Capítulo 1. Sistemas de fuerzas.

Hipótesis y principios fundamentales de la estática.

En el caso del estudio de la estática se considera la hipótesis de rigidez, que consiste
en suponer que los cuerpos poseen rigidez infinita, es decir, que no se pueden deformar.
- Principio de adición y sustracción de fuerzas.
- Principio de nulidad de un sistema de fuerzas o equilibrio: si sobre un cuerpo que
se encuentra sometido a fuerzas equilibradas se hace actuar otro sistema de
fuerzas que anula sus efectos entre sí, dicho sistema no se altera.
- Principio de transmisibilidad: una fuerza puede trasladarse a lo largo de su recta
de acción sin modificar su efecto sobre el cuerpo en el que actúa.
- Principio de acción y reacción.

Concepto de fuerza y cuerpo rígido.

Una fuerza es una cierta circunstancia capaz de modificar el vector velocidad de los
cuerpos libres y/o capaz de modificar la forma de los cuerpos.
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por contacto
real o a distancia. Una fuerza se caracteriza por su punto de aplicación, su módulo, su
dirección y su sentido y se representa con un vector.
Si la fuerza sólo es capaz de modificar el vector velocidad y, por lo tanto, el vector
cantidad de movimiento de un cuerpo, entonces se dice que el cuerpo es sólido rígido o
no deformable. Si la fuerza, además de cambiar el vector velocidad también logra
cambiar la forma del cuerpo considerado, se dice que éste es un sólido deformable.
La dirección de una fuerza se define por la línea de acción, que es una recta infinita que
forma un ángulo con algún eje de referencia.

Clasificación de los sistemas de fuerzas.

- Sistemas colineales.
Un sistema es colineal cuando todas las fuerzas se encuentran sobre la misma
recta de acción.
- Sistemas de fuerzas coplanares concurrentes.
Un sistema coplanar concurrente se genera cuando todas las rectas de acción
de fuerzas están en un mismo plano y, además, son concurrentes en un punto.
La condición analítica de equilibrio del sistema de fuerzas coplanares
concurrentes se cumplirá cuando las componentes de la resultante sean
simultáneamente iguales a cero.
Para hallar las componentes de la resultante de un sistema de fuerzas
concurrentes en el espacio, se suman miembro a miembro todas las
componentes de cada una de las fuerzas individuales.
Para que el sistema de fuerzas concurrentes se encuentre en equilibrio será
necesario que se anulen todas las componentes de la resultante.
- Sistemas coplanares paralelos.
- Sistemas coplanares cualesquiera.
- Sistemas en el espacio: concurrentes/paralelos/cualesquiera.

Momento de una fuerza con respecto a un punto.

El momento de una fuerza con respecto a un punto de un cuerpo es la tendencia que
ejerce la fuerza a hacer rotar el cuerpo alrededor del punto.

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Se define como momento de la fuerza F con respecto al punto O al vector 𝑀𝑂 que resulta
del producto vectorial del vector posición r por el vector fuerza F (estrictamente en ese
orden): 𝑀𝑂 = 𝑟 × 𝐹. Cualquiera que sea el punto elegido de la recta de acción, el valor
del momento respecto al punto O no cambia.
La determinación del momento de una fuerza con respecto a un punto se facilita si el
vector posición y el vector fuerza se expresan en sus componentes.

Teorema de Varignon.
El momento con respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas
concurrentes es igual a la sumatoria de los momentos de las fuerzas de ese sistema
con respecto al punto O.

Momento de una fuerza con respecto a un eje.

Sean una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y 𝑀𝑂 el momento de esa fuerza
con respecto al punto O. Sea también OL un eje que pasa por el punto O. Se define el
momento 𝑀𝑒 de F con respecto a OL a la proyección del momento 𝑀𝑂 sobre el eje OL.
Dado que 𝑒 es el versor en la dirección de OL, se puede escribir el producto escalar:
𝑀𝑒 = 𝑒. 𝑀𝑂 = 𝑒. (𝑟 × 𝐹 )
El valor de este momento puede interpretarse como la tendencia que tiene la fuerza F
de imprimir al cuerpo un movimiento de rotación alrededor del eje 𝑒.
El valor 𝑀𝑒 resultará ser positivo o negativo según sea el sentido del versor 𝑒, es decir
que, 𝑀𝑒 será positivo cuando el sentido de 𝑀𝑒 coincida con el sentido del versor 𝑒 y
negativo en caso contrario.

