MATRÍZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA SIN NUDO RÍGIDO MATRÍZ DE RIGIDEZ DE U

Encontrar la matriz de riguidez, sin considerar nudo rígidos, para una viga Encontrar la matriz de riguidez,
de sección constante de 30 cm de base por 30 cm de altura y tiene una 30 cm por 40 cm y con una altura
longitud de 3.7 m. por otra parte, considerar E=2100000 Tn/m² y G= 840000 c
Tn/m²
1. la matriz de riguidez de una colu
SOLUCIÓN
1. la matriz de riguidez de una viga en coordenadas locales sin nudo rígido es:

2. Propiedades de la sección
b=
h=
A=
2. Propiedades de la sección I=
b= 0.3 m G=
h= 0.3 m E=
A= 0.09 m² H=
I= 0.000675 m⁴ β=
G= 840000 Tn/m² 3. Cálculo de los elementos de la se
E= 2100000 Tn/m² ø=
L= 3.7 m k=
β= 1.2 k´=
3. Cálculo de los elementos de la sección a=
ø= 0.004931 b=
k= 1510.203 Tn b´=
k´= 1510.203 Tn t=
a= 743.987 Tn r=
b= 609.241 Tn 4. La matriz de rigidez del elemento
b´= 609.241 Tn
t= 329.319 Tn
4. La matriz de rigidez del elemento viga será: k=
329.319 609.241 -329.319 609.241
k= 609.241 1510.203 -609.241 743.987
-329.319 -609.241 329.319 -609.241
609.241 743.987 -609.241 1510.203
 MATRÍZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA SIN NUDO RÍGIDO

Encontrar la matriz de riguidez, sin considerar nudo rígidos, para una viga de sección
30 cm por 40 cm y con una altura de 2.80 m. considere E=2100000 Tn/m² y módulo de
corte G=840000 Tn/m²

. la matriz de riguidez de una columna en coordenadas locales sin nudo rígido es:

. Propiedades de la sección
0.3 m
0.4 m
0.12 m²
0.0016 m⁴
840000 Tn/m²
2100000 Tn/m²
2.8 m
1.2
. Cálculo de los elementos de la sección
0.01530612
4592.308 Tn
4592.308 Tn
2192.308 Tn
2423.077 Tn
2423.077 Tn
1730.769 Tn
90000.000 Tn
. La matriz de rigidez del elemento columna será:
1730.769 0 -2423.077 -1730.769 0 -2423.077
0 90000.000 0 0 -90000.000 0
-2423.077 0 4592.308 2423.077 0 2192.308
-1730.769 0 2423.077 1730.769 0 2423.077
0 -90000.000 0 0 90000.000 0
-2423.077 0 2192.308 2423.077 0 4592.308
 MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGA CON NUDO RÍGIDO MATRIZ DE RIG
Se desea encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante de 30x30 cm, Se desea encontrar la
considerando nudos rígidos para el caso de la siguiente figura 30x30 cm, consi

1. La matriz de rigidez de

SOLUCIÓN
1. La matriz de rigidez de la viga con nudo rígido es:

2. Propiedades de la sec
b=
h=
A=
I=
H=
C1=
C2=
2. Propiedades de la sección E=
b= 0.3 m G=
h= 0.3 m β=
 A= 0.09 m² 3. Cálculo de los elemnto
I= 0.000675 m⁴ ø=
L= 3.7 m k=
C1= 0.15 m k´=
C2= 0.15 m a=
E= 2100000 Tn/m² b=
G= 840000 Tn/m² b´=
β= 1.2 t=
3. Cálculo de los elemntos de la matriz de rigidez con judo rígido r=
ø= 0.00493061 4. La matriz de rigidez de
k= 1510.203 Tn
k´= 1510.203 Tn
a= 743.987 Tn k=
b= 609.241 Tn
b´= 609.241 Tn
t= 329.319 Tn
4. La matriz de rigidez de la viga será:
329.319 658.639 -329.319 658.639
k= 658.639 1700.385 -658.639 934.169
-329.319 -658.639 329.319 -658.639
658.639 934.169 -658.639 1700.385
MATRIZ DE RIGIDEZ DE COLUMNA CON NUDO RÍGIDO
Se desea encontrar la matriz de rigidez, para una columna de sección constante de
30x30 cm, considerando nudos rígidos para el caso de la siguiente figura

