c¿piruLo nr

RELACIOIYES

I. nvrnooucctóttt

En este capítulo nos proponemos precisar en términos matemátrcos el concepto y la

definición de la relación. Asimismo, desarrollaremos distintas propiedades de las
relaciones que nos permitirán advertir que ciertas relaciones referentes a cuestiones muy

distintas pueden sin embargo tener caracteres análogos. Por últirrro, estudiaremos dos
tipos de relaciones especialmente importantes: las relaciones de equivalencia y de orden.

2. RELACIONES

En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas

relacrones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia y de

semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de

conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. Por esto, es necesario formular la
noción general de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una
regla, fórmula o propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto A de las

materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los
créditos de las rr ,terias sin laboratorio, es decir:

A: {u, b, c, d, e} y B: {4, 5,6,7\

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la
propiedad.
P(x, y) : "x tiene crédito y"

Es decir, una relación R consiste en todos los pares ordenados (x, y) A x B tales que x
tiene crédito y, Esto es, si en un semestre determinado y para un cstutjrante cn particular
queda establecido el siguiente esquema (diagrama de Venn).
RELACIONES 8l

o4
o5
o6
o7

entonces la relación o correspondencia es el conjunto de pares ordenados

R: {(u,6), (b,5), (c,5), (e,7)}

Nótese, que la materia d no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que la

materia tiene laboratorio y su crédito es mayor a los citados en B.
Nótese también que la relación establecida es sencillamente un subconjunto del
producto cartesiano A x B, es decir, R c A x B.
En gráfico cartesiano se tiene:
AxB

abcde
'-)

Es claro que la relación establecida no es única ya que se puede establecer otras

relaciones (correspcndencias) entre los conjuntos A y B.
Ahora consideremos los conjuntos:
A: {1,2,3\ , B: {a, b, c} y RcAxB,
siendo R: {(1, b) , (2, b) , (3, c)}
82 ALCEBRA MODERNA

En este caso R es una relación que no se puede describir mediante una regla, fórmula o
propiedad. pues se trata simplemente de Lln subconjunto de AxB elegido
arbitrariamente.
Por tanto. una relación o correspondencia entre dos elementos pertenecientes,
respectil'amente. a dos conjuntos dados, A y B. se puede definir como sigue:

2.1 DEFINICIÓN Sear-r A y B dos conjuntos. Una relación R de A en B es

cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Es decir:

R es una relación de A en B <? R c A x B.

Se dice que "x está relacionado con y por R" y se escribe x R y sí (x, y) e R.
Si (x, y) É R, si puede escribir *ly , y se lee "x no está relacionado con y por R".

Ejemplo: Sean A= {1.2.3\ y B: {a, b}

Entonces AxB : {(1, a), (1, b), (2. a), (2,b), (3, a), (3, b)}
luego. R: {(l.a). (2.b). (3. b)}
es una relación de A en B, ya que R c AxB
En gráfico cartesiano se tiene

L______v-_______

Sin embargo BxA: {(a, l), (a,2), (a,3), (b, l), (b,2), (b,3)}
luego, S: {(a,3), (b, l)}
es una relación de B en A, pues S c BxA,
y en gráfico cartesiano se tiene

^{
RELACIONES 83

Ejemplo: Seanlosconjuntos A:{1.2} y B:{a,b}

El producto cartesiano AxB = {(1, a), (1. b), (2, a). (2, b)}

t2
S¡J
A

Las relaciones que es posible definir entre estos conjuntos, o son

subconjuntos de AxB, son las siguientes:

Rr :0
R2 = {(1, a)}
R3 = {(1, b)}
&: {(2, a)}
R5: {(2, b)}
Re: {(1, a), (1, b)}
Rz: {(1, a),(2,a)\
Rs = {(1, a), (2, b)}
Re: {(1. b). (2, a)}
Rro = [(1. b), (2. b)]

R¡ = {(2.a), (2, b)}

Rr:: {(1, a). (l,b). (2. a)}
Rr¡: {(1, a).(1. b). (2. b)}
Rp: {(1.a),(2, a), (2. b)}
Rrs : {(1. b), (2. a), (2, b)}
R¡¡,: AxB
Observación En general, si A tiene n elementos y B tiene r¡ elementos. entonces AxB
tiene nm elementos. y el conjunto de pares de A x B tiene 2""' elementos. es decir.
existen 2""' slrbconiuntos de A x B. o lo que es lo misnro. es posible defi¡ir 2,,,,,
relacionesenAyB.
84 At-CE,I]RA MODERNA

3. DOMINIO,IMAGEN,RELACIÓN INVERSA

Si R c AxB es una relación de A en B. existen dos inrportantes coniuntos asociados a

esta relación: dominio e imagen de R. A continuación se darán las definiciones de estos

conjuntos y de la relación inversa.

3.1 DOMINIO DE R El dominio de R. qLre se escribe D(R). es el conjunto de

elementos en A que están relacionados con algirn elemento en B. En otras palabras. el
D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los
pares (x. y) e R. Es decir

. D(R):{xeA/(x.y)eR}

3.2 IMAGEN DE R El Imagen (rango o recorrido) de R. qLre se escribe I(R). es el

conj'urto de elementos en B que son los segr-rndos elementos de los pares (x. y) c R.

esto es. todos los elementos en B que están relacionados con algirn elenlento en A. Es
decir
I(R): {y e B/(x.y) e R}

Ejemplo: Seanlosconiuntos A: fl.3.5.7.9) -v B:{2.4.6.8)

Se define la siguiente relación R (divisor) de A en B:

xR1'exly
la relacitln cs un subconiurtto clc Axll. \'perl.enecen a c-lla los pares

ordcrrldos (x. r) talcs r¡uc r |1. x cliiiclc a 1'. cs clccir

R = l(r. l). (r. +). (r. 6). (1. 8). (-3. 6))
l:rrtonccs D(lt): í1.i) I I(R): i2. -1.6.8]
I:n diaqranl¿t sc tictrc
RELACIONES 85

B=l(R)

Ejemplo: Sean los conjuntos A: {1,2,3,4,5\ y B: {5, 6,7,8,9}

Se define la siguiente relación R (mayor que) de A en B:
xRy<+x>y
la relación es un subconjunto de AxB y está formado por los pares

ordenados (x, y) tales que x>y. Pero ningún elemento de A es mayor que

ninguno de B. En este caso se obtiene la relación varía $. Es decir

R:{ }:0
Por tanto, D(R):0 y I(R) : 0

3.3 RELACION INWRSA La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en

B es la relación R'l de B en A que se define como

R'r = {(y, x) / (x, y) e R}

O bien (y,x)eR'r e(x,y)eR

Ejemplo: SeanlosconjuntosA: {1,2,3,4) y B = {3,4, 5}
Se define R c AxB mediante

xRy<+x*y=6
la relación R de A en B está formada por los pares ordenados (x. y) tales
que x * y: 6, esto es
R = {(t ,5), (2.4). (3.3)}
luego-la:elación inversa es
86 ALGEBRA MODERNA

R-r : {(5, 1), (4,2), (3,3)}

En diagrarna de Venn se tiene

l.
2.
7
J
4.

La representación gráficacartesiana de estas relaciones R y R-l es:

AxB

Ejemplo: Sean los conjuntos A: {* e A// I < x < 5}

B: {x e Zl*'-3*2+2x:0\
Se define la relación R c AxB mediante
xRY e3lx+Y
a) Definir A, B y R por extensión
b) Representar en forma cartesiana AxB y R

c) Determinar R-l

SOLUCION: a) El conjunto A está formado por los naturales'mayores a I y menores o

iguales a 5. A: {2,3,4,5\
y B tiene como elementos a los enteros que satisfacen la ecuación
r'-3*2+2x:o
x (x -2) (x -l):0
estos son X:0, x:2 y X:l,entonces
B: {0, 1,2}
RELACIONES 87

la relación R de A en B está formada por los pares ordenados (x, y) tales

que x + y sea divisible por 3.

