REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO LQR

Ing. Alonso Chica Leal

El Control Óptimo Cuadrático es una estrategia de control que busca

minimizar un índice de desempeño en un sistema de control. Recordando el
significado de un índice de desempeño, se puede decir que éste es la
similitud entre el desempeño deseado y el desempeño real de un sistema o
proceso. Este tipo de índice es directamente proporcional a las diferencias
existentes entre ellos. De esta manera, si las diferencias son grandes entre
desempeño real y el desempeño deseado, entonces el índice será grande y si
por el contrario las diferencias son pequeñas el índice será pequeño. Debido
a esto, se busca minimizar este índice ya que al hacerlo se logra llevar el
desempeño real a un punto muy cercano del desempeño deseado.

Índice de desempeño para LQR:

J
1 *
2

1 N 1
x ( N ) Sx( N )   x* (k )Qx(k )  u * (k ) Ru (k )
2 k 0

(6.1)
El término cuadrático en LQR se debe al trabajo con matrices, ya que las
matrices pueden representar sistemas lineales de orden n, haciendo lo
siguiente.
n n
xT Ax   aij xi x j
i 0 j 0 (6.2)
Lo que dice la ecuación (2), es que cualquier forma cuadrática se puede
T *
escribir siempre como x Ax para matrices simétricas y x Ax para matrices
herméticas o hermitianas.
Si se observa con atención el índice de desempeño (6.1) se puede ver
que existen un S, Q y R que están siendo multiplicados por términos de
*
la forma x Ax , entonces (6.1) es una forma cuadrática de un sistema
matricial y por eso se habla de control óptimo cuadrático.

Ahora considerando un sistema de control definido por

x(k )  Gx(k )  Hu(k ); _ x(0)  c (6.3)
en este sistema se identifican los siguientes elementos:
x(k ) es el vector de estado, u (k ) es el vector de control, G es una matriz

nxn y H es una matriz nxr.

El problema del control óptimo cuadrático esta en encontrar un valor de

secuencia de u(k) que minimice el índice de desempeño (6.1).

También se pueden definir las matrices Q, R y S así:

J
1 *
2
1 N 1

x ( N ) Sx( N )   x * (k )Qx (k )  u * (k ) Ru (k )
2 k 0

(6.4)
Q es una matriz hermética definida positiva o semidefinida positiva

(esto quiere decir que x Ax  0 para x  0 , en el caso de ser definida

*

positiva y x Ax  0 para x  0 para el caso

*
en que es semidefinida
positiva). Esta matriz va ligada a la importancia de los estados durante
la transición.

R es una matriz definida positiva de r x r, y esta ligada a la importancia

de la entrada. S es una matriz definida positiva de n x n que va ligada
al estado final.

Existen varios métodos para minimizar el índice de desempeño pero el

más común es empleando los multiplicadores de Lagrange.
El método de los multiplicadores de Lagrange busca encontrar valores
extremos de funciones de varias variables que tienen algún grado de
restricción. En términos generales este procedimiento hace que los
valores extremos de una función f(x,y,z), cuyas variables están sujetas a
una restricción g(x,y,z)=0, se encuentran sobre la superficie g=0 en los
puntos donde:
f   g
Para algún escalar  llamado multiplicador de Lagrange.

Una forma muy común de encontrar los reguladores cuadráticos para

tiempo discreto con horizonte finito es:
x k 1  Ax k  Bu k , co x0 conocido (6.5)
Siendo (6.5) muy parecida a (6.3) con la salvedad de que se le han dado
otros nombres a las matrices.

Por otro lado la función de costo también se puede encontrar de la

forma:
1 T 1 N 1 T

J N  x N PxN   xk Qxk  ukT Ruk
2 2 k 0

(6.6)
La ecuación (6.6) es similar a (6.1), la diferencia radica en que (6.6)
trabaja con matrices transpuestas pero no conjugadas.

