LABORATORIO DESVIACIÓN DEL HAZ DE ELECTRONES EN SEMESTRE

No 3 MEDIO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME I/2021

NOMBRE: Univ. Barreta Villca Diego Raul CI: 7455129 OR

MATERIA: FIS 1200-F DOCENTE: M. SC. ING. JAIME BURGOS MANRIQUE

1.- OBJETIVOS.
1.1. Determinación de la intensidad de campo eléctrico en el interior de tubo de rayos catódicos
(TRC) con un error probable del 1%.
1.2. Realización de las observaciones e interpretaciones físicas del experimento.

2.- FUNDAMENTO TEÓRICO.

El trabajo se convierte en energía eléctrica

1
𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 𝑒𝑒𝑉𝑉𝐴𝐴
2 𝑜𝑜

La velocidad inicial con que ingresa el haz de electrones en medio de las placas del TRC:

2𝑒𝑒𝑉𝑉𝐴𝐴
𝑣𝑣𝑜𝑜 = �
𝑚𝑚

La velocidad de placa a placa es:

𝑡𝑡

𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑦𝑦 + � 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑

0
La velocidad en dirección axial a las placas es:
𝑡𝑡

𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 + � 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

0

La aceleración en "y" es:

𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑒𝑒
𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝐸𝐸
𝑚𝑚

Realizando operaciones:
𝑡𝑡
𝑒𝑒
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −𝑣𝑣𝑜𝑜𝑦𝑦 + � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚
0

La velocidad transversal es:

𝑒𝑒
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −𝑣𝑣𝑜𝑜𝑦𝑦 + 𝐸𝐸𝑡𝑡
𝑚𝑚

En dirección axial se tiene que:

𝑎𝑎𝑥𝑥 = 0

Velocidad en dirección axial

𝑡𝑡

𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 + � 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜

0

La ecuación de la trayectoria del haz de electrones es:

𝑡𝑡 𝑡𝑡
𝑒𝑒
𝑦𝑦 = � 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �−𝑣𝑣𝑜𝑜 + 𝐸𝐸𝐸𝐸� 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚
0 0
𝑒𝑒
𝑦𝑦 = −𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑡𝑡 + 𝐸𝐸𝑡𝑡 2
2𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑣𝑣𝑜𝑜 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )

𝑣𝑣𝑜𝑜𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝑜𝑜 sen(𝜃𝜃𝑜𝑜 )

𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝑜𝑜 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )

𝑒𝑒
𝑦𝑦 = −𝑣𝑣𝑜𝑜 sin(𝜃𝜃𝑜𝑜 )𝑡𝑡 + 𝐸𝐸𝑡𝑡 2
2𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑜𝑜 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )𝑡𝑡

Eliminando el tiempo se tiempo:

𝐸𝐸
𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 tan(𝜃𝜃𝑜𝑜 ) + 𝑥𝑥
4𝑉𝑉𝐴𝐴 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )2

3.- INSTALACIÓN DEL SISTEMA DE EXPERIMENTACIÓN.

Regla
Voltimetro A Voltímetro P

4.- REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES.

Tabla N.-1
Instrumentos Clase Escala máxima Error Abs. Unidad
Voltimetro VA 1.5 3000 0.1 V
Voltimetro VP 1.5 3000 1.5 V
Regla δx = δy = 0.1 cm
Tabla N.- 2

MAGNITUD MEDIDA UNIDAD

VA 851 ± 45 V
VP 1511 ± 45 V
ANGULO 49.8 ± 1 DEGR
DISTANCIA
d 5 ± 0.1 cm

1.5%
𝛿𝛿𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝛿𝛿𝑉𝑉𝑃𝑃 = ∗ 3000 = 45 [𝑉𝑉]
100%

𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑉𝑉𝑃𝑃 = 10 ∗ 𝛿𝛿𝑉𝑉𝐴𝐴 = 10 ∗ 45 = 450 [𝑉𝑉]

Tabla N.-3
n X ± δX (cm.) Y ± δY (cm)
1 0.28 ± 0.1 -0.34 ± 0.1
2 0.65 ± 0.1 -0.78 ± 0.1
3 1.21 ± 0.1 -1.22 ± 0.1
4 1.96 ± 0.1 -1.69 ± 0.1
5 2.77 ± 0.1 -1.81 ± 0.1
6 3.7 ± 0.1 -1.59 ± 0.1
7 4.45 ± 0.1 -1.16 ± 0.1
8 5.04 ± 0.1 -0.75 ± 0.1
9 5.45 ± 0.1 -0.22 ± 0.1
10 5.73 ± 0.1 0.22 ± 0.1
11 6.07 ± 0.1 0.75 ± 0.1
12 6.35± 0.1 1.19 ± 0.1
13 6.66 ± 0.1 1.69 ± 0.1
14 6.82 ± 0.1 1.84 ± 0.1
15 7 ± 0.1 2.34 ± 0.1
Tabla N.-4