R: {(2, l), (3,0), (4,2), (5, 1)}

b) la representación en forma cartesiana de AxB y R es:

c) la relación inversa R-l de B en A es

R-r : {(1, 2), (0,3), (2,4), (1, 5)}

COMPOSrcIÓN DE RELACIONES

Sea R una relación de A en B, y S una relación de B en C. Es decir

RcAxB y ScBxC
A partir de estas relaciones se puede definir una relación de A en C, llamada
composición entre R y S, mediante

S "R: {(x,z) l)y eB n (x,y) e R n (y,z) e S}

Obien (x,z)eS.R <>3yeB n (x,y)e R n (y,z)e S

Así, la relación SoR asocia a un elemento de D(R) con uno de I(S). En diagrama de
Venn se tiene

A
Y. -z
R
7
88 ALCEBRA MODERNA

Ejemplo: Sean los conjuntos

A: {0. 1,2.3} . B: .2,4} y

{-l C: {0,3,5,7}
Se definen las relaciones R c AxB y S c BxC mediante

xRyey:2x , ySz<>z:y+l
a) DeterminarRy S porextensión
b) Definir la composición SoR c AxC por extensión
c) Determinar el dominio y la imagen de las tres relaciones

SOLUCIÓN: a) La relación R c AxB está formada por los pares ordenados (x, y)
tales que y:2x, esto es

R = {( I .2), (2, 4)\ ,

la relación S c BxC tiene como elementos a los pares ordenados (y, z)

tales que .: y+1, esto es
S: {(-t,0), (2,3), (4.5)}
b) La relación compuesta SoR c AxC está determinada así:

0. \
1. ------->-
2._
A
3. l t------>

luego se tiene SoR: {(1, 3), (2,5)\

d) El dominio y la imagen de las relaciones R, S y S"R son:
D(R) : {1,2}, t(R) : {2, 4}
D(S): \-1,2,4) , I(S): {0,3,5}
D(S.R) : { 1, 2} y I(S.R) : {3, 5}

4.1 PROPIEDADES DE LA COMPOSrcIÓN DE RELACIONES Sean R, S y T

relaciones entre ciertos conjuntos. La composición de relaciones admite las siguientes
propiedades:
RELACIONES 89

i) (T.S).R: f.(S.R)
ii) (s " R)-' : R-ro S-t

Demostración de la propiedad ii)

Sean las relaciones R c AxB y S c BxC. En efecto

(2, x)e(S.R)-' <> (x, z) e S.R def. de inversa

<+ I ye Bn(x, y)eR n (y, z) e S def. de comp. de relaciones

<+ 3 ye Bn(y, x)e R-l n (2, y) eS-l def. de inversa

e 3 ye Bn(z,y)es-' ,,.. (y, x) eR'r Ley conmutativa

a (2, x) e R-l . S-l def. de comp. de relaciones

Por tanto. resulta (S " R)-l : R-'o S-'

-a demostración de la propiedad i) queda como ejercicio.

ljemplo: Sean los conjuntos A: {-2, -1.0,l,2l

B: {2,3,4,5)
C : {-1, 1,3,5,7}

Se def-lnen Ias relaciones R c AxB y S c BxC mediante

xRy<> y:xz+2, ySz e z:2y-3
a) Determinar R, S y SoR por extensión

b) Determinar R-|, S-1, (S . R)-' y R-'o S-' po. extensión

SOLUCIÓN: a) Si la relación R c AxB está detinida como

R: {(x. y) I y:x2 +2},

por extensión R: {(-1, 3), (0. 2), (1, 3)}
Si la telación S c BxC está definida como

S : {(y, z) I z.:2y - 3},

por extensión S : {(2. l).(¡. 3).(4. 5). (5. 7)}

Sabiendo que S'l{: [(x.z)/ 31eBn(x. y)e R n (v. z) e S]

Entonces S.R: l(-1.:).(0. l). (1.3))
 ALGEBRA MODERNA

b) Según la definición de la relación inversa, se tiene

R-¡ = {(3, -l),(2,0), (3, l)}
S-r : {(1 ,2),(3,3), (5, 4),(7,5)l
(S. R)-' : {(3, -1), (1,0), (3, l)}
Según la definición de la composición de relaciones, ie tiene
-| -l
R 'o S ' : {(z,x) / 3 yeBn(2, y)eS-r n (y, x) €R''}
-t-l
R . S = {(1,0), (3, -l), (3, l)}
Nótese, que se verifica (S " R)'' : R-'o S-'

RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Sea R una relación de A en B. Si A y B son iguales, se dice que R c AxA es una

relación definida en A. En adelante nos limitaremos a este caso.
Ejemplo: Sea A:{1,2,3,4\
Se define la relación R c AxA mediante
xRy <+ y:x v y:zx
esdccir, R={(x,y)ly=x v y:2x\
Entonces R: {(1, l), (2,2), (3,3),(4,4), (1, 2), (2, 4)l
El diagrama cartesiano de esta relación es

El diagrama de Venn es
RELACIONES 9l

Ejemplo: En el conjunto l? de números reales se define la relación R mediante

xRY e x2-x:Y2 -Y
Así, la relación R es un subconjunto de fr x fr: R' , y está formada por
los pares ordenados (x, y) de números reales que satisfacen a
x2_x:y2_y
obien (x-y)(x+y-l):0
es decir, y: x v y: l-x

Entonces R= {(x, y). R2 I y:xv y= l-x}

luego, el gráfico cartesiano de esta relación es

5.1 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Sea R una relación definida en A, es decir, RcA2. Estas relaciones generalmente

satisfacen ciertas propiedades que expondremos en esta sección.
 ALGEBRA MODERNA

5.1.1 RELACIONES REFLEXIVAS Una relación R en un conjunto A se denomina

reflexiva sí cada elemento x de A está relacionado consigo mismo. Es decir,
Res reflexivae V x : x e A + x Rx
Ejemplo: Sea A = {u, b, c, d} y sea

R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, d)}
Entonces R es una relación reflexiva, ya que cada elemento de A.

relacionado consigo mismo.

En diagrama de Venn se tiene

5,1.2 RELACIONES NO REFLEXIVAS Se dice que una relación R en un c(,,r.,nto A

es no reflexiva si existe algún elemento de A que no está relacionado consigo .r..nrr.). Es

decir,

Resnoreflexiva <> 3 x/x e A nx f. x

Ejemplo: Sea A: {a, b, c, d} y sea

R: {(a, a), (b, b), (c, d), (d, a), (b, d)}
Entonces R es una relación no reflexiva, pues existen dos elementos de A

que no están relacionados consigo mismo. Esto es, ceA pero c!. c y deA
pero d f. d.

En diagrama de Venn se tiene

RELACIONES 93

5.1.3 RELACIONES ARREFLEXIVAS Una relación R, definida en un conjunto A. es

arret'lexiva si ningiur elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,

Resarreflexiva <+ V x : x e A + xfl. x

Ejemplo: Sea A: {a, b, c, d} y sea
R = {(a, c), (b, d). (c, b)}
Entonces R es una relación arreflexiva, ya que ningún elemento de A está

relacionado consigo mismo.