Si a (6.6) se le aplica el método de los multiplicadores de Lagrange se

obtiene la siguiente ecuación:

JN 
1 T
2
1 N 1

xN PxN   xkT Qxk  ukT Ruk  Tk 1 ( xk 1  Axk  Buk )
2 k 0

(6.7)
Donde λ(k+1) es el conjunto de multiplicadores de Lagrange, se deriva
esta función con respecto a u(k), λ(k+1) y x(k) y luego por tratarse de un
método para hallar mínimos se iguala a cero obteniendo:
J N
 u T (k ) R  T (k  1) B  0
u (k ) (6.8)
 J N
  x (k  1)  Ax(k )  Bu (k )  0
 (k  1) (6.9)
J N
 xT (k )Q  T (k )  T (k  1) A  0
x(k ) (6.10)
J N
 Px ( N )   ( N )  0
x( N ) (6.11)
Este problema se debe plantear como un sistema de ecuaciones de

Despejando  (k  1) de la
T
diferencia con condiciones de frontera.
ecuación (6.8) se obtiene
 (k  1)  u (k ) RB 1 (6.12)
el exponente negativo significa que es un denominador que se paso a
numerador

Ahora despejando  (k  1) de (6.10) se obtiene

T

T (k  1)  T (k )  x (k )Q  A1 (6.13)

Despejando x(k+1) de (6.9)
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k ) (6.14)
Si se despeja u(k) de la ecuación (6.12) y esta se reemplaza en (6.14)
quedaría

x(k  1)  Ax( k )  B  R 1 (k  1) B  (6.15)
Ahora reemplazando (6.12) en la ecuación anterior se llega a

x(k  1)  Ax(k )  B  R 1  T (k )  x (k )Q  A1 B 
Realizando los productos del paréntesis

x (k  1)  Ax(k )  B  R 1 (k ) A1 B  R 1 A1 Bx(k )Q 
T
Recordando que en matrices B*B es igual a BB ese producto de B
queda
x (k  1)  Ax (k )  BB T R 1 A1 (k )  BB T R 1 A1Qx(k )
Factorizando x(k) y λ(k) finalmente se llega a
   
x(k  1)  A  B T BR 1 AT Q x(k )  BB T R 1 AT  (k )
Siendo la anterior una condición de frontera y ahora si se despeja
 (k  1) de (6.10)
  ( k  1)   AT Qx(k )  AT  (k )
Siendo la anterior la otra condición de frontera.

Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

x0 conocido,  ( N )  Px( N ) y  (k )  P (k ) x(k ) , la entrada óptima del

sistema esta dada por:

Despejando Ru(k) de la ecuación (6.8) y reemplazando  (k ) tenemos que

Ru (k )   (k  1) B T

Ru (k )   P(k  1) x(k  1) BT (6.16)

Reemplazando (6.14) en (6.15)
Ru (k )   P (k  1) Ax (k )  Bu (k ) B T

Ru (k )   P(k  1) Ax(k ) BT  P(k  1) Bu (k ) BT


P( k  1) Ax( k ) B T  u (k ) R  P (k  1) BB T 
P (k  1) Ax(k ) B T
u (k )  
R  P (k  1) BB T si se hace S (k  1)  R  P (k  1) BB T entonces queda


u (k )   S 1 (k  1) P(k  1) Ax(k ) B T  (6.17)

Ahora se toma la ecuación (6.9) y se reemplaza  (k )  P (k ) x(k )

 (k )   (k  1) AT  x(k )Q

P (k ) x(k )  P (k  1) x(k  1) AT  x (k )Q (6.18)

reemplazando nuevamente la ecuación (6.14) en la anterior tenemos
que
P( k ) x(k )  P (k  1) Ax(k )  Bu (k ) AT  Qx(k ) (6.19)
Ahora se reemplaza (6.16) en (6.17) y se tiene que
  
P(k ) x(k )  P(k  1) Ax(k )  B  S 1 (k  1) P(k  1) Ax(k ) B T AT  Qx(k )
Si se hace x(k)=1 y se hacen las respectivas operaciones de la ecuación
anterior quedaría

P(k )  AAT P(k  1)  P(k  1) BB T S 1 (k  1) P(k  1)  Q 
Esta es una ecuación de Riccati usando el método de barrido (invertir
limites de integración) se resuelve a partir de las condiciones de frontera
del estado final  ( N )  Px( N )  P( N ) x( N ) y se pueden calcular todos los
valores de P(k) hasta P(0), la entrada esta descrita como una
realimentación de estado
u (k )   K (k ) x(k )

K (k )  R 1 B T ( AT ) 1[ P (k )  Q] (6.20)
Evaluando el índice de desempeño mínimo. Por ecuación de frontera
P ( N )  S entonces,

