TRILATERACION Agregado

TOPOGRAFIA II (IC – 242) INGENIERIA CIVIL
TRILATERACION
INTRODUCCION
Los trabajos de topografía a la fecha se han simplificado

notoriamente, gracias a la existencia de equipos electrónicos y la
Trilateración ha venido a complementar los trabajos de triangulación
haciendo uso de los llamados distanciómetros.
La Trilateración es una operación que consiste en medir

directamente las longitudes de todos los lados para determinar con
ellas, por trigonometría, los valores de los ángulos, logrando una
mayor precisión en la red principal de un levantamiento.
Llamaremos trilateración al proyecto, observación y cálculo de

una red topográfica cualquiera, determinando todos los triángulos
de la misma por medio de longitud de sus lados.
La Trilateración, un método para levantamientos de control

horizontal basado exclusivamente en la medición de distancias
horizontales, ha ganado aceptación debido a su capacidad para
medir distancias electrónicamente. Tanto la triangulación como la
poligonación exigen la medición de ángulos horizontales que
requieren mucho tiempo. Por ello los levantamientos por
Trilateración con frecuencia pueden ejecutarse con mayor rapidez y
producir precisiones igualmente aceptables.
Las figuras geométricas utilizadas en la trilateración aunque no

están tan estandarizados, son similares a las empleadas en a
triangulación. Las estaciones deben ser visibles entre si y, por
consiguiente, estar ubicadas en los puntos más altos, algunas
veces se utilizan torres para elevar instrumentos y observadores si
es necesario.
Debido a los requerimientos de intervisibilidad y a la

conveniencia de tener redes básicamente cuadradas, la trilateración
es ideal para aumentar el control en áreas metropolitanas y en
Ing. José H. de la Cruz Flores Mayo, 2 021

grandes obras de ingeniería. En situaciones especiales donde la

topografía u otras condiciones exigen figuras angostas y alargadas,
la red se puede reforzar midiendo algunos ángulos horizontales.
Además, en el caso de arcos de trilateración de gran longitud, las
observaciones acimutales astronómicas impedirán que la red se
deforme en dirección.
Los levantamientos por trilateración se pueden extender a partir

de uno o más señalamientos de posición conocida. Si sólo una
estación es fija, por lo menos se debe conocer o medir un acimut.
Los cálculos de trilateración consisten en reducir a horizontales

las distancias inclinadas medidas, luego el elipsoide y, por último, a
sus longitudes en cuadrícula. Los errores de observación en las
redes de trilateración se deben ajustar, de preferencia por el método
de mínimos cuadrados.
2. RECOMENDACIONES GENERALES
Las trilateraciones se utilizan con los mismos fines que las

triangulaciones y se recomienda cuidar los siguientes aspectos:
 Medir las distancias al menos en forma directa e inversa (AB-

BA)
 Las medidas lineales deberán ser corregidas por temperatura
y presión
 También, se reducirán al horizonte y para ello es necesario
medir de forma precisa los ángulos verticales tanto en
posición directa como inversa (teodolito de aproximación de
un segundo de arco). Medir precisamente la altura de
aparato en todos y cada uno de los vértices.
 Orientar astronómicamente uno de los lados, a fin de
propagar esta orientación para calcular el resto de los lados,
una vez compensado la cadena de triángulos, comprobar el
cálculo mediante otro lado orientado astronómicamente
cuando la cadena o red sea muy extensa.

 Será necesario compensar las trilateraciones en función de

los objetivos y métodos específicos en cada caso particular.
 Puede sustituirse el lado base o lados base de las
triangulaciones, por cuadriláteros cuyos lados se medirán con
toda precisión y se ajustarán rigurosamente, ligando los lados
de dicho cuadrilátero a los lados de la cadena de triángulos.
 Las longitudes de las cadenas de triángulos y la forma de los
mismos puede ajustarse a las descritas para la triangulación;
no obstante, se tiene menos rigor en esto, por las
características y ventajas que representa medir las
distancias. Será necesario, entonces, sólo ajustarse a las
normas de precisión establecidas por los distintos organismos
oficiales.
Con las trilateraciones, las precisiones son relativamente al

