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    PPA - Asignación 3

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    Victor Pichardo
    1) Se describe una partícula que se emite de forma isotrópica y golpea una pantalla. Se encuentran las distribuciones de probabilidad f(z) y f(y) para la ordenada z e y del punto de impacto. 2) Se describe una señal transmitida a una frecuencia aleatoria uniforme entre f1 y f2. Se encuentra la distribución de probabilidad f(y) para el periodo Y de la señal y su esperanza matemática E[Y]. 3) Dadas dos variables aleatorias independientes X1 y X2, se calcul

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    PPA - Asignación 3

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    Victor Pichardo
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    1) Se describe una partícula que se emite de forma isotrópica y golpea una pantalla. Se encuentran las distribuciones de probabilidad f(z) y f(y) para la ordenada z e y del punto de impacto. 2) Se describe una señal transmitida a una frecuencia aleatoria uniforme entre f1 y f2. Se encuentra la distribución de probabilidad f(y) para el periodo Y de la señal y su esperanza matemática E[Y]. 3) Dadas dos variables aleatorias independientes X1 y X2, se calcul

    Descripción original:

    probabilidad y procesos

    Título original

    PPA_Asignación 3

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    1) Se describe una partícula que se emite de forma isotrópica y golpea una pantalla. Se encuentran las distribuciones de probabilidad f(z) y f(y) para la ordenada z e y del punto de impacto. 2) Se describe una señal transmitida a una frecuencia aleatoria uniforme entre f1 y f2. Se encuentra la distribución de probabilidad f(y) para el periodo Y de la señal y su esperanza matemática E[Y]. 3) Dadas dos variables aleatorias independientes X1 y X2, se calcul

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    PPA - Asignación 3

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    Victor Pichardo
    1) Se describe una partícula que se emite de forma isotrópica y golpea una pantalla. Se encuentran las distribuciones de probabilidad f(z) y f(y) para la ordenada z e y del punto de impacto. 2) Se describe una señal transmitida a una frecuencia aleatoria uniforme entre f1 y f2. Se encuentra la distribución de probabilidad f(y) para el periodo Y de la señal y su esperanza matemática E[Y]. 3) Dadas dos variables aleatorias independientes X1 y X2, se calcul

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    ASIGNACIÓN 3

    4.1. Una partícula se emite desde un punto de forma isotrópica en el plano. Colocamos
    una pantalla a una distancia d sobre la cual la partícula impacta en la ordenada.
    −𝜋 𝜋
    La VA 𝜃 sigue una ley uniforme en el intervalo [ 2 , 2 ]. Encuentre 𝑓(𝑧) y 𝑓(𝑦).

    𝑑
    cos 𝜃 =
    𝑧
    𝑧 𝑦
    𝑦 tan 𝜃 =
    𝑑
    𝑦
    sin 𝜃 =
    𝑧
    𝜃

    𝜃 es la VA

    𝑓(𝜃1 )
    𝑓(𝑧) =
    |𝛼 ′ (𝜃1 )|

    Encontrar 𝑓(𝜃)
    −𝜋 𝜋
    Distribución uniforme en el intervalo [ 2 , 2 ]

    1 1 1
    𝑓(𝜃) = 𝜋 𝜋 =𝜋 𝜋=𝜋
    +
    2 − (− 2 ) 2 2

    Encontrar 𝛼(𝜃)
    𝑑
    𝛼(𝜃) = 𝑍 = = 𝑑 ∙ sec 𝜃
    cos 𝜃
    1. Encontrar las raíces
    𝑧 𝑦
    𝜃1 = sec −1 ( ) = tan−1 ( )
    𝑑 𝑑
    2. Derivar

    𝛼 ′ (𝜃) = 𝑑 ∙ sec 𝜃 ∙ tan 𝜃

    3. Reemplazar las raíces


    𝑧 𝑦
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑑 ∙ sec (sec −1 ( )) ∙ tan (tan−1 ( ))
    𝑑 𝑑
    𝑧 𝑦
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑑 ∙ ∙
    𝑑 𝑑
    𝑧
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = ∙ 𝑦
    𝑑

    𝑧 2 = 𝑦 2 + 𝑑 2 → 𝑦 = √𝑧 2 − 𝑑 2

    𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2
    𝛼 ′ (𝜃1 ) =
    𝑑
    𝑦
    Si no le queda claro porque 𝜃1 = tan−1 (𝑑), puede utilizar la siguiente opción:
    𝑧 𝑧
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑑 ∙ sec (sec −1 ( )) ∙ tan (sec −1 ( ))
    𝑑 𝑑

    Recuerde que sec 2 𝜃 = 1 + tan2 𝜃, entonces tan 𝜃 = √sec 2 𝜃 − 1, entonces:

    𝑧 𝑧
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑑 ∙ sec (sec −1 ( )) ∙ √sec 2 (sec −1 ( )) − 1
    𝑑 𝑑
    𝑧 𝑧2
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑑 ∙ ∙√ 2−1
    𝑑 𝑑

