Estimacion de Recursos

APUNTES DE ESTIMACION DE RECURSOS
Jose Delgado Vega: Doctor en Géologie de lÍngenieur

Introducción
Alcance
Estos apuntes de apoyo a la catedra , resumen una serie de trabajos, de grandes

profesionales especialistas en el tema . Tiene por objetivo que el estudiante pueda
conocer y entender la teoría que esta detrás de una evalución de recursos.
De toda la bibliografía que se nombro , se eligieron para este curso de tipo

introductorio , tema , conceptos , teoría , experiencias , historia , ejercicios prácticos
etc.
Quizás , como toda selección tenga el sesgo del autor que lo recopilo.
Bibliografia
PROFESOR M.ALFARO
“TRABAJOS EN GEOESTADISTICA LINEAL “
G.MATHERON
“La theorie des varibles regionaliseés et ses aplications
Centre de geoestatistique Fontainebleau
CHILES JEAN-PAUL & DELFINER PIERRE (1999)

"GEOSTATISTICS Modeling Spatial Uncertainty"
A Wiley Interscience Publications 1999
EMERY XAVIER & ARNAUD MICHEL (2000)

"Estimation et interpolation spatiale méthodes déterministes
et méthodes géostatistiques" Hermès Sciences Europe 2000 157p
EMERY XAVIER (2007)

“Apuntes de geoestadistica”,
UNIVERSIDAD DE CHILE octubre del 2007.
Margaret Armstrong –Jaques Carignan

“Geostatisitque lineaire Application au domaine minier”
Bibliografia
JOFRE DUBER (2009)

"Curso de categorización de reservas"
Diplomado Internacional en geoestadistica aplicada a la evaluación de recursos mineros 2009 Lima BSGrupo
LE LOC’H, G. (2003)
" Notes de classes de cours de géostatistique"
CFSG, Ecole des Mines de Paris Fontainebleau 2003-2004.
.
KIM, Y.C. & MEDHI P.K. & RODITIS I.S. (1987)
“Performance evaluation of indicator kriging in a gold deposit”
Mining Engineering October 1987 947p
MARCOTTE,D. (2002)
"Notes de classes de cours de Krigeage dÍndicatrices"
http://geo.polymtl.ca/~marcotte/glq3401geo/chapitre7.pdf
Ecole Polytechnique Montreal GLQ3401
ONU (1996):
"Marco Internacional de las Naciones Unidas Para la Clasificación de Reservas/Recursos,
Combustibles Sólidos y Sustancias Minerales"
Versión Definitiva. Establecida y Presentada por el Equipo Especial de las Naciones Unidad. p. 77-88.
Bibliografia
RIVOIRAD,J. (2003) :
"Notes de classes de cours de géostatistique multivariable".
SANS, H.J (2003)

"Workshop on sampling"
CLAYTON DEUTSCH
“Special Topics in geostatistics”
ISAAKS , E.H. and SRIVASTAVA, R.M. (1989)

"An introduction to applied geostatistics "
Oxford University Press, New York. 1989.
DEUTSCH, C.V., JOURNEL A.G. (1998):

“GSLIB: Geostatistical Software Library and User’s Guide”
Second Edition, Oxford University Press, 369 p.
CHICA - OLMO M. (1987)

“Análisis Geoestadístico en el Estudio de la Explotación de Recursos Minerales"
Tesis Doctoral, Universidad de Granada, España, 387 p
XAVIER EMERY
“Apuntes de clase de geoestadística”
Georges Matheron Pierre Gy
Danie G. Krige
Marcos Alfaro
CONFUSION ENTRE CORRELACION Y CAUSALIDAD
NO SOLO LOS CALCULE………….INTERPRETE
LOS ESTADIGRAFOS
Muestreo de exploración (DDH) –
testigos
Muestreo de Pozos de Tronadura
• Pérdida
excesiva de
finos de alta
ley
Muestreo de Carros o Camiones
Muestreo de gruesos
por chips
Muestreo de finos
con poruña
Resumen de errores de muestreo
Optimización del
Protocolo de Muestreo Error Fundamental
Error Segregación
y Agrupamiento
Variabilidad Implementación del
a pequeña Protocolo de Muestreo Error de Delimitación
Contaminación
escala
Error de Extracción Pérdidas
Preservación de
Integridad Errores de Preparación Alteración
de las Muestras
Humanos
Error Analítico Fraude
En Tiempo
Error de Interpolación
En Espacio
Variabilidad
a gran Error de Ponderación
escala
Error Periódico
Sondas de diamantina (DDH)
• Recuperación de testigos de distintos diámetros
• Mapeos geológicos y geotécnicos
Error Fundamental
Calculo de la varianza
del
error fundamental
¿Qué es un programa QA / QC?
Un programa QA/QC está destinado a supervisar las rutinas de

muestreo y desempeño de un laboratorio como un esfuerzo
por controlar (minimizar) posibles errores en la secuencia de
muestreo y análisis químico.
• Análisis de Calidad (QA) : es la información

reunida para demostrar y cuantificar la
confiabilidad en los ensayes.
• Control de Calidad (QC): consiste en los

procedimientos usados para mantener el
nivel deseado de calidad de los ensayes.
Las metas de un buen programa de control de calidad
(QA / QC), son:
• Prevenir el ingreso de grandes errores a la base de

datos utilizadas para modelar.
• Como el control de calidad persigue mejorar la
calidad de los datos, puede tener además un
beneficio indirecto en el proceso de estimación de
los recursos.
• Tales beneficios pueden ser logrados sólo si el
QA/QC es realizados en forma oportuna.
Las metas de un buen programa de control de
calidad (QA / QC)
• El uso de un completo y riguroso programa de

QA/QC es la única medida verdadera de la
precisión y exactitud analítica de un proyecto.
• Un programa de QA/QC está diseñado para
controlar la precisión analítica de un laboratorio,
aún cuando también entregan una medida de la
exactitud del mismo.
Envío de Lotes (Batch)
• Un lote o batch puede ser definido como un

grupo de muestras que son enviadas a
procesamiento a un determinado laboratorio.
Envío de Lotes (Batch)
• Es importante conocer el número de muestras en

cada envío a laboratorio. Los estándares deben
ser enviados en un número y frecuencia suficiente
tal que cada envío a laboratorio contenga al
menos un estándar de mineral, más un blanco,
más un estándar de baja ley o un duplicado de
pulpa.
Tipos de muestras en QA – QC
• Material estándar de referencia: corresponde

a un material de ley conocida. Un ideal de
material estándar tiene una matriz idéntica a
las muestras que están siendo ensayadas,
tienen una baja heterogeneidad, tienen una ley
en el rango usado para la categorización del
mineral, y tiene una reputación por haber sido
preparado cuidadosamente y caracterizado
exactamente.
Tipos de muestras en QA – QC
• Blancos: Los blancos son muestras de material

desprovisto del elemento a ser sometido a
análisis. Ayudan a supervisar la contaminación
sobre impuesta y la pérdida de secuencia
durante la preparación y análisis de muestras.
Tipos de muestras en QA/ QC
◼ Seguimiento de duplicados: es posible medir la

precisión de un laboratorio. Para ello se realiza una
comparación, empleando técnicas gráficas y
estadísticas, entre el valor de la muestra original y el
valor de su duplicado inserto en el mismo batch de
envío a laboratorio.
Herramientas Estadísticas Utilizadas
• Las medidas de tendencia central (media,

mediana) se utilizan para evaluar la exactitud,
mientras que las medidas de dispersión
(desviación estándar, desviación estándar
relativa, varianza) son usadas para hacer
estimaciones de la precisión.
Procedimientos y Criterios empleados
en un proceso de control de calidad
• Un aspecto crítico de un programa de control
de calidad es el proceso de tomar decisiones de
aceptar o rechazar la información de
laboratorio. A menudo la información es
revisada por lote; pero un lote puede constituir
el trabajo completo de un laboratorio. Por lo
tanto, rara vez es necesario rechazar un trabajo
completo; al contrario, todos los lotes
individualmente están bajo condiciones
ideales, y ocasionalmente necesitarán ser
rechazados.
Procedimientos y Criterios utilizados en
un programa QA/QC:
• Los análisis de duplicados realizados sobre
rechazos, no debieran exceder el 20% de error
relativo. Esto es
• | (A – B) / 0.5 * (A + B) | < 0.2
• Los análisis de duplicado realizados sobre pulpas

