S2 - PPT - Magnitudes Proporcionales

MAGNITUDES PROPORCIONALES
La regla de tres simple y compuesta.

Proporción áurea
PROBLEMA
Un grupo de 8 estudiantes de la facultad de Arquitectura de la UPN, con

las mismas habilidades, resolvió una tarea de 15 problemas del curso de
complementos de matemática del mismo nivel de complejidad; en 30
minutos.
Determine ¿Cuánto demorará otro
grupo de 12 estudiantes, con las
mismas características de los
anteriores, en resolver 18
problemas con el mismo nivel de
complejidad?
LOGRO DE SESIÓN:
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve

problemas contextualizados de magnitudes
proporcionales haciendo uso de sus
propiedades y la regla de tres, además
encuentra el valor del número áureo;
permitiéndole incrementar su nivel de análisis y
síntesis para así aplicarlo en situaciones diversas
de su entorno.
MAGNITUD
Es cualquier propiedad de los cuerpos que se pueda medir.

CANTIDAD: Es el resultado de medir una determinada magnitud
en ciertas unidades.
Magnitud Cantidad
Longitud 75 cm
Volumen 30 litros
Número de días 25 días
Número de obreros 43 obreros
Cantidad de obra m, m2 , m3
RAZÓN
Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una

operación, ésta puede ser:
ARITMÉTICA a−b =k
GEOMÉTRICA a
b
=k
PROPORCIÓN
Es la comparación entre dos razones por medio de una

igualdad.
ARITMÉTICA a−b = c−d

a c
GEOMÉTRICA =
b d
RELACIÓN DE PROPORCIONES
A
"A"esD. P. a"B" ⇔ = k
B
"A"esI. P. a"B" ⇔ A. B = k
LA REGLA DE TRES
SIMPLE
COMPUESTA
LA REGLA DE TRES SIMPLE
ESQUEMAS
RTS: DIRECTA RTS: INVERSA
ESQUEMA ESQUEMA
M1 M2 M1 M2
↓
↓ a b ↓ ↓ ⇒ DIRECTA ↓
↓ a b ↓ ↓ ⇒ INVERSA
−+ c x +− −+ c x −+
a b a x
= =
c x c b
b. c a. b
⇒x= ⇒ =x
a c
PROBLEMA 1
En una papelería, la promoción de hoy es que si se compra 30

pliegos de papel milimétrico le equivale, 18 pliegos de papel basik.
Si usted comprase 75 pliegos de papel basik, determine ¿cuántos
pliegos de papel milimétrico le equivaldría?
SOLUCIÓN PM PB
 30 → 18   DIRECTA
+ x → 75 +
30 18
 =
x 75
 30.75 = 18.x
30.75
 =x
18
 125 = x
125PM
PROBLEMA 2
Un estudiante hizo una maqueta en 12 días, a la cual le dedicó 4

horas diarias para cumplir su trabajo. Pero, si se decidía utilizar 6
horas diarias, determine ¿en cuántos días habría terminado de
hacer la maqueta?
SOLUCIÓN
Días Horas / día
 12 → 4   INVERSA
− x → 6 +
x 4
 =
12 6
4
 x = 12  
6
x=8
 8días
PROBLEMA 3
Para pintar una pared de 120 m2 se necesitó “n” obreros; pero si la

pared fuese 40 m2 más, harían falta 5 obreros más.
Determinar la cantidad de obreros que se necesitaron en cada caso.
SOLUCIÓN ( )
Pared m2 Obreros
 120 → n   DIRECTA
+ 160 → n+5 +
120 n
 =
160 n + 5
 0.75 ( n + 5 ) = n
 0.75n + 3.75 = n
 3.75 = n − 0.75n
 3.75 = 0.25n
3.75
 =n
0.25
 15 = n
1 Senecesitaron15obreros.
2 Senecesitaron 20 obreros.
PROBLEMA 4
Se estima que una obra puede ser realizada por 9 obreros, con las mismas
habilidades, en 15 días. Determine ¿cuántos obreros más, con las mismas
características que los iniciales, se necesitarán incorporar para hacer la misma
obra, si el jefe de obra manifiesta que hay una orden para que se entregue la obra
en las 3/5 partes del tiempo estimado anteriormente?
SOLUCIÓN Obreros Días

 9 → 15   INVERSA
5(
+ 9+x → 3
15 ) = 9 −
9 + x 15
 =
9 9
 9 + x = 15
x=6
 6 obrerosmás
LA REGLA DE TRES COMPUESTA
ESQUEMA
RT COMPUESTA
CAUSA _ EFECTO
ESQUEMA
M1 M2 M3
M1 M2 M3
a → b c
a b c ;¿ x ?
d → e x
d e x
 a(b)(x) = d(e)(c)
1 LEY DESIGNOS
d(e)(c)
2 REDUCCIÓN A LA UNIDAD x=
a(b)
3 CAUSA _ EFECTO
PROBLEMA 5
300 obreros pueden hacer 600 m2 de pista en 30 días.

