Tarea 3

Mecánica Cuántica. Semeste 2021-I.

Edgar Sánchez.

p̂ 2
1. Para un hamiltoniano de la forma Ĥ = 2m + V̂ (x̂) y utilizando la ecuación de movimiento del
valor esperado de un operador, demuestre la expresión
* +
d ∂ V̂
hx̂p̂i = 2hT̂ i − x̂ ,
dt ∂ x̂

donde T̂ es el operador de energı́a cinética en una dimensión. A partir de esta expresión,

suponiendo dependencia temporal armónica para los estados, deduzca el teorema del virial.
Para emplear la ecuación de movimiento del valor esperado de un operador Â
d D E 1 Dh iE  ∂ 
 = Â, Ĥ +  , (1)
dt i~ ∂t
h i
con  = x̂p̂, requerimos calcular el conmutador x̂p̂, Ĥ . Empleando los resultados del ejercicio 6,
tenemos h i h i h i
x̂p̂, Ĥ = x̂ p̂, Ĥ + x̂, Ĥ p̂ =

p̂2 p̂2 i  p̂2 

    h
= x̂ p̂, + V̂ (x̂) + x̂, + V̂ (x̂) p̂ = x̂ p̂, V̂ (x̂) + x̂, p̂ =
2m 2m 2m
   
∂ p̂
= x̂ −i~ V̂ (x̂) + i~ p̂ =
∂ x̂ m
∂ p̂2 ∂
= −i~x̂ V̂ (x̂) + i~ = −i~x̂ V̂ (x̂) + i~2T̂ , (2)
∂ x̂ m ∂ x̂
p̂2
donde escribimos el operador de energı́a cinética T̂ = 2m
. Sustituyendo el resultado de la ecuación
∂
(2) en la fórmula (1), y ya que ∂t (x̂p̂) = 0, tenemos
d 1 Dh iE
hx̂p̂i = x̂p̂, Ĥ =
dt i~
    D E
1 ∂ ∂
= −i~x̂ V̂ + i~2T̂ = − x̂ V̂ + 2T̂ . (3)
i~ ∂ x̂ ∂ x̂
Por otro lado, recordemos que el valor esperado del operador  tiene la forma explı́cita
Z ∞  
∗
hÂi = hΨ, ÂΨi = dx Ψ (x, t) ÂΨ(x, t) , (4)
−∞

donde Ψ = Ψ(x, t) es el estado (general) para el cual se calcula. Si como caso particular suponemos
dependencia temporal armónica para estos estados ΨE (x, t) = e−iEt/~ ψ(x), donde ψ(x) es una
función que depende únicamente de x, el miembro izquierdo de la fórmula (3) queda
d ∞
Z
d d
hx̂p̂iΨE = hΨE , x̂p̂ΨE i = dx Ψ∗E (x, t) (x̂p̂ΨE (x, t)) =
dt dt dt −∞

1
 ∞
d ∞
Z Z
d −iEt/~

∗ −iEt/~
dx eiEt/~ ψ ∗ (x) x̂p̂e−iEt/~ ψ(x) =




= dx e ψ(x) x̂p̂ e ψ(x) =
dt −∞ dt −∞
Z ∞
d
= dx ψ ∗ (x) (x̂p̂ψ(x)) = 0,
dt −∞
y por lo tanto obtenemos  
∂ D E
0 = − x̂ V̂ (x̂) + 2T̂ (5)
∂ x̂ ΨE ΨE

es decir  
D E ∂
2T̂ = x̂ V̂ (x̂) , (6)
ΨE ∂ x̂ ΨE

La expresión (6) es la contraparte en Mecánica Cuántica, para un sistema unidimensional, del

teorema del virial clásico.