1 1 N 1
min J  min[ xT ( N ) P( N ) x( N )   [ xT (k )Qx(k )  u T (k ) Ru (k )]] (6.21)
2 2 K 0

Multiplicando xT (k ) por la ecuación (6.19)

P(k ) x(k ) xT (k )  P(k  1) x(k  1) AT xT ( k )  x(k )QxT (k )

(6.22)

Remplazando  (k  1)  P( k  1) x(k  1) en la ecuación (6.15), luego

factorizamos x(k  1) , despejamos Ax(k ) para finalmente tener como

resultado la siguiente ecuación:
Ax( x)  x(k  1)[1  BR 1 P( k  1) BT ]  AT xT (k )  xT (k  1)[1  BR 1 P( k  1) BT ]

De la ecuación (6.22) despejamos x(k )QxT (k ) y a la vez remplazamos

AT xT (k ) , encontrada anteriormente en la misma ecuación (6.22):

xT (k )Qx(k )  P(k ) x(k ) xT (k )  P(k  1) x(k  1) xT (k  1)  P(k  1) x(k  1) xT (k  1) BR 1P(k  1) BT

(6.23)

Por otra parte tomando u (k ) de la ecuación (6.16) y hallando el

respectivo u T (k ) , se desea tener la ecuación u (k ) Ru T (k ) , entonces,

u (k )   R 1 B T P (k  1) x(k  1)  u T (k )   R 1 BP (k  1) xT (k  1)

u (k ) Ru T (k )  R 1 B T P (k  1) x(k  1) BP(k  1) x T (k  1) (6.24)

Sumando (6.23) con (6.24) y remplazando la suma en la ecuación (6.21)

 1 1 N 1
J min  x( N ) P ( N ) xT ( N )   [ P (k ) x(k ) xT (k )  P (k  1) x(k  1) xT (k  1)]
2 2 K 0

Desarrollando la sumatoria quedaría

1 1
J min  x( N ) P( N ) xT ( N )  [ P(0) x (0) x T (0)  P(1) x (1) xT (1)  P(1) x(1) xT (1)  P(2) x (2) x T ( 2)  .
2 2
....................P( N  1) x( N  1) xT ( N  1)  P( N ) x ( N ) xT ( N )
Cancelando términos tenemos que
1 1 1
J min  x( N ) P( N ) xT ( N )  P(0) x(0) x T (0)  x( N ) P( N ) x T ( N )
2 2 2
Cancelando el primer término con el último, el índice de desempeño
mínimo sería:
1
J min  P (0) x(0) x T (0)
2
Para el caso de horizonte infinito en sistemas discretos se asume que
P (k ) alcanza una condición de estado estable, por lo tanto se parte de la
misma ecuación de Jmin y se hace el mismo desarrollo pero teniendo en
cuenta el cambio del nuevo P.

1 1 N 1
J min  x( N ) PxT ( N )   [ Px(k ) xT (k )  Px(k  1) xT (k  1)]
2 2 K 0
De la misma manera que para el caso anterior se hace el desarrollo
correspondiente
1 1
J min  x( N ) PxT ( N )  [ Px(0) xT (0)  Px(1) x T (1)  Px(1) x T (1)  Px(2) xT (2)  .
2 2
....................  Px( N  1) x T ( N  1)  Px( N ) x T ( N )

Cancelando términos el Jmin para caso este sería

1
J min  Px(0) xT (0)
2
Ejemplo de minimización de una función para horizonte infinito

Considerando el sistema de control definido por:

x(k  1)  0.3679 x (k )  0.6321u ( k ) x ( 0)  1
Determinar la ley de control que minimiza el siguiente índice de
desempeño
1 1 9
J [ x(10)] 2   [ x 2 (k )  u 2 (k )]
2 2 k 0
Solución
En este ejemplo se puede observar que S= 1, Q = 1, R=1
Mediante la siguiente ecuación P( k )  Q  AT P(k  1)[1  BR 1 BT P(k  1)]1 A se
obtiene lo siguiente
P(k )  1  0.3637 P( k  1)[1  0.6321(1)0.6321P( k  1)]1 (0.3679)