. La matriz de rigidez de la columna con nudo rígido es:

. Propiedades de la sección
0.3 m
0.3 m
0.09 m²
0.000675 m⁴
3.7 m
0.15 m
0.15 m
2100000 Tn/m²
840000 Tn/m²
1.2
. Cálculo de los elemntos de la matriz de rigidez con nudo rígido
0.00493061
1510.203 Tn
1510.203 Tn
743.987 Tn
609.241 Tn
609.241 Tn
329.319 Tn
51081.0811 Tn
. La matriz de rigidez de la columna será:
329.319 0.000 -658.639 -329.319 0.000 -658.639
0.000 51081.081 0.000 0.000 -51081.081 0.000
-658.639 0.000 1700.385 658.639 0.000 934.169
-329.319 0.000 658.639 329.319 0.000 658.639
0.000 -51081.081 0.000 0.000 51081.081 0.000
-658.639 0.000 934.169 658.639 0.000 1700.385
 EJEMPLO DE MATRIZ DE RIGIDEZ CON NUDOS RÍGIDOS
Encontrar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 6, considerando nudos rígidos,
todos los elementos son de 30/30. considere: E=2100000 Tn/m² y G=840000 Tn/m²

1. Definimos los grados de libertad de la estructura

2. Matriz de rigidez de la viga

2.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
L= 3.7 m
C1= 0.15 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
2.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de la viga
ø= 0.004930606282
k= 1510.203380314 Tn
k´= 1510.203380314 Tn
a= 743.9871640982 Tn
b= 609.2406876791 Tn
b´= 609.2406876791 Tn
t= 329.3192906373 Tn
2.3. Determinación de la matriz de rigidez de la viga
2 3 4 5
329.319 658.639 -329.319 658.639 2
kv= 658.639 1700.385 -658.639 934.169 3
-329.319 -658.639 329.319 -658.639 4
658.639 934.169 -658.639 1700.385 5
3. Matriz de rigidez de la columna 1
3.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
3.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna 1
ø= 0.012223
k= 2328.418 Tn
k´= 2328.418 Tn
a= 1122.035 Tn
b= 1468.278 Tn
b´= 1468.278 Tn
 t= 1249.598 Tn
r= 80425.532 Tn
3.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna 1
0 0 0 1 2 3
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000 -1655.718
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532 0.000
kC1= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000 1342.277
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000 1655.718
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532 0.000
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000 2797.017
4. Matriz de rigidez de la columna 2
4.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna
ø= 0.0122
k= 2328.4181 Tn
k´= 2328.4181 Tn
a= 1122.0351 Tn
b= 1468.2779 Tn
b´= 1468.2779 Tn
t= 1249.5983 Tn
r= 80425.5319 Tn
4.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna
0 0 0 1 4 5
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000 -1655.718
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532 0.000
kC2= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000 1342.277
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000 1655.718
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532 0.000
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000 2797.017
5. Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura
1 2 3 4 5
2499.197 0.000 1655.718 0.000 1655.718 1
0.000 80754.851 658.639 -329.319 658.639 2
K= 1655.718 658.639 4497.403 -658.639 934.169 3
0.000 -329.319 -658.639 80754.851 -658.639 4
1655.718 658.639 934.169 -658.639 4497.403 5
0
0
0
1
2
3

0
0
0
1
4
5
 EJEMPLO DE MATRIZ DE RIGIDEZ CON NUDOS RÍGIDOS
Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la figura 6, considerando
nudos rígidos, todos los elementos son de 30/30. considere: E=2100000 Tn/m² y G=840000 Tn/m²