En diagranra de Venn se tiene

5.1.4 REL/ICIONES SIMETRICAS Una relación R en un conjunto A es simétrica si

cualquiera que sea el par (x, y) que pertenece a la relación, entonces el par (y, x)
también pertenece. Es decir,

Res simétrica<+ Vx Vy e A : x Ry + y Rx
Ejemplo: Sea A:{1,2,3.4\ ysea
R : {(1, 4). (2. 2). (2,3), (3. 2). (4. I )}

Entonces R es una relación simétrica, ya que cada elemento en R tiene su

simétrico. es decir. son verdaderas las siguientes afirmaciones:

lR4<+4Rl
2R3 e 3R2
En diagrama de Venn se tiene

,r)
94 ALGEBRAMODERNA

Además se tiene

R-' : {(4, l), (2,2), (3,2), (2,3), (1, 4)} : R

Observe que si R es simétrica, R y R-r son iguales. En diagrama de Venn
estr: quiere decir que siempre que haya una flecha de x a y, hay otra de y a

X.

5.1.5 RELACIONES NO SIMÉTRICAS Una relación R, definida en un conjunto A, es

no simétrica si existe algún par (x, y) en la relación, pero su transpuesta (y, x) no

pertengce a ella. Es decir,

Res no reflexiva<> 3 x 1 y I xRy n y f, x

Ejemp.lo: Sea A:{1,2,3,4\ ysea
R : {(I , l), (2, 4), (3, I ), (4, 2), (4, 3))
Entonces R no es simétrica, ya que

3Rl n I R3
4R3 n 3N,4
En diagrama de Venn se tiene

5.1.6 RELACIONES ASIMÉTRICAS Se dice que una relación R en un conjunto A es

asimétrica si un par (x, y) pertenece a la relación, entonces su transpuesta (y, x) no

pertenece a ella. Es decir,

R es no asimétrica <> V x V y : x Ry
= y f, x
Ejemplo: Sea A:{1,2,3,4\ ysea
R : {(1, 3), (1 , 4), (2, 4), (3,2)I
RELACIONES 95

Entonces R es una relación asimétrica, pues ningún par ordenado en R

tiene su simétrico, es decir, se verifican las siguientes afirmaciones:

lR3=+3Él ; I R4+4 É I

2R4+ 4í2 ; 3R2+21,3

En diagrama de Venn se tiene

5.1.7 RELACIONES TRANSITIVAS Una relación R, definida en un conjur'to A. es

transitiva si, cualesquiera que sean los pares ordenados (x, y) y (y, z) que pertenecen a. la

relación, entonces el par ordenado (x, z) también pertenece a ella. Es decir,

R es transitiva <+ V x V y V z: x R y
^
yR z+ xRz

Ejemplo: Sea A = {u, b, c, d} y sea

R = {(u, b), (a, d), (b, d), (c, c)}
Entonces R es una relación transitiva, pues se verifican las siguientes
afirmaciones:

aRbnbRd+aRd,esV
cRcncRc+cRc,esV
En diagrama de Venn se tiene
 ALGEBRA MODERNA

5.1.8 RELACIONES NO TRANSITIVAS La relación R en un conjunto A se dice que

es no transitiva si existen pares (x, y) y (y, z) que pertenecen a R pero el par (x, z) no
pertenecen a ella. Es decir,

R es no transitiva <> I x1y3 z/x Ry

^
yRz t x f,z
Ejemplo: Sea A: {a, b, c, d} y sea

R = {(a, a), (b, d), (c, b), (d, a)}

Entonces R es una relación no transitiva, ya que

bRdndRaperob Éu
cRd¡bRdperoc f.d
En diagrama de Venn se tiene

5.1.g RELACIONES ATRANSITIVAS Una relación R en un conjunto A se llama

-'
atransiliva si, cualesquiera que sean los pares (x, y) y (y, z) que pertenecen a la relación,
..
entonúes el par (x, z) no pertenece a ella. Es decir,

R es atransitiva <> V x V y Y z: x Ry yRz

= x $.2
^
Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y sea

R: {(a, d), (b, c), (c, b), (d, b)}

Entonces R es una relación no transitiva, ya que

aRdndRb=a f.b,esV
bRcncRb=b Ib,esV
cRbnbRc+c f.c,esV
dRbnbRc=d f.c,esV
En diagrama de Venn se tiene
RELACIONES 97

5.1.10 RELACIONES ANTISIMÉTRICAS Dada una relación R en un conjunto A se

denomina antisimétrica si todo par (x, y) y su transpuesta (y, x) pertenecen a la relación,

entonces x es igual a y. Es decir,

Res antisimétrica<+ V x V y : x Ry n y Rx + x: y

Ejemplo: Sea A: {1,2,3,4\ y sea

R = {(1, 2), (2,2), (3,4), (4,l)\
Entonces R es una relación antisimétrica, ya que se verifican las
siguientes proposiciones, para todo par de elementos diferentes ¿n R:

lR2n2Rl=l:2,esV
3R4n4R3=+3=4,esV
4Rl¡lR4+4:l.esV
Son verdaderas porque los antecedentes son F. es decir.

2Rl,4R3ylR4sonF.
En diagrama de Venn se tiene
98 AI,GEBRA MODERNA

Ejemplo: Sea A:{1,2,3,4,51 ysea

R : {(1, 2), (1, 3), (4, 2), (4, 5)}
a) Formar el diagrama de R.
b) Clasificar R.
SOLUCION: a) El diagrama que corresponde a R es

\
ol,
b) La relación R cumple las siguientes propiedades
i) Como ningún elemento en A está relacionado consigo mismo, la
relación es arreflexiva.
ii) La relación es asimétrica porque para todo par (x, y) que pertenece a

la relación, se observa que su transpuesta (y, x) no pertenece a ella.

Es decir, son V las siguientes proposiciones:
1R2=2y,1 ; lR3=3 É1
4R2=2l-4 ; 4R5=5 F4
iii) Ya que no es posible encontrar elementos x,y, z en A tal que x R y n
y R z, se concluye que R es transitiva. Es decir, que la implicación
xRy n y R z x R z resultaV porque el antecedente es F.
=
iv) La relación es antisimétrica, pues para todo par (x, y) en R se verifica
que: lR2n2R1=l:2,esV
lR3¡3Rl=l:3,esV
4R2n2R4=4:2,esV
4R5n5R4=4:5,esV
Son verdaderas porque los antecedentes son F, ya que 2 R 1,3 R 1,2 R 4
y5R4sonF.
RELACIONES 99

Ejemplo: Sea A: Aü el conjunto de los números naturales y sea.

R= {(x,y) e A2lx<y}
a) Representar R.

b) Clasificar R.
SOLUCIÓN: a) La representación cartesiana de R es

b) Las propiedades que cumple R soñ:

i) Six e A/=x(x +x Rx, Resreflexiva
iD Si x Ry + x. y, no necesariamente se sigue que y <x (salvo si
x=y), por lo cual R es no simétrica.
iii) Si x Ry yR z+x Sy n y 1z+x< z+ x R z, R es transitiva.
^
iv) Si x Ry y Rx
= x Sy n y < x + x = y, R es antisimétrica.
^
Ejemplo: En Z, conjunto de los enteros se define R mediante

x Ry e2lx-y
a) Representar R.

b) Clasificar R.
SOLUCION: a) La relación R se puede escribir como

R: {(x, Y). 22 lx-y=2k, ke Z}

Esta relación está representada por los puntos (x, y) tal que x - y : 2k o
y:x-2kparaciertoke Z.
100 ALGEBRA MODERNA

),> I <o

b) Las propiedades que cumple son:

i) SixeZ+ 2lx-x, ox-x:2k si k:0e2,= xRx, Resreflexiva.

ii) Si x R y
=2lx-y, o x-y:2kparacierto k eZ, + y -x:2(-k) =
2ly -x = y R x, la relación es simétrica.

iii) Si xRy n yRz+2lx-y n2ly-2, o x-y:2k1 ny-z:2k2 para k1 y k2 eZ.

