S9 - 2020-01 - MAT-IND - Funcion Exponencial y Logaritmica

MATEMÁTICA I
Unidad II
Funciones
Tema: Función exponencial y
logarítmica
• Definición. Dominio y rango

• Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas
Semana 07
Objetivo
• Identificar el dominio, rango y

trazar la gráfica de una función
exponencial y logarítmica.
• Resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
Definición
Las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 incluyen una potencia.
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , tiene el exponente fijo y la variable es la base
La función 𝑔 𝑥 = 2𝑥 , tiene base 2 y el exponente es la variable
Función exponencial
La función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 donde 𝑎 es un numero real no nulo 𝑎 ≠ 1 es llamada

función exponencial el base 𝑎
El dominio de la función exponencial son todos reales 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ

El rango de la función exponencial son todos reales 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 0; ∞+
Gráfica
Cuando 0 < 𝑎 < 1, la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 es decreciente y su
grafica es:
𝑥
1
𝑓 𝑥 =
2
Gráfica
Cuando 𝑎 > 1, la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 es creciente y su
gráfica es:
𝑓 𝑥 = 2𝑥
Ejemplo 2
Sea la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥+3 − 1; −7 < 𝑥 < 1, grafique la función y determine su
dominio y rango :
Solución:
Función creciente, con asíntota en
𝑦 = −1.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = −7; 1
15
𝑅𝑎𝑛𝑓 = − ; 15
16
Ejemplo 3
1 𝑥−1
Sea la función 𝑓 𝑥 = + 1, −2 < 𝑥 ≤ 6 grafique la función y determine su
3
dominio y rango :
Solución:
Función decreciente, con asíntota en
𝑦 = 1.
𝐷𝑜𝑚𝑓 =] − 2; 6]
𝑅𝑎𝑛𝑓 =]28; 1.004]
Ejemplo 4
Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥−1 − 1 ; 𝑥 ∈ −1; 3 , grafique la función y determine su
dominio y rango :
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 = −1; 3
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 0,87; 6,39
Definición
Logaritmo
Dado 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1. Se llama logaritmo de un numero 𝑛 > 0 en base b al exponente
al cual se debe elevar 𝑏 para obtener una potencia igual al numero 𝑛, es decir:
log 𝑏 𝑛 = 𝑙 ⇔ 𝑎𝑙 = 𝑛
Propiedades:
1. log 𝑏 (𝑚. 𝑛) = log 𝑏 (𝑚) + log 𝑏 (𝑛)
𝑚
2. log 𝑏 𝑛
= log 𝑏 (𝑚) − log 𝑏 (𝑛)
𝑟
3. log 𝑏 𝑚 = 𝑟. log 𝑏 (𝑚)
4. log 𝑏 (1) = 0
5. log 𝑏 𝑏 = 1
6. 𝑏 log𝑏(𝑛) = 𝑛
1
7. log 𝑏𝑟 𝑛 = 𝑟 log(𝑛)
8. log 1 𝑛 = − log 𝑏 (𝑛)
𝑏
Definición
Observaciones:
• El logaritmo de un numero 𝑚 en base 𝑒 = 2,7182818284 …, es decir

log 𝑒 (𝑚) = ln(𝑚), es llamado logaritmo natural.
• A log10 𝑚 es llamado logaritmo decimal.
• El cambio de logaritmos se realiza a través de la siguiente relación:
log 𝑎 (𝑚)
log 𝑏 (𝑚) =
log 𝑎 (𝑏)
1
• log 𝑏 𝑚 = log
𝑚 𝑏
Definición
Función logaritmo
Se llama función logaritmo de base 𝑏, 𝑏 > 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, denotada por 𝑦=
log 𝑏 (𝑥), es la inversa de la función exponencial
El dominio de la función exponencial son todos reales 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 0; ∞+