2. Considere la cantidad
∂
p(x, t) = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) + (ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)) ,
∂x
la cual es conservada para cualquier función ψ(x, t) que satisfaga la ecuación de Schrödinger
libre en una dimensión. A pesar de esto, exponga un argumento de por qué no es admisible
como densidad de probabilidad.
Basta notar que la cantidad p(x, t) no es positiva definida debido al término ∂
∂x
(ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)), el
cual, para alguna función ψ(x, t), puede ser negativo y ocurrir
∂
ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) + (ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)) < 0. (7)
∂x
Para mostrar que la ecuación (7) puede ocurrir, tomemos como ejemplo la función
2 /(2α2 )
ψE (x, t) = e−iEt/~ e−x , (8)

con α una constante real. Noten entonces que

 −iEt/~ −x2 /(2α2 ) 2
 
∗ 2 2
ψE (x, t)ψE (x, t) = e e  = e−x /α , (9)

y
∂ ∂  −x2 /α2  2x 2 2
(ψE∗ (x, t)ψE (x, t)) = e = − 2 e−x /α , (10)
∂x ∂x α
por lo tanto, la ecuación (7) nos da
 
−x2 /α2 2x −x2 /α2 2x −x2 /α2
e − 2e = 1− 2 e < 0, (11)
α α
α2
lo cual se cumple para x > 2
.

3. Para una función de onda ψ(x, t) que obedece la ecuación de Schrödinger libre en una dimensión,
muestre que la probabilidad definida
Z b
P (a, b) = dx ψ ∗ (x, t)ψ(x, t),
a

2
 con a < b reales, es una cantidad que en general no se conserva.
Con ayuda de la ecuación de Schrödinger

∂ ~2 ∂ 2
i~ ψ(x, t) = − ψ(x, t), (12)
∂t 2m ∂x2
y su conjugada
∂ ∗ ~2 ∂ 2 ∗
−i~ ψ (x, t) = − ψ (x, t), (13)
∂t 2m ∂x2
además de las reglas de derivación para el producto de funciones ψ ∗ (x, t) ∂x
∂
ψ(x, t)

∂2
 
∂ ∗ ∂ ∂ ∂
ψ (x, t) ψ(x, t) = (ψ ∗ (x, t)) ψ(x, t) + ψ ∗ (x, t) 2 ψ(x, t), (14)
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

y su conjugada

∂2
 
∂ ∂ ∗ ∂ ∂
ψ(x, t) ψ (x, t) = (ψ(x, t)) ψ ∗ (x, t) + ψ(x, t) 2 ψ ∗ (x, t), (15)
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

calculemos la derivada temporal de P (a, b)

∂ b
Z Z b Z b
∂ ∗ ∂ ∗ ∂
P (a, b) = dx ψ (x, t)ψ(x, t) = dx (ψ (x, t)) ψ(x, t) + dx ψ ∗ (x, t) ψ(x, t) =
∂t ∂t a a ∂t a ∂t
Z b Z b
~ ∂2 ∗ ~ ∂2
 
∗
= dx ψ (x, t) ψ(x, t) − dx ψ (x, t) ψ(x, t) =,
a 2mi ∂x2 a 2mi ∂x2
Z b    
~ ∂ ∂ ∗ ∂ ∂ ∗
= dx ψ(x, t) ψ (x, t) − (ψ(x, t)) ψ (x, t) −
2mi a ∂x ∂x ∂x ∂x
Z b    
~ ∂ ∗ ∂ ∂ ∗ ∂
− dx ψ (x, t) ψ(x, t) − (ψ (x, t)) ψ(x, t) =
2mi a ∂x ∂x ∂x ∂x
Z b     
~ ∂ ∂ ∗ ∂ ∗ ∂
= dx ψ(x, t) ψ (x, t) − ψ (x, t) ψ(x, t) =
2mi a ∂x ∂x ∂x ∂x
  b
~ ∂ ∗ ∂
= ψ(x, t) ψ (x, t) − ψ ∗ (x, t) ψ(x, t)  . (16)

2mi ∂x ∂x 
a

Noten que en general la expresión (16) no se anula, por lo tanto, para una función ψ(x, t) que
satisfaga la ecuación de Schrödinger (sin imponerle ninguna otra propiedad) se cumple

∂
P (a, b) 6= 0. (17)
∂t

4. Muestre que el paquete de ondas para el cual ∆x · ∆p = ~

2
(es decir, se minimiza la relación de
incertidumbre) debe tener la forma

1 i
p x−
~ 0
(x−x0 )2
ψ(x) = e 4α2 ,
(2πα2 )1/4

3
con α, p0 y x0 constantes. También muestre que hx̂i = x0 , hp̂i = p0 , ∆x = α, ∆p = ~
2α
.
i (x−x0 )2
1 p x−
~ 0
Comencemos calculando los valores esperados de x̂ y p̂ para la función ψ(x) = 2
(2πα )1/4 e 4α2