Simplificando P(k )  1  0.1354P(k  1)[1  0.3996P(k  1)]1

Teniendo en cuenta la condición de frontera P ( N )  S , donde P (10)  1

Se calcula P (k ) desde k=9 hasta k=0
P (9)  1  0.1354P (10)[1  0.3996P (10)]1

P (9)  1  0.1354(1)[1  0.3996(1)]1  1.0967

P(8)  1  0.1354(1.0967)[1  0.3996(1.0967)]1  1.1032

P(7)  1  0.1354(1.1032)[1  0.3996(1.1032)]1  1.1036

P(6)  1  0.1354(1.1036)[1  0.3996(1.1036)]1  1.1037

P(k )  1.1037, parak  5,4,3,2,1,0
Observe que P(k) se aproxima al valor de estado estacionario, el cual

esta dado por P( ss )  1  0.1354P( ss )(1  0.3996 P( ss )) 1

Factorizando queda
0.3996 P 2 ( ss )  0.4650 P ( ss )  1  0

Resolviendo la cuadrática obtenemos P ( ss)  1.1037

La ganancia de realimentación se puede calcular de la ecuación (6.20)

K (k )  1(0.6321)(0.3679) 1[ P (k )  1]
K (k )  1.7181P (k )  1
Al sustituir los valores de P(k) se obtiene
K (10)  1.7181(1  1)  0
K (9)  1.7181(1.0967  1)  0.1662
K (8)  1.7181(1.1032  1)  0.1773
K (7)  1.7181(1.1036  1)  0.1781
K (6)  K (5)  .......  K (0)  0.1781

La ley de control óptimo esta dada por: U (k )  k (k ) x(k )

Como: x(k  1)  0.3679 x( k )  0.6321u (k )  [0.3679  0.6321K ( k )] x(k ) se obtiene

x(1)  [0.3679  0.6321K (0)]x (0)
 (0.3679  06321(0.1781)(1)  0.2553
x(2)  (0.3679  0.6321(0.1781))(0.2553)  0.0652
x(3)  (0.3679  0.6321(0.1781))(0.0652)  0.0166
x(4)  (0.3679  0.6321(0.1781))(0.0166)  0.00424
Para k=5,6….10 se aproxima a cero.
Ahora hallamos la secuencia de control u(K)
u (0)   K (0) x(0)  0.1781(1)  0.1781
u (1)   K (1) x(1)  0.1781(0.2553)  0.0455
u (2)   K (2) x(2)  0.1781(0.0652)  0.0116
u (3)   K (3) x(3)  0.1781(0.0166)  0.00296
u (4)   K (4) x(4)  0.1781(0.00424)  0.000756
u (k )  0, paraK  5,6,.....10
El valor mínimo del índice de desempeño es:
1 T 1
J min  x (0) P(0) x (0)  (1)(1.1037)(1)  0.5518
2 2

Ejemplo Diseño de Control Óptimo

Ecuaciones de Estado y Optimización por el método LQR

Descripción del modelo.

La figura 9 presenta un sistema de péndulo invertido en el cual el
objetivo consiste en controlar la respuesta de la barra, descrita por el
ángulo θ(t) por medio de la fuerza F(t) aplicada al carro.
 Figura 9. Modelo del péndulo invertido

Para este ejemplo se tomarán los siguientes valores para el modelo

físico:
Masa del carro (Mcarro)=0.5Kg.
Masa de la barra (Mbarra)=0.2Kg.
Coeficiente de fricción del carro (b)=0.1N/m/s.
Longitud de la barra (2L)=0.3m.
Inercia de masa de la barra (Ibarra)=0.006Kg.m 2.
Entrada (F): Fuerza aplicada al carro.
Salida 1 (x): Desplazamiento del carro.
Salida 2 (θ): rotación de la barra.

Ecuaciones de movimiento.

Para determinar las ecuaciones de movimiento del sistema se elabora el

diagrama de cuerpo libre (DCL) para cada una de las partes en estudio
(i.e. carro y barra). La figura 10 muestra el DCL para cada una de estas
partes.

