Definción, Dominios y Gráficas de Funciones Reales de Varias Variables

DEFINICIÓN, DOMINIOS y GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE
VARIAS VARIABLES
Definición y dominios
Definición. Una función f con dominio un subconjunto U de 𝑅𝑛 y con

recorrido en R
𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅
se llama función de n variables con valores reales y dominio U.
Habitualmente trabajaremos con funciones de 2 o 3 variables.

Una función real de dos variables es una función
𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅2 → 𝑅, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
El rango de f es el conjunto
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∕ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈
x, y son las variables independientes y z es la variable dependiente.
Una función real de tres variables es una función

𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅3 → 𝑅, 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
El rango de f es el conjunto
𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∕ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑈
x, y, z son las variables independientes y w es la variable
dependiente.
Funciones polinómicas y racionales
Una función polinómica de n variables, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , es toda función

que se puede escribir como la suma de funciones de la forma
𝑘1 𝑘2 𝑘𝑛
𝑐𝑥1 𝑥2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛 , donde c es una constante real y, 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 son
enteros no negativos.
El dominio de una función polinómica de n variables es 𝑅𝑛 .

Son funciones polinómicas:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 2 − 5𝑥𝑦 3 + 9, 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅2
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 2 𝑧 − 2𝑥 3 𝑦 3 + 𝑧, 𝐷𝑜𝑚𝑔 = 𝑅3
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Si
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
es una función racional,
D𝑜𝑚ℎ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 ∕ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ 0
Ejemplo. Hallar el dominio y el rango de la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2
Solución. (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 si y sólo si

2
𝑥
4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 2 + 4𝑦 2 ≤ 4 ⟺ + 𝑦2 ≤ 1
4
Esto es,
𝑥2
D𝑜𝑚𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 ∕ + 𝑦2 ≤ 1
4
Geométricamente,
𝑧= 4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 ∈ 𝑅𝑎𝑔𝑓 si y sólo si
𝑧≥0 ∧ 𝑧= 4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 ⟺ 𝑧 ≥ 0 ∧ 𝑥 2 + 4𝑦 2 + 𝑧 2 = 4
Como 𝑥 2 + 4𝑦 2 ≥ 0, entonces
𝑧 ∈ 𝑅𝑎𝑔𝑓 ⟺ 𝑧 ≥ 0 ∧ 𝑧 2 ≤ 4 ⟺ 𝑧 ≥ 0 ∧ −2 ≤ 𝑧 ≤ 2
Por lo tanto
𝑅𝑎𝑔𝑓 = 0,2
Ejemplo. Hallar el dominio de la función
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2 + 𝑦2 − 9
Solución.
D𝑜𝑚𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 Τ4 − 𝑥 2 ≥ 0 ∧ 𝑦 2 − 9 ≥ 0
= 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 Τ𝑥 2 ≤ 4 ∧ 𝑦 2 ≥ 9
= 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 Τ 𝑥 ≤ 2 ∧ 𝑦 ≥3
= 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 Τ−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∧ (𝑦 ≤ −3 ∨ 𝑦 ≥ 3)
Geométricamente:
𝑦
𝑥
−2 0 2
−3
Las operaciones con funciones de varias variables se definen de manera
análoga al caso de funciones de una variable.
Ejemplo. Hallar el dominio de la función

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4 + 𝑙𝑛 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2
Solución.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 Τ𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4 ≥ 0 ∧ 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 > 0
= 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 Τ𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≥ 4 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 < 9
Geométricamente, 𝐷𝑜𝑚𝑓 representa los puntos del espacio que están
en el interior de una esfera de centro el origen y radio 3, en el exterior
de una esfera de centro el origen y radio 2, y en los puntos de esta
última esfera.
Gráfica de una función de varias variables y curvas de nivel
Definición. Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅 una función de n variables, se llama

gráfica de esta función al subconjunto de 𝑅𝑛+1 que consta de los
puntos 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) con en 𝐷𝑜𝑚𝑓.
Simbólicamente
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛+1 ∕ (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Para el caso n = 2 la gráfica es una superficie. Es difícil visualizar la

gráfica para n = 3 pues los seres humanos vivimos en un mundo
tridimensional .
Nótese que la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una superficie cuya
proyección sobre el plano xy el dominio de f. A cada punto
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 le corresponde un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de
la superficie y, viceversa, a cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la superficie le
corresponde un punto (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓.
Si se cuenta con la gráfica de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) se puede

deducir intuitivamente el rango de esta función. Éste está dado por la
proyección de la gráfica sobre el eje z.
1
Ejemplo. Trazar la gráfica de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 4
2
Solución. Sea
1
𝑧= 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 ⟹ 𝑧 ≥ 0
2
Elevando al cuadrado obtenemos