Z ∞
1 − ~i p0 x−
(x−x0 )2 i
p x−
(x−x0 )2
hx̂iψ = dx e 4α2 x e ~ 0 4α2 =
−∞ (2πα2 )1/2
Z ∞ Z ∞
1 (x−x0 )2 1 (x0 )2
− 0 0 − 2
= dx x e 2α 2
= dx (x + x 0 ) e 2α =
(2πα2 )1/2 −∞ (2πα2 )1/2 −∞
Z ∞ Z ∞
1 (x0 )2 1 (x0 )2
0 0 − 2α2 0 − 2
= dx x e + dx x 0 e 2α =
(2πα2 )1/2 −∞ (2πα2 )1/2 −∞
1
Z
1 √
2 u
=− α du e + x 0 2πα2 =
(2πα2 )1/2 (2πα2 )1/2
1 (x0 )2 ∞

2 − 2α2 
=− α e + x0 = x0 , (18)
(2πα2 )1/2

−∞
Z ∞
1 − ~i p0 x−
(x−x0 )2 ~ ∂ i
p x−
(x−x0 )2
hp̂iψ = dx e 4α2 e ~ 0 4α2 =
−∞ (2πα2 )1/2 i ∂x
Z ∞  
1 − ~i p0 x−
(x−x0 )2 ~ i
p x−
(x−x0 )2
= dx e 4α 2
p 0 − (x 0 − x) e ~ 0 4α2 =
(2πα2 )1/2 −∞ 2iα2
 Z ∞ Z ∞
p0 ~x0 −
(x−x0 )2 ~ −
(x−x0 )2
= − dx e 2α 2
+ dx x e 2α2 =
(2πα2 )1/2 2iα2 (2πα2 )1/2 −∞ 2iα 2 (2πα2 )1/2
−∞
 √
p0 ~x0 ~
= 2 1/2
− 2 2 1/2
2πα2 + x0 =
(2πα ) 2iα (2πα ) 2iα2
= p0 . (19)
i (x−x0 )2
p x−
Para calcular el valor esperado de x̂2 para la función ψ(x) = (2πα12 )1/4 e ~ 0 4α2 , es útil derivar
parcialmente respecto x0 la fórmula (18)
Z ∞
1 −
(x−x0 )2
dx x e 2α2 = x0 , (20)
(2πα2 )1/2 −∞

lo cual nos da
 Z ∞  Z ∞
∂ 1 −
(x−x0 )2 1 (x − x0 ) − (x−x20 )2
dx x e 2α2 = dx x e 2α = 1, (21)
∂x0 (2πα2 )1/2 −∞ (2πα2 )1/2 −∞ α2

es decir
Z ∞ Z ∞
1 2 −
(x−x0 )2 x0 (x−x0 )2
2
hx̂ iψ = dx x e 2α2 = dx x e− 2α2 + α2 =
(2πα2 )1/2 −∞ (2πα2 )1/2 −∞

= x20 + α2 . (22)
i (x−x0 )2
1 p x−
Finalmente, calculamos el valor esperado de p̂2 para la función ψ(x) = (2πα2 )1/4
e ~ 0 4α2

Z ∞ 2
2 1 − ~i p0 x−
(x−x0 )2
2 ∂ i
p x−
(x−x0 )2
hp̂ iψ = dx e 4α2 (−~ ) e ~ 0 4α2 =
−∞ (2πα2 )1/2 ∂x2

4
 ∞   
−
Z
2 1 − ~i p0 x−
(x−x0 )2 ∂ i (x x 0 ) i
p x−
(x−x0 )2
= −~ dx e 4α2 p0 − e~ 0
4α2 =
−∞ (2πα2 )1/2 ∂x ~ 2α2
Z ∞ 2 !
~2

i
− ~ p0 x−
(x−x0 )2 1 i (x − x 0 ) i
p x−
(x−x0 )2
=− dx e 4α2 − + p 0 − e ~ 0 4α2 =
(2πα2 )1/2 −∞ 2α2 ~ 2α2
Z ∞ Z ∞
~2 p20 x20 ~2