n X ± δX (m.) Y ± δY (m)
1 0.0028 ± 0.001 -0.0034 ± 0.001
2 0.0065 ± 0.001 -0.0078 ± 0.001
3 0.0121 ± 0.001 -0.0122 ± 0.001
4 0.0196 ± 0.001 -0.0169 ± 0.001
5 0.0277 ± 0.001 -0.0181 ± 0.001
6 0.037 ± 0.001 -0.0159 ± 0.001
7 0.0445 ± 0.001 -0.0116 ± 0.001
8 0.0504 ± 0.001 -0.0075 ± 0.001
9 0.0545 ± 0.001 -0.0022 ± 0.001
10 0.0573 ± 0.001 0.0022 ± 0.001
11 0.0607 ± 0.001 0.0075 ± 0.001
12 0.0635 ± 0.001 0.0119 ± 0.001
13 0.0666 ± 0.001 0.0169 ± 0.001
14 0.0682 ± 0.001 0.0184 ± 0.001
15 0.07 ± 0.001 0.0234 ± 0.001

5.- RESULTADOS EXPERIMENTALES.

5.1. Verificación del modelo matemático:

a) Modelo matemático.
𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = −1.30837 + 23.4096𝑥𝑥

b) Grafica del modelo matemático de los datos experimentales.

 Gráfico del Modelo Matematico
Experimental

0.5

0.2

y[m]-0.1

-0.4

-0.7

-1

-1.3
0 0.02 0.04 0.06 0.08
x [m]

5.2. Gráfica del ajuste del modelo matemático estimado sobre los datos experimentales.

Modelo matemático ajustado a los datos experimentales originales.

y´ [m] = -1.30837 + 23.4096*x [m]

0.5

0.2

-0.1
y´ [m]

-0.4

-0.7

-1

-1.3
0 0.02 0.04 0.06 0.08
x [m]
7.- CONCLUSIONES.
Mediante los datos experimentales obtenidos en el experimento se determina que la intensidad
del campo eléctrico en el interior del tubo de rayos catódicos (TRC) con un error probable del 1%
𝐾𝐾𝐾𝐾
es: 𝐸𝐸 = 29.4 ± 1.7 � 𝑚𝑚 �
Se comprobó a través del experimento la intensidad del campo eléctrico es constante dependiente
del valor del voltímetro VA una constante b de la función lineal y del grado θ también constante.

8.-APENDICE.

- Modelo matemático
𝐸𝐸
𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛(𝜃𝜃𝑜𝑜 ) + 𝑥𝑥 2
4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0 )2
Tabla N.- 5
n X ± δX (m.) Y ± δY (m)
1 0.0028 ± 0.001 -0.0034 ± 0.001
2 0.0065 ± 0.001 -0.0078 ± 0.001
3 0.0121 ± 0.001 -0.0122 ± 0.001
4 0.0196 ± 0.001 -0.0169 ± 0.001
5 0.0277 ± 0.001 -0.0181 ± 0.001
6 0.037 ± 0.001 -0.0159 ± 0.001
7 0.0445 ± 0.001 -0.0116 ± 0.001
8 0.0504 ± 0.001 -0.0075 ± 0.001
9 0.0545 ± 0.001 -0.0022 ± 0.001
10 0.0573 ± 0.001 0.0022 ± 0.001
11 0.0607 ± 0.001 0.0075 ± 0.001
12 0.0635 ± 0.001 0.0119 ± 0.001
13 0.0666 ± 0.001 0.0169 ± 0.001
14 0.0682 ± 0.001 0.0184 ± 0.001
15 0.07 ± 0.001 0.0234 ± 0.001

- Función universal:
𝜇𝜇 = 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑥𝑥 2

- Parámetros:
𝛼𝛼 = −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝜃𝜃𝑜𝑜 )

𝛼𝛼 = −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(49.8°)

𝛼𝛼 = −1.18334
 𝐸𝐸
𝛽𝛽 =
4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0 )2

- Como se desconoce el valor de E, se debe verificar que:

𝛽𝛽 = 0

Función estimadora:
𝑌𝑌 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 2

- Transformando o linealizando se tiene:

𝑌𝑌
𝑦𝑦 =
𝑥𝑥
La línea de la recta de los mínimos cuadrados es:

𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥

- Utilizando tabla auxiliar se tiene:

