UNIDAD I

GEOMETRÍA Si AM = a y MB = a ⇒ AM = MB
Semana 01: ∴ M: punto medio de AB

c) Operaciones con segmentos: La adición y sustracción

SEGMENTO DE RECTA de segmentos se basan en el siguiente axioma: “La suma
de las partes nos da el todo”
 LA LINEA RECTA
Es una sucesión infinita de puntos que se extiende EJEMPLOS
indefinidamente en sus dos sentidos y en una sola dirección;
además una recta genera los siguientes elementos 1. Sobre una línea recta se considera los puntos
geométricos: consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y
N de AB y CD respectivamente. Hallar MN si: AC + BD
1. Rayo: Es la parte de la recta que tiene un punto de origen = 50.
y es ilimitada en un solo sentido.
a) 20 b) 25 c)30 d) 40 e) 50.

Resolución:

2. Semirrecta: Es igual que el rayo, con la única diferencia

de que el punto de origen no pertenece a la semirrecta.
Dato: M y N son puntos medios de AB y CD.
AM = MB = a, CN = ND = b
Dato: AC + BD = 50
(2a + c) + (c + 2b)= 50
2a + 2c + 2b = 50
2 (a + c + b)= 50
2MN = 50
3. Segmento de recta: Es una porción de recta comprendida MN = 25 ; Rpta. B
entre dos puntos, a los cuales se les denomina extremos
del segmento de recta. 2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,
C y D. Luego los puntos medios M y N de AC y BD
respectivamente. Hallar MN si: AB + CD = 60

a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 60
Propiedades del segmento de recta:
Resolución:
a) Longitud de segmento: Es la magnitud de la distancia
que se separa a los extremos de un segmento; la longitud
es además un número real positivo y se expresa en
unidades de longitud.

Dato: M y N puntos medios de AC y BD

AM = NC = a, BN = ND = b
Dato: AB + CD = 60
(a + x - b) + (x + b - a) = 60
Notación: AB (se lee longitud de AB) 2x = 60
x = 30
b) Punto medio de un segmento: Es aquel punto de un MN = 30 ; Rpta. C
segmento que equidista de sus extremos, es decir la
longitud de un extremo al punto medio es igual a la 3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C
longitud del otro extremo al mismo punto. y D. Si: BC = 4, AD = 10. Calcula la distancia entre los
puntos medios de AB y CD.
 Resolución: Piden: E =
KN+KL
KM

(a+2b)+𝑎
E= a+b

Por dato: AD = 10 2(a+b)

Entonces: 2m + 4 + 2n = 10 E=
a+b
2(m + n) = 6 ⇒ m + n = 3 ∴ E=2
Piden:
MN = m + 4 + n ⇒ = (m + n) + 4
=3+4=7
∴ MN = 7 PROBLEMAS PROPUESTOS

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B
y D. Si: BC = 3, AC = 10. Calcula la distancia entre los y C siendo “0” punto medio de BC, AB² + AC² = 100.
puntos medios de AB y CD. Hallar A0² + B0²

Resolución: A) 10 B) 25 C) 50 D) 100 E) 20

2. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "P",

"Q", "R" y "S"; luego ubicamos "A" y "B" puntos medios
de PR y QS respectivamente. Calcular "AB", si: PQ = 6;
Como C es punto medio en BD ⇒ BC = CD RS = 8.
3=a
Del gráfico: b + 3 = 10 A) 14 B) 2 C) 7 D) 3 E) 4
b=7
Piden: AD = b + 3 + a = 7 + 3 + 3 = 13 ` 3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A",
∴ AD = 13 "B", "C" y "D" tal que:
CD = 7AC.
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, Hallar "BC"; si: BD - 7AB = 40.
C y D tal que B es punto medio de AD y AC – CD = 50.
Hallar BC A) 3 B) 8 C) 20 D) 5 E) 9

a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 50 4. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” de

tal manera que: AB = 3; CD = 2.
Además: 4BC + 5AD = 88. Hallar "AC"
Resolución:
A) 6 B) 8 C) 10 D) 7 E) 9

5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A",

"B", "C" y "D". Calcular “AD”; si: AC = 10 ; AD + CD =
30
Dato: B es punto medio de AD
AB = BD = a A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 40
Dato: AC – CD = 50
(a + x) – (a - x) = 50 6. Sean los puntos colineales: "O", "A", "B" y "C" tal que:
2x = 50 3OA  OC
x = 25
BC = 25; Rpta. B 3AB=BC. Hallar:
4OB

6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos K, L, A) 0,5 B) 1,5 C)2 D)3 E) 1
M y N, tal que M es el punto medio de ̅̅̅̅
LN, calcula: E =
KN+KL
KM
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A",
Resolución:
"B", "C" y "D". Si se cumple:
 AB BC CD 1 1 1
   
2 3 5 Calcular NL AE 80 ; GE = 2
"CD", si: AD = 20
A) 10 B) 20 C)30 D)40 E) 50
A) 6 B) 9 C) 12 D)11 E) 10
6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B;
8. En una recta se consideran los puntos consecutivos C y D; tal que:
"A", "B", "C", "D", "E" y "F". Si se cumple la siguiente AB BC
  CD
relación: 2 3 ; AD = 12cm; Calcular BC
AC + BD + CE + DF = 20 y BE = 6.
Hallar "AF" A) 7 B) 6 C) 8 D) 10 E) 20

A)2 B)3 C) 5 D)6 E) 14 7. Sobre una línea recta, se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D; de modo que:
9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", CD = 3.BC. Hallar la longitud del segmento AC. Si: AD
"B", "C" y "D". Se cumple: + 3.AB = 20 m
AB = 3; AC = 5; 4AB – BD – 2CD = 4, hallar: AD
A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
8. Sobre una línea recta, se consideran los puntos
10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A", consecutivos A, B, C y D; de modo que: AB = 9 m y BC
"B", "C" y "D". Se cumple que: AC + BD = 20; Calcular = 3 m. Además: AB.CD = AD.BC. Hallar la longitud del
"AD+BC" segmento CD

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 3m B) 4m C) 6m D) 8m E) 3,5m

TAREA 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C,

tal que AB = 6, AC = 10 y M es punto medio de ̅̅̅̅ BC.
1. En una recta se consideran los puntos consecutivos
"A", "B" y "M". Calcula AM.
Si: AM + BM = 3/2.AB; Hallar: AM/BM
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
A)1 B)3 C) 4 D)5 E) 8
10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C
2. Sobre una línea recta se tienen los puntos y D. Calcula AD, si: 3AC + 2AB = 8 y
consecutivos "P", "A", "B" y."C" dispuestos de manera 3CD + 2BD = 7
que: PA + PB = PC + BC y PA = 8. Calcular "BC".
A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) 9
A)1 B)2 C)3 D)4 E) 5

3. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal

que: AB + CD = 13 y BM – MC = 1. Hallar "CD".
Además "M" es punto medio de AD.

A) 5 B) 7 C)8 D) E) 9

4. Se ubican los puntos colineales "M", "A", "O" y "B". Si

"O" es punto medio de AB. Hallar "OM", si:
(AB)2
(MA)(MB)  9
4

A)1 B)2 C) 3 D)4 E) 9

5. En una recta se tienen los puntos consecutivos "A",

"N", "G", "E" y "L"". Si "N" y "G" son puntos medios de
AE y NL respectivamente. Hallar "AE", si: Semana 02:

ÁNGULOS
 Es la figura geométrica determinada por un punto de
origen (vértice del ángulo) de donde emanan dos rayos
ilimitados (lados del ángulo).

Clasificación de un ángulo por sus medidas: Notación:

∠AOB: se lee ángulo AOB
a) Ángulo nulo ( 𝛼 = 0°) Además: 𝛼 es la medida del
∠AOB
⇒ m∠AOB = 𝛼
y se lee medida del ángulo AOB.
b) Ángulo agudo (0° < 𝛼 < 90°)
Clasificación respecto a la medida de otro ángulo:

a) Ángulos adyacentes:

Cuando están uno al lado del otro

c) Ángulo recto ( 𝛼 = 90°)

d) Ángulo obtuso (90° < 𝛼 < 180°

b) Ángulos consecutivos:

Cuando están uno a continuación de otro

e) Ángulo llano ( 𝛼 = 180°)

f) Ángulo no convexo (180° < 𝛼 < 360°)

c) Ángulos opuestos:

Cuando sus lados son opuestos y colineales.

Clasificación respecto a la medida de otro ángulo:

a) Ángulos congruentes
Si: 𝛼 = 𝛽

b) Ángulos complementarios
Si: 𝛼 + 𝛽 = 90°

c) Ángulos suplementarios  ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS

Si: 𝛼 + 𝛽 = 180° PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
 Cuando una recta secante interseca a dos rectas
paralelas se originan los ángulos:

Se cumple: x = 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 + 𝜔

Ejemplos:

1. Los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC

⃡ y 𝑂𝑀
difieren en 60°. Se trazan las bisectrices 𝑂𝑃 ⃡ de
Ángulos de lados perpendiculares ⃡ del
dichos ángulos, respectivamente; luego la bisectriz 𝑂𝑁
ángulo POM. Calcula la m∠BON.
a) Congruentes: Si ambos son agudos
Resolución:
Piden: m∠BON.

Se cumple: ∠𝛼 ≅ ∠𝛽

b) Suplementarios: Si uno es agudo y el otro obtuso

Se observa: m∠BON = 15°

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de

modo que la m∠AOC = 48°, y la medida del ángulo que
Se cumple: 𝛼 + 𝛽 = 180°
forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD es
Ángulos de lados paralelas igual a 30°. Halla la m∠BOD.

a) Congruentes: Si ambos son agudos u obtusos. Resolución:

Se cumple: ∠𝛼 ≅ ∠𝛽 Piden:
m∠BOD = 𝜃 + 2 𝛽
b) Suplementarios: Si uno es agudo y el otro obtuso. Por dato: m∠AOC = 48°
2 𝛼 + 𝜃 = 48°
⇒ 𝛼 = 24° - 𝜃/2....(1)
Además: m∠ MON = 30°
𝛼 + 𝜃 + 𝛽 = 30°..............(2)
Se cumple: a + b = 180° Reemplazando (1) en (2):
𝜃
(24° - 2 ) + 𝜃 + 𝛽 = 30°
Propiedades 𝜃
+ 𝛽 = 6° ⇒ 𝜽 + 2𝜷 = 12°
Se cumple: x = 𝛼 + 𝛽 2

3. Si a la diferencia entre el suplemento de un ángulo y el

doble de su complemento le sumamos 20°, obtenemos
las 3/5 partes de su suplemento. Halla la medida del
ángulo.
⃡ 1 ∕∕ ⃡𝐿2
2. Si 𝐿
Resolución:
Sea 𝛼: la medida del ángulo
 Por dato:
3
S(𝛼) - 2C(𝛼) + 20° = S(𝛼) 2. Las medidas de dos ángulos complementarios están
5
3 en la relación de 4 a 5. Calcular el suplemento del
S(𝛼) = 2C(𝛼) - 20 mayor.
5
S(𝛼) = 5C(𝛼) - 50°
180° - 𝛼 = 5(90° - 𝛼) - 50° A)100º B)120º C)130º D)140° E) 170º
180° - 𝛼 = 450° - 5 𝛼 - 50°
3. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
4 𝛼 = 220°
cuyas medidas son proporcionales a 4; 3 y 5
∴ 𝜶 = 55° respectivamente, tal que la mAOD = 120º. Calcular la
mAOC.
⃡ 1 ∕∕ ⃡𝐿2 , calcula 𝜃.
4. En el gráfico 𝐿
A)40º B)50º C)60º D)70º E) 80º

4. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD,

tales que: mAOC = 45º, mBOD = 65º y mAOD
= 100º. Calcular la mBOC.

A)60º B)50º C)70º D)80º E) 10º

Resolución: 5. Del gráfico “x”

Se traza ⃡𝐿3 ∕∕ ⃡𝐿2

Por propiedad: 𝜃 + 𝜃 +3𝜃 + 60° = 180° A)110º B)120º C)130º D)135º E) 140º
5𝜃 = 120° ⇒ 𝜽 = 24°
6. Si: mAOC + mBOD = 130º , calcular “x”
⃡ 1 ∕∕ ⃡𝐿2 ∕∕ ⃡𝐿3 y 𝛼 + 𝛽 = 200° A) 30º
5. Calcula x, 𝐿
B) 20º
C) 40º
D) 60º
E) 50º

Resolución: 7. Calcular “x”, si  -  = 6º

Dato: 𝛼 + 𝛽 = 200°
Sabemos: x = a + b
También: 2a + 𝛽 = 180°
2b + 𝛼 = 180°
2a + 2b + 200° = 360°
⇒ a + b = 80°
∴ 𝒙 = 80°

A)54º B)57º C)60º D)63º E) 66º

8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que

OM es bisectriz del ángulo AOC. Si: mBOC –
PROBLEMAS PROPUESTAS mAOB = 50º, calcular la mBOM.

1. Si a la medida de un ángulo se le disminuye su A)20º B)25º C)40º D)45º E) 50º

suplemento resulta 20º. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
A)100º B)80º C)20º D)180º E) 130º tal que sus medidas suman 180º, además la mBOC
 = 40º. Calcular la medida del ángulo que forman las A) 130º B) 140º C) 70º D) 120º E) 110º
bisectrices de los ángulos AOC y BOD.
5. En la figura L1 // L2, calcular “x”.
A) 70º B) 80º C) 40º D) 50º E) 45º

10. Si: se cumple:

CCCx  SSSSS2x  210º
Hallar el complemento de “x”

A)80º B)70º C)65º D)60º E) 42º

A) 36º B) 18º C) 72º D) 60º E) 30º

TAREA
r // s
1. En la figura calcular “a/b”, si: : L1 // L2 6. En la figura . Calcular “x”.

A) 3/5 B) ½ C) 2 D) 1 E) 3/2
A)43º B)47º C)56º D)34º E) 46º
2. Calcular “x”, si: a // b
7. En la figura OC es bisectriz del ∠AOD y los ángulos
AOB y AOC son complementarios. Calcula la m∠AOB.