(fino) no debieran exceder +/- 10% de error relativo.
Esto es
• | (A – B) / 0.5 * (A + B) | < 0.1

CONCEPTOS GENERALES
El modelo de bloque:
Es un modelamiento tridimensional que consiste en discretizar virtualmente el

yacimiento en cientos de paralelepípedos (bloques), con características que van de
acuerdo al sistema de explotación a utilizar, la cual permite representar características
y propiedades del yacimiento
La información topográfica
La escala de los planos esta en función del detalle que de el

se desee y para que trabajo,
Información de sondajes
la información básica de los sondajes , es el

nombre alfanumérico del collarín , además la
localización referida a un sistema local o UTM y
el largo del sondaje .En la figura se muestra una
distribución de sondajes
Información de las muestras
Atendiendo un protocolo de muestreo, cada muestra debe

ser identificada y analizada por los elementos a estudiar ,
estos quedan definido por la pasta principal o por una
secundaria que pueda presentar interés económico , además
se pueden establecer las litologías o cualquier otra
información.
Métodos tradicionales de evaluación
La cubicación de reservas consiste en el cálculo de la cantidad de

mineral contenido en un yacimiento, y de la calidad asociada; por
tanto, debe indicar la posición dentro del criadero de las distintas
clases de menas.
Todos los métodos de cálculo de reservas tienen un mismo fin: la

transformación de una masa mineral en un cuerpo geométrico de
forma más sencilla pero conservando el volumen. Existen muchos
métodos pero pocos se utilizan normalmente.
Los métodos más sencillos no son peores que los más complejos o
sofisticados.
Sencillez no es, por tanto, sinónimo de falta de precisión.

El grado de precisión depende en gran medida del nivel de exactitud
con que se haya
- Métodos clásicos.
Media aritmética.
Bloques geológicos.
Bloques de explotación.
Perfiles.
Polígonos.
Triángulos.
Isolíneas.
-Métodos Intermedios.
Inverso de la distancia.
- Métodos modernos.
Bloques.
Capas.
Sólido tridimensional.
Geoestadística.
Ejemplo
Calcular las reservas (totales y de metal) y la ley media de
un yacimiento reconocido por 12 sondeos que han
proporcionado los datos que se indican en la tabla adjunta.
Cda sondaje representa una área de 25 x 25 mts
Determine la ley media SONDEO P (m) L (%)

Determien el volumens
1 8 48
Si la densidad es de 2 6,5 50
2.8 ( t/m3) 3 4 47
Cuantas toneladas hay 4 4,5 45
5 5 51
6 6 47
7 6,5 50
8 3,5 48
9 5,4 46
10 4,5 47
11 3 49
12 6,2 46
METODO DE LOS BLOQUES GEOLOGICOS
Los bloques pueden ser regulares o irregulares .

Los límites entre los bloques se establecen:
De acuerdo con el método de la inter y extrapolación.
Según sea la naturaleza y disposición geométrica de

los datos existentes (mineros y geológicos).
Por unión rectilínea de los puntos o sondeos más

externos del bloque (construcción análoga a la
del contorno interno), en cuyo caso debe
considerarse el dominio de influencia de cada
sondeo.
MÉTODO DE LOS BLOQUES DE EXPLOTACIÓN
Se utiliza en filones de reducida potencia y en capas complejas

que fueron investigados por trabajos mineros que dividen al
criadero en bloques, los cuales han de servir posteriormente de
base para su ulterior explotación Estos bloques son partes del
cuerpos limitados por dos, tres o cuatro lados reconocidos. Las
reservas se calculan bloque a bloque y el total se determina
sumando las de todos los bloques.
Ejemplo
Tras la investigación por sondeos y labores subterráneas de un
yacimiento metálico, se ha determinado el tamaño y características de
cinco bloques de posible explotación que se indican en la tabla siguiente:
N° LONGITUD (m) ALTURA (m) POTENCIA (m) LEY (g/t)
1 40 30 0,40 12,5
2 40 30 0,65 18,7
3 50 30 0,72 15,4
4 50 30 0,80 20,2
5 40 30 0,55 14,3
Calcular las reservas por bloque y totales de mineral y de metal

sabiendo que la densidad de la mena es de 2,6 g/cm3.
Los cálculos se indican en el cuadro que figura a continuación:
METODOS DE LOS PERFILES
METODO DE LOS POLIGONOS
La construcción de los polígonos puede hacerse de dos maneras:

trazando las mediatrices de los segmentos que unen dos sondeos
adyacentes, o mediante las bisectrices del ángulo que forma el
sondeo central y dos sondeos adyacentes.
METODO DE LOS POLIGONOS

METODO DE LOS TRIANGULOS
Se basa en unir los sondeos o punto son dato mediante líneas rectas,
formando un mallado triangular. Cada triángulo es la base un prisma
en el que la potencia, la ley y la densidad son constantes. Estos
parámetros se calculan a partir de los valores de los tres puntos que
han servido para definir el triángulo, y que son vértices del mismo
Método de inverso de la distancia
Ventajas e inconvenientes del método
El método no debe aplicarse a depósitos que terminan bruscamente

o que tiene leyes que varían fuertemente de unos puntos a otros. En
estas condiciones el método proporciona tonelajes mayores y a ley
más baja que los que realmente existen. Este efecto es
particularmente apreciable en la evaluación de dos dimensiones de
cuerpos tabulares inclinados.
Es evidente, entonces, que el método es apropiado para
mineralizaciones que varían gradualmente como son los
yacimientos masivos, los aluviales, etc.
INVERSO DE LA DISTANCIA:Se basa en “asignar mayor peso a las muestras

cercanas y menor peso a las muestras alejadas a s”
Se consigue al ponderar las leyes
Su fórmula es:
1
zi 
di
n di i =
1
z= {
n 1
i =1 
} 
i =1, n d i


j dj
 1,3
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Métodos estadísticos para la evaluación
de reservas.
Estadígrafos de posición o tendencia
Moda (Mo)
Mediana (Me)
Media ( )
Percentiles (Pi)
Cuartiles (Qi)
Deciles (Di)
Estadígrafos de dispersión
Rango (R) Coeficiente de variación
Desviación estándar Diferencia cuadrática media
Varianza Varianza ponderada
Estadígrafos de Forma
Kurtosis
Índices de sesgo
de reservas.
• Moda (Mo) :
: Límite inferior del intervalo í-esimo.