Momento de un par de fuerzas.

Se dice que dos fuerzas F y -F forman un par de fuerzas si poseen el mismo módulo,
líneas de acción paralelas y sentidos opuestos. La suma de las componentes de las dos
fuerzas en cada dirección es nula, pero la suma de los momentos de ambas fuerzas con
respecto a un punto O dado no lo es.
Cualquier fuerza que actúa sobre un sólido rígido puede trasladarse a un punto arbitrario
O siempre que se agregue un par de momento igual al momento de F con respecto al
punto arbitrario O.
El par representado por 𝑀𝑂 junto a la fuerza F se denomina sistema fuerza-par. El
sistema fuerza-par obtenido al transferir una fuerza F de un punto A hacia un punto O
consiste de una fuerza F y de un vector momento 𝑀𝑂 perpendicular a F. En forma
recíproca, cualquier sistema fuerza-par formado por una fuerza F y un vector 𝑀𝑂 que
sean mutuamente perpendiculares puede sustituirse por una sola fuerza equivalente.
Esto se hace trasladando la fuerza F en el plano perpendicular a 𝑀𝑂 hasta que su
momento con respecto a O sea igual al vector par 𝑀𝑂 que se va a eliminar.

Sistemas de fuerzas equivalentes.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si y sólo si pueden ser reducidos al mismo
sistema fuerza-par en un punto dado O, o sea que dos sistemas de fuerzas son
equivalentes si y sólo si la sumatoria de las fuerzas y la sumatoria de los momentos con
respecto a un punto dado O de los dos sistemas son iguales.
Los sistemas de fuerzas equivalentes se pueden transformar uno en el otro mediante
una y varias de las operaciones siguientes:

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 - Reemplazar dos fuerzas por su resultante.
- Descomponer una fuerza y usar sus componentes.
- Agregar o cancelar un sistema nulo.
Un par de fuerzas puede trasladarse a planos paralelos sin variar el efecto.

Reducción de un sistema de fuerzas.

Un sistema cualquiera de fuerzas que actúa sobre un sólido rígido puede reducirse a un
sistema fuerza-par equivalente en O, compuesto por una fuerza R igual a la suma de
las fuerzas del sistema y un vector par 𝑀𝑂 igual a la suma de los momentos de cada
fuerza llamado momento resultante.
Las fuerzas resultantes concurrentes se aplican a un mismo punto y pueden sumarse
para obtener la resultante R.
Las fuerzas coplanares actúan en un mismo plano y la suma R de las fuerzas del sistema
está también en el plano. Una fuerza en el plano queda definida por cuatro parámetros,
que son su intensidad, su dirección y las dos coordenadas de un punto por el cual pasa
su recta de acción.
Se puede trasladar cada fuerza del sistema al origen de coordenadas, obteniendo para
cada una de ellas un sistema fuerza par. El sistema fuerza-par resultante será la suma
de las fuerzas y de los momentos involucrados.
Este sistema fuerza-par en el origen de coordenadas es equivalente al sistema original
de fuerzas y se lo puede trasladar a cualquier otro punto del plano. En dicho punto
solamente existirá una fuerza única como resultante del sistema de fuerzas. Es decir
que existirá una recta del plano, que contenga a R tal que el valor del momento con
respecto a cualquier punto de esa recta se anule.
Las fuerzas paralelas tienen líneas de acción paralelas y pueden o no tener el mismo
sentido. Si uno de los ejes del sistema se elige paralelo a las rectas de acción de las
fuerzas del sistema, cada fuerza quedará definida por 3 parámetros que son su
intensidad y las 2 coordenadas del punto por el cual la recta de acción corta al plano
correspondiente.
Para hallar la ubicación de la resultante se plantea el momento de cada fuerza con
respecto al origen O.
Para hallar la posición de la resultante es preciso que se anule el efecto del traslado de
la fuerza desde el punto A al origen O.

