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FUNCION CUADRATICA Y DESPLAZAMIENTOS

b
FUNCIÓN CUADRÁTICA y x x –
1 2 2a
Es una función con dominio en el conjunto
V x
de los números reales y cuya regla de
a<0  =0
correspondencia es:
2
f(x) = ax + bx + c; a, b, c  R; a  0

 Su gráfica es una parábola simétrica

respecto a una recta vertical, llamada eje
{x1; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando:
de simetría, abierta hacia arriba si: a > 0 y
hacia abajo si: a < 0. y=0
 Nota gráfica:
2
Sea la función: y = ax + bx + c
2
 = Discriminante = b – 4ac
y

V
b
f(– )
2a a > 0   < 0
y b
y x –
V: Vértice b
– 2a
2a x
b
b f(– )
– 2a V
2a a > 0   < 0
a > 0   > 0
x x x
1 2 y
b
f (– )
V 2a
b V
f (– ) Esta función, cuando: y = 0, los valores de
2a
“x” son números complejos.
a < 0   > 0
x b x x
1 2
–
2a
OTRAS FUNCIONES
V: Vértice
 Funciones Pares
{x1; x2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0
Son aquellas funciones que se
caracterizan por ser simétricas del eje “y”; y
se cumple que:
I. Si: x  Df  - x  Df
y
II. f(x) = f(-x)   x  Df

a>0  =0
 Funciones Impares
V x

b
x x –
1 2 2a
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Son aquellas funciones que se
caracterizan por ser simétricas respecto del
origen.

Ejemplo
Indicar que funciones son pares, impares b Desplazamiento Vertical
o ni par ni impar:
y y
4
I. F(x) = x + 1
3
II. G(x) = x F
(x)

III. H(x) = x - |x| x x

F -h
(x)
Solución:
I. F(x) es par, porque: y
4
F(-x) = (-x) + 1 F +h
(x)
4
F(-x) = x + 1
x
F(-x) = F(x)   F(x) es par

II. G(x) es impar, porque:

REFLEJOS
3
G(-x) = (-x)
3 a Reflejo en el Eje x
G(-x) = -x
3
-G(-x) = x y y

-G(-x) = G(x)   G(x) es impar -F

(x)

x x
III. H(-x) = -x - |x|
F
(x)
-H(-x) = x + |x|

-H(-x)  H(x); también: H(-x) = H(x)

 H(x) no es par ni impar

b Reflejo en el Eje y

DESPLAZAMIENTOS y y
F F
(x) (-x)
a Desplazamiento Horizontal
x x
h>0 y y

F
(x)
F
(x+h)

x x

c Con valor absoluto

y y
y F |F |
(x) (x)
h>0

F x x
(x-h)

x
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Gráfica 4: y = 7 - |x - 2| se desplaza hacia
arriba 7 unidades.
y
7

Problemas Resueltos
2 x
3. Según el gráfico de f(x)
1. ¿Cuál es la gráfica de: F( x)  | x | ?
y

f 1
Solución: (x)

Si: x  0  |x|  x   F(x) = x

2 x
es la función raíz cuadrada.
Si: x < 0  |x|  x   F(x) =
Indicar el gráfico de: f(-x) - 1
 x simétrica a: x con respecto al eje
y de las dos condiciones.
y Solución:
y = f(-x) es simétrica a f(x) respecto al eje
“y”.

x y
1

2. Indicar la gráfica de: F(x) = 7 - |x - 2|

2 x
Solución:
Gráfica 1: y = |x| (función valor
absoluto).
y = f(-x) -1 se desplaza una unidad hacia
y abajo.

x 2
x

Gráfica 2: y = |x - 2| se desplaza dos -1

unidades a la derecha respecto a y = |x|.

y 2
4. Esbozar el gráfico: F(x) = 4x(x + m) + m
siendo: m < 0

Solución:
x
Efectuando:
2 2
F  4
 x  4 xm
  m  F  (2x  m)2
( x)  ( x)
trinomio cuadrado perfecto

Gráfica 3: y = -|x - 2| es simétrica a: y = | 2 2

Gráfica 1: y = (2x) = 4x (función
x - 2| con respecto al eje x.
cuadrática simple)
y
y

x
x
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2
Gráfica 2: y = (2x + m) se desplaza “m” Inicialmente: y = F(x)
unidades a la derecha, pues: m < 0 y

y
x

m x
5. Sea la función F(x) descrita por el gráfico. Gráfica 1: y = F(x - 2). Se desplaza 2
y unidades a la derecha.
y

x
x

Indicar el gráfico de: f(-x) - 1

Gráfica 2: y = F[-(x - 2)]. Es simétrica en el
Solución: eje “y” respecto a la función: y = F(x - 2)
Nos piden graficar: y = F(2 - x) = F[-(x - 2)] y