    𝑧 2 − 𝑑 2 𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2
    𝛼 ′ (𝜃1 ) = 𝑧 ∙ √ =
    𝑑2 𝑑
    𝑓(𝜃1 )
    𝑓(𝑧) =
    |𝛼 ′ (𝜃1 )|

    1 1
    Como 𝑓(𝜃) = 𝜋 (es constante), entonces 𝑓(𝜃1 ) = 𝜋

    1 1
    𝜋 𝜋 1 𝑑
    𝑓(𝑧) = = = ∙
    𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2 𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2 𝜋 𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2
    | |
    𝑑 𝑑

    1 𝑑
    𝑓(𝑧) = ∙
    𝜋 𝑧√𝑧 2 − 𝑑 2

    Encuentre 𝑓(𝑦)
    Resuelto en clase. Ver diapositivas del curso.

    1 𝑑
    𝑓(𝑦) = ∙ 2
    𝜋 𝑑 + 𝑦2

    4.2 Un trasmisor envía una señal a una frecuencia 𝑋 (en kHz). 𝑋 es una VA con una
    distribución uniforme (continua) en el intervalo [𝑓1 , 𝑓2 ]. Determine 𝑓(𝑦) del periodo
    𝑌 de la señal y el promedio 𝐸[𝑌].

    𝑋 es la VA
    Distribución uniforme en el intervalo [𝑓1 , 𝑓2 ]
    1
    𝑓(𝑥) =
    𝑓2 − 𝑓1

    1
    Recordando que la relación entre la frecuencia y el periodo es 𝑇 = 𝑓

    1
    𝛼(𝑋) = 𝑌 =
    𝑋
    1. Encontrar las raíces
    1
    𝑥1 =
    𝑦
    2. Derivar
    1
    𝛼 ′ (𝑥) = −
    𝑥2
    3. Reemplazar raíces
    1 1
    𝛼 ′ (𝑥1 ) = − =− = −𝑦 2
    1 2 1
    (𝑦) 𝑦2

    𝛼 ′ (𝑥1 ) = −𝑦 2

    𝑓(𝑥1 )
    𝑓(𝑦) =
    |𝛼 ′ (𝑥1 )|
    1 1
    𝑓2 − 𝑓1 𝑓2 − 𝑓1
    𝑓(𝑦) = =
    |−𝑦 2 | 𝑦2

    1 1
    𝑓(𝑦) = ∙ 2
    𝑓2 − 𝑓1 𝑦

    Cálculo del promedio:


    1⁄
    𝑓1 1 1
    𝐸[𝑌] = ∫ ( ∙ 2 ) ∙ 𝑦 𝑑𝑦
    1⁄ 𝑓2 − 𝑓1 𝑦1
    𝑓2

    1⁄
    𝑓1 1 1
    𝐸[𝑌] = ∫ ( ∙ ) 𝑑𝑦
    1⁄ 𝑓2 − 𝑓1 𝑦
    𝑓2

    ⁄𝑓 11
    1 1
    𝐸[𝑌] = ∫ 𝑑𝑦
    𝑓2 − 𝑓1 1⁄ 𝑦
    𝑓2

    1 1⁄
    𝑓
    𝐸[𝑌] = ∙ ln 𝑦|1 1
    𝑓2 − 𝑓1 ⁄𝑓2

    1 1 1
    𝐸[𝑌] = ∙ (ln − ln )
    𝑓2 − 𝑓1 𝑓1 𝑓2
    1
    𝐸[𝑌] = ∙ (ln 1 − ln 𝑓1 − ln 1 + ln 𝑓2 )
    𝑓2 − 𝑓1
    1
    𝐸[𝑌] = ∙ (ln 𝑓2 − ln 𝑓1 )
    𝑓2 − 𝑓1

    1 𝑓2
    𝐸[𝑌] = ∙ ln
    𝑓2 − 𝑓1 𝑓1

    5.1 Dada dos VAs independientes 𝑋1 y 𝑋2 que pueden tomar valores de {−1, 1} con
    valores de probabilidad {1 – 𝑝, 𝑝} respectivamente. Es decir, 𝑃 (𝑋1 = −1) = 1 − 𝑝 y 𝑃 (𝑋1
    = 1) = 𝑝, igualmente para 𝑋2. Si definimos Y = 𝑋1 + 𝑋2 y Z = 𝑋1 − 𝑋2. Determine el factor
    de correlación r(Y, Z)

    Todas las combinaciones (𝑌, 𝑍) son 0 entonces:


    5.2 Dado que 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸[𝑋])(𝑌 − 𝐸[𝑌])] demuestre que 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) =
    𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]
    .

    𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝐸[𝑋𝑌 − 𝑋𝐸[𝑌] − 𝐸[𝑋]𝑌 + 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]]

    𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌] + 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]


    𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]

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