1. Definimos los grados de libertad de la estructura

2. Matriz de rigidez de la viga

2.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
L= 3.7 m
C1= 0.15 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
2.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de la viga
ø= 0.004930606282
k= 1510.203380314 Tn
k´= 1510.203380314 Tn
a= 743.9871640982 Tn
b= 609.2406876791 Tn
b´= 609.2406876791 Tn
t= 329.3192906373 Tn
2.3. Determinación de la matriz de rigidez de la viga
2 3 4 5
329.319 658.639 -329.319 658.639 2
kv= 658.639 1700.385 -658.639 934.169 3
-329.319 -658.639 329.319 -658.639 4
658.639 934.169 -658.639 1700.385 5
3. Matriz de rigidez de la columna 1
3.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
3.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna 1
ø= 0.012223
k= 2328.418 Tn
k´= 2328.418 Tn
a= 1122.035 Tn
b= 1468.278 Tn
b´= 1468.278 Tn
 t= 1249.598 Tn
r= 80425.532 Tn
3.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna 1
0 0 0 1 2
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC1= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
4. Matriz de rigidez de la columna 2
4.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna
ø= 0.0122
k= 2328.4181 Tn
k´= 2328.4181 Tn
a= 1122.0351 Tn
b= 1468.2779 Tn
b´= 1468.2779 Tn
t= 1249.5983 Tn
r= 80425.5319 Tn
4.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna
0 0 0 1 4
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC2= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
5. Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura
1 2 3 4 5
2499.197 0.000 1655.718 0.000 1655.718
0.000 80754.851 658.639 -329.319 658.639
K= 1655.718 658.639 4497.403 -658.639 934.169
0.000 -329.319 -658.639 80754.851 -658.639
1655.718 658.639 934.169 -658.639 4497.403
6. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ AL GRADO DE LIBERTAD LATERAL 1
Como se va a condensar al grado de libertad 1, entonces parimos la matriz tanto fila como columna
por el grado de libertad 1
1 2 3 4 5
2499.197 0.000 1655.718 0.000 1655.718
0.000 80754.851 658.639 -329.319 658.639
K= 1655.718 658.639 4497.403 -658.639 934.169
0.000 -329.319 -658.639 80754.851 -658.639
1655.718 658.639 934.169 -658.639 4497.403
7. Determinación de las sub matrices de la matriz de rigidez global "K"
kaa= 2499.197

kab= 0.000 1655.718 0.000 1655.718

0.000
kba= 1655.718
0.000
1655.718

80754.851 658.639 -329.319 658.639

kbb= 658.639 4497.403 -658.639 934.169
-329.319 -658.639 80754.851 -658.639
658.639 934.169 -658.639 4497.403
8. Aplicamos las siguientes fórmulas para condensar la matriz de rigidez al grado de libertad lateral 1

solo falta determinar la inversa de la matriz kbb

1.240775457E-05 -1.501413E-06 2.610786E-08 -1.501413E-06
kbbˉ1= -1.50141259E-06 0.0002327405 1.501413E-06 -4.790347E-05
2.610786078E-08 1.5014126E-06 1.240775E-05 1.5014126E-06
-1.50141259E-06 -4.790347E-05 1.501413E-06 0.0002327405

kabxkbbˉ1= -0.004971830765 0.306037928 0.0049718308 0.306037928

kabxkbbˉ1xkba= 1013.424818265

k*= 1485.772 matriz de rigidez condensada al grado de libertad 1

ÍGIDOS
figura 6, considerando
G=840000 Tn/m²
 3
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 1
0.000 2
2797.017 3

5
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 1
0.000 4
2797.017 5

1
2
3
4
5
 1
2
3
4
5

rtad lateral 1
 EJEMPLO DE MATRIZ DE RIGIDEZ CON NUDOS RÍGIDOS
Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la figura 6, mediante la
solución de ecuaciones o matriz T, considerando nudos rígidos, todos los elementos son de 30/30. considere:
E=2100000 Tn/m² y G=840000 Tn/m²