A)75º B)60º C)150º D)130º E) 30º

A) 30° B) 20° C) 40 ° D) 50° E) 60°
3. Del gráfico calcular “x”, si: L1 // L2.
8. En la figura, calcula el valor de 𝛼.

A) 180° B) 180° C) 80° ° D) 100° E) 60°

A)10º B)20º C)15º D)30º E) 45º 9. Siendo 𝛼 la medida de un ángulo agudo y 𝛽 la medida
4. Calcular “”, si a // b de otro ángulo, de tal manera que:
2
𝛼= (𝛼 + 𝛽)
3
¿Cuál es el máximo valor entero de 𝛽?

A) 30° B) 38° C) 44° D) 50° E) 60°

10. Según el gráfico, calcula x.

 A) 20° B) 22° C) 30° D) 32° E) 40°

11. Si a la medida de un ángulo se le disminuye 3° más

que la mitad del complemento del ángulo, resulta un
quinto de la diferencia entre el suplemento del ángulo y
el complemento del ángulo. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

A) 44° B) 54° C) 64° D) 66° E) 70° Elementos del △ABC: ` Desigualdad y

 A; B; C: vértices del correspondencia
12. ⃡ 1 ∕∕ ⃡𝐿2 , halla x.
En la figura, si 𝐿 triángulo. ` triangular:
 AB; BC; AC: lados del
triángulo. `
 a; b; c: longitudes de los
lados. `
 𝛼; 𝛽; 𝜃; ángulos internos.
 x; y; z: ángulos externos.

A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°

13. Se tienen cinco ángulos cuyas medidas suman En el △ABC se cumplen: 2. Desigualdad: un
180° y forman una progresión aritmética. Si la medida del 1. Correspondencia: a lado del triángulo es
ángulo menor es igual a la raíz cuadrada de la medida un mayor ángulo mayor que la
del mayor. ¿Cuánto mide el menor ángulo? interior se opone un diferencia de los otros
lado mayor y viceversa. dos lados, pero menor
A) 3° B) 5° C) 8° D) 14° E) 18° que su suma.
⇒ Si: 𝛼 > 𝛽 > 𝜃 ⇒ a > 𝑏
⃡ 1 ∕∕ ⃡𝐿2 y 𝛼 + 𝛽 = 66°, calcula el valor de y.
14. Si: 𝐿 >𝑐

Tenemos: b - c < a < b + c

a-c>b>𝑐+a
a-b<c<a+b

PROPIEDADES ADICIONALES

1.
A) 70° B) 86° C) 98° D) 102° E) 112°

x= 𝛼+ 𝛽+ 𝜃
Semana 03:
TRIÁNGULOS
2.
Es la figura geométrica compuesta por tres puntos no
colineales y los respectivos segmentos de recta que los unen
de dos en dos.

𝜃+ 180° = x + y
 Mediatriz:
3.

𝛼 + 𝛽 =𝜑 + 𝜔

4. En el △ABC, si AN = NC y 𝐿 ⃡ 1 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐶
⃡ 1 : mediatriz relativa a 𝐴𝐶
⇒ 𝐿 ̅̅̅̅

Circuncentro:

𝛼+ 𝛽=x+y

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES

Mediana: ⃡ 1 , ⃡𝐿2 y ⃡𝐿3 , son mediatriz

Si 𝐿
⇒ 𝐎: circuncentro del △ABC
Bisectriz:

En el △ABC, si ̅̅̅̅̅
𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶
⇒ 𝐵𝑀: mediana relativa a ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶
Baricentro En el △ABC, si = ∠ABP ≅ ∠𝑃BC
⇒ 𝐵𝑃̅̅̅̅ : bisectriz interior relativa a 𝐴𝐶
̅̅̅̅
Incentro:

Si: AM1, BM2 y CM3, son medianas

⇒ 𝐆: baricentro del △ABC
En el △ABC, si AP1; BP2 y CP3 son
Baricentro bisectrices interiores.
⇒ I: incentro del △ABC

Ejemplos:

1. Los valores de los lados de un triángulo son: 4; 9 y x.

Calcula la suma de todos los valores enteros de x, para
Si: AM1, BM2 y CM3, son medianas que el triángulo exista.
⇒ 𝐆: baricentro del △ABC
Además: AG = 2GM1; BG = 2GM2; Resolución:
CG = 2GM3

Por desigualdad triangular:

9-4<x<9+4
5 < x < 13
Valores enteros de x: {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
Piden la suma de valores enteros de x.
 ⇒ 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +11 + 12 = 63 Como el triángulo MNH es el triángulo órtico del
2. De la figura, calcula x. triángulo ABC, se cumple:
𝛼 = 180° - 2 𝜃
𝛼 = 180° - 2(80°) `
∴ 𝜶 = 20°
5. Halla x.

Resolución:
En el △FCG: 𝜃 + 𝛼 = 5 𝛼 ⇒ 𝜃 = 4 𝛼...(I)
En el △AEC: 90° + 𝛼 = 𝜃 ...(II) Resolución:
Reemplazando (I) en (II): 2 𝛼 + 2 𝜃 = 180° - 20°
90° + 𝛼 = 4𝛼 2 𝛼 + 2 𝜃 = 160°
90° = 3𝛼 ⇒ 𝛼 = 30° y 𝜃 = 120° 𝛼 + 𝜃 = 80°
En el △ADG: x + 𝜃 + 𝜃 = 360°
x + 2𝜃 = 360° 2 𝛼 + 2 𝛽 + 𝜃 = 180°
x + 2(120°) = 360° 2 𝜃 + 2a + 𝛼 = 180°
∴ x = 120° ⇒ 𝛽 + a = 60°
Luego:
3. En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto E, 𝛽 + a + x = 100°
de tal manera que AE = BE y AB = EC. Si: m∠ABE = 60° + x = 100°
m∠ECA = x, m∠EAC = 2x ∧ m∠EBC = 5x. Calcula el ∴ x = 40°
valor de x
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolución:
1. En la figura, calcular la diferencia entre el máximo y
el mínimo valor entero que puede tomar “x”.

A) 9
Piden: x B) 8
Completando ángulos, se tiene que el △BCE es C) 7
isósceles. D) 6
También se observa que el △ABC es isósceles. E) 5
⇒ m∠BCE = 2x
Finalmente, en el △ABC: 2. En el triángulo escaleno mostrado, calcular los
3x + 6x + 3x = 180° valores enteros que puede tomar “x”.
12x = 180°
x = 15°

4. Calcula α, si el triángulo MNH es el triángulo órtico del

triángulo ABC.

A) 2; 3; 4 B) 3; 4 C) 2; 3 D) 1; 2; 3; 4; 5 E) 4

3. Según el grafico, calcular mADC , si : AE=ED,

mACD = 40º y el triángulo ABC es equilátero
Resolución:
A) 20º
B) 10º
C) 30
D) 40
E) 50º
En el △ABC:
65° + 𝜃 + 35° = 180° ⇒ 𝜃 = 80°
4. Según el grafico: AB=BD y CD=CE Calcular “x”
 A) 10º A) 60º
B) 30º B) 50º
C) 15º C) 40º
D) 20º D) 70º
E) 60º E) 30º

5. Calcular mABC ,si AF=FC=DE=DF=EF

11. Se tiene un triángulo ABC, se traza la mediana BM, tal
A) 30º que: AM = MC = BM. Calcula la m∠ABC.
B) 45º
C) 37º A) 40° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°
D) 53º
E) 60º 12. Si G es baricentro del △ABC, calcula 2x.

6. Calcular mACF, si BC=CD y -=50º

A) 40º
B) 50º
C) 60º A) 20° B) 12° C) 14° D) 16° E) 18°
D) 53º
E) 45º 13. Del gráfico, 𝐿 es mediatriz de AC y DC=6. Calcule AC.

7. Calcular el valor de “x” si : AE=EB=EF=FD=DC y

mBAC= mFDE

A) 45º/7
B) 45º/11
C) 45º/4 A) 12 B) 24 C) 9 D) 15 E) 21
D) 22º30’
E) 22º15’ 14. En el gráfico, BD es mediana. Calcule DC/BD.

8. Hallar “a+b+c+d”

A) 300°
B) 270°
C) 290°
D) 310°
E) 360°
A) 1 B) 0,5 C) 4 D) 1,5 E) 1
9. Calcular: “a+b+c+d+e+f”
15. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD,
tal que BD=DC y m<BCD=20º. Calcule m<ADB.
A) 180°
B) 360°
A) 60º B) 45º C) 40º D) 50º E) 75º
C) 270°
D) 450°
E) 330°
TAREA
10. En la figura calcular, AB = BC, calcular “x”
1. En el gráfico, calcule “x”
 A) 70º
B) 60º
C) 50º
D) 14º
E) 20º

A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°

2. En el gráfico, x+y = 260º, calcule aº+bº+cº+dº 7. Calcula x, si el triángulo NRS es el triángulo

tangencial del triángulo ABC.
A) 200º
B) 180º
C) 160º
D) 140º
E) 120º

3. En la figura AB = BC = CD = DE. Calcular “x”. A) 50° B) 54° C) 58° D) 64° E) 74°

A)16º 8. Hallar el ángulo formado por la intersección de las

B)18º bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos
C) 20º agudos de un triángulo rectángulo
D) 24º
E) 26 A) 60º B) 45º C) 30º D) 65º E) 90º

9. Del gráfico calcule “x”

4. Hallar “x” A) 35º

B) 40º
A) 2º C) 60º
B) 3º D) 35º
C) 4º E) NA
D) 5º
E) NA

10. Hallar “x”

A) 10º
5. Según la figura AD y BE son bisectrices de los ángulos B) 11º
BAC y HBC respectivamente y C) 12º
mAPB = 3mBCA, calcular: D) 15º
m BCA E) 18º
m BAC

A) 1
B) 2/3
C) 1/2
D) 1/3
C) 1/4

6. Un valor entero para BC puede ser.

Semana 04:
 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Dos triángulos son congruentes, si tienen todos sus

elementos (lados y ángulos) respectivamente
congruentes.
Para que dos triángulos sean congruentes es necesario
que cumplan con uno de los siguientes casos generales:

1º Caso (L.A.L.): Dos triángulos son congruentes si

tienen dos lados respectivamente congruentes y
congruente el ángulo comprendido entre dichos lados.

2º Caso (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si

tienen dos ángulos respectivamente congruentes y
congruente el lado comprendido entre dichos ángulos.

3º Caso: (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si

tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
 1. Calcular “x”
A) 70°
A) 10º B) 72°
B) 30º C) 74°
C) 20º D) 79°
D) 50º E) 80°
E) 40º

2. Si: AC = DC, BC = EC, AB = 12. Calcular DE 8. Si: AB=BC, calcular “AN”, si: BM=4.

A) 6 A) 4
B) 8
C) 10 B) 4 2
D) 12 C) 3
E) 24
D) 3 2
E) 5

3. Si : AC = EC, AB = 6 ; ED = 9. Calcular BD 9. Si ABCD es un cuadrado, AM = 6 y CN = 8, calcular

AB.
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20

4. Calcular “x”

A) 10 B) 24 C) 9 D) 15 E) 21

10. En el gráfico, AB=2. Calcule BC.

A) 20º B)15º C)+ D)30º E)-

5. Si el ABC es congruente al PQR, entonces, hallar

“x”.

A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 30º
E) 25º
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E)5

11. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD,

6. Hallar “PQ”, Si: ABCD es un cuadrado y AP=3; CQ=7. de modo que CD=2(AB), m<BAC=20º y
m<CBD=90º. Calcule m< ABD.
A) 8
B) 10 A) 80º B) 60º C) 45º D) 70º E) 53º
C) 12
D) 6
E) 9

7. Si: ABCD es un cuadrado, calcular “x”.

 TAREA 5. Del gráfico, ABC y DBE son triángulos
congruentes, tal que AC=DE. Calcule x.
1. En el gráfico, ABC y MNQ son triángulos
congruentes. Calcule AB/MN.

A) 0,5 B) 2 C) 0,25 D) 1 E) 4

2. Del gráfico, los triángulos ABC y MNQ son A) 60º B) 75º C) 50º D) 85º E) 65º
congruentes. Calcule MQ/AB.
6. En el gráfico, AE=DC y BE=BC. Calcule alfa.
A) 40º B) 30º C) 28º D) 50º E) 35º

A) ¾ B) 5/4 C) 3/5 D) 4/3 E) 2/5

3. Según el gráfico, los triángulos son

congruentes. Calcule AB+2(AC).

7. En el gráfico, ABC y EBD son triángulos

equiláteros. Calcule alfa.

A) 8 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

4. Del gráfico, ABC y EDC son triángulos

congruentes. Calcule alfa.
A) 30º B) 20º C) 60º D) 50º E) 40

8. Se tiene un triángulo isósceles ABC recto en

B. Se ubica el punto M en la región exterior
relativa a AC, tal que m< AMB=90º. Si AM=1
y BM=4, calcule MC.

A) 70º B) 100º C) 80º D) 90º E) 65º A) 13 B) 8 C) 23 D) 7 E) 5

SEMANA 5:
 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. A) Teorema de Thales:

Dos triángulos son semejantes si y solo si ambos Si en los tres casos 𝐿1 // 𝐿2 // 𝐿3, entonces
𝒂 𝒎
cumplen con uno de los siguientes casos: se cumple:
𝒃
= 𝒏

A) Caso I: dos triángulos son semejantes cuando

ambos poseen dos pares de ángulos
respectivamente congruentes.

B) Caso II: dos triángulos son semejantes cuando ambos

poseen un par de ángulos congruentes y además los
lados que comprenden a dicho ángulo en ambos
triángulos son proporcionales.

B) Teorema de la bisectriz interior

C) Caso III: dos triángulos son semejantes cuando los tres

lados de uno son respectivamente proporcionales a los
otros tres lados del otro.
Si ̅̅̅̅
𝐵𝑄 es una bisectriz interior
𝒂 𝒎
⟹
𝒃
=
𝒏

C) Teorema de la bisectriz exterior

̅̅̅̅ es una bisectriz interior

Si 𝐵𝑃
𝒂 𝒎
⟹𝒃 =
 TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD: 𝒏
D) Teorema del incentro
 1. Calcula BC, si: ̅̅̅̅
DE // ̅̅̅̅
BC.