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Capítulo 2. Sistemas de masas.
Si se supone que una estructura es un sistema de partículas, cada una de las diferentes
partes de esa estructura puede considerarse idealmente como una partícula de masa
m, y las acciones o fuerzas que soporta la estructura estarán, por lo tanto, aplicadas
sobre el sistema de partículas.
La sección transversal de un elemento estructural o mecánico es la que resulta de
seccionar con un plano normal al eje de dicho elemento.

Sistemas discretos.
Sea un conjunto de puntos materiales discretos de masas 𝑚1 , 𝑚2 , …, 𝑚𝑛 ubicados en
el espacio tridimensional. Este sistema de masas puede reemplazarse por una masa
única M resultante (equivalente) de modo que la masa total del sistema será:
𝑛
𝑀=∑ 𝑚𝑖 = 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛
𝑖=1

Es posible determinar la posición en la que se puede considerar concentrada esa masa

total y a ese punto de coordenadas (𝑧𝐶𝑀 ; 𝑦𝐶𝑀 ) se lo denomina centro de masa. Para
conocer a 𝑧𝐶𝑀 y a 𝑦𝐶𝑀 se plantea que la suma de los momentos de cada masa con
respecto a los ejes z e y (𝑆𝑧 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎; 𝑆𝑦 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) es igual al momento de la resultante
M con respecto de esos ejes (𝑆𝑧𝐶𝑀 ; 𝑆𝑦𝐶𝑀 ). Esos momentos se denominan momentos de
primer orden o momento estáticos del sistema.

Sistemas continuos.
Se dice que un sistema es continuo si las masas se encuentran distribuidas de forma
continua sobre el volumen de un cuerpo. Dado que los elementos estructurales y
mecánicos suelen tener sección transversal constante, es posible abstraer la tercera
dimensión y analizar el sistema continuo contenido en el plano.
Se define la densidad 𝜇 como la razón existente entre la masa y el área.

Centroide.
Se denomina centroide al centro geométrico de un objeto o de una figura plana. El
centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema
mientras que el centro de masa depende de la distribución de materia.
El centro de masa coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando
la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
Si la figura plana tiene una densidad de masa constante, el centro de masa y el centroide
coinciden. Cuando una figura plana tiene un eje de simetría, el centroide está sobre ese
eje. Si tiene dos ejes de simetría, el centroide se encontrará en la intersección de ambos
ejes.
El centroide no necesariamente se debe localizar sobre el área transversal, sino que
puede ubicarse fuera de ella, en el espacio.

Teoremas de Pappus y Guldin.

Los dos teoremas de Pappus y Guldin se utilizan para calcular la superficie y volumen
de cualquier objeto de revolución.

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 - Primer teorema de Pappus y Guldin.
Si se hace rotar una línea plana alrededor de un eje de su plano y que no la
corte, la superficie engendrada será igual al producto de la longitud de la línea
por el camino que recorre el centroide.
𝐴 = 2𝜋 𝑦𝐶 𝐿
- Segundo teorema de Pappus y Guldin.
Si se hace rotar una figura plana alrededor de un eje de su plano y que no la
corte, el volumen engendrado será igual al producto del área de la figura por el
camino que recorre el centroide.
𝑉 = 2𝜋 𝑦𝐶 𝐴

Cargas distribuidas en vigas.

- Fuerzas distribuidas actuantes sobre las estructuras.
La intensidad de las cargas en cada punto de la superficie se define como
presión y se la denota como 𝑝 (fuerza por unidad de área).
La carga completa sobre la placa es un sistema de fuerzas paralelas, infinito en
número y donde cada una actúa sobre un área diferencial.
- Magnitud de la fuerza resultante y centro de presión.
La magnitud de la fuerza resultante es equivalente a la suma de todas las fuerzas
del sistema. La magnitud se determina a partir del área diferencial situada debajo
de la curva.
Esta fuerza resultante única admite una ubicación específica 𝑥𝐶 , que es el
denominado centro de presión.
Una carga distribuida sobre una viga puede entonces sustituirse por una carga
concentrada; el módulo de esta carga única es igual al área determinada por la
curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de la misma.

Figuras compuestas.
Son aquellas figuras que se pueden descomponer en figuras más simples y cuyas
superficies y centroides son conocidos o fáciles de determinar.