A : Amplitud del intervalo í-esimo.
ni : Frecuencia en el intervalo í-esimo.
• Mediana (Me) :
Me : Valor x que se encuentra en la posición k-ésimo de la distribución

N : Número o cantidad de datos.
: Límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

A : Amplitud del intervalo en que se encuentra la mediana.
N i-1 : Frecuencia acumulada en la clase que precede a la clase que contiene
la mediana.
ni : Frecuencia de la clase í-esima.
de reservas.
• Media ( ) : ; ;
; con
Xi : Datos puntuales o en crudo

Ci : Punto medio de la clase.
ni : Frecuencia de cada clase.
N : Número o cantidad total de datos.
• Percentil (Pi) :
✓ Para datos puntuales con
Si Pos es un número entero ➔ Pi = Valor de la variable X en la posición Pos

Si Pos NO es número entero ➔ Se debe interpolar, esto es mediante la forma:
de reservas.
✓ Para datos agrupados
Con los datos ordenados en intervalos de clase, determinar la función de densidad:
Calcular la función de densidad acumulada : Fk = fk-1 + fk
Calcular el Percentil, con la forma:

donde :
i : % de datos que se requiere.
k : Posición en la que se encuentra el percentil a calcular o posición de Fk que contiene el i% de los
datos.
A : Amplitud del intervalo de clase.
N k-1 : Frecuencia acumulada en la posición k-1.
• Cuartiles (Qi) : Q1= P25 Q2=P50=D5=Me Q3=P75
• Deciles (Di) : D1= P10 D2=P20 D5=P50 D9=P90

• Rango (At o R) : de reservas.
• Rano Intercuartílico (Ri) : Ri = Q3 – Q1
• Desviasión Media (DM) :
• Desviasión Estandar (s) :
• Varianza ( S2 ) :
• Coeficiente de Variación (CV) :
• Coeficiente de Asimetría (CA) : ,
• Coeficiente de Kurtosis o Apuntamiento (Cap) : ,

de reservas.
de reservas.
de reservas.
Mesocúrtica
Leptocúrtica
Platicúrtica
de reservas.
Esperanza y varianza de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria discreta, y supongamos que toma valores

en el espacio {0, 1, 2, ..} con probabilidad
PrX = k  = pk
Entonces se define la esperanza de X como


EX  =  k  pk
k =0
Y la varianza como

V X  =  (k − EX ) pk
2
k =0
de reservas.
La interpretación es bastante sencilla


EX  =  k  pk
k =0
probabilidad que la
posibles valores de X variable tome el valor
El valor “promedio” que puede

asumir la variable

V X  =  (k − EX ) pk
2
k =0
Desviación cuadrática
Desviación cuadrática de los posibles valor
de reservas.
Sea X una variable aleatoria continua con valores en R, y con función de

densidad f(x). Se define la esperanza de X como

EX  =  x  f ( x ) dx
−
Y se define la varianza de X como

V X  =  ( −  ) 2
x E X f ( x) dx
−
de reservas.
La interpretación para el caso continuo es similar. En efecto

EX  =  x  f ( x) dx
−
posible valor de X
El valor “promedio” que puede Probabilidad de que la variable
asumir la variable aleatoria X tome un valor en el
intervalo [x, x + dx]

V X  =  ( −  ) 2
x E X f ( x) dx
−
Desviación cuadrática
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
de reservas.
La Distribución Log Normal
Valor esperado
.
Varianza
Curvas tonelaje ley
Teniendo los datos de las reservas del yacimiento se

puede obtener una curva de Tonelaje v/s la Ley de corte y la
Ley media. Esto se logra a través del inventariado de reservas
del yacimiento que se encuentran bajo una ley de corte
determinada y calculando la ley media de todos los recursos
cuya ley es superior o igual a la ley de corte determinada
obteniéndose dos curvas en un mismo gráfico.
Curvas tonelaje ley
Curva Tonelaje - Ley de Corte

Tonelaje
EJEMPLO Nº1
900.000.000
800.000.000
Curva Tonelaje - Ley Media
700.000.000
600.000.000
500.000.000
400.000.000
300.000.000
200.000.000
100.000.000
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Ley %
Precio Ley de Corte Ley Mineral Cu Fino Ingresos Vida Útil

US$/lb Cu % Media Toneladas lb Cu US$ Años
%
1.25 0.39 0.60 550.000.000 6.547.662.000 8.184.577.500 19
1.10 0.47 0.67 400.000.000 5.317.495.200 5.849.244.720 14
0.80 0.80 1.00 160.000.000 3.174.624.000 2.539.699.200 6

El modelo de bloque
Es un modelamiento tridimensional que consiste en discretizar

virtualmente el yacimiento en cientos de paralelepípedos
(bloques), con características que van de acuerdo al sistema
de explotación a utilizar, la cual permite representar
características y propiedades del yacimiento
¿ De que depende las dimensiones del
modelo de bloque ?
.
.-Características del deposito
.-Continuidad espacial
.-Pasta a explotar.
.-Selectividad
Ejercicio .
Yacimiento de cobre
Modelo de bloque
5.00 mts
5.00 mts
5.00 mts
2.65 (ton/mts3)
LI% LS % Bloque
0.10 0.30 10,000.00
0.30 0.50 90,000.00
0.50 0.60 80,000.00
0.60 0.80 70,000.00
0.80 1.00 60,000.00
1.00 1.20 50,000.00
1.20 1.40 40,000.00
1.40 1.60 30,000.00
1.60 5.00 20,000.00
Construir la curva tonelaje ley de la tabla ,

1.-Establecer cuantas toneladas de mineral tiene el yacimiento
2.-Cual es la ley media del yacimiento
3.-Cua les la ley media del yacimiento a ley de corte 0.5 %
Considere los intervalos abiertos por arriba cerrado por abajo
Trasnformar
Transformar
Transformación
Manejo de curvas probabilística
Ejercicio 1
Se ha realizado una primera etapa de una campaña de exploración ,que entrega una media de 1.2 % CuT
En el mismo sector se tiene yacimiento de características semejantes cuya desviación estándar es de 0.4 %
El potencial del cuerpo serian 5.000.000 toneladas
Confecciones una curva tonelaje ley probabilística asumiendo un comportamiento gaussiano y uno
lo Log-normal de los posibles recursos que existirían en el proyecto.
Grafique comente sus diferencias
Ejercicio CuT
Ley Media 1.20
Desviacion 0.40
Tonelaje 5,000,000.00
Conceptos básicos de evaluación
La base de datos
Evaluation Des
Recherche
Ressources
Géologique
Modèle géologique de
bloc
Paramètres Economiques
•Prix du métal
•Coûts d’extraction
•Coûts de traitement
•Autres
Paramètres géo-métallurgiques
•Modélisation des lithologies Optimisation Economique
•Modélisation des gangues (Logiciel Whittle)
•Consommations dácide
•Type de minéraux
Paramètres Géométriques
•Angles de Talus
•Géométrie de la fosse
•Topographie
•Autres
Analyse économique du
projet
Dimensionnement de la
fosse finale
Generalidades
Déterministicos vs. Géo estadisticos
Déterministicos : Utilizan funciones matemáticas

para poder hacer las predicciones ;
Géo estadísticos (Estocásticos): Asocian

funciones matemáticas a los análisis estadísticos
para hacer interpolaciones (ex: Krigeage);
• La estadística se ocupa de los métodos científicos para recolectar,

organizar, resumir, presentar y analizar datos, así como obtener
conclusiones válidas y tomar decisiones razonables en base a dicho
análisis
• La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que desarrolla

herramientas matemáticas para el estudio de variables distribuidas en
el espacio, dependientes entre si, llamadas variables regionalizadas.
Limitaciones de la estadística
• La geoestadística pone énfasis en:

– El contexto geológico de los datos
– La relación espacial entre los datos
– Datos medidos con un soporte volumétrico y precisión diferentes.
• La geoestadística es útil para:

– Cuantificar aspectos geológicos (“ponerle números a la geología”)
– Estimación / Simulación
– Cuantificación de la incertidumbre (categorización)
– Diseño de muestreo
– Análisis de riesgo
Limitaciones de la estadística
• Principios Básicos:
– Trabaja dentro de restricciones geológicas (físicas)
– Entrega herramientas para cuantificar y aprovechar la correlación espacial
– Considera la cercanía y redundancia de la información disponible al punto a estimar o
simular
– Algoritmos para modelamiento geológico numérico y cuantificación de la incertidumbre
• No facilita el trabajo, pero lo mejora (si es aplicada correctamente)
• La geoestadística no hace lo siguiente:

– Reemplazar buena información adicional
– Reemplazar la necesidad de sentido común y buen juicio
– Funcionar bien como una caja negra
– Ahorrar tiempo
– No reemplaza un buen trabajo de exploración
• Las herramientas que son apropiadas en una etapa inicial pueden no serlo más
delante
• Algunas herramientas de modelamiento numérico:

– Estimación:
• Inverso del cuadrado de la distancia
• Kriging Simple / Ordinario
• Kriging de indicadores
• Cokriging
– Simulación de variables continuas:

• Simulación Gaussiana Secuencial
• Simulación por Bandas Rotantes
• Simulación de Indicadores
• Simulated Annealing
– Simulación de variables categóricas:

• Simulación de Indicadores
• Truncación de una Gaussiana
• Simulación PluriGaussiana
LAS CINCO ETAPAS DE UN

PROYECTO MINERO
•PROSPECCION
•EXPLORACION
•DESARROLLO
•EXPLOTACION
•REHABILITACION Y ABANDONO
Nociones fundamentales
Variable regionalizada ( o regionalización )

Se trata de una función numérica que mide un atributo que
presenta una estructura en el espacio (por ejemplo , la ley del
cobre en un yacimiento )
Campo
El campo es el dominio en le cual se extiende la variable
regionalizada .Fuera del campo ,la variable no interesa o
simplemente no esta definida
Soporte
Se trata del volumen sobre el cual se considera la variable

regionalizada .Es importante destacar que las propiedades
estadísticas de los valores depende De su soporte (efecto soporte)
Compositos
Cuando los datos originales son testigos de sondages cuyo

soporte es variable ,una operación de regularización
“El interés por la geoestadistica esta basado en su habilidad

para modelar la variabilidad espacial de fenómenos de
ocurrencias natural que no pueden
ser totalmente modelados por procesos determinísticos”
Algunas Problemática general

El conocimiento que se tiene de un depósito es siempre
fragmentario :solo se dispone de información cualitativa y de
muestras en las cuales se mide varios atributos : ley de cobre
,arsénico oro , potencia de los estratos , densidad de la rocas ,tipo
de litología
La densidad del muestreo influye en el conocimiento de la

“organización “ Espacial de los valores de la variable en estudio
,su continuidad y otras características estructurales (anisotropía)
Principios directores
1.-Respeto a los datos
2.-Principio del realismo
3.-Principio de la economía
Variograma experimental
Análisis Variografico
El análisis variografico es una de las herramientas mas importante y potente que

existen para analizar las fuentes de variabilidad de los procesos .
Podemos estudiar la variabilidad de la variable aleatoria en función del tiempo o de la

posición
En el caso de la mina podemos estudiar como varían las leyes

Variograma experimental
 (h ) = E [ Z ( x) − Z ( x + h)]
1 2
Variograma Teórico
2
1
 ( h) =
*
2 N (h )
 ( z ( xi ) − z ( x j )) 2 Variograma Experimental
xi − x j = h
Es una herramienta que permite analizar el

comportamiento espacial de una propiedad o variable
sobre una zona dada
Información estructural aportada por el Variograma
1.-continuidad espacial
2.-Zona de influencia
3.-las anisotropía
4.-Las estructuras anidadas
5.-La no estacionalidad ( derivas tendencias )

Variogramme expérimental
Variogramme théorique
Palier =Variance des donées
x x x
x
x
x
x Pas de corrélation
x entre points
x
Portée
L’ effect pépite
h 2h Distance m.
Ejemplo Sencillo
Anisotropías :
Generalmente cuando el variograma experimental es

calculado en distintas direcciones presenta distintos
comportamientos con la variación de la distancia.
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida
DEL VARIOGRAMA  *
EXPERIMENTAL AL MODELO
DE VARIOGRAMA 
Por definición
Var (Z *) = E[Z * − E (Z *)] 2

Recordemos
Z* =
 i
i Z ( xi )

E (Z *) = E (
i
i Z ( xi ) = 
i
i E (Z ( xi )) = 
i
im

2
 
= E i (Z ( xi ) − m)
 

Var[ i Z ( xi )] =
 i j
i  j C ( xi − x j )
Var[
 i Z ( xi )] = −
 i j
i  j  ( xi − x j )

MODELOS DE
VARIOGRAMA
Modelos de variograma ismás comunes:

1.-Modelos con meseta
Modelo Efecto Pepita Puro
Modelo Esférico
Modelo Exponencial
Modelo Gaussiano
Modelo Cúbico
Modelo Seno Cardinal
2.-Modelo sin meseta
Modelo Potencia
Modelo Efecto Pepita Puro

0 
 si h = 0
 h=
  
  
  

 c




si h  0


Este modelo representa a c
un fenómeno
Variograma
completamente aleatorio,
en el cual no hay
correlación espacial
Distancia
No importa cuán cerca se encuentren los valores de las

variables, siempre serán no correlacionados
Conceptos básicos
Modelo Esférico
de evaluación
 
  3 

3 h 1 h
 
− si h  a
  
c



 3 


 2 a 2 a




  
 h=
  
  
  
  
  



c si h a
 c



Variograma


Meseta c y alcance a
Comportamiento lineal en el origen Distancia
Pendiente igual a1.5 c / a
Representa fenómenos continuos pero no diferenciables
Es uno de los modelos de variograma más utilizados

  h  
 (h ) = c1 − exp −
 
  a  
  
Meseta s que alcanza asintóticamente

Alcance aparente igual a a
Variograma
Alcance practico al 95 % de la meseta
Rango experimental igual a 3a
Comportamiento lineal en el origen
Pendiente igual a 3c/a

Distancia
Representa fenómenos continuos pero
no diferenciables
Modelo Gaussiano
  2 
  h 
 (h ) = c1 − exp − 
  a 
2
  
Meseta es c que alcanza asintóticamente
Variograma
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
Comportamiento cuadrático en el origen

Distancia
Representa fenómenos continuos infinitamente

diferenciables (sumamente continuos)
Modelo Cúbico
  
  2 3 5 
  7 
  h h h h 



c 7 2 − 8.75 3 + 3.5 5 − 0.75 7






si h  a




a a a a 

  

 h=
 
  
  
  
  



c si h a







Meseta C y Alcance a
Variograma
Representa fenómenos bastante continuos
Distancia
Modelo Seno Cardinal

( ) 
 seno h /a
 (h ) = c1 −
 h /a 
 
Meseta c que alcanza asintóticamente
Alcacne aparente igual a a
Variograma
Alcance experimental igual a 3a
Se utiliza para representar fenómenos

continuos con periodicidades Distancia
Modelo Potencia
 (h ) = s h
p
s se denomina factor de escala

0 p2
Variograma
s=2.5, p=0.4
s=0.4, p=1.8
El comportamiento en el origen s=1.15, p=1
depende del valor de p
Representa fenómenos no
estacionarios
Distancia
Otras medidas experimentales para medir la variabilidad/continuidad espacial
N ( h)
1.- Semivariograma  ( h) =
1
2 * N ( h) i =1
( zi − yi )2
N ( h)
2.- Semivariograma cruzado  zy(h) =

