La inversión: Una herramienta

para resolver problemas

Francisco Javier Garcı́a Capitán

1. Definición de inversión
Según afirma Robert C. Yates en Curves and their properties, la inver-
sión se debe a Steiner, que mostró un gran conocimiento del tema en 1824.
Quetelet dio ejemplos en 1825. De forma aparentemente independiente fue
descubierta también por Bellavitis (1836), Stubbs e Ingram (1842-3), y por
Lord Kelvin (1845). Este último aplicó la idea con éxito en sus investigaciones
sobre electricidad.
Dada una circunferencia de centro O y radio k, la inversión de centro
O y radio k es una transformación del plano que a cada punto A distinto
de O, le asocia otro punto A0 de la semirrecta OA cumpliendo la relación
OA · OA0 = k 2 .
La figura siguiente muestra la manera de construir el punto inverso A0 del
punto A cuando éste es interior a la circunferencia.

O A A′

La perpendicular a la semirrecta OA determina el punto T en la circun-

ferencia. Por este punto trazamos una tangente que corta a la semirrecta

1
OA en el punto A0 , inverso de A. En efecto, los triángulos OT A y OA0 T son
semejantes. Entonces,
OA OT
= 0
⇒ OA · OA0 = OT 2 = k 2 .
OT OA
Usando el mismo dibujo, si el punto A0 está fuera de la circunferencia,
trazamos una tangente a la circunferencia desde A0 y, siendo T el punto de
tangencia, por T trazamos una perpendicular a la recta OA0 que cortará a
ésta en el punto A, simétrico del punto A0 .
Vemos entonces que un punto exterior a la circunferencia se transforma
en un punto interior y un punto exterior a la circunferencia se transforma en
un punto interior. Los puntos de la circunferencia de inversión se invierten
en sı́ mismos, es decir, son puntos fijos de la transformación.

2. Propiedades de la inversión
Las propiedades de la inversión nos permiten hacer demostraciones geo-
métricas que no son sencillas cuando se intentan con otros métodos.

2.1. La inversión y las distancias

¿Como se transforman las distancias con una inversión? Sean A y B
puntos distintos y sean A0 y B 0 los inversos respecto de una circunferencia
de centro O y radio k. Entonces
AB · k 2
A0 B 0 = .
OA · OB
B

B′

O A′ A
En el caso, mostrado en la figura, de que la recta AB no pase por O, si
tenemos en cuenta que OA · OA0 = k 2 = OB · OB 0 , obtenemos
OA OB 0
= ,
OB OA0

2
por lo que los triángulos OAB y OB 0 A0 son semejantes. Entonces,
A0 B 0 OB 0 k2 AB · k 2
= = ⇒ A0 B 0 = .
AB OA OA · OB OA · OB
En el caso de que los puntos O, A y B estén alineados, A0 y B 0 estarán
en la misma recta:

O A′ B′ B A

Entonces tendremos:
k2 k2 k2 AB · k 2
A0 B 0 = OB 0 − OA0 = − = (OB − OA) = .
OA OB OA · OB OA · OB

2.2. La inversión y las rectas

Es evidente que cualquier recta que pase por el centro de inversión se va
a transformar en sı́ misma.
Por otro lado, si la recta l no pasa por el centro de inversión O, dicha
recta se transforma en una circunferencia con diámetro OM 0 , siendo M la
proyección ortogonal de O sobre l y M 0 el inverso de M .

M
M′
A

A′
O

En efecto, si consideremos un punto cualquiera A de la recta l y su recı́pro-

co A0 , los triángulos OA0 M 0 y OM A son semejantes, y como el ángulo AM M 0
es recto, también lo es el ángulo OA0 M 0 , resultando entonces que A0 está en
la circunferencia con diámetro OM 0 .

3
2.3. La inversión y las circunferencias
La figura anterior nos sirve para averiguar cuál es el resultado de invertir
una circunferencia que pasa por el centro de inversión: si OM 0 es un diámetro,
entonces esa circunferencia se transforma en la recta perpendicular a OM 0
por el punto M , inverso de M 0 .
Vamos a hallar ahora el resultado de invertir una circunferencia que no
pasa por el centro de inversión.