1 ip0 x0 −
(x−x0 )2 (x−x )2
2 − 2α20
= + − − dx e 2α 2
− dx x e −
(2πα2 )1/2 2α2 ~2 4α4 α2 ~ −∞ 4α4 (2πα2 )1/2 −∞
  Z ∞
2 x0 ip0 1 −
(x−x0 )2
~ + dx x e 2α2 =
2α4 α2 ~ (2πα2 )1/2 −∞
p20 x20 ~2 2
   
2 1 ip0 x0 2 2 x0 ip0
=~ + − − 2 − 4 (x0 + α ) + ~ + x0 =
2α2 ~2 4α4 α ~ 4α 2α4 α2 ~
~2
= p20 +
. (23)
4α2
Por lo tanto q q
∆x = hx̂ iψ − hx̂iψ = x20 + α2 − x20 = α,
2 2
(24)
y r
q ~2 ~
∆p = hp̂2 iψ − hp̂i2ψ = p20 + 2
− p20 = , (25)
4α 2α
por lo tanto
~
∆x · ∆x = . (26)
2
2
5. Calcule los coeficientes de correlación C1,1 y C2,2 para la función de onda ψ(x) = β e−βx /2 ,
donde β es una constante de normalización. Además muestre que C1,1 = 0 para cualquier
función de onda real.
Hay que calcular Z ∞
2
hx̂i = hψ, xψi = β 2
dx x e−βx = 0, (27)
−∞
Z ∞ Z ∞ r

2 2 −βx2 ∂ −βx2 2 ∂ π
x̂ = hψ, x2 ψi = β 2 dx x e = −β dx e2
= −β =
−∞ ∂β −∞ ∂β β
r
β2 π
r
πβ
= 3
= , (28)
2 β 4
Z ∞ 2 Z ∞ 2 r
4 −βx2 2 ∂ −βx2 2 ∂ π

4 4 2
x̂ = hψ, x ψi = β dx x e =β 2
dx e =β 2
=
−∞ ∂β −∞ ∂β β
3β 2 π
r
= , (29)
4 β5
Z ∞
~β 3 ∞
Z
−βx2 /2 ~ ∂ −βx2 /2 2
hp̂i = hψ, p̂ψi = β 2
dx e e =− dx x e−βx = 0, (30)
−∞ i ∂x i −∞
Z ∞ 2 Z ∞
−βx2 /2 2 ∂ −βx2 /2 2
dx (−β) e−βx +

2 2 2 2 2
p̂ = hψ, p̂ ψi = −β dx e ~ 2
e = −~ β
−∞ ∂x −∞
Z ∞ r r
2 π πβ
−~2 β 2 dx (−βx)2 e−βx = ~2 β 3 − ~2 β 4 . (31)
−∞ β 4

5
 Por lo tanto ∞
β2
Z
2 /2 2 /2
C1,1 = dx e−βx (xp̂ + p̂x) e−βx =
2 −∞
r !
2 Z ∞ r
β ~ 2 ~ π πβ
2
e−βx = β2


= dx 1 − 2βx − 2β = 0, (32)
2i −∞ 2i β 4
y
β2 ∞
Z
2 2
dx e−βx /2 x2 p̂2 + p̂2 x2 e−βx /2 − x̂2 p̂2 =




C2,2 =
2 −∞
Z ∞
2
= −~2 β 2 dx 2x2 (β 2 x2 − β) − 4βx2 + 2 e−βx − x̂2 p̂2 ,




(33)
−∞

cuya forma analı́tica se sigue de las fórmulas (28), (29) y (31).

