torsión
alejados de los dos tubos están fijos. Al inicio, un agujero que 3.9.1 Una barra circular sólida de acero (G â 11.4 ñ 106 psi)
atraviesa el tubo B forma un ángulo  con una línea que pasa con longitud L â 30 in y diámetro d â 1.75 in se somete a
por los dos agujeros en el tubo A. Luego el tubo B se tuerce torsión pura por pares de torsión T que actúan en los extremos
hasta que los agujeros están alineados y se coloca un pasador (consulte la figura).
(diámetro dp) que pasa por ellos. Cuando el tubo B se libera, el (a) Calcule la cantidad de energía de deformación U al-
sistema regresa al equilibrio. Suponga que G es constante. macenada en la barra cuando el esfuerzo cortante máximo es
(a) Utilice superposición para encontrar los pares de tor- 4500 psi.
sión reactivos TA y TB en los soportes. (b) A partir de la energía de deformación, calcule el án-
(b) Formule una expresión para el valor máximo de  si el gulo de torsión  (en grados).
esfuerzo cortante en el pasador, -p, no puede exceder -p,perm.
(c) Formule una expresión para el valor máximo de  si d
el esfuerzo cortante en los tubos, -t, no puede exceder -t,perm. T T
(d) Formule una expresión para el valor máximo de  si
el esfuerzo de soporte en el pasador en C no puede sobrepasar
,b,perm. L

PROBS. 3.9.1 y 3.9.2

 CAPÍTULO 3 Problemas 299

3.9.2 Una barra circular sólida de cobre (G â 45 GPa) con 3.9.6 Obtenga una fórmula para la energía de deformación U
longitud L â 0.75 m y diámetro d â 40 mm se somete a tor- de la barra circular estáticamente indeterminada que se mues-
sión pura por pares de torsión T que actúan en los extremos tra en la figura. La barra tiene soportes fijos en los extremos A
(consulte la figura). y B, y está cargada por pares de torsión 2T0 y T0 en los puntos
(a) Calcule la cantidad de energía de deformación U al- C y D, respectivamente.
macenada en la barra cuando el esfuerzo cortante máximo es Sugerencia: utilice las ecuaciones 3.46a y b del ejemplo
32 MPa. 3.9, sección 3.8, para obtener los pares de torsión reactivos.
(b) A partir de la energía de deformación, calcule el án-
gulo de torsión  (en grados).

3.9.3 Un eje escalonado con secciones transversales circula-

res sólidas (consulte la figura) tiene una longitud L â 45 in,
diámetro d2 â 1.2 in y diámetro d1 â 1.0 in. El material es 2T0 T0
latón con G â 5.6 ñ 106 psi.
A B
Determine la energía de deformación U del eje si el án-
gulo de torsión es 3.0°.
C D
d2 d1 L L L
— — —
T T 4 2 4

PROB. 3.9.6

L
— L
—
2 2

PROBS. 3.9.3 y 3.9.4

3.9.4 Un eje escalonado con secciones transversales circula- 3.9.7 Un eje escalonado estáticamente indeterminado ACB
res sólidas (consulte la figura) tiene una longitud L â 0.80 m, está fijo en los extremos A y B, y cargado por un par de torsión
diámetro d2 â 40 mm y diámetro d1 â 30 mm. El material es T0 en el punto C (consulte la figura). Los dos segmentos del
acero con G â 80 GPa. eje están hechos del mismo material, tienen longitudes LA y
Determine la energía de deformación U del eje si el án- LB, y tienen momentos polares de inercia IPA e IPB.
gulo de torsión es 1.0°. Determine el ángulo de rotación  de la sección transver-
sal en C empleando la energía de deformación.
3.9.5 Una barra en voladizo con sección transversal circular Sugerencia: utilice la ecuación 3.51b para determinar la
y longitud L está fija en un extremo y libre en el otro (consulte energía de deformación U en términos del ángulo . Luego
la figura). La barra está cargada por un par de torsión T en el iguale la energía de deformación con el trabajo realizado por
extremo libre y por un par de torsión con intensidad constante el par de torsión T0. Compare su resultado con la ecuación
t por unidad de distancia a lo largo de la longitud de la barra. 3.48 del ejemplo 3.9, sección 3.8.
(a) ¿Cuál es la energía de deformación U1 de la barra
cuando la carga T actúa sola?
(b) ¿Cuál es la energía de deformación U2 cuando la car-
ga t actúa sola?
(c) ¿Cuál es la energía de deformación U3 cuando las dos
cargas actúan simultáneamente?
A
IPA
T0
C
t IPB
B
LA

