SEMANA 3 RESOLUCIÓN

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS I

1. En un triángulo rectángulo ABC

(A = 90º) , se cumple:
cotC+ cotB=4. Calcule:
M = 16senB.senC.cosB.CosC.

1 1
A) B) C) 1
4 2 Si: a − c = 21
D) 2 E) 4 7k = 21
k =3
RESOLUCIÓN
Se pide: 2p = 13k + 5k + 12k
= 90
RPTA.: D
cotC + cotB = 4
3. En un triángulo rectángulo si la
b c
⇒ + =4 hipotenusa es el doble de la media
c b geométrica de los catetos. Calcule
la suma de las tangentes
trigonométricas de los ángulos
→ b2 + c2 = 4bc agudos del triángulo.
Pero: b2 + c2 = a2 ⇒ a2 = 4bc
 b  c  c  b  A)2 B) 3 C) 4
Luego: M = 16     D)5 E) 6
 a  a  a  a 
 b2.c2   b2c 2  RESOLUCIÓN
⇒ M = 16 4  = 16 
2 2 
 a   16b c 
Si: c = 2 ab
β
∴M = 1
RPTA.: C Si pide:
E = tgα + tgβ
α
2. En un triángulo rectángulo a b a2 + b2
E= + =
ABC (B = 90º ) si: b a ab
5 Pero:
tgC = ; a − c = 21 a² + b² = c²
12
Calcular el perímetro del triángulo 4ab
→ E= = =4
ab
A) 90 B) 120 C) 150 RPTA.: C
D) 75 E) 136
4. En la figura adjunta se cumple
AB BC
que: =
4 3

Calcular: ctgθ − csc φ

φ
θ
 3 5 7 6. En un triángulo rectángulo
A) B) C) ABC (C = 90º )
4 4 4
∧ ∧ ∧ ∧
9 11 2
D) E) Si: senB+ sec A = + sen A .ctgB
4 4 3
Halle: E = ctg²B + sec²A
RESOLUCIÓN
A) 13 B) 15 C) 17
D) 19 E) 21
AB BC
Si = ⇒ AB = 4k
4 3 RESOLUCIÓN
BC = 3K
DCB:
(BD)2 = (12)2 + (3k )2...(1)
DBA:
(13)2 = (BD)2 + (4K )2...(2) 3

(2) + (1) ⇒ (13) = (K ) + (12 ) + ( 4K ) + (3K )

2 2 2 2 2

2 2

25 = 25K ⇒ K = 1
2

12 12
ctgθ = = =4
BC 3
2
13 13 13 senB + secA = + senActgB
csc φ = = = 3
AB 4 4
13 3 b c 2 a a
−ctg ( θ ) − csc ( φ ) = 4 − = + = + .
4 4 c b 3 c b

RPTA.: D b2 + c2 − a2 2 2b2 2
= → =
bc 3 bc 3
5. Si: sen(x + 10º) = cos(x + 40º)
Halle:
E = tg3x + 4 3 i sen(x + 10º ) c2 = b2 + a2

b 1
A) 3 B) 2 3 C) 3 3 → =
c 3
D) 4 3 E) 5 3 2 2
2 2 
Ε=  +  3 
 1  1
 
RESOLUCIÓN
Ε = 8 + 9 = 17
Dato: 2x + 50º = 90º ⇒ x = 20º RPTA.: C

Se pide: 7. En un triángulo rectángulo ABC

(B = 90º ) se cumple que:
Ε = tg60º+4 3sen30º ∧
1 ∧
sen A + senC− 1 = 0
1 2
Ε = 3 + 4 3. ∧ ∧
2 Halle: Ε = tg A + csc C− 2
Ε=3 3
RPTA.: C A) 0 B) -1 C) -2
D) 2 E) 1
 RESOLUCIÓN Luego:
1
∴b2 = c2 + a2
M = sen30º− cos 60º+ tan 36º. tan 54º
1 cot36º
Dato: senA + senc = 1 ∴M=1
2
2a 1 c RPTA.: C
+ =1
2b 2 b
9. En la figura calcule “tgα”;
2a + c = 2b → c = 2(b − a)
(
c ( a + b ) = 2 b2 − a2 ) Si: AM = MB
c(a + b ) = 2(c )(c )
∴ a + b = 2c A
α

Ε = tgA + csc C − 2
a b M
Ε = + −2
c c
a+b 2c α
Ε= −2 ∴Ε = −2
c c B C
Ε=0 1 1 1
A) B) C)
RPTA.: A 3 2 5
1 3
D) E)
7 2
θ
8. Si: senθ − cos =0 ∧
2 RESOLUCIÓN
θ + α θ + α A
tan  − cot =0 α
 3   2  m