Determine ¿Cuántos m2 de pista, de las mismas características;
podrán hacer en 15 días, 700 obreros de igual aptitud que los
anteriores?
SOLUCIÓN Obreros Días ( )
Pista m2
300 → 30 600
700 → 15 x
 300(30)(x) = 700(15)(600)
700(15)(600)
x=
300(30)
 700 m2 de pista
PROBLEMA 6
La Inmobiliaria GUILLERMO S.A. construyó el edificio residencial “Sueños 1”, para ello
dispuso de 24 obreros, con las mismas habilidades, quienes construyeron 60
departamentos de igual diseño y con las mismas dimensiones en un plazo de 364 días,
trabajando 8 horas diarias. Se tiene proyectado construir un nuevo edificio residencial
llamado “Sueños 2”, que constará de 100 departamentos con las mismas características de
los departamentos del edificio anterior, determine ¿en cuántos días construirán este
nuevo edificio, si se tiene el apoyo de 8 obreros más, con las mismas habilidades de los
anteriores, los cuales trabajaran 10 horas diarias?
SOLUCIÓN
Obreros Horas/día Días Departamentos
24 → 8 → 364 ↘ 60
32 → 10 → x ↗ 100
⇒ 24(8)(364)(100) = 32(10)(x)(60)
24(8)(364)(100)
⇒ =x
32(10)(60)
⇒ 364 = x
∴ 364días
PROBLEMA 7
Un arquitecto recibió una obra de tapizar los pisos de los cuartos de un edificio,
cuya medida total es de 8000 m2. Por experiencia sabe que para tapizar 6000 m2
de piso, se necesitarán 4 hombres que trabajen a razón de 8 h/día por 50 días.
Ayude Usted al arquitecto a determinar ¿cuántos días se tardará en terminar la
obra con 5 obreros doblemente eficientes que los anteriores trabajando 2 horas
más por día, pero se dio cuenta que los pisos de los cuartos son triplemente
dificultosos de lo que sabe?
SOLUCIÓN
Hombres Días Hora / día Eficiencia ( )
Obra m 2 Dificultad
4 → 50 → 8 → 1 6000 → 1
5 → x → 10 → 2 8000 → 3
 4 (50 )( 8 )(1 )( 8000 )(3 ) = 5 ( x )(10 )( 2 )(6000 )(1 )
4 (50 )( 8 )(1 )( 8000 )(3 )
 =x
5 (10 )( 2 )( 6000 )(1 )
 64 = x
 64 días
LA PROPORCIÓN ÁUREA
La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al

segmento más corto b.
a+b a
=
a b
LA PROPORCIÓN ÁUREA
EL NÚMERO ÁUREO
a+b a b a
=  1+ =
a b a b
a 1
Si = x  1+ = x
b x
 x + 1= x2
1+ 5
 0 = x2 − x − 1 x + =
2
1+ 5
= = 1.6180339887........ : phi
2
PRACTIQUEMOS!!!
1) Se sabe que 8 agricultores trabajando 10 horas diarias durante 5 días

pueden arar un terreno cuadrado de 400m de lado. Determine ¿cuántos
agricultores de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8
horas diarias aren otro terreno de 480m de lado?
2) En 15 días, 16 obreros han hecho la mitad de una obra que les fue
encomendado. Si entonces se retiran 4 obreros, determine ¿en cuántos días
terminarán lo que falta de la obra los obreros restantes?
3) Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. Determine ¿cuántos

días demorarán 10 obreros de doble eficiencia en hacer 40 carpetas si la
dificultad es la tercera parte de la anterior?
METACOGNICIÓN
1. ¿Qué aprendí de esta sesión?
2. ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de

ejercicios?
3. ¿En qué aspectos de tu vida crees que aparecen las

magnitudes proporcionales?
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
• Salvador Timoteo : Razonamiento matemático.

• Stewart, James : Precálculo: matemáticas para el
cálculo.

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MAGNITUDES PROPORCIONALES

La regla de tres simple y compuesta.

Un grupo de 8 estudiantes de la facultad de Arquitectura de la UPN, con

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve

Es cualquier propiedad de los cuerpos que se pueda medir.

Número de obreros 43 obreros

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una

Es la comparación entre dos razones por medio de una

ARITMÉTICA a−b = c−d

En una papelería, la promoción de hoy es que si se compra 30

Un estudiante hizo una maqueta en 12 días, a la cual le dedicó 4

Para pintar una pared de 120 m2 se necesitó “n” obreros; pero si la

SOLUCIÓN Obreros Días

300 obreros pueden hacer 600 m2 de pista en 30 días.

La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al

1) Se sabe que 8 agricultores trabajando 10 horas diarias durante 5 días

3) Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. Determine ¿cuántos

1. ¿Qué aprendí de esta sesión?

2. ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de

3. ¿En qué aspectos de tu vida crees que aparecen las

• Salvador Timoteo : Razonamiento matemático.

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