Momentos de segundo orden o momentos de inercia.

- Definición de momentos de inercia para áreas.
Por definición se denomina momento estático de segundo orden o momento de
inercia con respecto al eje z a la integral:
𝐼𝑧 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴
Donde y es la distancia perpendicular al eje z medida desde el centroide del área
diferencial.
Vale una definición análoga para el momento de segundo orden respecto al eje
y, siendo éste:
𝐼𝑦 = ∫ 𝑧 2 𝑑𝐴
Se denomina momento de inercia polar a la integral:
𝐼𝑂 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 + ∫ 𝑧 2 𝑑𝐴 ⇒ 𝐼𝑂 = 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦
Siendo r la distancia desde el origen de coordenadas al centroide del área
elemental.

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Teorema de Steiner o de los ejes paralelos.
El teorema de Steiner, también conocido como el teorema de los ejes paralelos permite
relacionar el momento de inercia con respecto a un eje centroidal de una figura plana y
el momento de inercia con respecto a un eje paralelo cualquiera.
Su enunciado es: el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su
plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo, más el
producto del área por el cuadrado de la distancia existente entre los dos ejes.
Este teorema también se utiliza para determinar los momentos de inercia centroidales
de una figura cuando se conocen los momentos de inercia con respecto a cualquier par
de ejes no centroidales.

Radio de giro de un área.

El radio de giro de un área se define como la raíz cuadrada del cociente existente entre
el momento de inercia y el área. Los radios de gira respecto a z e y, y el radio de giro
polar son, respectivamente:

𝐼𝑧 𝐼𝑦 𝐼𝑂
𝑖𝑧 = √ 𝑖𝑦 = √ 𝑖𝑂 = √
𝐴 𝐴 𝐴

En tal sentido, los momentos de inercia se pueden reescribir como:

𝐼𝑧 = 𝐴 𝑖𝑧2 𝐼𝑦 = 𝐴 𝑖𝑦2 𝐼𝑂 = 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 = 𝐴(𝑖𝑧2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝐴 𝑖𝑂2

Momentos de inercia de figuras compuestas.

Para hallar los momentos de inercia de figuras compuestas se procede de la siguiente
manera:
- Se divide la figura compuesta en figuras simples y luego se indica la distancia
desde el centroide de cada parte hasta los ejes de referencia.
- Luego se halla el centroide de la figura compuesta, aplicando momentos de
primer orden. Si la figura compuesta tuviera diferentes densidades, se hallaría el
centro de masa.
- Se ubican sobre el centroide hallado los ejes de referencia centroidales de la
figura compuesta.
- Por último, se determinan los momentos de inercia del área total, con respecto
a sus ejes centroidales sumando los resultados de los respectivos momentos de
inercia de las áreas simples, con respecto a dichos ejes, que se obtienen
aplicando el Teorema de Steiner.

Momentos principales de inercia.

La orientación de los ejes principales de inercia está dada por 𝛼0 .
Los ejes principales son ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son
un máximo y un mínimo.
El producto de inercia es nulo para los ejes principales de inercia.
Dado que se pudo establecer que el producto de inercia es cero con respecto a cualquier
eje simétrico, se deduce que todo eje de simetría es principal de inercia.

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Momento de inercia de masa. Tensor de inercia.
El momento de inercia de masa de un cuerpo es una propiedad que mide la resistencia
del cuerpo a una aceleración angular. Se define como:

𝐼𝑚 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚

Aquí el brazo de momento 𝑟 es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento

arbitrario 𝑑𝑚. El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el centro de
masa del cuerpo. Debido a que 𝑟 está elevado al cuadrado, el momento de masa
siempre es una cantidad positiva.
Se pueden determinar los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes
coordenados considerando un elemento de masa.

𝑟𝑥2 = 𝑦 2 + 𝑧 2 ⇒ 𝐼𝑥𝑥 = ∫(𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑚

𝑟𝑦2 = 𝑥 2 + 𝑧 2 ⇒ 𝐼𝑦𝑦 = ∫(𝑥 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑚

𝑟𝑧2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ⇒ 𝐼𝑧𝑧 = ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑚

Los momentos de inercia centrífugos o productos de inercia de masa se definen como:

𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑚 𝐼𝑥𝑧 = ∫ 𝑥𝑧 𝑑𝑚 𝐼𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝑚

Radio de giro de masa.