Sumando estas ecuaciones. se obtiene

x - z:2 (k1 + k2), como k¡ + k2 e Z,

= 2lx - z= x R z, la relación

es transitiva.

iv) SixRy yRx =2lx-y ¡ Zly -x.nonecesariamentesesigue

^
que x : y, ya que existen enteros diferentes como 6 y 2 tal que 2l 6-2

n2l2-6, es decir. 6 R2 n 2 R 6 = 6: 2 es F.

Por lo cual, la relación es no antisimétrica.

Ejemplo: En fr, vamos a considerar la relación binaria R definida mediante

xRy<>x<y<x+3
a) Representar R

b) Clasificar R.
RELACIONES l0l

SOLUCIÓN: a) La relación R se puede escribir como

R: {(x, y) e R2 I y, *^ y <x + 3)

Entonces su representación gráfica será:

/.+
t

b) Según se puede comprobar, se verifica que:

i) Six e fr+x(x(x+3 +xRxparatodo xe-R, larelaciónes
reflexiva.
ii) SixRy (y <x*3, no necesariamente se sigue que y <x <y+3,
=x
ya que esto se verifica solamente para x=y. Por tanto la relación es
no simétrica.

iii) SíxRy^yR z =xSy<x+3 ny <z<y +3

(
= x z <x+6= x R zparaalgunos x,y, z e R
Como lRlnlR2+lR2esV
3R4n4R5+3R5esV,etc.
Pero 3 x I yizlx Ry¡ y Rzn xl,z
Como 3R4n4R6pero3 f.6
o 2R4n4R5pero2V,5
Por tanto, la relación es no transitiva.

iv) SixRy n yRx+x<y<x+3 A y<x<y+3+x:y,la

reHóíón es antisimétrica.
t02 ALGEBRA MODERNA

6. REL/ICIONES DE EQUIVALENCIA

Una relación binaria R, definida en un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva,

simétrica y transitiva.

Generalmente una relación de equivalencia se denota por "-"; pará indicar que x está

relacionado con y (x R y) se escribe "x - y" y se lee "x es equivalente a y".

Ejemplo: Sea A={1,2,3,4} ysea

R = {(1, l), (1, 2), (2, l), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\
Entonces R es una relación de equivalencia, ya que se verifica que:

i) VxeAsecumplex-x(o xRx),esdecir, I -1, 2-2,3-3 y

4 - 4 son V, luego la relación es reflexiva.

ii) Six -y + y -x (si x Ry + yRx), es decir, si un parordenado

pertenece a la relación, su transpuesta también pertenece.

l-2=2-l esV
luego la relación es simétrica.

iii) Si x - y ^ y - z+ x - z,es decir

l-lnl-2+l-2 esV
l-2n2-l+l-l esV
l-2n2-2=l-2 esV
2-lnl-l=2-l esV
2-lnl-2+2-2 esV
2-2n2-1+2-l esV
luego la relación es transitiva.

El diagrama de Venn es
RELACIONES t03

Ejemplo: Consideremos en Z la relación binaria "-" definida mediante

x - y <+ x -y es múltiplo de 3.
a) Probar que es de equivalencia.

b) Representar la relación "-".

SOLUCIÓN: a) La relación - se puede escribir como

x -y = 3k, paraalgún k e Z
-ye x

o bien -: {(x, y) e Zl x-y: 3k, k e Z}

Luego, para probar que "-rr es de equivalencia se debe verificar que:

i) Six e Z + x-x:0:3(0),esmúltiplode 3
= X-X, larelación

es reflexiva.

ii) Si x-y + x-y:3k, ke Z = y-x=3(-k), -ke Z+y-x,

la relación es simétrica.

iiD Síx-y A y-z= x-y:3k1, k1 e Z ¡y-z:3k2, k2e Z

+ x-z=3(k¡+k2), k¡+k2 e Z= x-2,

la relación es transitiva.

Por tanto, la relación - es de equivalencia.

b) Para cada k e Z se determina el siguiente conjunto discreto de puntos

sobrelarectay=x-3k.
104 ALGEBRA MODERNA

6.] CLASES DE EOUIVALENCIA

Sea "-" una relación de equivalencia definida en un conjunto A+ó y sea ¿ e A. La clase
de equivalencia de a (que contiene a a) se define corno el conjunto de todos los x de A

tales que sean equivalentes al ¿. Se denota esta clase de equivalencia por Ko,lal o a .

Kr:{xeAlo-x\
Nótese que como - es reflexiyd, ú - a paratodo a e A de modo que a € Ka. Por tanto,

Ko nunca es vacía. Obsérvese asimismo que todas las clases de equivalencia son

subconjunto de A. y son disjuntos dos a dos.

Teorema Si ó pertenece a la clase de equivalencia de a, entonces la clase de

equivalencia de ó y la de a son idénticas, es decir.

beKo>Kó:Ko
Este teorema mllestra que una clase de equivalencia queda determinada por cualquiera
de sus elementos, llamado representante de la clase. Asimismo se puede afirmar que dos

elementos son equivalentes sí y solo sí estos elementos son miembros de la misma clase
de equivalencia.

Ejemplo: Sea A : {1,2,3,4, 5\ y sea - una relación de equivalencia en A

definida como sigue

-: {(l ,t),(2,2).(3,3), (4.4), (5,5), (1,2),(2,1). (4,5), (5.4)}

a) Representar la relación en un diagrama de Venn.
b) Determinar las clases de equivalencia.
SOLLTCIÓN: a) El diagrama de Venn es

\3
RI]LACIONES 105

t') La clase de equivalencia de I es el conjunto de todos los elementos de

A que son equivalentes a l. Esto es

K¡ : {1,2}
Asimismo, la clase de equivalencia de 2 es K2 : {1,21,
de donde Kr = Kz : ll.2\
Análogamente se obtiene que
Kt: Ks: (4. 5)

Entonces, en este caso. los representantes de cada clase son: l, 3 y 4.

Por tanto. se tiene tres clases de equivalencia. Kr, K¡ y K¡, que son
subconjuntos de A. Las cuales forman una partición de A como sigue:

ObserrcsequeK¡ l^lK:=Kr flK+:K¡IKr: 0 )' Kr U X.¡ U Kr=A.

Nótese también que si dos elementos de A son equir alentes. cstos
pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Entonces. el conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto lt - e'S !m?

partición de A. Es decir. que ulla relación de equi.,,alencia sobre un conjunto ,,\ prorluce
una partición de dicho conjrnto.

6.2 CONTUNTO DE íNDICES

Sea A + $ un conjunto dotado de una relación de cquivalcncia. Sc clenontirra conjunto cie

índices a un conjunto lormado por los represent¿urtcs clc cada clasc'clc equir¿rlr'ucia. [:s
decir.

l=' la e A / K,, es Lnr¿r clase cic cc¡uiralcucia cn r\)

106 ALGEBRA MODERNA

Así, en el ejemplo anterior el conjunto de índices es

I: {1,3,4\
Ejemplo: En el conjunto A : {a, b, c, d, e} se define una relación de equivalencia
mediante:

-: {(a,a),(a,c),(a,e),(b,b),(b,d),(c,a),(c,c),(c,e),(d,b),(d,d),(e,a),(e,c),(e,e)}
Hallar las clases de equivalencia y conjunto de índices.

/n \
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn es

Entonces, la clase de equivalencia de c, de c y de e son idénticas, esto es

Ko--K.:K.: {a,c,e}
Asimismo, las clases de equivalencia de b y de d son iguales, esto es

Ku: K¿: {b, d}

El representante de la primera clase puede ser ¿, c o e, digamos a.

Mientras el representante de la segunda clase puede ser b o d, escogemos

b. Por tanto, se tiene dos clases de equivalencia, Ko y Ku, y el conjunto

de índices es I: {a, b}.
El diagrama de Venn de A y las clases de equivalencia son

Nótese que las clases de equivalencia forman una partición de A.