Resolución:
Si I es el incentro del △ABC
𝒙 𝒂+𝒃
⟹ = Piden: BC
𝒚 𝒄
Datos: ̅̅̅̅
DE // ̅̅̅̅
BC
E) Teorema del excentro

Como ̅̅̅̅
DE // ̅̅̅̅
BC, por Thales:
𝐴𝐸 𝐴𝐷 8 12
=
𝐸𝐵 𝐷𝐶
⇒ 𝐸𝐵
= 9 ⇒ EB = 6
Si E es el excentro relativo a ̅̅̅̅
𝐵𝐶 Luego en el ABC, por el teorema de la bisectriz interior:
𝐴𝐵 𝐵𝐶 14 𝐵𝐶
𝒙 𝒂+ 𝒃 = ⇒ = ⇒ BC = 10,5
⟹ = 𝐴𝐷 𝐷𝐶 12 9
𝒚 𝒄
2. En la figura, BF = 2 y FO = 3. Calcula OC.
F) Teorema de Menelao

Resolución:

Si ⃡
𝐿S es una recta transversal al △ABC Piden: OC = x
⟹ abc = mnℓ

G) Teorema de Ceva

𝐵𝐸 2
En el △ABO: 𝐸𝐴 = 3
𝐵𝐸 5
En el △ABC: 𝐸𝐴 = 𝑥
̅̅̅̅; 𝐵𝑄
Si 𝐴𝑁 ̅̅̅̅ y 𝐶𝑀
̅̅̅̅̅ son cevianas internas 𝐵𝐸 2 5
Luego: 𝐸𝐴 = 3 = 𝑥 ⇒ x = 7,5
concurrentes
⟹ abc = mnℓ

3. En un triángulo ABC (BC = 9) se trazan la bisectriz AD y

la mediana BM que son perpendiculares. Calcula BD.

Ejemplos: Resolución:
 Pide: BD = x Piden : BC = 2x - 1 = 27

PROBLEMAS

1. A partir del gráfico, calcule x.

Del gráfico: △AMB isósceles

Luego en el △ABC, por el teorema de la bisectriz
interior:
𝑎 2𝑎
= 9− 𝑥 ⇒ x = 3
𝑥

4. En la figura calcula AD, si: AB = 8 y BC = 6 A) 12 B) 15 C) 9 D) 8 E) 18

2. Si AB // CD, calcule x.

Resolución:

A) 8 B) 12 C) 3 D) 6 E) 9
Del gráfico: △ABC ~ △CBD
3. A partir del gráfico, calcule x.
𝐴𝐵 𝐵𝐶 8 6
⇒ = 𝐵𝐷 ⇒ 6 = 8−𝑥
𝐵𝐶

⇒ 36 = 64 – 8x
8x = 28

∴ x = 3,5

5. En un triángulo ABC, por el baricentro se traza una

paralela a ̅̅̅̅
AC que interseca a ̅̅̅̅
BC en E. Si: BE = x + 4 y
EC = x - 5, calcula BC. A) 23 B) 5 C) 26 D) 32 E) 4

Resolución: 4. Si ABCD es un paralelogramo y AD=2(EC), calcule

DF/FE.

𝑥+4 2
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 4
Del gráfico tenemos: =
𝑥−5 1
5. En los lados de un triángulo ABC se cumple que:
AB + BC = 4(AC) y su altura BH mide 5. Halla la longitud
x + 4 = 2x - 10
del inradio de dicho triángulo.
14 = x
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
6. En la figura, sabiendo que b = 12 m y h = 8 m, calcula el
lado del cuadrado PQRS

A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 2

TAREA
A) 1,4 m B) 2,6 C) 4,8 D) 6,2 E) 8,4
1. En la figura, MN
̅̅̅̅̅ // ̅̅̅̅
AC; AB = 6 m y AC = 14
7. Según el gráfico, calcule AB m. Calcula MN.

A) 2,4 m B) 3,8 C) 4,2 D) 6,2 E) 8,2

A) 51/13 B) 20/3 C) 45/14 D) 29/6 E) 35/16
2. Si: ̅̅̅̅
AB // ̅̅̅̅
PQ, ̅̅̅̅
DE // ̅̅̅̅
BC, AP = 8, PS = 6, SE = 5,
calcula EC.
8. En un triángulo ABC: AB = 10, BC = 18. La bisectriz
interior del ángulo B divide a ̅̅̅̅
AC en dos segmentos cuya
diferencia de sus medidas es 6. Calcula AC.

A) 21 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

9. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule

AE/FC.
A) 4, 6̂ B) 5, 6̂ C) 6, 6̂ D) 7, 6̂ E) 8, 6̂

3. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC se

ubican los puntos P, Q y R, respectivamente, de modo
que PBQR es un rombo cuyo lado se pide calcular
sabiendo que AB = 4 y BC = 6.

A) 2,4 m B) 3,8 C) 4,2 D) 6,2 E) 8,2

4. En un triángulo ABC, AB = 6 y BC = 14. Halla AC,

sabiendo que la mediana BM y la bisectriz BD,
̅̅̅̅, el segmento MD = 3.
determinan sobre AC
A) 2/5 B) 5/4 C) 3/5 D) 1/5 E) 5/3
A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 E) 20
10. Según el gráfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule
CD.

5. En la figura, PQRS es un cuadrado. Si: AP = 9 m

y SC = 16 m. Calcula el lado del cuadrado.
 9. A partir del gráfico, calcule AB.

A) 50 m B) 10 C) 21 D) 15 E) 12

6. En la figura, calcula EC si: ̅̅̅̅

DN // ̅̅̅̅
BE, ̅̅̅̅
NE // ̅̅̅̅
BC, AD =
4 y DE = 1.
A) 18 B) 11 C) 34 D) 22 E) 20

10. En el gráfico, L1//L2//L3//L4; Calcule x.

A) 1,25 m B) 2,5 C) 4,25

D) 6,25 E) 8,45

7. Si: 5DE = 2AD y BC = 12, calcula AB.

A) 12 B) 6 C) 15 D) 18 E) 9

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

8. Si AB // CD, calcule x.

A) 8 B) 6 C) 12 D) 1 E) 4
Semana 06:

CIRCUNFERENCIAS.

Es el conjunto de puntos coplanares que determinan una

línea cerrada, además dichos puntos equidistan de un único
punto ubicado en la región plana que determina aquella línea
cerrada.

 Ángulos exteriores a la circunferencia

 Propiedades fundamentales

El punto "O" es el centro de la circunferencia.

ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

Son ángulos cuyos vértices son puntos de la circunferencia

o pertenecen a la región interna limitada por esta.

̂
I. Ángulo central (𝛼): 𝛼 = m𝐶𝐷
 TEOREMAS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA: C) Teorema de Pitot
En un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la
A) Teorema de Taylor magnitud de los lados opuestos es igual a la magnitud de los
otros lados opuestos.
En todo triángulo oblicuángulo las proyecciones ortogonales
del pie de una de sus alturas sobre los otros dos lados y los
extremos del lado relativo a dicha altura, son los vértices de
un cuadrilátero inscriptible.

Ejemplos:

1. De la figura, calcula la m∠ABC.

Resolución:

B) Teorema de Poncelet.
2. Si: AB = 15, BC = 12 y AC = 13. Calcula CN.
En un triángulo rectángulo la magnitud de los catetos es igual
a la magnitud de la hipotenusa más el doble de la magnitud
de su inradio.

Resolución:
Por propiedad:
AN = p
p: semiperímetro del ∆ABC
15+13+12
p=
2
p= 20
 Del gráfico: AC + CN = AN
13 + CN = 20

∴ CN = 7

3. Si: AD = BC + CD y AB = 28, calcula x + y.

Piden: x=α+θ ...(1)

En el triángulo FKR:
α + α + θ + θ = 180°
α + θ = 90° ...(2)
Reemplazando (2) en (1):
∴ x = 90°

Resolución: PROBLEMAS

Aplicamos el teorema de Poncelet en los triángulos ABD 1. En la figura C es punto de tangencia, m∠BCF = 50°.
y BCD: Halla m∠ABC, si m𝐴𝐶̂ = 4m𝐷𝐸̂ , además m𝐴𝐷
̂ = 120°.

Reemplazando: 28 = 2(x + y)
⇒ x + y = 14

̂ = 60° y m𝐶𝐵
4. Si: m𝐴𝐵 ̂ = 80°. Halla: x
A) 40° B) 44° C) 46° D) 42° E) 43°

2. Si A y B son puntos de tangencia, calcula x.

Resolución:

A) 30° B) 45° C) 15° D) 20° E) 25°

3. En la figura O es el centro de la circunferencia;

la medida del arco AC es 84°. Calcula α.

5. Halla m∠FKR si F, K y R son puntos de tangencia.

A) 14° B) 16° C) 12° D) 18° E) 15°

Resolución:
4. En la figura mostrada BC = 2(BH) y m∠ABH =
Piden: m∠FKR
27°. Calcula m∠BED.
 el cuadrado ACEF de centro O. Calcula la
medida del ángulo CBO.

A) 30° B) 37° C) 60° D) 53° E) 45°

10.Calcula α, si: E, F, H, L y T son puntos de

tangencia.

A) 12° B) 13,5° C) 15° D) 18° E) 24°

5. Se tienen dos circunferencias tangentes

exteriores. Si las tangentes comunes
exteriores forman un ángulo que mide 60°,
calcula la razón entre los radios.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
A) 76° B) 72° C) 68° D) 64° E) 60°
6. Calcula la medida del inradio del triángulo
ABC, si BP = QR y BS = 4.
TAREA

1. En la figura, calcula x.

A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 2,5

7. Calcula R1 + R2, si: BC = 10 y AB = CD + DA.

A) 1,5 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 2

2. Si AB = 6 y PH = 1, calcula R.

A) 10 B) 8 C) 3 D) 5 E) 4
A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
8. Calcula OB, si AC = 2 y BC = 6√2.
3. Halla x.

A) 4√2 B) 4√3 C) 5√6

A) 11° B) 8° C) 13° D) 7° E) 9°
D) 5√2 E) 5√3
9. Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo
ABC (recto en B), se construye exteriormente ̂.
4. Calcula la m𝐴𝐵
  Clasificación de polígonos simples
A) 50° B) 80° C) 40° D) 60° E) 30°
A) Por el número de sus lados
5. En la figura, BEDC es un rectángulo. Calcula r,
si r1 = 2 y r2 = 3.

C) Por la regularidad de sus elementos

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Semana 07:

POLÍGONOS Y AREAS

 POLÍGONOS

Se denomina polígono a la porción de plano limitado por una

secuencia finita y cerrada de segmentos de recta
consecutivos y no colineales.  Propiedades de los polígonos convexos
 Resolución:

 ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES.

Región triangular:
Es una figura geométrica (conjuntos de puntos) que consiste
en un triángulo más su interior.

Región poligonal
Es una figura geométrica formada por la reunión de un
número finito de regiones triangulares en un plano, de modo
que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su
intersección es o bien un punto o un segmento.

Postulado
A toda región poligonal, le corresponde un número real
positivo único.

Área de una región poligonal

El área de una región poligonal es el número real positivo que
EJEMPLOS se le asigna según el postulado anterior.

Unidad de área
1. ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual el número
de diagonales excede en 25 al número de vértices? Por costumbre se escoge como unidad de área a la unidad
longitudinal al cuadrado; o sea:
Resolución:
u: unidad de longitud
U: unidad de Área

OBSERVACIONES
* Entendemos el área de un triángulo, área de un
cuadrilátero, área de un polígono, como el área de la
2. ¿En qué polígono convexo se cumple que el número de región correspondiente.
vértices es la mitad del número de diagonales?
* Dos regiones cualesquiera que tienen igual área se
llaman equivalentes, independiente de la forma que
Resolución:
tenga cada región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo
que tiene igual área, son equivalentes.

3. Calcula el número de lados de un polígono convexo

sabiendo que si se incrementa en 2 el número de FIGURAS EQUIVALENTES
lados, el número de diagonales aumenta en 15. * Si dos triángulos son congruentes, entonces las
regiones triangulares tienen la misma área.
 * Es a partir del postulado de la unidad de área (área del
cuadrado) que se de muestran las fórmulas básicas para
AREA DE UN TRIANGULO CUALQUIERA
el cálculo de área de las diferentes regiones elementales:
rectángulo, triángulo, trapecio, etc. El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la
longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.
AREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al b.h
S = Area (ABC) S=
cuadrado; o sea: 2

AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO

El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de
3
la longitud del lado multiplicadoBpor el factor .
4
30º30º
AREA DEL RECTANGULO
El área de un rectángulo es el producto de su base por la
L L
altura. h

60º 60º
A L L C
2 2
L

Demostración L2 3
S = Area (ABC) S=
En la figura, A, = a2, A2 = b2 4
S +S+A1+A2 = Stotal
2S+a2+b2 =(a+b)2 AREA DEL TRIANGULO EN FUNCION DE SUS LADOS
(Teorema de Herón)
2S+a2+b2 =a2+2ab+b2
a b
Cancelando a2 y b2
2S = 2ab a A1 S a

Mitad
S =a.b b S A2 b

a b

AREA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO

El área de un triángulo rectángulo es igual al semiproducto
de las longitudes de los catetos.

ORMULA TRIGONOMETRICA
a.b En todo triángulo, el área se puede expresar como el
s S=
s b 2 semiproducto de dos lados, por el seno del ángulo
comprendido entre ellos.

a
Demostración
Por área del rectángulo
a.b
2S = a.b ⇒ S=
2
AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO diagonales medias es (x + 18). Calcula su
número de lados.
El área de todo triángulo es igual al producto del
A) 6 B) 12 C) 18 D) 20 E) 24
semiperimetro y el inradio.
B
5. En la figura ABCD y EFGH son cuadrados. Si
AD = 2 + 2√2 , halla el perímetro del polígono
regular sombreado.
r r
I

A C

S = Area (ABC)
r : Inradio S = p.r
P: semiperimetro

AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DEL A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

CIRCUNRADIO
6. Halla el número de lados de un polígono
El área de todo triángulo es igual al producto de las regular, sabiendo que la longitud de cada lado
longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del es 3 cm, y el número de diagonales es
circunradio numéricamente igual a 2 veces su perímetro.