Por otro lado, noten que C1,1 se escribe
1
C1,1 = hx̂p̂ + p̂x̂i − hx̂i hp̂i , (34)
2
y ya que x̂, p̂ y x̂p̂ + p̂x̂ son operadores hermitianos, se debe cumplir
1
∗
C1,1 = hx̂p̂ + p̂x̂i∗ − hx̂i∗ hp̂i∗ =
2
1
hx̂p̂ + p̂x̂i − hx̂i hp̂i = C1,1 .
= (35)
2
Sin embargo, si utilizamos funciones de onda reales para evaluar los valores esperados tendremos
Z ∞ ∗ Z ∞
∗ ~ ∂ ~ ∂
hp̂i = dx ψ ψ =− dx ψ ψ=
−∞ i ∂x −∞ i ∂x

= − hp̂i , (36)
y de igual manera
hx̂p̂ + p̂x̂i∗ = − hx̂p̂ + p̂x̂i . (37)
Por lo tanto, las ecuaciones (36) y (37) sustituidas en la ecuación (35) tienen como consecuencia

C1,1 = −C1,1 = 0. (38)

6. Para los operadores Â, B̂ y Ĉ, muestre las siguientes propiedades del conmutador

(a) [Â + B̂, Ĉ] = [Â, Ĉ] + [B̂, Ĉ] = −[Ĉ, Â + B̂],
Tenemos    
[Â + B̂, Ĉ] = Â + B̂ Ĉ − Ĉ Â + B̂ =

= ÂĈ + B̂ Ĉ − Ĉ Â − Ĉ B̂ = ÂĈ − Ĉ Â + B̂ Ĉ − Ĉ B̂ =
= [Â, Ĉ] + [B̂, Ĉ], (39)
además    
[Â + B̂, Ĉ] = Â + B̂ Ĉ − Ĉ Â + B̂ =
     
= − Ĉ Â + B̂ − Â + B̂ Ĉ = −[Ĉ, Â + B̂]. (40)

6
(b) [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂.
Tenemos
[ÂB̂, Ĉ] = ÂB̂ Ĉ − Ĉ ÂB̂ =
= ÂB̂ Ĉ − ÂĈ B̂ + ÂĈ B̂ − Ĉ ÂB̂ =
   
= Â B̂ Ĉ − Ĉ B̂ + ÂĈ − Ĉ Â B̂ =

= Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂. (41)

(c) En particular [x̂, F̂ (p̂)] = i~ ∂∂F̂p̂ ,
Si escribimos F̂ (p̂) como una serie de potencias
X
F̂ (p̂) = cn p̂n , (42)
n=0

con cn constantes complejas, y utilizamos el resultado (a) tenemos

X X
[x̂, F̂ ] = [x̂, cn p̂n ] = cn [x̂, p̂n ]. (43)
n=0 n=0

Ahora, partiendo del conmutador entre x̂ y p̂

[x̂, p̂] = i~, (44)
calculamos el conmutador entre x̂ y p̂2 utilizando el resultado (b)
[x̂, p̂2 ] = [x̂, p̂p̂] = p̂[x̂, p̂] + [x̂, p̂]p̂ =
= i~ p̂ + i~ p̂ = i~ 2p̂, (45)
de igual forma para el conmutador entre x̂ y p̂3
[x̂, p̂3 ] = [x̂, p̂p̂2 ] = p̂[x̂, p̂2 ] + [x̂, p̂]p̂2 =
= i~ 2p̂2 + i~ p̂2 = i~ 3p̂2 , (46)
y en general para el conmutador entre x̂ y p̂n tenemos
[x̂, p̂n ] = i~ np̂n−1 . (47)
Utilizando inducción y el resultado (b) podemos probar la fórmula (47)
[x̂, p̂n+1 ] = [x̂, p̂p̂n ] = p̂[x̂, p̂n ] + [x̂, p̂]p̂n =
= p̂ i~ np̂n−1 + i~ p̂n = i~ (n + 1)p̂n . (48)
Por lo tanto, la fórmula (43) queda
X X X ∂
cn [x̂, p̂n ] = cn i~ (n)p̂n−1 = i~ cn p̂n =
n=0 n=0 n=0
∂ p̂

∂ X ∂
= i~ cn p̂n = i~ F̂ (p̂), (49)
∂ p̂ n=0 ∂ p̂
es decir
∂ F̂
[x̂, F̂ (p̂)] = i~ . (50)
∂ p̂