RELACIONES 107

6.3 CONJUNTO COCIENTE

Sea - una relación de equivalencia en un conjunto A. El conjunto de todas las clases de

equivalencia de los elementos de A se llama conjunto cociente de A por -. se escribe

A/-. Es decir.

Al-:{K"/ael}
Obsérvese qr,re las clases de equivalencia son. por una parte. subconiuntos de A. y por
otra. elernentos del conjunto A I -.
Eiempro:
"::i;ll l;;;ll,;,,, il,j, ili,',;;'*T.-;:T.l,como
Hallar: las clases de equivalencia, el conjunto de índices y el conjunto
cociente.

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn es

Luego, la clase de equil'alencia de los elementos 1. 2 y 4 son idénticas. es

decir,
Kr: Kz: K.r: [1" 2.4)
la clase de equivalencia de 3 es

K¡ = {3}
Entonces, se tiene clos clases de equivalencia.

{1.2. a} y {3}
Si escogemos a I conro representante dc la primera clast y, 3 es cl único
rcpresentante de la scgunda clase. el conjunto cle indices es

¡= tr.3)
108 ALGEBRA MODERNA

El conjunto cociente. que está formado por todas las clases de

equivalencia es

, A t-: t\ Kr, K¡) : {{ 1.2.4}, {3}}

Teorema Toda partición de un conjunto A permite definir en éste una relación de

equivalencia "-" en la que las clases de equivalencia son los bloques de la partición.

Si {Al. Az, ...} es una partición de A. entonces segúttl el teorema cada Ai es una clase de

equitalencia de A. En donde la relación de cl,' iuncia se define como sigue:

a - b <> a y b sott llrienrbros del nlismo bloque

Ejemplo: SeaA: {1,2,3.4}, y sea { il). {2. 3'4)} unaparticióndeA.

Determinar Ia relacióri de equivalencia correspondiente -* en A.

SOLUCIÓN: Ya que las clases de equivalencia de los elementos de A son los bloques
de la partición. se tiene

Kr :{1). K2: {2.3, 4\

En diagrama de Venn es

A partir dc la clellltici(rn de l¿r clase de c'quivalencia y el hecho de que -

es urla relación cle cqr.rivalencia. se tiene qtre

-: [(r. 1 ). (2. 2). (2. 3). lz. 1). (3. 2). (-]. 3). (3. 4). (1. 2). (4. 3). (4. 4)]
tal conlo sc nr.tcstl'¿t etr cl scgtttlclo cliagranta de Velrn.
RELACIONES t09

Ejemplo: Sea A: {3,4,5,6,7\.

Se deñne una relación R en A nrediante
xRy <+ 3lx-y. (3dividex-y)
a) Demuestre que R es de equivalencia.

b) Determine las clases de equivalencia.

c) Determine el conjunto cociente A I -.
SOLUCIÓN: La relación R puede escribirse como

R: {(x.y) e A2l3lx-y)
Por extensión se tiene

R = {(3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7). (3.6). (6.3), (4.7). (7.4)i

El diagrama de Venn correspondiente es

CD@
0l)
@U
a) La relación R cunrple las siguientes propiedade's:
i) Sí x e A +3 I x-x =+xRx.paratodox e A.
Es decir. cada elemento de A está relacionado consigo ¡nisnro. la
relación es ref'lexiva.

iil Six Ry>3 Ix-), +3 i y'.-x+ )'R\.paratodo(x.)) e lt.

Así.tenenros 3R6=6It3 csV
4R7 + 7R4 esV
la relación R es sinrétrica.

iii)Síx Ry n 1,Rz = 3ix-y, n 3i¡-z = 3lx-z= x I{z

[']s dccir. -i R 3n 3 fl (r
= -i It (r cs V

4R7 n 7lt4 =.lR-l cs\/

la rclació¡r R es transitiva.
ll0 ALGEBRA MODERNA

Por tanto, R es de equivalencia y se denota por -.

b) La clase de equivalencia de los elementos 3 y 6 son idénticas,
K3: Ko: {3,6}
la clase de equivalencia de los elementos 4 y 7 son iguales,

I(4: K7: {4,7\

la clase de equivalencia de 5 es

Ks: {5}
c) El conjunto cociente es
A I - = { K¡, K¿, Ks} : { {3, 6}, {4, 7}, {5} }
El conjunto de índices I = {3,4, 5}

Ejemplo: En Zse define una relación de equivalencia - mediante

x-y € 5l*-y (5dividex-y)

a) Determine las clases de equivalencia.

b) Determine el conjunto de índices.

c) Determine el conjunto cociente Z I -.

SOLUCIÓN: La relación - puede escribirse como

-:{(x,y)eZ2l5lx-y}
Esto significa que dos enteros son equivalentes sí y sólo sí la diferencia
de éstos es divisible por 5, o es múltiplo de 5.

a) La clase de equivalencia de 0 es

Ko = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...} = {5k lk e Z}

la clase de equivalencia de I es

Kr : { ..., -9, -4,1,6,1l, ...} : {5k + | lk e Zl

la clase de equivalencia de 2 es

Kz : {..., -8, -3,2,7,12, ...\: {5k + 2 lk e Z\

La clase de equivalencia de 3 es

K¡: {..., -7,-2,3,8, 13,...}: {5k+ 3lk e Z}

La clase de equivalencia de 4 es
ITELACIONES III

K¿: {..., -6,-1,4,9,14,...} : {5k + 4 I k e Z}

Asimismo, tenemos que
K0: ...: K-t¡: K-5 : K5 : ...
Kt = ... : K-9 = K-4 = K6: ...
K2: ... : K-8 = K-3: K7: ...

Po, tunto, existen cinco clases de equivalencia Ko, Kr, Kz, K3, Ka, eue

forman una partición de Z.

b) El conjunto de índices es
I: {0, I,2,3,4}
c) El conjunto cociente es

Zl -: { Ko, Kr, Kz, K¡, &}

Ejemplo: En fr se define una relación R mediante

xRy e lx-11 :ly-ll

a) Demuestre que R es de equivalencia.

b) Representar R.

c) Determine las clases de equivalencia.

d) Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.
SOLUCIÓN: La relación R puede escribirse como
R: {(x, y) e fr2llx- 1l : ly- ll}
a) La relación R cumple las siguientes propiedades:

i) Si xe R2 +lx-ll =lx-ll:+xRx, larelaciónesreflexiva.

ii) SixRy+lx-ll :ly-ll +ly-ll :lx-ll =+ yRx, la

relación es simétrica.

iii) Si xRy n yRz + lx-t¡ = ly-ll " ly-ll = lz-ll + lx-t¡ = lz-tl +
x R z, la relación es transitiva.
112 ALGEBRA MODERNA

Por tanto, la relación R es de equivalencia y se denota por -.

b) La relación - es el conjunto de puntos (x,y)eF, tales que lx-l l:ly-l I

e (x-1)2: (y-l)2 e (x-y)(x+y_2):0 c> x : y v x-ty:2.

Así, -: {(x, y)e R' I *: y v x+y:2)

c) La clase de equivalencia de un elemento ¿ e R es

Kd:{xe Rlx-a}:{xe .Rlx:u v x:2-a}
: { a,2 - s},para todo a > 1.
d) El conjunto de índices es I: [1, * [

El conjunto cociente es ,R / - : {K, / a e [, oo []

Ejemplo: En 22 se define una relación R mediante

(x, y) R (a, b) <> x: a

a) Demuestre que R es de equivalencia.

b) Determine las clases de equivalencia

c) Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.