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

7. Calcula el área de la región sombreada, si el

área de la región del triángulo ABC es 120 m2.

S = Area (ABC)
R : Circunradio

PROBLEMAS
A) 20 m2 B) 50 C) 30 D) 40 E) 60
1. Calcula el número de lados de un polígono
regular, tal que si tuviera seis lados menos, la 8. Del gráfico, calcula el área de la región AHED
medida de su ángulo externo aumentaría en siendo AP = 6 y 5(AB) = 4(BC).
80°.

A) 9 B) 43 C) 18 D) 23 E) 7

2. En un polígono regular, su ángulo exterior

disminuye en 10° al aumentar en 3 su número
de lados. Calcula la medida del ángulo central
de dicho polígono.
A) 18 B) 36 C) 24 D) 45 E) 48
A) 30° B) 45° C) 40° D) 36° E) 24°
3. Si el número de lados de un polígono aumenta 9. Las áreas de los semicírculos son de 18π cm2
en 2, su número de diagonales aumenta en 13. y 32π cm2. Halla el área de la región
Halla su número de lados. sombreada.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

4. En un polígono convexo, su número de

diagonales es igual a (x + 6) y su número de
 A) 106 cm2 B) 86 C) 116 A) 30 B) 56 C) 38 D) 40 E) 35
D) 96 E) 76
3. En un polígono convexo la suma de los
10.Calcula el área de la región sombreada, si AB ángulos internos excede en 720° a la suma de
= 20 cm. Además, ABCD es un cuadrado. los ángulos exteriores. Calcula su número de
diagonales.

A) 27 B) 35 C) 44 D) 14 E) 20

4. En el gráfico, calcula el área de la región

rectangular ABCO, si OF = 4 cm.

A) 100 cm2 B) 314,16 C) 80

D) 400 E) 85,84

TAREAS

1. En la figura se presenta el polígono regular A) 12 cm2 B) 16 C) 15 D) 8 E) 19

ABCDE, si EF = 5, calcula la medida del lado
del polígono.
5. Calcula el área de una región triangular
equilátera, si su circunradio mide 4.

A) 4 B) 6√3 C) 6 D) 12√3 E) 4√6

A) 4√5 B) 5√5 C) √5 D) 5 E) 10

2. En la figura se muestra el polígono equiángulo

ABCDEFGH..., donde se han trazado las
mediatrices de los lados CD y DE
determinando un ángulo de 36°. Calcula el
número de diagonales totales del polígono.

Semana 08:
 POLIEDROS Y VOLUMENES 4. En todo poliedro, el número de diagonales es
igual al valor de combinación del número de
vértices del poliedro tomados de dos en dos,
POLIEDROS: menos el número de aristas y menos la suma
de los números de diagonales de todas las
Es una región del espacio limitada por regiones poligonales caras de dicho poliedro.
planas las cuales se denominan caras del poliedro.

VOLUMEN DE SOLIDOS:

 PRISMA

Es el sólido geométrico que tiene por bases polígonos

paralelos e iguales y por caras laterales paralelogramos.

BASE

 Teoremas ARISTA CARA LATERAL

LATERAL
1. En todo poliedro convexo, el número de
caras aumentadas en el número de
vértices es igual al número de aristas más BASE
dos. Se conoce como Teorema de Euler .
CLASIFICACIÓN
Los prismas se clasifican según sus bases en:
a) Prisma triangular, si su base es un triángulo.
b) Prisma cuadrangular, si su base es un cuadrilátero.
c) Prisma pentagonal, si su base es un pentágono.
2. Para todo poliedro, la suma de las
I. PRIMA RECTO.
medidas de los ángulos internos de todas
Es aquel prisma que tiene sus aristas laterales
sus caras es:
perpendiculares a las bases; sus caras laterales son
rectángulos; arista lateral igual a la altura del prisma.
AL = Area Lateral
2pB = Perímetro de la base
suma de la medida de los SB = Area de la base
ángulos internos
V: número de vértices AL = (2pB) (h)

3. En todo poliedro cuyas caras tienen igual h = Altura

número de lados, el número de aristas es AT = Area total
igual al semiproducto del número de
caras con el número de lados de una AT = AL + 2SB
cara:

aL

h
 c
D
c
Volumen = SB . h b x b

a
Volumen = abc

II. PRISMA REGULAR AL = 2ac + 2bc AT = AL + 2SB

Es un prisma recto, cuyas bases son polígonos
regulares.
AT = 2ac + 2bc + 2ab
III. PRISMA OBLICUO
Es aquel prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las
bases, sus caras laterales son paralelogramos D² = a² + b² + c²
(romboides), la altura es menor que la arista lateral.
Sección Recta del Prisma (SR) b) Cubo o hexaedro regular
Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las Es paralelepípedo en el cual todas sus caras son
aristas laterales. cuadrados.

BASE

SECCIÓN
RECTA

a D
a
h
a x
a
a
PLANO
Volumen = a3 AL = 4a²
SR = Área de la sección recta.
2pSR = Perímetro de la sección recta.
AT = 6a² D=a 3
AL = (2pSR) (aL)
c) Romboedro
Es un paralelepípedo oblicuo. Todas sus caras son
aL = Arista lateral rombos.

AT = AL + 2SB V. TRONCO DE UN PRISMA TRIANGULAR RECTO

Es el sólido que se determina al interceptar a una prima
Volumen = SB.h Volumen = SR . aL recto con un plano no paralelo a su base.

IV. PARALELEPÍPEDOS
Son prismas cuyas caras son todos paralelogramos.
Clasificación:
a S1
a) Paralelepípedo Rectangular c
Es un prisma, llamado también caja rectangular,
ortoedro o rectoedro. Todas sus caras son rectángulos.
b
SB
 I. PIRÁMIDE REGULAR.
Es una pirámide cuya base es un polígono regular, sus
a bc caras laterales son triángulo isósceles iguales. El pie de la
Volumen = SB   altura coincide con el centro de la base.
 3 

AT = AL + SB + S1 APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR: Es el

segmento perpendicular trazado desde el vértice de la
pirámide a una arista básica.
VI. TRONCO DE UN PRISMA RECTANGULA OBLICUO
Es el sólido que se determina al interceptar a un prisma
oblicuo con un plano no paralelo a su base.

AT = AL + SB + S1 aL
h Ap

o ap L
S1
a L
SR Ap = Apotema de la Pirámide
h1 h3
c ap = Apotema de la base.
b
SB h2
Ap² = h² + ap² aL² = h² + R²

a bc R = Radio de la circunferencia circunscrista a la base.

Volumen = SR  
 3 
AL = Semiperímetro de la base x Ap
(h 1  h 2  h 3 )
Volumen = SB
3 AT = AL + SB
 PIRÁMIDE
Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono
que tienen un vértice común que viene a ser el vértice de Area de la base x h
Volumen =
la pirámide y los otros dos vértices de cada triángulos 3
coincide con los vértices de la base respectivamente.

VERTICE II. PIRAMIDE IRREGULAR:

CARA
Es aquella que no cumple con las condiciones de la
LATERAL ARISTA
pirámide regular.
LATERAL Teorema
h h Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a
la base se obtiene una pirámide parcial semejante a la
pirámide total.

BASE
Propiedades
ARISTA
BÁSICA 1) Si dos pirámides son semejantes, las áreas de sus
bases son proporcionales a los cuadrados de sus
Clasificación: dimensiones homólogas.
Por el número de lados de su base en: 2) Los volúmenes de dos pirámides semejantes, son
a) Pirámide triangular, si su base es un triángulo, proporcionales a los cubos de sus dimensiones
llamado también tetraedro. homólogas.
b) Pirámide cuadrangular, si su base es un
cuadrilátero. Pirámide S-DEF  Pirámide S – ABC
c) Pirámide pentagonal, si su base es un pentágono, S
etc. h

D F
E
H

A C

B
 2. La diagonal de un cubo mide 10√3. Halla el área
total de un tetraedro regular de lado igual a la
mitad del lado del cubo.

Resolución:
SD SE SF h
  
SA SB SC H

Area (DEF) SD 2 h2
  ..
Area (ABC ) SA 2 H2

Volumen de la pirámide S  DEF SD 3 h 3

 
Volumen de la pirámide S  ABC SA 3 H3
III. TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Es el sólido que se determina al interceptar a una
pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus
caras laterales son trapecios isósceles iguales. 3. Si la arista de un octaedro mide 12 m, halla la
diagonal y el volumen del octaedro.
Apotema del Tronco de Pirámide Regular: Es el
segmento que une los puntos medios de las bases de Resolución:
una cara lateral.

Sb

h AP

SB

AL = (pb + pB) Ap

AT = AL + Sb + SB

pb y pB: Semiperímetro de bases.

4. El área de una cara de un tetraedro regular es

√6 . Calcula el área total del tetraedro.

EJEMPLOS Resolución:

1. Un poliedro convexo tiene 8 vértices y 6 caras. Halla el

número de aristas.

Resolución:

Por dato: el área de una cara del tetraedro regular es:

⟹ A = √6
Como en un tetraedro regular las 4 caras son iguales,
entonces el área total será:
AT = 4A = 4(√6 )
 ∴ AT = 4√𝟔

5. Halla el número de diagonales de un octaedro regular y

calcula la suma del resultado obtenido con el número de
vértices.

Resolución:

A) 12 √3 B) 2 √3 C) 3 √3
D) 4 √3 E) 5 √3

7. Halla el volumen del tronco de prisma recto cuya base es

un triángulo isósceles ABC de lados AB = AC = 116 m y
BC = 8 m; las aristas laterales están en progresión
aritmética, midiendo la intermedia 3 m.

A) 100 m3 B) 120 C) 110

D) 140 E) 150

8. Calcula el área lateral del cilindro de revolución

mostrado, si OA = 14 cm y BM = 6 cm.

PROBLEMAS

1. Un poliedro convexo tiene 20 caras y 30 aristas. Halla el

número de vértices.

A) 10 B) 12 C) 20 D) 15 E) 30

2. En un poliedro convexo, el número de caras, más el

número de vértices, y más el número de aristas, es 28. A) 84π cm2 B) 112 π C) 126 π
Si las medidas de los ángulos en todas las caras suman D) 160 π E) 168 π
1800°. Halla el número de caras.
9. El área de la superficie lateral de una pirámide
A) 2 B) 4 C) 8 D) 6 E) 5 cuadrangular regular es 6300 m2 y la medida del ángulo
diedro formado por una cara lateral y la base es 74°.
3. La suma de las medidas de las caras de un poliedro Calcula la distancia del centro de gravedad de la base a
convexo, es 3600°. Si el número de aristas excede en 2 una cara lateral de la pirámide.
al doble del número de caras. Halla el número de caras.
A) 20,16m3 B) 20 C) 22 D) 20,15 E) 21
A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 10
10. Calcula el volumen de un cono equilátero cuya generatriz
4. Calcula el área total del hexaedro regular cuya diagonal mide 2 √3 m.
mide √6.
A) 3 π m3 B) π C) 5 π D) 4 π E) 2 π
A) 12 B) 8 C) 6 D) 13 E) 9
TAREA
5. Calcula el volumen de un cubo cuya arista es igual a la
arista de un tetraedro regular de 49√3 de área total. 1. Calcula el volumen del cono recto mostrado.

A) 343 B) 297 C) 336 D) 286 E) 534

6. En la figura se muestra el desarrollo de la superficie

lateral de un prisma hexagonal regular, calcula el
volumen del prisma.

A) 8 π B) 6 π C) 10 π D) 14 π E) 12 π
2. Calcula a qué distancia del vértice de una pirámide
triangular, cuya altura es 3, se debe trazar un plano
paralelo a la base para que las dos partes resultantes
estén en la razón de 8/19.
Si el segmento de A a B se considera “positivo”, entonces
A) 1,6 B) 5/2 C) 3/2 D) 3 E) 2 el de B a A es “negativo”.

3. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
23, la generatriz está inclinada 60° respecto a la base y La distancia entre dos puntos se define como el valor
la altura es el doble del diámetro de la sección recta. numérico (valor absoluto) de la longitud del segmento
Calcula el volumen del cilindro. rectilíneo que une esos dos puntos.

A) 180 π B) 192 π C) 200 π a). DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA

D) 177 π E) 195 π COORDENADO LINEAL.
Un sistema coordenado lineal consta de una recta xx
4. Halla el volumen de un prisma recto cuyas aristas con dirección positiva de izquierda a derecha y un punto
laterales miden 16 cm y su base es un cuadrado inscrito fijo 0 como en la figura.
en una circunferencia de 5 cm de radio.

A) 400 cm3 B) 500 C) 600

D) 1200 E) 800

5. Halla la altura del tetraedro regular de arista 3. En la figura la distancia de 0 a A es la unidad. Estando
P2 a la derecha de 0, el segmento 0P2 es de longitud
positiva. 0P1 tiene longitud negativa.
A) √2 B) √3 C) √6 D) √7 E) 2 √2
La distancia “d” de un segmento como en la figura es:

d  P1 P2  x2 - x1  3  (2)  3  2  5  5

b). DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN PLANO

CARTESIANO.

Un punto en un plano se representa por un par ordenado

de números reales llamadas coordenadas (x, y); “x” es la
abscisa y “y” es la ordenada.

c) DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DE LA DISTANCIA

ENTRE DOS PUNTOS
Semana 09: En la figura, la distancia entre los puntos P1 y P2 se
determina empleando el teorema de Pitágoras:
GEOMETRIA ANALITICA
d 2 (x2  x1) 2 (y 2  y1) 2 ;
1. INTRODUCCION
A los conceptos ya conocidos de segmento de recta; en d  (x2  x1) 2 (y 2  y1) 2
este curso, es necesario agregar que un segmento de recta
tiene su “SENTIDO” o “DIRECCIÓN”. Un segmento de
recta es generado por un punto en movimiento desde una
posición inicial (origen) hasta una posición final (extremo).
El sentido de un segmento se registra con una flecha que
señala hacia el punto final o extremo como en las figuras.
3. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN A) √20 B) √15 C)√13 } D)√10
SEGMENTO EN EL PLANO E)√5

Si los puntos extremos extremos de un segmento son 5. El punto medio del segmento AB es M(2:3). Halla las
A y B: coordenadas del punto A, si se sabe que B(-1:2)

A) (5:4) B) (5:3) C)(3:7)

D)(4:7) E)(5:7)

6. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, si las

coordenadas de la hipotenusa A y B son (3:4) y (9:12)
respectivamente. Halle las coordenadas del tercer
vértice.