7
 (d) [p̂, Ĝ(x̂)] = −i~ ∂∂Ĝ
x̂
.
Si escribimos Ĝ(x̂) como una serie de potencias
X
Ĝ(x̂) = bn x̂n , (51)
n=0

con bn constantes complejas, y utilizamos el resultado (a) tenemos

X X
[p̂, Ĝ] = [p̂, bn x̂n ] = bn [p̂, x̂n ]. (52)
n=0 n=0

Ahora, partiendo del conmutador entre x̂ y p̂

[p̂, x̂] = −i~, (53)

calculamos el conmutador entre p̂ y x̂2 utilizando el resultado (b)

[p̂, x̂2 ] = [p̂, x̂x̂] = x̂[p̂, x̂] + [p̂, x̂]x̂ =

= −i~ x̂ − i~ x̂ = −i~ 2x̂, (54)

de igual forma para el conmutador entre p̂ y x̂3

[p̂, x̂3 ] = [p̂, x̂x̂2 ] = x̂[p̂, x̂2 ] + [p̂, x̂]x̂2 =

= −i~ 2x̂2 − i~ x̂2 = −i~ 3x̂2 , (55)

y en general para el conmutador entre p̂ y x̂n tenemos

[p̂, x̂n ] = −i~ nx̂n−1 . (56)

Utilizando inducción y el resultado (b) podemos probar la fórmula (56)

[p̂, x̂n+1 ] = [p̂, x̂x̂n ] = x̂[p̂, x̂n ] + [p̂, x̂]x̂n =

= −x̂ i~ nx̂n−1 − i~ x̂n = −i~ (n + 1)x̂n . (57)

Por lo tanto, la fórmula (52) queda
X X X ∂ n
bn [p̂, x̂n ] = − bn i~ (n)x̂n−1 = −i~ bn x̂ =
n=0 n=0 n=0
∂ x̂

∂ X ∂
= −i~ bn x̂n = −i~ Ĝ(x̂), (58)
∂ x̂ n=0 ∂ x̂
es decir
∂ Ĝ
[p̂, Ĝ(x̂)] = −i~ . (59)
∂ x̂
7. Si  y B̂ son operadores Hermitianos, pruebe que
1
∆A∆B ≥ |h[Â, B̂]i|,
2
q
con ∆X = h(X̂ − hX̂i)2 i.

8
Primero probemos la desigualdad de Schwarz
hψ2 , ψ2 ihψ1 , ψ1 i ≥ |hψ2 , ψ1 i|2 . (60)
Para probar la ecuación (60), comencemos por la propiedad del producto interior
hψ, ψi ≥ 0, (61)
hψ2 ,ψ1 i
introduciendo ψ = ψ1 + αψ2 , con α = − hψ2 ,ψ2 i
, tenemos

hψ1 + αψ2 , ψ1 + αψ2 i = hψ1 + αψ2 , ψ1 i + αhψ1 + αψ2 , ψ2 i =

= hψ1 , ψ1 i + α∗ hψ2 , ψ1 i + αhψ1 , ψ2 i + |α|2 hψ2 , ψ2 i ≥ 0,
es decir
hψ1 , ψ2 i hψ2 , ψ1 i |hψ2 , ψ1 i|2
hψ1 , ψ1 i − hψ2 , ψ1 i − hψ1 , ψ2 i + hψ2 , ψ2 i =
hψ2 , ψ2 i hψ2 , ψ2 i |hψ2 , ψ2 i|2
|hψ1 , ψ2 i|2 |hψ2 , ψ1 i|2 |hψ1 , ψ2 i|2
= hψ1 , ψ1 i − 2 + = hψ1 , ψ1 i − ≥ 0,
hψ2 , ψ2 i hψ2 , ψ2 i hψ2 , ψ2 i
→
hψ1 , ψ1 ihψ2 , ψ2 i ≥ |hψ1 , ψ2 i|2 . (62)
Ahora, utilizaremos la expresión (62) con ψ1 = Âψ y ψ2 = B̂ψ, con  =  − hÂi, B̂ = B̂ − hB̂i
hÂψ, ÂψihB̂ψ, B̂ψi ≥ |hÂψ, B̂ψi|2 =
2  ÂB̂ − B̂Â ÂB̂ + B̂Â 2
* +
 2 
= hψ, ÂB̂ψi = hÂB̂i =  +  =
     