LB
L T

PROB. 3.9.5 PROB. 3.9.7

300 CAPÍTULO 3 Torsión

3.9.8 Deduzca una fórmula para la energía de deformación U Cuando la barra B se libera y el sistema regresa al equili-
de la barra en voladizo que se muestra en la figura. brio, ¿cuál es la energía de deformación total U de las dos ba-
La barra tiene secciones transversales circulares y lon- rras? (Sean IPA e IPB los momentos polares de inercia de las
gitud L. Está sometida a un par de torsión distribuido con in- barras A y B, respectivamente. La longitud L y el módulo de
tensidad t por unidad de distancia. La intensidad varía lineal- elasticidad en cortante G son los mismos para las dos barras).
mente de t â 0 en el extremo libre a un valor máximo t â t0
en el soporte.

t0 IPA
IPB
Tubo A Barra B
t

L L

L Tubo A
Barra B

PROB. 3.9.8

PROB. 3.9.10
*3.9.9 Un tubo hueco de pared delgada AB con forma cónica
tiene un espesor constante t y diámetros promedio dA y dB en
los extremos (consulte la figura).
(a) Determine la energía de deformación U del tubo
cuando se somete a torsión pura por pares de torsión T. **3.9.11 Un volante de inercia pesado que gira a n revolu-
(b) Determine el ángulo de torsión  del tubo. ciones por minuto está conectado rígidamente al extremo de
Nota: utilice la fórmula aproximada IP ≈ πd3t4 para un un eje con diámetro d (consulte la figura). Si el cojinete en
anillo circular delgado; consulte el caso 22 del apéndice D. A se detiene repentinamente, ¿cuál será el ángulo de torsión
máximo  del eje? ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo co-
rrespondiente en el eje?
B (Sea L â longitud del eje, G â módulo de elasticidad en
A
T T cortante e Im â momento de inercia de la masa del volante de
inercia con respecto al eje longitudinal del eje. No tome en
cuenta la fricción en los cojinetes B y C ni la masa del eje).
L Sugerencia: iguale la energía cinética del volante de iner-
cia que gira con la energía de deformación del eje.
t
t

dA dB
A
PROB. 3.9.9
d
B n (rpm)
C
*3.9.10 Un tubo circular hueco A se ajusta sobre el extremo
de una barra circular sólida B, como se muestra en la figura.
Los extremos alejados de las dos barras están fijos. Al inicio,
un agujero que atraviesa la barra B forma un ángulo  con
una línea que pasa por los dos agujeros en el tubo A. Luego la
barra B se tuerce hasta que se alinean los agujeros y se coloca
un pasador que pasa por ellos. PROB. 3.9.11
 CAPÍTULO 3 Problemas 301

Tubos de pared delgada

3.10.1 Un tubo circular hueco con diámetro interior de 10.0 in
y espesor de pared de 1.0 in (consulte la figura) está sometido
a un par de torsión T â 1200 k-in. t
Determine el esfuerzo cortante máximo en el tubo em- h
pleando (a) la teoría aproximada para tubos de pared delgada
y (b) la teoría exacta de la torsión. ¿La teoría aproximada da
resultados conservadores o no conservadores?