1. Definimos los grados de libertad de la estructura

2. Matriz de rigidez de la viga

2.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
L= 3.7 m
C1= 0.15 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
2.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de la viga
ø= 0.004930606282
k= 1510.203380314 Tn
k´= 1510.203380314 Tn
a= 743.9871640982 Tn
b= 609.2406876791 Tn
b´= 609.2406876791 Tn
t= 329.3192906373 Tn
2.3. Determinación de la matriz de rigidez de la viga
2 3 4 5
329.319 658.639 -329.319 658.639 2
kv= 658.639 1700.385 -658.639 934.169 3
-329.319 -658.639 329.319 -658.639 4
658.639 934.169 -658.639 1700.385 5
3. Matriz de rigidez de la columna 1
3.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
3.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna 1
ø= 0.012223
k= 2328.418 Tn
k´= 2328.418 Tn
a= 1122.035 Tn
b= 1468.278 Tn
b´= 1468.278 Tn
 t= 1249.598 Tn
r= 80425.532 Tn
3.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna 1
0 0 0 1 2
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC1= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
4. Matriz de rigidez de la columna 2
4.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna
ø= 0.0122
k= 2328.4181 Tn
k´= 2328.4181 Tn
a= 1122.0351 Tn
b= 1468.2779 Tn
b´= 1468.2779 Tn
t= 1249.5983 Tn
r= 80425.5319 Tn
4.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna
0 0 0 1 4
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC2= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
5. Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura
1 2 3 4 5
2499.197 0.000 1655.718 0.000 1655.718
0.000 80754.851 658.639 -329.319 658.639
K= 1655.718 658.639 4497.403 -658.639 934.169
0.000 -329.319 -658.639 80754.851 -658.639
1655.718 658.639 934.169 -658.639 4497.403
6. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ AL GRADO DE LIBERTAD LATERAL 1
Como se va a condensar al grado de libertad 1, entonces parimos la matriz tanto fila como columna
por el grado de libertad 1
1 2 3 4 5
2499.197 0.000 1655.718 0.000 1655.718
0.000 80754.851 658.639 -329.319 658.639
K= 1655.718 658.639 4497.403 -658.639 934.169
0.000 -329.319 -658.639 80754.851 -658.639
1655.718 658.639 934.169 -658.639 4497.403
7. Determinación de las sub matrices de la matriz de rigidez global "K"
kaa= 2499.197

kab= 0.000 1655.718 0.000 1655.718

0.000
kba= 1655.718
0.000
1655.718

80754.851 658.639 -329.319 658.639

kbb= 658.639 4497.403 -658.639 934.169
-329.319 -658.639 80754.851 -658.639
658.639 934.169 -658.639 4497.403
8. Aplicamos las siguientes fórmulas para condensar la matriz de rigidez al grado de libertad lateral 1

solo falta determinar la inversa de la matriz kbb

1.240775457E-05 -1.501413E-06 2.610786E-08 -1.501413E-06
kbbˉ1= -1.50141259E-06 0.0002327405 1.501413E-06 -4.790347E-05
2.610786078E-08 1.5014126E-06 1.240775E-05 1.5014126E-06
-1.50141259E-06 -4.790347E-05 1.501413E-06 0.0002327405
Cálculo de la matriz "T"
0.005
T= -0.306
-0.005
-0.306

kabxT= -1013.424818265

k*= 1485.772 matriz de rigidez condensada al grado de libertad 1

ÍGIDOS
a figura 6, mediante la
son de 30/30. considere:
 3
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 1
0.000 2
2797.017 3