1
2 * N ( h) i =1
( zi − zi' )( yi − yi' )
N ( h)
3.- Covariograma C ( h) =
1
N ( h) i =1
( xi yi −mx m y )
C ( h)
4.- Correlograma  ( h) =
 x y
 (h)1
5.- Semivariograma general relativo  GR (h) =
mx+m y 2
( )
2
1 N ( h) ( x − y ) 2
 PR(h) =  i i
6.- Semivariograma relativo de pareja 2 * N (h) i =1 ( ( xi + yi ) ) 2
2
N ( h)
7.- Semivariograma de logaritmo  L ( h) =
1
2 * N ( h) i =1
(ln(xi ) − ln( yi )) 2
N ( h)
8.- Semimadograma  M ( h) =
1
2 * N ( h)  i =1
xi − yi
Estrategia de Modelamiento
Fuente :Xavier Emery

Ejemplo de ajuste
 este (h) = 0.13 pep + 0.42 esf (180m)

¿Cuál es el modelo
 norte (h) = 0.13 pep + 0.54 esf (100m) tridimensional?
 vertical (h) = 0.13 pep + 0.72 esf (80m)

Modelo tridimensional
 este (h) = 0.13 pep + 0.42 esf (180m) + 0.12 esf() + 0.18 esf()
 norte (h) = 0.13 pep + 0.42 esf (100m) + 0.12 esf (100m) + 0.18 esf()
 vertical (h) = 0.13 pep + 0.42 esf (80m) + 0.12 esf (80m) + 0.18 esf (80m)
(h) = 0.13 pep + 0.42 esf (180m,100m, 80m)

+ 0.12 esf (,100m, 80m) + 0.18 esf (, , 80m)
Verificación: la suma de las mesetas vale
0.13 + 0.42 + 0.12 + 0.18 = 0.85 = meseta total
Como entender
Si pensamos que conocimos todas las
realizaciones de Z(x )
Tendremos la varianza de un punto en un

volumen llamada
Varianza de dispersión de un punto en un

volumen
Krigeage
Kriging
Krigeaje.
Krigeaje : interpolador de la geoestadística, que sí

utiliza los análisis estructural.
Inicialmente, Matheron denominó a esta técnica

Krigeage (en francés) que en ingles se convierte en
Kriging y en español se escribe Krigeaje. Este
término que tiene su origen en el apellido de
D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte.
El krigeaje es una técnica de estimación que

proporciona el mejor estimador lineal imparcial
(BLUE, en ingles, Best Linear Unbiased
Estimator), (Schaug et al.,1993; Christensen et
al.,1993; Abasov et al., 1990),
Además proporciona una error de estimación

conocido como varianza de krigeaje que
depende del modelo de variograma obtenido y
de las localizaciones de los datos originales
(Armstrong y Carignan, 1997; Journel y
Huijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al.,
1990). Esto brinda la posibilidad de hacer análisis
sobre la calidad de las estimaciones (Weerts y
Bierkens, 1993; Haas, 1992).
En términos mineros, el problema de krigeaje

consiste en encontrar la mejor estimación lineal
posible del contenido mineral de un panel,
teniendo en cuenta la información disponible,
mediciones que han sido obtenidas tanto en el
interior como externamente al panel que se
desea estimar.
Existen cuatro Krigeage uní variable
1.-Krigeage Simple : Variable estacionaria de media

conocida
2.-Krigeage ordinario : Variable estacionaria de

media no conocida
3.-Krigeage de la media :Variable estacionaria
4.-Krigeage Universal Variable no estacionari

Kriging Ordinario
Hipótesis
• Se desconoce el valor promedio de la variable
regionalizada
• Se conoce el variograma (h), el cual puede o no tener
meseta
El considerar el valor de la media como desconocido
permite generalizar el estimador a situaciones donde esta
media no es constante en el campo: la media puede variar
de una región a otra del espacio, siempre que sea
aproximadamente constante en cada vecindad de kriging.
Kriging Ordinario
n
z* ( x 0 ) = a +    z( x  )
 =1
Sistema de ecuaciones finales
 n
   =1
  =1 insesgo

a=0
 n
  = 1... n,


 =1
  (x  − x  ) −=  (x  − x 0 )

mide las mide la influencia
redundancia de los datos sobre
s entre datos el valor a estimar
Kriging Ordinario
Precisión de la estimación
El valor mínimo de la varianza del error de estimación se
llama varianza de kriging y vale:
n
 (x 0 ) =     (x  − x 0 ) − 
2
KO
 =1
Kriging Ordinario
• Sea
• X₁ X₀ X₂
• d d
• K.O.
• Z*k (x₀) = λ₁ Z (X₁) + λ₂ Z (X₂)
a) Establecer Sistema Krigeage.
• 1.- Es un estimador lineal
• Z*k (x₀) = λ₁ Z (X₁) + λ₂ Z (X₂)

Kriging Ordinario
2.- Es insesgado
Ε [Z*(x₀)] = Ε [Z (x₀)]
Ε [Z*(x₀) - Z (x₀)] = 0
Ε [λ₁ Z (X₁) + λ₂ Z (X₂) - Z (X₀)] = 0
λ₁ m + λ₂ m – m = 0
λ₁ + λ₂ = 1
Kriging Ordinario
3.- Varianza de estimación (Varianza del error)

Blue: Best Linear unbiased estimate
VAR (Z* - Z₀) = VAR (λ₁ Z₁ + λ₂ Z₂ - Z₀)
VAR (Z) = - ∑∑ λi λj γ (Xi - Xj)
VAR (∑ Zi) = -[+ λ₀ λ₀ γ₀0 - λ₀ λ₁ γ₀₁ - λ₀ λ₂ γ₀₂ - λ₁ λ₀ γ₁₀

+ λ₁ λ₁ γ₁₁ + λ₁ λ₂ γ₁₂ - λ₂ λ₀ γ₂₀ + λ₂ λ₁ γ₂₁ + λ₂ λ₂
γ₂₂]
= -λ₁² γ₁₁ - λ₂² γ₂₂ - λ₀² γ₀₀ - 2 λ₁ λ₂ γ₁₂ + 2 λ₀ λ₁ γ₁₀

+ 2 λ₀ λ₂ γ₂₀
Kriging Ordinario
Pero λ₀ = 1
= -λ₁² γ₁₁ - λ₂² γ₂₂ - γ₀₀ - 2 λ₁ λ₂ γ₁₂ + 2 λ₁ γ₁₀

+ 2 λ₂ γ₂₀
2 2 2
∑ ∑ λi λj γ (Xi – Xj) – 2 ∑ λi γ (Xi - X₀) – γ (X₀ - X₀)

i=1 j= 1 i=1
Ø = VAR [Z* - Z₀] – 2 μ (∑ λi – 1)
= - λ₁² γ (0) – 2 λ₁ λ₂ γ (2d) - λ₂² γ (0) + 2 λ₁ γ (d)

+ 2 λ₂ γ (d) – 2 μ (λ₁ + λ₂ - 1)
Kriging Ordinario
∂Ø / ∂μ = -2 (λ₁ + λ₂ -1) = 0
λ₁ + λ₂ = 1
∂Ø / ∂λ₁ = -2 λ₁ γ (0) – 2 λ₂ γ (2d) + 2 γ (d) – 2 μ = 0

λ₁ γ (0) + λ₂ γ (2d) + μ = γ (d)
∂Ø / ∂λ₂ = -2 λ₁ γ (2d) – 2 λ₂ γ (0) + 2 γ (d) – 2 μ = 0

λ₁ γ (2d) + λ₂ γ (0) + μ = γ (d)
Kriging Ordinario
λ₂ γ (2d) + μ = γ (d)
λ₁ γ (2d) + μ = γ (d)
λ₁ + λ₂ = 1
Kriging Ordinario
λ₁ = λ₂ = ½
μ = γ (d) - λ₂ γ (2d)
μ = γ (d) – (1/2) γ (2d)