Calcule: M

m
θ θ + α α
M = sen  − cos θ + tan 36º. tan  B m’ C
2  2 
ABC ⇒
1 m'
A) 0 B) C) 1 tgα = ...(1)
2 2m
2 3
D) 2 E)
3 MBC ⇒
RESOLUCIÓN m
tgα = ...(2)
m'
θ + α θ + α θ+α θ+α
tan  = cot ⇒ + = 90º (1) = (2)
 3   2  3 2
m' m 1 1 m
= ⇒ m⇒ = = tgα
5 2m m' 2 2 m'
⇒ (θ + α ) = 90º ⇒ θ + α = 108º 1
6 tgα =
θ θ 2
senθ = cos ⇒ θ + = 90º ⇒ θ = 60º
2 2 RPTA.: D
 10. Halle: A) 2 3 B) 3 3 C) 3
Ε = tg10º tg20º tg30º...tg80º D) 3 / 6 E) 3 /9

A) 1 B) 0 C)2 RESOLUCIÓN
D) -1 E)-2 B
2n 4n
60º 60º
RESOLUCIÓN 4n n 30º
M
Ε = tg10º tg20º tg30º tg40º...tg80º n 3
60º 2n
Ε = tg10º tg20º tg30º tg40º ctg40º ctg30º...ctg10º 30º n
α α 30º
A C
2n 3 n 3 P n 3
E=1 3n 3

RPTA.: D
3n 3
APM : ctgα =
11. Del gráfico halle: n

W = senφ − cos φ ∴ ctgα = 3 3

RPTA.: B

13. Si CD = 3AD, halle: tgθ

(tomar: sen37º=0,6)
φ
7 23 θ
A)1 B) C)
17 17
−7 − 23
D) E)
17 17 53º
A D C
RESOLUCIÓN 1 1 3
A) B) C)
16 8 8
→ W = senφ − cos φ = ? 3 1
D) E)
8 15 16 4
⇒ W= −
17 17
−7 6
∴ W=
17 RESOLUCIÓN
15 53º
127º 8 θ
10
9 9K
37º 12K
φ
5K 15K 53º
17
A 53º D C
RPTA.: D 4K
3K
12. Halle “ctgα” del gráfico, si:
3k 3
AB = BC Se pide: tgθ = =
16k 16
RPTA.: D

α
14. Si el triángulo ABC es equilátero.
Determine tgα. 2
∴ senθ =
2
2 M 4 B
C

6
α N

3
3 3 3
A) B) C)
5 6 7 D 6 A
3 3
D) E) RPTA.: A
8 9
16. Halle tgx, si ABCD es un cuadrado.
RESOLUCIÓN
B
60º

3a = 6k
8k

60º k 3 30ºa = 2k
α 60º
A 7k k C 1 1 3
A) B) C)
16 8 16
k 3 3
tgα = = 5 7
7k 7 D) E)
RPTA.: C 16 16

15. Si ABCD es un cuadrado y RESOLUCIÓN

BM=2CM, BN=NA. Calcule sen θ. 16
A B
x

13 37º
∴Tgx =3/16

16

3 53º

53º
θ 37º
D 12 C
4 RPTA.: C

2 3 5 17. De la figura, calcule: ctg φ

A) B) C)
2 3 5
A)1
7 10
D) E) B)2
7 10 C)3
D)4
RESOLUCIÓN E)5
2 10.3 5 2.6 3.6 4.3 φ
senθ = 62 − − −
2 2 2 2
15 2senθ = 15
 RESOLUCIÓN A)1 B)2 C) 3
D)4 E)5

RESOLUCIÓN
Como: sen (50º + x ) = cos(40º −x)

2
2
Entonces:
2

2
tan(x + 10º ). tan(x + 40º ) = 1
φ ⇒ tan(x + 10º ) = cot(x + 40º )
⇒ x + 10º + x + 40º = 90º
ctgφ = 3 ∴ x = 20º
RPTA.:C Luego: M = sec 60º+ cot 2 30º = 2 + ( 3)2

∴M = 5
18. Del gráfico. Halle:
RPTA.: E
W = sec2 θ + tg2 θ
20. Siendo “α” y " β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que:
θ
cos 11α. sec β = 1 ∧
cos α. csc β = 1
Halle:
W = tg(α + 37º30').sen(β − 52º30')

1 3
A)1 B) C)
2 2
1
A)5 B) C) 1 3
5 D) 3 E)
7 7 3
D) E)
2 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN Datos:
* W = sec2 θ + tg2 θ = ? i) cos11α.sec β =1→11α= β … (I)
ii) cos α. csc β = 1
2 2
R 3   
→ W=  + R 2 
 R   R 
    sen(90º−α ). csc β → 90º−α = β → α + β = 90º..(II)
∴ W=5
(I)en(II) : α + 11α = 90º → α = 15º = 7º30'
2
R 3
 15º  165º
45º " α" en(I) : β = 11 →β= = 82º30'
θ  2  2
R R 2 Piden:
R
W = tg(α + 37º30').sen(β − 52º30') = ?
1
R ∴ W = tg(45º).sen(30º) =
2

RPTA.: B

RPTA.: A

19. Si se verifica que:

sen(50º +x) − cos(40º −x) +
tan ( x + 10º) .tan(x + 40º ) = 1
 3x 
Determine: M = sec 3x + cot2  
 2 