La segunda ley de Newton relaciona la acción de las fuerzas aplicadas a

un cuerpo con la aceleración de ésta. En términos de una igualdad
vectorial esta ley se define como:
  
F  ma (E.1)
 
 M  I  (E.2)

Figura 10. DCL de las partes que componen el sistema (derecha: carro, izquierda:
barra)
 
Donde F es la sumatoria de las fuerzas aplicadas al cuerpo,  M la
sumatoria de momentos, m la masa del cuerpo, I inercia de masa del
 
cuerpo, a la aceleración lineal y  la aceleración angular. Para el caso
del carro, puesto que únicamente se traslada y no rota, la ecuación

(E.2) no aporta información importante al problema. Tomando f como
la fuerza de fricción que es ejercida sobre el carro, la relación vectorial
obtenida a partir de la ecuación (E.1) es:

F x  F  N  f  M carro  acarro

(E.3)
Para el caso de la barra se obtienen al aplicar las ecuaciones (E.1) y
(E.2) las siguientes relaciones vectoriales:

F x  N  M barra  abarra

(E.4.1)

M 0  M barra  L  sen(  ).g  ( I barra  M barra .L2 )   barra

(E.4.2)
El desplazamiento de la barra está relacionado con el movimiento del
carro y la rotación de la misma como se muestra en la figura 3. Con
base en eso se pueden construir las ecuaciones siguientes:
xbarra ( t )  x( t )  L  sen(  ( t ))

(E.5.1)
dxbarra ( t ) dx( t ) d ( t )
  L  cos(  ( t ))
dt dt dt
(E.5.2)
2
d 2 xbarra ( t ) d 2 x( t ) d 2 ( t )  d 2 ( t ) 
  L  cos(  ( t ))  L     sen(  ( t ))
dt 2 dt 2 dt 2  dt 
2

(E.5.3)

Figura 11. Desplazamiento del centro de masa de la barra

Conociendo que la fricción del carro es proporcional a la velocidad del
mismo las ecuaciones (E.3), (E.4) y (E.5) permiten expresar las
siguientes igualdades:
 
d2x dx
M carro  F b  N
dt 2 dt
(E.6.1)
 d2x d 2  d 
2

M barra   2  L  2 cos(  )  L     sen(  )   N
 dt dt  dt  
 
(E.6.2)
M barra  L  sen(  )  g  I barra   barra  M barra  L2

(E.6.3)
Al reacomodar las ecuaciones precedentes se obtienen las ecuaciones de
movimiento:

2
d2x dx d 2  d 
 M barra  M carro   2
 b   M barra  L  cos(  )  2
 M barra  L  sen(  )    F
dt dt dt  dt 
(E.7.1)
d 2 d2x
 Ibarra  M barra  L2   dt 2
 M barra  L  g  sen(  )  M barra  L  cos(  ) 
dt 2 (E.7.2)
Si se asumen ángulos pequeños para el movimiento de la barra, las
siguientes relaciones pueden ser asumidas:
cos( )  1 (E.8.1)
sen( )   (E.8.2)

d dt  2
1 (E.8.3)

Al Linealizar las ecuaciones (E.7.1 y E.7.2)

d2x dx d 2
 M barra  M carro   2  b   M barra  L  2  M barra  L    F
dt dt dt (E.9.1)
d 2 d2x
 Ibarra  M barra  L2   dt 2
 M barra  L 
dt 2
  M barra  L  g  
(E.9.2)
Luego de manipular las ecuaciones (E.9.1 y E.9.2) se obtiene:
d2x dx
 b   I barra  M barra  L2     M barra  L   g     I barra  M barra  L2   F
2
 2
dt dt
(E.10.1)
d 2 dx
  2   M barra  L  b   M barra  L  g   M barra  M carro    M barra  L  F
dt dt
(E.10.2)
   I barra   M barra  M carro   M carro  M barra  L2 
donde .
(E.10.3)

Modelo representado por ecuaciones de estado.

Para la representación del sistema por medio de ecuaciones de estado
se definen las siguientes variables de estado:
 x1 ( t )  x( t )

(E.11.1)
dx( t )
x2 ( t ) 
dt
(E.11.2)
x3 ( t )   ( t )

(E.11.3)
d ( t )
x4 ( t ) 
dt
(E.11.4)
de donde se obtienen las ecuaciones de la forma:

dx( t ) 
 A  x( t )  B  F( t )
dt
(E.12)
0 1 0 0
 
 M barra  L 
2
 I barra  M barra  L2 g 
0   
0
A 
0 0 0 1
 
0 M  Lb M barra  L  g  M barra  M carro 
 barra 0
   

 I barra  M barra  L2 
 
  
B
 M barra  L 
 
  

   I barra   M barra  M carro   M carro  M barra  L2 

donde .