Kriging Simple de punto
Kriging ordinario de punto
Kriging Ordinario de Bloque
Veremos un ejemplo
Krigear un bloque
Talla del bloque 200 x 200 m
Malla de muestreo 200 x 200

Leyes
Z1= 6
Z2=4
Z3=3
Z4=5
Z5=8
Variograma Esférico :Alcance 250 m ,Meseta 2.0

El sistema de Krigeage es
Solución
Kriging ordinario de bloque
Kriging ordinario de bloque
Kriging del valor medio
Propiedades del Krigeage:
1.-Lineal sin sesgo y con mínima varianza
2.-Interpolador exacto
3.-Efecto pantalla
4.-Toma en cuenta la posición de los puntos en el espacio
5.-Toma en cuenta la continuidad espacial de los datos
6.-Efecto de alisamiento
7.-Casi sin sesgo condicional
8.-Transitiva , coherencia en lo estimado

Practica
Practica
GEOLOGIA DEL YACIMIENTO
MINERALIZACION Y ALTERACION
GEOLOGIA ESTRUCTURAL
MODELO GEOLOGICO
UNIDADES GEOLOGICAS
Practica
35
VALIDACION CRUZADA
Practica
Limite
Recurso Limite Superior Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada Tonelaje
inferior
Medido 0 14,9 100.223 0,68 100.223 31.319.688
Indicado 15 29,9 32.209 0,22 132.432 10.065.313
Inferido 30 ∞ 14.377 0,10 146.809 4.492.813
146.809 1,00
Categorizar
No todos los bloques estimados tienen el mismo grado de

confiabilidad. Por ende, se suele definir varias categorías de
recursos:
• recursos medidos: mayor grado de confiabilidad
• recursos indicados: confiabilidad mediana
• recursos inferidos: poca confiabilidad
Los recursos medidos + indicados se denominan

demostrados y son aquellos que se consideran para efectos
financieros (evaluación del proyecto minero). Ahora bien, la
definición de cada categoría es muy vaga y depende en gran
parte del criterio del especialista.
Categorizar
Categorizar
Existe una categorización similar para las reservas (probadas,

probables, posibles), que son la fracción de los recursos que
se puede explotar técnica y económicamente.
Una manera de identificar las categorías consiste en clasificar
los bloques según su varianza de estimación (la definición de
las varianzas límites debe tomar en cuenta el tipo de
yacimiento y el muestreo).
Otros criterios: número de muestras en la vecindad de
kriging, distancia promedio de las muestras cercanas, criterio
geológico, etc.
→ ¿pertinencia de la categorización?
Necesidad de códigos
• ¿Qué necesito para evaluar correctamente
activos mineros?
Para evaluar activos mineros es necesario una

plataforma común de conceptos claros y una
nomenclatura estándar sobre criterios y
prácticas de evaluación de los prospectos de
exploración, recursos y reservas mineras.
Necesidad de códigos
• Una plataforma implica adoptar, por parte de los
sectores minero y financiero, un “Código” para la
certificación de prospectos de exploración,
recursos, y reservas mineras.
• El estándar facilita su transparencia hacia los

mercados y el publico en general de acuerdo a
estándares internacionales de la industria.
• Esta es la exigencia mínima para desarrollar un

mercado de capitales en el sector minero.
Parámetros a considerar
• Parámetros a identificar, calificar, y cuantificar
para asegurar una adecuada cuota de
confiabilidad.
Parámetros a considerar
• El grado de confiabilidad lo proporciona una
nomenclatura estándar de criterios, y
prácticas aplicables a los prospectos de
exploración, recursos y reservas mineras para
definir su potencial, establecer su
categorización, y declarar su certificación.
• Esta exigencia mínima resguarda la confianza

y fe pública en un mercado de capital.
Códigos
• ¿Qué ha hecho la industria minera por resolver este problema?
– La industria minera no ha estado ajena a este problema
– Instituciones profesionales en distintos países han llevado a cabo dicha
regulación
• Australia (Joint Ore Reserve Committee-JORC)
• Canadá (Canadian NI 43-101 y CIM best practices)
• EEUU (SME Guide for Reporting Exploration Information, Mineral
Resources and Mineral Reserves / U.S. Securities & Exchange
Commission Industry Guide 7)
• Inglaterra (IMM)
• Sudáfrica (SAMREC)
• Naciones Unidas
• Rusia (Código Ruso)
• China (Código Chino)
• Chile (Código Chileno)
• Otros países de la unión Europea han estado desarrollando una
serie de acciones tendientes a establecer una codificación
internacional de recursos y reservas minera.
Códigos
• Códigos para la clasificación de recursos y reservas.