A) (1:5) B) (12 :5) C) (3 :10)

D) (10:5) E)(5:14)

7. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

A(5:4) y B(7:5).
1 1 1 1
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 8
Las coordenadas del punto
medio del segmento coinciden con la semisuma de
las coordenadas de de los puntos extremos. 8. Determina el ángulo de inclinación de una recta que pasa
por los puntos A(-1:3) y B(7:9).

A) 75° B) 37° C) 45° D) 30° E) 60°

9. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de

longitud igual a 10 es el punto A (-3, 6 ); si la abscisa
⇒ del otro extremo es ( 3 ), hallar su ordenada ( dos
soluciones ).

PROBLEMAS 10. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los

puntos A (3,1 ) y B ( -1, 1 ); hallar las coordenadas del
tercer vértice. dos soluciones.
1. Se tiene un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus
vértices son: A (1;0), B (11;8) y C (x;0). Si M es punto
TAREA.
medio de ̅̅̅̅
AB y la medida del ángulo agudo MCA es
𝛼(tg 𝛼 = 0,4) . Halle la suma de las coordenadas del
baricentro del triángulo AMC. 1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 a. A(-7, 4), B(6, 4)

b. A(3, 4), B(3, 9)
2. Halle la distancia entre los puntos A (3:-5); B (-1:-2). c. A(-5, 11), B(0, -1)

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5 2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4)

a B(k, 1) sea igual a 5.
3. Halla las coordenadas del punto medio del segmento
cuyos extremos son A(2:5) y B(-3:2) 3. Halla las coordenadas de dos puntos tales que la
distancia entre ellos sea igual a 4.
−1 7 1 4 1 5
A) ( 2 :2 ) B) (5 : 7 ) C) (2 : 2 )
4. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y
1 3 7 −3 clasifícalos según la longitud de sus lados:
D) (3 : 4 ) E) ( 2: 5 )
a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6)
4. Calcula la distancia entre los puntos medios de los
puntos A(5:0) , B(7:4) y C(2:3) , D(4:-1). b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

5. Hallar la distancia entre:

 a) A ( 5,2 ) y B ( 3,-2 ) 2. Sean A,B,C Y D puntos colineales y consecutivos.
b) C ( -1,-5 ) y D ( 3,-4) Si M es punto medio de AD, y se verifica que:
AB+CD=10m Y BM-MC=2m; calcular CD.

A)6m B)12 C)8 D)10 E)16

3. Determinar el ángulo en el que se cumple que el CS

+ SC sea igual al suplemento de su triple.

A) 300 B)360 C)400 D) 450 E) 600

4. Si al suplemento de un ángulo se le resta el séxtuplo

de su complemento resulta la mitad del valor del
ángulo. Hallar el suplemento del suplemento del
suplemento del complemento del complemento del
complemento del ángulo.

A) 1300 B)1600 C)1700 D)1750 E)1000

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza

su altura BH, la bisectriz del Angulo HBC corta a
HC en F, sobre la prolongación de BF se toma un
punto D. Calcular FD, si m < ACB = 260 , m < HDB
= 290 y AB – AH = 10.

A) 12 B) 15 C) 10 D) 16 E) 20

6. Según en el grafico, calcular mADC , si : AE=ED,

mACD = 40º y el triángulo ABC es equilátero

A) 20º B) 10º C) 30º D) 40º E) 50º

7. Calcular “x”
Semana 10:

MISCELANEA

1. A, C, D y E, son puntos colineales y consecutivos 2

tal que D sea punto medio CE y AC + AE=50. Hallar 2
AD.

A)18m B)25 C)27 D)33 E)39 A)10° B)30° C)20° D)50° E)40°
8. Si : AC = EC, AB = 6 ; ED = 9. Calcular BD 12. ¿Cuál es el número de lados del polígono convexo
cuyo número de diagonales es mayor en 133 que
su número de lados?

A) 16 B) 23 C) 19 D) 24 E) 25

13. Del gráfico, calcular "x":

A)10 B)12 C)15 D)18 E)20

9. Si : L1 // L2 , Calcular X

A) 70° B)90° C)100°

D)110° E)120°

14. Del gráfico, calcular "x":

A) 350 B) 350 C) 350 D) 350 E) 270

10. Si : L1 // L2 . Calcular x

A)15° B)20° C)30° D)40° E)36°

15. En la figura, calcule “Z”.

A) 650 B) 620 C) 800 D) 700 E) 600

11. Al sumar el ángulo interno de un hexágono regular

con el ángulo externo de un octógono regular se
obtiene:
A) 1,2 B) 1,5 C) 2 D) 1 E) 1,3
A) 165º
B) 255º
C) 195º
D) 105º 16. Calcula x, si 3(MB) = 2(AM).
E) 180º
 PROPÓSITO:
Resolver problemas en el que se aplique el sistema de medidas
angulares en situaciones diversas de la realidad.

A) 4 B) 5 C) 4,5 D) 6 E) 5,5. PROPIEDADES:

Sistema sexagesimal o inglés (S)
17. En un triángulo ABC; 3(AB) = 4(BC) = 24 y AC = Sistema centesimal o francés (C)
7. Luego se traza la bisectriz interior BD, calcula Sistema radial, circular o internacional (R)
(AD - DC).
Sabemos que: 1800 = 200g = πrad
𝑺 𝑪 𝑹
Entonces: 𝟏𝟖𝟎 = 𝟐𝟎𝟎 = 𝝅 … … . . Formula General
De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:
𝑆 𝐶 180𝑅 200𝑅
= 𝑆= 𝐶=
9 10 𝜋 𝜋

Observación:
𝑺 𝑪 . 𝑺 = 𝟗𝑲 𝟐𝟎𝑹
𝑫𝒆: = =𝑲 ⇒ } 𝑲=
𝟗 𝟏𝟎 𝑪 = 𝟏𝟎𝑲 𝝅

A) 3 B) 4 C) 1 D) 6 E) 5 EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Exprese 1800 en grados centesimales, y 45𝑔 en grados
18. Halla el área de un cuadrado inscrito en una sexagesimales.
circunferencia cuyo radio mide 3 cm. a). 1800 = 1800 ( 90 ) = 200𝑔
10𝑔

90 4050
A) 18 cm2 B) 19 cm2 C) 20 cm2 b). 45𝑔 = 45𝑔 (10𝑔 ) = = 40,50
10
D) 21 cm2 E) 22 cm2
20 1𝑔 90 60, 100𝑚 10𝑔
2. Hallar 𝐸 = + 1𝑚 + 5𝑔 ; 𝐸 = + +
1, 1, 1𝑚 5𝑔
19. Calcula el área de la región sombreada.
𝐸 = 120 + 100 + 2 = 222

3. Un ángulo positivo mide 𝑆 0 𝑜 𝐶 𝑔 , calcular el valor

simplificado de:

𝟒 𝟑
𝑪+𝑺 𝑪+𝑺
𝑷=√ −√ +8
𝑪−𝑺 𝑪−𝑺

𝑆 𝐶 𝑆 = 9𝐾
A) 9π cm2 B) 5 cm2 C) 9 cm2 = =𝐾 → {
9 10 𝐶 = 10𝐾
D) 5 π cm2 E) 6 π cm2
Calculamos en forma particular:
20. En un poliedro convexo, el número de caras, más
el número de vértices, y más el número de aristas, 𝐶 + 𝑆 10𝐾 + 9𝐾 19𝐾
= = = 19
es 28. Si las medidas de los ángulos en todas las 𝐶 − 𝑆 10𝐾 − 9𝐾 𝐾
caras suman 1800°. Halla el número de caras
Luego remplazamos en P y nos da P=2
A) 2 B) 4 C) 8 D) 6 E) 5
4. Halla el ángulo en radianes que genera “el horario”, en
un reloj convencional, durante 20 minutos.

Solución:
*En 12 horas el horario es de 2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋
* En 1 hora el horario es de 6 𝑟𝑎𝑑
TRIGONOMETRIA
12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 → 2𝜋𝑟𝑎𝑑 } 𝜋
SEMANA 01 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑
1 ℎ𝑜𝑟𝑎 → 𝑥 6
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
 𝜋 
60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → 𝑟𝑎𝑑 𝜋 rad  110g  21
6 }𝑦= 𝑟𝑎𝑑 6
20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → 𝑦 18 6. Calcular :E =

20g  rad
5. Hallar: a+b sabiendo que
𝜋
𝑟𝑎𝑑 = 𝑎°𝑏´ 2
8
A) 23/18 B) 18/23 C) 1 D) 13/9 E) 13
Resolución: Equivalencia: 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 180°
7. Si se cumple lo convencional reducir la expresión:
𝜋 180° 180° 45° 𝝅𝟐 (𝑪−𝑺)(𝑪+𝑺)
𝑟𝑎𝑑. = = 𝑷=
8 𝜋𝑟𝑎𝑑 8 2 𝟑𝟖𝟎𝑹𝟐

 22,5° = 22°+0,5° =22°30’

A) 10 B) 20 C)40 D) 60 E)NA
𝜋
Luego: 8 𝑟𝑎𝑑 = 22°30´ = 𝑎°𝑏´
8. Sabiendo que “S” y “C” son lo conocido para
Efectuando: a=22; b=30 un mismo ángulo, no nulo, simplificar:

Entonces: a+b = 52 𝟐𝑪 + 𝑺
𝑲=√ +𝟕
𝑪−𝑺
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

̅̅̅̅ 𝑚 , halle el valor A) 10 B) 6 C) 40 D) 60 E)NA

̅̅̅̅ 𝑔 5B
1. Si 27°27′ <> 3A
de: 2A+B. 9. Si se cumple lo convencional reducir la expresión:
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
2S-C
K
2. Seis veces el número de grados C-S
A) 2 B)3 C) 2 2 D)4 E)NA
sexagesimales de un ángulo sumado a
dos veces el números de sus grados 70g  18º
centesimales es 222. ¿Hallar el número 10. Calcular el valor de:

rad  40º
de radianes de dicho ángulo? 4
𝟑𝝅 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋
𝐀) B) C) D) 2 E) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝟐𝟎 8 20 8 20

3. Si la suma de las medidas de dos ángulos EJERCICIOS DOMICILIARIOS:

es 36° y su diferencia es 20g ¿Cuál es el
1. Convertir a sexagesimales y radianes la
mayor?
siguiente magnitud angular. 𝛼 = 16𝑔
   𝜋
A) rad B) rad C) 3 rad D) rad 2. Convertir 𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimales y
5
20 10 20 5
centesimales.
4𝜋
4. Si la suma de dos ángulos es rad y su
9 3. Si: 46° 21’ < > Ag Bm , calcular A – B
diferencia es 20° Calcular el mayor
ángulo. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7 AB
A) 49° B) 31° C) 55° D) 44° E) 50° 4. Si: rad < > A° B’ C’’ , calcular
64 C
𝑎°𝑎´ 𝑎´𝑎´´ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. Si un ángulo mide ( )′( ) ′′ y se
𝑎´ 𝑎´´
puede expresar como x° y' z", entonces al 5. Si se cumple lo convencional reducir la
transformar a radianes (x+2y+z)° se expresión:
2C-S
obtiene. P 5
C-S
𝝅𝒓𝒂𝒅 𝜋𝑟𝑎𝑑 𝜋𝑟𝑎𝑑 𝜋𝑟𝑎𝑑
𝐀) B) C) D) 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝟑𝟎 8 20 8
6. Siendo S, C y R lo convencional, donde: PROPIEDADES:

Halle R. X.
𝝅 𝜋 𝜋 𝜋
𝐀) B) C) D) 2
𝟓 8 20 8

7. Calcular: U + N + O

Si: 22.22º < > Uº N’ O’’

A) 41 B) 42 C) 3 D) 47 E) 46

8. Un mismo ángulo es medido por 2 personas;

Juan  encontró (x - 1)º

José  encontró (x + 1)g
Calcular el número de radianes de éste ángulo.