Q P
P′ Q′

O B′ N A′ A M B

Supongamos que una circunferencia dada tiene radio r y sean P y Q los

puntos de intersección de una recta que pasa por O y dicha circunferencia.
Llamemos P 0 y Q0 a los puntos inversos de P y Q.
Por la definición de inversión, OP · OP 0 = OQ · OQ0 = k 2 y por un
teorema elemental de la circunferencia,OP · OQ = |OM 2 − r2 |. Dividiendo
estas igualdades obtenemos

OP 0 OQ0 k2
= = = cte.
OQ OP |OM 2 − r2 |

Trazamos una paralela a P M por Q0 y llamamos N a su intersección

con OM . Los triángulos OQ0 N y OP M son semejantes, por tener dos lados
paralelos. Por tanto,
OQ0 Q0 N NO
= = .
OP PM MO
Despejando,
OQ0 M O · k2
NO = MO · = = cte.
OP |OM 2 − r2 |
OQ0 r · k2
Q0 N = P M · = = cte.
OP |OM 2 − r2 |
En este razonamiento pueden intercambiarse los puntos P y Q, para concluir
que los puntos P 0 y Q0 estarán en una circunferencia de radio N y radio
constante siempre que P y Q estén en la circunferencia de centro M y radio
r.

4
 Los cálculos anteriores, además nos dan el radio r0 de una circunferencia
inversa de una circunferencia con centro M y radio r que no pasa por el
centro de inversión:
r · k2
r0 = . (1)
|OM 2 − r2 |

Para construir la circunferencia inversa de una circunferencia que no pasa

por el centro de inversión, unimos el centro de inversión con el centro de la
circunferencia dada mediante una recta que determina en ésta un diámetro
AB. Hallamos los inversos A0 y B 0 de A y B. La circunferencia construida
con diámetro A0 B 0 es el resultado de aplicar la inversión a la circunferencia
dada.

2.4. La inversión y los ángulos

Una de las propiedades más útiles de la inversión es que la inversión
conserva los ángulos.
El ángulo de intersección de dos curvas en un punto de intersección se de-
fine como el ángulo formado por las rectas tangentes (cuando estas tangentes
existen). Esto se aplica a rectas, circunferencias o a cualquier otra curva.
En primer lugar, veamos que la inversión conserva el ángulo entre una
curva y una recta que pase por el centro de inversión y el punto de tangencia.

B′
γ′

B
γ

O
A
A′

5
 En la figura, γ es una curva, A y B son puntos sobre γ, y γ 0 , A0 y B 0
son los correspondientes inversos. Como los triángulos AOB y B 0 OA0 son
semejantes, los ángulos marcados en la figura son iguales.
Ahora, suponiendo que B es un punto móvil sobre la curva y que B se
va aproximando a A, las rectas AB y A0 B’ tienden a las tangentes en A y A0
a las curvas γ y γ 0 . Uno de los ángulos marcados tiende al ángulo entre γ y
OA, mientras que el otro tiende al ángulo inverso.
¿Qué ocurre con el ángulo formado por dos curvas? Basta considerar otra
curva cortando a γ en A y aplicarle lo mismo. El ángulo formado por las dos
curvas se obtendrá sumando los ángulos de cada una de ellas con la recta
OA.

3. Problemas
La inversión puede aplicarse para resolver problemas geométricos que de
otra forma dan lugar a ecuaciones complicadas y que con la inversión se
resuelven de forma muy sencilla.
Para resolver un problema usando la inversión hemos de decidir cuál va
a ser el centro y cuál va a ser el radio de inversión. En muchos casos el radio
de inversión puede ser arbitrario. En algunos casos, sin embargo, la elección
del radio de inversión es crucial.
Una vez elegidos el centro y el radio de inversión, tendremos en cuenta
las propiedades vistas hasta aquı́.
A continuación, algunos problemas que resolveremos mediante la inver-
sión en la siguiente sección.