Tabla auxiliar para determinar las constantes a y b con la recta de los minimos cuadrados
Tabla N.- 6

n x y = Y/x X^2 X*Y

1 0.0028 -1.214285714 0.00000784 -0.0034
2 0.0065 -1.2 0.00004225 -0.0078
3 0.0121 -1.008264463 0.00014641 -0.0122
4 0.0196 -0.862244898 0.00038416 -0.0169
5 0.0277 -0.653429603 0.00076729 -0.0181
6 0.037 -0.42972973 0.001369 -0.0159
7 0.0445 -0.260674157 0.00198025 -0.0116
8 0.0504 -0.148809524 0.00254016 -0.0075
9 0.0545 -0.040366972 0.00297025 -0.0022
10 0.0573 0.038394415 0.00328329 0.0022
11 0.0607 0.123558484 0.00368449 0.0075
12 0.0635 0.187401575 0.00403225 0.0119
13 0.0666 0.253753754 0.00443556 0.0169
14 0.0682 0.269794721 0.00465124 0.0184
15 0.07 0.334285714 0.0049 0.0234
Σ 0.6414 -4.610616397 0.03519444 -0.0153
Determinacion de las Constantes A y B

𝑛𝑛 ∑ 𝑥𝑥𝑥𝑥 − ∑ 𝑥𝑥 ∑ 𝑦𝑦
𝑏𝑏 =
𝑛𝑛 ∑ 𝑥𝑥 2 − (∑ 𝑥𝑥)2

15(−0.0153) − (0.6414)(−4.610616)
b=
15(0.035194) − (0.6414)2

𝑏𝑏 = 23.409608

∑ 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 ∑ 𝑥𝑥
𝑎𝑎 =
𝑛𝑛

(−4.6106163) − (23.4096) ∗ (0.6414)

a=
15

a = −1.308369

𝑌𝑌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ∗ 𝑋𝑋

𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = −1.30837 + 23.4096𝑥𝑥

- Grafico del Ajuste de la Funcion Estimadora sobre los datos Experimentales

 Modelo matemático ajustado a los datos experimentales originales.
y´ [m] = -1.30837 + 23.4096*x [m]

0.5

0.2

-0.1
y´ [m]
-0.4

-0.7

-1

-1.3
0 0.02 0.04 0.06 0.08
x [m]

Tabla N°7
n x y = Y/x y' = a + bx ( y - y')^2
1 0.0028 -1.214285714 -1.24282237 0.000814341
2 0.0065 -1.2 -1.156206816 0.001917843
3 0.0121 -1.008264463 -1.025113004 0.000283873
4 0.0196 -0.862244898 -0.849540934 0.000161391
5 0.0277 -0.653429603 -0.659923099 4.21655E-05
6 0.037 -0.42972973 -0.442213733 0.00015585
7 0.0445 -0.260674157 -0.266641663 3.56111E-05
8 0.0504 -0.148809524 -0.128524969 0.000411463
9 0.0545 -0.040366972 -0.032545571 6.11743E-05
10 0.0573 0.038394415 0.033001335 2.90853E-05
11 0.0607 0.123558484 0.112594007 0.00012022
12 0.0635 0.187401575 0.178140913 8.57599E-05
13 0.0666 0.253753754 0.250710701 9.26017E-06
14 0.0682 0.269794721 0.288166076 0.000337507
15 0.07 0.334285714 0.330303373 1.5859E-05
Σ 0.004481403
 - Desviación Estándar Sy de la función estimadora:

∑ (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒)2
𝑆𝑆𝑦𝑦 = �
𝑛𝑛 − 2

0.004481403
Sy = �
15 − 2

𝑆𝑆𝑦𝑦 = 0.018566

- Utilizando las tablas auxiliares se determinan:

𝛼𝛼 = 𝑎𝑎 ± 𝛿𝛿𝑎𝑎

𝛽𝛽 = 𝑏𝑏 ± 𝛿𝛿𝑏𝑏

𝜕𝜕𝜕𝜕 ∑ 𝑥𝑥 2
𝜎𝜎𝐴𝐴 = | |𝑆𝑆 �
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥

1
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 2 − (� 𝑥𝑥)2
𝑛𝑛

1
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0.035194 − (0.6414)2
15

𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0.007768176

𝜕𝜕𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑏𝑏
| | = | | = |1|
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑏𝑏

0.0351944
𝜎𝜎𝐴𝐴 = 1 ∗ 0.018566 ∗ �
15 ∗ 0.007768

𝜎𝜎𝐴𝐴 = 0.01020352

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑆𝑆𝑦𝑦
𝜎𝜎𝐵𝐵 = | |
𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥

0.018566
𝜎𝜎𝐵𝐵 = 1 ∗
√0.007768
𝜎𝜎𝐵𝐵 = 0.210651

- Coeficiente de confianza para 1% de Error probable

Coeficiente de confianza y medidas de Precisión:
Coeficiente de confianza:
𝑡𝑡𝛼𝛼 =?
2