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede
considerarse que es la distancia al eje a la que habría que concentrar una masa igual a
la total del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje de la masa
real (o distribuida). Es el resultado de la generalización del concepto de radio de giro de
área y se define como:

𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑧

𝑖𝑥𝑥 = √ 𝑖𝑦𝑦 = √ 𝑖𝑧𝑧 = √
𝑚 𝑚 𝑚

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Capítulo 3. Análisis de estructuras.
Se puede definir a una estructura como a todo cuerpo o conjunto de cuerpos, unidos
entre sí de alguna manera, que sean capaces de cumplir una función resistente a la
acción de las fuerzas.
La aplicación de cargas a una estructura produce fuerzas y deformaciones en ella.
Determinar estas fuerzas y deformaciones se denomina análisis estructural.

Grados de libertad de un cuerpo.

Sea un punto material en el espacio (partícula). Se denominan grados de libertad del
punto material a la cantidad de parámetros necesarios para ubicarlo perfectamente en
el espacio.
La posición de un cuerpo queda perfectamente definida en el espacio por la posición de
3 de sus puntos no alineados.

Chapas y sistemas planos.

Muchas estructuras en el espacio presentan un plano de simetría y el estado de cargas
o fuerzas a las que están sometidas están simétricamente ubicadas respecto a este
plano, de tal manera que se puede analizar haciendo abstracción de una de sus
dimensiones. A tales cuerpos se los denomina chapas.
La ubicación de una chapa en el plano queda perfectamente determinada por la
ubicación de 2 de sus puntos. Se concluye que una chapa en el plano tiene 3 grados de
libertad.

Concepto de vínculo y reacciones de vínculo.

Todo aquello que restrinja grados de libertad a un cuerpo recibe el nombre de vínculo o
ligadura. Cada vez que se restringe un grado de libertad por medio de un vínculo,
aparece una reacción de vínculo en correspondencia con dicho grado de libertad
restringido. Los movimientos en los cuerpos se manifiestan a través de desplazamientos
y rotaciones.
Todo desplazamiento de una chapa rígida en su plano puede considerarse como una
rotación alrededor de un punto denominado centro de rotación (puede ser propio o
impropio).

Vinculación de una chapa.

Imponer que un punto de una chapa sólo pueda desplazarse a lo largo de una recta
equivale a suprimirle 1 grado de libertad, lo cual se logra colocando un vínculo de
primera especie o vínculo simple.
Imponer que un punto de una chapa quede inmóvil equivale a suprimirle 2 grados de
libertad. Esto se realiza con un vínculo de segunda especie o vínculo doble que se
conoce también con el nombre de articulación.
Imponer que una chapa quede inmóvil con un solo vínculo equivale a suprimirle en una
zona de la misma los 3 grados de libertad. Esto se logra con un vínculo de tercera
especie que se denomina empotramiento.

Clasificación de las estructuras según su vinculación.

De acuerdo con la forma en que estén vinculadas, las estructuras pueden clasificarse
en: hipostáticas, isostáticas o hiperestáticas.

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Se dice que una chapa está isostáticamente sustentada cuando tiene las condiciones
de vínculo estrictamente necesarias para hacerla inmóvil bajo cualquier sistema de
fuerzas al que se encuentre sometida. Una chapa así sustentada se dice que es
isostática y sus reacciones de vínculo se pueden obtener con las condiciones de
equilibrio.
En los sistemas hiperestáticos, es decir, aquellos que poseen más condiciones de
vínculo que grados de libertad, es necesario el planteo de otras ecuaciones adicionales
que se basan en la deformación del cuerpo.
Dos vínculos simples equivalen a una articulación o vínculo doble en el polo o centro de
rotación. Esto significa que la estructura está hipostáticamente sustentada, pues tiene
menos vínculos que los necesarios para restringir su movimiento.
Vincular isostáticamente una chapa con 3 vínculos simples significa imponer que 3
puntos A, B y C puedan desplazarse únicamente a lo largo de las rectas a, b y c
respectivamente. Las normales a estas rectas en los puntos A, B y C no deben cortarse
en el mismo punto, pues en caso contrario la chapa tendría el mismo centro instantáneo
de rotación y podría sufrir un giro infinitesimal. Si esto sucediera se dice que uno de
estos vínculos no es eficaz, lo que equivale a decir que es un vínculo aparente.
Para que los 3 vínculos simples sean eficaces es preciso que cada uno de ellos impida
realmente el movimiento permitido por los otros 2.