tamaño de los triángulos; no obstante puede considerarse
que cubren un rango de precisión que va desde 1: 5 000, 1:
10 000,… hasta 1: 100 000 en cierre. Si se combina con la
medida de ángulos horizontales los resultados serán
variables, pero en general se incrementará la precisión.
El complementar triangulaciones con trilateracion es muy
ventajoso sobre todo cuando, por la longitud de los lados o
por el efecto de los fenómenos atmosféricos, hay problemas
de visibilidad; también resulta, sumamente rápido realizar las
mediciones lineales. También puede requerirse el
conocimiento de las elevaciones o cotas. Para ello podemos
recurrir a cualquiera de los métodos de Nivelación.
En la actualidad tanto las triangulaciones como las
trilateraciones no representan problemas de cálculo gracias a
la existencia de equipos de cómputo y software, capaces de
resolver cualquier problema relacionado con este tipo de
levantamiento y sus diversas aplicaciones.

3. CALCULO DE LA TRILATERACION
3.1. CALCULO DE UNA CADENA DE TRIANGULOS
Sea la cadena de triángulos de la figura adjunta:
Si A y B son los puntos cuyas coordenadas conocemos,

podemos deducir el acimut de AB (θAB), y conocido el ángulo
A, podemos deducir el acimut de AC (θAC) = θAB – A.
Como hemos medido la distancia AC = b, podemos

calcular las coordenadas de C.
Procediendo de forma análoga a la expresada llegaremos
a conocer las coordenadas de I y J, que si son vértices fijos
de una red de orden superior nos servirían para determinar
los errores de cierre en coordenadas.
eX = X´J – XJ
eY = Y´J – YJ
Siendo: X´J, Y´J las coordenadas calculadas
XJ, YJ las coordenadas fijas conocidas.

El cálculo de los ángulos de cada triángulo partiendo de las
longitudes de sus lados a, b, c, se hará mediante expresiones
derivadas de la ley del coseno.

O bien por:
Los errores de cierre en coordenadas darán una idea de la

precisión alcanzada y se compensarán en partes iguales
entre las coordenadas parciales, dada la pequeñez de los
errores en las medidas con distanciómetros.
Nótese que en este caso, disponemos de los datos

estrictamente necesarios para el cálculo de la Trilateración,
por lo que debemos realizar la medida directa y reciproca en
todos los lados, para tener garantizado todos los resultados.
EJEMPLO
Δ
Calcular la siguiente cadena de triángulos, observados por
Trilateración, haciendo las compensaciones necesarias.
XA = 5 000,000 m XB = 5 099,811 m XC = 5 461,399 m
YA = 5 000,000 m YB = 5 159,254 m YE = 5 959,670 m

SOLUCION:
Comenzamos calculando los ángulos de cada triángulo,

aplicando el teorema de los cosenos:
Obteniendo los siguientes resultados
Pasamos ahora a calcular los acimutes de los ejes B-C, C-D y D-E:
Que junto con las distancias observadas, servirán para calcular las
coordenadas de los vértices C, D y E
Como vemos, los errores de cierre en coordenadas son:
Que supondrán correcciones en Δ X e Δ Y para cada punto de:
CX = +0,010 m
CY = -0,010 m

3.2. CALCULO DE CUADRILATEROS COMPLETOS
En la figura adjunta:
En este caso, obtendremos mejor comprobación de los datos de

campo observando en cada cuadrilátero todos sus lados y
diagonales, pudiéndose calcular los ángulos 1, 2,…, 8.
Realizaremos dos compensaciones:
1a compensación. Suma de ángulos en triángulos opuestos
Tendrá que verificarse que:
(1) + (2) = (5) + (6)

(3) + (4) = (7) + (8)
Pero debido a los errores de observación, tendremos que:
(1) + (2) = (5) + (6) + e1
(3)+ (4) = (7) + (8) + e2
Corrigiéndose cada ángulo en la cuarta parte de los errores

respectivos y en sentido conveniente, tendremos que:
(1´) = (1) – ¼ e1
(2´) = (2) – ¼ e1
(5´) = (5) + ¼ e1
…. …. …….
(3´) = (3) – ¼ e2

(8´) = (8) + ¼ e2
Los nuevos ángulos cumplirán que:
(1´) + (2´) = (5´) + (6´)
(3´) + (4´) = (7´) + (8´)
2ª compensación. Suma total de ángulos
La suma de todos los ángulos interiores del cuadrilátero debería ser