– JORC (AUSTRALIA)
– SAMREC (SUDAFRICA)
– NI 43-101 (CANADÁ)
– CIM (CANADÁ)
– IMM (REINO UNIDO)
– UNFC (NACIONES UNIDAS)
– SEC SEM (EE.UU.)
– CODIGO CHILENO
– CODIGO RUSO
– CODIGO CHINO
Código JORC
• Código Australiano → estándares mínimos, recomendaciones y normas
para la información publica de resultados de exploraciones, recursos
minerales y reservas mineras.
• Las principales bases que rigen la operación y aplicación del código son:
– Transparencia (cantidad y calidad de la información que esté a disposición
pública)
– Relevancia
– Competencia
• Informe debe contener toda la información relevante que los
inversionistas y sus asesores profesionales pudieran necesitar
razonablemente.
• Debe ser generado bajo la responsabilidad de una persona debidamente
calificada y con experiencia que está sujeta y regida por un código de
ética profesional.
Código JORC
• Aplicable a todos los minerales sólidos
incluyendo diamantes, otras piedras preciosas y
carbón, para los cuales las bolsas de valores de
Australia y Nueva Zelanda requieren información
publica sobre resultados de exploración, recursos
minerales y reservas de mena.
• Las personas competentes designadas para
elaborar estos informes deben ser miembros o
socios de AUSIMM con un mínimo de 5 años de
experiencia.
Código JORC
Clasificación JORC
Diferencias entre categorías
Código SAMREC
• Código sudafricano que imparte normas mínimas,
recomendaciones y pautas para la Información pública
de Resultados de Exploración, Recursos Minerales y
Reservas de Mineral.
• El Código se presenta como una guía para la
información de todo los tipos de mineralización sólida
con expectativas económicas.
• Otros minerales, como el Carbón y Diamantes, tienen
los requisitos de información adicionales específicos
• El Código no es aplicable al Petróleo, Gas o Agua
Código SAMREC
• Los principios siguientes deben ser
considerados en la aplicación del Código:
– Materialidad
– Transparencia
– Competencia
– Imparcialidad
Código SAMREC
Clasificación SAMREC
Código NI 43-101
• Desarrollado por la Canadian Securities
Administrators (CSA) y administrada por comisión de
seguros provincial que gobierna los asuntos
pertinentes a la información publica acerca de los
proyectos mineros.
• Persona que desarrolla el estudio debe ser una
“persona calificada”.
• En cuanto a las definiciones de recursos y reservas son
las mismas que utilizan los códigos JORC y CIM
Guidelines.
• Este código se aplica tanto para minerales como
recursos energéticos.
Código NI 43-101
• La “persona calificada” es un individuo con las
siguientes características:
– Un ingeniero o geocientista con al menos 5 años de
experiencia en exploración de yacimiento minerales,
desarrollos o operación en minas.
– La experiencia del individuo tienen que estar
relacionada con el yacimiento a estudiar. Ejemplo: si
tiene 5 años de experiencia en yacimientos de oro, no
califica para el estudio de un yacimiento de carbón.
– Tiene que ser miembro de una asociación de
profesionales calificada.
Guidelines CIM
• Guía para entregar información con estándares
necesarios para informar de acerca de
exploraciones, recursos y reservas mineras.
• Información destinada a personas calificadas las
cuales evaluarán el proyecto.
• Estas guías pueden ser aplicadas a minerales
industriales, carbón, diamantes y gemas dejando
de lado los recursos energéticos como el gas y el
petróleo, y el uranio.
Guidelines CIM
• Clasificación depende de la confiabilidad
geológica del depósito tanto en cantidad, como
calidad.
• Como estudio de factibilidad preliminar se debe
realizar un informe de viabilidad económica
indicando factores ingenieriles de diseño,
operativos y económicos.
• También exige que el estudio sea realizado por
una persona competente con 5 años de
experiencia en el área.
Código IMM
• Código del Reino Unido
• IMM se ha acoplado a las definiciones
internacionales de reservas y recursos
minerales, en particular al JORC
Código UNFC
• La Clasificación (UNFC) de Naciones Unidas para
Energía y Recursos de Mineral es un esquema
universal aplicable para clasificar, evaluando reservas,
recursos energéticos y minerales.
• Permite un común entendimiento internacional, el
cual es necesario para realizar las clasificaciones y/o
evaluaciones que se requieran.
• El UNFC es un sistema flexible que es capaz de cumplir
los requisitos para la aplicación a nivel nacional, nivel
industrial e institucional, así como ser usado con éxito
para la comunicación internacional y las valoraciones
globales.
Código UNFC
• Satisface las necesidades básicas para una
norma internacional apoyando el uso racional
de recursos, mejorando la eficacia y la
seguridad de provisiones de energía y de los
recursos financieros asociados.
Código SEC SEM
• Código estadounidense en el cual las definiciones de
recursos y reservas son las mismas utilizadas por los
demás códigos, claro que se le debe agregar la
importancia que se le da al ámbito legal en este
código, lo cual no aparece en otros códigos.
• El reporte se hace sobre reservas probadas no
recursos
• En cuanto a la persona competente, EEUU no posee
un instituto equivalente al AusIMM, por lo que
requiere personas calificadas por organismos
internacionales para la tarea de realizar el estudio y el
posterior informe.
Código Chileno
• Este código sintetiza la práctica actual de la industria minera
con respecto a estándares y normas que se aplican a
prospectos, recursos y reservas mineras con el propósito de
informar públicamente sobre instrumentos financieros
derivados de estos activos mineros en los mercados de
capital.
• Estas normas siguen lineamientos ya adoptados y aplicados
por mercados de capitales de países que se distinguen por
contar con sectores mineros dinámicos y pujantes como son
los de Australia, Canadá, Sudáfrica, el Reino Unido, y otros
Código Chileno
• Las normas establecidas en el código deben ser
establecidas y aplicadas con transparencia,
materialidad, y competencia.
– Transparencia: en el sentido que ellas deben ser explícitas,
concisas, no sujetas a dobles interpretaciones
– Materialidad: en el sentido que ellas deben ajustarse a los
aspectos relevantes, fundamentales, y esenciales que
influyen directa y específicamente en la definición y
certificación de prospectos de exploración, recursos, y
reservas mineras
– Competencia: en el sentido que ellas ameritan ser
certificadas por profesionales calificados, competentes,
sujetos y regidos por conductas de ética profesional
Código Chileno
• Se enfatiza las normas que establecen los requerimientos formales
mínimos a ser exigidos sobre los prospectos de exploración, recursos, y
reservas mineras para propósitos de información pública y de los
mercados de capitales; en letras itálicas se explicitan guías que
complementan esas directrices.
• La información pública no se limita a prospectos preparados con el objeto
de informar a inversionistas potenciales y a sus asesores sino que también
para satisfacer los requerimientos exigidos por la autoridad regulatoria e
instituciones gubernamentales, las Memorias Anuales, los Informes a las
Bolsas de Valores, los Estados Ambientales y otros.
Código Chileno
• El Código propuesto en Chile es para ser aplicado fundamentalmente a los
metales básicos, estratégicos, y preciosos así como a los minerales no-
metálicos en general. Este código no considera los hidrocarburos ni los
recursos marítimos.
• La Certificación de Prospectos de Exploración, Recursos y Reservas

Mineras debe constituir un informe compilado, presentado y defendido
por la Persona Competente Calificada a cargo de tal certificación. Si
existen dudas o cuestionamientos respecto a la certificación realizada
bajo la responsabilidad de una Persona Competente Calificada, esta
responderá profesionalmente, ante los organismos que acreditaron su
calidad, así como también legalmente ante las instituciones financieras y
otras ligadas al sistema público Chileno que requieran o deban velar por
estas certificaciones.
Código Ruso
• Documento centrado en otros dos informes
anteriores:
– TEO (obosnovaniye technico-economicheskiye =
caracterización técnico-económica)
– TER (technico – raschoti economicheskiye = técnico -
cálculos económicos).
• El TEO es ampliamente equivalente al estudio del
prefactilidad Occidental, pero se formaliza mucho
más. Toma en cuenta los factores y opciones técnicas,
los aspectos comerciales y las implicaciones
medioambientales de un proyecto planeado.
Código Ruso
• CLASIFICACIÓN de RECURSO / RESERVA:
– El ex sistema soviético de reservas y recursos, desarrollado
en 1960 y revisado en 1981, todavía se usa hoy en Rusia y
otras repúblicas de CIS (Commonwealth of Independent
States).
– Esencialmente, divide las concentraciones minerales en
siete categorías, en tres grupos mayores, basado en el nivel
de exploración realizado: reservas totalmente-exploradas o
recursos (A, B, C1), reservas evaluadas o recursos (C2) y
recursos prognóstico (P1, P2, P3). En principio, éstos siguen
una sucesión de aproximaciones que se aplican a las varias
fases de exploración.
• No se hace referencia a la persona calificada como en
los otros códigos.
Código Ruso
Clasificación Código Ruso

Código Chino
• Código realizado para facilitar la administración de la información de
recursos minerales, proveyendo de información básica para el desarrollo
de proyectos mineros
• La información está destinada a inversionistas, que se dediquen a las
construcción de minas, exploración y explotación
• La idea es ser lo más compatible posible con los códigos internacionales
Código Chino
Clasificación Reservas/Recursos Código Chino
Discusión de las categorización
• Categorización de recursos minerales (o geológicos) y

reservas mineras es una de las etapas más críticas en la
evaluación de un proyecto minero
• Es también uno de los procedimientos más subjetivos en la
evaluación
– Clasificación queda sujeta a la opinión experta de un
especialista en evaluación de yacimientos
Códigos internacionales
Definir el grado de confianza en la estimación