Vinculación de los cuerpos en el espacio.

- El vínculo de primera especie quita un solo grado de libertad; de esta manera le
permite al punto considerado desplazarse solamente en el plano.
- El vínculo de segunda especie es un apoyo lineal que le permite al punto
considerado solamente desplazarse a lo largo de una recta.
- El vínculo de tercera especie se denomina rótula y el punto considerado
permanece sin desplazamientos, pero gira en todos los sentidos.
- El vínculo de cuarta especie denominado unión o junta transversal rota según 2
ejes perpendiculares y está impedido de desplazarse.
- El vínculo de quinta especie denominado pasador o bisagra sólo puede rotar
alrededor de 1 eje, estando impedidos los movimientos restantes.
- El vínculo de sexta especie o empotramiento impide todos los desplazamientos
y todos los giros.

Determinación de las reacciones de vínculo.

Al poner en evidencia las reacciones de los vínculos se da origen a un cuerpo libre en
equilibrio.

Cadena abierta de dos chapas.

Se denomina así al sistema formado por chapas vinculadas entre sí internamente, es
decir, por medio de un vínculo interno que restrinja grados de libertad de una chapa
respecto de la otra.
El caso de 2 chapas unidas con una articulación es igual al caso de 2 chapas unidas por
2 bielas ya que se sabe que las mismas se comportan como una articulación en el punto
de su intersección. Para sustentarlo isostáticamente son necesarias 4 condiciones de
vinculación:

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 - 3 condiciones de vínculo en la chapa A y 1 condición de vínculo en la chapa B.
- 2 condiciones de vínculo en la chapa A y 2 condiciones de vínculo en la B.
- 1 condición de vínculo en la chapa A y 3 condiciones de vínculo en la chapa B.
En el primer caso se dice que la chapa A es autoisostática pues tiene las condiciones
de vínculo externas necesarias para sustentarse por sí sola, mientras que la B es no
autoisostática porque no las tiene y necesita a la chapa A para poder sustentarse.

Cadena abierta de tres chapas.

Una cadena abierta de tres chapas posee 5 grados de libertad; esto implica que necesita
5 condiciones para su sustentación, las que pueden disponerse de 5 formas diferentes.
Se debe estudiar en cada caso la no existencia de un vínculo aparente.

Cadena abierta de tres chapas unidas por una sola articulación.

En este caso se tienen 9 incógnitas que son 5 por vínculos externos y 4 por vínculos
internos.

Cadena abierta de 𝑛 chapas.

El tener 𝑛 + 2 grados de libertad significa que se necesitarán 𝑛 + 2 condiciones de
vinculación y que se puede plantear la misma cantidad de ecuaciones para el cálculo de
las reacciones, que consisten en 3 ecuaciones fundamentales más 1 ecuación
complementaria por cada articulación interna.

Cadena isostática cerrada de cuarto chapas.

En todos los casos de cadenas resulta conveniente abrirlas o separarlas de forma tal de
realizar el estudio separado. En primer lugar, se debe analizar la parte de la cadena no
autoisostática y luego arrastrar los efectos a la parte autoisostática.