SOLUCIÓN: a) La relación R es de equivalencia sí y sólo sí cumple las propiedades:

i) Si (x, y)eZ2+ x : x = (x, y) R(x, y). Resreflexiva.

ii) = x: a= a: x + (a,b) R (x,y), Res simétrica.
Si (x,y) R(a,b)

iii) Si (x,y)R(a,b) n (a,b)R(u.v) = x=a A a:u + x:u (x,y)R(u,v),

=
R es transitiva.
RELACIONES il3

Por tanto, la relación R es de equivalencia y se denota por -.

b) La clase de equivalencia de un elemento (¿. 0)e 22 es

Ktu,o) : {(x. y) e 22 / (a, 0)-(x. y)i

: l(x. ,') e Z1 I a: x\¡

c) El conjunto de índices es
I:{(¿,0)laeZl
El conjunto cociente es

22 l-:{Ktn,o¡lneQ

2
Ejemplo: En R se define una relación R mediante

(x. l') R(a, b) <+ ¡ *y: a*b

d) Demuestre que R es de equivalencia.

e) Determine las clases de equivalencia

0 Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.

SOLUCIÓN: a) La relación R es de equivalencia sí y sólo sí cumple las propiedacles:

i) Si (x, y)e.Ii 2
= x*y = x*y = (x,y) R (x.y), R es reflexiva.

ii) Si (x.y)R(a.b)3;1+y:a*b+a*b:x*y+(a.b)R(x.y ). R es simcítrica.

iii) Sí (x.y)R(a.b) n (a.b)R(u.v) + x+y:a+b n ¿*[:¡¡*r'' = x+\':tr*v

(x,y)R(u,v), R es transitiva.
=
Por tanto. la relación R es de equivalencia y se denota por -.
2
b) La clase de equivalencia de un elemento (4. 0) e -R es

K¡a,o) : {(x,y) e ,ri2i (4.0)-(x.r-)} : {(x. y) e 1lrla =r+}')

c) El conjunto de índices es [ : {(4, 0) / a e .R}
El conjunto cociente es .R2 I -: {Klo, o¡ I a e .R\

2
Ejemplo: En -R se define una relación R mediante

(x,y)R(a,b) <+ xy:ab

a) Probar que R es de equi,u'alencia.

b) Obtener las clases de equivalencia

c) Detelninar un coniunto de índices 1'el conjunto cociente.
tt4 \LGEBRA MODERNA

SOLUCIÓN: a) La relación R es de equivalencia, ya que se verifica que:

i) Si (x, y)e ftt = * y: xy + (x,y) R(x,y), Res reflexiva.

ii) Si (x,y)R(a,b)=x y:a b=a b:x y=(a,b)R(x,y), R es simétrica.

iii) Sí (x,y)R(a,b) n (a,b)R(u,v) = x y:a b ¡ a b:ü v + x y:u v
(x,y)R(u,v), R es transitiva.
=
2
b) La clase de equivalencia de un elemento (a, b)e R es

K(o,o) : {(x, y) e .R' l(*,y)R(a, b)} : {(x, y) e fr'l*y: abl

: {(x, y) e fr' l*y: k}, donde k: ¿b

Esta clase de equivalencia es una hipérbolapantodo k e ft.

c) Unconjunto de índiceses I : {(¿, b) e fr2lb: ¡a¡¡

El conjunto cociente es R2 I -: {K(o, t¡ I (a,b) e I}

Ejemplo: Sea A: {0, 1,2,3} y B: {1,2\. En P(A) se define la siguiente relación
mediante

XRY<+Xf^lB=Y[]B
a) Muestre que es una relación de equivalencia.
b) Describa sus clases de equivalencia.
c) Obtener un conjunto de índices y el conjunto cociente.
SOLUCIÓN: a) La relación R es de equivalencia, yaque se verifica que:
i) Si X e P(A) +Xlt g :Xl^lB + XRX, Resreflexiva.
ii) Si XRY + XlB : Y[lB = YflB = X0B =YRX, R es simétrica.
iii) Sí XRY n YRZ = XflB : Y['lB n YllB = ZñB = X¡B : Z1B

=XRZ,Restransitiva.
b) Las clases de equivalencia son

Ka : { XeP(A)/XnB=O}, K{,): { xePlR)/XnB:{l}}

K{z}: { xe rqe¡/xnB={2}}, Klr,zr: { xeplR)/xllB:{1,2}}
c) Un conjunto de índiceses I: {0, {l}, {2}, {1,2}}
El conjunto cociente es P(A) / - = { Ko, K1r¡, K1z¡, Ktr,zl}
RELACIONES I 15

7. RELACIONES DE ORDEN

Es frecuente en matemática y en la actividad corriente tener que considerar conjuntos

cuyos elementos aparecen en cierto orden; tales como, por ejemplo. el conjunto de días
de la semana, el conjunto de tareas que deben realizarse para construir una casa, el
conjunto de números naturales, etc. Ahora estableceremos con toda generalidad el
concepto de conjunto ordenado, destacando las propiedades que reflejan la esencia
matemática de dicha noción de orden,

Cuando queremos referirnos a un orden cualquiera sin precisar a cual, usaremos el

término genérico "preceder". Así, una relación definida en un conjunto por
x R y <+ "x precede a y" (x, y son comparables)

se dice que es de orden amplio o estricto, y en cada caso, es de orden parcial o total,
según se cumplan las propiedades que se citan a continuación.

7.1 RELACIONES DE ORDEN AMPLIO

Una relación R en un conjunto A se llama relación de orden amplio, o simplemente

relación de orden. si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es decir,

i) Sí xeA+xRx
ii) Sí xRynyRx=+x:y
iii) Sí xRynyRz+xRz
Ejemplo: Sea A : {1,2,3} y seaR unarelación definidapor x R y <> x < y
Entonces la relación R es de orden amplio, ya que cumple las
propiedades:

i) Si xeA = x(x =) xRx.Resreflexiva.

ii) Si xRy^yRx :+ xlyny(¡,:)X:y,Resantisirnétrica.
iii) xRynyRz = x<yAys z+ x(z- xRz,Restransitiva.
La relación R por extensión se tiene

R= {(1. l), (2.2). (3.3), (1.2). (1,3), (2,3)}

116 ALGEBRA MODERNA

El diagrama de Venn es

Obsérvese que todos los elementos de A son comparables dos a dos por
la relación de "menor o igual".

Ejemplo: Sea A : {1,2,3,4} y sea R una relación definida por

xRyexly
Entonces R es una relación de orden amplio, ya que cumple las

propiedades:

i) Si x e A=x lx=xRx, Resreflexiva.

ii) Six Ry^ yRx - x ly r. y lx

=x:y, Res antisimétrica.

iii) Si x Ry n y Rz = xly n ylz

=xlz = x Rz, Res transitiva.
La relación R por extensión se tiene
R : {( 1, 7), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ( 1, 2), (1, 3), ( l, 4), (2, 4))
El diagrama de Venn es

Obsérvese que existen elementos de A que no son comparables por la

relación de "divisor". Esto Es, 3 y 4 e A pero 3fi y ap son F.
RELACIONES t17

7.1.1 RELACIONES DE ORDEN PARCIAL Y TOTAL

Sea R una relación de orden amplio definida en un conjunto A.

l) Cuando todos los elementos de A son comparables dos a dos, el orden se llama total.
Es decir, sí

xÉy + xRy v yRx

Por ejemplo, la relación del ejemplo anterior, en donde ésta se define por "menor o

igual" (l), es de órden amplio y total, ya que todos los elementos de A son

comparables por dicha relación.

2) Cuando existen pares de elementos de A que no son comparables, el orden se llam¿i

parcial. Es decir,

fx,fylxfly^yRx
Por ejemplo, la relación del ejemplo anterior, en donde ésta se define por "divisor",

es de orden amplio y parcial, ya que existen elementos como 2 y 3 de A tales que 213

y 312 son F.

Por tanto. la palabra "parcial" en estos conjuntos significa que algunos elementos
podrían no ser comparables.