5
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 1
0.000 4
2797.017 5

1
2
3
4
5
 1
2
3
4
5

rtad lateral 1
 EJEMPLO DE MATRIZ DE RIGIDEZ CON NUDOS RÍGIDOS

1. Definimos los grados de libertad de la estructura

2. Matriz de rigidez de la viga

2.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
L= 3.7 m
C1= 0.15 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
2.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de la viga
ø= 0.004930606282
k= 1510.203380314 Tn
k´= 1510.203380314 Tn
a= 743.9871640982 Tn
b= 609.2406876791 Tn
b´= 609.2406876791 Tn
t= 329.3192906373 Tn
2.3. Determinación de la matriz de rigidez de la viga
1 2 3 4
329.319 658.639 -329.319 658.639 1
kv= 658.639 1700.385 -658.639 934.169 2
-329.319 -658.639 329.319 -658.639 3
658.639 934.169 -658.639 1700.385 4
3. Matriz de rigidez de la columna 1
3.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
3.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna 1
ø= 0.012223
k= 2328.418 Tn
k´= 2328.418 Tn
a= 1122.035 Tn
b= 1468.278 Tn
b´= 1468.278 Tn
 t= 1249.598 Tn
r= 80425.532 Tn
3.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna 1
0 0 0 5 1
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC1= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
4. Matriz de rigidez de la columna 2
4.1. Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
H= 2.35 m
C1= 0 m
C2= 0.15 m
E= 2100000 Tn/m²
G= 840000 Tn/m²
β= 1.2
.2. Cálculo de los elementos de la matriz de rigides de columna
ø= 0.0122
k= 2328.4181 Tn
k´= 2328.4181 Tn
a= 1122.0351 Tn
b= 1468.2779 Tn
b´= 1468.2779 Tn
t= 1249.5983 Tn
r= 80425.5319 Tn
4.3. Determinación de la matriz de rigidez de la columna
0 0 0 5 3
1249.598 0.000 -1468.278 -1249.598 0.000
0.000 80425.532 0.000 0.000 -80425.532
kC2= -1468.278 0.000 2328.418 1468.278 0.000
-1249.598 0.000 1468.278 1249.598 0.000
0.000 -80425.532 0.000 0.000 80425.532
-1655.718 0.000 1342.277 1655.718 0.000
5. Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura
1 2 3 4 5
80754.851 658.639 -329.319 658.639 0.000
658.639 4497.403 -658.639 934.169 1655.718
K= -329.319 -658.639 80754.851 -658.639 0.000
658.639 934.169 -658.639 4497.403 1655.718
0.000 1655.718 0.000 1655.718 2499.197
6. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ AL GRADO DE LIBERTAD LATERAL 5
Como se va a condensar al grado de libertad 5, entonces parTimos la matriz tanto fila como columna
por el grado de libertad 5
1 2 3 4 5
80754.851 658.639 -329.319 658.639 0.000
658.639 4497.403 -658.639 934.169 1655.718
K= -329.319 -658.639 80754.851 -658.639 0.000
658.639 934.169 -658.639 4497.403 1655.718
0.000 1655.718 0.000 1655.718 2499.197
7. Luego procedemos a triangularizar a la matriz de ridez usando la reduccion de GAUSS JORDAN
1 2 3 4 5
80754.851 658.639 -329.319 658.639 0.000
658.639 4497.403 -658.639 934.169 1655.718
K= -329.319 -658.639 80754.851 -658.639 0.000
658.639 934.169 -658.639 4497.403 1655.718
0.000 1655.718 0.000 1655.718 2499.197

1.000 0.008 -0.004 0.008 0.000

0.000 4492.031 -655.953 928.797 1655.718
0.000 -655.953 80753.508 -655.953 0.000
0.000 928.797 -655.953 4492.031 1655.718
0.000 1655.718 0.000 1655.718 2499.197

1.000 0.008 -0.004 0.008 0.000

0.000 1.000 -0.146 0.207 0.369
0.000 0.000 80657.722 -520.324 241.778
0.000 0.000 -520.324 4299.988 1313.372
0.000 0.000 241.778 1313.372 1888.916

1.00 0.01 0.00 0.01 0.00

0.00 1.00 -0.15 0.21 0.37
0.00 0.00 1.00 -0.01 0.00
0.00 0.00 0.00 4296.63 1314.93
0.00 0.00 0.00 1314.93 1888.19