𝝅 45𝜋 20𝜋 𝜋
𝐀) B) C) D)32
𝟏𝟎 8 90 8 EJ ERCICIOS DESARROLLADOS

9. En un cierto ángulo se cumple: 1. En la figura AOF, BOE y COD son sectores circulares. Halle
la longitud del arco BE.
S  90C  33 , Calcular el suplemento del
ángulo en radianes.
𝟏𝟗𝝅 45𝜋 20𝜋 𝜋
𝐀) B) C) D)32
𝟐𝟎 20 90 8

10. Del gráfico; hallar “2x”.

A) 70°
B) 160°

C) 90° Solución: 28 = 𝜃(10 + 𝑅), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

→ 10𝜃 + 𝜃𝑅 = 10𝜃 + 8
D) 60° → 10𝜃 = 20
𝜃 = 2𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑅 = 4𝑢
E) 75°
Luego: 𝐿 = 𝜃 (𝑅 + 6) = 20𝑢
2. Si AOB y COD son sectores circular es con centro
SEMANA 02 1−𝜃2
en O, calcule el valor de
𝜃
LONGITUD DE ARCO Y AREA DE SECTOR Solución:
CIRCULAR
𝑠𝑒𝑎 = 𝜃𝑟 𝑦 2𝑟 = 𝜃 (𝑟 + 2𝑥 )
PROPÓSITO: → 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 2𝑟 = 𝜃𝑟 + 2𝜃𝑥
→ 2𝑟 = 𝜃𝑟 + 2𝜃(𝜃𝑟)
Aplicar la medida en radianes de un ángulo para calcular la → 2 = 𝜃 + 2𝜃 2
longitud de un arco y el área de un sector circular.
→ 2(1 − 𝜃 2 ) = 0
1 − 𝜃2
= 1/2.
𝜃
3. En la figura AOB, COD Y GOH son sectores 𝟏𝟎𝝅 45𝜋 20𝜋 𝜋
circulares. Si AG=GC, determinar la longitud del arco GH. 𝐀) B) C) D)32
𝟑 20 90 8
Solución: 𝑁𝑜𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
3. Del gráfico calcular “ L1”

19𝜋 𝟏𝟒𝝅 20𝜋 𝜋

A) B) C) D)32
20 𝟓 90 8

6 = 3𝜃𝑟 → 𝜃𝑟 = 2
4. Del gráfico; calcular “L”; si: L1 + L2 = 6
→ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐿𝑜𝑛𝑔. 𝐴𝑟𝑐 𝐸𝐵 = 5𝜃𝑟 = 10
→ 20 = 5𝜃𝑟 → 4 = 𝜃𝑅
→ 𝐿𝑜𝑛𝑔. 𝐴𝑟𝑐. 𝐶𝐹 = 3𝜃𝑅 = 12
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐺𝐻
16 + 32
𝑒𝑠 = 24𝑢
2

4. La longitud de arco de un sector circular es

45𝜋 𝜋 𝜋
16𝜋𝑐𝑚. Calcule el radio del sector circular 𝐀)𝟑𝛑 B) C) D)32
20 90 8
𝑅 𝜋
Si: 3√𝜋 + 2√𝑅 = 5, donde R representa la medida del
menor ángulo 𝛼 en radianes.
5. Del gráfico; calcular “  ”

Resolución:
𝑅 2
→ 𝑠𝑒𝑎 𝑋 = √ , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3𝑥 + = 5
𝜋 𝑥
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0, 𝑥 = 2/3 𝝅 𝜋 𝜋 𝜋
4𝜋 𝐀) B) C) D)
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝟔 20 90 8
9
4𝜋
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 16𝜋 = 𝑟 → 𝑟 = 36𝑐𝑚 6. A partir de la figura, hallar “x”.
9

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. En un sector circular, el ángulo central

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: mide 54° y el arco correspondiente mide 6cm.
¿Cuál es la longitud del radio de dicho sector?
1. Calcular el radio de una circunferencia
20𝜋 𝟐𝟎 30 40
tal que un arco de 15cm de longitud subtiende A) B) C) D)
3 𝝅 𝜋 𝜋
un ángulo central de 3 rad.
A) 1cm B) 3cm C) 5cm D) 4cm E) 6cm 8. En un sector circular, el ángulo central
2. Calcular la longitud de arco en un sector mide 30g y el arco correspondiente mide 9 .
circular cuyo ángulo central mide 40° y el radio ¿Cuánto mide el radio del sector?
es de 15 cm.
 𝜋 𝜋 𝜋 𝝅
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 A) B) C) D)
60 200 90 𝟏𝟖𝟎

9. Del gráfico mostrado, calcular el área de

la región sombreada. 4. Hallar el perímetro de la región: (=22/7)

2𝜋 𝟑𝝅 10𝜋 𝜋
A) B) C) D)32
9 𝟐 90 8 A) 43 B) 42 C) 23 D)44 E) 45
5. Se tiene un sector circular de ángulo
10. Las áreas de un sector circular y la región central 36°. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo
encerrada por un cuadrado son iguales y central de dicho sector para que su área no varié
además de igual perímetro; determine el si su radio disminuye en un cuarto del anterior.
número de radianes del ángulo central de
dicho sector.
A) 49° B) 31° C) 55° D) 44° E) 28°
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
6. Del gráfico mostrado calcular el área de
EJERCICIOS DOMICILIARIOS la región sombreada.
1. Del gráfico calcular el área de la región
sombreada.

𝐀)𝟏𝟓𝛑 B) 25𝜋 C) 26𝜋 D)27𝜋

𝐀)𝟐𝟒𝛑 B) 25𝜋 C) 26𝜋 D)27𝜋
7. Determine el perímetro de un sector
2. Calcular el área del círculo si: AB = 4 circular AOB cuyo radio tiene por longitud
4m, y la amplitud del ángulo es 0,5
radianes.

A) 11m B) 21m C) 10m D) 4m E) 5m

A)24πu² B) 16u² C) 26𝜋u² D)27𝜋 u² 8. Calcular el valor del área del trapecio, y
3. A un alumno se le pide calcular el área de un encontrar la medida del ángulo central en
sector circular cuyo ángulo central es x°, pero al aplicar la figura mostrada.
la fórmula escribe “x” rad obteniendo un área de valor
“M”, si el área correcta es “N”. ¿A que es igual N/M? 9. Hallar “x” si el área del trapecio circular es
21 metros cuadrados.

A) 11m B) 21m C) 10m D) 4m E) 5m

 10. Calcule el área de la región sombreada si
BH = 1. Dato: Triángulo ABC es rectángulo

4 4 4 4

A) B) C) D)
4 2 8 6

SEMANA 03

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS

NOTABLES Y AGUDOS

PROPÓSITO:

Analizar y comprender la definición de las razones

trigonométricas de ángulos agudos, aplicándolos a casos de
la vida práctica.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique:

Sen5x=Cosx

Solución:
Dada la ecuación: Sen5x=Cosx
Luego los ángulos deben sumar 90°, entonces:
5x + x = 90°  6x = 90°  x = 15°

2. Hallar “x” en Secx.Secx=4

Solución:
Secx.Secx=4; Secx.Secx =2.2
2 𝐻 𝐶𝐴
𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 1 = 𝐶𝐴 Como la 𝑆𝑒𝑐 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝐻 ;
observamos el triángulo rectángulo entonces
sec60°=2.

3. Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x –

Cosy = 0; Tg2y.Ctg30° – 1 = 0

Solución:
Nótese que el sistema planteado es equivalente a:
Sen3x=Cosy  3x+ y = 90° (R.T. complementarios)
Tg2y.Ctg30°=1  2y = 30° (R.T. recíprocas)
y = 15°. Reemplazando en la primera igualdad:
 3x + 15°= 90°  3x = 75°  x = 25°

4. Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m

de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es
2,4.

Resolución:
a) Sea “𝛼” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con
la condición: Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez
24 12 que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de
𝑡𝑔𝛼 = 2,4 = 10 = 5 ; Ubicamos “𝛼” en un triángulo
la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues,
rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación vamos a calcular el lado b.
de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras.
Para el ángulo 60°, el lado que conozco es el cateto contiguo
b) El perímetro del triángulo es: Según la figura: y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo
5k+12k+13k = 30k; Según dato del la tangente de 60°.
enunciado=330m Luego: 30k = 330 K =11m
𝑏 𝑏
𝑡𝑔60° = = → 𝑏 = 7𝑡𝑔60° = 7 ∗ 1.73 = 12.11𝑚
𝑐 7

Por tanto la altura de la torre es:

12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Si "𝜃" es la medida de un ángulo agudo y se
2
c) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es cumple que:𝑇𝑔𝜃 = ; calcular:
decir: Cateto menor = 5k = 5.11m = 55m 3
𝑇 = √13𝑆𝑒𝑛𝜃 + 12𝐶𝑡𝑔𝜃.
4𝑆𝑒𝑛30°+√3𝑇𝑔60°
5. Calcular: 𝐹 =
10𝐶𝑜𝑠37°+√2𝑆𝑒𝑐45°
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
Resolución: 2. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"
Según la tabla mostrada notamos: se cumple que: 4SenA=7SenB.
1 √3 Calcular: 𝐸 = 65𝑆𝑒𝑛2 𝐴 − 42𝑇𝑔𝐵
4. 2 + √3. 1 2+3 5 1
𝐹= = = =
4 √2 8 + 2 10 2
10. 5 + √2. 1 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
3. El perímetro de un triángulo rectángulo es
6. Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está
a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando 150u y la cosecante de uno de los ángulos
la cúspide es de 60° y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m. agudos es 2,6. Calcular la longitud del mayor
cateto.
A) 20u B) 30u C) 40u D) 50u E) 60u

4. Del gráfico mostrado, calcular: " 𝐶𝑜𝑡𝛼. 𝐶𝑜𝑡𝜃"

Solución: Para comenzar, vamos a hacer un dibujo

que aclare un poco la situación poniendo los datos
que conocemos.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3/2
 5. Del gráfico mostrado, calcular: " 𝑇𝑔∅ − 2. Del gráfico; calcular: L = tan cot
𝑇𝑔𝑤", si: ABCD es un cuadrado.

A) 1/3 B) 3 C) 2 D) ½ E)15

3. Del gráfico mostrado, calcular “Tg”.

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

6. Si se cumple que: Sen2x=Cos3x para "x"
agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1°)+3Tg(3x-1°).

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
7. Si: 13 cosx – 12 = 0; 0° < x < 90°.
Calcular A = csc x + ctg x. A) 1/3 B) 3 C) 2 D) ½ E)15

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
4. Del gráfico, calcular “tan”
8. Para que el ángulo “x” es;

Cos(60°-x) = Sen(70°-3x).

A) 11º B) 13º C) 14º D) 9º E) 10º

TagA  1
9. Si  2 ; 0º < A < 90º
TagA  1
A) 3/2 B) 3 C) 2 D) ½ E)15
Calcular N = 6Ctg A + 40CosA

A) 4 B) 6 C) 5 D) 18 E) 9 5. Siendo “” un ángulo agudo donde se

cumple: Tg 3 .ctg (2 +10°) = sen 50°.sec 40°
√3
10. Dado: 𝑠𝑒𝑛𝑥 = , Calcular: 1 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
3 Calcular: A = 1 +Tag3.Tang4.Tag5.Tag6
2 5 2 5
A) B) C) D)
3 3 5 2 A) 2 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
EJERCICIOS DOMICILIARIOS 6. En un triángulo rectángulo se cumple
1. Del gráfico; calcular: L = tan.tan que la diferencia de las medidas de la
hipotenusa con uno de los catetos es 8u y con el
otro es 9u. Calcular el valor de la tangente del
mayor ángulo de dicho triángulo.

A) 21/20 B) 21/19 C) 7 D) 5/8 E) 9

2 5 2 1
A) B) C) D)
3 3 5 2
7. Calcular el perímetro de un triángulo
RST, sabiendo que el valor de la tangente del
ángulo opuesto al lado ST es 2,4 y el de la
cotangente del ángulo opuesto al lado RS es
0,75, además RT mide 42cm.

A) 120cm B) 124cm C) 125cm D) 126cm E)

100cm
8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B) se trazan las medianas BM y CN de tal manera
que dichos segmentos se intersectan formando
un ángulo de 90°. Calcular el valor del Seno de
A. (a  b)

2 5 2 3 3
A) B) C) D) E)
3 3 5 3 5
EJERCICIOS DESARROLLADOS
9. Si se cumple que: Sen(3x-17º).Csc(x+13º)=1
1. Desde el pie de un poste, se observa la parte más
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x alta de un campanario con ángulo de 45°; si desde la parte
superior del poste, que tiene 9m de altura, el ángulo de
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 elevación es altura de 30°, ¿cuál es la altura del campanario?
10. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338
m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.
¿Cuánto mide el cateto menor?

A) 13m B) 33,8m C) 50m D) 56,33m E) 55m

SEMANA 04

ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

PROPÓSITO:
Aplicar los triángulos rectángulos en casos de nuestra vida
cotidiana.

MARCO TEÓRICO
Ángulos de elevación y depresión.- son aquellos formados
por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador
y la línea de mira, según que el objeto observado este por
sobre o bajo esta última.

2. Un hombre mide 1,70m de estatura y observa su

sombra a las 4 de la tarde. Asumiendo que amanece a las
6.00 am y que el sol hace un semicírculo sobre el hombre,
¿cuánto mide su sombra?
 EJERCICIOS DOMICILIARIOS
3. Una persona de 2 metros de estatura, ubicada a 32
1. Desde un punto de tierra se observa lo
metros de una torre de 34 metros de altura, divisa la parte
más alta con un ángulo de elevación de: alto de un edificio con ángulo de elevación 37º,
si la visual mide 30 m, determinar la altura de
Solución: edificio.

A) 3 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto

de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si
la altura del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de
32
él se halla la persona?
Se deduce que: 𝑡𝑔𝜃° = 32 → 𝑡𝑔𝜃° = 1 → 𝜃 = 45°
A)18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 32
4. Un niño de 1,5 de altura divisa una piedra en el
suelo con un anulo de depresión de 37°. ¿a qué distancia del 03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre,
niño se encuentra la piedra? se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?
Solución:
Como se forma un triángulo rectángulo decimos:
A)24 B) 36 C) 32 D) 42 E) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si la
altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del
poste se encuentra el punto de observación?

A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

05. Desde dos puntos separados 42 m se observa

1.5 = 3a → a la parte alta de un farol que se encuentra entre
= 0.5 (proporcion ya conocida)
ellos con ángulos de elevación 37° y 45°.
x = 4a = 4 ∗ 0.5 → x = 2m.
Determinar la altura del farol.
5. Desde lo alto y bajo de un muro se observa lo alto
de un poste con ángulo de elevación de 37° y 45° A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
respectivamente, si la distancia entre muro y poste es de 8m,
halle la suma de las alturas.
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la A) ( 3  1)m B) ( 2  1)m
parte alta y baja un poste con ángulos de
elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. C) ( 3  6)m D) ( 3  1)m
Determine la altura del poste.
3. Un asta de bandera está clavada
A) 15 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48 verticalmente en lo alto de un edificio, a 6m de
distancia de la base del edificio, los ángulos de
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una
elevación de la punta del asta y de la parte superior
torre con un ángulo de elevación " 𝜃 " (𝑇𝑔𝜃=1/4).
¿A qué distancia de la torre se halla el punto de del edificio de 60° y 30° respectivamente. Hállese la
observación, si la altura de la torre es 7 m? longitud del asta.