Ejemplo: Sea A = {a, b, c}. En P(A) se define la relación de inclusión por

XRYeXcY
Entonces la relación de inclusión es de orden amplio y parcial. )'a que
cumple las propiedades:

i) Si X e P(A) +X cX+X RX. Resreflexiva.

ii) Si XRY n YRX + XcY n YcX + X:Y. R es anrisimétrica.
iii) Si XRY n YRZ = XcY n YcZ > XcZ + XRZ, R es transitiva.
Por olra parte. este orden amplio es parcial. pues existen pares de

conjuntos de P(A) que no son comparablcs por la relación de inclLrsitin.

Porejumplo {a} y {bi.vaque [a)c [b) I lb] c {a} son F.
r 18 ALGEBRA MODERNA

Ejemplo: En Z la relación "menor o igual" es de orden amplio y total. Pues. sí

xRy <+ x < y. entonces:

i) Si xe Z=x<x=xRx.Resrellcxiva.
ii) Si x Ry ^ y Rx = x ly n y < x + x:y,R es ahtisimétrica.

iii) Si x R y ^ y R z = x < y A y <z- x1z) x R z. R es transitiva.

Pero este orden aniplio es total. )'a qlle todos los enteros son comparables

dos a dos por la relación de "nlenoro igual". O sea, sí

x+y = x<y v y<x= xRy v yRx

7.2 RELACIONES DE ORDEN ESTRICTO

Una relación R deflnida en un conjunto A se llama relación de orden estricto si es

arref'lexiva. asiurétrica ), transitiva. Es decir.

i) Sí xeA=x(x
ii) Sí xRy=*Ry
iii) Sí xRy'nyRz=xRz
Al igual que el órden arnplio. el orden estricto puede ser parcial o total. Es decir. el
orden estricto es parcial si existe por lo menos algirn par de elementos de A que no solt
comparables por dicha relaciór-r. en caso contrario el orden estricto es total.

Ejemplo: En .'\' la relación de "mellor" es de orden estricto y total, pues dicha

relación. definida por x R y <> x < y, cumple las propiedades:
i) Sí xe A =xdx=xNx.Resaneflexiva.
ii) Sí x Ry-)' d x=y Kx.Resasimétrica.
iii) Sí x R y ^ y R z -x <y y <z- x<z
= x R z. R es transitiva.
^
Por otra partc. si x +y = x < y v y < x - x R y v y R x, es decir. todos
lcls nirnreros naturales son conrparahles dos a cJos por la relación de
"r'l'lcnor".
RELACIONES I 19

Ejemplo: Sea A: {a, b, c, d} y sea R una relación dada por

R: {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d)}
Entonces la relación R es de orden estricto y parcial, puer, cumple las
propiedades:

i) Sí x e A +'x R x, cada elemento de A no está relacionado consigo

mismo. R es aneflexiva.

ii) Sí xRy+y $.x,esdecir,siaRb+b l,^,uRc+c ÉasonV.

R es asimétrica.
iii) Sí xRynyRz +xRz, esdecir, sí aRbnbRd= aRd,

siaRcncRd+aRdsonV.
R es transitiva.
Por otra parte, existen pares de elementos de A que no están relacionados

porR, tales como by c e A, yaque b Rc y c Rb sonF.

7.3 DIAGRAMA DE HASSE

Consideremos un sistema fenoviario con diversos ramales como se indica en el

siguiente esquema, donde los puntos A, B, C, D, E, F, G y H representan las diversas
estaciones. F

Si un tren sale de la estación A, pasará antes por la estación B que por C o D, de manera
que podemos decir, por ejemplo: A es anterior a B, ésta es anterior a cualquiera de las

demás, C es anterior a F, E y G, pero no es anterior a D (ni a H) ni es D anterior a C (ni

a F), Por tanto, el esquema en consideración representa al conjunto de estaciones

ordenadas por la relación de "anterioridad". Esquemas o diagramas eomo éste se ilarnan

de Hasse.
t20 ALGEBRA MODERNA

Dada cualquier relación de orden (estricto o no) podemos representar un conjunto

ordenado mediante un diagrama, llamado de Hasse, similar al del sistema ferroviario.

Obsérvese que en el ejemplo considerado, los subconjuntos de estaciones {A, B, C, F},
{A, B, C, E, G}, {A, B, D, E, G} Y {A, B, D, H}, así como cualesquiera de los
subconjuntos de éstos, constituyen cadenas respecto a la relación de "anterioridad", esto
es, sobre cada uno de esos subconjuntos la relación citada induce un orden total.

Ejemplo: Sea A: {2,3, 4,6,9, 12,36} y sea R una relación de divisor definida

por xRy e xl
Entonces esta relación es de orden amplio y parcial, pues cumple las
propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por otra parte, existen
pares de elementos de A que no están relacionados por la relación de

"divisor".
El diagrama de Hasse correspondiente es
4

Donde. cada uno de los subconjuntos: {2, 4, 72,36}, {2, 6, 12,36},

{3, 6, 12.36} y {3, 9, 36} constituyen una cadena respecto a la relación

de "divisor". Es decir, cada uno de estos subconjuntos son totalmente
ordenados por la relación citada. Sin embargo, el conjunto A queda

parcialmente ordenado por la misma relación.

Ejemplo: Sea A : {1,2,4,6, 18, 20,36t\ y sea R una relación de divisor,

definida por xRyexly
Es fácil comprobar que esta relación es de orden amplio y parcial. El
correspondiente diagrama de Hasse es
RELACIONES t2t

l.-----r

Entonces lcs subconjuntos totalmente ordenados por la relación de

"divisor" (cadenas) son:

{1,2,4,20}, {1,2,4,36} y U,2,6,18, 36}

Por otra parte, el conjunto A resulta parcialmente ordenado por la misma

relación.

Ejemplo: En A: {0, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}--}, consideramos la rclación
de inclusión definida por

XRY <+ XcY

Entonces esta relación es de orden amplio y total. pues

i) -SixeA+Xc X=XRX, Resreflexiva.

ii) Si X RYn YRX=X c Yn Y c X +X: Y. Res anrisirnrirrica.
iii) Si XRY n YRZ + XcY n YcZ>XcZ=+ XRZ. R es transitiva.
Además, en cada par de elementos cualesquiera de A. uno de ellos está
incluido en el otro.
El correspondiente diagrama de Hasse es

Obsérvese, que el diagrama de Hasse nuestra una sola cadena. esto

significa que todos los elementos de A son comparables por la relación
de inclusión y que es un conjunto totalmente ordenado por la urisma
relacíon.
t22 ALGEBRA MODERNA

Ejemplo: En A : {3, 4,5,6,7,8,9\ se considera la relación de "mayor"

definidapor xRy <+ x>y
Entonces R es una relación de orden estricto y total, pues todos los
elementos de A son comparables por dicha relación. Así, el diagrama de
Hasse correspondiente es:

9876s43
.----_-->'.---->>._______).+--++aF+>.

Por tanto, el conjunto A resulta totalmente ordenado por la relación de

"mayortt.

7.4. ELEMENTOS EXTREMOS DE AN CONJUNTO ORDENADO

Sea A un conjunto ordenado por una relación de orden R (estricto o no), y se denota por

(A, R).