Métodos tradicionales de categorización
Continuidad geológica
.
Densidad de la red de exploración (grado de estudio) -
Interpolación contra extrapolación
Consideraciones tecnológicas
Calidad de los datos
Criterios geoestadísticos de categorización.
Alcance del variograma
Varianza Kriging
Simulacion
Método de clasificación basado directamente
en el variograma
en el variograma
Si se considerara que a los 50 metros alcanzo la

meseta , (típicos de este yacimiento) se tendrán
los siguientes limites
Se empleara el promedio de las distancia con las

que se evaluó el bloque
29 metros medidos
39 metros indicados
Mayor inferidos
Método de clasificación basado en la varianza
e estimación del Krigeage
Este método para categorizar los recursos se basa en la construcción de la función de densidad de
probabilidades o el histograma de las varianzas kriging (Annels, 1991). El histograma se examina para detectar
evidencias de poblaciones complejas que pueden representar 3 poblaciones superpuestas (probable, posible e inferida).
Esta situación se refleja en la figura. Siguiente
Varianza de estimación
“cierta evidencia”
Se puede apreciar “cierta evidencia” en el ejercicio ,de a los

menos dos poblaciones
Lo cual podría dar unos tres limites 0.125 , 0.4375 ,hasta 0.75
Análisis del error en función de la estructura espacial de los datos
considerando el error y la confianza
El kriging permite obtener, además de la estimación del valor de un bloque,

una indicación de la precisión local a través de la varianza kriging (Vk).
Desde el inicio del desarrollo del Kriging la Vk ha sido empleada para

determinar los intervalos de confianza de las estimaciones .
Clasificación de recursos/reservas basada en la cuantificación del error a

partir de la desviación estándar kriging
Análisis del error en función de la estructura espacial de los datos
considerando el error y la confianza
El método propuesto por Diehl y David (1982) se basa en definir niveles de confianza y de precisión (error):
la precisión se expresa en función de la desviación estándar kriging y el valor estimado kriging
Valor de la variable estandarizada distribuida
Desviación estándar kriging normalmente con un nivel de confianza (1- )
Precisión = (kx100xZ1-) / tki
Valor del bloque estimado por kriging

Probada z %/(100*Z)
Z(80) 1.29 0.07751938
Probable
Z(80) 1.29 0.15503876
Posible
Z(60) 0.85 0.47058824
Inferida
Z(40) 0.53 1.13207547
Lo demás lo clasificaremos fuera de categoría

Método de clasificación basado en distancia
Actualmente en uso
En el coeficiente de variación
El coeficiente de variación se define de la siguiente manera

Desviación estándar
Ley media
Para K(M) Medidas 0.00 < σ/m < 0.15

Para K(ID) Indicadas 0.15 < σ/m < 0.30
Para K(IF) Inferidos 0.30 < σ/m
Clasificación basada en una malla predefinida
Criterio en base a malla predefinida

Este método está basado en el alcance que presenta el variograma. Las mallas definidas está contenida dentro del alcance
de la estructura geoestadistica del yacimiento Para dicho análisis se empleo un variograma que representara el yacimiento
LIMITEPARA RECURSOS MEDIDOS .será la varianza de estimación que arroje una malla de tipo regular de 25 x 25 mts,
en un bloque de 5 x 5 centrado
También es restableció que el LIMITE PARA RECURSOS DEMOSTRADOS, será la varianza de estimación que arroje una malla
de tipo regular de 60 x 60 mts. en un bloque de 5 x 5 centrado
Clasificación basada en una malla predefinida
Recursos medidos :
Varianza de estimacion
<= 0.33
Configuración de una malla para

recursos medidos Recursos Indicados :
varianza de estimación <= 0.705
Configuracion de una malla para recursos
Recursos Inferidos : indicados
varianza de estimación> 0.705
Clasificación basada en la Indicatrices
Por Definición F(x, c) =P(Z(x) ≤ c = E[(l (x, c)]
Donde l(x,c) =1 si Z(x) ≤ c

0 si Z(x) > c
Para una varible continua el krigeage es un buen estimador de la esperanza
condicional , se supondra que esto es verdad para una indicatriz
El metodo de la indicatrices obliga a convertir la base de datos en 0 et 1.

En este casos debemos definir una ley de corte de 0.4% de Cu T
=1 Si Z( x ) ≥ 0.1
i ( x , 0.4 ) =
=0 Si Z( x ) < 0.1
Ideas complementarias
Union de métodos de categorizacion
Taller de categorizaciòn
Categorice el bloque
Veremos un ejemplo
Krigear un bloque
Talla del bloque 200 x 200 m
Malla de muestreo 200 x 200

Leyes
Categorice el bloque por el coeficiente
de variación
Z1= 6
Z2=4
Comente Z3=3
Z4=5
Z5=8
Variograma Esférico :Alcance 250 m ,Meseta 2.0

Solución
Leyes 1
Landa 1 0.6 6
Landa 2 0.1 4
Landa 3 0.1 3
Landa 4 0.1 5
Landa 5 0.1 8
Ley del bloque
Varianza 0.26
Desviacion estandar 0.50990195
C.V= 0.09105392
Bloque es medido
Medidos Indicados
Precision Error 15 20
Confianza 90 80
Confianza 90 80
Si se fija la precision ( error ) en un = 10 % 20 %
Distribucion normal estandar inversa 1.28155157 0.84162123
Limtes 0.07803041 0.23763659

Distancia
Medida 15 Mts
Indicada 40 Mts
VARIOGRAMA VARIOGRAMA VARIOGRAMA

xcentre ycentre zcentre CuT NS ND DISTANCIA VK medidos imdocados inferidos
379505.546 7536600.96 1213.75 0.44267829 7 15 10.3 0.633 1
379424.924 7536600.6 1191.25 0.42134685 7 15 13.9 0.809 1
379482.4 7536576.05 1258.75 0.92446959 7 14 14.1 0.503 1
379385.618 7536583.68 1348.75 0.80462952 7 15 15.0 0.708 1
379458.56 7536637.34 1231.25 2.22455407 7 15 15.0 0.721 1
379534.451 7536585.89 1376.25 1.08150463 7 15 15.6 0.722 1
379455.39 7536652.83 1401.25 3.10942465 7 15 15.8 0.891 1
379537.687 7536625.29 1256.25 0.93917197 7 15 17.8 0.695 1
379512.531 7536633.86 1188.75 1.26139604 7 15 17.9 0.825 1
379444.679 7536551.38 1411.25 0.69085773 7 15 18.0 0.704 1
379458.225 7536642.92 1301.25 0.41797509 7 15 18.1 0.711 1
379496.305 7536586.96 1261.25 2.39841106 7 15 18.4 0.815 1
379549.696 7536574.49 1446.25 0.47932327 7 15 18.9 0.803 1
379463.225 7536634.26 1216.25 0.85790563 7 15 19.3 0.818 1
379408.183 7536599.6 1176.25 0.44042867 7 15 19.4 0.803 1
379458.494 7536582.45 1331.25 1.89940745 7 15 20.1 0.689 1
379472.31 7536613.52 1296.25 0.42281154 7 15 20.5 0.694 1
379532.687 7536633.95 1231.25 1.14617336 7 15 20.5 0.649 1
379490.456 7536647.1 1226.25 2.34821443 7 15 20.7 0.676 1

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EMERY XAVIER & ARNAUD MICHEL (2000)

EMERY XAVIER (2007)

Margaret Armstrong –Jaques Carignan

JOFRE DUBER (2009)

SANS, H.J (2003)

ISAAKS , E.H. and SRIVASTAVA, R.M. (1989)

DEUTSCH, C.V., JOURNEL A.G. (1998):

CHICA - OLMO M. (1987)

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INVERSO DE LA DISTANCIA:Se basa en “asignar mayor peso a las muestras

: Límite inferior del intervalo í-esimo.

Me : Valor x que se encuentra en la posición k-ésimo de la distribución

: Límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

Xi : Datos puntuales o en crudo

Si Pos es un número entero ➔ Pi = Valor de la variable X en la posición Pos

Calcular el Percentil, con la forma:

• Cuartiles (Qi) : Q1= P25 Q2=P50=D5=Me Q3=P75

• Deciles (Di) : D1= P10 D2=P20 D5=P50 D9=P90

• Desviasión Media (DM) :

• Desviasión Estandar (s) :

• Coeficiente de Variación (CV) :

• Coeficiente de Asimetría (CA) : ,

• Coeficiente de Kurtosis o Apuntamiento (Cap) : ,

Var (Z ) = E[Z − E (Z *)] 2