360°, pero como estos no son rigurosamente exactos, tendremos
que:
(1´) + (2´) + (3´) + (4´) + (5´) + (6´) + (7´) + (8´) = 360° + eS
Este error eS lo compensaremos repartiéndolo en partes iguales, es

decir:
(1´´) = (1´) – 1/8 eS
(2´´) = (2´) – 1/8 eS
…. ….. ………
(8´´) = (8´) – 1/8 eS
Resultando que:
(1´´) + (2´´) + (3´´) +… + (8´´) = 360°
Procediendo de forma análoga al caso anterior, obtendremos por

duplicado las coordenadas de C y D, apoyándonos en las
coordenadas de A y B, calculándolas con los acimutes
correspondientes (teniendo en cuenta los ángulos compensados) y
las distancias observadas.
Continuaremos los cálculos mediante la resolución del siguiente

cuadrilátero CDEF, con el que obtendremos las coordenadas de E y
F, y así sucesivamente hasta llegar a los puntos I y J.
Si alguno de estos puntos tuviera coordenadas ya conocidas, la

diferencia con los calculados se compensarán en partes iguales
entre las coordenadas parciales, dada la pequeñez de los errores
en las medidas con distanciómetro.

EJEMPLO.
Calcular las coordenadas de los puntos B y C del cuadrilátero de la

figura, observado por Trilateración realizando las compensaciones
necesarias.
SOLUCION
Comenzamos calculando los ángulos del cuadrilátero, utilizando el

teorema del coseno, obteniendo los siguientes valores:
Ahora, realizamos la 1ª compensación. Suma de ángulos en

triángulos opuestos

Tendremos que:
Por tanto, debemos corregir cada ángulo en +10”, quedando que:
Pasamos ahora al cálculo de coordenadas
Calculo de coordenadas desde A
Obtendremos los acimutes θAD y θAC, que junto con las distancias
observadas nos darán las coordenadas calculadas de C y D
Calculo de coordenadas desde B

Operando análogamente, obtendremos las coordenadas de C y D,

que resultan:
Obtenidas las coordenadas de C y D por duplicado, calcularemos

sus coordenadas polares para analizar los resultados:
Estos datos suponen una diferencia de acimut de 0,0016g y una

diferencia entre las distancias calculadas de 1 mm
Como los observables realizados son las medidas de los lados del
polígono podemos tener una idea de la precisión obtenida en el
cálculo comparando la distancia observada con la calculada,
resultando que:
Que como vemos es menor que el error estimado en la distancia de

1 cm, con lo que pasamos a promediar las coordenadas de C y D,
obteniendo las coordenadas definitivas.

EJEMPLO DE TRILATERACION
Para el cuadrilátero con diagonales (K, G, B, C). El método consiste

en determinar las distancias (inclinadas) entre puntos para después
de determinar la distancia horizontal y con ella calcular los ángulos
internos del cuadrilátero.
Localización de los puntos




CALCULO Y COMPENSACION POR MINIMOS CUADRADOS
DETERMINACION DE ERRORES MAXIMOS; EJEMPLO

PRÁCTICO
La compensación rigurosa de una trilateración se podrá realizar por

variación de coordenadas, siendo la forma lineal general de
observaciones distanciométricas;
Vi = Distancia calculada + dD – Distancia observada
Si llamamos D a la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas

conocemos, tenemos que:
2D.dD = 2 (X2 – X1). d(X2 –X1) + 2(Y2 –Y1). dY2 –Y1)
Despejando dD y sustituyendo en la ecuación general, tenemos

que:
Vi = 1/DCAL. ((X1 –X2).dX1 + (Y1 – Y2).dY1 – (X1 –X2).dX2 –

(Y1 –Y2).dY2) + DCAL - DOBS
Dónde:
DCAL = Distancia calculada a partir de las coordenadas aproximadas
DOBS = Distancia obtenida por el distanciómetro
Formaremos una ecuación por cada observación realizada que

resolveremos como ya sabemos.
DETERMINACION DE ERRORES
Al igual que hacíamos en la triangulación, y en general, en cualquier

modelo de distribución normal bidimensional (las dos variables se
distribuyen conjuntamente), podemos conseguir la expresión de los
semiejes de la elipse de error estándar, que será:

Lo expuesto en triangulación, sobre elipses de error con distinta

confianza, sigue vigente en al caso de la trilateración, y en general
en cualquier análisis estadístico de los resultados del ajuste de
mínimo cuadrático, cuando se aplica un modelo de distribución
normal bidimensional (generalmente dimensión X y dimensión Y).
EJEMPLO
Se ha observado una trilateración en los resultados del listado de

campo siguiente:
Los vértices A (745, 432,-238,256) y D (1 155, 638, 90,423) son fijos

pertenecientes a otra red de orden superior.
Se ha utilizado un distanciómetro con el que obtenemos las

distancias reducidas observadas con precisión de 1 cm.