1.000 0.008 -0.004 0.008 0.000

0.000 1.000 -0.146 0.207 0.369
0.000 0.000 1.000 -0.006 0.003
0.000 0.000 0.000 1.000 0.306
0.000 0.000 0.000 0.000 1485.772
8. Por lo tanto la matriz de rigidez condensada al grado de ibertad lateral 5 será:
K+= 1485.772
ÍGIDOS
 2
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 5
0.000 1
2797.017 2

4
-1655.718 0
0.000 0
1342.277 0
1655.718 5
0.000 3
2797.017 4

1
2
3
4
5
1
2
3
4
5

1
2
3
4
5
 MATRÍZ DE RIGIDEZ DE UN PÓRTICO CON VIGA AXIALMENTE RÍGIDA Y
COLUMNA TOTALMENTE FLEXIBLE SIN NUDO RÍGIDO

Para el pórtico plano indicado en la siguiente figura, cugas vigas son de 30/30 y las columnas
de 30/40. se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las vigas son
axialmente rígidas, considerar E=2100000 Tn/m² y G= 840000 Tn/m²

SOLUCIÓN
1. Definimos los grados de libertad

2. Matriz de rigidez de cada elemeto

2.1 Matriz de rigidez de la columna 1
Vector de colocación
VC (1)= 0 0 0 1 3 4
Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.4 m
A= 0.12 m²
I= 0.0016 m⁴
υ= 0.25
G= 869482.6 Tn/m²
E= 2173706.5 Tn/m²
H= 2.5 m
β= 1.2
Cálculo de los elementos de la sección
ø= 0.0192
k= 5267.023 Tn
k´= 5267.023 Tn
 a= 2484.679 Tn
b= 3100.681 Tn
b´= 3100.681 Tn
t= 2480.545 Tn
r= 104337.912 Tn
La matriz de rigidez del elemento columna 1 será:
0 0 0 1 3
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k1= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0

2.2 Matriz de rigidez de la columna 2

VC (2)= 0 0 0 1 5 6
0 0 0 1 5
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k2= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0
2.3. Matriz de rigidez de la columna 3
VC (3)= 0 0 0 1 7 8
0 0 0 1 7
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k3= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0
2.4. Matriz de rigidez de la columna 4
VC (4)= 1 3 4 2 9 10
1 3 4 2 9
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k4= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0
2.5. Matriz de rigidez de la columna 5
VC (5)= 1 5 6 2 11 12
1 5 6 2 11
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k5= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
 0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0
2.6. Matriz de rigidez de la columna 6
VC (6)= 1 7 8 2 13 14
1 7 8 2 13
2480.545 0 -3100.681 -2480.545 0
0 104337.912 0 0 -104337.912
k6= -3100.681 0 5267.023 3100.681 0
-2480.545 0 3100.681 2480.545 0
0 -104337.912 0 0 104337.912
-3100.681 0 2484.679 3100.681 0
2.7. Matriz de rigidez de la viga 7
Propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
υ= 0.25
I= 0.000675 m⁴
G= 869482.6 Tn/m²
E= 2173706.5 Tn/m²
L= 4.5 m
β= 1.2
Cálculo de los elementos de la sección
ø= 0.003333
k= 1291.353 Tn
k´= 1291.353 Tn
a= 639.241 Tn
b= 429.021 Tn
b´= 429.021 Tn
t= 190.676 Tn
La matriz de rigidez del elemento viga 7 será:
vector de colocación:
VC (7)= 3456
3 4 5 6
190.676 429.021 -190.676 429.021 3
k7= 429.021 1291.353 -429.021 639.241 4
-190.676 -429.021 190.676 -429.021 5
429.021 639.241 -429.021 1291.353 6
2.8. Matriz de rigidez de la viga 8
VC (8)= 5678
5 6 7 8
190.676 429.021 -190.676 429.021 5
k8= 429.021 1291.353 -429.021 639.241 6
-190.676 -429.021 190.676 -429.021 7
429.021 639.241 -429.021 1291.353 8
2.9. Matriz de rigidez de la viga 9
VC (9)= 9 10 11 12
9 10 11 12
 190.676 429.021 -190.676 429.021 9
k9= 429.021 1291.353 -429.021 639.241 10
-190.676 -429.021 190.676 -429.021 11
429.021 639.241 -429.021 1291.353 12
2.10. Matriz de rigidez de la viga 10
VC (10)= 11 12 13 14
11 12 13 14
190.676 429.021 -190.676 429.021 11
k10= 429.021 1291.353 -429.021 639.241 12
-190.676 -429.021 190.676 -429.021 13
429.021 639.241 -429.021 1291.353 14
3. Procedemos a ensamblar la matriz de rigidez
1 2 3 4 5
14883.268 -7441.634 0.000 0.000 0.000
-7441.634 7441.634 0.000 3100.681 0.000
0.000 0.000 208866.500 429.021 -190.676
0.000 3100.681 429.021 11825.400 -429.021
0.000 0.000 -190.676 -429.021 209057.176
-3100.681 3100.681 429.021 639.241 0.000
K= 0.000 0.000 0.000 0.000 -190.676
0.000 3100.681 0.000 0.000 429.021
0.000 0.000 -104337.912 0.000 0.000
-3100.681 3100.681 0.000 2484.679 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 -104337.912
-3100.681 3100.681 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
-3100.681 3100.681 0.000 0.000 0.000
4. luego partimos la matriz por la fila 2 columna 2 y determinamos las submatrices
kaa= 14883.268 -7441.634
-7441.634 7441.634