Para el análisis del sistema, se toman como salidas el desplazamiento

del carro junto con el ángulo de la barra. La entrada al sistema está
descrita por la fuerza que sobre ésta se ejerce.

La salida queda entonces representada por

y1 ( t )  x( t )  x1 ( t )

y2 ( t )   ( t )  x3 ( t )
De esta manera, las matrices que definen la salida quedan definidas
por:
  
y( kT )  C  x( kT )  D  u( kT )
donde
1 0 0 0 
C 
0 0 1 0
0
D 
0
Requerimientos de diseño:
Para controlar el movimiento del péndulo se supondrán algunos
requerimientos. El requerimiento básico es el de no exceder un error en
estado estacionario del 2% en ninguna de las salidas. El tiempo que
demore la posición del carro en alcanzar el punto estable no debe
superar un segundo. Finalmente, el sobresalto permitido no debe
superar el 5% para el ángulo del péndulo.

SI simulamos la referencia de entrada con una función escalón,

entonces se debe cumplir que:
Tiempo de estabilización para x y θ <5%.
Tiempo de subida para x<1seg.
Sobresalto para θ <0.35 rad.
Error de estado estable para x y θ <2%.
 Respuesta del sistema de pendulo invertido a entrada escalon
100
Carro (x)
90 Barra (teta)

80

70

60

50

40

30

20

10

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tiempo (s)

Figura 12. Respuesta del péndulo ante la entrada escalón

Diseño de control por medio de LQR

El diagrama de bloques del sistema realimentado es el siguiente:

Figura 13. Diagrama de bloques del sistema con realimentación de estado

Para estimar la realimentación del sistema se empleará la técnica del

Regulador Lineal Cuadrático (LQR). Este método permite encontrar la
matriz de realimentación óptima basada en un balance entre el error en
el sistema y el esfuerzo requerido por el control. Para el empleo de este
método se requiere definir tres parámetros: Matriz de índice de
desempeño (R), matriz de costo-estado (Q) y factores de ponderación (a 0
y a1). Por simplicidad se emplearán los parámetros tales que:

R=1
  a0 0 0 0
0 0 0 0 
Q
0 0 a1 0
 
0 0 0 0

Asumiendo inicialmente los valores para el índice de desempeño y la

ponderación unitarios, se obtiene la siguiente matriz de realimentación
K:
K   0.9384 1.5656 18.0351 3.3368

10 Respuesta sin realimentacion

x 10
2
Carro (x)
1.5 Barra (teta)

0.5

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Respuesta con realimentacion

0.4
Carro (x)
0.2 Barra (teta)

-0.2

-0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura 14. Péndulo con realimentación y con realimentación

Influencia de los parámetros de optimización

Al variar los parámetros del método de optimización se pueden obtener
diferentes respuestas del sistema. La figura 7 presenta algunos de
estos resultados.
 -3
x=1 y=1 R=1 x 10 x=5000 y=100 R=1
0.1 5
Carro (x) Carro (x)
0 Barra (teta) Barra (teta)
0
-0.1
-5
-0.2

-0.3 -10
0 2 4 6 0 2 4 6

x=1 y=1 R=100 x=5000 y=100 R=100

1 0.02
Carro (x) Carro (x)
0 Barra (teta) 0 Barra (teta)

-1 -0.02

-2 -0.04

-3 -0.06
0 2 4 6 0 2 4 6

Figura 15. Cambio de los parámetros de optimización

Resultado del diseño

De los resultados obtenidos y presentados en la figura 7, se puede
determinar que una realimentación definida por el vector K tal que
K   36.7238 20.7851 63.9704 12.6117 

5000 0 0 0
 0 0 0 0 
Q
 0 0 100 0 
 
Obtenido con los parámetros de diseño R=1 y  0 0 0 0

Se obtiene una respuesta que satisface los requerimientos de diseño

estipulados anteriormente:
Tiempo de estabilización para x y θ <5%.
Tiempo de subida para x<1seg.
Sobresalto para θ <0.35 rad.
Error de estado estable para x y θ <2%.