 2 2 
 *  + * +2

 i ÂB̂ − B̂Â ÂB̂ + B̂Â 
= −i +  =
 2 2 
 ÂB̂ − B̂Â 2  ÂB̂ + B̂Â 2  ÂB̂ − B̂Â 2
* + * + * +
=  +  ≥  =
     
 2   2   2 
 ÂB̂ − B̂ Â 2  [Â, B̂] 2
* + * +
=  =  ,
   
 2   2 
es decir
2   [Â, B̂] 2
 * +
2  
 − hÂi B̂ − hB̂i ≥  , (63)
 
 2 
ya que D E D E
2 2
hÂψ, Âψi = ψ, Â ψ = Â =
 2 
= Â − hÂi , (64)
y D E D E
hB̂ψ, B̂ψi = ψ, B̂2 ψ = B̂2 =
 2 
= B̂ − hB̂i . (65)

9
Extra.
8. Considere la ecuación de onda
∂ 2ψ 2 2 m2 c4
= c ∇ ψ − ψ,
∂t2 ~2
con c y m constantes. Para una función ψ(x̄, t) que cumple con esta ecuación, muestre que las
cantidades
∂ψ ∗
 
i ∗ ∂ψ
P (x̄, t) = ψ −ψ ,
2 ∂t ∂t
 2
2  ∂ψ 
p(x̄, t) = ~   + ~2 c2 |∇ψ|2 + m2 c4 |ψ|2 ,
 
∂t
son cantidades conservadas.
Para mostrar la conservación en el tiempo de la cantidad
Z ∞
∂ψ ∗
 
3 i ∗ ∂ψ
dx ψ −ψ , (66)
−∞ 2 ∂t ∂t
haremos uso de la ecuación de onda para ψ y las relaciones

∇ · (ψ ∗ ∇ψ) = ∇ψ ∗ ∇ψ + ψ ∗ ∇2 ψ, (67)

∇ · (ψ∇ψ ∗ ) = ∇ψ ∗ ∇ψ + ψ∇2 ψ ∗ . (68)

Entonces tenemos
∂ ∞ 3 i
 Z ∞
∂ψ ∗
 ∗ 2
∂ψ ∂ψ ∗ ∂ 2ψ∗
Z  
∗ ∂ψ 3 i ∂ψ ∂ψ ∗∂ ψ
dx ψ −ψ = dx +ψ − −ψ 2 =
∂t −∞ 2 ∂t ∂t −∞ 2 ∂t ∂t ∂t2 ∂t ∂t ∂t
Z ∞  Z ∞ ∗ 
2
∂ 2ψ∗ m2 c4 m2 c4
    
3 i ∗∂ ψ 3 i ∗ 2 2 2 2
= dx ψ −ψ 2 = dx ψ c ∇ ψ− 2 ψ −ψ c ∇ ψ− 2 ψ =
−∞ 2 ∂t2 ∂t −∞ 2 ~ ~
Z ∞
m2 c4 ∗ m 2 c4 ∗
 
3 i 2 ∗ 2 2 2 ∗
= dx c ψ ∇ ψ − 2 ψ ψ − c ψ∇ ψ + 2 ψψ =
−∞ 2 ~ ~
ic2 ∞ 3
Z
d x ψ ∗ ∇2 ψ − ψ∇2 ψ ∗ =


=
2 −∞
2 Z ∞
ic
= d3 x (∇ · (ψ ∗ ∇ψ) − ∇ψ ∗ ∇ψ − ∇ · (ψ∇ψ ∗ ) + ∇ψ ∗ ∇ψ) =
2 −∞
ic2 ∞ 3
Z I
= d x ∇ · (ψ ∇ψ − ψ∇ψ ) = dS̄ · (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) = 0.
∗ ∗
(69)
2 −∞
La integral de superficie en el último paso se anula por las propiedades asintóticas de la función de
onda y sus derivadas ψ → 0 y ∇ψ → 0 cuando r → ∞.
Para la cantidad Z ∞  2 !
∂ψ
d3 x ~2   + ~2 c2 |∇ψ|2 + m2 c4 |ψ|2 ,
 