6
Problema 1. La circunferencia O(2r) tiene diámetro AB. La circunferen-
cia C(r) es tangente a O(2r) en D y a AB en O. La circunferencia O1 (r1 )
está inscrita en el triángulo curvilı́neo ABD y hay una cadena de circunfe-
rencias tangentes Oi (ri ) (i = 2, 3, . . . ) donde Oi (ri ) es tangente a O(2r), a
C(r) y a Oi−1 (ri−1 ) para cada i. Hallar rn en función de r.

D
O4
O3
O2

C
O1

A O B

Problema 2. Las circunferencias C1 (r) y C2 (r) son tangentes en O y son

tangentes a la circunferencia O(2r), en A y B, respectivamente. La circun-
ferencia O1 (r1 ) es tangente interior a O(2r) y es tangente exterior a C1 (r)
y C2 (r). La circunferencia O2 (r2 ) es tangente exterior a O1 (r1 ) y a C2 (r), y
tangente interior a O(2r), y ası́ sucesivamente. Hallar rn .

O1 O2

U1 U2 U
3
U0
A C1 O C2 B

Problema 3. Partiendo del enunciado del problema anterior, hallar los los
radios de las circunferencias Un (sn ) inscritas entre las On (rn ) y C2 (r).

Problema 4. Las circunferencias O(r1 ) y O(r2 ) son circunferencias con-

céntricas y AOB es un diámetro de la primera. Las circunferencias O3 (r3 ),
O4 (r4 ) y O5 (r5 ) son tangentes exteriores dos a dos de manera que las dos

7
primeras son tangentes a AB, la primera y la tercera son tangentes exteriores
a O(r2 ) y la segunda y la tercera son tangentes exteriores a O(r1 ). Hallar r3 ,
r4 y r5 en términos de r1 y r2 .

O5

A O O3 O4 B

Problema 5. Las circunferencias O1 (r1 ) y O2 (r2 ) son tangentes exteriores

en un punto T y son tangentes a una recta l. Las circunferencias O3 (r3 ),
O4 (r4 ) y O5 (r5 ) son tangentes dos a dos, siendo tangentes también las dos
últimas a la recta l y a las dos circunferencias dadas, y O3 (r3 ) es tangente
exterior a las dos circunferencias dadas. Hallar r3 en términos de r1 y r2 . Si
d es la distancia de O3 a l, demostrar que d = 3r3 .

O1 T
O3
O2

l
O4 O5

4. Soluciones
Problema 1
Podemos hallar el centro y el radio de la primera circunferencia por méto-
dos elementales:

8
 D

E O1

A O B

Llamando x a la distancia EO1 y teniendo en cuenta la tangencia de las

circunferencias O1 (r1 ) y C(r), y de las circunferencias O1 (r1 ) y O(2r):
( (
x2 + (r − r1 )2 = (r + r1 )2 x2 = 4rr1 r
2 2 2 ⇒ 2 2 ⇒ 4r2 = 8rr1 ⇒ r1 = .
x + r1 = (2r − r1 ) x = 4r − 4rr1 2
√
Sustituyendo obtenemos también que EO1 = x = 2x.
Los centros y radios de las siguientes circunferencias también pueden ha-
llarse de la misma manera, pero es más elegante usar la inversión. Observamos
que la cadena de circunferencias está inscrita entre dos circunferencias que
son tangentes en el punto D. Por ello, consideramos una inversión con centro
D.
Esta inversión, con independencia del radio de inversión, transformará las
circunferencias O(2r) y C(r) en dos rectas perpendiculares a la recta OD,
por ser ambas circunferencias cortan perpendicularmente a la recta OD y
por ser OD una recta fija de la inversión (pasa por el centro de inversión).
En la figura siguiente hemos considerado el caso en el que el radio de
inversión es DO = 2r (la circunferencia de inversión aparece punteada).
D
O4
O3
O2

C
O1 Q2 Q3 Q4

O B

9
 La circunferencia C(r) se transforma en la recta OB y la circunferencia
O(2r) lo hace en la paralela a AB por C.

Como O1 (r1 ) es tangente a O(2r), C(r) y OB, la circunferencia inversa

es una circunferencia tangente a la circunferencia C(r), a la recta OB y a
la paralela a OB por C, es decir la circunferencia inversa de O1 (r1 ) es ella
misma.