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Capítulo 4. Sistemas de alma llena.
Si un sistema de fuerzas en equilibrio 𝐹1 , 𝐹2 , …, 𝐹𝑛 está actuando sobre un cuerpo libre,
se dice que dicho cuerpo se encuentra en equilibrio. Si se considera un cuerpo tipo barra
sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio y si se practica un corte por medio de un
plano 𝛼 y se separa la parte I y de la parte II, aparecen fuerzas y momentos que rompen
el equilibrio inicial.
Para reestablecer el equilibrio de la parte I, es necesario aplicarle el efecto que
anteriormente le estaba ejerciendo la parte II en la sección de corte, efecto que será
igual al de la resultante de fuerzas y de momentos del sistema de fuerzas actuando
sobre la parte II. Esto significa que antes de efectuar el corte en dicha sección existía
una interacción entre las dos partes.
En primer lugar, se ubica el origen de coordenadas en el centroide de la figura plana
obtenida por el corte, figura que se denomina sección transversal. Trasladando el
sistema fuerza-par resultante de las fuerzas actuando en el cuerpo II al origen de
coordenadas se equilibra en la parte I. La componente de la fuerza en la dirección del
eje x se denomina esfuerzo axil o normal y se identifica como N; la componente en el
plano de la sección transversal se llama esfuerzo de corte y se identifica como Q. La
componente del par de fuerzas en la dirección del eje x se denomina momento torsor
(𝑀𝑡 ); la componente del par de fuerzas en el plano de la sección transversal se conoce
como momento flector (𝑀𝑓 ). Tanto Q como 𝑀𝑓 pueden, a su vez, descomponerse en la
dirección del eje z y el eje y que definen el plano de la sección transversal.
Estos esfuerzos se denominan esfuerzos característicos de dicha sección transversal,
dado que constituyen el conjunto de fuerzas y pares que están actuando en dicha
sección.

Esfuerzos característicos en un cuerpo plano (chapa).

En el caso de que un cuerpo o sistema estructural tenga simetría geométrica y simetría
de carga respecto al plano xy, el sistema puede considerarse plano y analizarlo como
tal, haciendo abstracción en la tercera dimensión. En este caso el cuerpo o sistema se
denomina chapa.
Dada la simetría existente, solamente tienen valor N, Q en la dirección y (𝑄𝑦 ) y el
momento respecto a y (𝑀𝑧 ).

Viga simplemente apoyada.

Un elemento estructural diseñado para soportar cargas en su plano con una dimensión
predominante sobre las otras dos, se conoce con el nombre de viga. Si, a su vez, se
encuentra vinculado mediante un vínculo simple y uno doble en sus extremos se
denomina viga simplemente apoyada.

Relaciones analíticas entre las funciones q(x), Q(x) y M(x).

Existe una relación entre la carga actuante sobre la viga, el esfuerzo de corte y el
momento flector. La deducción de las relaciones funcionales se obtiene mediante el
planteo del equilibrio en cada uno de los puntos analizados.

Trazado de diagramas por secciones singulares.

Los diagramas pueden trazarse conociendo los valores de los esfuerzos característicos
en determinadas secciones de la viga que se denominan secciones singulares.

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Capítulo 5. Sistemas de alma calada o reticulados.
Un reticulado consta de elementos rectos (barras) unidos en los nodos (nudos). Estos
elementos se denominan puntales si están sometidos a compresión y tirantes si están
sometidos a tracción. Los elementos de una estructura reticulada se unen solamente en
sus extremos, formándose así sucesivos triángulos en un solo plano y que están
dispuestos de forma tal que las cargas se aplican solamente en sus nodos, por lo que
teóricamente sólo se originan esfuerzos de tracción y compresión.
Cada estructura reticulada se diseña para soportar cargas que ejercen fuerzas en su
propio plano, por lo que pueden ser tratadas como estructuras bidimensionales.

Generación simple de reticulados.

En el primer paso de la generación de un reticulado se tienen 3 barras y 3 nudos:
𝑏 = 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 + 2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑛 = 3 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 + 1 𝑛𝑢𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
En un segundo paso, se agregan 2 barras y, por lo tanto, un nudo en común con esas
barras:
𝑏 = (3 + 2 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠) + 2 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 + 2.2 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑛 = (3 + 1 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) + 1 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 3 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 + 2.1 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Repitiendo el proceso para una cantidad 𝑥 de pasos, se tienen las siguientes
expresiones generales: 𝑏 = 3 + 2𝑥; 𝑛 = 3 + 𝑥, donde b es la cantidad de barras, n la
cantidad de nudos y x es la cantidad de pasos necesarios para formar el reticulado.
Despejando el valor de 𝑥 de la ecuación de las barras y reemplazándolo en n, se obtiene
la expresión: 𝑏 = 2𝑛 + 3.