kab= 0.000 0.000 0.000 -3100.681 0.000

0.000 3100.681 0.000 3100.681 0.000
 4
-3100.681 0
0 0
2484.679 0
3100.681 1
0 3
5267.023 4

6
-3100.681 0
0 0
2484.679 0
3100.681 1
0 5
5267.023 6

8
-3100.681 0
0 0
2484.679 0
3100.681 1
0 7
5267.023 8

10
-3100.681 1
0 3
2484.679 4
3100.681 2
0 9
5267.023 10

12
-3100.681 1
0 5
2484.679 6
3100.681 2
 0 11
5267.023 12

14
-3100.681 1
0 7
2484.679 8
3100.681 2
0 13
5267.023 14
 6 7
-3100.681 0.000
3100.681 0.000
429.021 0.000
639.241 0.000
0.000 -190.676
13116.753 -429.021
-429.021 208866.500
639.241 -429.021
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
2484.679 0.000
0.000 -104337.912
0.000 0.000

0.000 0.000
3100.681 0.000
MATRÍZ DE RIGIDEZ DE UN PÓRTICO CON VIGA AXIALMENTE RÍGIDA Y COLUMNA AXIALMENTE RÍGI
SIN NUDO RÍGIDO
Con relación al pórtico plano que se muestra a continuación encontrar la matriz de rigidez lateral considerando que tod
los elementos son axialmente rígidos. Considere E=2173706.5 Tn/m²

SOLUCIÓN
1. Definimos los grados de libertad y los grados de condensación lateral