El rango de la función exponencial son todos reales 𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℝ
Gráfica
Cuando 0 < 𝑏 < 1, la función logaritmo 𝑓 𝑥 = log 𝑏 (𝑥) es decreciente y
su grafica es:
𝑓 𝑥 = log1/2 (𝑥)
Gráfica
Cuando b > 1, la función logaritmo 𝑓 𝑥 = log 𝑏 (𝑥) es creciente y su
gráfica es:
𝑓 𝑥 = log 2 (𝑥)
Ejemplo 5
Sea la función f ( x) = 1 + log 2 ( x + 3), grafique la función y determine su dominio y rango:
Solución:
Función decreciente, con asíntota en

x = −3.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = −3; +∞
𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℝ
Ejemplo 6
Sea la función f ( x) = 1 − log ( x + 2); − 2  x  8, grafique la función y determine su
dominio y rango :
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 = −2; 8
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 0; +∞
Ejemplo 7
Sea la función f ( x) = log 1  ( x − 4) + 1 , grafique la función y determine su dominio y
 
 2
rango :
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 4; +∞
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones exponenciales son igualdades cuyas variables aparecen en el
exponente.
Para resolver una ecuación exponencial se debe tener presente lo siguiente:
𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑥 ⟺ 𝑎 = 𝑏 ; 𝑎 > 0; 𝑏 > 0
𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 0
Cuando existe 𝑛 𝑥 , muchas veces es conveniente hacer el siguiente cambio de variable
𝑦 = 𝑛 𝑥 , para luego obtener una ecuación algebraica respecto a 𝑦.
Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son igualdades cuyas incógnitas aparecen afectadas por
logaritmos de cualquier base.
Ejemplo 8
x +3
Determine la solución de la ecuación 2 + 4x+1 = 320
Solución:
2𝑥+3 + 22 𝑥+1
= 25
2𝑥+3+2𝑥+2 = 25
23𝑥+5 = 25
⇒ 3𝑥 + 5 = 5
𝑥=0
Ejemplo 9
Determine la solución de la ecuación log9 ( x + 8) − log9 ( x + 2) = log9 7
3
Solución:
𝑥3 + 8
log = log 9 7
𝑥+2
𝑥3 + 8
⇒ =7
𝑥+2
𝑥 2 + 2𝑥 + 4 = 7
𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0
𝐶𝑆 = {−1; 3}
Ejemplo 10
Determine la solución de la ecuación log5 (16x−3 + 5) = 1 + log5 ( 4x−3 + 15 )
Solución:
𝑥−3 𝑥+3
1
log 5 16 + 5 = log 5 (5) + log 5 4 +
5
1
log 5 16𝑥−3 + 5 = log 5 5 4𝑥+3 +
5
log 5 (42 )𝑥−3 +5 = log 5 5. 4𝑥+3 + 1
⇒ (4𝑥−3 )2 + 5 = 5. 4𝑥+3 + 1
Si 𝑢 = 4𝑥+3 ⇒ 𝑢2 + 5 = 5𝑢 + 1
𝑢2 − 5𝑢 + 4 = 0
𝑢 = 1; 𝑢 = 4
4𝑥+3 = 1 = 40 ; 4𝑥+3 = 41
⇒ 𝑥 + 3 = 0; 𝑥 + 3 = 1
𝐶𝑆 = {−3; −2}
Bibliografía:
• Cuaderno de Trabajo de Matemática Básica (1ra Ed). Págs. 227-290
• Matemática Básica. Armando Venero.

Págs. 491-518
• Matemática Básica. Ricardo Figueroa.

Págs. 454 – 483

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MATEMÁTICA I

• Definición. Dominio y rango

• Identificar el dominio, rango y

La función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 donde 𝑎 es un numero real no nulo 𝑎 ≠ 1 es llamada

El dominio de la función exponencial son todos reales 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ

• El logaritmo de un numero 𝑚 en base 𝑒 = 2,7182818284 …, es decir

El dominio de la función exponencial son todos reales 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 0; ∞+

Función decreciente, con asíntota en

• Cuaderno de Trabajo de Matemática Básica (1ra Ed). Págs. 227-290

• Matemática Básica. Armando Venero.

• Matemática Básica. Ricardo Figueroa.

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