7.4.1. PRIMERO Y ULTIMO ELEMENTO

Un elemento xeA se llama primer elemento de A sí precede a todos los demás. Es decir

xeAeselprimerelemento <> c€A + xRc

Un elemento ye A se llama último elemento si todo elemento de A precede a y. Es decir
y e A es el último elemento <> c é A =+ c Ry

7.4.2. ELEMENTOS MINIMALES Y MAXIMALES

Un elemento m e A se llama minimal si no existe un elemento distinto que lo preceda

(antecede). Es decir

meAesminimal <+VceA:cRrn
= m:c
Un elemento n e A se llama maximal si no existe en A un elemento distinto que lo siga.
Es decir

n e Aesmaximal e Vc e A : ¡¿Rc + n: c
RELACIONES 123

7.4.3. COTAS INFERIORES Y SUPERIORES

Un elemento aeA es una cota inferior del subconjunto XcA sí precede a todo elemento
de X. Es decir
a e Aes cotainferiorde XcA <+ c € X + a Rc

Un elemento óeA es una cota superior del subconjunto XcA sí sigue a todo elemento

de X. Es decir
b e Aes cotasuperior de XcA <> c € A => c R á

7.4.4 MíNIMA COTA SUPERIOR V II'*íXIA,q COTA INFERIOR

Un elemento s e A se llama mínima cota superior (supremo) del subconjunto XcA sí es

el primer elemento del conjunto de las cotas superiores.

Un elemento i e A se llama máxima cota inferior (ínfimo) del subconjunto XcA sí es el

último elemento del conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo: Sea el conjunto A = {2, 3, 4, 6, 9, 12,36} ordenado por la relación de

"divisor", que es de orden amplio y parcial, cuyo diagrama de Hasse es

Si B = {2, 4, 6, 12\ es un subconjunto de A, entonces se tiene que: El

primer elemento y el minimal de B son 2, el último elemento y el
maximal es 12, cota inferior y el ínfimo son 2, cotas superiores son 12 y
36,y el supremo es 12.

Ejemplo: Sea el conjunto A : { 1,3,4,9,12,24,36\ ordenado por la

relación de divisor, la cual es de orden amplio y parcial, y cuyo diagrama
de Hasse es
t24 ALGEBRA MODERNA

El primer elemento de A es l, ya que es el único elemento que es divisor

de todos los demás, pero éste también es el minimal, cota inferior y el
ínfimo. Carece de último elemento, de cota superior y el supremo, pero
tanto 24 como 36 son maximales.

Ejemplo: Sea el conjunto A = { I,2,3, 4, 5,6,7} ordenado por la relación de

"menor", que es de orden estricto y total, y cuyo diagrama de Hasse es

t234567

El primer elemento y minimal de A es l, el último elemento y maximal

-H+#.--------->.->o
es 7. Como tanto I < I y 7 <7 son F, entonces carece de cota inferior,

ínfimo, cota superior y supremo.

Ejemplo: Sea el conjunto A : { I,2,3, 4,5, 6,7} ordenado por la relación de

"menor o igual", que es de orden amplio y total, y cuyo diagrama de
Hasse es

El primer elemento de A es l, que es también minimal, cota inferior e

ínfimo. Análogamente, el último elemento 7, que a su vez es maximal,
cota superior y supremo.
RELACIONES r25

8. EJEMPLOS ADICIONALES
Ejemplo: Sean A, B conjuntos con r'¡(A) :4. Si existen 4096 relaciones de A en B,
determinar q(B).

SOLUCIÓN: Como el producto cartesiano AxB tiene q(A) ' n(B) : 4n elementos,
donde n: n(B), el número de relaciones de A en B es

24":4096
de donde n:3
Ejemplo: La relación vacia, R : 0, definida en un conjunto A+{ verifica las
propiedades:

i) Si xeA + xF x es V, ya que el consecuente de la implicación es V.

La rehción vacía es arreflexiva

ii) Si x Ry = y Rx es V, yaque el antecedente de laimplicacióri es F.

La relación vacía es simétrica.

iiD SixRy A yRz = xRzesV,pueselantecedentedela

implicación es F. La relación vacía es transitiva,
iv) SixRy A yRx + x:yesV,pueselantecedentedela
implicación es F. La relación vacía es antisimétrica.

Ejemplo: Dado un conjunto A: {x,, x2, ...,xn}, donde n(A2) : n', de modo que

huy 2n'relaciones sobre A. ¿Cuántas de ellas son reflexivas?

SOLUCIÓN: Siescribimos At:A, UA,donde A,: {(x,,xi)/ I <i<n} y

Ar: {(x,, x,) li+j i > 1, j ln}, se tiene n(A,): n y

^
n(Az) = q(A2) - n(Ar): n2 - n.

una telación R sobre A es reflexiva sí y solo sí A,c R, así, la unión de

A, con cada uno de los 2n2-n subcon¡untos de A, es una relación reflexiva.

Es decir

VB c Az : R.: Ar U B es una relación reflexiva.

Por tanto, existen 2n2-n relaciones reflexivas sobre A.

126 ALGEBRA MODERNA

Ejemplo: Dado un conjunto A : {x,, x2t ...,xn}, en donde se puede definir 2n2

relaciones binarias. ¿Cuántas de estas relaciones son simétricas?

SOLUCIÓN: Al igual que en el ejemplo anterior escribimos A1 : A, U Az, donde

A,: {(x,, x,)i I <i<n} y Az: {(x,, x,) li+ j xi21, j sn}
Como n(Az) : n2 - n: n (n - l), un entero par, el conjunto A, contiene

n'- subconjuntos {b¡} de la forma {(x,, x.,), (x,, x¡)} donde

;
1< i < j < n. Así, asociando tales elementos en Az se tiene

n'^ n
Al = {b¡ /1< i < j S n}, r\¿/2
ry@;)=

Una relación R sobre A es simétrica sí y solo sí R = B, U Bz, donde 81, €S

uno de los 2n subconjuntos de A, y B, es uno de ¡o, 2i("-'l subconjuntos

de Al.
Por tanto, existen 2n- 2I@'-''t - 2I@'z+n) relaciones simétricas sobre A.

Ejemplo: Si R y S son dos relaciones transitivas en A, demuestre que R fl S es

transitiva.
SOLUCIÓN: Como R y S son dos relaciones transitivas, entonces se tiene

x(MS)y n y(MS)z e (x, v) e (MS) n (y, z) € (RnS)

= (x,y)eR n (x,y)eS n (y,z)eR n (y,z)e S

= xRy n xSy ^ yRz n ySz
= (xRy n yRz) n (xSy n ySz)
= xRz n xSz + (x,z)eR n (x,z)eS
= (x, z) e (RflS) + x(RflS)z
Por tanto, la relación R[lS también es transitiva.
RELACIONES t2'l

Ejemplo: Sean R y S dos relaciones de orden amplio y parcial definidas en los

conjuntos A y B, respectivamente. Es decir, (A, R) y (B, S) son dos
conjuntos parcialmente ordenados por dichas relaciones. En AxB se

define una relación T mediante

(x,y) T (a,b) <+ xRa n ySb

Demuestre que T es de orden amplio y parcial.

SOLUCIÓN: Considerando que R y S son de orden amplio y total, se tiene

i) Sí (x,y) e AxB + xeA n yeB

= xRx n vSy
(x,y) T (x,y), T es reflexiva.
=
ii) Si (x,y) T(a,b) n (a,b) T (x,y) +xRan ySb n aRx n bSy

=r (xRa n aRx) n (ySb n bSy)

3¡¡=a A y:b = (x,y):(a,b)
T es antisimétrica.
iii) Si (x,y) T(a,b) n (a,b) T (u,v) = xRan ySb n aRunbSv
+ (xRa n aRu) n (ySb n bSv)
=xRu n ySv
e (x, y) T (u, v), T es transitiva.
Si3xia lxÉu^af,x A ly3b lV fibnb $y
+ I (x,y) 3 (a,b) / (x,y) f(a,U) A (a,b) f (x, y)

"La preparación profesional es el más seguro de los

bienes de la vida, saber algo con perfección, es
poseer en sí mismo, la hacienda del porvenir. La
vida ha deiado de ser la ciencia de los sabios, para
ser el arte de los preparados",
Man Césped