Hipótesis de cálculo y comportamiento de un reticulado ideal.

- Tanto las barras como las fuerzas forman un sistema coplanar, es decir que tanto
los elementos estructurales como las solicitaciones se encuentran en un mismo
plano.
- Las barras son rígidas y perfectamente rectas. De no ser así, las fuerzas axiales
originarían momentos flectores en las mismas.
- Los nudos son articulaciones perfectas sin fricción.
- Las fuerzas, tanto acciones como reacciones, actúan únicamente como cargas
concentradas en los nudos; de no ser así, el peso propio y las cargas que no
están en los nudos se reparte en los mismo en forma proporcional.
- Las deformaciones de un reticulado cargado, causadas por los cambios de
longitud de los elementos individuales, no son suficientemente grandes como
para originar cambios apreciables en la forma y dimensiones generales del
reticulado.
Las barras soportan esfuerzos solamente en la dirección de sus ejes, pudiendo ser éstos
de tracción (+) cuando tratan de alargar la longitud de la barra o de compresión (-)
cuando la tratan de acortar.
Las fuerzas que se obtienen considerando las hipótesis mencionadas son, en la mayoría
de los casos, representativas del verdadero estado de cargas y se denominan fuerzas
primarias. Las fuerzas que se originan por condiciones no contempladas en el análisis
de fuerzas primarias se denominan fuerzas secundarias.

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Método de cálculo de reticulados.
- Método de los nudos.
Las incógnitas del problema del reticulado isostático son el número de barras
más las tres condiciones de vínculo. La cantidad total de incógnitas (esfuerzos
internos más reacciones) es 2n, donde n es la cantidad total de nudos.
Las reacciones de vínculo se determinan fácilmente a partir de las condiciones
de equilibrio. Una vez obtenidas estas reacciones, se las reemplaza en las 2n
ecuaciones de equilibrio mencionadas anteriormente, pudiéndose así encontrar
las b=2n-3 incógnitas restantes, que constituyen los esfuerzos internos, uno para
cada una de las barras del reticulado.
Los sentidos de los esfuerzos se suponen arbitrariamente, admitiendo que si el
esfuerzo “sale” de un nudo es de tracción y si “entra” es de compresión.
Posteriormente, se fija un sistema de ejes coordenados cartesianos xy de
manera tal de poder descomponer según estas dos direcciones a todos los
esfuerzos de las barras, incluyendo además las reacciones de vínculo y las
cargas externas.
Para aplicar este método es necesario partir de un nudo i con sólo dos incógnitas
y a partir de allí ir avanzando hacia los nudos restantes, siempre que en los
mismos no se presenten más de dos incógnitas.
- Método de Ritter.
En este método, una vez calculadas las reacciones de vínculo, se secciona la
estructura de tal manera que este corte afecte solamente a 3 barras no
concurrentes y que separe a la misma en 2 partes. Como inicialmente el sistema
se hallaba en equilibrio, al efectuar el seccionamiento cada una de las partes
separadas debe equilibrarse con los esfuerzos de la restante, esfuerzos de los
que se conoce sus direcciones, pero no sus intensidades y sentidos. Se supone
un sentido arbitrario, dado un par de ejes coordenados cartesianos y se plantean
3 ecuaciones de equilibrio de momentos en los puntos en donde se cortan 2
barras cuyos esfuerzos son fuerzas incógnitas.
- Método de los elementos finitos.
Este método numérico se plantea a partir de ecuaciones diferenciales y permite
la resolución relativamente rápida de los problemas continuos mediante la
discretización.
El método de los elementos finitos puede plantearse como un procedimiento
general de discretización de los problemas continuos a través de expresiones
definidas matemáticamente.
Este método es un procedimiento en el cual el continuo se divide en un número
finito de elementos, siendo cada uno de ellos una cantidad en particular. El
método considera a la estructura como un ensamblaje de pequeñas partículas
finitas. A cada una de estas partículas finitas se la denomina elemento finito.
Estos elementos se conectan entre sí a través de nodos o puntos nodales y el
procedimiento en la selección de los nodos se denomina discretización.
Su objetivo es determinar con la mayor aproximación posible a la solución
exacta, las reacciones de vínculo y los esfuerzos

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