2 x
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EJERCICIOS
EJERCICIOSDE
DEAPLICACIÓN
APLICACIÓN

BLOQUE I 4. Graficar: f(x) = |x - 2|

1. Graficar: f(x) = 2x + 3
a) b)
y y
a) b)
y y

x x

x x

c) y d) y
c) d)
y y

x x
x x


 x; x  1
5. Graficar: f
( x)
 
2
x
 ; x  1

2. Graficar: f(x) = -2 a) b)

a) b)
y y
y y

-1
x x
1 x x

c) d) y
c) d)
y y
y

x
x x

1 x

3. Graficar: f(x) = x 1
6. Si la gráfica de f( x)  x , es:
a) b)
y y
y

x x
-1 x

c) y d) y
Hallar la gráfica de: f( x)  x2
1

a) y b) y
x x

2 x x
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c) y d)
y
c) y d) y
2

x 2
x 2
x x

7. Si la función:

2
y 9. Graficar: f(x) = x + 1
f
(x)

a) b)
y y
x
1
Graficar: f(x - 2) x
-1
x
a) b)
y y

c) d) y
2 x 2 x
1
y
c) y d) y x

2 1

x x x

10. Graficar: f(x) = |x| + 2

8. Si la función: a) y b) y

y
2
f
(x) x x
-2
x

c) y d) y
Graficar: f(x) + 2
-2 2
y y x 2 x
11. Sea la función: F(x) = x + 5x + 1
a) b)

2 x x
-2
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Indicar el mínimo valor que toma dicha
función.
2
14. Hallar el rango de: f(x) = 4 – x

a) 1 b) 0 c) -1 Si: x  [-2; 3>

d) 10 e) 25
a) <-5; 4> b) <-5; 4] c) [-

12. Para que valor de “x” la función será 5; 4>

máxima. d) [-5; 4] e) <-; 4>

2
f(x) = -x - 25

15. Si:
a) 1 b) 25 c)
-25
d) 0 e) -1 f
(x)

13. Indicar cuál de las siguientes funciones

podría ser el gráfico de:
2
f(x) = ax + 3x + 30
Hallar la gráfica de: f(x) + 2
Si: a > 0

a) b)

a) b)
y y

x x

c)

c) y

x
d)

d)

y
e)

e) y

x
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e) y

16. Si: f(x) = x

Hallar la gráfica de: E(x) = f(x) - 3
x

a) y b) y

x x

c) d)
y

y
x

x
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TAREA
TAREADOMICILIARIA
DOMICILIARIANº
Nº88

1. Hallar la gráfica de: f(x) = |x| + 5

2
a) b) 3. Graficar: f(x) = x - 100
y y

a) y b) y

x x

x x
c) d)
y y

c) d)

x
y
x y

e)
y x

e)
x

y
2. Graficar: f(x) = 3x - 1
a) y b) y
4. Graficar: f(x) = |x - 4|
x
a) y b) y

x x

x 4 x
c) d)
y y
c) y d) y

4
x x

x x
e)
y

e)
y

x
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5. Obtener el gráfico de: 7. Obtener el gráfico de:

2
y = f(x) = x – 5x + 6 F(x) = ||x| - 2 |
y y
a) b) a) b)

y x x
y

c) y d) y
-2 3 x -2 3
c) d) x
y

x x
y

-3 x
e) y
0
3 x
x
e)

8. Dada la gráfica:

-2 x

6. Obtener el gráfico de:

2
y = f(x) = x + 2x + 1

2
f = ax + bx + c
a) y b) y (x)

Hallar: a +1 b + c 5
a) 1 b) 2 c) 3
x d) 0 e) -1
x

9. Obtener el gráfico de:

2
f(x) = 5(x - 1) + 1
c) d)

a) b)

y y

e)
y c) d)

x x

x
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e)
c) d)

10. Hallar el valor de “x” de manera que la

función “f” sea máxima: e)
2
f(x) = x – 3x + 1

a) 3/2 b) -2/3 c)
2/3
d) -3/2 e) 1/3

11. Hallar el valor mínimo que puede tomar

la función “f” donde: 15. Graficar:
2 f  3 x 3
f(x) = x + 5x + 1 ( x)

a) -21 b) -21/3 c)
a) b)
-21/4
d) 21/4 e) 21/3
y
y
12. Hallar el extremo de la función “f (x)”
2
Siendo: f(x) = -x + 8x + 3
3

a) 1 b) 15 c) 16 x
x
d) 17 e) 19

13. Dada la función: f(x) = 5|x| - 3 c) d)

Hallar: y y
E = f(f(-3))

a) 55 b) 56 c)
57
d) 58 e) 59 x x

14. Dada la función: f( x)  x2

Graficarla.

e) y

a) b)

2 -2