A) 14 B) 28 C) 56 D) 21 E) N.A.
A) 3 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si nos 4. Desde lo alto de un acantilado de 54m de
acercamos una distancia igual a la altura del altura una persona observa a dos barcos que están en
poste, el ángulo de elevación es "𝜃". Calcular: el mar y en una misma dirección de la persona, con
"Tg𝜃". ángulos de depresión de 60° y 45° respectivamente.
Hallar la distancia entre los barcos.
A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
A) 20 3m B) 18(3  3 )m
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste
se ve su parte más alta con un ángulo de C) 17(3  3 )m D) 18(3  2 )m
elevación de 53°. Caminamos 3 m en dirección al
poste y el ángulo de elevación para su parte más 5. Dos aviones se dirigen al aeropuerto de
alta es " 𝜃 ". Calcular: "Ctg𝜃". Pucallpa desde direcciones opuestas y a una misma
altura. El piloto informa que está a 25Km de la torre
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 con un ángulo de elevación 37°; el piloto B informa
que está a 30Km de la torre. Cuál es su ángulo de
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con elevación.
un ángulo de elevación de 37°, luego se acerca 7
m y observa el mismo punto con un ángulo de A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
elevación de 53°. Calcular la altura del árbol.
6. Una torre está al pie de una colina cuya
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 inclinación respecto al plano horizontal es de 15°. Una
persona se encuentra en la colina a 12m de la base
EJERCICIOS DOMICILIARIOS de la torre y observa la parte más alta de está con un
ángulo de elevación de 45°. Cuál es la altura de la
1. Calcular la altura de un árbol en el momento torre.
que el sol proyecta con el árbol un ángulo de 30° y su
sombra mide 18m. A) 8 3m B) 2 3m C) 3 3 D) 6 6m
E) 10 3m
A) 12 m B) 14 m C) 15 m D) 10,38 m E) 10,28
m 7. Un niño ubicado en la orilla de un río observa un
árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un
2. Un reflector en la plaza de Pucallpa situado al ángulo de 60°, se aleja 40m y este ángulo mide
ras del suelo ilumina un monumento bajo un árbol de 30°. Cuál a altura del árbol.
30°, si trasladamos el reflector a 2m más cerca del
monumento, éste se ve bajo un ángulo de 45°,
calcular la altura del monumento. A) 20 3m B) 12 3m C) 13 3
 D) 9 6m E) 10 3m SEMANA 05

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

8. Desde un punto situado a 80m, medidos sobre
una horizontal del pie de un edificio, el ángulo de PROPÓSITO:
elevación es de 60°, hallar la altura del edificio.
Comprender las identidades trigonométricas básicas,
reconociendo las formas alternativas de cada una y
empleándolas en la comprobación de diversas
A) 40 3m B) 25 3m C) 80 3m
identidades.

D) 30 6m E) 33 3m MARCO TEÓRICO

9. Cuando observamos una torre desde un punto

situado 2m, más que su altura, el ángulo de
elevación es " " pero si observamos de otro
punto distante 2m, menos que su altura, el
ángulo de elevación es de "2 " . Calcular la
altura de la torre.

A) 20 3m B) (1  7 )m C)
(3  3 )m

D) (3  2 )m E) (2  3 )m

10. Un hombre que mide 1.70 de estatura observa

su sombra a las 4:00 p.m de la tarde, asumiendo
que amanece a las 6 a.m y que el sol hace un
círculo sobre el hombre. Cuánto mide su sombra. CASOS

I. Ángulos cuyas medidas están en <90° ; 360°>: En

este caso, el ángulo original "𝛼" se descompone como la
suma o resta de un ángulo cuadrantal (90° ; 180° ; 270° ó
A) 1.54m B) 1.67m C) 2.00m D) 2.55m E) 2.94m
360°) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
11. Una torre de 15m de altura está en el borde de un
acantilado. Desde un punto del plano horizontal
que pasa por la base del acantilado, las
elevaciones angulares de las partes superior e
inferior de la torre, se observa que son "α" y "β",
siendo tgα=1,26 y tgβ=1,185. Hállese la altura del
acantilado.
Donde el signo (±) que deberá anteponerse al resultado
dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original
a) 227m b) 237m c) 247m d) 257m e) 273m " 𝛼 ".
 EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Reducir al primer cuadrante: Cos4910°

Solución:
Dividimos entre 360°, entonces nos queda 230° de residuo,
luego: Cos230°=Cos(180°-50°)
Entonces: Cos4910°=-cos50°

II. Ángulo cuya medida es mayor que 360°: En este EJERCICIOS DE APLICACIÓN
caso, se procede de la siguiente manera:
1. Sean  y  las medidas de dos ángulos
complementarios en un triángulo.

Por ejemplo, calculemos:

III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la

siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx

Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx

Por ejemplo, calculemos:

EJERCICIO 5:
 6. Simplificar:
Sen(120º )  Cos(210º )  Sec 300º es:
E
Tg (135º )  Sec(225º )  Sec( 315º )

A) 2 B) -3 C)-6 D)-1 E) -23

7. Si se sabe que:
Sen(  5).Sec(2  20)  1  0 . Calcular
el valor de θ

A) 35° B) 25° C) 15° D) 10° E) 5°

8. Calcular el signo de:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Sen300º.Cos100º.Tg200º
1. Sean  y  las medidas de dos ángulos K=
Sec100º Csc340º
complementarios en un triángulo.
Sen(90   ).Cos(90   ) A). + B) – C) + y – D) + ó –
Si Cos  ,
Sen2   Cos 2
Calcular Tg 2 . 9. Calcular el signo de:

A)
1
B)
5
C)
3
D)
2
E)
1 Sen3 260.Ctg115.Cos3 116
8 3 5 5 3 E=
Csc195.Tg336

2. Simplificar: 16Tg2397º-9Sec4210º - (2Ctg

A) + B) – C) + y – D) + ó –
315º)3
10. Calcular el valor de:

A) 0 B) 1 C) – 10 D) -13 E) -24 2Sen180  Cos0  Tg 360

3. Calcular el valor de E
Csc 270  Sec180
Sen1  Sen2  .........  Sen89
M 
Cos1  Cos 2  .........  Cos89 A) 0 B) 1 C) ½ D) –1/2 E) –1

EJERCICIOS DOMICILIARIOS
1 2
A) B) 1 C) 2 D) E) 5
8 5 1. Indicar el signo de:
Tg332º.Tg4130º.Csc5210º.Sen4180º
4. Para un ángulo β se cumple:
Cos(60   )  Sen(70  3 ) A) + D) – C) + y – D) + ó –

E) No tiene
A) 15° B) 35° C) 10° D) 20° E) 25|
5. La simplificación de 2. Calcular el valor de:
Sen(180  x) Tg (180  x)
M  
Cos(90  x) Ctg (270  x) 3 cos 180  Sen0  Ctg90
E
Sen270  Tg180

A) 2 B) 7 C) 6 D) 8 E) 12 A) 1 B) 0 C) 3 D) –3 E) –1
3. Si sen(270°+q)csc(180° – q)=3, calcule SEMANA 06
csc2q.
A). FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
DE DOS ARCOS

A) 5 B) 17 C) 26 D) 10 E) 37 Sen(𝛼 + 𝛽 ) = Sen 𝛼. Cos 𝛽. + Senβ. Cos 𝛼

4. Calcule el máximo valor de la expresión. Cos(𝛼 + 𝛽 ) = Cos 𝛼. Cos 𝛽 − Sen 𝛼. Sen 𝛽.

2cos(270°– q)+3sen(180° – q)+4sen(90°+q) 𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽
Tg(α + β) =
1 − 𝑇𝑔𝛼. 𝑇𝑔𝛽
A) 10 B) 4 C) 17 D) 5 E) 2 3
B). FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA
5. Calcule el valor de la expresión. RESTA DE DOS ARCOS
sen1110°+cos1500°
𝐒𝐞𝐧(𝜶 − 𝜷) = 𝐒𝐞𝐧 𝜶. 𝐂𝐨𝐬 𝜷. − 𝐂𝐨𝐬 𝜶. 𝐒𝐞𝐧𝛃
1+√3 1−√3
A) B) – 1 C) D) −3 E) 1
2 2 𝐂𝐨𝐬(𝜶 − 𝜷) = 𝐂𝐨𝐬 𝜶. 𝐂𝐨𝐬 𝜷 + 𝐒𝐞𝐧 𝜶. 𝐒𝐞𝐧 𝜷.

𝑡𝑔𝛼 − 𝑡𝑔𝛽
Tg(α − β) =
1 + 𝑇𝑔𝛼. 𝑇𝑔𝛽

𝐶𝑡𝑔𝛼. 𝐶𝑡𝑔𝛽 + 1
Ojo: Ctg(α ± β) =
𝐶𝑡𝑔𝛽 ± 𝐶𝑡𝑔𝛼

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Efectúa:

𝑇 = 𝑠𝑒𝑛8. 𝑐𝑜𝑠22 + 𝑐𝑜𝑠8. 𝑠𝑒𝑛22

√3
A) 1 B) 1/2 C) D) 1/3 E) 3/4
2

2. Calcula:
𝐼 = 𝑠𝑒𝑛4. 𝑐𝑜𝑠2 − 𝑐𝑜𝑠4. 𝑠𝑒𝑛2

A) sen6 B) 1 C) sen2 D) 1/3 E) 3/4

3. Calcula:

𝑀 = 𝑐𝑜𝑠40. 𝑐𝑜𝑠13 − 𝑠𝑒𝑛40. 𝑠𝑒𝑛13

A) 4/5 B) 2/3 C) 1/3 D) 7/12 E) 3/5

4. Efectúa:
𝑅 = 𝑐𝑜𝑠80. 𝑐𝑜𝑠50 + 𝑠𝑒𝑛80. 𝑠𝑒𝑛50

√3
A) cos130 B) sen130 C) sen10 D) E) 1/2
2

5. Calcular:

𝑡𝑎𝑛70−𝑡𝑎𝑛10
𝐴=
1+𝑡𝑎𝑛70.𝑡𝑎𝑛10

√3 √3 √2
A) √3 B) √2 C) D) E)
3 2 2
6. Reduce la siguiente expresión: 5. Efectúa:

𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝑦) 𝑅 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑦

𝐴= − 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑦
A) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 B) 0 C) 1 D) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 E) 𝑠𝑒𝑛2 𝑦
A) 0 B) tany C) tanx D) 2tanx E) -2tangx
3 5
7. Si 𝑡𝑎𝑛𝛼 = ; 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
4 12
SEMANA 07
Calcular: tan(𝛼 + 𝜃)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO DOBLE
A) 37/33 B) 59/31 C) 56/33 D) 7/24 E) 8/31 Y ANGULO MITAD
3 1
8. Si 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 4 ; 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 4 I). FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO
Calcular: tan(𝛼 − 𝛽) DOBLE

1.- Seno de 2𝛼:

A) 17/19 B) 11/19 C) 13/19 D) 14/19 E)8/19
𝑆𝑒𝑛 2𝛼 = 2𝑆𝑒𝑛𝛼. 𝐶𝑜𝑠𝛼
2.- Coseno de 2𝛼:
9. Calcula:
𝐶𝑜𝑠 2𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑆𝑒𝑛2 𝛼
𝑀 = 𝑠𝑒𝑛27. 𝑐𝑜𝑠10 + 𝑐𝑜𝑠27. 𝑠𝑒𝑛10 𝐶𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 2𝑆𝑒𝑛2 𝛼 … … … … . (𝐼)
𝐶𝑜𝑠 2𝛼 = 2𝐶𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 … … … . (𝐼𝐼)
A) 2/3 B) 4/5 C) 3/2 D) 3/5 E) 1 3.- Tangente de 2𝛼:
10. Efectúa: 2𝑇𝑔𝛼
𝑇𝑔 2𝛼 =
𝑡𝑎𝑛20 + 𝑡𝑎𝑛17 1 − 𝑇𝑔2 𝛼
𝑀=
1 − 𝑡𝑎𝑛20. 𝑡𝑎𝑛17 Del triángulo rectángulo:
2𝑇𝑔𝛼
∗ 𝑆𝑒𝑛 2𝛼 =
A) 2/3 B) 3/5 C) 3/2 D) 4/5 E) 3/4 1 + 𝑇𝑔2 𝛼

EJERCICIOS DOMICILIARIOS 1 − 𝑇𝑔2 𝛼

∗ 𝐶𝑜𝑠 2𝛼 =
1 + 𝑇𝑔2 𝛼
1. Simplificar:  𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:
∗ 𝐶𝑡𝑔𝛼 + 𝑇𝑔𝛼 = 2𝐶𝑠𝑐2𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) ∗ 𝐶𝑡𝑔𝛼 − 𝑇𝑔𝛼 = 2𝐶𝑡𝑔2𝛼
𝑀= − 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑇𝑔2𝛼
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦
∗ 𝑆𝑒𝑐2𝛼 + 1 =
𝑇𝑔𝛼
∗ 𝑆𝑒𝑐2𝛼 − 1 = 𝑇𝑔2𝛼. 𝑇𝑔𝛼
A) Tanx B) cosy C) Cotx D) senx E) seny ∗ 8𝑆𝑒𝑛4 𝛼 = 3 − 4𝐶𝑜𝑠2𝛼 + 𝐶𝑜𝑠4𝛼
∗ 8𝐶𝑜𝑠 4 𝛼 = 3 + 4𝐶𝑜𝑠2𝛼 + 𝐶𝑜𝑠4𝛼
3 + 𝐶𝑜𝑠4𝛼
2. Calcular: ∗ 𝑆𝑒𝑛 4 𝛼 + 𝐶𝑜𝑠 4 𝛼 =
4
6 6
5 + 3𝐶𝑜𝑠4𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 + 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
8
𝐴=
cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)
II). FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO
MITAD
A) 2 B) tanx C) 1 D) tan(x + y) E) tany 𝛼
1.- Seno de 2 :
3. Calcula:
𝐴 = √2 cos(∝ +45) + 𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝛼
2𝑆𝑒𝑛2 = 1 − 𝐶𝑜𝑠𝛼
2
A) 2 B) sen∝ C) -2 D) 0 E) cos∝ 𝛼 1 − 𝐶𝑜𝑠𝛼
𝑆𝑒𝑛 = ±√
2 2
4. Si: x-y=60
Calcular:
𝑀 = (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)2 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦)2 𝛼
2.- Coseno de :
2