b
PROBS. 3.10.3 y 3.10.4

3.10.4 Un tubo de acero de pared delgada con sección trans-

versal rectangular (consulte la figura) tiene dimensiones hasta
su línea central b â 150 mm y h â 100 mm. El espesor de la
10.0 in pared t es constante e igual a 6.0 mm.
(a) Determine el esfuerzo cortante en el tubo debido al
par de torsión T â 1650 N∙m.
1.0 in (b) Determine el ángulo de torsión (en grados) si la longi-
tud L del tubo es 1.2 m y el módulo de elasticidad en cortante
G es 75 GPa.
PROB. 3.10.1
3.10.5 Un tubo circular de pared delgada y una barra sólida
del mismo material (consulte la figura) se someten a torsión.
El tubo y la barra tienen la misma área de sección transversal
3.10.2 Una barra circular sólida con diámetro d se reempla- e igual longitud.
zará con un tubo rectangular que tiene una sección transversal ¿Cuál es la razón entre energía de deformación U1 en
rectangular d ñ 2d hasta la línea central de la sección trans- el tubo y la energía deformación U2 en la barra sólida si los es-
versal (consulte la figura). fuerzos cortantes máximos son iguales en los dos casos? (Para el
Determine el espesor necesario tmín del tubo de manera tubo, utilice la teoría aproximada para barras de pared delgada).
que el esfuerzo cortante máximo en el tubo no exceda el es-
fuerzo cortante máximo en la barra sólida. Tubo (1)
Barra (2)

t
t
d d
PROB. 3.10.5

3.10.6 Calcule el esfuerzo cortante - y el ángulo de torsión 

2d
(en grados) para un tubo de acero (G â 76 GPa) que tiene la
PROB. 3.10.2 sección transversal que se muestra en la figura. El tubo tiene
una longitud L â 1.5 m y está sometido a un par de torsión
T â 10 kN ∙ m.

3.10.3 Un tubo de aluminio de pared delgada con sección t = 8 mm

transversal rectangular (consulte la figura) tiene dimensiones r = 50 mm r = 50 mm
hasta su línea central b â 6.0 in y h â 4.0 in. El espesor de la
pared t es constante e igual a 0.25 in.
(a) Determine el esfuerzo cortante en el tubo debido al
par de torsión T â 15 k-in.
(b) Determine el ángulo de torsión (en grados) si la lon-
gitud L del tubo es 50 in y el módulo de elasticidad en cortante b = 100 mm
G es 4.0 ñ 106 psi. PROB. 3.10.6
302 CAPÍTULO 3 Torsión

3.10.7 Un tubo de acero de pared delgada que tiene sección *3.10.10 Un tubo rectangular de pared delgada tiene espesor
transversal elíptica con espesor constante t (consulte la figura) uniforme t y dimensiones a ñ b hasta la línea central de la
está sometido a un par de torsión T â 18 k-in. sección transversal (consulte la figura).
Determine el esfuerzo cortante - y la razón de torsión .4 ¿Cómo varía el esfuerzo cortante en el tubo con la razón
(en grados por pulgada) si G â 12 ñ 106 psi, t â 0.2 in,  â ab si la longitud total Lm de la línea central de la sección
a â 3 in y b â 2 in. (Nota: consulte el apéndice D, caso 16, transversal y el par de torsión T permanecen constantes?
para obtener las propiedades de una elipse.) A partir de sus resultados, demuestre que el esfuerzo cor-
tante es mínimo cuando el tubo es cuadrado ( â 1).
t
t

2b
b

2a
a
PROB. 3-10.7
PROB. 3.10.10
3.10.8 Un par de torsión T se aplica a un tubo de pared del-
gada que tiene una sección transversal hexagonal regular con
*3.10.11 Una barra tubular de aluminio (G â 4 ñ 106 psi)
espesor de pared constante t y longitud b en cada lado (con-
con sección transversal cuadrada (consulte la figura) y dimen-
sulte la figura). Obtenga fórmulas para el esfuerzo cortante -
siones exteriores de 2 in ñ 2 in debe resistir un par de torsión
y la razón de torsión ..
T â 3000 lb-in.
Calcule el espesor de pared mínimo requerido tmín si el
t esfuerzo cortante permisible es 4500 psi y la razón de torsión
permisible es 0.01 radft.