(70)
−∞ ∂t
requerimos de las identidades
∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ 2
 
∇· ∇ψ =∇ · ∇ψ + ∇ ψ, (71)
∂t ∂t ∂t

10
  
∂ψ ∂ψ ∂ψ 2 ∗
∇· ∇ψ ∗ =∇ · ∇ψ ∗ + ∇ψ . (72)
∂t ∂t ∂t
Entonces tenemos
∞
∂ψ ∗
Z  
∂ 3 2 ∂ψ 2 2 ∗ 2 4 ∗
dx ~ + ~ c ∇ψ · ∇ψ + m c ψψ =,
∂t −∞ ∂t ∂t
Z ∞ !
∗ 2 ∗
2
∂ψ ∗
 
3 2 ∂ ψ ∂ψ ∂ψ ∂ ψ 2 2 ∂ψ ∗
dx ~ + +~ c ∇ · ∇ψ + ∇ · ∇ψ +
−∞ ∂t2 ∂t ∂t ∂t2 ∂t ∂t
∗
! Z ∞ ∗ 2 2 4
!  2 ∗
m2 c4 ∗
 
2 4 ∗ ∂ψ ∂ψ 3 2 ∂ψ ∂ ψ m c 2 ∂ψ ∂ ψ
+m c ψ +ψ = dx ~ + 2 ψ +~ + 2 ψ +
∂t ∂t −∞ ∂t ∂t2 ~ ∂t ∂t2 ~
 ∗ !
∂ψ ∗ 2
    
2 2 ∂ψ ∂ψ ∗ ∂ψ 2 ∗
+~ c ∇ · ∇ψ − ∇ ψ+∇· ∇ψ − ∇ψ =
∂t ∂t ∂t ∂t
Z ∞ !
∗
 2 ∗
∂ 2 ψ m 2 c4 m 2 c4 ∗

3 2 ∂ψ 2 2 2 ∂ψ ∂ ψ 2 2 ∗
= dx ~ + 2 ψ−c ∇ ψ +~ + 2 ψ −c ∇ ψ +
−∞ ∂t ∂t2 ~ ∂t ∂t2 ~
 ∗  ! I  ∗ 
2 2 ∂ψ ∂ψ ∗ 2 2 ∂ψ ∂ψ ∗
+~ c ∇ · ∇ψ + ∇ψ =~ c dS̄ · ∇ψ + ∇ψ = 0, (73)
∂t ∂t ∂t ∂t
∂ψ
ya que ∇ψ → 0 y ∂t
→ 0 cuando r → ∞.
n
9. Muestre que, en un espacio de funciones de una sola variable espacial, si ∂∂xψn no tiende a cero
∂ n+1


cuando x → ±∞, entonces el operador ~i ∂x no es hermitiano necesariamente.
∂

n
Si llamamos a la función ~i ∂x ψ de la forma
 n
~ ∂
ϕ= ψ, (74)
i ∂x
∂ n+1


entonces la expresión del valor esperado del operador p̂n+1 = ~i ∂x se escribe

n+1 
= ψ, p̂n+1 ψ = hψ, p̂ p̂n ψi = hψ, p̂ϕi ,


p̂ ψ
(75)

y ya que p̂ es hermitiano, se debe cumplir

hψ, p̂ϕi∗ = hϕ, p̂ψi , (76)

es decir Z ∞   ∗ Z ∞  
∗ ∗ ~ ∂ ~ ∂
hψ, p̂ϕi = dx ψ ϕ =− dx ψ ϕ∗ =
−∞ i ∂x −∞ i ∂x
∞ Z ∞
∞
~ ∗  ∗ ~ ∂ψ ~ ∗ 
= − ψϕ  + dx ϕ = − ψϕ  + hϕ, p̂ψi = hϕ, p̂ψi , (77)
i −∞ −∞ i ∂x i −∞
lo cual requiere ∞  n ∗ ∞
~ ∗  ~ ~ ∂ 
ψϕ  = ψ ψ  = 0, (78)
i −∞ i i ∂x −∞
∂ n ψ∗
lo cual se satisface si ∂xn
→ 0 y ψ < ∞ cuando x → ±∞.

11