A) 2 B) 8 C) 3 D) 0 E) 5
 𝛼
2𝐶𝑜𝑠 2 = 1 + 𝐶𝑜𝑠𝛼
2 8. Si: 𝑐𝑜𝑡𝜃 = √7 ; calcula:
𝛼 1 + 𝐶𝑜𝑠𝛼
𝐶𝑜𝑠 = ±√
2 2 𝐿 = 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 3

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
EJERCICIOS DE CLASES
9. Calcula:
𝐿 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠2𝜃. 𝑐𝑜𝑠4𝜃
𝜋
Si: 𝜃 = 24
1+𝑐𝑜𝑠20
1. Al reducir la expresión 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛20 se obtiene:
A) 2−1 . √3 B) 2−2 . √3 C) 2−3 . √3 D) 2−4 . √3 E)
A) Tan10. B) cot10. C) tan20. D) cot20. E) tan15. 2−5 . √3

2. Calcula
10. Calcula:
𝑠𝑒𝑛2𝑥, 𝑠𝑖: 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 5
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠2𝛽. 𝑐𝑜𝑠4𝛽. 𝑐𝑜𝑠8𝛽
Si: 32𝛽 = 𝜋
A) 1/2 B) 2/5 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/6

1 1 √3 √3 1
A) B) ) C) ) D) E)
3. Resuelve: cos2x +2cosx+1=0 4 8 4 8 16

EJERCICIOS DOMICILIARIOS:
A) π B) π/3 C) π /4 D) π /5 E) π /6
1. Calcular un valor agudo de “x” que cumple:
4. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
𝐸 = 8𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒4𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2 + sen2
𝐶=
𝑠𝑒𝑛 + cos
A) sen B) cos C) 2sen D) 2cos
A) sen8x B) cos4x C) 0,5sen8x D) 2sen8x E) E) 2
2sen4x
2. Reduce:
.
𝜃
5. Calcula 𝑐𝑜𝑠 2 sabiendo que: 1𝑐𝑜𝑠2 − sen2
𝐶= + 𝑐𝑜𝑠
2𝑠𝑒𝑛
1 𝜋
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4, 𝜃 ∈ 〈0; 2 〉

A) 1 B) sen C) 2sen D) sen2 E) 1 + sen2

√10 1
A) B) √10 C) 4 D) √5 E) √2 1
4 3. Si: 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 3, calcula sen3x
𝛼
6. Calcula 𝑐𝑜𝑠 2 sabiendo que:
1 5𝜋 22 23 22 23
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 8, 𝛼 ∈ 〈2𝜋; 〉 A) 1 B) C) D) - E) -
2
27 27 27 27
1
4. Si: 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4, calcula cos3x
−√7
A) – 1/4 B) −√7 C) D) −√7 E) A) 3/4 B) -11/16 C) 11/16 D) -3/4 E) 11/64
4
1/4
5. Si: 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2, halla tan3x
2
7. Si: 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 3; calcula:
A) 6 B) 11/2 C) 1/6 D) 2/11 E) - 11/2
𝐶 = 13𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 1

A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17
 SEMANA 08

Resolución de triángulos rectángulos

Cuando en un triángulo rectángulo se conoce uno de sus

lados y uno de sus ángulos agudos, es posible determinar
sus otros dos lados así como también su otro ángulo
agudo.

Se presentan 3 casos:
Caso I
Conocidos la hipotenusa (a) y un ángulo agudo (𝜃) Caso II

Caso II
Conocidos un ángulo agudo (𝜃) y su cateto opuesto (a)
Caso III

Caso III
Conocidos un ángulo agudo (𝜃) y su cateto adyacente (a)

Ejemplos resueltos

1. Del gráfico, halla x.

Recuerda

2. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos son

iguales a la base menor y forman un ángulo agudo q
Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: con la base mayor. Si la base menor mide L, ¿cuál es
el perímetro del trapecio?
Caso I
 EJERCICIOS DE CLASES

1. Del gráfico, halla x.

A) mcsc 𝜃 B) mtan 𝜃 C) mtan2 𝜃

3. Del gráfico, obtén x en función de R y q, (O centro de D) mcot2 𝜃 E) mcsc2 𝜃
la circunferencia).

2. Del gráfico, halla x.

A) 1 B) asen 𝜃 C) 4 D) a E) sen 𝜃

3. Del gráfico, halla a.

4. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se sabe que

los ángulos congruentes miden a, mientras que el lado
desigual mide L. Halla uno de los lados congruentes.

A) 9 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

4. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide

𝜃 y el cateto opuesto a dicho ángulo mide L. Halla la
hipotenusa.

A) Ltan 𝜃 B) Lcot 𝜃 C) Lsec 𝜃 D) Lcsc 𝜃 E)

Lcos 𝜃
5. Del gráfico, halla x.
5. Obtén x en:

A) msen 𝛼 B) mcos 𝛼 C) msec 𝛼 D)

mcsc 𝛼 E) mtan 𝛼

6. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos

agudos mide 𝛽 , y el cateto adyacente a él mide L.
Expresa el área de la región triangular en términos
de 𝛽 y L.

𝐿2
A) 𝐿2 𝑡𝑎𝑛𝛽 B) 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝛽 C) 𝐿2 𝑐𝑜𝑡𝛽 D) 𝑡𝑎𝑛𝛽
2
𝐿2
E) 2 𝑐𝑜𝑡𝛽
7. Del gráfico determina x. 2. Halla BC en función de “a” y “m”.

A) msen𝛽 sen 𝛼 B) msen𝛽 sec 𝛼

C) mcos𝛽 sen 𝛼 D) msen𝛽 sec𝛽 A) msen 𝛼 cos 𝛼 B) msen 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
E) mcos𝛽 sec 𝛼 C) m𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 D) m𝑠𝑒𝑛 2 𝛼 cos 𝛼
E) msen 𝛼 cot 𝛼
8. Del gráfico, halla x.
3. Del gráfico, halla x.

A) Rcot 𝜃 B) Rtan 𝜃 C) R(cot 𝜃 + 1)

D) R(tan 𝜃 + 1) E) R(sen 𝜃 + 1)
A) 18 B) 14 C) 16 D) 15 E) 12
9. Del gráfico, halla x.
4. Del gráfico, halla x.

A) n(cos 𝛼 - sen 𝜃 ) B) n(cot 𝛼 - sen 𝜃 )

A) 8 √3 B) 6 √3 C) 6 D) 10 E) 9
C) n(cot 𝛼 - tan 𝜃 ) D) n(tan 𝛼 - tan 𝜃 )
E) n(cot 𝛼 - cot 𝜃 ) 5. Del gráfico, halla x.

10. Halla “x” en términos de “r” y “𝜃 ”.

A) 15 B) 16 C) 18 D) 12 E) 14
A) r(cos 𝜃 - 1) B) r(csc 𝜃 - 1) C) r(sec 𝜃 - 1)
D) r(sen 𝜃 - 1) E) r(cot 𝜃 - 1)

EJERCICIOS DOMICILIARIOS:

1. Determina BC en términos de “𝛼”.

A) 5𝑠𝑒𝑛2 𝛼 B) 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 C) 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 D) 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 E)

5𝑠𝑒𝑐 2 𝛼
SEMANA 9
𝐴+𝐵
𝑎 + 𝑏 𝑡𝑔. ( 2 )
RESOLUCIONES DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS =
𝑎 − 𝑏 𝑡𝑔. (𝐴 − 𝐵 )
1.- LEY DE SENOS. 2

Se aplica cuando se conocen las medidas de: 𝐵+𝐶

*Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos *Dos 𝑏 + 𝑐 𝑡𝑔. ( 2 )
ángulos y un lado. =
𝑏 − 𝑐 𝑡𝑔. (𝐵 − 𝐶 )
2

𝐴+𝐶
𝑎 + 𝑐 𝑡𝑔. ( 2 )
=
𝑎 − 𝑐 𝑡𝑔. (𝐴 − 𝐶 )
2

𝑺𝒆𝒏 (𝑨) 𝑺𝒆𝒏 (𝑩) 𝑺𝒆𝒏 (𝑪) EJERCICIOS DE CLASES

= =
𝒂 𝒃 𝒄 1. De la figura, calcula el valor de a.

A) √13 B) 5 C) 7 D) √8 E) 1

2. Halla la medida del lado BC.

2.- LEY DE COSENOS.

A)5/24 B) 24/5 C) 4 D) 4/3 E) 3/4
Se aplica cuando se conocen las medidas de:
* Los tres lados.
3. Calcula el valor de cosA.
* Dos lados y el ángulo comprendido por ellos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. 𝐶𝑜𝑠(𝐵)
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. 𝐶𝑜𝑠(𝐶)

𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑎2
𝐶𝑜𝑠 (𝐴) =
2𝑏𝑐
A) 23/31 B) 17/19 C) 19/24 D) 23/32 E) 25/32
𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2
𝐶𝑜𝑠 (𝐵) =
2𝑎𝑐
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2
𝐶𝑜𝑠 (𝐶 ) =
2𝑎𝑏

3.- LEY DE TANGENTES

 4. Determina el senB
9. De la figura, calcula: cosB

A) 13/17 B) 9/13 C) 9/5 D) 12/5 E) 11/9 A) 1/16 B) 1/11 C) 5/3 D) 16/11 E) 11/16
10. Halla c.
5. Aplica la ley de proyecciones y calcula el valor de
b.

A) 21 B) 16 C) 19 D) 23 E) 12 √3
A) 10 B) C) 5/3 D) 16/11 E) 11/16
3
6. Calcula la longitud de AB.
EJERCICIOS DOMICILIARIOS

1. Halla el coseno del menor ángulo de un

triángulo cuyos la dos son proporcionales a 7; 8 y 13.

A) 17/26 B) 23/26 C) 17/23 D) 19/23 E)

19/26
A) √2 B) 2√3 C) 4√5 D) √5 E) 9
2. En un ∆ABC se cumple que:
7. Calcula la medida del lado AB de la figura.
𝑎 𝑏 𝑐
= =
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶

A) 45° B) 30° C) 90° D) 60° E) 135°

3. En un triángulo PQR, se sabe p = 3; r = 2,

además m<P = 2m<R.
Halla el valor de q.
A) 7 B) 10 C) 12,5 D) 12 E) 24
A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 3 E) 7/2
8. Resuelve un triángulo ABC, 𝑎 = √2; B=60 y
A=45. Halla el valor de b. 4. Del siguiente gráfico:

√6 √6−√2 √6+√2 √2 A) 11/3 B) 2 C) 7/5 D) 13/3 E) 15/4

A) B) C) D) E) √3
2 2 2 2
5. Simplifica la siguiente expresión:

𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝐶𝑂𝑆𝐵
𝑀=
𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵
A) 𝜋 m B) 3 𝜋 m C) 5 𝜋 m D) 25 𝜋 m
E) 5𝜋 m

7. Calcula x + y.

A) 9 B) 5/7 C) 7 D) 11/7 E) 5

SEMANA 10

MISELANEA A) 20 B) 36 C) 42 D) 35 E) 21

1. Convierte 80𝑔 a radianes. 8. Halla x + 1.

3𝜋 8𝑟 4𝜋 2𝜋
A) 𝑟𝑎𝑑 B) 𝑟𝑎𝑑 C) 𝑟𝑎𝑑 D) 𝑟𝑎𝑑
5 5 5 5
𝜋
E) 𝑟𝑎𝑑
5

2. Convierte 160𝑔 a radianes.

8𝜋 6𝜋 3𝜋 4𝜋
A) 𝑟𝑎𝑑 B) 𝑟𝑎𝑑 C) 𝑟𝑎𝑑 D) 𝑟𝑎𝑑
5 7 5 5 A) 49 B) 22 C) 50 D) 48 E) 8
6𝜋
E) 𝑟𝑎𝑑
5
9. Calcula:

3. Un ángulo mide 70𝑔 y su suplemento (11x +7)°. 3

P = √19 + 4√3csc60°
¿Cuál es el valor de x?

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
A) 3 B) 6 C) 9 D) 5 E) 10
10. Martín observa la parte superior de un muro con un
4. Halla la longitud del arco. ángulo de elevación 𝜃. Cuando la distancia que los
separa se ha reducido a su tercera parte, el ángulo
de elevación se ha duplicado. Calcula la medida
del ángulo 𝜃.

A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

11. Si a 20 m de un poste se observa su parte

A) 8 𝜋 cm B) 6 𝜋 cm C) 10 cm D) 12 cm superior, con un ángulo de elevación de 37°,
E) 7 𝜋 cm luego nos acercamos una distancia igual a
su altura, siendo el nuevo ángulo de
5. En un sector circular el ángulo central mide 62𝑔 y elevación 𝜃 . Calcula tan 𝜃 .
el radio 1 m. ¿Cuánto mide el arco?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) 𝜋 cm B) 30 𝜋 cm C) 62 𝜋 cm
D) 31 𝜋 cm E) 54 𝜋 cm
12. Desde un punto en el suelo se ubica la parte
superior de un árbol con un ángulo de
6. Halla la longitud del arco. elevación de 37°, nos acercamos 5 m y el
nuevo ángulo de elevación es 45°, halla la
altura del árbol.

A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 15 m E) 18 m
 13. Calcula:

𝑐𝑜𝑠330. 𝑐𝑜𝑡300. 𝑐𝑠𝑐135

𝑃=
𝑠𝑒𝑐315. 𝑠𝑒𝑛300. 𝑡𝑎𝑛330

A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) ½

14. Efectúa:

𝑅 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑦

A) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 B) 0 C) 1 D) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 E) 𝑠𝑒𝑛2 𝑦

1
15. Si: 𝑐𝑜𝑠𝑥 = , calcula cos3x
4

A) 3/4 B) -11/16 C) 11/16 D) -3/4 E) 11/64

16. Halla BC en función de “a” y “m”.

A) msen 𝛼 cos 𝛼 B) msen 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

C) m𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 D) m𝑠𝑒𝑛2 𝛼 cos 𝛼
E) msen 𝛼 cot 𝛼

17. Simplifica la siguiente expresión:

𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝐶𝑂𝑆𝐵
𝑀=
𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵

A) 9 B) 5/7 C) 7 D) 11/7 E) 5