2 in

b
PROB. 3.10.8

3.10.9 Compare el ángulo de torsión 1 para un tubo circular 2 in

de pared delgada (consulte la figura) calculado a partir de la PROB. 3.10.11
teoría aproximada para barras de pared delgada con el ángulo
de torsión 2 calculado con la teoría exacta de la torsión para *3.10.12 Un eje tubular delgado con sección transversal cir-
barras circulares. cular (consulte la figura) con diámetro interior de 100 mm se
(a) Exprese la razón 12 en términos de la razón adi- somete a un par de torsión de 5000 N∙m.
mensional  â rt. Si el esfuerzo cortante permisible es 42 MPa, determine
(b) Calcule la razón de los ángulos de torsión  â 5, 10 el espesor de pared requerido t empleando (a) la teoría aproxi-
y 20. ¿Qué concluye a partir de estos resultados acerca de la mada para un tubo de pared delgada y (b) la teoría exacta de la
precisión de la teoría aproximada? torsión para una barra circular.

t
r
100 mm
C

PROB. 3.10.9 PROB. 3.10.12

 CAPÍTULO 3 Problemas 303

**3.10.13 Un tubo ahusado de pared delgada largo AB con D2 R

sección transversal circular (consulte la figura) se somete a D1
un par de torsión T. El tubo tiene una longitud L y un espesor
T T
de pared constante t. Los diámetros hasta la línea central de
las secciones transversales en los extremos A y B son dA y dB,
respectivamente.
Deduzca la fórmula siguiente para el ángulo de torsión
del tubo:
PROBS. 3.11.1 A 3.11.5
2TL dA dB
f
pGt dA2 d 2B
Sugerencia: si el ángulo de ahusamiento es pequeño, podemos
obtener resultados aproximados aplicando las fórmulas para 3.11.2 Un eje escalonado con diámetros D1 â 40 mm y
un tubo prismático de pared delgada a un elemento diferencial D2 â 60 mm está cargado por pares de torsión T â 1100 N∙m
del tubo ahusado y luego integrar a lo largo del eje del tubo. (consulte la figura).
Si el esfuerzo cortante permisible en la concentración de
esfuerzo es 120 MPa, ¿cuál es el radio menor Rmín que se pue-
B de emplear para el filete?
A
T T

3.11.3 Un filete de un cuarto de círculo se utiliza en el hom-

bro de un eje escalonado que tiene un diámetro D2 â 1.0 in
L
(consulte la figura). Un par de torsión T â 500 lb-in actúa
t t sobre el eje.
Determine el esfuerzo cortante -máx en la concentración
de esfuerzo para los valores siguientes: D1 â 0.7, 0.8 y 0.9 in.
Trace una gráfica que muestre -máx contra D1.
dA dB

PROB. 3.10.13 3.11.4 Se requiere que el eje escalonado que se muestra en la

figura transmita 600 kW de potencia a 400 rpm. El eje tiene
un filete de un cuarto de círculo y el diámetro menor es D1 â
Concentraciones de esfuerzos en torsión 100 mm.
Los problemas para la sección 3.11 se deben resolver consi- Si el esfuerzo cortante permisible en la concentración
derando los factores de concentración de esfuerzos. de esfuerzo es 100 MPa, ¿a qué diámetro D2 se alcanzará este
esfuerzo? ¿Este diámetro es un límite superior o inferior para
3.11.1 Un eje escalonado que consiste de segmentos circula- el valor de D2?
res sólidos con diámetros D1 â 2.0 in y D2 â 2.4 in (consulte
la figura) se somete a pares de torsión T. El radio del filete es
R â 0.1 in. 3.11.5 Un eje escalonado (consulte la figura) tiene un diáme-
Si el esfuerzo cortante permisible en la concentración de tro D2 â 1.5 in y un filete de un cuarto de círculo. El esfuerzo
esfuerzo es 6000 psi, ¿cuál es el par de torsión máximo per- cortante permisible es de 15,000 psi y la carga T â 4800 lb-in.
misible Tmáx? ¿Cuál es el diámetro menor permisible D1?