Si, comenzando con O1 (r1 ) vamos encajando una cadena de circunfe-

rencias tangentes Q1 (r1 ) ≡ O1 (r1 ), Q2 (r1 ), Q3 (r1 ), . . . entre la recta OB y su
paralela por C, las correspondientes inversas serán las circunferencias O1 (r1 ),
O2 (r2 ), O3 (r3 ), . . .

El radio rn se calculará, según la fórmula (1),

r
r1 · (2r)2 2
· (4r2 ) 2r
rn = 2 2
= ¡√ ¢2 ¡ 3r ¢2 ¡ r ¢2 = ¡√ ¢2 .
DQn − r1 2 + n − 1 r2 + 2 − 2 2+n−1 +2

A partir de aquı́ es fácil obtener los centros On . Considerando O el origen

de coordenadas, las coordenadas (xn , yn ) de On se obtienen como solución
del sistema:

(
x2n + yn2 = (2r − rn )2
.
x2n + (yn − r)2 = (r + rn )2

Resolviendo, resultan

( p
xn = 8rrn − 8rn2 ,
yn = 2r − 3rn .

Problema 2
En este caso, la solución con inversión tiene el aspecto que muestra la
siguiente figura:

10
 Q3

Q2

O1 O2
Q1

A C1 O Q0 C2 B

La inversión se considera con centro B y radio BO = 2r. La circunferencia

C2 (r) se transforma en la perpendicular a AB por O y la O(2r) se transforma
en la perpendicular a AB por C2 , punto medio de OB.
La circunferencia C1 (r) se invierte por tanto en la circunferencia Q0 ( 2r ),
por lo que basta construir, comenzando a partir de Q0 ( 2r ), una cadena de
circunferencias Qn ( 2r ) tangentes a las dos perpendiculares mencionadas para
conseguir, invirtiendo, la cadena de circunferencias On (rn ) deseadas.
Según la fórmula (1), los radios rn buscados son

4r2 · 2r 2r3 2
rn = 2 2
= ³ ¡ ¢ ´ ¡ ¢ = 2 .
Qn B − 4r 2
(nr) + 3r
2
− r 2 n +2
2 2

Considerando a O el origen de coordenadas, las coordenadas xn , yn de los

centros On son (
xn = 2r − 3rn ,
p
yn = 8rrn − 8rn2 .
Problema 3
Consideramos la misma inversión que en problema anterior.
Podemos ver que las circunferencias Un (sn ) son las inversas de las circun-
ferencias Vn (s) mostradas en la figura:

11
 V3

V2

V1

V0
A C1 O C2 B

El radio s lo obtenemos a partir de la siguiente figura:

Aplicando el teorema de Pitágoras, (R − r)2 + R2 = (R + r)2 . Reduciendo

obtenemos que R = 4r.
r
En nuestro caso, obtenemos ¡que s =¢ 8
. Si llamamos yn es la distancia de
1
Vn a la recta AB tenemos yn = n + 2 r. Por ello, los radios sn valen

4r2 s 4r2 8r
sn = = ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 =
Vn B 2 − s2 15r
+ n + 1 r2 − r
8 2 8
r 2r
2 4 2r
= (2n+1)2
= (2n+1)2
= .
224
+ 14
+ (2n + 1)2 + 14
64 4 4 4

Problema 4

12
 El valor r5 = 12 (r1 − r2 ) es fácil de calcular pues la circunferencia O5 (r5 )
está encajada entre O(r1 ) y O(r2 ).
Para hallar r3 y r4 usamos una inversión de centro O y un radio adecuado
para que la circunferencia O(r1 ) se invierta en la circunferencia O(r2 ). Me-
diante esta circunferencia, es evidente que las circunferencias O3 (r3 ) y O4 (r4 )
se invierten una en la otra.
√
El radio de inversión k debe ser tal que r1 r2 = k 2 , ası́ que k = r1 r2 .

