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    Tarea 1 Algebra Lineal

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    Joel Rodríguez
    El documento define un espacio vectorial y enumera sus propiedades. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores junto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen con 10 axiomas. Las propiedades incluyen cerradura bajo las operaciones, asociatividad, conmutatividad, elementos neutros y opuestos, y distribución. Se dan tres ejemplos de conjuntos que forman espacios vectoriales (R, R2, R3) y dos que sí lo forman (el conjunto con un solo elemento 0, y conjuntos sin definir operaciones).

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    El documento define un espacio vectorial y enumera sus propiedades. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores junto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen con 10 axiomas. Las propiedades incluyen cerradura bajo las operaciones, asociatividad, conmutatividad, elementos neutros y opuestos, y distribución. Se dan tres ejemplos de conjuntos que forman espacios vectoriales (R, R2, R3) y dos que sí lo forman (el conjunto con un solo elemento 0, y conjuntos sin definir operaciones).

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    1- Seleccionar la definición de espacio vectorial que más te identifique.

    a) Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos,


    denominados vectores, junto con dos operaciones binarias
    llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez
    axiomas enumerados a continuación.

    b) Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye


    dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos
    de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los
    elementos de V los denominamos vectores y los elementos
    de K, escalares.

    2- Nombrar las propiedades que se cumplen en un espacio vectorial.

    PROPIEDADES

    Propiedad de cerradura
    1. Ley de composición interna: u + v ∈ V.
    2. Producto de un escalar por un vector: u ∈ V.

    Propiedades de la suma de vectores.


    Propiedades del producto de un vector por un escalar. 3 2 Si , , R y , R ,
    entonces se tienen las si v w u     guientes propiedades:
    1. Propiedad Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
    2. Propiedad Conmutativa: v + u = u + v.
    3. Existe un elemento neutro: v + 0 = v
    4. Existe un elemento opuesto o inverso: v + (-v) = 0

    Propiedad Asociativa: ( v) = ( ) v


    6. Propiedad Distributiva: Respecto de la suma de vectores: (u + v) =  u
    +v
    7. Propiedad Distributiva: Respecto de la suma de escalares: v( + ) = v
    +v
    8. Existe un elemento unidad: 1 v = v
    3- Dar tres ejemplos de conjuntos que  formen espacio vectorial y dos que
    no formen espacio vectorial.
    Espacio vectorial:
    1-(ℝ, +, *)
    x+y ϵ ℝ
    x+y = y+x
    (x+y)+z = x+(y+z)
    x+y = y+x = x
    x+z = z+x = 0
    α*x = αx ϵ ℝ
    α*(x+y) = α*x + α*y
    (α+β)*x = αx + βx
    α*(β*x) = α*(βx) = (αβx)
    1x = x

    2-Los conjuntos V = ℜ 2 ; V = ℜ 3 ; en general V = ℜ n , con las


    operaciones definidas:
    Suma de vectores:
    ℜ2→x→+y→=(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)a1,
    b1,a2,b2∈ℜ
    ℜ 3 → x → + y → =( a 1 , b 1 , c 1 )+( a 2 , b 2 , c 2 )=( a 1 + a 2 , b 1 + b 2
    ,c1+c2)
    ℜn→x→+y→=a1b1c1...n1+a2b2c2...n2=a1a2...n
    1n2
    Multiplicación por un escalar

    ℜ 2 → α x → = α ( a 1 , b 1 ) = ( αa 1 , α b 1 ) α ∈ ℜ ; a 1 , b 1 ∈ ℜ
    ℜ 3 → α x → = α ( a 1 , b 1 , c 1 ) = ( αa 1 , α b 1 , α c 1 )
    ℜ n → α x → = α ( a 1 , b 1 , c 1 , . . . , n 1 ) = ( αa 1 , α b 1 , . . . , α n 1 )
    El vector nulo definido para:
    ℜ 2 → 0 → = ( 0,0 ) ; ℜ 3 → 0 → = ( 0,0,0 ) ; ℜ n → 0 → = ( 0 , . . . , 0 )
    El vector opuesto para:
    x → ∈ ℜ 2 ⇒ - x → =(- a 1 ,- b 1 )
    x → ∈ ℜ 3 ⇒ (- a 1 ,- b 1 ,- c 1 )
    x → ∈ ℜ n ⇒ - x → =(- a 1 , − b 1 ,...,- n 1 )
    Con estas determinaciones, se verifica sin ningún problema todos los
    axiomas de la definición de Espacios Vectoriales Reales.
    En conclusión:
    ( ℜ 2 ,+, • ),es un Espacio Vectorial Real
    ( ℜ 3 ,+, • ) es un Espacio Vectorial Real
    ( ℜ n ,+, • ) es un Espacio Vectorial Real

    3-Sea V ={0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Como 0 + 0 = 1 *


    0 = 0 + (0 + 0)= (0 + 0) + 0 = 0, se demuestra que V es un espacio vectorial
    porque cumple con las propiedades. Con frecuencia se le otorga el nombre
    de espacio vectorial trivial.

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