La tolerancia prescrita para cualquiera de los vértices B, C, E es de

1,5 cm de error máximo.
Se pide:
1) Cálculo y compensación rigurosa de la trilateración.

2) Determinación de los parámetros a y b de las elipses de error,
Aceptación o no del trabajo.
SOLUCION:
1) Comenzamos tomando las coordenadas de los vértices B, C,

y E, (calculadas en otra red anterior), como coordenadas
aproximadas, que resultan ser:
Aplicando la ecuación general linealizada
V1 = 1/DCAL((X1 – X2)….
A las distintas observaciones:
Obteniendo el siguiente cuadro ordenado de observaciones lineales

Resolviendo el sistema de ecuaciones según los cálculos adjuntos,

tenemos que:
Como consideramos que todas las observaciones tienen la misma

precisión, tenemos que P = I. Por tanto:

Por tanto, las coordenadas ajustadas serán:

2) Del cálculo matricial anterior obtenemos que:
Con estos datos, y las expresiones siguientes, podemos elaborar el

cuadro adjunto:
Como el error máximo que se puede cometer es de 1,5 cm,

podemos observar que los errores de los vértices están por debajo
de esta tolerancia, por tanto, aceptamos el trabajo.

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Las figuras geométricas utilizadas en la trilateración aunque no

Debido a los requerimientos de intervisibilidad y a la

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Los levantamientos por trilateración se pueden extender a partir

Los cálculos de trilateración consisten en reducir a horizontales

Las trilateraciones se utilizan con los mismos fines que las

 Medir las distancias al menos en forma directa e inversa (AB-

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 Será necesario compensar las trilateraciones en función de

Con las trilateraciones, las precisiones son relativamente al

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3.1. CALCULO DE UNA CADENA DE TRIANGULOS

Sea la cadena de triángulos de la figura adjunta:

Si A y B son los puntos cuyas coordenadas conocemos,

Como hemos medido la distancia AC = b, podemos

XJ, YJ las coordenadas fijas conocidas.

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Los errores de cierre en coordenadas darán una idea de la

Nótese que en este caso, disponemos de los datos

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Comenzamos calculando los ángulos de cada triángulo,

Obteniendo los siguientes resultados

Como vemos, los errores de cierre en coordenadas son:

Que supondrán correcciones en Δ X e Δ Y para cada punto de:

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3.2. CALCULO DE CUADRILATEROS COMPLETOS

En este caso, obtendremos mejor comprobación de los datos de

Realizaremos dos compensaciones:

1a compensación. Suma de ángulos en triángulos opuestos

Tendrá que verificarse que:

(1) + (2) = (5) + (6)

Pero debido a los errores de observación, tendremos que:

(1) + (2) = (5) + (6) + e1

(3)+ (4) = (7) + (8) + e2

Corrigiéndose cada ángulo en la cuarta parte de los errores

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Los nuevos ángulos cumplirán que:

(1´) + (2´) = (5´) + (6´)

(3´) + (4´) = (7´) + (8´)

2ª compensación. Suma total de ángulos

La suma de todos los ángulos interiores del cuadrilátero debería ser

(1´) + (2´) + (3´) + (4´) + (5´) + (6´) + (7´) + (8´) = 360° + eS

Este error eS lo compensaremos repartiéndolo en partes iguales, es

(1´´) = (1´) – 1/8 eS

(2´´) = (2´) – 1/8 eS

(8´´) = (8´) – 1/8 eS

(1´´) + (2´´) + (3´´) +… + (8´´) = 360°

Procediendo de forma análoga al caso anterior, obtendremos por

Continuaremos los cálculos mediante la resolución del siguiente

Si alguno de estos puntos tuviera coordenadas ya conocidas, la

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Calcular las coordenadas de los puntos B y C del cuadrilátero de la