Grados de libertad v:
V=n-2=15-2=13
𝛼𝛼% = 1%

𝑡𝑡𝛼𝛼 = 3.012
2
- Error Absoluto de la Constante A
Errores probables
𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝑡𝑡𝛼𝛼 ∗ 𝜎𝜎𝐴𝐴 = 3.012 ∗ 0.01020352 = 0.030733
2
- Error Absoluto de la Constante B

𝛿𝛿𝐵𝐵 = 𝑡𝑡𝛼𝛼 ∗ 𝜎𝜎𝐵𝐵 = 3.012 ∗ 0.210651 = 0.634481

2

- Prueba De Hipotesis Para los Paramentros α y β

Resultados de precisión:
𝛼𝛼 = 𝐴𝐴𝑝𝑝 ± 𝛿𝛿𝛿𝛿

𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 = −1.30837

Para el parámetro α = - 1.18334

𝜶𝜶 = −𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ± 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
Para el parámetro β=1
𝛽𝛽 = 𝐵𝐵𝑝𝑝 ± 𝛿𝛿𝛿𝛿

𝑏𝑏𝑝𝑝 = 𝑏𝑏 = 23.4096

𝜷𝜷 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ± 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

Prueba de hipótesis para los parametros

Para α= -1.18334
𝐻𝐻0: 𝛼𝛼 = −1.18334

𝐻𝐻1: 𝛼𝛼 ≠ −1.18334

𝐴𝐴 − 𝛼𝛼 −1.30837 + 1.18334
𝑡𝑡𝐴𝐴 = = = −12.254239
𝜎𝜎𝐴𝐴 0.010203
El valor no está en la zona de aceptación
Para β=0
𝐻𝐻0: 𝛽𝛽 = 0
𝐻𝐻1: 𝛽𝛽 ≠ 0

𝐵𝐵 − 𝛽𝛽 23.4096 − 0
𝑡𝑡𝐵𝐵 =
= = 111.129783
𝜎𝜎𝐵𝐵 0.210651
El valor no esta en la zona de aceptación

Resultados:
𝛼𝛼 = − tan(𝜃𝜃𝑂𝑂 )

𝑎𝑎 = − tan(𝜃𝜃𝑂𝑂 )

𝜃𝜃𝑜𝑜 = tan−1(−𝑎𝑎)

Error absoluto del ángulo:

𝛿𝛿𝑎𝑎 = | − sec(𝜃𝜃𝑜𝑜 )2 𝛿𝛿𝜃𝜃𝑜𝑜

𝛿𝛿𝜃𝜃𝑜𝑜 = cos(𝜃𝜃𝑂𝑂 )2 𝛿𝛿𝑎𝑎 = 0.01133

Angulo probable:
𝜃𝜃𝑜𝑜𝑝𝑝 = tan−1(−1.30837) = 52.608966

El ángulo como intervalo de confianza es:

𝜃𝜃𝑜𝑜 = 52.608966 ± 0.01133

Para E se tiene:

𝐸𝐸
𝛽𝛽 =
4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0 )2

𝐸𝐸
𝑏𝑏 = → 𝐸𝐸 = 4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0 )2
4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0 )2

𝜕𝜕𝐸𝐸 2 𝜕𝜕𝐸𝐸 𝜕𝜕𝐸𝐸 2

𝛿𝛿𝐸𝐸 = �( ) 𝛿𝛿𝑉𝑉𝐴𝐴 2 + ( )2 𝛿𝛿𝑏𝑏 2 + ( ) 𝛿𝛿𝜃𝜃𝑜𝑜 2
𝜕𝜕𝑉𝑉𝐴𝐴 𝜕𝜕𝑏𝑏 𝜕𝜕𝜃𝜃𝑜𝑜

𝛿𝛿𝐸𝐸 = �(4𝑏𝑏 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )2 )2 𝛿𝛿𝑉𝑉𝐴𝐴 2 + (4𝑉𝑉𝐴𝐴 cos(𝜃𝜃𝑜𝑜 )2 )2 𝛿𝛿𝑏𝑏 2 + (−4𝑉𝑉𝐴𝐴 sen(2𝜃𝜃𝑜𝑜 ) )2 𝛿𝛿𝜃𝜃𝑜𝑜 2
𝑉𝑉 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝛿𝛿𝐸𝐸 = 1762.057912 � � → 1.762058 � �
𝑚𝑚 𝑚𝑚
) 2
𝐸𝐸𝑜𝑜𝑜𝑜 = 4𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃0
𝑉𝑉 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐸𝐸𝑜𝑜𝑜𝑜 = 29384.6662 � � → 29.384666 � �
𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑝𝑝 ± 𝛿𝛿𝐸𝐸
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐸𝐸 = 29.4 ± 1.7 � �
𝑚𝑚
 1.7∗100
Error relativo porcentual: 𝜀𝜀% = 29.4
= 5.9 [%]