2. Matriz de rigidez de las columnas

2.1. propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.4 m
A= 0.12 m²
I= 0.0016 m⁴
E= 2173706.5 Tn/m²
υ= 0.25
G= 869482.6 Tn/m²
H= 2.5 m
β= 1.20
2.2. Cálculo de los coeficientes de la matriz
ø= 0.0192
k= 5267.02327441 Tn
k´= 5267.02327441 Tn
a= 2484.67895441 Tn
 b= 3100.68089153 Tn
b´= 3100.68089153 Tn
t= 2480.54471322 Tn
r= 104337.912 Tn
2.3. matrzi de rigidez de la columna 1
VC1= 0013
0 0 1 3
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k1= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 1
-3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 3
2.4. matrzi de rigidez de la columna 2
VC2= 0014
0 0 1 4
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k2= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 1
-3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 4
2.5. matrzi de rigidez de la columna 3
VC3= 0015
0 0 1 5
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k3= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 1
-3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 5
2.6. matrzi de rigidez de la columna 4
VC4= 0026
0 0 2 6
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k4= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 2
-3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 6
2.7. matrzi de rigidez de la columna 5
VC5= 0026
0 0 2 7
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k5= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 2
-3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 7
2.8. matrzi de rigidez de la columna 6
VC6= 0028
0 0 2 8
2480.545 -3100.681 -2480.545 -3100.681 0
k6= -3100.681 5267.023 3100.681 2484.679 0
-2480.545 3100.681 2480.545 3100.681 2
 -3100.681 2484.679 3100.681 5267.023 8
3. Matriz de rigidez de las vigas
3.1. propiedades de la sección
b= 0.3 m
h= 0.3 m
A= 0.09 m²
I= 0.000675 m⁴
E= 2173706.5 Tn/m²
υ= 0.25
G= 869482.6 Tn/m²
H= 4.5 m
β= 1.20
3.2. Cálculo de los coeficientes de la matriz
ø= 0.00333333333
k= 1291.35326941 Tn
k´= 1291.35326941 Tn
a= 639.241319408 Tn
b= 429.021019737 Tn
b´= 429.021019737 Tn
t= 190.676008772 Tn
3.3. matriz de rigidez de la viga 7
VC7= 34
3 4
k7= 1291.353 639.241 3
639.241 1291.353 4
3.4. matriz de rigidez de la viga 8
VC8= 45
4 5
k8= 1291.353 639.241 4
639.241 1291.353 5
3.5. matriz de rigidez de la viga 9
VC9= 67
6 7
k9= 1291.353 639.241 6
639.241 1291.353 7
3.6. matriz de rigidez de la viga 10
VC10= 78
7 8
k10= 1291.353 639.241 7
639.241 1291.353 8
4. Condensación de la matriz de rigidez
1 2 3 4 5
7441.634 0 3100.681 3100.681 3100.681
0 7441.634 0 0 0
3100.681 0 6558.377 639.241 0
 K= 3100.681 0 639.241 7849.730 639.241
3100.681 0 0 639.241 6558.377
0 3100.681 0 0 0
0 3100.681 0 0 0
0 3100.681 0 0 0
5. Particionamos la matriz y sacamos las submatrices
kaa= 7441.634 0
0 7441.634

kab= 3100.681 3100.681 3100.681 0 0

0 0 0 3100.681 3100.681

3100.681 0
3100.681 0
kba= 3100.681 0
0 3100.681
0 3100.681
0 3100.681

6558.377 639.241 0 0 0
639.241 7849.730 639.241 0 0
kbb= 0 639.241 6558.377 0 0
0 0 0 6558.377 639.241
0 0 0 639.241 7849.730
0 0 0 0 639.241
6. aplicamos la fórmula para determinar la matriz de rigidez

0.00015370655 -1.261721E-05 1.2297927E-06 0 0

-1.261721E-05 0.00012944788 -1.261721E-05 0 0
kbbˉ¹= 1.2297927E-06 -1.261721E-05 0.00015370655 0 0
0 0 0 0.00015370655 -1.261721E-05
0 0 0 -1.261721E-05 0.00012944788
0 0 0 1.2297927E-06 -1.261721E-05

kab*kbbˉ¹= 0.44128621156 0.32313266719 0.44128621156 0 0

0 0 0 0.44128621156 0.32313266719

kab*kbbˉ¹*kba= 3738.50673436 0
0 3738.50673436

kl= 3703.127 0
0 3703.12740531
Y COLUMNA AXIALMENTE RÍGIDA

e rigidez lateral considerando que todos

706.5 Tn/m²
 6 7 8
0 0 0 1
3100.681 3100.681 3100.681 2
0 0 0 3
 0 0 0 4
0 0 0 5
6558.377 639.241 0 6
639.241 7849.730 639.241 7
0 639.241 6558.377 8

0
3100.681

0
0
0
0
639.241
6558.377

0
0
0
1.2297927E-06
-1.261721E-05
0.00015370655

0
0.44128621156