O5

A O C O D O4 B
3

Entonces, √
r3 = 12 CD = 21 ( r1 r2 − r2 ) ,
√
r4 = 12 DB = 12 (r1 − r1 r2 ) .
Problema 5
En este caso consideramos como centro de inversión el punto de tangencia
T de las dos circunferencias O1 (r1 ) y O2 (r2 ). De esta forma, estas circunfe-
rencias se transformarán en dos rectas paralelas, ambas perpendiculares a la
recta O1 O2 .

O1 T

C O2

W
U V l

13
 Si hacemos que el radio de inversión sea la distancia de T a la recta
l y llamamos W al punto de tangencia, la recta l se transformará en la
circunferencia con diámetro CW , siendo C el punto medio de W y T . Esta
circunferencia queda encajada entre las dos rectas paralelas mencionadas.
Hagamos que la recta l sea el eje x y que el origen esté en el punto medio
del segmento U V , siendo U y V los puntos de tangencia de O1 (r1 ) y O2 (r2 )
con l.
√
Llamando t a la medida del segmento U V , es decir t = r1 r2 , las coor-
denadas (x0 , y0 ) de T se obtienen como la única solución del sistema
(
(x + t)2 + (y − r1 )2 = r12
.
(x − t)2 + (y − r2 )2 = r22

Resolviendo, obtenemos
√
(r1 − r2 ) r1 r2 2r1 r2
x0 = , y0 = .
r1 + r2 r1 + r2
La circunferencia inversa de O3 (r3 ) es la circunferencia P ( y20 ) mostra-
da en la figura. Entre esta circunferencia y la circunferencia P ( y20 ) hay dos
circunferencias iguales de radio y40 .
Podemos obtener el punto P como intersección de la circunferencia de
centro C y radio CP , y la recta perpendicular por C a O1 O2 .
La pendiente de la recta O1 O2 es
r2 − r1
m= .
2t
La distancia CP es el doble del segmento de tangente común a las cir-
cunferencias de radios y20 y y40 , es decir
r
y0 y0 √
CP = 4 = 2y0 .
2 4
Las coordenadas (p1 , p2 ) del punto P forman una de las soluciones del
sistema 
 y 0 x − x0
y = −
2 m
³ ´2
 (x − x0 )2 + y − y0 = 2y 2

0
2

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Resolviendo,
³ y0 ´ ¡ ¢³ y0 ´
x − x0 = −m y − ⇒ 1 + m2 y − = 2y02 ⇒
s 2 2
√ √
y0 2y02 y0 2y0 y0 2 2y0 t
⇒y = ± = ± r1 +r2 = ± ⇒
2 1 + m2 2 2t
2 r1 + r2
√ √
r1 r2 4 2r1 r2 r1 r2
⇒y = ± .
r1 + r2 (r1 + r2 )2

Teniendo en cuenta esto, podemos calcular las coordenadas del punto P :

√ ¡ √ ¢
(r1 − r2 ) r1 r2 r1 + r2 − 2 2r1 r2
p1 = ,
(r1 + r2 )2
¡ √ ¢
r1 r2 r1 + r2 − 4 2r1 r2
p2 = .
(r1 + r2 )2

y02 y20 r1 r2
r3 = = ¡ √ ¢.
y02 2 r1 + r2 + 2r1 r2
(p1 − x0 )2 + (p2 − y0 )2 − 4

5. Bibliografı́a
Todos los problemas aquı́ resueltos se han tomado del libro de Hidetosi
Fukagawa Japanese Temple Geometry, donde aparecen propuestos y con su
solución, pero no resueltos.
Como de casi todos los temas, en Internet hay información disponible
sobre la inversión. Algunos sitios interesantes son las siguientes:
http://xahlee.org
Special Plane Curves. Página de Xah Lee donde podemos ver multitud de
curvas y sus propiedades.
http://www.nas.com/~kunkel
Kunkel Mathematical Lessons. Página con varios temas de Matemáticas.

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