4𝑧 2 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 Esto es la ecuación de una hiperboloide de
2
una hoja. Como 𝑧 ≥ 0, la gráfica de f es la
𝑦 parte de la hiperboloide que está sobre el
𝑥2 + − 𝑧2 = 1
4 plano xy
A partir de la gráfica
se observa
claramente que el
dominio de f son
los puntos de la
𝑦2
elipse 𝑥 2 + = 1 y
4
de su interior, y el
rango es el intervalo 1 2
[0, ∞)
1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 4
2
Ejemplo. Trazar la gráfica de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 4𝑥 2 − 𝑦 2
Solución. Sea
𝑧= 4 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 ⟹ 𝑧 ≥ 0
Elevando al cuadrado obtenemos

𝑧 2 = 4 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 Esto es la ecuación de una elipsoide. Como
2 2
𝑧 ≥ 0, la gráfica de f es la parte de la
𝑦 𝑧 elipsoide que está sobre el plano xy.
𝑥2 + + =1
4 4
A partir de la gráfica
se observa
claramente que el
dominio de f son 2
los puntos de la
𝑦2
elipse 𝑥 2 + = 1 y 2
4
de su interior, y el 1
rango es el intervalo
[0,2].
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 4𝑥 2 − 𝑦 2
Definición. Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅 . Llamaremos conjunto de nivel (de valor
k) al conjunto formado por todos aquellos puntos 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
para los que 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑘.
Si n = 2 nos referimos a una curva de nivel y si n = 3 nos referimos a una

superficie de nivel.
Definición. La intersección del plano 𝑧 = 𝑘 con la superficie 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 es
una curva, llamada curva de contorno, que está 𝑘 unidades del plano xy.
La proyección vertical de una curva de contorno sobre el plano xy es una

curva de nivel de valor k, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, de la superficie 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑧=𝑘
Curva de contorno Curva de nivel 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘

La representación de un conjunto de curvas de nivel de una función,
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), se llama mapa de contorno. Un mapa de contorno
representa la variación de z respecto a x e y, mediante espacios entre
las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel
indica que z cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño
indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa de contorno, es
importante elegir valores de k uniformemente espaciados, para dar una
mejor ilusión tridimensional.
Ejemplo. Dibujar las curvas de nivel de la superficie
𝑓 𝑥, 𝑦 = 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2
correspondientes 𝑘 = 0, 2, 4, 6 𝑦 8.
Solución.
𝑘=0⟹ 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 0 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 64 Las cuatro primeras
curvas de nivel
𝑘=2⟹ 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 2 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 60
corresponden a
𝑘=4⟹ 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 4 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 48 circunferencias y la
última es el origen
𝑘=6⟹ 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 6 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 28 del sistema de
coordenadas
𝑘=8⟹ 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = 8 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0
𝑘=0
𝑘=2
𝑘=4
𝑘=6
𝑘=0
𝑘=8
𝑓 𝑥, 𝑦 = 64 − 𝑥 2 − 𝑦 2
Ejemplo. Dibujar las curvas de nivel de la superficie
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 2 − 𝑥 2
correspondientes 𝑘 = −4, −2, 0, 2, 4.
Solución. Esta curva de nivel

𝑘 = −4 ⟹ 𝑥 2 − 𝑦 2 = 4 corresponde a dos rectas
que se cortan
𝑘 = −2 ⟹ 𝑥 2 − 𝑦 2 = 2
Estas curvas de nivel
𝑘 = 0 ⟹ 𝑦2 − 𝑥2 = 0 corresponden a
hipérbolas
𝑘 = 2 ⟹ 𝑦2 − 𝑥2 = 2
𝑘 = 4 ⟹ 𝑦2 − 𝑥2 = 4
𝑘=4 𝑘=2
𝑘 = −4
𝑘 = −2
𝑘=0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 2 − 𝑥 2
Superficies de nivel de la función 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2
Hiperboloide
De una hoja
Cono
circular 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1
Hiperboloide de Hiperboloide
dos hojas De una hoja
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1

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DEFINICIÓN, DOMINIOS y GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE

Definición. Una función f con dominio un subconjunto U de 𝑅𝑛 y con

Habitualmente trabajaremos con funciones de 2 o 3 variables.

Una función real de tres variables es una función

Una función polinómica de n variables, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , es toda función

El dominio de una función polinómica de n variables es 𝑅𝑛 .

Ejemplo. Hallar el dominio y el rango de la función

Solución. (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 si y sólo si

Ejemplo. Hallar el dominio de la función

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Para el caso n = 2 la gráfica es una superficie. Es difícil visualizar la

Si se cuenta con la gráfica de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) se puede

Elevando al cuadrado obtenemos

Elevando al cuadrado obtenemos

Si n = 2 nos referimos a una curva de nivel y si n = 3 nos referimos a una

La proyección vertical de una curva de contorno sobre el plano xy es una

Curva de contorno Curva de nivel 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘

Solución. Esta curva de nivel

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